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Kurs 1663 „Datenstrukturen“ Einsendeaufgaben zur Kurseinheit 5 Seite 1
Aufgabe 1
(Algorithmus von Dijkstra)
25 Punkte
Der Algorithmus von Dijkstra berechnet in seiner ursprünglichen Form lediglich einen
der kürzesten Wege von einem Knoten zu allen anderen. Wenn es mehrere
Wege mit gleichen Kosten zu einem anderen Knoten gibt, so wird der erste gefundene
Weg gewählt. Die Aufgabe besteht nun darin, den Algorithmus derart zu verändern,
daß er alle Wege mit gleichen Kosten für einen Knoten speichert.
(a)
Wie sind Algorithmus und Implementierung zu modifizieren? Wie ändert
sich die Laufzeit? Begründen Sie.
10 Punkte
(b)
Demonstrieren Sie die Arbeitsweise Ihres Algorithmus am folgenden Beispiel.
Startknoten ist A.
15 Punkte
A
2
B
2
C
2
1
2
1
2
D
2
E
2
F
2
2
2
G
2 2
H
I
Aufgabe 2
(Artikulationspunkte)
25 Punkte
Sei G = (V, E) ein verbundener, ungerichteter Graph. Dann besteht G aus genau einer
Komponente. Das Entfernen eines Knotens v (und seiner inzidenten Kanten) aus
G schreiben wir als G - v und meinen damit den Graphen G' = (V - {v}, {(x, y) ∈ E
| x ≠ v ∧ y ≠ v}). Ein Artikulationspunkt ist ein Knoten v ∈ V, für den gilt: G - v ist
nicht verbunden. Ein verbundener Graph ohne Artikulationspunkte heißt nicht-separierbarer
Graph. Ein Block eines Graphen ist eine maximaler, nicht-separierbarer

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Teilgraph. Im Graph der folgenden Abbildung sind die Knoten x und y Artikulationspunkte.
x
y
Die Blöcke des Graphen sind:
x
x
y
y
y
10 Punkte
(a)
Beweisen Sie den folgenden Satz:
v ist Artikulationspunkt von G ⇔ Es existieren zwei von v verschiedene
Knoten u und w, so daß v in jedem Pfad von u nach w enthalten ist.
Zu jedem ungerichteten Graphen gibt es einen korrespondierenden gerichteten Graphen,
in dem jede ungerichtete Kante in beiden Richtungen auftritt. Wir nehmen an,
daß jeweils beiden Kanten ein und dasselbe Kostenmaß c zugewiesen ist.
15 Punkte
(b)
Wie kann man das Wissen über Blöcke und Artikulationspunkte ausnutzen,
um die Suche nach dem kürzesten Weg zwischen zwei Knoten s und t zu beschleunigen?
(Hinweis: Sie brauchen Ihre Idee nur für den einfachen Fall zu
beschreiben, in dem lediglich ein Artikulationspunkt existiert.)
Begründen Sie die Korrektheit Ihres Ansatzes, und schätzen Sie den Laufzeitgewinn
durch Gegenüberstellung der Komplexitäten für die “normale”
und Ihre verbesserte Lösung ab.

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Aufgabe 3
Inselstaat
20 Punkte
A 1 A 2
B 3
B 2
B 1
B 4
C 3
A 3
C 1 C2
Die vergröberte Geometrie eines kleinen Inselstaates ist im obigen Bild durch Polygone
dargestellt, die wiederum durch einen Graphen abgebildet werden, d.h. die
Eckpunkte eines Polygons sind Knoten des Graphen und Linienzüge entsprechen
Kanten im Graphen. Der Staat besteht aus mehreren Inseln, welche in Gebiete aufgeteilt
sind. Letztere sind im Besitz verschiedener Stämme (A, B, C) bzw. Familien
dieser Stämme (A 1 ...A 3 , B 1 ...B 4 , C 1 ...C 3 ). Gegeben sind die Teilgraphen, die die
Grenzen der einzelnen Familien (Gebiete) repräsentieren und der Gesamtgraph G,
der oben dargestellt ist.
Die folgenden Aufgaben sollen mittels Graphalgorithmen gelöst werden.
(a)
Wie kann die Anzahl der Inseln auf Basis von G berechnet werden? Welche
Kosten hat das Verfahren?
3 Punkte
(b)
Wie kann die Anzahl der Inseln berechnet werden, indem nur die Teilgraphen
benutzt werden (und ohne die Teilgraphen zu G zusammenzusetzen)?
5 Punkte
(c)
Sei length eine Kantenmarkierung in G (und seinen Teilgraphen), die die Länge
der Kante angibt. Geben Sie einen Algorithmus an, um die Länge der Küste
des Inselstaates zu berechnen.
8 Punkte
(d)
Beschreiben Sie, wie die Anzahl der Nachbarn einer Familie berechnet werden
kann. Ein Nachbar einer Familie sei definiert als eine andere Familie mit
einem angrenzenden Gebiet. Geben Sie einen Algorithmus an, wenn nötig.
4 Punkte

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30 Punkte
Aufgabe 4
(Stadtparkbewässerung)
In einem Stadtpark soll die Bewässerung über ein Kanalsystem realisiert werden.
Die Aufgabe ist es, alle Plätze mit Wasser zu versorgen. Dabei sollen die Kanäle
entlang der Wege verlegt werden. Die Vegetation in der Nähe der Kanäle wird direkt
durch die Kanäle versorgt, während Pflanzen, die an Wegen ohne Kanäle liegen,
von Gärtnern versorgt werden, die das Wasser dann aus den Brunnen an den Plätzen
beziehen. In dem gezeigten Graphen stellen die Knoten die Plätze und die Kanten
die Wege dar. Die Kantenmarkierungen geben die Länge der Wege an.
A
3
B
3
2
2
F
2
2
3
E
2
H
1
1
1
G
2
C
3
2
2
3
D
12 Punkte
(a)
Wieviele Möglichkeiten gibt es, ein Kanalsystem minimaler Länge, das alle
Plätze miteinander verbindet, anzulegen? Begründen Sie Ihre Aussage.
Geben Sie ein Beispiel für ein Kanalsystem an und den Algorithmus, mit
dem sie ihn gefunden haben.
12 Punkte
(b)
Um zu überprüfen, ob die Vegetation außerhalb der Kanäle ausreichend bewässert
ist, müssen alle Wege ohne Kanäle überprüft werden. Dazu müssen
diese Wege abgegangen werden.
Gibt es zu jeder der Möglichkeiten aus Aufgabenteil (a) einen Pfad, der jeden
Weg ohne Kanal genau einmal (und sonst keine weiteren Wege) benutzt?
Wenn ja, geben Sie für Ihr Beispiel aus (a) einen solchen Pfad an. Wenn
nicht, begründen Sie dies ausführlich.
6 Punkte
(c)
Gibt es einen Pfad durch den Park, der jeden Weg genau einmal benutzt, mit
Start ≠ Ziel und Start, Ziel ∈ {A, B, C, D, E}? Gibt es einen Rundweg, also

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einen Pfad durch den Park, der jeden Weg genau einmal benutzt, mit
Start = Ziel, Start, Ziel ∈ {A, B, C, D, E}? Geben Sie für beide Fragen jeweils
einen gültigen Weg an, falls es einen solchen gibt. Wenn nicht, begründen
Sie dies.