Skript zu Produktionsfunktionen - Karl Betz

K+W Produktionsfunktionen S. 1
1 Produktionsfunktionen
Lernziele:
PF verbindet Input- und Outputmengen
Produktionsfunktion und Isoquante
Produktionspreismodell: Preistheorie, Faktorpreisgrenze und Technikwahl
Zwei Typen: limitational, substitutional – zwei unterschiedliche Sichtweisen
Eine Produktionsfunktion ist eine Funktion (Zuordnungsvorschrift 1 ), die die Einsatzmengen in
der Produktion: Maschinen, Hilfs- und Betriebsmittel, natürliche Ressourcen, Arbeit … mit der
maximal mit diesen Inputs herstellbaren Menge an Output verbindet.
Eine Produktionsfunktion ist zum Beispiel:
Um ein Fahrrad herzustellen, brauche ich 4 Stunden Arbeit, einen Lenker, zwei Pedale, einen
Rahmen und zwei Räder.
Bitte beachten Sie, daß Sie zur Produktion eines Fahrrads natürlich auch zwei Lenker einsetzen
oder sich 7 Stunden Zeit nehmen könnten. Das hilft Ihnen nur nicht weiter, verursacht zusätzliche
(Material- oder Lohn-) Kosten, ohne daß am Ende mehr Fahrrad dabei herauskäme. Man kann also
genauer sagen:
Eine Produktionsfunktion beschreibt die (technisch) effizienten Kombinationen von Inputs und
Outputs, also die (evtl.: unterschiedlichen) Möglichkeiten, ein Gut herzustellen, ohne daß dabei
Inputs verschwendet werden.
Es mag nun mehrere technisch effiziente Möglichkeiten geben, das gleiche Gut herzustellen.
Man kann ein identisches Auto z.B. in Fließbandproduktion oder Handarbeit erstellen. Beide
Möglichkeiten sind technisch effizient: Das eine Mal wendet man mehr Arbeit auf, das andere Mal
mehr Kapitalgüter. Aber in der Regel ist nur eine der Möglichkeiten auch ökonomisch effizient.
Ökonomisch effizient ist die technische Möglichkeit, die am billigsten ist. Was also ökonomisch
effizient ist, hängt irgendwie von den Preisen ab. Und weil es nie ökonomisch effizient sein kann,
Inputs (die etwas kosten) wegzuwerfen, sind ökonomisch effiziente Verfahren immer zugleich
technisch effizient.
Es gibt nun im Prinzip zwei Typen von Produktionsfunktionen, die limitationale und die (in der
Regel: beschränkt) substitutionale.
Eine limitationale PF beschreibt eine ganz bestimmte Technik, in dem sie die Liste der Inputs
angibt, die ich für die Produktion einer Outputeinheit benötige. Eine solche Funktion ist z.B. die
oben angegebenen Produktionsfunktion für ein Fahrrad:
F = min { 1 4
Arbeit; 1 Lenker; ½ Pedale; 1 Rahmen; ½ Räder}
Der Inputfaktor, von dem am wenigsten da ist, beschränkt (limitiert, daher der Name
limitational) die Menge, die ich herstellen kann.
Eine substitutionale Produktionsfunktion erlaubt unterschiedliche Inputkombinationen, mit
denen der gleiche Output hergestellt werden kann. Das Beispiel hierfür ist das Auto von oben. Ich
1 Im Bachelor war's noch ein Kochrezept. (Für ein Fahrrad nehme man ...) Sie merken: der Master wird formaler.

S. 2 Produktionsfunktionen Karl Betz
kann es entweder mit viel Arbeit (A) und wenig Kapitalgütern (K) oder mit weniger Arbeit, dafür
aber mehr Kapitalgütern (Fließband) herstellen.
Eine substitutionale Produktionsfunktion würde also allgemein lauten:
Y = f(K, A) mit d Y
dK > 0 und d Y
dA > 0
Hier kann man also weniger Kapitalgüter einsetzen, in dem man mehr Arbeit aufwendet und
umgekehrt.
In der Folge der Kapitalkontroverse wurde darüber gestritten, welcher der beiden
Produktionsfunktionstypen der „richtige“ ist und gar der Unterschied zwischen Paradigmen
(Neoklassik vs. Neoricardianer) wurde auf die Wahl der Produktionsfunktion zurückgeführt. Jedoch
läßt sich der gleiche Sachverhalt eigentlich auf beide Arten beschreiben. Das wird unten noch zu
illustrieren sein. Mir scheint es daher eher so, daß unterschiedliche Typen von Produktionsfunktionen,
weil sie den gleichen Sachverhalt unterschiedlich modellieren, unterschiedliche Aspekte
betonen und deswegen die Aufmerksamkeit auf unterschiedliche Zusammenhänge lenken – und
unterschiedliche Ergebnisse „nahelegen“.
Produktionsfunktion und Skalenerträge
Die Produktionsfunktion sieht für limitationale und substitutive Typen von Produktionsfunktionen
gleich aus. Sie fragt: Gegeben ein bestimmtes Faktoreinsatzverhältnis (z. B. doppelt so
viele Räder wie Lenkstangen) was passiert, wenn ich alle Inputs verdopple, verdreifache, ver-λfache?
Also: Auf der Ordinate steht der Output (sage: Y) und auf der Abszisse stehen die Menge an
Inputbündeln: (1 Lenker, 2 Räder) für λ = 1, (2 Lenker, 4 Räder) für λ = 2 und so weiter – oder
eben allgemein: (λ · 1 Lenker, λ · 2 Räder).
Einen Unterschied zwischen limitationaler und substitutionaler PF kann es hier nicht geben, weil
die Faktoreinsatzverhältnisse je festgehalten werden, wir uns also eigentlich in einer limitationalen
Welt bewegen. (Es werden die Mengen an identischen Inputbündeln (= Faktoreinsatzverhältnissen)
variiert, und ein solches Inputbündel ist ja gerade das. was in der limitiationalen
Produktionsfunktion aufgelistet ist.)
Für den Verlauf einer solchen Produktionsfunktion gibt es formal drei Möglichkeiten
Entweder (grüne Kurve) der Output wächst im gleichen Verhältnis wie die Inputbündel -
(konstante Skalenerträge)
Oder er wächst langsamer (rote Kurve) – sinkende Skalenerträge
oder er wächst eben schneller (blaue Kurve)
Vgl. Abbildung „Produktionsfunktion“

K+W Produktionsfunktionen S. 3
Produktionsfunktion: Skalenerträge
Eine zweite Variante die Funktion zu betrachten, die Sie nicht in Mikro kennen gelernt haben, ist
die Isoquante – mit welchen unterschiedlichen Inputmengen kann ich die gleiche Menge Autos
herstellen. 2
Bei einer substitutionalen Produktionsfunktion, sage für Autos, könnte das z.B. so aussehen wie
in Abbildung 2: Ich kann ein Auto entweder mit viel Arbeit und wenig Kapital herstellen, oder mit
viel Arbeit und wenig Kapitalgütern oder mit irgendwas dazwischen. Die Kurve (die Isoquante) gibt
also z.B. an, daß ich zwei Autos z.B. mit zwei Einheiten Kapital und zwei Einheiten Arbeit
(Fließband), mit einer Einheit Arbeit Kapital und vier Einheiten Arbeit (Handarbeit) oder auch mit
vier Einheiten Kapital und einer Einheit Arbeit (Montageroboter) herstellen kann.
2 Isoquante: Von Iso – gleich und quantum – Menge: die Kurve gleicher (Output-)Mengen.

S. 4 Produktionsfunktionen Karl Betz
Isoquante bei substitutionaler PF
Das gleiche geht aber auch limitational. Hier würde jedes Verfahren (Handarbeit, Fließband,
Roboter) als eigene Technik beschrieben werden. Also z.B.
Handarbeit: T1: Y = min{ ¼ Arbeit; Kapital}
Fließband: T2: Y = min {½ Arbeit; ½ Kapital}
Roboter: T3: Y = min {Arbeit; ¼ Kapital}
Wenn ich bei Technik 1 zusätzliches Kapital aufwende, bewirkt das für den Output nichts: Der
Roboter steht nur dumm in der Gegend rum und sieht dem Arbeiter zu. Und wenn ich zusätzliche
Arbeit aufwende, bewirkt das auch nix: Bei der Montage der Autos kriege ich mit weiteren
Arbeitern keine zusätzlichen Autos erzeugt, wenn ich nicht auch mehr Motoren, Getriebe und
Achsen (Kapital) in die Produktion gebe. Die Isoquante einer einzelnen Technik weist also einen
Knick auf: Es gibt nur eine einzige effiziente Inputkombination, Kapital kann Arbeit bei diesem
konkreten Verfahren nicht ersetzen. Abbildung 3 zeigt die Isoquante von Technik 2

K+W Produktionsfunktionen S. 5
Isoquante einer limitationalen Technik
Wenn es aber mehrere Verfahren gibt, um z.B. ein Auto herzustellen, hat es, wie oben schon
angedeutet, auch mehrere Techniken mit jeweils eigenen Isoquanten.
In Abbildung 4 habe ich die zu Technik 1, 2 und 3 gehörigen Isoquanten mal in das Diagramm
mit der Isoquante der substitutionalen PF eingetragen. Die Isoquante der substitutionalen PF ist in
schwarz eingezeichnet und die Isoquanten der der limitationalen Pfs sind in blau (Technik 1), gelb
(Technik 2) und grün (Technik 3) dargestellt.
Wie Sie anhand der Abbildung vielleicht erahnen können, ist es formal kein Problem, eine
substitutionale PF durch eine (unendlich große) Anzahl limitationaler PFs auszudrücken.
Oder, anders formuliert: Eine einzelne limitationale Produktionsfunktion beschreibt ein einzelnes
Verfahren (eine Technik), mit der man ein Gut herstellen kann. Eine substitutionale
Produktionsfunktion beschreibt die gesamte Technikmenge, also alle (bekannten) Verfahren, mit
denen man ein Gut herstellen kann. Stimmen die Voraussetzungen einer substitutionalen
Produktionsfunktion (es gibt, im Prinzip: unendlich viele) verschiedene Möglichkeiten, ein
bestimmtes Gut herzustellen, dann gibt es eben (im Prinzip) unendlich viele limitationale PFs, mit
denen man die substitutionale PF beschreiben kann.

S. 6 Produktionsfunktionen Karl Betz
Das hört sich jetzt erstmal so an, als seien limitationale PFs eine reichlich umständliche Art,
einen substitutionalen Zusammenhang auszudrücken. Aber das stimmt nicht ganz. Sie sind eine
andere Art, den (im Prinzip:) gleichen Zusammenhang zu betrachten – und wenn man anders
hinschaut, kann man manchmal Dinge sehen, die einem auf den ersten Blick verborgen geblieben
sind. Genau dies ist auch hier der Fall und das wird im Folgenden zu zeigen sein.
Produktionspreismodell 3
Das Produktionspreismodell setzt bei der limitationalen Produktionsfunktion an – und es lenkt
das Augenmerk auf die Tatsache, daß auch die Produktionsinputs produzierte Güter sind. In die
Produktion z.B. eines LKWs gehen (direkt und/oder indirekt) auch wieder LKWs ein, weil ja z.B.
die Inputs mit LKWs angeliefert werden. Ein Produktionspreismodell benutzt also limitationale
Produktionsfunktionen, unterstreicht dabei aber, daß ein Teil der Inputs (Kapital) seinerseits
produziert ist (während mit Arbeit ein (evtl.) nicht produzierter Faktor in die Produktion eingeht).
Im Falle von LKWs ist dieser Zusammenhang ganz schön kompliziert weil da viele
unterschiedliche Produktionsprozesse ineinander greifen. Deswegen wechsele ich jetzt mal das
Beispiel und wende mich der Kaninchenzucht zu. Dabei unterstelle ich, daß man für die Produktion
von Kaninchen nur Kaninchen und Arbeit (zum Futter pflücken und zur Kontrolle, daß keine
ausbüchsen) braucht. Sage: Mit 4 Kaninchen und 2 Einheiten Arbeit kann ich 10 Kaninchen
herstellen. Formal
3 Vgl. ausführlicher VWL – eine kritische Einführung. Kapitel 5.

K+W Produktionsfunktionen S. 7
4 K + 2 A = 10 K
Diesen Zusammenhang normalisiert man noch auf einen Output von 1:
0,4·K + 0,2 A = 1 K
und damit ist eine Technik der Kaninchenproduktion beschrieben, wobei k der Kapitalkoeffizient
ist (wie viele Kapitalgüter, hier (0,4 (Kaninchen) brauche ich pro Einheit Output? Hier auch
Kaninchen) und a der Arbeitskoeffizient (wie viel Arbeit (hier: 0,2) brauche ich pro Kaninchen)
In der Ökonomie geht es nun aber nicht um Mengen, sondern um Preise. Einsetzen müssen Sie
den Wert von Kaninchen (also p K·k) (= den Kapitaleinsatz) und die Lohnkosten (a·w). Da man im
allgemeinen auf seinen Kapitaleinsatz auch eine Profitrate (r) erzielen möchte / muß, wird aus der
Produktionsbeziehung ein Produktionspreissystem:
0,4 p (1+r) + 0,2 w = 1 p
bzw. allgemein:
kp(1+r) + aw = p
k und a kenne ich, wenn ich die eingesetzte Technik kenne. Also fehlt mir nur entweder die
Profitrate r oder aber der Reallohnsatz w/P, um die (relativen) Preise auszurechnen. (Um die
absoluten Preise auszurechnen fehlt mir noch ein Numeraire.) Oder, formal:
a ⋅ w
p =
1 − k ⋅(1+r)
Hier scheint dieser Erkenntnisgewinn recht bescheiden. Der Punkt ist aber, daß sich an diesem
Zusammenhang nichts ändert, wenn man eine komplexe Volkswirtschaft betrachtet, die ganz viele
Güter herstellt. Jedes weitere Gut wird ja durch eine weitere Technik hergestellt (= liefert eine
weitere Gleichung). Aus k dem Kapitalkoeffizienten wird dann K, die Matrix der
Inputkoeffizienten, aus dem Arbeitskoeffizienten a wird der Vektor der Arbeitskoeffizienten a und
aus p, dem Preis, wird p, der Preisvektor. Nach wie vor fehlt nur eine einzige Variable zur
Bestimmung aller relativen Preise und es fehlen nur zwei Variablen zur Bestimmung des
Preisniveaus. Eine naheliegende Idee ist hier, r, die Profitrate, vorzugeben (z.B. als Funktion des
langfristigen Zinsniveaus 4 ), um die relativen Preise zu bestimmen und das von den Tarifparteien
ausgehandelte Niveau der Geldlöhne liefert dann die absoluten Preise. Erneut formal:
p = (I – K · (1+r)) -1 · a · w
Die Angabe der Profitrate alleine genügt also, um alle relativen Preise zu berechnen und wenn
man noch das (Nominal)Lohnniveau kennt, hat man auch die absoluten Preise.
Was Ihnen auch aufgefallen sein könnte, ist, daß das Wort „Nachfrage“ hier bei der Bestimmung
der Preise gar nicht gefallen ist. Das Modell ist ein Modell der langen Frist, das unterstellt, daß die
Struktur der Produktion sich bereits an die Struktur der Nachfrage angepaßt hat. Und noch eins ist
wichtig: Das Ergebnis gilt auf jedem Outputniveau: Das Modell läßt also im Prinzip eine
Bestimmung der Preise unabhängig von der Höhe der Beschäftigung zu, erlaubt es also, ein
Gleichgewicht bei (unfreiwilliger) Arbeitslosigkeit herzuleiten.
Ich komme auf diesen Zusammenhang noch zurück, aber hier geht es mir erstmal um einen
weiteren Zusammenhang: die Faktorpreisgrenze und die Technikwahl.
4 Kennen Sie ja im Prinzip aus I + F: Sie investieren nur, wenn der (erwartete) Ertrag des Projekts (sein interner
Zinsfuß) Ihren Kalkulationszinsfuß (= Ihren geforderten Zinssatz) übersteigt. Der Unterschied ist nur, daß Sie in I+F
einzelwirtschaftlich, d.h. bei gegebenen (erwarteten) Preisen planen, während sich hier zeigt, daß sich
gesamtwirtschaftlich die Preise einstellen, die den Zinsforderungen der Investoren entsprechen (und es erlauben,
diese durchzusetzen).

S. 8 Produktionsfunktionen Karl Betz
Teilt man die Produktionspreisgleichung durch p, dann ergibt sich die sogenannte
Faktorpreisgrenze:
kp(1+r) + aw = p I :p
k(1+r) + a(w/p) = 1
und diese liefert eine Beziehung zwischen Lohnhöhe und Profitrate. Man kann dabei entweder
die Reallöhne als Funktion der Profite ausdrücken:
(w/p) = (1/a) · (1 – k(1+r))
oder die Profitrate als Funktion des Reallohnsatzes:
(1+r) = (1/k) · (1 – a(w/p))
wird ein einziges Produkt hergestellt, verläuft die fpf linear (dafür, daß sie fallend verläuft, sorgt
das Minuszeichen im rechten Term) und ihre beiden Schnittpunkte mit der Achse sind beschrieben
mit:
das maximale (1+r) wird erreicht, wenn die Arbeiter nix bekommen
für (w/P) = 0 ergibt sich (1+r) = (1/k)
und der maximale Reallohnsatz wird erreicht, wenn die Kapitalisten nix bekommen
(nein, auch nicht ihren Kapitaleinsatz zurück erhalten):
für (1+r) = 0 ergibt sich (w/P) = 1/a
Mit diesen Informationen läßt sich die Faktorpreisgrenze (fpf) einzeichnen (vgl. Abb. 5).

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Die Faktorpreisgrenze (fpf = factor price frontier) beschreibt also die möglichen
Preisverhältnisse der Faktoren wenn diese Technik eingesetzt wird - mit (1+r) als Entlohnung (Preis
des Faktors) von Kapital und w/p als Preis des Faktors Arbeit. Sie gibt für jeden Reallohnsatz an,
wie hoch die Profitrate bei diesem Lohnsatz maximal sein kann bzw. welchen Reallohnsatz eine
bestimmte Profitrate bei dieser Technik maximal erlaubt.
Sind unterschiedliche Techniken bekannt, so gibt es eben für jede bekannte Technik eine eigene
Faktorpreisgrenze. Und die Umhüllende dieser Faktorpreisgrenzen (in Rot eingezeichnet) gibt die
gesellschaftlich möglichen Kombinationen von Profitrate und Reallohnsatz an.
Technikwahl im Pp-System
Starten Sie bei einer sehr hohen Profitrate. Die ist zunächst überhaupt nur mit der grünen
Technik realisierbar. Wenn Sie die Profitrate jetzt gedanklich etwas absenken, wird auch die gelbe
Technik möglich. Aber sie ist zunächst unterlegen: Bei der gleichen Profitrate wäre entweder ein
höherer Reallohnsatz realisierbar oder es wäre beim gleichen Reallohnsatz eine höhere Profitrate
möglich, wenn die Gesellschaft weiterhin die grüne Technik einsetzt. Sinkt die Profitrate aber
weiter, wird die gelbe Technik überlegen – und wenn sie noch weiter sinkt, dann die blaue. (Sie
würden auf kein anderes Ergebnis kommen, wenn Sie statt der Profitrate den Reallohnsatz
variierten.) Es gibt also (außer an den Switchpunkten, an denen die fpfs der Techniken sich
schneiden und daher die Techniken wechseln (switch)) einen eindeutigen Zusammenhang zwischen
Profitrate und gewählter Technik:

S. 10 Produktionsfunktionen Karl Betz
Ist die Profitrate (oder ist der Reallohnsatz) bestimmt, dann sind zugleich die
Inputkoeffizienten (die k und a) bekannt. Jeder Profitrate ist genau eine Technik zugeordnet. 5
Das Modell läßt sich auf drei Arten schließen:
(a) Die klassische Ökonomie (Smith, Ricardo, Marx) hatte eine Theorie des Reallohnsatzes.. w/p
wurde vom Arbeitsangebot bestimmt. Dann bestimmte der Reallohnsatz (der Wert der Ware
Arbeitskraft 6 bei Marx) wie hoch die Profitrate war, die für die Kapitalisten übrig bliebe. Wie Sie
vielleicht bemerken ist die Profitrate hier eine funktionslose Restgröße, die die Arbeiter den
Kapitalisten „eigentlich“ auch wegnehmen können. (Expropriation der Expropriateure durch die
Expropriierten.)
(b) Die neoklassische Ökonomie (Walras, Marshall, heutige Lehrbücher („Mankiw“)) nimmt die
Arbeitsangebotsfunktion als fest vorgegeben an. Sie argumentiert dann quasi: Bei einer sehr hohen
Profitrate ist die Produktion sehr profitabel. Viele Unternehmen wollen ihre Produktion ausweiten
und suchen daher Arbeitskraft. Aber die fpf besagt, daß eine sehr hohe Profitrate zugleich sehr
niedrige Löhne bedeutet. Bei sehr niedrigen Löhnen wird aber nur sehr wenig Arbeitskraft
angeboten. Es herrscht also eine Überschußnachfrage am Arbeitsmarkt. Der Reallohnsatz wird
folglich hochgeboten und zugleich geht der Investitionsanreiz (die Profitrate) zurück und daher
sinkt die Arbeitsnachfrage. Es stellt sich die Kombination von Reallohnsatz und Profitrate ein, bei
der Vollbeschäftigung herrscht.
(c) Bei Keynes bestimmen die Vermögensmärkte (die „Liquiditätspräferenz“) das Zinsniveau –
und die Profitrate („der Kalkulationszinsfuß“) hängt von diesem Zinsniveau ab. Damit ist 1+r
bestimmt und a, k und w/p ergeben sich daraus. Warum können die Arbeiter nicht, in dem sie
niedrigere Reallohnsätze akzeptieren, weitere Investitionen anregen? Nun, dieser (neoklassische)
Einwand übersieht, daß am Arbeitsmarkt Nominallöhne (Geldlohnsätze) bestimmt werden. Die
Reallohnsätze sind erst bestimmt, wenn die Geldlohnsätze bestimmt werden, weil w das Preisniveau
bestimmt. Das war die erste Aussage des Produktionspreismodells
a ⋅ w
p =
1 − k ⋅(1+r)
Eine Halbierung der Geldlöhne (w) führt zu einer Halbierung aller Preise, so daß der
Reallohnsatz (w/P) unverändert bleibt. 7
5 Der Zusammenhang ist (außer in den switch-Punkten) eindeutig, aber nicht eineindeutig. Wenn mehr als ein Produkt
hergestellt wird, dann sind die fpfs nicht mehr linear. Sie können sich dann mehrfach schneiden. Und so kann es sein
daß bei einem sehr hohen Lohnsatz Technik A ebenso überlegen ist (und gewählt wird) wie bei einem sehr niedrigen
Lohnsatz, während bei Lohnsätzen dazwischen Technik B überlegen ist. Diese „Wiederkehr der Technik“
(„reswitching“) besagt, daß das oft benutzte Argument, daß hohe Löhne zu Rationalisierung führen (Hochlohnarbeitslosigkeit),
allgemein nicht stimmen kann.
6 Der Ausdruck bringt es schön auf den Punkt: Die Arbeitskraft war eine produzierte Ware wie jede andere auch. Sie
verlangte laufenden Unterhalt (Nahrung, Kleidung Wohnung) zu ihrer Reproduktion (die Arbeiter durften nicht
verhungern und sie mußten genügend Unterhaltsmittel haben, um auch noch ihren schließlichen Ersatz (Kinder)
großziehen zu können). Das Bevölkerungsgesetz von Malthus bestimmte die Höhe des Lohnes, bei dem die
Bevölkerung sich reproduzieren würde und es besagte, daß, wenn dieser Lohn überschritten würde, sie sich
vermehren würde. Damit war der Gleichgewichtslohn bestimmt, bei dem es (langfristig) immer genau so viele
Arbeiter geben würde, wie beim vorhandenen Kapitalstock gebraucht würden.
7 Was diesen Zusammenhang in der Praxis verdeckt, ist zweierlei: Erstens: ich kann real abwerten, in dem ich meine
Lohnstückkosten senke. Und zweitens: Im Konjunkturverlauf können, als Folge von schwankender Nachfrage, auch
die Preise schwanken. Wenn man also auf einen Zusammenhang von Löhnen und Preisniveau testen will, müßte
man zumindest noch die Outputlücke und den effektiven realen Wechselkurs (sowie die indirekten Steuern) in die
Regression aufnehmen.

K+W Produktionsfunktionen S. 11
Wichtig ist in diesem Zusammenhang, daß man nur im neoklassischen Modell zur Bestimmung
der Preise, der Profitrate und des Reallohnsatzes an Vollbeschäftigung gebunden ist. 8 Denn, wie
oben gesagt: Das neoklassische Modell schließt das Produktionspreismodell
p = (I – K · (1+r)) -1 · a · w
durch die Bedingung, daß ein Arbeitsmarktgleichgewicht vorliegt:
A AT = A AT (w/p) und
A NE = A NE (w/p) (weil 1+r über die fpf durch w/p ausgedrückt werden kann)
mit A* = A AT ((w/p)*) = A NE ((w/p)*) als Gleichgewichtsbedingung.
Damit erhält man in der neoklassischen Schließung neben der Preislösung (r, w, p) auch zugleich
die Mengenlösung (A*) - aber dieses Gleichgewicht ist eben an A NE = A AT gebunden, verlangt also
Vollbeschäftigung.
Weltsicht und Modell
Das schlagende Beispiel dafür, daß unterschiedliche Betrachtungsweisen unterschiedliche
Schlußfolgerungen nahelegen, ist die Existenz von Arbeitslosigkeit in einem Modell mit
limitationaler PF und einem mit substitutionaler PF.
Einigen wir uns für einen Moment mal darauf, daß Keynes recht hat und das Einkommen (also:
der produzierte Output) durch die Nachfrage vorgegeben ist. Y ist also bestimmt. Und diskutieren
wir diese Vorgabe in einer limitationalen und einer substitutionalen PF.
Limitationale PF:
Y = min ( 1 k · K; 1 a · A)
dann kommt man sofort auf das Ergebnis:
Die Kapitalausstattung wird (im Gleichgewicht) K* = k · Y
die Beschäftigung wird A* = a · Y und die (selbstverständlich: unfreiwillige)
Arbeitslosigkeit wird U = A AT (w/p) – A*
sein.
Eine limitationale PF legt also nahe, Arbeitslosigkeit über eine zu niedrige Nachfrage zu
erklären. Die Arbeitslosigkeit bestimmt sich am Gütermarkt, nicht am Arbeitsmarkt.
Denkt man im Kontext einer substitutionalen Produktionsfunktion:
Y = f(K, A) mit d Y
dK > 0 und d Y
dA > 0
dann kommt man sofort auf die Idee: Hmmm ... ich kann den gleichen Output ja mit viel Kapital
und wenig Arbeit erzeugen oder mit viel Arbeit und wenig Kapital. Mein vorgegebenes Y sagt also
erstmal nix über die Höhe der Faktoreinsätze aus. Wenn weniger Arbeit eingesetzt wird, als es Leute
gibt, die gerne arbeiten wollen, dann könnten die doch einfach, in dem Arbeit billiger angeboten
wird (die Löhne sinken) die Unternehmen dazu bringen, mehr Arbeit (und weniger Kapital)
einzusetzen, um den nachgefragten Output herzustellen. Oder mit dem gegebenen Kapitalbestand
mehr herzustellen. Dieses Modell legt also den Verdacht nahe, daß Arbeitslosigkeit immer an zu
hohen Löhnen liegt. Daß also die Ursache der Arbeitslosigkeit am Arbeitsmarkt zu suchen ist. Und
8 Das klassische Modell führt allerdings auch auf Vollbeschäftigung, weil sich dort die Menge an Ware Arbeitskraft an
die Nachfrage aus der Produktion anpaßt. Unrealistisch sagen Sie? Und wie nennen Sie dann die aktuelle Situation,
in der die Zuwanderung aus Südeuropa den "Arbeitskräftemangel" in der BRD lindert?

S. 12 Produktionsfunktionen Karl Betz
die Theorie der Arbeitslosigkeit muß dann erklären, warum die Löhne zu hoch sind. Und daß ein
Druck auf die Löhne bei Arbeitslosigkeit das BIP erhöht. 9
Tatsächlich muß man beide Ergebnisse mit beiden Arten von Produktionsfunktionen herleiten
können, denn beide sind ja formal ineinander überführbar, das wurde oben gezeigt.
In einem Produktionspreismodell kann eine Veränderung des Reallohnsatzes eine Veränderung
der Technik und daher der Faktoreinsatzverhältnisse bewirken. Allerdings wird die Sache hier
verkompliziert, weil der Zusammenhang nicht eindeutig ist: Die Inputs werden ja selbst produziert.
Werden Kaninchen (werden Kapitalgüter) (direkt oder indirekt) mit viel Arbeit hergestellt, dann
werden, wenn Arbeit billiger wird, ja zugleich die Kapitalgüter (die Kaninchen) billiger. Es ist daher
formal erst mal offen, ob niedrigere (Real)Löhne zu arbeits- oder kapitalintensiverer Produktion
führen.
Und in einer substitutionalen Produktionsfunktion wird unterschlagen, daß die Änderung eines
Faktorpreises (z.B. des Reallohnsatzes) immer zugleich auch die Preise aller anderen (produzierten)
Faktoren verändert. Daher ist es apriori nicht eindeutig, in welche Richtung die Veränderung der
relativen Preise geht, wenn der (Real-)lohnsatz gesenkt wird. 10
Im „Prinzip“ hängt die Antwort auf Frage, ob der Marktprozeß immer für Vollbeschäftigung
sorgt, daher nicht am gewählten Typ Produktionsfunktion. Sie hängt vielmehr an der Frage, ob ich
der Produktionsfunktion einen Faktorpreis vorgebe (Theorie des Subsistenzlohns in der Klassik,
Vorgabe der Profitrate durch die Finanzmärkte bei Keynes) oder nicht (Neoklassik: Es stellen sich
die Faktorpreise ein, bei denen Vollbeschäftigung herrscht). Denn bei vorgegebenen Preisen ist auch
in einer substitutionalen Produktionsfunktion nur ein einziges Faktoreinsatzverhältnis ökonomisch
effizient, auch hier sind also die Inputkoeffizienten gegeben.
Aber in einem Produktionspreismodell „sieht“ man diesen Zusammenhang, bei einer
substitutionalen Produktionsfunktion ist er recht tief in der Mathematik versteckt.
Als Folge ist es, wie Sie in den Sitzungen zum Solow Wachstumsmodell sehen werden, bei einer
C-D-PF naheliegend, die Ökonomie bei gegebener (Voll)beschäftigung durch Veränderung der
Technik wachsen zu lassen: Bei gegebener Beschäftigung steigt der Kapitaleinsatz und dadurch
steigt der Output (und sinkt die Profitrate).
Ein Produktionspreismodell legt dagegen eine andere Logik nahe: Bei gegebener Profitrate habe
ich gegebene Inputkoeffizienten. Wachstum bedeutet hier: Eine wachsende Nachfrage führt zu
einem steigenden Output und dieser erfordert (bei, auf Grund der gegebenen Profitrate und der
gegebenen Technikmenge, gegebenen Inputkoeffizienten) einen höheren Faktoreinsatz. Bei
gegebener Profitrate bedeutet Wachstum hier also Akkumulation: Der Kapital- und der
Arbeitseinsatz steigen im Gleichschritt und die Nachfrage begrenzt den möglichen
Produktionsanstieg.
9 Jetzt könnte es bei Ihnen klingeln: Ja, so hat (angeblich) Schröders Agenda 21 gewirkt. (Hat sie nicht, weil das dann
auch ohne Leistungsbilanzüberschüsse hätte gehen müssen. Aber das ist ein anderes Thema …)
10 In der makroökonomischen Variante kommt hinzu, daß „Kapital“ ja ein Aggregat ist. Es wird gebildet, in dem man
die Inputmengen mit ihren jeweiligen Preisen bewertet. Ändert sich der Lohn, so ändern sich aber alle relativen
Preise und daher bekommen gleiche Menge an Kapitalgütern einen anderen Wert. Ein steigender Reallohnsatz kann
deswegen unter Umständen dazu führen, daß Kapital relativ teurer wird. Das ist eine lustige Variante des
Indexproblems.

K+W Produktionsfunktionen S. 13
Anhang: Vorgegebene Profitrate in einer C-D-PF
Die allgemeine Form einer Cobb-Douglas PF mit zwei Faktoren ist:
Y = TF·A α·K β
Wie Sie wissen, werden die Faktoren (im Gleichgewicht) mit ihrem Wertgrenzprodukt entlohnt,
also:
β-1
(1+r) = β · TF·Aα·K als (Brutto-)Entlohnung des Kapitals (Profitrate plus Abschreibung).
Ferner gilt bei konstanten Skalenerträgen (also einer linearen Produktionsfunktion), daß die
Summe der Exponenten gleich 1 sein muß (α + β = 1). 11 Damit ist
(1+r) = (1-α) · TF·A α·K-α = (1-α) · TF·(A/K) α
Und damit ist das Verhältnis der Inputs wie auch im Produktionspreismodell eindeutig bestimmt
mit:
A/K = α
√
1 + r
(1 −α)⋅TF
11 Andernfalls wären die Faktorpreise nicht erklärt, weil bei steigenden Skalenerträgen die Summe aus Löhnen und
Gewinnen größer und bei fallenden kleiner als der gesamte Output wäre.