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6NULSWPLWVFKULIW
9RUOHVXQJÃLPÃ:LQWHUVHPHVWHUÃ
'R]HQWÃ3URIÃ'UÃ5RVHQEHUJHU
6NULSWPLWVFKULIWÃYRQÃ7KRPDVÃ)HKHU
hEHUDUEHLWHWÃYRQÃ:ROIJDQJÃ(LGHQ

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
,QKDOWVYHU]HLFKQLV
1 Integration von Funktionen einer reellen Veränderlichen 2
1.1 Treppenfunktionen, Regelfunktionen und ihre Integration
über kompakte Intervalle 2
1.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 11
1.3 Integrationsmethoden 19
1.4 Uneigentliche Integrale 28
1.5 Riemannsche Summen, Riemannsche Integrale 34
2 Kurven und Kurvenintegrale 43
2.1 Kurven im R n 43
2.2 Kurvenintegrale für Vektorfelder 50
2.3 Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen, Gradientenfelder und Potentiale 54
3 Lebesgue-Integral im R n 61
3.1 Treppenfunktionen, L 1 -Halbnorm, Definition des Lebesgue-Integrals 61
3.2 Uneigentliche Integrale und Lebesgue-Integral, die „kleinen“ Sätze von
Beppo Levi und Fubini 74
3.3 Meßbarkeit von Teilmengen des R n , Mengen vom Lebesgue-Maß 0 81
4 Vollständigkeit des Lebesgue-Integrals, Sätze von B. Levi, Lebesgue,
Fubini und Tonelli 92
4.1 Der Vollständigkeitssatz von Riesz-Fischer 92
4.2 Der Satz von B. Levi 95
4.3 Der Satz von Lebesgue 100
4.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli 103
4.5 Der Transformationssatz 108
5 Integralsätze im R 3 116
5.1 Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene 116
5.2 Flächen und Oberflächenintegrale im Raum 120
5.3 Der Stokessche Integralsatz im R 3 125
5.4 Der Gaußsche Integralsatz im R 3 128

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
,QWHJUDWLRQYRQ)XQNWLRQHQHLQHU5HHOOHQ9HUlQGHUOLFKHQ
%HLÃ YLHOHQÃ 3UREOHPHQÃ LQÃ GHUÃ 3K\VLNÃ XQGÃ 7HFKQLNÃ WULWWÃ GLHÃ )UDJHÃ DXIÃ REÃ PDQÃ $XVVDJHQÃ EHUÃ GDV
bQGHUXQJVYHUKDOWHQÃHLQHUÃ)XQNWLRQÃLQÃHLQHPÃ,QWHUYDOOÃ,ÃPDFKHQÃNDQQÃZHQQÃPDQÃLKUHÃbQGHUXQJVUDWHÃDOVRÃLKUH
$EOHLWXQJÃ LQÃ MHGHPÃ 3XQNWÃ YRQÃ ,Ã NHQQWÃ MDÃ REÃ PDQÃ GLHÃ )XQNWLRQÃ QLFKWÃ VRJDUÃ DXVÃ LKUHUÃ bQGHUXQJVUDWH
ZLHGHUJHZLQQHQÃ UHNRQVWUXLHUHQÃ NDQQÃ 0DQÃ VWHKWÃ GDQQÃ YRUÃ GHPÃ IROJHQGHQÃ 3UREOHPÃ $XIÃ ,Ã LVWÃ HLQHÃ )XQNWLRQ
JHJHEHQà YRQà GHUà PDQà ZHL‰Ã GD‰Ã VLHà GLHà $EOHLWXQJà HLQHUà ]XQlFKVWà QRFKà XQEHNDQQWHQà )XQNWLRQà LVWà GK
JHJHEHQÃLVWÃIÃDXIÃ,ÃJHVXFKWÃLVWÃ)ÃPLWÃ)© IÃ'LHVHVÃ3UREOHPÃOlXIWÃLPÃZHVHQWOLFKHQÃDXIÃGLHÃ)UDJHÃKLQDXVÃZLHÃPDQ
]XÃHLQHUÃJHJHEHQHQÃ)XQNWLRQÃIÃDXIÃ,ÃHLQHÃ6WDPPIXQNWLRQÃ)ÃEHVWLPPHQÃNDQQ
%HLÃYLHOHQÃ8QWHUVXFKXQJHQÃGUlQJWÃVLFKÃHLQHÃZHLWHUHÃ)UDJHÃDXIÃQlPOLFKÃGLHÃREÃHLQHÃYRUJHOHJWHÃ)XQNWLRQÃIÃYRQ
GHUà PDQà QLFKWà Dà SULRULà ZHL‰Ã REà VLHà HLQHà $EOHLWXQJVIXQNWLRQà LVWà GRFKà DOVà VROFKHà DXIJHID‰Wà ZHUGHQà NDQQà GLH
)UDJHÃDOVRÃREÃIÃ EHUKDXSWÃHLQHÃ6WDPPIXQNWLRQÃEHVLW]W
,QÃGLHVHPÃ.DSLWHOÃVROOHQÃGLHVHÃEHLGHQÃ3UREOHPHÃDXVI KUOLFKÃHU|UWHUWÃZHUGHQÃ'DEHLÃZHUGHQÃQXUÃ6WDPPIXQNWLRQHQ
YRQÃ5HJHOIXQNWLRQHQÃHLQJHI KUWÃZREHLÃGLHÃ.ODVVHÃGHUÃ5HJHOIXQNWLRQHQÃ]ZLVFKHQÃGHUÃ.ODVVHÃGHUÃVWHWLJHQÃXQGÃGHU
GHUÃ5LHPDQQLQWHJULHUEDUHQÃ)XQNWLRQHQÃOLHJWÃ'LHÃ6WDPPIXQNWLRQÃZLUGÃ]XQlFKVWÃI UÃJHZLVVHÃHLQIDFKHÃ)XQNWLRQHQ
GLHà VRJHQDQQWHQà 7UHSSHQIXQNWLRQHQà GLUHNWà HUNOlUWà XQGà GDQQà EHUà HLQHQà $SSUR[LPDWLRQVSUR]H‰Ã DXIà DOOJHPHLQH
)XQNWLRQHQÃDXVJHGHKQW
)DOOVÃQLFKWÃDXVGU FNOLFKÃHWZDVÃDQGHUHVÃHUZlKQWÃZLUGÃVROOHQÃDOOHÃDXIWUHWHQGHQÃ=DKOHQÃXQGÃ)XQNWLRQHQÃUHHOOÃVHLQ
REZRKOÃGLHÃPHLVWHQÃ$XVVDJHQÃDXFKÃI UÃNRPSOH[ZHUWLJHÃ)XQNWLRQHQÃHLQHUÃUHHOOHQÃ9DULDEOHQÃJ OWLJÃVLQG
§ 1 Treppenfunktionen, Regelfunktionen und ihre Integration über
kompakte Intervalle
,QÃ GLHVHPÃ $EVFKQLWWÃ ZLUGÃ GDVÃ ,QWHJUDOÃ I UÃ GLHÃ .ODVVHÃ GHUÃ 5HJHOIXQNWLRQHQÃ HLQJHI KUWÃ LQGHPÃ HVÃ ]XQlFKVWÃ I U
JHZLVVHÃ HLQIDFKHÃ )XQNWLRQHQÃ GLHÃ VRJHQDQQWHQÃ 7UHSSHQIXQNWLRQHQÃ GLUHNWÃ HUNOlUWÃ XQGÃ GDQQÃ EHUÃ HLQHQ
$SSUR[LPDWLRQVSUR]H‰ÃDXIÃDOOJHPHLQHÃ)XQNWLRQHQÃDXVJHGHKQWÃZLUG
(1.1) Definition: Sei I ein Intervall mit den Endpunkten a und b, a

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
ad 1): Setze M:=max{xc j x,xT(x j )x,xT(x 0 )x: j c {1, ..., m}}
ad 2): Sei Z 0 ={y 0 , y 1 , ..., y n } eine weitere Zerlegung von [a,b], dann ist Z 0 4 Z eine
Verfeinerung von Z 0 und Z.
Sei k c {1, ..., m}, dann habe (x k-1 ,x k ) weitere Teilungspunkte t i , t i+1 , ..., t r+i ,
d.h. x k-1

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
6LQGÃIÃXQGÃJÃ5HJHOIXQNWLRQHQÃDXIÃGHPÃ,QWHUYDOOÃIÃVRÃZHUGHQÃGXUFKÃVLHÃHLQHÃJDQ]HÃ5HLKHÃQHXHUÃ5HJHOIXQNWLRQHQ
DXIÃIÃHU]HXJWÃ'HUÃIROJHQGHÃ6DW]ÃID‰WÃHLQLJHÃGDYRQÃ]XVDPPHQÃXQGÃNDQQÃDOVÃhEXQJVDXIJDEHÃEHZLHVHQÃZHUGHQ
(1.6) Satz: Sei I`R ein Intervall mit den Randpunkten a und b, aa, wobei a linker Randpunkt von I ist, dann
gilt: f(x 0 )mf(x) für x c (a,x 0 ), d.h. s:= sup{f(x): x c (a,x 0 )} existiert.
Sei e>0, wir wählen n c (a,x 0 ) mit s-e < f(n), dann gilt: s-e < f(x) [ s für alle x c (n,x 0 ).
Also gilt s= lim f(x) .
−
x→x0
Ähnlich zeigt man für x 0 0 existiert eine Treppenfunktion T: [a,b]tR mit yf-Ty ¢ < e
4) es gibt eine Folge (T j ) j c N von Treppenfunktionen T j auf [a,b] mit lim f − T = 0
j→∞
∞

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
%HPHUNXQJÃ'LHÃ(LJHQVFKDIWÃyI¥7y ¢Ã
[ÃeÃEHGHXWHWÃJHRPHWULVFKÃGD‰ÃGHUÃ*UDSKÃYRQÃ7ÃLQÃGHPóe6WUHLIHQ§ÃYRQÃI
YHUOlXIWÃGLHÃ7UHSSHQIXQNWLRQÃ7ÃDOVRÃLQÃLKUHPÃJDQ]HQÃ9HUODXIÃDXIÃ,ÃGLFKWÃJHQXJÃEHLÃIÃEOHLEW
Beweis:
1) u 2):
Angenommen, 2) gilt nicht: es gibt e 0 >0, so daß für jede Treppenfunktion T: [a,b]tR ein
x T c [a,b] mit xf(x T )-T(x T )x>e 0 existiert.
⎡ a + b⎤
⎡ a + b ⎤
Durch Halbierung des Intervalles erhalten wir ⎢a, ⎣
⎥ ,
⎦
⎢ , b
2 ⎣ 2 ⎥ .
⎦
Auf einem dieser Teilintervalle gilt 2) ebenfalls nicht, dieses Teilintervall sei [a 1 ,b 1 ]. Durch
Halbierung von [a 1 ,b 1 ] erhalten wir [a 2 ,b 2 ], auf dem 2) wieder nicht gilt.
Wir konstruieren also eine Folge ([a n ,b n ]) n c N von Intervallen mit lim(b
− a ) 0 und
n→∞
n n
=
[a n+1 ,b n+1 ] ` [a n ,b n ] für n c N und der Eigenschaft
(*) zu jedem n c N und zu jeder Treppenfunktion T n : [a n ,b n ]tR existiert ein Punkt
x T,n c [a n ,b n ] mit xf(x T,n )-T n (x T,n )x> e 0 .
Die Intervallschachtelung definiert einen Punkt x 0 c (a,b). Da f Regelfunktion ist, existieren
c r := lim f(x) und c l := lim f(x) . Zu e 0 existiert ein ¼>0 mit
+
x→x0
−
x→x0
xf(x)-c r x< e für x c (x 0 ,x 0 +¼] und xf(x)-c l x< e 0 für x c [x 0 -¼,x 0 ).
Wähle N c N so groß, daß [a N ,b N ] ` [x 0 -¼,x 0 +¼]. Auf [a N ,b N ] betrachte Treppenfunktion S:
⎧c
l
x ∈[a
N
, x
0
)
⎪
S(x):= ⎨ f(x
0
) x = x
0
, dann gilt:
⎪
⎩c
r
x ∈ (x
0
, b
N
]
xf(x)-S(x)x< e 0 für alle x c [a N ,b N ] ist im Widerspruch zu (*).
2) u 3)
Aus xf(x)-T(x)x< e für alle x c [a,b] folgt yf-Ty ¢ = sup xf(x)-T(x)x[ e
3) u 4)
x ∈[a,b]
Zu j c N existiert eine Treppenfunktion T j auf [a,b] mit yf-Ty ¢ [
j
1 , so daß
4) u 1)
Wir beweisen nur
lim f(x) für x 0 c [a,b) beliebig.
+
x→x0
lim yf-Ty ¢ = 0.
j→∞
Sei e>0, dann existiert eine Treppenfunktion T: [a,b]tR mit yf-Ty ¢ < 2
ε . Sei (x0 ,t) ein
Intervall, auf dem T konstant ist. Dann gilt für alle x,y c (x 0 ,t):
xf(x)-f(y)x[xf(x)-T(x)x+xT(x)-f(y)x< e. Nach dem Cauchy-Kriterium existiert der
rechtsseitige Grenzwert.
q.e.d.
(1.11) Korollar: Sei I`R ein Intervall: f: ItR ist genau dann eine Regelfunktion auf I, wenn
zu jedem Intervall [a,b]`I eine Folge von Treppenfunktionen T n : [a,b]tR mit
lim f
n→∞
[a, b]
−
T n
gleichmäßig gegen f)
∞
= lim sup f(x) − T (x) = 0
n→∞
x∈[
a,
b]
n
(d.h. T n konvergiert auf [a,b]

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
$XFKÃIROJHQGHÃ&KDUDNWHULVLHUXQJÃYRQÃ5HJHOIXQNWLRQHQÃHUZHLVWÃVLFKÃDOVÃQ W]OLFK
(1.12) Korollar: Eine Funktion f: [a,b]tR ist genau dann eine Regelfunktion auf [a,b], wenn
eine Folge (T n ) n c N von Treppenfunktionen auf [a,b] existiert, so daß
1) yT n y ¢ < ¢ für n c N
2) ∑ ∞
j =
1
T j
∞
< ∞
3) f(x)=∑ ∞ T (x) j
j =1
für jedes x c [a,b]
Beweis:
1
„u“: Sei f eine Regelfunktion, zu j c N existiert Treppenfunktion S j mit yf-S j y ¢ <
2
j
.
Wir setzen S 0 := 0, T j := S j -S j-1 , j c N. Dann gilt: yT j y ¢ = yS j -S j-1 y ¢ [ yS j y ¢ +yS j-1 y ¢ < ¢
n
xf(x)-∑ T (x) x=xf(x)- n
1
j ∑S j
(x) − S
j−1
(x) x=xf(x)-S n (x)x[yf-S n y ¢ <
2
n
.
j = 1
j=
1
nt¢ liefert f(x)=∑ ∞ T (x) j
.
j =1
1
Da yT j y=yS j -S j-1 y[yS j -fy+yf-S j-1 y<
j
2
∞
∞
1
∑ Tj
≤ 3 ⋅∑
< ∞ .
j
2
j=
1 j=
1
+ 1 3
j 1 j
2
= , gilt
−
2
„s“: f habe die angegebene Darstellung, wir betrachten die Folge (S n ) n der Partialsummen
n
S n =∑
j = 1
T
j
von f(x)=∑ ∞
j =1
T (x) j
.
Sei e>0, dann existiert wegen 2) ein N e
c N mit ∑
u yS n -S m y ¢ =
=∑ n j
j m+
1
∞
n
T [ ∑ T
= +
j m 1
j
< e
∞
n
j = m+
1
T ε für alle m,n m N e
(n>m)
u (yS n y ¢ ) n c N ist Cauchyfolge bzgl. y.y ¢ , insbesondere ist (S n (x)) n eine Cauchyfolge in R für
jedes x, also konvergent in R
u xS m (x)-S n (x)x< e u xf(x)-S n (x)x[ e für mt ¢ und alle x c [a,b]
u yf-S n y ¢ t 0 , nt ¢.
q.e.d.
j
∞ <
(1.13) Korollar: Sei I ein Intervall mit den Randpunkten a und b. Dann gilt für jede
Regelfunktion f: ItR:
1) f ist beschränkt auf I, wenn I=[a,b]
2) f ist stetig auf I \ I 0 , wobei I 0`I eine höchstens abzählbare Teilmenge ist

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
ad 2)
⎡ 1 1 ⎤
⎡ 1 ⎤
Da (a,b) = U ⎢a
+ , b −
∈N
n n
⎥ (-¢,b) = U ⎢−
n, b − ⎥
n ⎣ ⎦
n∈N ⎣ n ⎦
⎡ 1 ⎤
(a,¢) = U ⎢a + , n ⎥ R = U[ − n, n]
,
n∈N ⎣ n ⎦
n∈N
genügt es, die Behauptung für [a,b] zu zeigen. Da f Regelfunktion ist, gibt es eine Folge (T j ) j
von Treppenfunktionen auf [a,b] mit f(x)=∑ ∞ T (x) j
, x c [a,b].
j =1
f ist in x 0 c [a,b] höchstens dann unstetig, wenn mindestens eine der Treppenfunktionen T j in
x 0 unstetig ist.
Da jede Treppenfunktion nur endlich viele Unstetigkeitsstellen hat, folgt die Behauptung.
q.e.d.
) UÃ GLHÃ 'HILQLWLRQÃ GHVÃ ,QWHJUDOVÃ YRQÃ 5HJHOIXQNWLRQHQÃ EHUÃ NRPSDNWHÃ ,QWHUYDOOHÃ LVWÃ GDVÃ IROJHQGHÃ (UJHEQLVÃ YRQ
HQWVFKHLGHQGHUÃ%HGHXWXQJ
(1.14) Satz: Sei f eine Regelfunktion auf [a,b]. Seien (T j ) j und (S k ) k Folgen von Treppenfunktionen
auf [a,b] mit lim f − Sk = 0 und lim f − Tj = 0 . Dann existieren die
Beweis:
Da
b
∫
a
≤ (b − a) ⋅
Grenzwerte
j
b
→∞
∫
a
T (x) dx −
j
b
∫
j→∞
a
k →∞
∞
j→∞
lim T j
(x) dx und lim ∫ S k
(x) dx , und es gilt:
lim T j
(x) dx = lim ∫ S k
(x) dx .
T
j
b
∫
a
T (x) dx =
l
− T
b
bilden die Zahlen I n :=∫
a
l
∞
b
k →∞
a
b
k →∞
a
b
b
∫ ( Tj(x)
− Tl
(x)) dx ≤ ∫ ( Tj
(x) − T
l
(x))
a
≤ (b − a) ⋅ ( Tj
− f + f − Tl
),
∞
a
∞
∞
dx ≤
b
∫
a
T
j
− T
T n
(x) dx eine Cauchyfolge in R, die in R gegen einen Grenzwert
b
konvergiert. Ebenso konvergiert J m :=∫ S m
(x) dx gegen einen Grenzwert in R.
a
Wir mischen die Folgen (S j ) j , (T k ) k (Reißverschlußprinzip), etwa S 1 ,T 1 ,S 2 ,T 2 ,S 3 ,T 3 ,...; die
neue Folge von Treppenfunktionen sei (R p ) p c N genannt. Es ist lim f − R
p
= 0. Der Grenzwert
b
∫
lim R
p
(x) dx existiert ebenfalls, etwa gegen I. Deshalb konvergieren die Teilfolgen I n
p→∞
a
und J m ebenfalls gegen I.
p→∞
l
∞
dx
q.e.d.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
'LHVHVÃ(UJHEQLVÃUHFKWIHUWLJWÃHUVWÃGLHÃIROJHQGHÃ'HILQLWLRQ
(1.15) Definition: Sei I ein Intervall, f: ItR eine Regelfunktion. Seien a,b c I mit a

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
5) Ist (f n ) n c N eine gleichmäßig konvergente Folge von Regelfunktionen auf [a,b],
dann ist die Grenzfunktion f: [a,b]tR mit f(x):= lim f n
(x) eine Regelfunktion
b
auf [a,b]. Es gilt: ∫ f(x) dx = ∫lim f (x) dx = lim ∫
a
b
n→∞
a
n→∞
b
n
f
n
(x) dx .
n→∞
a
6DW]ÃÃOLHIHUWÃRKQHÃJUR‰HÃ6FKZLHULJNHLWHQÃGHQÃ0LWWHOZHUWVDW]ÃGHUÃLQÃHLQHPÃ6SH]LDOIDOOÃJHRPHWULVFKÃZLHÃIROJW
JHGHXWHWÃ ZHUGHQÃ NDQQÃ 'HUÃ )OlFKHQLQKDOWÃ XQWHUÃ GHPÃ *UDSKHQÃ HLQHUÃ SRVLWLYHQÃ )XQNWLRQÃ IÃ LVWÃ JOHLFKÃ GHP
)OlFKHQLQKDOWÃ HLQHVÃ 5HFKWHFNVÃ EHUÃ >DE@Ã PLWÃ HLQHPÃ JHHLJQHWHQÃ PLWWOHUHQÃ )XQNWLRQVZHUWÃ YRQÃ IÃ DOVÃ +|KHÃ 'LH
6FKZLHULJNHLWÃGDEHLÃZLUGÃDQJHGHXWHWÃGXUFKÃGDVÃ:RUWóJHHLJQHW§ÃGDÃPDQÃQLFKWÃJHQDXÃZHL‰ÃDQÃZHOFKHUÃ6WHOOHÃLP
,QWHUYDOOÃ>DE@ÃGHUÃ)XQNWLRQVZHUWÃ]XÃEHUHFKQHQÃLVW
(1.17) Satz: (verallgemeinerter Mittelwertsatz der Integralrechnung):
Sei I`R ein Intervall. Sei f: ItR stetig. Sei p: ItR eine Regelfunktion mit p(x)m0 für
Beweis:
x c [a,b]`I. Dann gibt es ein n c [a,b], so daß
Insbesondere gibt es ein n c [a,b] mit f(x) dx = f ( ξ ) ⋅ (b - a) .
b
∫
a
b
∫
a
f(x) ⋅ p(x) dx = f ( ξ ) ⋅ p(x) dx .
Die Funktion p: [a,b]tR heißt oftmals auch Gewichtsfunktion.
f ist stetig auf [a,b]. Also existieren M:= max f(x) und m:=
x∈[ a,
b]
m$p(x)[f(x)$p(x)[M$p(x) für x c [a,b] und damit
Also gibt es l c [m,M] mit ⋅ ∫p(x)
= ∫f(x)
⋅
Zwischenwertsatz:
es gibt n c [a,b] mit l=f(n).
b
a
b
a
b
∫
min f(x) . Ebenso gilt
[ a,
b]
x∈
b
∫
m ⋅ p(x) dx ≤ f(x) ⋅ p(x) dx ≤ M ⋅ p(x) dx .
a
µ dx p(x) dx . Da f auf [a,b] stetig, gilt nach dem
a
b
∫
a
b
∫
a
q.e.d.
Beispiel:
b
∫
a
x
m
b
dx =
m
+ 1
− a
m + 1
m+
1
Beweis:
f: [a,b]tR mit f(x)=x m ist stetig, damit eine Regelfunktion auf [a,b], a

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Es gilt: yf-T n y ¢ = sup x
x∈[
a,
b]
= sup
j ∈{1,...,
n}
m
− T (x) = sup
n
[ x
⎛ b − a ⎞
⎜a
+ ⋅ j⎟
⎝ n ⎠
, x )
j −1
j
j∈{1,...,
n}
m
x
m
− T (x) ≤ sup
n
j ∈{1,...,
n}
⎛ b − a ⎞
− ⎜a
+ ⋅ (j −1)
⎟
⎝ n ⎠
m
x
m
j
− x
m
j−1
Speziell für a=0, b>0:
u
b
∫
m+
1
n−1
⎛ b ⎞ m
⎛ b ⎞ m
m
dx = ∑ ⎜ ⎟ ⋅ j und yf-T n y ¢ [ sup ⎜ ⎟ ⋅ ( j − (j − 1) )
⎠
Tn
(x)
0
j=
1 ⎝ n ⎠
j ∈{1,...,
n}
⎝ n
Setze g(x):= x m -(x-1) m u g‘(x) = m$x m-1 -m$(x-1) m-1 = m$(x m-1 -(x-1) m-1 ) m 0
u g(x) monoton steigend
m
m
⎛ b ⎞
⎛
⎞
m
m m
u yf-T n y ¢ [
⎜ ⎛ n − 1⎞
⎜ ⎟ ⋅ (n − (n − 1) ) = b ⋅ 1 − ⎟
⎜ ⎟
⎝ n ⎠
⎝ ⎝ n ⎠ ⎠
u lim f − Tn = 0
u
n→∞
b
∫
a
x
m
Nun gilt:
u
u
u
n
b
∫
0
b
∫
a
∞
dx = lim
1
b
∫
n→∞
0
T (x) dx = lim
n
1
n−1
∑
n→∞
j=
1
1
⎛ b
⎜
⎝ n
⎞
⎟
⎠
m+
1
⋅ j
m
⎛ b
= lim⎜
n→∞⎝
n
m
⎞
⎟
⎠
m+
1
n−1
n
m
m
+ ∑ j ≤ ≤
+ ∑ j für alle n c N
m 1
m 1
n j=
1 m + 1 n j=
1
n−1
n−1
n−1
1 m 1 1 m 1 m 1 m
j ≤ ≤ j + n = j +
m + 1 ∑
m+
1 ∑
m+
1
m+
1 ∑
j = 1 m + 1 n j=
1 n n j=
1
x
x
m
m
⎛ b ⎞
dx = lim⎜
⎟
n→∞⎝
n ⎠
dx =
b
∫
0
x
m
m+
1
dx −
a
∫
0
⋅
x
n−1
∑
j=
1
m
j
m
m+
1
b
=
m + 1
b
dx =
m
+ 1
− a
m + 1
m+
1
⋅
n−1
∑
j = 1
1
n
j
m
q.e.d.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
'HUÃ+DXSWVDW]ÃGHUÃ'LIIHUHQWLDOÃXQGÃ,QWHJUDOUHFKQXQJà EULQJWà GLHà WKHRUHWLVFKà VHKUà ZLFKWLJHà (UNHQQWQLVà GD‰Ã MHGH
5HJHOIXQNWLRQÃHLQHÃ6WDPPIXQNWLRQÃEHVLW]WÃ(UÃJLEWÃHLQHÃVROFKHÃ6WDPPIXQNWLRQÃDQÃLQÃ*HVWDOWÃHLQHVÃ,QWHJUDOVÃPLW
YDULDEOHUÃ REHUHUÃ *UHQ]HÃ EHLÃ EHOLHELJÃ IL[LHUWHUÃ XQWHUHUÃ *UHQ]HÃ 'HUÃ +DXSWVDW]Ã YHUPLWWHOWÃ GDU EHUÃ KLQDXVÃ EHL
.HQQWQLVÃ HLQHUÃ 6WDPPIXQNWLRQÃ GLHÃ ZLFKWLJHÃ ,QIRUPDWLRQÃ ZLHÃ GHUÃ :HUWÃ GHVÃ ,QWHJUDOVÃ PLWÃ +LOIHÃ HLQHU
6WDPPIXQNWLRQÃEHUHFKQHWÃZHUGHQÃNDQQ
:LUÃJHEHQÃHLQHÃVHKUÃDOOJHPHLQHÃ'HILQLWLRQÃHLQHUÃ6WDPPIXQNWLRQ
(1.18) Definition: Sei I`R ein Intervall. Eine Funktion F: ItR heißt eine Stammfunktion
von f: ItR auf I, wenn
1) F stetig auf I ist
2) F‘(x)=f(x) für alle x c I \ I 0 , wobei I 0 eine höchstens abzählbare Teilmenge ist
,QÃGHQÃPHLVWHQÃ/HKUE FKHUQÃZLUGÃI UÃHLQHÃ6WDPPIXQNWLRQÃ)ÃGLHÃ'LIIHUHQ]LHUEDUNHLWÃXQGÃ,GHQWLWlWÃ)© IÃDXIÃJDQ]Ã,
YHUODQJWÃ $EHUÃ EHUHLWVÃ HLQIDFKVWHÃ $QZHQGXQJHQÃ ]XPÃ %HLVSLHOÃ EHLÃ 'LIIHUHQWLDOJOHLFKXQJHQÃ PLWÃ XQVWHWLJHQ
6WHXHUXQJVIXQNWLRQHQÃZLHÃVLHÃLQÃ1DWXUZLVVHQVFKDIWÃXQGÃ7HFKQLNÃRIWÃDXIWUHWHQÃUHFKWIHUWLJHQÃGHQÃJHQDQQWHQÃHWZDV
DOOJHPHLQHUHQÃXQGÃIOH[LEOHUHQÃ%HJULIIÃ6WDPPIXQNWLRQÃLPÃ6LQQHÃGHUÃ'HILQLWLRQÃ
) UÃ6WDPPIXQNWLRQHQÃJHOWHQÃGLHÃIROJHQGHQÃ$XVVDJHQ
(1.19) Satz: Seien F: ItR und G: ItR Stammfunktionen von f: ItR bzw. g: ItR, I`R
ein Intervall, a,b c R. Dann ist
1) a$F+b$G eine Stammfunktion von a$f+b$g auf I
2) F+c eine Stammfunktion von f auf I für jede Konstante c
3) F-F 1 konstant, wenn F 1 eine Stammfunktion von f auf I ist
Beweis:
1) + 2) folgen unmittelbar aus der Definition
3) folgt aus (1.20)
(1.20) Lemma: Sei I`R ein Intervall, I 0`I eine höchstens abzählbare Teilmenge. Sei F stetig
auf I und differenzierbar auf I \ I 0 . Ferner gebe es eine Konstante L>0 mit xF‘(x)x[ L
für alle x c I \ I 0 . Dann gilt xF(x 1 )-F(x 2 )x[ L$xx 1 -x 2 x für alle x 1 ,x 2 c I.
(1.21) Korollar: Seien F,G stetige Funktionen auf I, die auf I \ I 0 differenzierbar sind, wobei
I 0 eine höchstens abzählbare Teilmenge des Intervalles I`R ist. Gilt F‘(x) = G‘(x) für
alle x c I \ I 0 , dann gilt F(x)=G(x)+c für alle x c I, c eine Konstante.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
,VWÃ)ÃHLQHÃ6WDPPIXQNWLRQÃYRQÃIÃVRÃQHQQWÃPDQÃGLHÃ*HVDPWKHLWÃGHUÃ)XQNWLRQHQÃ)FÃFÃcÃRÃGDVÃXQEHVWLPPWH
,QWHJUDOà YRQà Ià XQGà EHVFKUHLEWà GLHVà GXUFKà GDVà 6\PEROà ∫ f(x) dx à LPà 8QWHUVFKLHGà ]XPà EHVWLPPWHQà ,QWHJUDO
b
∫
a
f(x) dx
Beweis zu (1.20):
Seien x 1 ,x 2 c I mit x 1 0 definiere F e
(x):=xF(x)-F(x 1 )x-(L+e)$xx-x 1 x, x c I.
Zu zeigen: F e
(x 2 )[0 für jedes e>0.
Angenommen, es gibt ein e0 mit
höchstens abzählbar, also existiert ein » v F ε (I
0 0 ) mit
Zahl in [x 1 ,x 2 ] mit F ε (c)=», dann gilt »< F
0
ε 0
(x) für alle x c (c,x 2 ].
Ferner gilt für x c (c,x 2 ]
(*) w(x):= F ε (x) − F (c) F (x)
0 ε 0
ε − γ
=
0
> 0
x − c x − c
Andererseits gilt:
F ε (x
0 2 )>0. Da I 0 höchstens abzählbar ist, ist auch
F ε (x
0 1 )=0

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Also ist die Annahme falsch
F(x
2
) − F(x
1)
u lim F (x
2
) ≤ 0 u
ε →0
ε
x − x
2
1
[ L q.e.d.
Bemerkung:
f: ItR und g: ItR F‘(x)=f(x) x c I \ I 0 F=∫ f(x) dx
∫
f(x) dx =∫ g(x) dx u F=G
u F=G+c
:HOFKHÃ)XQNWLRQHQÃEHVLW]HQÃGHQQÃ EHUKDXSWÃ6WDPPIXQNWLRQHQ"Ã*HKWÃPDQÃGDEHLÃYRQÃ5HJHOIXQNWLRQHQÃDXVÃGD
I UÃGLHVHÃ)XQNWLRQHQÃ,QWHJUDOHÃHUNOlUWÃZHUGHQÃVRÃHUKDOWHQÃZLUÃGLHÃ$QWZRUWÃLQÃGHPÃIROJHQGHQÃ+DXSWVDW]
(1.22) Satz: (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung):
Sei I`R ein Intervall, sei a c I beliebig. Sei f: ItR eine Regelfunktion auf I.
x
Sei F: ItR definiert durch F(x):=∫ f(t) dt für x c I. Dann gilt:
a
1) F ist stetig in I
2) In jedem Punkt x 0 c I ist F linksseitig und rechtsseitig differenzierbar mit
F(x) − F(x
0
)
f + (x 0 ) = F + ‘(x 0 ) := lim
und
+
x→x0 x − x
0
F(x) − F(x
0
)
f - (x 0 ) = F - ‘(x 0 ) := lim−
x→x0 x − x
0
3) F ist eine Stammfunktion von f auf I
b
4) Für jede Stammfunktion G von f auf I und jedes a,b, c I gilt ∫ f(x) dx =G(b)-G(a)
a
Beweis:
ad 1)
Sei x c I; sei h c R, so daß x+h c I
F(x+h)-F(x) =
x+
h
∫
a
f(t) dt −
x
∫
a
f(t) dt =
x+
h
∫
x
f(t) dt
u xF(x+h)-F(x)x=
x+
h
∫
x
f(t) dt
≤
x+
h
∫
x
f(t) dt ≤
f
∞
⋅
x+
h
∫
x
dt
≤
h
⋅
f
∞
[xF(x)-F(y)x[ L$xx-yx
u lim F(x + h) − F(x) = 0
0
h →
Lipschitz-Stetigkeit]
u F stetig in I

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
ad 2)
gezeigt wird die rechtsseitige Differenzierbarkeit in x c I:
Sei e>0, wähle ¼>0 mit xf(y)-f + (x)x< e für alle y c (x,x+¼)
F(y) − F(x)
1
u − f (x) = ⋅ ( F(y) − F(x) − (y − x) f (x))
y − x
für alle y c (x,x+¼)
u F + ‘(x) = f + (x)
+
⋅
y − x
1
= ⋅
y − x
Ebenso zeigt man F - ‘(x) = f - (x)
y
y
∫ f(t) dt − ∫ f
+
(x) dt = ⋅ ∫ f(t) − f
+
x
y
x
+
1
y − x
≤ 1
⋅ − ≤ ⋅ ε ⋅ − = ε
−
∫ 1
f(t) f (x) dt
y
y x
+ y − x
x
x
Ist f in x stetig u F‘(x) = f(x)
y
x
(x) dt
ad 3)
f Regelfunktion u f stetig in I \ I 0 u F‘(x) = f(x) für x c I \ I 0 , I 0`I höchstens abzählbar
u F Stammfunktion auf I.
ad 4)
Die Behauptung ist trivial für F. Ist G eine Stammfunktion von f auf I, so existiert eine
Konstante c mit G=F+c (Satz (1.19)). Dann gilt
b
G(b)-G(a) = F(b)+c-F(a)-c = F(b)-F(a) = ∫ f(t) dt
q.e.d.
a
(1.23) Korollar: Sei I`R ein Intervall. Sei f: ItR eine Regelfunktion auf I. f besitzt genau
dann eine Stammfunktion F: ItR auf I mit F‘(x) = f(x) für alle x c I, wenn f auf I
stetig ist.
Beweis:
„u“:
Sei f eine Regelfunktion auf I mit F‘(x) = f(x)für alle x c I. Sei x c I, sei (x n ) n`I eine Folge
mit x n >x und lim x n = x. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert für n c N
F(x
n
) − F(x)
ein n n c (x,x n ) mit = F’( ξ
n
) = f ( ξ n
)
x
n
− x
u f(x) = F‘(x) = lim F‘(n n ) = lim f(n n ) = f + (x)
n→∞
n→∞
Ebenso für den linksseitigen Grenzwert
u f - (x) = f + (x) = f(x) u f stetig in x, wenn x innerer Punkt ist. Ist x Randpunkt von I,
so gelten die analogen Aussagen entsprechend.
„s“: klar q.e.d.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
'LHÃIROJHQGHQÃ%HLVSLHOHÃHUJHEHQÃVLFKÃXQPLWWHOEDUÃDXVÃGHQÃ'LIIHUHQWLDWLRQVUHJHOQ
Beispiele:
(Grundintegrale)
f = F‘
a
x a
(ag-1)
x -1 1
= (xg0) x
F=€f dx
a$x
x a + 1
+
a 1
lnxxx
e x
a x
(a>0 und ag1)
a
ln a
cos x
sin x
sin x
-cos x
1 -cot x
2
sin x
1 tan x
2
cos x
e x
Für die Hyperbelfunktionen gilt (man beachte die Ähnlichkeit mit den trigonometrischen Fkt.)
ix −ix
e + e
cos x = ∑ ∞ =
2
=
ix −ix
e − e
sin x = ∑ ∞ =
2i =
k
k
0
0
( −1)
( −1)
k
k
2k
x
⋅
(2k)!
2k+
1
x
⋅
(2k + 1)!
x −x
e + e
cosh x = ∑ ∞ =
2
=
x −x
e − e
sinh x = ∑ ∞ =
2 =
k
k
0
0
2k
x
(2k)!
2k+
1
x
(2k + 1)!
f = F‘
cosh x
sinh x
1
sinh
1
cosh
2
2
x
x
F=€f dx
sinh x
cosh x
-coth x
tanh x

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Umkehrfunktionen:
f (-1) (f(x)) = x
ableiten
⇒ f (-1) (f(x))f ‘(x) = 1
Fortsetzung: (Grundintegrale)
F
1
1 −
1
2
1 + x
1
1 + x
1
± x
1
1 − x
1
1 −
2
x
2
2 −
2
2
x
F
arcsin x = -arccos x
arctan x = -arccot x
arsinh x = ln (x + x
2 + 1)
xxx>1 arcosh x = ± ln(x + x
− 1)
1
xxx1
1 x + 1
arcoth x = ⋅ ln
2 x −1
'LHà QlFKVWHQà EHLGHQà )ROJHUXQJHQà DXVà GHPà +DXSWVDW]à ]HLJHQà GD‰Ã HLQà ,QWHJUDQGà LQà HLQHPà JHZLVVHQà 8PIDQJ
PRGLIL]LHUWÃZHUGHQÃNDQQÃRKQHÃGD‰ÃGHUÃ:HUWÃGHVÃ,QWHJUDOVÃVLFKÃGDEHLÃYHUlQGHUW
(1.24) Korollar: Sei I`R ein Intervall. Seien f: ItR und g: ItR Regelfunktionen mit
f(x)=g(x) für alle x c I \ I 0 , wobei I 0`I höchstens abzählbar ist. Dann gilt:
1) ∫ f(x) dx = ∫ g(x) dx
b
2) ∫ f(x) dx = ∫ g(x) dx
a
b
a
Insbesondere gilt für Regelfunktionen
a,b c I
∫
∫
f(x) dx = f f (x) dx
+
(x) dx =
∫
−
(1.25) Korollar: Sei I`R ein Intervall, I 0 c I höchstens abzählbar. Sei f: I\I 0 tR eine
Funktion. Sind f ∧ 1 : ItR und 2 : ItR Regelfunktionen auf I mit
f ∧ 1 (x) = f ∧
2
∧
1) ∫ f 1 dx = 2
∫ f dx
b
∧
2) ∫ f 1 dx = 2
∫ f dx
a
(x) = f(x) für x c I \ I 0 , dann gilt:
∧
b
∧
a
f ∧
a,b c I

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
0LWÃ+LOIHÃGLHVHVÃ(UJHEQLVVHVÃOl‰WÃVLFKÃGHUÃ,QWHJUDOEHJULIIÃDXIÃ)XQNWLRQHQÃHUZHLWHUQÃGLHÃPLWÃHLQHUÃ5HJHOIXQNWLRQÃELV
DXIÃHLQHÃK|FKVWHQVÃDE]lKOEDUHÃ0HQJHÃ EHUHLQVWLPPHQ
(1.26) Definition: Sei I`R ein Intervall, I 0 c I höchstens abzählbar. Sei f: I\I 0 tR eine
Funktion, zu der eine Regelfunktion f ∧ : ItR existiert mit f(x) = f ∧ (x) für x c I \ I 0 .
Dann heißt
∫
∫
∧
f(x) dx = f (x) dx eine Stammfunktion von f auf I.
5HJHOIXQNWLRQHQÃVLQGÃDOVRÃLPPHUÃ$EOHLWXQJVIXQNWLRQHQÃHLQHUÃIDVWÃ EHUDOOÃGLIIHUHQ]LHUEDUHQÃ)XQNWLRQÃ'RFKÃJLEWÃHV
DXFKÃ $EOHLWXQJHQÃ YRQÃ GLIIHUHQ]LHUEDUHQÃ )XQNWLRQHQÃ GLHÃ NHLQHÃ 5HJHOIXQNWLRQHQÃ VLQGÃ ZLHÃ GDVÃ IROJHQGHÃ %HLVSLHO
]HLJW
Beispiel:
Sei F: RtR definiert durch
⎧ 1
⎪x F(x):=
2 ⋅ sin für x ≠ 0
⎨ x
⎪⎩ 0
für x = 0
⎧ 1
⎪2
⋅ x ⋅ sin
u F‘(x)= ⎨ x
⎪⎩ 0
−
1
cos
x
für x ≠ 0
, da
für x = 0
2 1
x ⋅ sin − 0
F(x) − F(0)
1
0
x
[ lim
= lim
= lim x ⋅ sin ≤ lim x = 0
x→0
x
x→0
x
x→0
x x→0
x ≠0
x ≠0
x ≠0
x ≠0
f=F‘ ist keine Regelfunktion
Behauptung: f besitzt in x 0 =0 keinen rechtsseitigen Grenzwert:
1
x
k
= ⇒ x
k
→ 0 (k c N)
2kπ
k →∞
⎛ 1
⎞
lim F’(x
k
) = lim⎜2
⋅ sin(2kπ
) − cos(2kπ
) ⎟ = −1
k →∞
k →∞⎝
2kπ
⎠
y
j
1
=
(2j + 1) π
y
j
→ 0
j→∞
(j c N) , aber
⎛ 1
⎞
lim F’(y
j
) = lim
⎜2
⋅ sin
=
j→∞
j→∞
(2j 1)
⎟
⎝ + π
⎠
((2j
+ 1) π ) − cos( (2j + 1) π ) ⎟ 1

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
'LHVHVÃ%HLVSLHOÃ]HLJWÃDXFKÃGD‰ÃGLHÃ6WDPPIXQNWLRQÃ)Ã]XÃIÃPLWÃ
1
x
⎧
⎪2
⋅ x ⋅ sin
f(x) = ⎨
⎪⎩ 0
1
- cos
x
QLFKWÃ PLWÃ +LOIHÃ HLQHVÃ ,QWHJUDOVÃ I UÃ 5HJHOIXQNWLRQHQÃ HU]HXJWÃ ZHUGHQÃ NDQQÃ IÃ LVWÃ VRPLWÃ HLQHÃ )XQNWLRQÃ GLHÃ NHLQH
5HJHOIXQNWLRQÃLVWÃXQGÃGHQQRFKÃHLQHÃ6WDPPIXQNWLRQÃEHVLW]WÃGKÃGLHÃ0HQJHÃDOOHUÃ)XQNWLRQHQÃGLHÃHLQHÃ6WDPP
IXQNWLRQÃEHVLW]HQÃLVWÃHLQHÃHFKWHÃ2EHUPHQJHÃGHUÃ0HQJHÃGHUÃ5HJHOIXQNWLRQHQÃGK
{f: [a,b]tR: f stückweise stetig / stückweise monoton}
G {f: [a,b]tR: f Regelfunktion}
G {f: [a,b]tR: f besitzt eine Stammfunktion}
(1.27) Definition: Sei I`R ein Intervall; F: ItR heißt fast überall differenzierbar (bzw.
fast überall stetig differenzierbar), wenn F in I \ I 0 differenzierbar ist (in I \ I 0 stetig
differenzierbar ist und F‘ in x c I 0 sowohl den linksseitigen als auch den rechtsseitigen
Grenzwert besitzt), wobei I 0`I höchstens abzählbar ist.
(UJHEQLVÃ)ÃItRÃLVWÃDOVRÃJHQDXÃGDQQÃIDVWÃ EHUDOOÃVWHWLJÃGLIIHUHQ]LHUEDUÃZHQQÃ)Ã6WDPPIXQNWLRQÃHLQHUÃ5HJHO
IXQNWLRQÃDXIÃIÃLVWÃ5HJHOIXQNWLRQHQÃVLQGÃMDóIDVWà EHUDOO§ÃVWHWLJ

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 3 Integrationsmethoden
0LWÃ GHPÃ +DXSWVDW]Ã GHUÃ 'LIIHUHQWLDOÃ XQGÃ ,QWHJUDOUHFKQXQJÃ Ol‰WÃ VLFKÃ GDVÃ ,QWHJUDOÃ ∫ b
f(x) dx
à I Uà HLQHà 5HJHO
a
IXQNWLRQÃIÃItRÃPLWÃ>DE@`IÃGDQQÃHLQIDFKÃEHUHFKQHQÃZHQQÃHLQHÃ6WDPPIXQNWLRQÃ)ÃYRQÃIÃDXIÃIÃEHNDQQWÃLVW
,QÃGLHVHPÃ$EVFKQLWWÃVROOHQÃPHKUHUHÃ9HUIDKUHQÃXQGÃ5HJHOQÃKHUJHOHLWHWÃZHUGHQÃPLWÃGHQHQÃVLFKÃ6WDPPIXQNWLRQHQ
DQJHEHQÃODVVHQÃ'LHVHÃ5HJHOQÃUHVXOWLHUHQÃDXVÃGHQÃHQWVSUHFKHQGHQÃ5HJHOQÃI UÃGLHÃ'LIIHUHQWLDWLRQ
Produktregel der Differentiation
(f ⋅ g)’ = f ’g ⋅ + g’ ⋅f
liefert
(1.28) Satz: (Regel für Produktintegration – partielle Integration):
Seien f: ItR und g: ItR fast überall stetig differenzierbar (d.h. f und g sind
Stammfunktionen von Regelfunktionen). Dann ist f$g: ItR fast überall stetig
differenzierbar auf I und es gilt:
1) ∫ (f ’g)(x) ⋅ dx = f(x) ⋅ g(x) − ∫ (g’ ⋅f)(x)
dx
Beweis:
b
x=
b
2) ∫ ( f ’(x) ⋅ g(x) ) = [ f(x) ⋅ g(x) ]
= a
− ∫
a
dx g’(x) ⋅ f(x) dx
b
x
,
x=
b
x=
a
wobei a,b c I und [ f(x) ⋅ g(x) ] : = f(b) ⋅ g(b) − f(a) ⋅ f(b)
F ist stetig differenzierbar in I \ I 0 , g ist stetig differenzierbar in I \ I 1 , wobei I 0`I und I 1`I
höchstens abzählbar sind, und f ‘ bzw. g‘ besitzen in jedem Punkt x c I einen rechtsseitigen
und linksseitigen Grenzwert. Damit haben auch f und g in jedem x c I einen rechtsseitigen
und linksseitigen Grenzwert. f$g ist in I \ (I 0 4I 1 ) stetig differenzierbar und es gilt in I \ (I 0 4I 1 )
die Produktregel (f ⋅ g)’ = f’g ⋅ + g’ ⋅f
.
Da f ‘$g und g’$f Regelfunktionen auf I sind, besitzen f ‘$g und g’$f Stammfunktionen auf I
und es gilt die Behauptung.
q.e.d.
a
Beispiele:
1)
∫
∫
x ⋅ e
x
dx = x ⋅ e
x
−
∫
1⋅
e
x
dx = x ⋅ e
x
− e
x
= (x −1)
⋅ e
2)
n x
n x
n−1
x
x ⋅ e dx = x ⋅ e − n ⋅ ∫ x ⋅ e dx ; n c N
3)
1
∫ ln x dx = ∫1⋅
ln x dx = x ⋅ ln x − ∫ x ⋅ dx = x ⋅ ln x − x = x ⋅ (ln x −1)
x
4) ∫ cos 2 x dx = ∫ cos x ⋅ cos x dx = sin x ⋅ cos x − ∫ sin x ⋅ ( − sin x)
dx
= sin x ⋅ cos x +
2
sin x dx = sin x ⋅ cos x +
2
(1 − cos x)
dx
u
u
2
= sin x ⋅ cos x + x − ∫ cos x dx
2
2 ⋅ ∫ cos x dx = sin x ⋅ cos x + x
sin x ⋅ cos x + x
∫ cos 2 x dx =
2
∫
x
∫

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
5)
n 1 n−1
n −1
n−2
∫ cos x dx = K = ⋅ cos x ⋅ sin x + ⋅ ∫ cos x dx ; nm2
n
n
6)
n
1 n−1
n −1
n−2
∫ sin x dx = K = − ⋅ sin x ⋅ cos x + ⋅ ∫ sin x dx
n
n
7)
n
1 n+
1 1
∫ x ⋅ ln x dx = ⋅ x ⋅ (ln x − )
n + 1
n + 1
0LWÃ +LOIHÃ GHUÃ IROJHQGHQÃ 5HJHOÃ XQGÃ GHPÃ +DXSWVDW]Ã GHUÃ 'LIIHUHQWLDOÃ XQGÃ ,QWHJUDOUHFKQXQJÃ HUKlOWÃ PDQÃ GLH
0HWKRGHÃGHUÃ6XEVWLWXWLRQ
Kettenregel der Differentiation:
H(x)=F(g(x))
u H‘(x) = F‘(g(x))$g‘(x) = f(g(x))$g‘(x), wenn F‘=f
liefert Substitutionsregel
(1.29) Satz: Sei f: ItR eine Regelfunktion und F: ItR eine Stammfunktion von f.
Sei a,b c I, a[b. Sei g: [a,b]tR stetig differenzierbar mit g([a,b])`I. Dann ist F)g eine
Stammfunktion von f(g(x))$g‘(x) auf [a,b] und es gilt:
b
∫ f(g(t)) ⋅ g’(t) dt =
a
g ( b)
∫
g(
a)
f(x) dx
Beispiele:
b
b+
c
⎛ dx
⎞
1) ∫ f(t + c) dt = ∫ f(x) dx ⎜ = 1 ⇒ dx = dt ⎟
x=
g ( t)
= t + c
⎝ dt
⎠
a
b
a+
c
b
1
1
⎛ dx
⎞
2) cg0: ∫ f(c ⋅ t) dt = ⋅ ∫ f(c ⋅ t) ⋅ c dt = ⋅ ∫ f(x) dx ⎜ = c ⇒ dx = c ⋅ dt ⎟
x=
g(
t ) = c⋅t
c
c
⋅ ⎝ dt
a
a
c a
⎠
g’(t)
1
3) ∫ dt = ln g(x) Setze f(x) = ⇒ F(x) = ln x
g(t) x=
ln g(
t)
x
4) ag0:
c⋅b
∫
=
B ⋅ x + C 1
dx =
2
a ⋅ x + b ⋅ x + c a
1
a
⋅
B
2
⋅
∫
x
2
2 ⋅ x +
+
b
a
b
a
⋅ x +
c
a
⋅
∫
dx +
B ⋅ x + C
2 b
x + ⋅ x +
a
1
a
c
a
dx
⎛ b ⎞
⋅ ⎜C
− B ⋅ ⎟ ⋅
⎝ 2 ⋅ a ⎠
∫
x
2
1
b
+ ⋅ x +
a
c
a
dx
(*)
b c
b
Setze Q(x)= x 2 + ⋅ x + u Q‘(x)= 2 ⋅ x +
a a
a
B Q’(x) ⎛ b ⎞ 1 B ⋅ x + C
u ⋅ + ⎜C
− B ⋅ ⎟ ⋅ = =
2 Q(x) ⎝ 2 ⋅ a ⎠ Q(x) Q(x)
x
2
B ⋅ x + C
b
+ ⋅ x +
a
c
a

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Fortsetzung von (*)
∫
B ⋅ x + C 1
dx =
2
a ⋅ x + b ⋅ x + c a
⋅
B
⋅ ln x
2
2
+
b
a
⋅ x +
c
a
+
1
a
⎛ b
⋅ ⎜C
− B ⋅
⎝ 2 ⋅ a
⎞
⎟ ⋅
⎠
∫
x
2
1
b c
+ ⋅ x +
a a
dx
Untersuche ∫
x
2
1
b c
+ ⋅ x +
a a
dx
Quadratische Ergänzung:
0 = x
2
b ⎛ b ⎞
+ ⋅ x + ⎜ ⎟
a ⎝ 2 ⋅ a ⎠
2
⎛ b ⎞
− ⎜ ⎟
⎝ 2 ⋅ a ⎠
2
+
c
a
⎛ b ⎞
= ⎜ x + ⎟
⎝ 2 ⋅ a ⎠
2
b
−
2
− 4 ⋅ a ⋅ c
4 ⋅ a
2
1. Fall:
2
2 b c
4 ⋅ a ⋅ c > b , d.h. x + ⋅ x + hat keine reellen Nullstellen
a a
2
1
1
b 2 4 ⋅ a ⋅ c − b
u ∫ dx = ∫
dx mit α = , β =
2 2
2
2 b c (x + α)
+ β
2 ⋅ a
4 ⋅ a
x + ⋅ x +
a a
1 1
1 1 1
= ⋅
arctan y
2 ∫ dx = ⋅ ⋅ = ⋅
2
2 ∫ β dy
x+
α
2
β ⎛ x + α ⎞ y= β 1 + y β
β
1 + ⎜ ⎟
⎝ β ⎠
1
2
2 ⋅ a ⋅ x + b
u ∫ dx =
⋅ arctan
, wenn 4 ⋅ a ⋅ c − b
2 > 0 .
2
a ⋅ x + b ⋅ x + c
2
2
4 ⋅ a ⋅ c − b 4 ⋅ a ⋅ c − b
2. Fall:
4 ⋅ a ⋅ c =
u
∫
a ⋅ x
2
b
2
u
b c
x 2 + ⋅ x + hat doppelte Nullstelle
a a
1
1 1
dx = ⋅ ∫
dx
2
+ b ⋅ x + c a ⎛ 2 b ⎞
⎜ x + ⎟
⎝ 2 ⋅ a ⎠
1 1 2
= − ⋅ = −
a b 2⋅a
⋅ x + b
x +
2⋅a

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
3.Fall:
c
x
b
x
a
2
+
⋅
+
⋅ habe zwei verschiedene reelle Nullstellen ( c
a
4
b 2
⋅
⋅
> )
c
x
b
x
a
2
+
⋅
+
⋅
⎟ ⎟ ⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅
+
⋅
=
a
c
a
4
b
a
4
b
x
a
b
x
a
a
c
x
a
b
x
a 2
2
2
2
2
2
( )
2
2
2
2
2
)
(x
a
a
4
c
a
4
b
a
2
b
a
a
γ
+ α −
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
mit
2
2
a
4
a
4
b
;
a
2
b
⋅
⋅
−
=
⋅
= γ
α
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
⋅
⋅
= −
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⋅
⋅
2
2
2
2 x
1
a
1
x
a
γ
α
γ
γ
α
γ
u
∫
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
⋅
⋅
= −
+
⋅
+
⋅
dx
dx
2
2
2
x
1
1
a
1
c
x
b
x
a
γ
α
γ
Setze
y
1
y
1
ln
a
2
1
y
1
1
a
1
c
x
b
x
a
:
x
y 2
2
2
−
+
⋅
⋅
⋅
= −
−
⋅
⋅
= −
+
⋅
+
⋅
⇒
+
= ∫
∫
γ
γ
γ
α
dy
dx
ZUSAMMENFASSUNG:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
=
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
>
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⎟ ⋅
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
=
+
⋅
+
⋅
∫
reelle NS)
0(zwei
c
a
4
;b
b
x
a
2
c
a
4
b
b
x
a
2
c
a
4
b
ln
c
a
4
b
1
0 (doppelte reelle NS)
b
c
a
4
;
b
x
a
2
2
0 (keine reelle NS)
b
c
a
4
;
b
c
a
4
a
4
a
2
b
x
arctan
b
c
a
4
2
c
x
b
x
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dx

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
5) Integration rationaler Funktionen
p(x)
f(x) = ; p,q Polynome.
q(x)
Schritt 1:
Wenn grad p m grad q, dann Polynomdivision u
und u ein Polynom ist.
r(x)
f(x) = u(x) + , wobei grad r < grad q
q(x)
Schritt 2:
r(x)
q(x)
a
0
=
b
a
=
+ a
1
+ b
⋅ x +
⋅ x +
K
K
0 1
0
+ a
1
⋅ x + K
+ a
m
+ b
+ a
n
m
⋅ x
⋅ x
⋅ x
m
n
m
mit a m g0, b n g0, n>m
mit
b b
= K
0 1
q * (x) + ⋅ x + +
b
n
b
n
b
n
⋅ q * (x)
Bestimme Nullstellen von q*(x) als Produkt von Polynomen (x-¹) r und (x 2 +º$x+») s , wobei
r,s c N, ¹,º,» c R und x 2 +º$x+» keine reellen Nullstellen mehr hat (4$»-º 2 >0)
x
n
Schritt 3:
r(x) sei in der Form von Schritt 2 dargestellt, jedem Faktor (x-¹) r ordne man zu:
q(x)
A1
A
2
+
x − α (x − α)
2
+
K
A
r
+
(x − α)
r
Jedem Faktor (x 2 +º$x+») s ordne man zu:
B1
⋅ x + C1
B2
⋅ x + C
2
Bs
⋅ x + Cs
+
+ K +
2
2
2
2
x + β ⋅ x + γ (x + β ⋅ x + γ ) (x + β ⋅ x + γ )
s
wobei die Koeffizienten A 1 , ..., A r , B 1 , ..., B s , C 1 , ..., C s zu bestimmen sind.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beispiel:
∫
⋅
−
⋅
+
⋅
−
+
dx
2
4
5
4
5
x
4
x
2
x
2
1
x
x
Schritt 1:
Polynomdivision
1
x
2
_______________
)
x
2
x
(x
x
4
x
2
x
2
1
x
2
2
1
)
x
4
x
2
x
(2
1) :
x
(x
2
2
4
5
2
4
5
2
2
4
5
4
5
−
⋅
⋅
−
+
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
=
⋅
−
⋅
+
⋅
−
+
Schritt 2:
2)
x
2
(x
1)
(x
x
2
1
x
2)
x
(x
x
2
1
x
)
x
2
x
(x
2
1
x
2
x
4
x
2
x
2
1
x
2
q(x)
r(x)
2
2
2
2
3
2
2
2
4
5
2
2
4
5
2
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
−
+
⋅
−
=
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=
wobei x 2 +2x+2 = (x+1) 2 +1 keine reellen Nullstellen hat
Schritt 3:
2
x
2
x
D
x
C
1
x
B
x
A
x
A
2)
x
2
(x
1)
(x
x
2
1
x
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
+
⋅
+
+
⋅
+
−
+
+
=
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
w
1)
(x
x
)
D
x
(C
2)
x
2
(x
x
B
2)
x
2
(x
1)
(x
A
2)
x
2
(x
1)
(x
x
A
2
1
x
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
−
⋅
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
⋅
+
+
⋅
+
⋅
−
⋅
+
+
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
=
−
w
)
x
(x
D
)
x
(x
C
)
x
2
x
2
(x
B
2)
x
(x
A
x)
2
x
(x
A
2
1
x
2
3
1
3
4
1
2
3
4
1
2
3
2
3
4
1
2
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
−
+
⋅
+
⋅
−
+
⋅
=
−

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
w
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
3
1
1
1
4
2
A
2
)
A
2
(
x
)
D
B
2
(A
x
)
D
C
B
2
A
(A
x
)
C
B
(A
x
2
1
x
⋅
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
+
+
−
⋅
+
+
⋅
+
+
+
⋅
=
−
u
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
A
2
2
1
A
2
0
D
B
2
A
1
D
C
B
2
A
A
0
C
B
A
0
⋅
= −
−
⋅
= −
−
⋅
+
=
+
−
⋅
+
+
=
+
+
=
Löse lineares Gleichungssystem !!!
u
20
11
D
/
10
1
C
/
10
1
B
/
4
1
A
/
0
A 1
1
1
2
1 −
=
= −
=
=
=
2
x
2
x
20
11
x
10
1
1)
(x
10
1
x
4
1
2
1
x
4
x
2
x
2
1
x
x
2
2
2
4
5
4
5
+
⋅
+
+
−
−
⋅
+
⋅
+
=
⋅
−
⋅
+
⋅
−
+
2)
x
2
(x
20
11
x
2
1)
(x
10
1
x
4
1
2
1
2
2
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
−
⋅
+
⋅
+
=
2
x
2
x
1
20
9
2
x
2
x
2
x
2
20
1
1)
(x
10
1
x
4
1
2
1
2
2
2
+
⋅
+
⋅
−
+
⋅
+
+
⋅
⋅
−
−
⋅
+
⋅
+
=
u
44
4 3
4
14 2
von Bsp.4
Fall
1.
keine reelle NS
2
2
2
4
5
4
5
2
x
2
x
1
20
9
2
x
2
x
ln
20
1
1
x
ln
10
1
x
4
1
x
2
1
x
4
x
2
x
2
1
x
x
⇒
∫
∫ +
⋅
+
⋅
−
+
⋅
+
⋅
−
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
+
⋅
−
+
dx
dx
6) (1) ∫ ⎟ ⎟ ⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⋅
dx
n
1
b)
x
(a
x,
R
a,b c R, ag0, m c N, R rationale Funktion
Substitution:
n
1
b)
x
(a
g(x)
y +
⋅
=
=
u
∫
∫
⎟ ⎟ ⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⋅
=
⋅
−
⋅
−
dx
dy
n
1
1
n
n
b)
x
(a
x,
R
y
y)
,
a
b
y
R(
a
n
(2) ∫ dx
)
R(e ax
ag0
Substitution:
ax
e
g(x)
y =
=
u ( )
∫ = ∫
⋅
⋅
dx
dy
R e
y
1
R(y)
a
1 ax

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(3)
u
∫
R(cost, sint) dt y = g(t) = tan
cos t
1 − y
1 + y
2 ⋅ y
sin t =
1 + y
t
2
g’(t) =
1 +
⎛
⎜=
2
= 2
2
2
2
⎛1
− y 2 ⋅ y ⎞ 2
liefert: ∫ R
⎜ ,
⎟ ⋅
2 2
⎝1
+ y 1 + y ⎠ 1 + y
2
dy
2
2
( )
⎟ 2
g(t) ⎝ 1 + y ⎠
2
(4) ∫ R(x, a ⋅ x + 2 ⋅ b ⋅ x + c ) dx a,b,c c R , b 2 g4$a$c
quadratische Ergänzung liefert folgende Typen
⎞
2
(4a) ∫ R(t, t + 1) dt
Substitution
t = sinh u liefert t 2 + 1 = cosh u ( dt = cosh u du)
2
(4b) ∫ R(t, t −1)
dt ( t ≥ 1)
Substitution t = ± cosh u liefert t 2 − 1 = sinh u
( dt = ± sinh u du)
2
(4c) ∫ R(t, 1 − t ) dt ( t ≤ 1)
Substitution t = ± cos u liefert 1 − t
= sin u ,
( dt = m sin u du)
=XUÃ 8QWHUVXFKXQJÃ XQGÃ QXPHULVFKHQÃ %HUHFKQXQJÃ QLFKWHOHPHQWDUHUÃ 6WDPPIXQNWLRQHQÃ VWHKHQÃ RIWÃ 5HLKHQGDU
VWHOOXQJHQÃ ]XUÃ 9HUI JXQJÃ GLHÃ DXVÃ 5HLKHQGDUVWHOOXQJHQÃ GHUÃ ,QWHJUDQGHQÃ JHZRQQHQÃ ZHUGHQÃ N|QQHQÃ 'LHÃ ]XU
+HUOHLWXQJÃHUIRUGHUOLFKHÃJOLHGZHLVHÃ,QWHJUDWLRQÃHLQHUÃ5HLKHÃUHFKWIHUWLJWÃPDQÃLQÃYLHOHQÃ)lOOHQÃPLWÃ+LOIHÃYRQ
(1.30) Satz: Für n c N sei f n : [a,b]tR eine Regelfunktion mit
Beweis:
∑ ∞ f n ∞
n=
1
b
∫
a
f(x) dx =
m
< ∞ . Dann ist f:= lim ∑ f k
eine Regelfunktion auf [a,b], und es gilt:
∞
b
∑∫
k = 1 a
f k
(x) dx
n→∞
k = 1
sup
f
= ≤ ∑ ∞ (x) f
n ∞
=
n
x∈[
a,
b]
k 1
f
k
< ∞ .
Sei e>0, dann existiert N=N(e) mit
u ¤ pmN: f −
p
∑
f
=
∞
∑
f
∑ ∞ f
k
k = N + 1
ε
<
2
k
k
k
k = 1 ∞ k = p+
1
∞
k = p+
1
≤
∞
∑
f
∞
ε
<
2
N
Da ∑ f
k
eine Regelfunktion ist, existiert eine Treppenfunktion T: [a,b]tR mit
∑ N
k = 1
k = 1
f
k
− T
∞
ε
<
2

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
u
f
− T
∞
≤
f
−
N
∑
f
+
N
∑
k
k = 1 ∞ k = 1
f
k
− T
∞
< ε
b
u f ist Regelfunktion und ∫
a
b
p
b
f(x) dx existiert.
Für pmN gilt ∫ f(x) dx − ∑∫ f dx = ∫ dx − ∫∑ dx = ∫ ⎜
k
(x) f(x) f
k
(x) f(x) − ∑
u Behauptung
a
k = 1 a
b
a
b
b
p
a k = 1
b
a
⎛
⎝
p
k = 1
∫ f(x) − ∑ f
k
(x) dx ≤ f − f
k ∞
≤ ∫ ∑
a
p
k = 1
b
a
p
k = 1
f
k
⎟ ⎞
(x) dx
⎠
ε
dx < ⋅ (b − a)
2
q.e.d.
Beispiel:
Potenzreihen: ∑ ∞
=
n
0
a
n
⋅ (x − x
0
)
n
Konvergenzradius R>0: x c R mit xx-x 0 x< R, d.h. [x 0 -x,x 0 +x]:
x0
+ x ∞
∞ x0
+ x
∞
n+
1
n
n
x
∫ ∑ a
n
⋅ (t − x
0
) dt = ∑a
n
⋅ ∫ (t − x
0
) dt = ∑a
n
⋅
= 0
n=
0 n=
0 n +
x n
x
0
0
1

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 4 Uneigentliche Integrale
Bisher: Integration von Regelfunktionen über einem kompakten Intervall [a,b]. Man möchte
nun auch – falls möglich – Regelfunktionen über nicht kompakte Intervalle, z.B. [a,b), a

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beispiele:
1)
∞
∫
1
⎧ 1
β ⎧
1 ⎪ , p > 1
= ⎨ p −1
x
dx , da für º>1 1 ⎪
p ∫ dx =
p ⎨
⎪
⎩ ∞ , p ≤ 1
1
x ⎪ ⎩
1
p
1
⋅ (1 − β
− 1
ln β
− p
)
p ≠ 1
p = 1
2)
1
∫
0
⎧ 1
1 ⎧ 1
1
1 ⎪ p < 1
= ⎨ 1 − p
x
dx , da für 0

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
ad 1)
x
x
x
Für x c [a,b) seien F(x):=∫ f(t) dt , H(x):=∫ f(t) dt und G(x):=∫ g(t) dt . Dann gilt
a
a
a
für x,y c [a,b) xF(x)-F(y)x[xG(x)-G(y)x und ebenso xH(x)-H(y)x[xG(x)-G(y)x.
Da lim G(º) existiert, erfüllen F und H bezüglich ºtb - die Cauchy-Konvergenzkriterien.
−
β →b
Also existiert
lim
−
β →b
β
lim ∫ f(t) dt =
−
β →b
β
a
∫ f(t) dt ≤ lim ∫ f(t) dt ≤ lim ∫ g(t) dt =
−
− ∫
a
β →b
β
a
b
∫
a
f(t) dt . Weiterhin gilt nach (1.16)
β →b
β
a
b
a
g(t) dt .
ad 2)
b
Angenommen ∫ f(t) dt konvergiert, dann konvergiert nach 1) wegen 0[g(t)[f(t) auch
a
b
∫
a
g(t) dt u Widerspruch. q.e.d.
Beispiele:
∞
∞
t
t
t
1) ∫
dt = ∫
dt =
2
+ ⋅ + + ⋅ + +
∫ dt divergiert, denn für tm5 gilt
2
2
0
t 2 t 5
0
t 2 t 4 1
0
(t + 1) + 4
t 1 1 1 1
= ≥ ≥ ⋅
2
t + 2 ⋅ t + 5 5 t + 3 2 t
t + 2 +
t
∞
5
∞
∞
t
t
t 1 dt
u ∫
dt = ∫
dt + ∫
dt ≥ ⋅ ∫ = ∞
2
2
2
t 2 ⋅ t + 5 t + 2 ⋅ t + 5 t + 2 ⋅ t + 5 2 t
0
+
0
5
5
∞
∞
2) ∫ e
0
− t
⋅ sint dt ist absolut konvergent, da
e
−t
∞
−t
t
⋅ sint ≤ e und ∫ e = 1
0
− dt (nach (1.31))
∞
sin x sin x
3) ∫ dx konvergiert, da lim =
+
1
x
x→0
x
0
⎧sin x
⎪
ist f(x)= ⎨ x
⎪⎩ 1
1
u ∫
0
x ≠ 0
stetig.
x = 0
1
sin x
f(x) dx existiert. Nach (1.24) existiert auch ∫ dx .
x
0
sin x − sin(0)
(weil lim = sin’(0) = cos(0) = 1)
x→ 0 x − 0

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Sei º>1:
β
∫
sin x
cos β cos t
dx = cos(1) − −
β
∫ dt .
2
x
1 1
t
∞
cos t 1 1 sin x
Wegen ≤ und < ∞
2 2
2 dt , ist auch < ∞
t t t
∫ dx
∞
∫
1
β
1
x
∞
4) ∫
sin x dx existiert nicht, denn für x c (k$o,(k+1)$o), k c N 4 {0} ist
0
x
1 1
≥ , daher ist
x (k + 1) ⋅π
( k + 1) ⋅π
( k + 1) ⋅π
sin x 1
2
∫ dx ≥ ⋅
=
+ ⋅π
∫ sin x dx
und daraus folgt
x (k 1)
(k + 1 ⋅π
)
k⋅ π
k⋅π
( k + 1) ⋅π
∫
sin x
x
2
dx ≥ ⋅
∑
π j = 0 j + 1
0
k
1
; die harmonische Reihe divergiert aber.
sin x
(Also ist auf [0,¢) uneigentlich integrierbar, aber nicht absolut uneigentlich
x
integrierbar).
(1.33) Satz: (Grenzwertkriterium):
Seien f,g: [a,b)tR Regelfunktionen mit g(x)>0, x c [a,b).
Beweis:
Falls
lim
β
−
→b
a
Sei k:= lim
−
x→b
β
lim
−
x→b
f(x)
g(x)
∫ = ∫
und
b
a
lim
β
β
∫
−
→b
0
f(x) dx f(x) dx .
f(x)
g(x)
g(x) dx existieren, dann existiert auch
, dann existiert ein ¹ c [a,b) mit xf(x)x[(1+xkx)$g(x)
für x c [a,b).
b
Nach dem Vergleichskriterium (1.32) existieren dann auch ∫ f(x) dx und damit
b
auch ∫ f(x) dx . q.e.d.
a
α

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beispiel:
∞
Für ¹>0 ist die Gammafunktion definiert als ®(¹):= ∫
ist konvergent und hat die Eigenschaften:
0
t
α − 1
⋅ e
−t
dt ; das uneigentliche Integral
1) ®(¹+1) = ¹$®(¹)
2) ®(1) = 1
3) ®(n+1) = n! für n c N 4 {0}
Beweis:
1
∫
0
t
α − 1
⋅ e
−t
dt
Für 0

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
k
Für x c [k,k+1] gilt f(k) m f(x) m f(k+1), damit f(k) m
+1f(x) ∫
k
dx m f(k+1). Durch vollständige
Induktion zeigt man, daß die Folge (a n ) n monoton wächst und daß 0 [ a n [ f(1)-f(n+1) gilt
u Behauptung
q.e.d.
Beispiele:
1) ∑ ∞ 1
harmonische Reihe
k =1 k
n+ 1
n+ 1
1
1
Betrachte f(x) = u f(x)
ln(n 1)
x
∫ dx = ∫ dx = +
x
1
1
Da f monoton fällt, existiert
n
⎛ 1 ⎞
lim c
n
: = lim⎜∑
− ln(n + 1) ⎟ = c Eulersche Konstante
n→∞
n→∞⎝
k = 1 k ⎠
2) ∑ ∞ 1
=1 k
k
α
ist für ¹>1 konvergent.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 5 Riemannsche Summen, Riemannsche Integrale
,QÃ GHQÃ YRUOLHJHQGHQÃ $EVFKQLWWHQÃ ZXUGHÃ QLFKWÃ PLWÃ GHPÃ 5LHPDQQVFKHQÃ ,QWHJUDOÃ EHJRQQHQÃ ZLHÃ YLHOIDFKÃ EOLFK
VRQGHUQÃ GDVÃ ,QWHJUDOÃ YRQÃ 7UHSSHQÃ XQGÃ 5HJHOIXQNWLRQHQÃ HLQJHI KUWÃ 0DQÃ VSULFKWÃ EHLÃ GLHVHPÃ ,QWHJUDOEHJULII
JHOHJHQWOLFKÃ DXFKÃ YRPÃ &DXFK\VFKHQÃ ,QWHJUDOÃ 'DÃ VRÃ JXWÃ ZLHÃ DOOHÃ SUDNWLVFKÃ YRUNRPPHQGHQÃ )XQNWLRQHQÃ 5HJHO
IXQNWLRQHQÃVLQGÃ YJOÃ'HILQLWLRQÃÃEHGHXWHWÃGLHVÃNDXPÃHLQHQÃ9HUOXVWÃDQÃ$OOJHPHLQKHLWÃ7DWVlFKOLFKÃVLQGÃGLH
)XQNWLRQHQÃGLHÃ]ZDUÃ5LHPDQQLQWHJULHUEDUÃVLQGÃDEHUÃNHLQHÃ5HJHOIXQNWLRQHQÃDOVÃ$XVQDKPHQÃ]XÃEHWUDFKWHQÃ 6R
LVWÃIÃ>@tRÃPLWÃI[
1
sin
x
ÃI UÃ[gÃXQGÃI ÃHLQHÃVROFKHÃ)XQNWLRQ
'LHÃ (LQI KUXQJÃ GHVÃ ,QWHJUDOVÃ EHUÃ 7UHSSHQÃ XQGÃ 5HJHOIXQNWLRQHQÃ HUVFKHLQWÃ HWZDVÃ GXUFKVLFKWLJHUÃ DOVÃ EHUÃ GDV
5LHPDQQVFKHÃ,QWHJUDOÃGDÃPDQÃGLHÃPHLVWHQÃ,QWHJUDOHLJHQVFKDIWHQÃEHLÃ7UHSSHQIXQNWLRQHQÃXQPLWWHOEDUÃHLQVLHKWÃXQG
VLHÃ GDQQÃ I UÃ 5HJHOIXQNWLRQHQÃ GXUFKÃ *UHQ] EHUJDQJÃOHLFKWÃ JHZLQQWÃ 'LHÃ (LQI KUXQJÃ GHVÃ &DXFK\VFKHQÃ ,QWHJUDOV
KDWÃDXFKÃHLQHQÃJHZLVVHQÃ0RGHOOFKDUDNWHUÃI UÃHLQÃKlXILJHVÃ9RUJHKHQÃLQÃGHUÃPRGHUQHQÃ$QDO\VLVÃ,QVEHVRQGHUHÃLQ
GHUÃ)XQNWLRQDODQDO\VLVà YHUIlKUWà PDQà DXFKà YLHOIDFKà VRà GD‰Ã PDQà HLQHQà %HJULIIà ]XQlFKVWà I Uà HLQHÃNOHLQHUHà EHU
VFKDXEDUHÃ 0HQJHÃ YRQÃ )XQNWLRQHQÃ HUNOlUWÃ XQGÃ LKQÃ GDQQÃ LQÃ JHHLJQHWHUÃ :HLVHÃ HWZDÃ GXUFKÃ *UHQ] EHUJDQJÃ DXI
HLQHÃ XPIDVVHQGHUHÃ )XQNWLRQHQPHQJHÃ EHUWUlJWÃ ,QÃ GHUÃ )XQNWLRQDODQDO\VLVÃ GHUÃ 'LVWULEXWLRQHQWKHRULHÃ GHU
0D‰WKHRULHÃXQGÃGHUÃ:DKUVFKHLQOLFKNHLWVOHKUHÃVW W]WÃPDQÃVLFKÃDXIÃGDVÃ/HEHVJXHVFKHÃ,QWHJUDOÃGDVÃI UÃHLQHÃQRFK
ZHLWHUHÃ)XQNWLRQHQNODVVHÃDOVÃGDVÃ5LHPDQQVFKHÃ,QWHJUDOÃHUNOlUWÃLVW
,QÃGLHVHPÃ$EVFKQLWWÃVROOÃQXQÃGHUÃ=XVDPPHQKDQJÃ]ZLVFKHQÃGHPÃ,QWHJUDOÃHLQHUÃ 5HJHOIXQNWLRQÃ IÃ >DE@tRÃXQG
GHQÃ 5LHPDQQVFKHQÃ 6XPPHQÃ QlKHUÃ XQWHUVXFKWÃ ZHUGHQÃ ,QVEHVRQGHUHÃ ZLUGÃ HLQHÃ QRWZHQGLJHÃ XQGÃ KLQUHLFKHQGH
%HGLQJXQJÃGDI UÃKHUJHOHLWHWÃZDQQÃI UÃHLQHÃ)XQNWLRQÃIÃ>DE@tRÃMHGHÃ)ROJHÃYRQÃ5LHPDQQVFKHQÃ6XPPHQÃYRQÃI
JHJHQÃHLQÃXQGÃGHQVHOEHQÃ*UHQ]ZHUWÃNRQYHUJLHUWÃ/HEHVJXHVFKHVÃ,QWHJUDELOLWlWVNULWHULXP
(1.35) Definition: Sei f: [a,b]tR eine Funktion. Sei Z={x 0 , x 1 , ..., x n } eine Zerlegung
von [a,b]. Sei B={n 1 , n 2 , ..., n n } mit n j c [x j-1 ,x j ], j c {1, ..., n}, eine Besetzung zur
Zerlegung Z. Dann heißt
n
1) R(Z,B,f):=∑ f ( ξ
j
) ⋅ (x
j
− x
j−1
) eine Riemannsche Summe von f bezüglich der
j = 1
Zerlegung Z und der Besetzung B.
n
2) Ist f beschränkt auf [a,b], dann heißen U(Z,f):=∑ m
j
⋅ (x
j
− x
j−1
) mit
m j =inf{f(x): x c [x j-1 ,x j ]}, j c {1, ..., n}, Untersumme von f bezüglich Z und
n
O(Z,f):= ∑ M
j
⋅ (x
j
− x
j−1
) mit M j =sup{f(x): x c [x j-1 ,x j ]}, j c {1, ..., n},
j = 1
Obersumme von f bezüglich Z.
j=
1

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
%HLÃ9HUIHLQHUXQJHQÃQHKPHQÃ8QWHUVXPPHQÃ]XÃXQGÃ2EHUVXPPHQÃDEÃZLHÃGDVÃIROJHQGH
/HPPDÃ]HLJW
(1.36) Lemma: Sei f: [a,b]tR beschränkt. Seien Z, Z 1 , Z 2 Zerlegungen von [a,b], sei Z‘ eine
Verfeinerung von Z. Dann gilt:
1) U(Z,f) [ U(Z‘,f) [ R(Z‘,B‘,f) für jede Besetzung B‘ zu Z‘
2) R(Z‘,B‘,f) [ O(Z‘,f) [ O(Z,f) für jede Besetzung B‘ zu Z‘
3) O(Z‘,f)-U(Z‘,f) [ O(Z,f)-U(Z,f)
4) U(Z 1 ,f) [ U(Z 0 ,f) [ R(Z 0 ,B 0 ,f) [ O(Z 0 ,f) [ O(Z 2 ,f), wobei Z 0 =Z 1 4 Z 2 und B 0 eine
beliebige Besetzung von Z 0 ist
(1.37) Definition: Sei Z={x 0 , x 1 , ..., x m } eine Zerlegung von [a,b].
l(Z):=max{x j -x j-1 : j c 1, ..., m} heißt Feinheit der Zerlegung.
Eine Folge (Z k ) k c N von Zerlegungen Z k von [a,b] heißt eine ausgezeichnete
Zerlegungsfolge, wenn lim (Zk ) = 0 .
µ
k → ∞
Die enge Beziehung zwischen Untersummen, Obersummen und Riemannschen Summen
erläutert
(1.38) Satz: Für eine Funktion f: [a,b]tR sind folgende Aussagen äquivalent:
1) Zu jedem e>0 existiert ein ¼>0, so daß für alle Zerlegungen Z 1 , Z 2 von [a,b] mit
l(Z 1 )0, dann existiert ein ¼>0 mit den Eigenschaften von 1). Sei (Z k ) k c N eine ausgezeichnete
Zerlegungsfolge, dann existiert ein n=n(¼) mit l(Z k )

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Angenommen, f ist nicht beschränkt auf [a,b], dann sei o.B.d.A.
sup f(x) = ∞ . Da [a,b]
x∈[ a,
b]
kompakt ist (=beschränkt + abgeschlossen), existiert n c [a,b], so daß für jede e-Umgebung U e
von n auch sup f(x) = ∞ . Wir nehmen an, daß n c (a,b).
x∈U
∩[ a,
b]
Sei Z={x 0 , x 1 , ..., x n } eine Zerlegung von [a,b] mit n v Z, dann liegt n etwa in (x k-1 ,x k );
n
Für j c {1, .., n}, jgk, wähle n j c [x j-1 ,x j ] beliebig. Sei R=∑ f ( ξ
j
) ⋅ (x
j
− x
j−1
) .
Da n c (x k-1 ,x k ) und da
M − R
f(n k,M )>
x k
− x k
−1
sup
x∈( x k −1 , xk
)
j = 1
j ≠k
f(x) = ∞ , kann man zu jedem M>0 ein n k,M c (x k-1 ,x k ) finden.
n
n
f
j j j−1
∑ j j j−1
j,
M k k−1
j = 1
j=
1
j ≠ k
∑
u ( ξ ) ⋅ (x − x ) = f ( ξ ) ⋅ (x − x ) + f ( ξ ) ⋅ (x − x )
M − R
> R + ⋅ (x
k
− x
k−1
) = M
x
k
− x
k−1
Also läßt sich eine Folge (R(Z k ,B k ,f)) k c N von Riemannschen Summen konstruieren mit
lim µ (Zk ) = 0 und lim R(Z k,B k ,f)= ¢
k → ∞
k →∞
u f ist beschränkt auf [a,b] und es existieren Ober- und Untersumme von f bezüglich jeder
Zerlegung Z von [a,b]. Ähnlich läßt es sich argumentieren, wenn n Randpunkt von [a,b] ist.
Sei (Z k ) k c N eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge. Sei e>0, dann existiert k e
mit
ε ε
I R (f)- < R( Z
n , B ,
3
ε n
f) < I
ε R (f)+ , wobei B
n
eine beliebige Besetzung von
3
ε
ε
ε
u I R (f)- [ U( Z ,f) [ O( Z ,f) [ I R (f)+ 3 3
u O( Z
3) u 1)
n ε
n ε
,f)-U( Z ,f) < e.
n ε
n ε
Sei e>0, dann existiert eine Zerlegung Z 0 von [a,b] mit O(Z 0 ,f)-U(Z 0 ,f)< 5
ε .
Da f beschränkt auf [a,b], ist D:= sup f(x) inf f(x) > 0
x∈[
a,
b]
−
x ∈ [ a,
b]
Z
n ε
ist.
(für konstante Funktionen folgt 1) unmittelbar)
1
Sei ¼:= ⋅ ε , wobei m die Anzahl der Teilintervalle von Z 0 ist.
5 ⋅ D ⋅ m
Sei Z 1 ={x (1) 0 , ..., x (1) r ) eine Zerlegung von [a,b] mit l(Z 1 )

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
da B 2,0 , B 1,0 und B 0 beliebig sind, gilt
xR(Z 1 ,B 1 ,f)-R(Z 2 ,B 2 ,f)x[ m$D$l(Z 1 )+O(Z 1,0 ,f)-U(Z 0 ,f)+O(Z 0 ,f)-U(Z 2,0 ,f)+m$D$l(Z 2 )
[ m$D$l(Z 1 )+O(Z 0 ,f)-U(Z 0 ,f)+O(Z 0 ,f)-U(Z 0 ,f)+m$D$l(Z 2 )
[ m$D$¼+2$(O(Z 0 ,f)-u(Z 0 ,f))+m$D$¼
ε ε
ε
[ m ⋅ D ⋅ + 2 ⋅ + m ⋅ D ⋅ < ε
5 ⋅ D ⋅ m 5 5 ⋅ D ⋅ m
q.e.d.
,QÃ GHUÃ /LWHUDWXUÃ ZLUGÃ GLHVHVÃ .ULWHULXPÃ DOVÃ GDVÃ 5LHPDQQVFKHÃ ,QWHJUDELOLWlWVNULWHULXPÃ I UÃ GLHÃ 5LHPDQQ
,QWHJULHUEDUNHLWÃYRQÃ)XQNWLRQHQÃIÃ>DE@tRÃEH]HLFKQHW
(1.39) Definition: Eine Funktion f: [a,b]tR heißt Riemann-integrierbar über [a,b], wenn
für jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge (Z n ) n c N und jede Besetzung B k zu Z k , k c N,
lim R(Z n ,B n ,f)=:I R (f) < ¢.
n→∞
Die Zahl I R (f) heißt das Riemann-Integral von f über [a,b].
:LUÃZHUGHQÃ]HLJHQÃGD‰ÃMHGHÃ5HJHOIXQNWLRQÃIÃDXIÃ>DE@ÃDXFKÃ5LHPDQQLQWHJULHUEDUÃLVW
XQGÃGD‰ÃGDVÃ5LHPDQQ,QWHJUDOÃYRQÃIà EHUÃ>DE@ÃPLWÃGHPÃ,QWHJUDOÃGHUÃ5HJHOIXQNWLRQÃI
EHUÃ >DE@Ã EHUHLQVWLPPWÃ 'HQQRFKÃ JLEWÃ HVÃ 5LHPDQQLQWHJULHUEDUHÃ )XQNWLRQHQÃ EHU
HLQHPÃ,QWHUYDOOÃ>DE@ÃGLHÃNHLQHÃ5HJHOIXQNWLRQHQÃVLQGÃZLHÃGLHÃ)XQNWLRQ
LPÃ %HLVSLHOÃ XQWHQÃ ]HLJWÃ :DVÃ GLHÃ ([LVWHQ]Ã HLQHUÃ 6WDPPIXQNWLRQÃ XQGÃ GLHÃ ([LVWHQ]Ã HLQHVÃ 5LHPDQQ,QWHJUDOV
DQJHKHQÃVRÃVHLÃKLHUÃEHWRQWÃGD‰Ã([LVWHQ]ÃHLQHUÃ6WDPPIXQNWLRQÃXQGÃ([LVWHQ]ÃGHVÃ5LHPDQQ,QWHJUDOVÃEHJULIIOLFK
]ZHLÃY|OOLJÃYHUVFKLHGHQHÃ'LQJHÃVLQGÃXQGÃGHVKDOEÃVRUJIlOWLJÃDXVHLQDQGHUJHKDOWHQÃZHUGHQÃP VVHQÃ6RÃEUDXFKWÃGLH
$EOHLWXQJÃ HLQHUÃ )XQNWLRQÃ QLFKWÃ 5LHPDQQLQWHJULHUEDUÃ VHLQÃ REZRKOÃ GLHVHÃ $EOHLWXQJVIXQNWLRQÃ WULYLDOHUZHLVHÃ HLQH
6WDPPIXQNWLRQÃEHVLW]W
Beispiel:
f:[-1,1]tR
⎧ 1
⎪sin
f(x):= ⎨ x
⎪⎩ 0
x ≠ 0
x = 0
ist Riemann-integrierbar, aber keine Regelfunktion.
(1.40) Satz: Sei f: [a,b]tR eine Regelfunktion. Zu jedem e>0 existiert ein ¼>0 mit
b
xR(Z,B,f)- ∫ f(x) dx x< e für jede Zerlegung Z von [a,b] mit l(Z)

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
1) Ist f konstant, so ist die Aussage unmittelbar klar.
2) Sei f eine Treppenfunktion auf [a,b] mit genau einer Sprungstelle x 1 . Sei e>0, sei
ε
δ : = . Sei Z eine Zerlegung von [a,b] mit l(Z)0, wähle ¼ m ⎜ ,S m ⎟
⎝ 2 ⎠
ε
Behauptung mit gilt. Nun wähle ¼:=min(¼m ,¼ 1 ).
2
⎛ ε ⎞
und ¼ 1 ⎜ ,S 1 ⎟
⎝ 2 ⎠
1
derart, daß die
Also gilt die Behauptung für alle Treppenfunktionen auf [a,b].
4) Sei f: [a,b]tR eine Regelfunktion. Sei e>0, dann existiert eine Treppenfunktion
ε
⎛ ε ⎞
T: [a,b]tR mit yf-Ty ¢< . Ferner existiert ein ¼=¼⎜
, T⎟ >0, so daß für jede
3 ⋅ (b − a)
⎝ 3 ⎠
Zerlegung Z von [a,b] mit l(Z)

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Hölder-Ungleichung:
Cauchy-Schwarz:
∞
∑
x
⋅ y
≤ ⎜
⎝
⎛
∞
∑
k k
k
k = 1
k = 1
k = 1
∑ x 2
k
< ∞}
l 2 ={(x k ) k c N:
x
2
⎟
⎠
⎞
1
2
⎛
⋅ ⎜
⎝
∞
∑
y
k
2
⎟
⎠
⎞
1
2
y Hölder-Ungleichung:
∞
∑
k = 1
x
k
⋅ y
k
l p ={(x k ) k c N:
⎛
≤ ⎜
∞
∑
x
p
⎞
⎟
1
p
k
⎝ k = 1 ⎠
14243
= x
p
∑
x
k
p
⎛
⋅ ⎜
⎝
∞
∑
k = 1
mit
y
< ∞}; 1[p

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
'DVÃIROJHQGHÃ/HPPDÃEHVFKUHLEWÃHLQHÃ) OOHÃYRQÃ0HQJHQÃGLHÃYRPÃ/HEHVJXH0D‰ÃÃVLQG
(1.44) Lemma:
1) Jede Teilmenge einer Nullmenge ist eine Nullmenge
2) Die Vereinigung von höchstens abzählbar vielen Nullmengen ist eine Nullmenge
3) Jede höchstens abzählbare Teilmenge von R ist eine Nullmenge
4) Eine kompakte Teilmenge K von R ist genau dann eine Nullmenge, wenn zu
jedem e>0 endlich viele Intervalle existieren, die K überdecken und deren Längensumme
[e ist
Beweis:
ad 2)
Seien M j , j c N höchstens abzählbar viele Nullmengen, sei außerdem e>0. Zu M j existieren
ε
höchstens abzählbar viele abgeschlossene Intervalle I j1 , I j2 , ... mit M j`U∞ I jk
und ∑ ∞ I
jk
<
j
k =1
k = 1 2
Dann gilt U ∞ ∞
M j `U U
∞ ∞ ∞
∞
ε
I
jk
und ∑∑
I
jk
< ∑ = ε
j
=1 = 1 = 1
j=
1 k = 1 j=
1 2
j
j
k
ad 3)
Sei M:={r j , j c N}`R eine abzählbare Teilmenge. Sei e>0, dann gilt für k c N
ε ε
r k c (r k – ,r
k 2 k + ) und damit
2 +
k 2
M=U ∞ ε ε
(r k – ,r
2 +
k 2 k + ). Ferner gilt für
k =1 2 +
k 2
2 +
∞
∞
∞
ε ε
ε
ε ε ⎛ 1 ⎞ ε
I k := (r k – ,r
k 2 k + ) stets xI
2 +
k 2
k x= , so daß = = ⎜ − ⎟ = < ε
2 +
k 1 ∑ I ∑ ∑
2 +
k
1
k+
1
k
k = 1 k = 1 2 2 ⎝ k = 0 2 ⎠ 2
ad 4)
Sei K`R eine kompakte Nullmenge, sei außerdem e>0, dann existieren höchstens abzählbar
viele offene Intervalle I 1 , I 2 , ... mit K`U∞
I j
j=1
und
∑ ∞ I j
j=1
< ε . Da K kompakt ist, reichen nach
dem Überdeckungssatz von Heine-Borel bereits endlich viele der Intervalle I j zur
Überdeckung aus, und deren Längensumme ist erst recht < e.
In umgekehrter Richtung ist die Aussage trivial.
q.e.d.
(1.45) Satz: (Lebesguesches Integrabilitätskriterium)::
Für eine Funktion f: [a,b]tR sind folgende Aussagen äquivalent:
1) f ist beschränkt auf [a,b] und stetig auf [a,b] \ M, wobei M`[a,b] eine Lebesgue-
Nullmenge ist
2) Für jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge (Z n ) n c N von [a,b] und jede Besetzung B n
zu Z n , n c N, gilt: lim R(Z n ,B n ,f)=I R (f)
n→∞
3) F ist auf [a,b] Riemann-integrierbar

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
1) u 2)
f ist auf [a,b] beschränkt, d.h. xf(x)x[ k für alle x c [a,b]. Für die Menge M der Unstetigkeitsstellen
von f und zu e>0 existieren höchstens abzählbare offene Intervalle I 1 ,I 2 ,... mit
M` U
j ∈ N
I und
j
∑ ∞ I j
j =1
< ε
u M `U∞
j=1
I
j
und
∑ ∞
j =1
I j
< ε
Sei x 0 c [a,b] \ M, dann ist f in x 0 stetig und es existiert ein Intervall
sup
x, y∈[
a,
b]
∩J
x
0
f(x) − f(y) < ε
;
x0
J
x 0
mit x 0 c
J abgeschlossenes Intervall. Das System aller Intervalle J
x
,
0
J
x 0
und
x 0 c [a,b] \ M und aller I 1 ,I 2 ,... ist eine offene Überdeckung von [a,b]. Nach Heine-Borel
existiert ein endliches System I , I ,..., I , J ,..., J von offenen Intervallen, das [a,b]
j1 j2
jr
x1
xs
überdeckt. Dann wird [a,b] auch überdeckt durch I
j
, I
1 j
,..., I
2 j
, J
r x
,..., J
1 x
.
s
Wähle eine so feine Zerlegung Z von [a,b], etwa Z={x 0 , x 1 , ..., x p }, daß jedes der Teilintervalle
[x j-1 ,x j ]in einem der abgeschlossenen Intervalle I
j
, I
1 j
,..., I
2 j
, J
r x
, J
1 x
..., J
2 x
liegt.
s
Dann gilt:
O(Z,f)-U(Z,f)
p
p
p
= ∑ (M
l
− m
l
) ⋅ (x
l
− x
l−1
) = ∑ (M
l
− m
l
) ⋅ (x
l
− x
l−1
) + ∑ (M
l
− m
l
) ⋅ (x
l
− x
l−1
)
l = 1
[ x
l=
1
r
l −1 , xl
] ⊆U
I
[ xl
− x
jk
1,
l ]
k = 1
l = 1
⊆
s
U
J
xk
k = 1
[ 2$k$e+e$(b-a) = (2$k+(b-a))$e , wenn M l =sup{f(x): x c [x l-1 ,x l ]} und m l =inf{f(x): x c [x l-1 ,x l ]}
u Satz (1.38) liefert Behauptung
2) u 1)
f ist beschränkt auf [a,b]. M sei die Menge der Unstetigkeitsstellen von f, sei x c [a,b], sei
W f (x):= lim sup f(s) − f(t) , wobei J ¼ (x)=(x-¼,x+¼)(Oszillation)
δ → 0
+
s,
t ∈[
a,
b]
∩Jδ
( x)
Für m c N gilt M`U∞
D m
m=1
, wobei D m :={x c [a,b]: W f (x)m m
1 }.
Wir zeigen: Für m c N ist D m eine Lebesgue-Nullmenge.
Sei m c N und D m gÃ. Zu e>0 existiert eine Zerlegung Z e,m von [a,b] mit
ε
O(Z e,m,f)-U(Z e,m,f)< .
2 ⋅ m
Sei J die Menge aller Teilintervalle I k von Z e,m und I k 3 D m g Ã, dann gilt D m`
I
U I
k
.
k ∈ J

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Enthält I k einen inneren Punkt n k , dann existiert ¼>0 mit I ¼ (n k )`I k und
1
sup f(s) − f(t) ≥ .
s,
t ∈ Jδ
( ξk
)
m
Sei J*` J die Menge aller Teilintervalle I k von Z e,m deren Inneres mindestens einen Punkt von
D m enthält.
1
ε
u ⋅ ∑ I
k
≤ ∑ (M
k
− m
k
) ⋅ I
k [ O(Z e,m,f)-U(Z e,m,f)<
m
2 ⋅ m
I ∈ J*
k
I ∈J
*
k
Zu den Teilpunkten x 0 , x 1 , ..., x r der Zerlegung Z e,m findet man abgeschlossene Intervalle
r
ε
I
0
,’ I1
’,...,
I
r
’ mit x j c I j
’ und ∑ I
j
’ < . Dann wird D m überdeckt von dem endlichen System
j=
1 2
ε ε
J* 4 { I
0
,’ I1
’,...,
I
r
’}, deren Längensumme < + = ε ist.
2 2
2) w 3) entspricht Definition (1.39) q.e.d.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
.XUYHQXQG.XUYHQLQWHJUDOH
:LUÃ ZROOHQÃ QXQÃ GHQÃ ,QWHJUDOEHJULIIÃ HWZDVÃ HUZHLWHUQÃ LQGHPÃ ZLUÃ GDV
,QWHJUDWLRQVLQWHUYDOOÃ>DE@ÃHUZHLWHUQÃ]XÃHLQHUÃ.XUYHÃLQÃGHUÃ(EHQHÃE]ZÃHLQHUÃ.XUYHÃLP
R n à $XIà GLHVHà :HLVHà ZROOHQà ZLUà SK\VLNDOLVFKHà %HJULIIHà ZLHà $UEHLWà RGHUà 0DVVH
HUOlXWHUQÃ ,PÃ 0LWWHOSXQNWÃ GHUÃ 8QWHUVXFKXQJHQÃ ZHUGHQÃ ]XQlFKVWÃ GLHÃ .XUYHQÃ LPÃ R n
VWHKHQÃ XQGÃ DQVFKOLH‰HQGÃ GLHÃ ,QWHJUDOHÃ GHUHQÃ ,QWHJUDWLRQVEHUHLFKÃ JHUDGHÃ GLH
JHHLJQHWHQÃ.XUYHQÃVLQG
§ 1 Kurven im 5 Q
:LUÃ YHUZHQGHQÃ HLQHQÃ .XUYHQEHJULIIÃ GHUÃ LQÃ GHUÃ .LQHPDWLNÃ ZXU]HOWÃ (UÃ LVWÃ GLHÃ PDWKHPDWLVFKHÃ $EVWUDNWLRQÃ GHU
%HZHJXQJÃ HLQHVÃ 3XQNWHVÃ LPÃ 5DXPÃ GLHÃ GXUFKÃ GLHÃ $QJDEHÃ GHVÃ 2UWHVÃ »(t) = (» 1 (t),» 2 (t),» 3 (t))Ã ]XP
=HLWSXQNWÃWÃEHVFKULHEHQÃZLUG
(2.1) Definition:
1) Eine Kurve im R n ist eine stetige Abbildung »: ItR n mit
tx»(t)=(» 1 (t),..., » n (t)) eines Intervalles I`R. I heißt der Parameterbereich der
Kurve und t der Parameter
2) Ist I=[a,b], so heißt »(a) der Anfangspunkt und »(b) der Endpunkt der Kurve
3) » heißt differenzierbar (bzw. stetig differenzierbar), wenn jede Koordinatenfunktion
» i , i c {1,...,n} differenzierbar (bzw. stetig differenzierbar) ist
4) Der Wertebereich »(I) heißt Spur der Kurve
5) Eine stetig differenzierbare Kurve »: ItR n heißt glatt (=regulär) an der
Parameterstelle t 0 c I, wenn »‘(t 0 )=(» 1 ‘(t), » 2 ‘(t),..., » n ‘(t))g(0,0,...,0)
6) Die Kurve heißt glatt (=regulär) wenn sie in jedem Punkt t 0 c I glatt ist
:LUÃI JHQÃGLHVHUÃ'HILQLWLRQÃQRFKÃHLQLJHÃHUJlQ]HQGHÃ%HPHUNXQJHQÃXQGÃ(UNOlUXQJHQÃEHLÃ=XQlFKVWÃVHLÃEHWRQWÃGD‰
GLHÃ%H]HLFKQXQJVZHLVHÃQLFKWÃJDQ]ÃHLQKHLWOLFKÃ LVWÃ %HLÃ +HXVHUÃ ZLUGÃ HLQHÃ .XUYHÃ HLQÃ :HJÃ JHQDQQWÃ XQGÃ GLHÃ 6SXU
HLQHUà .XUYHà HLQà %RJHQà (LQHà .XUYHà LVWà QLFKWà EOR‰Ã HLQHà 3XQNWPHQJHà QlPOLFKà GHUà :HUWHEHUHLFKû(I)ÃDOVRà GLH
6SXUÃ]XÃLKUÃJHK|UWÃZHVHQWOLFKÃGHUÃGXUFKÃGLHÃ3DUDPHWHUGDUVWHOOXQJûÃYHUPLWWHOWHó=HLWSODQ§ÃGHUÃ'XUFKODXIXQJÃGHU
6SXUÃ'LHÃ.XUYHÃLVWÃVR]XVDJHQóRULHQWLHUW§ÃLQÃGHPÃ6LQQHÃGD‰Ã»(t 1 )óYRU§Ã»(t 2 )ÃNRPPWÃZHQQÃt 1

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
3) »: [0,o]tR 2 »(t)=(cos(2$t),sin(2$t))
u Spur von »=S 1 (0) mathematisch positiv durchlaufen, aber „doppelt so schnell“
durchlaufen
4) »: [0,6o]tR 2 »(t)=(cos(t),sin(t))
u Spur von »=S 1 (0), aber dreimal durchlaufen
5) »: [a,b]tR n
» - : [a,b]tR n » - (t):=»(a+b-t)
u » - (a)=»(b) und » - (b)=»(a)
» - ist die umgekehrt durchlaufene Kurve zu ».
(2.2) Definition: Seien x c R n , y c R n , xgy. Unter der Verbindungsstrecke xy von x nach
y versteht man die Kurve »: [0,1]tR n mit »(t) = x+t$(y-x). Sind die Punkte
x 1 , x 2 , ..., x p c R n gegeben, so heißt die Vereinigung der Verbindungsstrecken
x
1x
2
∪ x
2
x
3
∪K ∪ x
p−1x
p
Polygonzug von x 1 nach x p durch x 1 , x 2 , ..., x p-1 , x p .
Sei Z eine Zerlegung von [a,b] für die stetig differenzierbare Kurve.
»: [a,b]tR n r
, etwa Z={t 0 , t 1 , ..., t r }, dann ist s(Z,»)=∑ γ ( t ) j
− γ (t ) j −1 die Länge
des Polygonzuges von »(t 0 ) nach »(t r ) über »(t 0 ), »(t 2 ), »(t r ).
j = 1
'HQÃ 3RO\JRQ]XJÃ EHQXW]HQÃ ZLUÃ XPÃ ]XÃ HLQHUÃ VLQQYROOHQÃ /lQJHQGHILQLWLRQÃ I UÃ HLQH
VWHWLJHÃGLIIHUHQ]LHUEDUHÃ.XUYHûÃ>DE@tR n Ã]XÃJHODQJHQÃ,VWûà ,tR n à HLQHà VWHWLJH
.XUYHÃGDQQÃGHILQLHUWÃMHGHÃ=HUOHJXQJÃ= ^W W ÃÃW P`ÃYRQÃ,ÃGHQÃ3RO\JRQ]XJûW à c
R n à QDFKûW P à cÃR n à GXUFKÃGLHà 3XQNWHûW à à »W P à 'LHà /lQJHà GLHVHVà 3RO\JRQ
m
]XJHVà EHWUlJWà V=»Ã ∑ γ (t
j
) - γ (t
j-1
) à ZREHLà yyà GLHà HXNOLGLVFKHà 1RUPà DXIà R n à PLW
1
2
j=
1
⎛ 2 ⎞
y[y à ⎜ x j
⎟
∑ n
ÃI UÃ[Ã Ã[ ÃÃ[ Q ÃcÃR n ÃEH]HLFKQHÃ,VWÃ= r=ÃHLQHÃ9HUIHLQHUXQJÃYRQ
⎝ j = 1 ⎠
=ÃVRÃJLOWÃV= à ûÃrÃV=Ãû
,QVEHVRQGHUHÃJLOWÃI UÃ]ZHLÃ=HUOHJXQJHQÃ= ÃXQGÃ= ÃYRQà >DE@à VWHWVà V= à 4Ã= à ûà r
PD[^V= à ûÃÃV= Ãû`
(2.3) Definition: Eine stetige Kurve »: ItR n heißt rektifizierbar (=von endlicher
Länge), wenn die Menge der Längen aller Polygonzüge s(Z,»), Z Zerlegung von I,
beschränkt ist.
Gegebenenfalls heißt s(»)= sup s(Z,») die Länge von ».
Z
b
:LUÃZROOHQÃ]HLJHQÃGD‰ÃGLHÃ/lQJHÃHLQHUÃVWHWLJÃGLIIHUHQ]LHUEDUHQÃ.XUYHûÃ>DE@tR n ÃJHUDGHÃV» ∫
EHWUlJWÃ,PÃ%HZHLVÃYHUZHQGHQÃZLUÃGDVÃ,QWHJUDOÃHLQHVÃQ7XSHOVÃYRQÃ5HJHOIXQNWLRQHQ
a
γ ’(t)
dt
(2.4) Lemma: Sei f=(f 1 , ..., f n ) ein n-Tupel von Regelfunktionen f j : [a,b]tR.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Sei
⎛
⎜
⎜
⎝
Beweis:
n
b
∫
a
∑ ∫
b
b
= ⎛
⎞
⎜
⎟
∫
b
f(x) dx : ∫ f1 (x) dx , ∫ f
2
(x) dx , K , f
n
(x) dx
. Dann gilt:
⎝ a
a
a ⎠
b
j=
1 a
1
2
⎞ 2 b
b
b
⎟
∫ ∫ ∫ ∑ ⎟ ⎞
⎜ ⎛
n
2
2
f
j
(x) dx = f(x) dx ≤ f(x) dx = f
j
(x) dx .
⎟
a
a
a
⎠
⎝ j=
1 ⎠
Im Fall eines n-Tupels von Treppenfunktionen handelt es sich um eine Abschätzung zwischen
Summen und diese ergibt sich unmittelbar mit der Dreiecksungleichung der Norm. Dabei darf
o.B.d.A. angenommen werden, daß alle Treppenfunktionen dieselben Sprungstellen haben.
Im allgemeinen Fall folgt dann die Behauptung wörtlich wie in Satz (1.14) für n=1.
1
q.e.d.
(2.5) Satz: Sei »: [a,b]tR n eine Kurve mit dem (kompakten) Parameterintervall [a,b] und
»=(» 1 , ..., » n ), so daß für j c {1,...,n} eine Regelfunktion » j ‘: [a,b]tR existiert, die » j
als Stammfunktion besitzt. Dann ist » rektifizierbar, und es gilt
Beweis:
s(»)=
b
∫
a
b
∫ ∑ ⎟ ⎞
⎜ ⎛
n
2
γ ’(t)
dt = γ
j
’(t) dt .
a ⎝ j=
1 ⎠
1
2
Sei Z={t 0 , t 1 , ..., t m } eine Zerlegung von [a,b]. Dann gilt für den Polygonzug von »(t 0 ) nach
»(t m ) über »(t 1 ), ..., »(t m-1 ):
m
s(Z,») = ∑ γ (t
j
) − γ (t
j−1
) = γ ’(t) dt ≤ γ ’(t) dt =
j = 1
u s(») [ ∫
b
a
γ ’(t)
m
∑ ∫
j = 1
t j
t j −1
(2.4)
dt . Also ist » rektifizierbar.
m
t j
∑ ∫
j=
1 t j −1
b
∫
a
γ ’(t)
Sei e>0: Zu » k ‘ gibt es eine Treppenfunktion T k mit x» k ‘(t)-T k (t)x 2 2
ε
<
2
4 ⋅ n ⋅ (b − a)
für alle t c [a,b]
u y»‘(t)-T(t)y 2 n
2
2 ε
ε
= ∑ γ
k
’(t) − T
k
(t) < , d.h. y»‘(t)-T(t)y[
2
k = 1
4 ⋅ (b − a)
2 ⋅ (b − a)
für T=(T 1 , ..., T n ).
Wir wählen eine Zerlegung Z={t 0 , t 1 , ..., t m } von [a,b] so fein, daß T=(T 1 , ..., T n ) konstant ist
auf jedem Teilintervall [t j-1 ,t j ], j c {1,...,m}.
dt
t j
∫
∫
Dann gilt: ’(t)
dt ≥ T(t) dt − ( γ ’(t) − T(t) )
t j −1
t j
γ dt .
t j −1
t j
∫
t j −1

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Da T in [t j-1 ,t j ] konstant ist, gilt
t
t
j
∫
j −1
⎛
⎜
T(t) dt = ⎜
⎝
n
t
∑ ∫
k = 1 t
j
j −1
T
1
2 2
1
1
n
n
t j
⎛
2 ⎞ 2
⎛ 2 ⎞ 2
k
(t) dt = ⎜∑
c
k
⋅ (t
j
− t
j−1
) ⎟ = t
j
− t
j−1
⋅ ⎜∑
c
k
⎟ = ∫ T(t) dt .
⎝ k = 1
⎠
⎝ k = 1 ⎠ t
⎞
⎟
⎟
⎠
j −1
Wegen Lemma (2.4) gilt
t j
∫
t j −1
t
j
ε
γ ’(t)
− T(t) dt ≤ ∫ γ ’(t) − T(t) dt ≤ ⋅ (t
j
− t
j−1
)
2 ⋅ (b − a)
t j −1
u s(Z,») =
m
∑ ∫
j=
1
t j
t j −1
γ ’(t) dt
b
≥ ∫
a
T(t)
ε
dt − .
2
Weiter folgt mit yT(t)ymy»©(t)y-yT(t)-»©(t)y
b
∫
a
T(t) dt ≥
b
∫
a
γ ’(t) dt −
b
∫
a
T(t) − γ ’(t) dt ≥
b
∫
a
γ ’(t)
ε
dt −
2
u s(Z,») m
b
u s(») =∫
a
b
∫
a
γ ’(t)
γ ’(t)
dt
dt − ε
q.e.d.
%HPHUNXQJÃ'LHÃ)ROJHUXQJÃQDFKÃÃ]HLJWÃGD‰Ã»Ã>DE@tR n ÃHLQHÃIDVWà EHUDOOÃVWHWLJÃGLIIHUHQ]LHUEDUHÃ.XUYHÃLVW
(2.6) Korollar: Sei f: [a,b]tR eine stetig differenzierbare Funktion. Sei »: [a,b]tR 2 mit
»(t)=(t,f(t)) die zugehörige stetig differenzierbare Kurve, deren Spur mit dem
Graphen von f zusammenfällt. Dann gilt für die Länge der Kurve
b
2
s(») = ∫ ( 1 + f ’(t))
dt .
a
Beispiele:
1) Ellipse mit Hauptachsen a und b:
»: [0,2o]tR 2 »(t)=(a$cos(t),b$sin(t))
»‘(t)= (-a$sin(t),b$cos(t)), » ist glatt.
2 2
x y
Spur-Gleichung: + = 1
2 2
a b
2) Hyperbeläste:
»(t)=(!a$cosh(t),b$sinh(t)) , t c R

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
2 2
x y
Spur-Gleichung: − = 1, » ist glatt.
2 2
a b
3) Neilsche Parabel:
»: RtR 2 »(t)=(t 2 ,t 3 )
Spur-Gleichung: y 2 =x 3
Wegen »‘(t)=(2$t,3$t 2 ) ist » in t=0 nicht glatt.
4) Zykloide:
»: RtR 2 »(t)=(t-sin(t),1-cos(t))
»‘(t)=(1-cos(t),sin(t)), nicht glatt für t=2$k$o
5) Spiralen:
»: RtR 2 »(t)=(f(t)$cos(t) , f(t)$sin(t)), wobei f streng monoton ist.
6) Schraubenlinie:
»: RtR 3 »(t)=(r$cos(t),r$sin(t),h$t), 2$o$h Ganghöhe
Spur liegt auf einem Zylinder Z={(x,y,z) c R 3 : x 2 +y 2 =r 2 }
Die Kurve ist glatt.
[z ist beliebig!]
,VWÃHLQHÃVWHWLJÃGLIIHUHQ]LHUEDUHÃ.XUYHÃLQÃHLQHPÃ3XQNWÃW ÃcÃ>DE@ÃQLFKWÃJODWWÃVRÃJLOWÃI UÃGLHÃ3DUDPHWHUGDUVWHOOXQJ
»Ã >DE@tR n û©W à à à GLHVà EHGHXWHWà GD‰Ã LPà )DOOHà Q à GLHà *HVFKZLQGLJNHLWà GHUà %HZHJXQJà Wx»Wà LP
=HLWSXQNWÃW Ã1XOOÃLVWÃ'LHÃ7DWVDFKHÃGD‰ÃGLHÃ.XUYHÃLPÃ3XQNWûW ÃQLFKWÃJODWWÃLVWÃPX‰ÃVLFKÃQLFKWÃDQÃGHUÃ6SXUÃGHU
.XUYHÃ]HLJHQÃVLHÃLVWÃDOVRÃDEKlQJLJÃYRQÃGHUÃJHZlKOWHQÃ3DUDPHWHUGDUVWHOOXQJ
(2.7) Definition: Sei »: [a,b]tR n eine differenzierbare Kurve. Dann heißt
1) »‘(t)=(» 1 ‘(t), ..., » n ‘(t)) der Tangentialvektor oder auch
Geschwindigkeitsvektor der Kurve » an der Parameterstelle t
2) y»‘(t)y die Geschwindigkeit der Kurve an der Stelle t
γ ’(t)
3) T(t):= der Tangentialeinheitsvektor an der Stelle t, wenn »‘(t)g0.
γ ’(t)
'HUÃ7DQJHQWLDOYHNWRUÃLVWÃDOVRÃ]XÃHLQHUÃ3DUDPHWHUVWHOOHÃQLFKWÃ]XÃHLQHPÃ2UWÃGHUÃ.XUYH
GHILQLHUW
Beispiele:
1) »(t) = (t 2 -1,t 3 -t), t c [-2,2] »(1) = (0,0) = »(-1)
»‘(t) = (2$t ,3$t 2 -1) »‘(1) = (2,2)
»‘(-1) = (-2,2)
2) »: [0,o]tR 2 ⎛ π ⎞
⎛ π ⎞
mit »(t)=(cos(t),sin(t)) » ⎜ ⎟ = (0,1) »‘ ⎜ ⎟⎠ = (-1,0)
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
γ ~ : [-1,1]tR 2 mit γ ~ = (t,
2
1 − t ) ~ γ (0) = (0,1)

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
⎛ π ⎞
~γ ’(0) = (1,0) g »‘ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
'HUÃIROJHQGHÃ6DW]Ã]HLJWÃGD‰ÃGLHÃ6SXUÃHLQHUÃJODWWHQÃ.XUYHÃLPÃR 2 ÃRKQHÃYHUWLNDOHÃ7DQJHQWHQÃORNDOÃDOVÃ*UDSKÃHLQHU
VWHWLJGLIIHUHQ]LHUEDUHQÃ )XQNWLRQÃ IÃ DXIJHID‰WÃ ZHUGHQÃ NDQQÃ 'LHVHUÃ 6DW]Ã LVWÃ HLQÃ HLQIDFKHUÃ )DOOÃ GHVÃ 6DW]HVÃ
LPSOL]LWHÃ)XQNWLRQHQ
EHU
(2.8) Satz: Sei »: ItR 2 eine stetig differenzierbare Kurve mit »(t) = (» 1 (t),» 2 (t)). In I habe
» 1 ‘(t) keine Nullstelle. Dann gibt es eine stetig differenzierbare Funktion
f: J:=» 1 (I) tR, deren Graph die Spur von » ist.
γ
2
’(t
0
)
Es gilt in x 0 :=» 1 (t 0 ) f ‘(x 0 ) = und (gegebenenfalls)
γ
1
’(t
0
)
γ
1’(t
0
) ⋅ γ
2
’’(t
0
) − γ
1’’(t
0
) ⋅ γ
2
’(t
0
)
f ‘‘(x 0 ) =
( γ ’(t )) 3
Beweis:
1
0
» 1 ‘ ist stetig auf I und » 1 streng monoton auf I. » 1 besitzt eine Umkehrfunktion t1: JtI
u »(t)=» 1 (t) , » 2 (t)=(» 1 (t),» 2 (t1(» 1 (t)))) =:(» 1 (t),f(» 1 (t))) mit f=» 2 )t1
γ
2
’(t
0
)
u in x 0 =» 1 (t 0 ) f ‘(x 0 ) = » 2 ‘(t1(x 0 ))$t1‘(x 0 ) = (da t1(» 1 (t 0 ))=t 0 )
γ ’(t )
f ‘‘(x 0 ) = » 2 ‘‘(t1‘(x 0 )) 2 1 0
+t1‘‘(x 0 )$» 2 ‘(t1(x 0 )), wobei t1‘‘(x 0 ) =
( )
3
1
0
γ ’’(t )
− . q.e.d.
γ ’(t )
1
0
1LFKWÃLPPHUÃKDWÃGHUÃ3DUDPHWHUÃWÃI UÃHLQHÃ.XUYHûÃItR n ÃHLQHÃQDW UOLFKHÃ%HGHXWXQJÃ) UÃPDQFKHÃ)UDJHQÃLVW
HVÃ]ZHFNPl‰LJÃ]XÃHLQHUÃ.XUYHúÃ
EHU]XJHKHQÃZHOFKHÃGLHVHOEHÃ6SXUÃKDWÃGLHVHÃ6SXUÃDEHUÃPLWÃHLQHPÃQHXHQ
=HLWSODQÃVxºVÃGXUFKOlXIWÃ*HRPHWULVFKHÃ%HJULIIHÃVLQGÃGDQQÃGDGXUFKÃDXVJH]HLFKQHWÃGD‰ÃVLHÃHLQHQÃ3DUDPHWHU
ZHFKVHOÃRKQHÃbQGHUXQJÃ EHUVWHKHQ
(2.9) Definition: Eine stetige (bzw. k-mal stetig differenzierbare) Abbildung r: ItJ eines
Intervalles I`R auf ein Intervall J heißt
1) eine stetige (bzw. C k -) Parametertransformation, k c N, wenn sie bijektiv ist
und die Umkehrfunktion r -1 : JtI ebenfalls stetig ist (bzw. zur Klasse C k gehört)
2) orientierungstreu, wenn sie streng monoton wächst
3) orientierungsumkehrend, wenn sie streng monoton fällt
Ist »: ItR n eine Kurve und r: ItJ eine stetige Parametertransformation, dann ist
º: JtR n mit º(s):=»(r -1 (s)) , s c J, eine neue (parametrisierte) Kurve, diese hat
dieselbe Spur. Die Kurve º nennt man auch die Umparametrisierung von »
mittels r.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Eigenschaften:
Gehören » sowie r und r -1 zur Klasse C k , so auch º. Ist r eine C 1 -Parametertransformation,
so gilt r‘(t)g0 für alle t c I. In diesem Fall ist r orientierungstreu für r‘(t)>0 und
orientierungsumkehrend für r‘(t)

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 2 Kurvenintegrale für Vektorfelder
9HNWRUIHOGHUÃWUHWHQÃLQÃ0DWKHPDWLNÃXQGÃ3K\VLNÃLQÃPDQQLJIDFKHUÃ:HLVHÃDXIÃ6LHÃZHUGHQ
RIWÃ LPÃ =XVDPPHQKDQJÃ PLWÃ NUXPPOLQLJHQÃ .RRUGLQDWHQV\VWHPHQÃ XQGÃ DOVÃ 6\VWHPH
JHZ|KQOLFKHUÃ'LIIHUHQWLDOJOHLFKXQJHQÃEHQXW]W
(2.10) Definition: Sei U_R n , ein Vektorfeld v auf U ist eine Funktion, die jedem x c U
einen Vektor v(x) c R n zuordnet.
v: UtR n . Ist v k-mal stetig differenzierbar, so heißt v ein C k -Vektorfeld,
k c N 4 {0}.
Physikalische Interpretation:
Ein Vektorfeld v auf U `R 3 wird oft als Geschwindigkeitsfeld einer stationären, also einer
zeitunabhängigen Strömung, oder als Kraftfeld gedeutet, wobei v(x) der Geschwindigkeitsvektor
am Punkt x c U ist.
Beispiele:
1) konstante Felder definiert durch v(x):=v c R n für alle x c U
2) Zentralfelder sind auf einer Kugelschale K I (0)_R n definiert, wobei I`R ein Intervall mit
Randpunkten r 1 ,r 2 (r 1 [r 2 ) und f: ItR eine Funktion v: K I (0)tR n mit v(x):=f(yxy)$x.
Es gilt also K I (0)= K
r 2
(0) \ K
r 1
(0) , I=[r 1 ,r 2 ], oder
K I (0)= K
r 2
(0) \ K r1
(0) , I=(r 1 ,r 2 ], usw.
3) Rotationsfelder auf einem Kreisring K I (0)_R 2 , v: K I (0)tR 2 mit v(x):=f(yxy)$(-x 2 ,x 1 ) für
x=(x 1 ,x 2 ) c K I (0), wobei f: ItR, I Intervall mit Randpunkten r 1 [r 2
4) Gradientenfelder Ist f: U_R n tR eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge
U_R n , so wird das Gradientenfeld grad f: UtR n definiert durch
⎛ ∂f
∂f
⎞
grad f(x)=
⎜ (x), K , (x)
⎟ für alle x=(x 1 ,...,x n ) c U
⎝ ∂x1
∂x
n ⎠
Wir wollen nun Vektorfelder längs einer Kurve integrieren.
Physikalische Motivation:
Sei im R 3 ein Kraftfeld R 3 tR 3 gegeben und ein Partikel P bewegt sich längs einer Kurve »
in diesem Feld. Seien »(t j-1 ) und »(t j ) nahe beieinanderliegende Punkte, so leistet das Kraftfeld
bei der Bewegung von »(t j-1 ) nach »(t j ) Arbeit, die näherungsweise
ist, wobei n j =»(t j ) ein Punkt auf der Kurve ist. Die Gesamtheit ist dann
n
∑
j = 1
< k(
ξ ), γ (t ) − γ (t .
j
j
) j− 1
>
Durch infinitesimale Verfeinerung – Grenzwert der Summen – wird die gesuchte Arbeit
definiert.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(2.11) Definition: Sei »: [a,b]tR n eine Kurve. Eine Vektorfeld v: U:=»([a,b])tR n heißt
längs » integrierbar, wenn eine Zahl I existiert mit der Eigenschaft: zu jedem e>0
existiert ein ¼>0, so daß für jede Zerlegung Z={t 0 ,t 1 ,...,t p }, p c N, von [a,b] mit
Feinheit l(Z)
γ
γ (t
j
) − γ (t
) j− 1
>
. I heißt dann
Ist »:= id: [a,b]tR, »(t)=t und v: U=»([a,b])=[a,b]tR eine Funktion, so sind die
Riemannschen Summen identisch mit S(Z,B,v) [nach Satz (1.35)]. Ist v eine Regelfunktion
auf [a,b], so existiert das Kurvenintegral ∫ v dt , und es gilt ∫ v dt = ∫ v(t) dt
γ
γ
a
Stetige Vektorfelder sind nicht längs beliebiger Kurven integrierbar.
b
.
(2.12) Definition: Eine Kurve »: [a,b]tR n heißt Integrationsweg, wenn zu »=(»1,...,»n)
Regelfunktionen »j‘ existieren, »j‘: [a,b]tR, so daß »j Stammfunktion zu »j‘ ist,
j c {1,...,n}.
Bemerkung:
Aus Bemerkung zu Satz (2.5) folgt, daß jeder Integrationsweg rektifizierbar ist mit
b
s(»)=∫
a
γ ’(t)
dt
(2.13) Satz: Sei »: [a,b]tR n ein Integrationsweg. Sei v: U`R n tR n ein stetiges Vektorfeld
mit »([a,b])_U. Dann ist v längs » integrierbar, und es gilt
Beweis:
b
( γ (t)),
γ ’(t) > dt = v ( γ (t))
∫ < v,
dt > = ∫ < v ∑∫
= 1
γ
a
j
n
b
a
j
⋅ γ ’(t)
dt .
Der Integrationsweg hat endliche Länge s(»). Da v stetig und »j Stammfunktion zu »j‘ ist, ist
» und damit auch v j )» auf [a,b] stetig. Zu e>0 wähle man ¼>0, so daß für alle s,t c [a,b] mit
xs-tx

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
n
∑∫
Sei I:= v ( (t))
b
j = 1 a
p
S(Z,B,v):= ∑ < v( γ (t )),
j
j = 1
γ γ ’(t) dt , dann gilt wegen »j(t r-1 )-»j(t r ) = γ ’(t) dt mit
j
j
γ (t
j
) - γ (t
j-1
)
p
xS(Z,B,v)-Ix=x ∑ < v( (t )),
j = 1
p
n
>
γ γ (t ) - γ (t > - v ( γ (t))
γ
j j j-1
)
n
b
∑∫
j = 1 a
j
t
t
r
∫
r −1
j
j
’(t) dt
r
= ∑∑v
j( γ (t
r
))( γ
j
(t
r
) - γ (t
r-1
)) − ∑ ∫∑ v
j( γ (t))
r = 1 j=
1
p
n
t
p
t
n
r = 1 t j = 1
r-1
r
r
= v ( γ (t )) γ ’(t) dt − v ( γ (t))
∑∑ ∫ j r j ∑∑ ∫
r = 1 j=
1
r= 1 j=
1
tr
−1
p n
∑∑ ∫ (
j r j
)
r
= v ( γ (t )) − v ( γ (t))
r = 1 j=
1 tr
−1
t
p n
∑∑ ∫ (
j r j
)
r
[ v ( γ (t )) − v ( γ (t))
r= 1 j = 1 t
t
r −1
b
p
j
n
t
tr
−1
γ ’(t) dt
γ ’(t) dt
n
ε
ε
[ γ < γ = ε
⋅ γ
∑∫ j
’(t) dt
γ
∫ j
’(t) dt
s( )
s( )
n j = 1 a
b
a
j
j
j
j
x
γ ’(t)
γ ’(t) dt
Hierbei gilt für x c R n und x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) die Ungleichung (Cauchy-Schwarz)
n
∑
j = 1
1
n
⎛
n
2 ⎞ 2 ⎛
n 2
2 2
x = ⎞ ⎛ ⎞
2
j
x
j
⋅1≤
⎜ x ⎟ ⎜
j
1 ⎟ = ⎜ x ⎟
⋅
∑
n
∑ ∑ ∑
j
⋅ n =
j=
1 ⎝ j = 1 ⎠ ⎝ j=
1 ⎠ ⎝ j=
1 ⎠
1
1
n x
q.e.d.
Beispiele:
1) ¹m1, » ¹ : [0,1]tR » ¹ (t) = (t,t ¹ ) » ¹ (0) = (0,0)
» ¹ (1) = (1,1)
v(x,y) = (y 2 ,1)
1
( γ (t)),
∫ < v,
dt > = ∫ < v
α
γ
α
’(t) >
γ
α
0
1
2 ⋅α
+ 1
» ¹ ‘(t) = (1, ¹$t ¹-1 2
1
) u ∫ < −
v, dt > = ∫ ( t ⋅1
+ 1⋅
⋅ t ) α α
α dt = + 1
γ α
1
0
Alle Kurven haben denselben Anfangs- und Endpunkt, die Integrale aber haben
verschiedene Werte
2) »: [a,b]tR 2 sei eine Kurve mit »(t)g0, als Vektorfeld sei gewählt das Windungsfeld /
die Windungsform
1
v(x,y) = ⋅ ( −y,
x) v: R 2 \ {0}t R 2
2 2
x + y
b
− γ (t) ⋅γ
’(t) + γ
1
(t) ⋅γ
2
’(t)
dt dt
2
2 1
∫ < v, > = ∫
+
γ
a
2
( γ (t)) ( γ (t))
1
2

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
:LUÃVWHOOHQÃQXQÃHLQLJHÃVHKUÃHLQIDFKHÃ(LJHQVFKDIWHQÃYRQÃ.XUYHQLQWHJUDOHQÃ]XVDPPHQ
(2.14) Satz: (Rechenregeln für Kurvenintegrale):
1) Sind v und w längs einer Kurve » integrierbar, so ist auch ¹$v+º$w längs »
integrierbar mit ∫ < α ⋅ v + β ⋅ w , dt > = α ⋅ ∫ < v, dt > + β ⋅ ∫ < w,
dt >
γ
2) Sei a + ∫ < v, dt >
γ
γ
1
γ
2
3) Sei t: [¹,º]t[a,b] eine bijektive, stetige Funktion mit t=t(s). Sei v längs der
Kurve »: [a,b]tR n integrierbar. Dann ist v auch längs der Kurve ») t integrierbar,
und es gilt: ∫ < v, ds > = ± ∫ < v, dt > .
γ ot
γ
Dabei gilt „+“, wenn t monoton wächst, und „–“, wenn t monoton fällt.
Insbesondere gilt ∫ < v, dt > = −∫
< v,
dt >
γ
−
γ
γ
γ
4) ∫ < v , dt > [ s(»)$
γ
max yv(»(t))y, wenn »: [a,b]tU`R n
t ∈[
a,
b]
Beweis:
1) – 3) lassen sich leicht anhand der Definition nachweisen
ad 4)
Sei M:= max yv(»(t))y, dieses Maximum ist vorhanden, da v und » stetige Funktionen sind
t ∈[a,b]
und [a,b] kompakt ist. Für die Riemannschen Summen ergibt sich mit Hilfe der Cauchy-
Schwarzschen Ungleichung
∑
p
p
( γ (t )),
γ (t
j
) - γ (t
j-1
) > ≤∑
< v( γ (t
j
)),
γ (t
j
) - γ (t
j-1
) > ≤ ∑ v( γ (t
j
))
p
< v
j
γ (t
j
) - γ (t
j-1
)
j=
1
j = 1
j=
1
≤ M ⋅
p
∑
j=
1
γ (t ) - γ (t ≤ M$s(») q.e.d.
j j-1
)

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 3 Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen, Gradientenfelder und
Potentiale
-HGHÃ VWHWLJHÃ )XQNWLRQÃ IÃ >DE@tRÃ EHVLW]WÃ QDFKÃ GHPÃ +DXSWVDW]Ã GHUÃ 'LIIHUHQWLDOÃ XQGÃ ,QWHJUDOUHFKQXQJÃ HLQH
6WDPPIXQNWLRQÃ)Ã>DE@tRÃVRÃGD‰Ã)©[à ÃI[ÃI UÃDOOHÃ[ÃcÃ>DE@ÃVLHKHÃÃXQGÃÃ,PÃ*HJHQVDW]Ã]XP
HLQGLPHQVLRQDOHQÃ)DOOÃ H[LVWLHUWÃ QLFKWÃ ]XÃ MHGHPÃ VWHWLJHQÃ 9HNWRUIHOGÃ YÃ DXIÃ HLQHUÃ RIIHQHQÃ 0HQJHÃ 8Ã HLQHÃ 6WDPP
IXQNWLRQ
:LUÃGLVNXWLHUHQÃGLHÃ,QWHJUDWLRQÃYRQÃ9HNWRUIHOGHUQÃGLHÃHLQHÃ6WDQPPIXQNWLRQÃEHVLW]HQ
XQGà ]HLJHQà GD‰Ã GLHà ([LVWHQ]à YRQà 6WDPPIXQNWLRQHQà ]XUà :HJXQDEKlQJLJNHLWà GHU
.XUYHQLQWHJUDOHÃJOHLFKZHUWLJÃLVW
In R:
b
∫
a
f(t) dt = F(b) − F(a) , wenn F‘= f.
Gegeben seien
v = (v 1 ,v 2 ,...,v n ) f = f(x 1 ,...,x n )
∂f
= v
j
∂x
grad f =
⎛ ∂ ⎞
⎜
f ∂f
, K ,
⎟
⎝ ∂x1 ∂x ist die adäquate Verallgemeinerung zu F‘
n ⎠
j
(2.15) Definition: Sei U`R n eine offene Menge, v: UtR n ein Vektorfeld mit v=(v 1 ,...,v n ).
Eine differenzierbare Funktion f: UtR heißt eine Stammfunktion oder ein Potential
von v auf U, wenn grad f(x) = v(x) für alle x c U, d.h.
⎛ ∂f(x)
∂f(x)
∂f(x)
⎞
⎜ , , K , = ( v1,
v
2
, K,
v
n
)
x1
x
2
x
⎟
gilt für alle x c U.
⎝ ∂ ∂ ∂
n ⎠
v heißt dann Gradientenfeld, Potentialfeld oder konservatives Vektorfeld.
v heißt exakt auf U, wenn v stetiges Potentialfeld auf U ist.
%HLÃ GHUÃ )UDJHÃ REÃ HLQÃ 9HNWRUIHOGÃ HLQHÃ 6WDPPIXQNWLRQÃ EHVLW]WÃ LVWÃ JHQDXÃ DXIÃ GHQ
'HILQLWLRQVEHUHLFKÃ ]XÃ DFKWHQÃ (VÃ JLEWÃ 9HNWRUIHOGHUÃ GLHÃ DXIÃ HLQHUÃ RIIHQHQÃ 0HQJHÃ 8
NHLQHÃ6WDPPIXQNWLRQÃEHVLW]HQÃMHGRFKÃDXIÃJHHLJQHWHQÃ7HLOPHQJHQÃYRQÃ8
(2.16) Definition: Eine nichtleere Teilmenge U`R n heißt
1) zusammenhängend, wenn je zwei Punkte aus U durch eine Kurve verbunden
werden können, die ganz in U liegt
2) sternförmig, wenn es ein a c U gibt, Zentrum genannt, so daß für jedes x c U die
Verbindungsstrecke ax von a nach x in U liegt
3) konvex, wenn sie mit je zwei ihrer Punkte auch die Verbindungsstrecke enthält
4) ein Gebiet, wenn U offen und zusammenhängend ist

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(2.17) Satz: Ist f auf der offenen Menge U`R n eine Stammfunktion des stetigen
Vektorfeldes v: UtR n , so gilt für jeden in U verlaufenden Integrationsweg » mit dem
Anfangs-punkt a c U und dem Endpunkt b c U
v , dt > = < grad f , dt > = f(b) − f(a)
Beweis:
∫ < ∫
γ
γ
»: [¹,º]tU mit »(¹)=a, »(º)=b, »=(» 1 ,...,» n ) , da » j Stammfunktion zu » j ‘: [¹,º]tR,
∂f
j c {1,...,n}, ist » stetig. f ist Stammfunktion von v, d.h. = v
j
sind stetig, j c {1,...,n}, f
∂x
j
stetig partiell differenzierbar u f ist stetig.
Betrachte w: [¹,º]tR mit w(t)=f(»(t))
u w‘(t) = (Kettenregel)
β
∫ dt ∫
γ ’(t)
>
f(b)-f(a) = w(º)-w(¹) = ϕ (t) = < grad f( γ (t)),
α
β
’ dt = ∫ < grad f , dt > = ∫ < v,
dt >
α
γ
γ
q.e.d.
(2.18) Korollar: Besitzt das stetige Vektorfeld v: UtR n auf der offenen Menge U`R n eine
Stammfunktion, so gilt
1) für jeden geschlossenen Integrationsweg » (d.h. Anfangspunkt gleich Endpunkt)
in U ∫ < v , dt > = 0
γ
2) für zwei Integrationswege » 1 und » 2 in U mit demselben Anfangspunkt und
demselben Endpunkt ∫ < v, dt > = ∫ < v, dt >
γ
1
γ
2
(2.19) Definition: Sei U`R n offen, v: UtR n stetig. Gilt für beliebige Integrationswege » 1
und » 2 in U mit demselben Anfangspunkt und demselben Endpunkt
∫ < v, dt > = ∫ < v, dt > , so heißt das Kurvenintegral von v in U wegunabhängig.
γ
1
Man schreibt auch
γ
2
∫ < v, dt > = ∫ < v,
dt >
γ
b
a
(LQÃH[DNWHVÃ9HNWRUIHOGÃNDQQÃDOVRÃZHJXQDEKlQJLJÃLQWHJULHUWÃZHUGHQÃ'LHÃ:HJXQDEKlQJLJNHLWÃGHVÃ.XUYHQLQWHJUDOV
LVWÃ VRPLWÃ I UÃ GLHÃ ([LVWHQ]Ã HLQHUÃ 6WDPPIXQNWLRQÃ I UÃ HLQÃ VWHWLJHVÃ 9HNWRUIHOGÃ QRWZHQGLJÃ ,QWHUHVVDQWHUZHLVHÃ JLOW
KLHUYRQÃDXFKÃGLHÃ8PNHKUXQJÃ'HUÃIROJHQGHÃ6DW]ÃJLEWÃLQÃ$QDORJLHÃ]XPÃ+DXSWVDW]ÃGHUÃ'LIIHUHQWLDOÃXQGÃ,QWHJUDO
UHFKQXQJÃ HLQHÃ 6WDPPIXQNWLRQÃ DQÃ LQÃ *HVWDOWÃ HLQHVÃ .XUYHQLQWHJUDOVÃ PLWÃ IHVWÃ JHZlKOWHPÃ $QIDQJVSXQNWÃ XQG
YDULDEOHPÃ(QGSXQNWÃYJOÃGD]XÃ6DW]Ã

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(2.20) Satz: Sei U`R n ein Gebiet. Ein stetiges Vektorfeld v: UtR n besitzt genau dann eine
Stammfunktion auf U, wenn es in U wegunabhängig integriert werden kann. Im Falle
der Wegunabhängigkeit ist eine Stammfunktion von f: UtR gegeben durch
Beweis:
x
f(x):= ∫ < v , dt > für x c U, wobei a c U ein fester Punkt ist.
a
U`R n Gebiet u U offen, x c U. Es existiert ein r>0 mit K r (x)={y c R n : yy-xy< r} ` U, sei h
mit yhy = ∫ < v( γ (t)),
γ ’(t) > dt = ∫
∫ < v(x + th), h > dt
γ
1
u f(x+h)-f(x)- =∫ < v(x + th) − v(x) >
xf(x+h)-f(x)-x[
1
∫
0
0
0
dt
< v(x + th) − v(x) > dt
≤
0
C.
S.
1
[ max v(x + th) − v(x) ⋅ h ⋅ ∫
t ∈[0,1]
1
0
∫
0
dt
v(x + th) − v(x)
f(x + h) − f(x) − < v(x),h >
u ≤ max v(x + th) − v(x) → 0 für ht0
h
t ∈[0,1]
⋅
h
dt
u v(x) totales Differential von f in x
q.e.d.
'DVÃVWHWLJHÃ9HNWRUIHOGÃYÃDXIÃGHPÃ*HELHWÃ8`R n ÃLVWÃDOVRÃJHQDXÃGDQQÃHLQÃ*UDGLHQWHQIHOGÃZHQQÃGDVÃ,QWHJUDOÃ EHU
YÃZHJXQDEKlQJLJÃLVWÃ9RPÃSUDNWLVFKHQÃ6WDQGSXQNWÃDXVÃJHVHKHQÃZLUGÃGLHVHÃ$QWZRUWÃQLFKWÃYROOÃEHIULHGLJHQÃGDÃGLH
%HUHFKQXQJÃHLQHVÃ.XUYHQLQWHJUDOVÃVHKUÃVFKZLHULJÃVHLQÃNDQQÃXQGÃGDU EHUKLQDXVÃ DOOHÃ P|JOLFKHQÃ .XUYHQLQWHJUDOH
EHUHFKQHWà ZHUGHQà P VVHQà :HLWDXVà ]ZHFNPl‰LJHUà ZlUHà HVà VWDWWà HLQHVà ³,QWHJUDONULWHULXPV§Ã HLQà ³'LIIHUHQWLDO
NULWHULXP§ÃEHQXW]HQÃ]XÃN|QQHQÃ)ROJHQGHÃOHLFKWÃQDFKSU IEDUHÃ%HGLQJXQJÃLVWÃVHKUÃQ W]OLFK
(2.21) Satz: Sei U`R n ein Gebiet. Das stetig differenzierbare Vektorfeld v:UtR n besitze
auf U eine Stammfunktion. Dann gilt für alle x c U:
∂ v
k
(x) ∂ v
j
(x)
= ; j,k c {1,...,n} (Integrabilitätsbedingungen)
∂ x ∂ x
Beweis:
j
k
∂f
Satz von Schwarz, v = grad f, d.h. v k
=
∂x k
2
2
∂ v
k
(x) ∂ f(x) ∂ f(x) ∂ v
j
(x)
u = = =
∂ x ∂ x x ∂ x x ∂ x
j
j
k
k
j
k
q.e.d.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
n=2:
zu zeigen:
∂ v1(x)
∂ v
2
(x)
=
∂ x ∂ x
2
1
n=3:
zu zeigen:
∂ v
3
(x) ∂ v
2
(x)
− = 0
∂ x ∂ x
2
∂ v1(x)
∂ v
3
(x)
− = 0
∂ x ∂ x
3
∂ v
2
(x) ∂ v1(x)
− = 0
∂ x ∂ x
1
3
1
2
w rot v(x) = 0
(2.22) Satz: (Poincaré):
Sei U`R n ein sternförmiges Gebiet. Das stetig differenzierbare Vektorfeld v: UtR n
besitzt genau dann eine Stammfunktion auf U, wenn die Integrabilitätsbedingungen
∂ v
k
(x) ∂ v
j
(x)
= für alle U und j,k c {1,...,n} erfüllt sind.
∂ x ∂ x
Beweis:
j
k
o.B.d.A. sei a=0 Zentrum von U, sei »(t):=tx, t c [0,1] die Verbindungsstrecke von 0 nach x,
»‘(t)=x.
1
1 n
1 n
∫
γ
0
0 j=
1
0 j = 1
Sei f(x)= < v, dt > = ∫ < v( γ (t)),
γ ’(t) > dt = ∫∑ v
j( γ (t)) x
j
dt = ∫∑
v (tx) x dt
j
j
1 n
(2.23) 1 n
1 n
∂
∫∑
v = ∫∑
( ) = ∫⎜
j
(tx) x
j
dt
v
j
(tx) x
j
dt ∑
∂f ( x)
∂
=
∂ x
k
∂ x
k =
= ∂
0 j 1
0 j 1 x
k
Integr.
− 1
⎛ n
1
⎞ ⎛
⎜
∂ v
k
(tx)
= ⋅ ⋅ + ⎟
∫
⎜
= ⋅
∑ t x
j
v
k
(tx) dt
.
⎝ ∂
∫ t
beding
0 j = 1 x
j
⎠ ⎝ 0
1
d
= ∫ dt
dt
0
( tv ) [ ] 1 k
(tx) = tv
k
(tx)
0
d
dt
⎛
⎜
⎝
0 j = 1
∂ v
j
(tx)
⋅ t ⋅ x
∂ x
( v + )
⎟ k
(tx) v
k
(tx) dt
⎠
k
⎞
j
+ v
k
⎟ ⎞
(tx) dt
⎠
= v k (x) q.e.d.
,PÃ %HZHLVÃ ZXUGHQÃ 'LIIHUHQWLDWLRQÃ XQGÃ ,QWHJUDWLRQÃ LQÃ LKUHUÃ 5HLKHQIROJHÃ YHUWDXVFKW
'LHVÃ LVWÃ LPÃ DOOJHPHLQHQÃ QLFKWÃ RKQHÃ ZHLWHUHVÃ P|JOLFKÃ 'HUÃ IROJHQGH
'LIIHUHQWLDWLRQVVDW]Ã SDUDPHWHUXQDEKlQJLJHUÃ ,QWHJUDOHÃ JLEWÃ MHGRFKÃ HLQHÃ KLQUHLFKHQGH
%HGLQJXQJÃDQÃZLHÃVLHÃDXFKÃLQÃ6DW]ÃÃHUI OOWÃZLUG

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(2.23) Satz: (Differentiation parameterabhängiger Integrale):
Sei U`R n eine offene Menge, [a,b]`R ein kompaktes Intervall. Sei f: U % [a,b] t R
b
stetig. Sei F: UtR definiert durch F(x):= ∫ f(x, t) dt .
a
Ist für jedes t c [a,b] die Funktion xxf(x,t) nach x k partiell differenzierbar und die
∂ f(x, t)
Funktion (x,t)x stetig auf U % [a,b], dann ist F stetig partiell differenzierbar
∂
Beweis:
x k
nach x k , und es gilt für x c U
∂ F(x)
=
∂ x
k
∂
∂ x
k
b
∫
a
b
∂
f(x, t) dt = ∫ f(x, t) dt .
∂ x
∂ f(x, t) ∂ f(x
0
, t)
U`R: Sei x 0 c U beliebig, e>0 beliebig. Wir setzen w(x,t):= −
∂ x
k
∂ x
k
u w ist stetig auf U % [a,b] mit w(x 0 ,t)=0
u W:={(x,t) c U % [a,b]: xw(x,t)x< e} ist offene Umgebung von {x 0 } % [a,b]; also existiert
offenes Intervall I`U mit x 0 c I und I % [a,b] ` W. Sei x c I, xgx 0 .
Nach dem Mittelwertsatz gibt es zwischen x und x 0 Stellen n(t) mit
b
b
F(x) - F(x
0
) f(x, t) − f (x
0
, t) ∂ f( ξ ( t),
t)
= ∫
dt =
−
∫ dt
x - x
x x
∂ x
u
0
a
0
a
a
b
( ξ (t), t) ∂ f( x , t) ∂ f( (t), t) ∂ f( x , t)
b
b
F(x) - F(x
0
) ∂ f(x
0
, t) ∂ f
0
ξ
0
− ∫ dt = ∫ − dt ≤ ∫ −
x − x ∂ x
∂ x ∂ x
∂ x ∂ x
Beispiele:
0
a
1) v: R 2 \ {0} t R 2 1
v(x,y):= (-y, x)
x
2 2
+ y
u
2 2
∂ v1
(x, y) y - x ∂ v
2
(x, y)
= =
2 2 2
∂ y (x + y ) ∂ x
a
b
∫
= ϕ( ξ (t), t) dt < ε ⋅(b
− a)
a
für alle (x,y)g(0,0)
»(t)=(cos t , sin t) ; t c [0,2o]
= = = sin 2 t + cos 2 t = 1
∫
γ
2π
< v, dt > = ∫1dt
= 2π
≠ 0
0
a
k
dt
q.e.d.
'DVÃ,QWHJUDOÃYHUVFKZLQGHWÃGHVKDOEÃQLFKWÃ¥ÃREZRKOûà HLQHà JHVFKORVVHQHà .XUYHà LVWà ¥Ã ZHLOÃR 2 \ {0}
NHLQÃVWHUQI|UPLJHVÃ*HELHWÃLVWÃ$OOHUGLQJVÃLVWÃGLHÃOlQJVÃGHUÃQHJDWLYHQÃ[$FKVHÃJHVFKOLW]WHÃ(EHQH

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
R 2 \ {(x,0) c R 2 : x[0}Ã VWHUQI|UPLJÃ XQGÃ EHVLW]WÃ GRUWÃ HLQHÃ 6WDPPIXQNWLRQÃ ,QVEHVRQGHUHÃ JLOWÃ GDQQ
∫ < v, dt > = 0 ÃI UÃMHGHÃLQÃR 2 \ {(x,0): x[0}ÃOLHJHQGHÃ.XUYH
γ
2
2) v(x 1 ,x 2 ,x 3 ):=(x 2 $cos
2x 3
x 1 , 2$x 2 $sin x 1 + e , 2$x 2 $
2x
e 3
)
∂ v
∂ x
∂ v
∂ x
∂ v
∂ x
1
2
1
3
2
3
= 2 ⋅ x
= 2 ⋅ e
2
∂ v
= 0 =
∂ x
2x 3
⋅ cos x
3
1
1
∂ v
=
∂ x
3
2
∂ v
=
∂ x
2
1
gesucht: f mit grad f = v , d.h.
∂ f
∂ x
3
= v
∂ f
1
= x
2
2
⋅ cos x
1
⇒
v
1
∂ f
=
∂ x
f(x , x
1
2
1
, v
2
, x ) = x
3
∂ f
=
∂ x
2
2
2
, v
⋅ sin x
3
1
∂ f
=
∂ x
+ g(x
2 3
2x 3
u = 2 ⋅ x ⋅ sin x + = v = 2 ⋅ x ⋅ sin x + e
∂ x
2
∂ g(x
, x
2 3 2x 3
u = e
)
2
1
∂ g(x
∂ x
, x
∂ x
2
2x
u g(x 2 ,x 3 ) = x 2 $ e 3
+h(x 3 )
2
u f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 2 $sin
2x
x 1 +x 2 $ e 3
+h(x 3 )
2
)
!
2
2
1
3
2
, x
3
)
∂ f
!
2x
= 2 ⋅ x
2
⋅ e + h’(x
3
) = v
3
= 2 ⋅ x
∂ x
3
u h‘(x 3 ) = 0 u h(x 3 ) = const.
3 2x 3
2
⋅ e
2
u f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 2 $sin
2x
x 1 +x 2 $ e 3
+c
3) v(x 1 ,x 2 ) = (2$x 1 +x 3 2 , 3$x 1 $x 2 2 +4)
gesucht: Stammfunktion f=f(x 1 ,x 2 ) mit f(0,0)=5
∂ v1
(x1,
x
2
) 2 ∂ v
2
(x1,
x
2
)
= 3x
2
=
∂ x
2
∂ x1
Integrabilitätsbedingung in R 2 ist erfüllt, daher existiert eine Stammfunktion !!!
gesucht: f mit
2
∂ f
∂ x
1
= v
1
= 2x
1
+ x
3
2
∂ f
und = v
2
w 3$x 1 $x 2 2 ∂ g
2 + 4 = 3$x 2 $x 1 +
∂ x
∂
u f(x 1 ,x 2 ) = x 2 3
1 + x 2 $x 1 + 4$x 2 + c
Aus f(0,0)=5 u c=5.
u f(x 1 ,x 2 ) = x 1
2
+ x 2
3 $x 1 + g(x 2 )
x 2
u g‘(x 2 ) = 4 u g(x 2 ) = 4$x 2 + c

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
,VWÃ YÃ 8`5 Q t5 Q Ã HLQÃ 3RWHQWLDOIHOGÃ VRÃ NDQQÃ PDQÃ ]XUÃ .RQVWUXNWLRQÃ HLQHUÃ 6WDPPIXQNWLRQÃ IÃ 8t5 Q Ã HLQHQ
EHOLHELJHQÃ3XQNWÃ[ ÃcÃ8ÃZlKOHQÃHWZDÃGDVÃ=HQWUXPÃGHVÃVWHUQI|UPLJHQÃ*HELHWHVÃ8ÃXQGÃ]XÃMHGHPÃ[ÃcÃ8ÃGDV
ÃEHUHFKQHQÃZREHLû [ ÃHLQHÃ.XUYHÃPLWÃGHPÃ$QIDQJVSXQNWÃ[ ÃXQGÃGHPÃ(QGSXQNWÃ[ÃLQ
,QWHJUDOÃ f(x) = ∫ < v, dt >
γ
x
8ÃLVWÃGLHÃP|JOLFKVWÃVRÃJHZlKOWÃZLUGÃGD‰ÃGLHÃ%HUHFKQXQJÃGHVÃ,QWHJUDOVÃVHKUÃHLQIDFKÃLVW
Zusatz:
x
1
( γ (t)),
∫ < dt > = ∫ < v γ ’(t) >
a
v, dt
0
In vielen Fällen: direkter Weg: »(t) = a+t$(x-a) ; t c [0,1], a c R n
»‘(t) = x-a , x-a c R n

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
/HEHVJXH,QWHJUDOLP5 Q
à I KUWHà +à /HEHVJXHà à HLQHQà ,QWHJUDOEHJULIIà HLQà GHUà I Uà YLHOHà 3UREOHPHà GHUà ,QWHJUDOUHFKQXQJ
ZHVHQWOLFKHÃQHXHÃ*HVLFKWVSXQNWHÃEUDFKWHÃXQGÃLQVEHVRQGHUHÃHLQHÃOHLVWXQJVIlKLJHÃ7KHRULHÃ]XUÃ9HUWDXVFKXQJÃYRQ
/LPHVELOGXQJÃ XQGÃ ,QWHJUDWLRQÃ HUP|JOLFKWHÃ 'LHÃ (LQI KUXQJÃ GHVÃ /HEHVJXH,QWHJUDOVÃ JHVFKLHKWÃ KLHUÃ DQDORJÃ ]X
.DSLWHOÃÃHLQÃI UÃ7UHSSHQIXQNWLRQHQÃLQÃQDKHOLHJHQGHUZHLVHÃGHILQLHUWHVÃ,QWHJUDOÃZLUGÃDXIÃ)XQNWLRQHQÃDXVJHGHKQW
GLHÃEHOLHELJÃJHQDXÃGXUFKÃ7UHSSHQIXQNWLRQHQÃDSSUR[LPLHUWÃZHUGHQÃ$OOHUGLQJVÃJHVFKLHKWÃGLHVHÃ$SSUR[LPDWLRQÃQLFKW
ZLHÃEHLÃGHUÃ(LQI KUXQJÃGHVÃ,QWHJUDOVÃYRQÃ5HJHOIXQNWLRQHQÃPLWÃ+LOIHÃGHUÃ6XSUHPXPVQRUPÃVRQGHUQÃPLWÃ+LOIHÃGHU
/ +DOEQRUPÃ'LHÃ9HUZHQGXQJÃGLHVHUÃ+DOEQRUPÃI KUWÃXQWHUÃDQGHUHPÃGD]XÃGD‰ÃGDVÃ/HEHVJXH,QWHJUDOÃPLWÃ+LOIH
HLQHUÃ HLQ]LJHQÃ 'HILQLWLRQÃ VRIRUWÃ I UÃ )XQNWLRQHQÃ PLWÃ NRPSDNWHPÃ 7UlJHUÃ DOVÃ DXFKÃ I UÃ )XQNWLRQHQÃ PLWÃ QLFKW
NRPSDNWHPÃ 7UlJHUÃ HLQJHI KUWÃ ZHUGHQÃ NDQQÃ ,PÃ *HJHQVDW]Ã ]XÃ .DSLWHOÃ Ã ZHUGHQÃ LQÃ GLHVHPÃ .DSLWHOÃ NRPSOH[
ZHUWLJHÃ)XQNWLRQHQÃ EHWUDFKWHWÃ LPÃ EULJHQÃNDQQÃ GLHÃ YRUOLHJHQGHÃ 'HILQLWLRQÃ GHVÃ /HEHVJXH,QWHJUDOVÃ RKQHÃ JUR‰H
0 KHÃDXFKÃDXIÃ)XQNWLRQHQÃPLWÃ:HUWHQÃLQÃHLQHPÃ%DQDFKUDXPÃDXVJHGHKQWÃZHUGHQ
§ 1 Treppenfunktionen, L 1 -Halbnorm, Definition des Lebesgue-Integrals
(3.1) Definition: Seien H,Q,W Teilmengen des R n . Dann heißt
1) H eine Hyperebene des R n , wenn es ein j c {1,...,n} und ein c c R gibt, so daß
H={(x 1 ,...,x n ) c R n : x j =c}
2) Q ein Quader des R n , wenn es n Intervalle I j`R, j c {1,...,n} mit den
Randpunkten a j , b j gibt, wobei –¢ < a j [ b j < ¢ gilt, so daß Q = I 1 % I 2 % ... % I n
3) Q ein ausgearteter Quader des R n , wenn Q ein Quader ist, der in einer
Hyperebene liegt
4) W ein Würfel des R n , wenn W = I 1 % I 2 % ... % I n ein Quader ist mit b j -a j = l für
j c {1,...,n} [man spricht von einem ausgearteten Würfel, wenn dieser aus nur
einem Punkt besteht!]
5) H eine Figur im R n , wenn H die Vereinigung von endlich vielen Quadern ist
6) V n (Q):= (b n -a n )$ ...$ (b 1 -a 1 ) = xI n x$ ...$ xI 1 x das Volumen des Quaders
Q = I 1 % ... % I n
$XVJHDUWHWHÃ4XDGHUÃGHVÃ5 Q ÃKDEHQÃVWHWVÃGDVÃQGLPHQVLRQDOHÃ9ROXPHQÃ
(3.2) Definition: Eine Funktion T: R n tC heißt eine Treppenfunktion auf dem R n , wenn
es endlich viele paarweise disjunkte Quader Q 1 , ..., Q s gibt, so daß
1) T auf jedem Quader Q j , j c {1,...,s}, konstant ist
2) T(x)=0 für alle x c R n \ U s
Q j
j=
1
n=1:
T: RtR Treppenfunktion nach (3.2). Es gibt endlich viele paarweise disjunkte Intervalle
J 1 ,...,J s , J j habe Randpunkte a j [b j . Man setze
a:=min{a j , j c {1,...,s}}, b:=max{b j , j c {1,...,s}}, dann ist T eine Treppenfunktion auf [a,b]
im Sinne von (1.1) mit T(x)=0 für x c R \U s
J k
k = 1
.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Auf der anderen Seite kann jede Treppenfunktion T: [a,b]tC auf [a,b] zu einer Treppenfunktion
Tˆ auf R durch Tˆ (x)=T(x) für x c [a,b] und Tˆ (x)=0 für x c R \ [a,b] erweitert
werden.
Mit T: R n tC ist auch xTx: R n tR mit xTx(x):= xT(x)x eine Treppenfunktion auf R n .
(3.3) Definition: Sei A`R n eine Teilmenge. Die Funktion 1 A : R n tR mit 1 A (x):=1 für x c
A und 1 A (x)=0 für x c R n \ A heißt die charakteristische Funktion von A.
Darstellung von Treppenfunktionen als Linearkombination von charakteristischen Funktionen
s
T =∑
j=
1
c
j
⋅
1Q
j
c j c C Q 1 ,...,Q s paarweise disjunkte Quader
(3.4) Definition: Sei T: R n tC eine Treppenfunktion mit der Darstellung
s
T =∑
j=
1
c
j
⋅
1Q
j
heißt die Zahl
, wobei Q 1 ,...,Q s paarweise disjunkte Quader des R n sind, c j c C. Dann
∫ T(x) dx = ∑
s
n
R
j=
1
c
j
⋅ Vn
(Q
j
) das Integral der Treppenfunktion T.
7UHSSHQIXQNWLRQHQÃKDEHQÃGLHÃIROJHQGHQÃ(LJHQVFKDIWHQÃYJOÃ
(3.5) Lemma: Sind T und S Treppenfunktionen auf dem R n , ¹,º c C, so gilt:
1) die in (3.4) angegebene Definition des Integrals hängt nicht von der gewählten
Darstellung von T ab
2) ¹$T+º$S ist eine Treppenfunktion auf R n mit
Beweis:
∫
( α ⋅ T + β ⋅ s) dx = α ⋅ ∫ T(x) dx + β ⋅ ∫
S(x) dx
3) ∫ T(x) dx ≤ ∫ T(x) dx
4) ∫ T(x) dx ≤ ∫ S(x) dx , wenn T(x) [ S(x) für alle x c R n gilt
Beweis über Induktion bzgl. n: für n=1: (1.4)
n>1: R n = R p % R n-p 1[p

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Einschub:
komplexe Zahlen: z(x,y) , x,y c R z=x+iy , i 2 = –1
Q Durchstoßpunkt
M=(0,0,½)
P j z=(x,y) = x+iy sei ein Punkt in der komplexen Zahlenebene.
⎛ 1 ⎞
⎛ x y
S: CtS ½ ⎜0,0, ⎟ durch z=x+iy x S(z):=
⎝ 2 ⎠ ⎜ ,
2 2 2
⎝1
+ x + y 1 + x + y
stereographische Projektion von P auf die Kugel.
⎛ 1 ⎞
u S: C t S ½ ⎜0,0, ⎟ \ (0,0,1) ist bijektiv.
⎝ 2 ⎠
Die Umkehrabbildung S -1 ⎛ 1 ⎞
: S ½ ⎜0,0, ⎟ \ (0,0,1) t C ist gegeben durch:
⎝ 2 ⎠
S -1 ξ η
: (n,g,f) x (x,y) mit x : = , y : =
1- ζ 1- ζ
Definiere z ¢ := S -1 (0,0,1) [z ¢ ist keine komplexe Zahl!]
2
2 2
x + y
,
2
1 + x + y
2
⎞
⎟
⎠
heißt
C = C ∪{z ∞
} erweiterte komplexe Zahlenebene
R = R ∪{-∞,
∞}
erweiterte reelle Achse / Zahlengerade

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Rechenregeln:
1) z + z ¢ = z ¢ + z = z ¢ , z c C
2) z $ z ¢ = z ¢ $ z = z ¢ , z c C , zg0
3) z ¢ + z ¢ = z ¢
4) xz ¢ x = ¢
z
5) = 0 falls z c C
z ∞
6) 0
z = z¢ für z c C , zg0
Vereinbarung:
∑ ∞ c j
j=1
= ∞
für c j m0, c j c R 4 {¢}, falls ∑ c
j
nicht konvergiert.
(3.7) Definition: Sei f: R n t C eine Funktion. Dann heißt
1) w =∑ ∞
j=
1
c j
⋅ 1
Q
eine Hüllreihe zu f, wenn Q
j
j offene Quader des R n , c j m0 sind und
für jedes x c R n gilt: xf(x)x[xw(x)x= ∑ ∞
j=
2) I(w):=∑ ∞ c
j
⋅ Vn
(Q
j)
der Inhalt der Hüllreihe w =∑ ∞ c j
⋅ 1Q
j
j=
1
j=
1
3) yfy1:= inf {I(w): w Hüllreihe zu f} die L 1 -Halbnorm der Funktion f
1
c
j
⋅1
Q
j
(x)
Bemerkungen:
1) Jede Funktion f: R n t C besitzt eine Hüllreihe w, nämlich w =∑ ∞
j=
1
1⋅
1 , wobei
Q j :=
⎛ j j ⎞
⎜ − , ⎟ ⎛ j j ⎞
⎝ 2 2
% ⎜ − , ⎟
⎠ ⎝ 2 2
% ... ⎛ j j ⎞
% ⎜ − , ⎟
⎠ ⎝ 2 2 für j c N, denn für x c R n existiert ein k c N mit
⎠
x c Q k+r für alle r c N
Q j
u xf(x)x[
∑ ∞
j = k + r
1⋅1 Qk + r
(x) = ∞
yfy1 ist also definiert.
2) f: R n t C , daher ist auch xf(x)x= ¢ zugelassen, es kann auch I(w) = ¢ sein, da Hüllreihe
∑ ∞
j = 1
1 ⋅ 1 (x) Q
=:w(x) nicht konvergieren muß.
j

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
'DU
EHUKLQDXVÃJHOWHQÃGLHÃIROJHQGHQÃ(LJHQVFKDIWHQ
(3.8) Lemma: Sei c c C, f: R n tC , g: R n tC , dann gilt:
1) 0 [ yfy1 [ ¢
2) yc$fy1 = xcx$yfy1
3) yf+gy1 [ yfy1 +ygy1
4) yfy1 [ ygy1, wenn xf(x)x[xg(x)x, x c R n
Beweis:
Da für jede Hüllreihe w =∑ ∞
j=
1
c j
⋅ 1
Q
wegen c
j
j m0 stets I(w)m0 gilt, folgt 1) unmittelbar.
2) und 4) sind leicht eizusehen, während 3) ein Spezialfall der folgenden allgemeinen
Dreiecksungleichung (3.9) ist.
q.e.d.
Beispiel:
A:= I 1 % ... % I j-1 %
{c} % I j+1 % ... % I n ist ein Quader in der Hyperebene
{
j-tes
Intervall
H:= {(x 1 ,...,x n ) c R n : x j =c} u V n (A)=0
o
o
o
⎛ ε ε ⎞
Sei e>0, Q e
:= I1 × ... × I j−1×
⎜c - , c + ⎟ × ... × I
⎝ 3⋅
M 3⋅
M ⎠
n
M:=∏ (b
k
- a
k
) , wenn I k die Randpunkte a k

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
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Beweis:
Sei e>0, sei j c N. Zu f j wählen wir eine Hüllreihe w j =∑ ∞
=
I(w j ) =∑ ∞
=
k
1
Funktion ∑ ∞
j=1
ε
c
jk
⋅ Vn
(Q
j,k
) [ yf j y 1 +
2
j
. Dann ist w:= ∑ϕ
= ∑∑c
f j
mit I(w) =
∞
∞
∑∑
j=
1 k=
1
c
∞
k
j=
1
∞
jk
⋅ Vn
(Q
j,k
) = ∑ I(
j)
j = 1
1
c
jk
⋅ 1 mit dem Inhalt
Q
j, k
∞ ∞
j jk
⋅ 1Q
j=
1 k=
1
j, k
eine Hüllreihe der
∞
∞
⎛ ε ⎞
ϕ [ ∑ ⎜ f + ⎟ ≤ ∑ f + ε ,
1 j
1
j = 1 ⎝ 2 ⎠ j = 1
da e>0 beliebig und I(w) m
∑ ∞ f j
j=
1
1
, folgt die Behauptung. q.e.d.
∫ 1A
(x) dx = 1A
Sei T Treppenfunktion auf R n ; wir werden zeigen, daß
1
n
R
yTy 1 =
∫n
R
T(x) dx < ∞ .
Erinnerung:
Treppenfunktion: T: R n tC , T=∑ c
j
⋅ 1
Q j disjunkte Quader, endliche Summe
s
j=
1
Q
j
charakteristische Funktion:
∫
n
R
T dx
∑
= s
j=
1
c
j
⋅ Vn
(Q
j
)
1
Q j
⎧1
: = ⎨
⎩0
x ∈Q
x ∉Q
j
j
V n (Q j ) n-dimensionales Volumen des Quaders Q j
y.y 1 L 1 -Halbnorm auf der Menge der Treppenfunktionen
f: R n t C Funktion
Dann ist die unendliche Reihe w =∑ ∞
j=
notwendig disjunkt, eine Hüllreihe zu f, falls xf(x)x[w(x), I(w):=∑ ∞
j =
yfy 1 := inf {I(w) x w Hüllreihe zu f} = inf
1
c j
⋅ 1
Q
, wobei c
j
j m0, Q j offene Quader, aber nicht
⎪⎧
⎨
⎪⎩
∞
∑
c
⋅ V
(Q ) f(x) ≤ ϕ(x)
=
1
c
j
⋅ Vn
(Q
j
) ,
∞
∑
j n j
j= 1
j=
1
c
j
⋅ 1
Q
j
⎪⎫
⎬
⎪⎭

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Wir werden nun zeigen: die L 1 -Halbnorm yTy 1 einer Treppenfunktion T ist gleich dem
Integral der Treppenfunktion xTx. Zunächst wird diese Tatsache für die charakteristische
Funktion eines abgeschlossenen Quaders bewiesen, wobei die Vollständigkeit des R n
verwendet wird.
(3.10) Fundamental-Lemma: Sei A abgeschlossener Quader im R n . Dann gilt für die
charakteristische Funktion 1 A
Beweis:
y1 A y 1 = V n (A) =
∫n
R
1 (x) dx
A
.
„[“:
Sei Q`R n ein offener Quader mit A _ Q. Dann ist w 0 :=1$1 Q eine Hüllreihe zu f=1 A , so daß
yfy 1 = y1 A y 1 = inf {I(w): w Hüllreihe zu f} [ I(w 0 ) = I(1 Q ) = V n (Q).
Zu jedem e>0 existiert ein offener Quader Q e
mit V n (Q e
) [ V n (A)+e, daher gilt:
y1 A y 1 [ V n (Q e
) [ V n (A)+e und damit y1 A y 1 [ V n (A).
„m“:
Um inf{I(w) x w Hüllreihe zu f=1 A } = y1 A y 1 m V n (A) zu zeigen, zeigen wir, daß für jede
Hüllreibhe w von f=1 A gilt: I(w) m V n (A).
Also, sei e>0, dann gibt es zu x c A wegen w(x) mxf(x)x=x1 A (x)x=1 einen Index N e
(x) mit
N ε
∑
j=
1
c
j
⋅1 (x) m 1-e .
Q j
Da alle Quader Q j offen sind und obiges eine endliche Summe ist, gibt es eine offene
N ε
Umgebung U(x), so daß für alle y c U(x) ebenso gilt: ∑ c
j
⋅1 Q
(y) m 1-e.
j
Da A kompakt, existieren endlich viele Punkte x 1 ,...,x p c A, so daß die Umgebungen
U(x 1 ),...,U(x p ) ganz A überdecken. Wähle N:=max{N e
(x 1 ),..., N e
(x p )}, dann folgt
N
∑
j=
1
c ⋅ 1 m (1-e)$1 A und wegen Lemma (3.8) / 4) (Monotonie) gilt:
j
Q
j
I(w)=∑ ∞ N
c
j
⋅ Vn
(Q
j
) m
j = 1
∑ c ⋅ V
j=
1
Mit et0 folgt I(w)mV n (A).
j n
(Q
j)
m (1-e)$V n (A).
j=
1
q.e.d.
(3.11) Lemma: Für jede Treppenfunktion T auf R n gilt
yTy 1 = T(x) dx < ∞ .
∫n
R

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
o.B.d.A.: Sei T(x)m0 für alle x c R n , da nach Definition von y.y 1 (3.7) die Treppenfunktionen
T und xTx dieselbe L 1 -Halbnorm haben.
„[“:
s
Sei also T=∑ a
j
⋅ 1
Q ~
j
j=
1
mit a j m0 und Q ~
j
paarweise disjunkt (möglicherweise abgeschl.)
Quader. Falls Q ~ j
nicht offen ist, so zerlege Q ~ j
disjunkt in Q ~
j
= Q j 4 R k , wobei Q j der offene
Kern von Q ~
j
und R k Quader, die auf dem Rand von Q j liegen, sind.
Für diese gilt V n (R k )=0. Also
s
t
T= ∑ c
j
⋅1 Q
+ ∑ d
k
⋅ 1
j
R k
. Da T(x)m0 und alle Quader disjunkt, folgt c j m0, d k m0.
j=
1
k = 1
6HLÃe!ÃEHOLHELJÃ'DÃMHGHUÃ4XDGHUÃ5 N ÃLQÃHLQHUÃ+\SHUHEHQHÃOLHJWÃH[LVWLHUWÃZHJHQÃ9 Q 5 N ÃHLQÃRIIHQHUÃ4XDGHUÃ5 N
PLWÃ5 N`5 N ÃXQGÃ9 Q 5 N Ã[Ãe
Dann ist w:=
s
∑
yTy 1 [ I(w) =
man yTy 1 [ ∑
=
∑
c ⋅1 + d ⋅1
eine Hüllreihe zu T und
j Q j
j=
1
k = 1
s
j 1
s
t
k
R
k
*
∑ c
j
⋅ Vn
(Q
j)
+ ∑ d
k
⋅ Vn
(R
k
*) [ ∑ j
⋅ Vn
(Q
j)
+ ⋅∑
j=
1
k = 1
c
j
⋅ Vn
(Q
j)
[ ∫
n
R
t
T(x) dx .
s
j=
1
k = 1
t
c ε d . Mit et0 erhält
k
„m“:
Da T eine Treppenfunktion, existiert ein abgeschlossener Quader A mit U s
j=
1
Q ~ j ` A, so daß
T(x)=0, für x v A.
Sei m:=max{T(x): x c R n } = max{T(x): x c A}
Dann ist S:= m$1 A -T eine Treppenfunktion auf R n mit S(x)m0 für alle x c R n und nach oben
gezeigtem („[“) gilt:
ySy 1 [ ∫
n
R
∫
n
R
T(x) dx =
S(x) dx . Mit dem Fundamental-Lemma (3.10) folgt:
∫
n
R
( m⋅
A
-S)(x)
dx = ∫ m ⋅1A
dx − ∫
1 S(x) dx
n
R
n
R
( 3.10)
≤ ym$1 A y 1 - ySy 1 = yS+Ty 1 - ySy 1 = yTy. q.e.d.
,QÃGHUÃ7DWÃLVWÃy7y ÃDXIÃGHUÃ0HQJHÃGHUÃ7UHSSHQIXQNWLRQHQÃDXIÃR n ÃHLQHÃ+DOEQRUP
1DFKÃ GLHVHQÃ 9RUEHUHLWXQJHQÃ NRPPHQÃ ZLUÃ ]XUÃ 'HILQLWLRQÃ GHVÃ /HEHVJXH,QWHJUDOVÃ 'DVÃ /HEHVJXH,QWHJUDOÃ ZLUG
]XQlFKVWÃI UÃ)XQNWLRQHQÃDXIÃR n ÃHLQJHI KUWÃXQGÃGDQQÃI UÃ)XQNWLRQHQÃDXIÃ7HLOPHQJHQÃGHVÃR n Ã'DEHLÃEHWUDFKWHQ
ZLUÃ)XQNWLRQHQÃGLHÃE]JOÃGHUÃ/ +DOEQRUPÃGXUFKÃ7UHSSHQIXQNWLRQHQÃEHOLHELJÃJHQDXÃDSSUR[LPLHUWÃZHUGHQÃN|QQHQ

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(3.12) Definition: Eine Funktion f: R n t C heißt Lebesgue-integrierbar über R n (kurz:
integrierbar), wenn es eine Folge (T j ) j c N von Treppenfunktionen T j auf R n gibt mit
lim yf-T j y 1 =0. Die komplexe Zahl f(x) dx = lim ∫ Tj (x) dx heißt dann das
j→∞
Lebesgue-Integral von f.
Schreibweisen sind ebenfalls ∫ f(x) d n x oder ∫ f dx .
Da für Treppenfunktionen T: R n tC, S: R n tC stets gilt
∫
R
n
T(x) dx −
∫
R
S(x) dx ≤
n
∫
R
n
T(x) - S(x)
dx
∫n
R
j→∞
R n
( 3.11)
= yT-Sy 1 [yT-fy 1 + yf-Sy 1 , ist die Folge
⎛ ⎞
⎜ T j
(x) ⎟
∫ dx eine Cauchyfolge in C, also konvergent in C (da C vollständig) und der
⎝ R n ⎠ j∈N
Grenzwert lim Tj (x) dx ist unabhängig von der approximierten Folge (T j ) j . Somit ist (3.12)
wohldefiniert.
∫
j→∞
R n
Bemerkung:
1) Jede Treppenfunktion T auf R n ist auch Lebesgue-integrierbar auf R n und das Lebesgue-
Integral stimmt mit dem Integral der Treppenfunktion im Sinne der Definition (3.4)
überein.
2) Aus lim f - T j
=0 kann i.a. nicht lim f(x) - T (x)
j →∞
1
j
=0 für jeden Punkt x c R n gefolgert
j→∞
werden (d.h.: yfy 1 u f=0).
Später wird gezeigt, daß jedoch eine geeignete Teilfolge von (T j ) j existiert, die fast überall
punktweise gegen f konvergiert (f(x)=0 für alle x c R n \ M, M Nullmenge)
Eigenschaften Lebesgue-integrierbarer Funktionen (vgl. (1.4) und (3.5))
(3.13) Satz: Seien f: R n t C , g: R n tC Lebesgue-integrierbar über R n und ¹,º c C.
Dann gilt:
1) xfx: R n t R mit xfx(x):=xf(x)x, x c R n ist Lebesgue-integrierbar über R n und es
gilt: ∫ f(x) dx ≤ ∫ f(x) dx = f < ¢
1
R
n
R
n
2) ¹$f+º$g und f mit f (x):= f(x), x c R n sind Lebesgue-integrierbar über R n mit
∫
n
R
( ⋅ f + β ⋅ g) (x) dx = α ⋅ ∫ f(x) dx + β ⋅ ∫
α g(x) dx sowie
n
R
∫ f (x) dx = ∫ f(x) dx
n
n
R
R
3) Sind f und g reellwertig mit f(x)[g(x) für alle x c R n , so gilt ∫ f(x) dx ≤ ∫ g(x) dx
4) Wenn g beschränkt ist (d.h. es existiert M>0, so daß xg(x)x[ M, x c R n ), so ist f)g
Lebesgue-integrierbar
n
R
n
R
n
R

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
ad 1)
Sei (T j ) j eine Folge von Treppenfunktionen mit lim f - T 0. Da xxfx-xT j xx[xf-T j x folgt
j→∞
j
=
1
aus der Monotonie von y.y 1 (Lemma (3.8)) yxfx-xT j xy 1 [yf-T j y 1 , also lim yxfx-xT j xy 1 = 0.
j→∞
Somit ist xfx auf R n Lebesgue-integrierbar und
∫ f(x) dx = lim ∫ T (x) dx ≤ lim ∫ Tj
(x) dx =
R
n
j→∞
R
n
j
.
j→∞
n
n
R
R
Da yfy 1 – yf-T j y 1 [ yT j y [ yfy 1 + yf-T j y 1 und
unmittelbar yfy 1 [ ∫ f (x) dx [ yfy 1 .
n
R
∫
f
dx
lim T
j→∞
ad 2)
Seien (T j ) j und (S k ) k Folgen von Treppenfunktionen mit
dann gilt
j→∞
lim y¹$f+º$g-(¹$T j +º$S j )y 1 =
j→∞
[
j
1
= lim
j→∞
n
R
∫ Tj
(x) dx =
lim yf-T j y 1 =0 und
j→∞
lim y¹$f-¹$T j +º$g-º$S j y 1
j→∞
lim x¹x$yf-T j y 1 +
j→∞
lim y f - Tj
y 1 =0, ferner gilt ∫ Tj
(x) dx = ∫ Tj
(x) dx
ad 3)
Wegen 1) gilt 0 [ yg-fy 1 = g - f (x) ( g(x) - f(x) )
R
n
R
n
∫ dx = ∫ dx
n
R
n
R
∫
n
R
f (x) dx , folgt
lim yg-S ky 1 =0,
k →∞
lim xºx$yg-S j y 1 = 0 sowie
j→∞
ad 4)
Sei e>0, wir wählen eine Treppenfunktion T auf R n ε
mit yf-Ty 1 [ sowie eine Treppenfunktion
S auf R n ε
2 ⋅ M
mit yg-Sy 1 [ , wobei l>0 eine Konstante mit xT(x)x[ l für alle x c R n
2 ⋅ µ
ist. Dann gilt
yf$g-T$Sy 1 = yf$g-T$g+T$g-T$Sy 1 [ yf$g-T$gy 1 + yT$g-T$Sy 1 [ M$yf-Ty 1 + l$yg-Sy 1
[
2
ε + 2
ε = e, also ist f$g integrierbar q.e.d.
(3.14) Korollar: f: R n t C ist genau dann über R n Lebesgue-integrierbar, wenn Re(f) und
Im(f) über R n Lebesgue-integrierbar sind. In diesem Fall gilt
f dx = Re(f) dx + i ⋅ Im(f) dx .
∫
n
R
∫
n
R
∫
n
R

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(3.15) Korollar: Sind f: R n tR und g: R n tR über R n Lebesgue-integrierbar, so sind auch
folgende Funktionen über R n Lebesgue-integrierbar:
1
1) max(f,g):= ( f + g)
+ f - g )
2
1
2) min(f,g):= ( f + g)
− f - g )
2
3) f + := max (f,0) positiver Anteil von f
4) f – := max (-f,0) negativer Anteil von f
Es gilt: f = f + – f – (wobei f + m0 und f – m0)
Triviale Fortsetzung von f A :
f: A`R n t C , dazu f A : R n ⎧f(x)
tC mit f A (x):= ⎨
⎩0
wenn x ∈A
wenn x ∈R
n
A
(3.16) Definition: Sei A`R n eine Teilmenge. Eine Funktion f: At C heißt über A
Lebesgue-integrierbar, wenn ihre triviale Fortsetzung f A : R n t C über R n Lebesgueintegrierbar
ist. In diesem Fall heißt ∫ f dx = ∫ f
A
dx das Lebesgue-Integral von f
über A. Wir setzen dann: yfy 1,A :=yf A y 1 .
A
n
R
6DW]ÃÃVRZLHÃ.RUROODUÃÃXQGÃÃJHOWHQÃVLQQJHPl‰ÃDXFKÃEHLÃGHUÃ,QWHJUDWLRQà EHUÃHLQHÃ0HQJHÃ$`5 Q
,QVEHVRQGHUHÃELOGHWÃ GLHÃ 0HQJHÃL $Ã DOOHUÃ EHUÃ $Ã /HEHVJXHLQWHJULHUEDUHQÃ NRPSOH[ZHUWLJHQÃ )XQNWLRQHQÃ HLQHQ
9HNWRUUDXPÃ EHUÃ&Ã) UÃMHGHÃ EHUÃ$`5 Q Ã/HEHVJXHLQWHJULHUEDUHÃ)XQNWLRQÃIÃJLOWÃyIy $ Ã
∫ f(x) dx
A
'HUà IROJHQGHà 6DW]à ]HLJWà GD‰Ã I Uà 5HJHOIXQNWLRQHQà Ià >DE@t&à GDVà LQà .DSLWHOà à HLQJHI KUWHà ,QWHJUDOà PLWà GHP
/HEHVJXH,QWHJUDOÃ EHUÃ$ >DE@Ã EHUHLQVWLPPW
(3.17) Satz: Eine Regelfunktion f: [a,b]tC ist über A:=[a,b] Lebesgue-integrierbar und es
Beweis:
gilt:
b
∫ f dx = ∫ f(x) dx .
A
a
Sei g: A=[a,b]tC eine beliebige Funktion, sei g A : RtC ihre triviale Fortsetzung. Dann gilt
yg A y ¢ = sup xg(x)x= ygy ¢ .
x ∈[a,b]
Ferner gilt für x c R xg A (x)x[ yg A y ¢ $x1 A (x)x[ yg A y ¢ $1 A (x) u xg A x[ygy ¢ $1 A .
Mit Lemma (3.8) 4) u yg A y 1 [ygy ¢ $y1 A y 1
u (Fundamental-Lemma (3.10)) yg A y 1 [ygy ¢ $V(A) = ygy ¢ $V([a,b]) = ygy ¢ $(b–a).
Für eine Regelfunktion f: [a,b]tC und eine Folge von Treppenfunktionen T j auf [a,b]=A mit
yf-T j y ¢ t 0 für jt¢ gilt dann entsprechend für ihre trivialen Fortsetzungen die Abschätzung
yf A -T j,A y 1 [ (b–a)$yf-T j y ¢ u lim yf A -T j,A y 1 = 0
j→∞

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
u f A ist über R Lebesgue-integrierbar mit
∫ f dx = ∫ f
A
dx = lim ∫ Tj,A
dx = lim ∫ Tj
dx = ∫
A
R
j→∞
R
b
j→∞
a
b
a
f(x) dx . q.e.d.
'DÃMHGHÃ5HJHOIXQNWLRQÃIÃ>DE@t5ÃE]ZÃ&ÃDXFKÃ5LHPDQQLQWHJULHUEDUÃ EHUÃ>DE@ÃLVWÃXQGÃGDVÃ5LHPDQQ,QWHJUDO
PLWÃ GHPÃ ,QWHJUDOÃ GHUÃ 5HJHOIXQNWLRQHQÃ EHUHLQVWLPPWÃ IDOOHQÃ I UÃ 5HJHOIXQNWLRQHQÃ GLHÃ GUHLÃ ,QWHJUDOEHJULIIH
]XVDPPHQÃGKÃHVÃJLOW
I R (f) =
lim R(Z n ,B n ,f) =
n→∞
b
∫
a
f(x) dx =
∫
A=
[a,b]
f(x) dx .

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 2 Uneigentliche Integrale und Lebesgue-Integral, die „kleinen“ Sätze
von Beppo Levi und Fubini
,QÃ GLHVHPÃ $EVFKQLWWÃ ZLUGÃ HLQÃ HLQIDFKHVÃ KLQUHLFKHQGHVÃ .ULWHULXPÃ HQWZLFNHOWÃ GDVÃ HLQHÃ XPIDQJUHLFKHÃ .ODVVH
LQWHJULHUEDUHUÃ)XQNWLRQHQÃOLHIHUWÃXQGÃDOVÃ9RUVWXIHÃGHVÃ6DW]HVÃYRQÃ%Ã/HYLÃDQJHVHKHQÃZHUGHQÃNDQQÃ(VÃHUP|JOLFKW
GHQÃ =XVDPPHQKDQJÃ ]ZLVFKHQÃ GHUÃ /HEHVJXH,QWHJULHUEDUNHLWÃ XQGÃ GHUÃ XQHLJHQWOLFKHQÃ ,QWHJULHUEDUNHLWÃ ]XÃ NOlUHQ
)HUQHUÃ ZLUGÃ PLWÃ +LOIHÃ HLQHUÃ 9RUVWXIHÃ GHVÃ 6DW]HVÃ YRQÃ )XELQLÃ HLQÃ 5HGXNWLRQVYHUIDKUHQÃ ]XUÃ %HUHFKQXQJÃ HLQHV
/HEHVJXH,QWHJUDOVÃKHUJHOHLWHW
(3.18) Satz: („kleiner“ Satz von B. Levi):
Sei f: R n t R eine Funktion. Es gebe eine monoton wachsende Folge (T j ) j von
Treppenfunktionen auf R n mit den Eigenschaften:
1) für jedes x c R n gilt f(x)= lim T j (x)
j→∞
Beweis:
2) es gibt eine Konstante M>0, so daß ∫nT j
dx ≤ M für j c N. Dann ist f Lebesgueintegrierbar
über R n mit f dx = lim
R
dx
f-T j = lim (T m+1-T j ) =
m→∞
∫
n
R
∫
T j
j→∞
n
R
lim
m
( ) ∞
∑ T ∑ ( )
k+ 1
- Tk
= Tk
+ 1
- Tk
m→∞
k = j
k = j
u (Dreiecksungleichung (3.9) und (3.11))
yf-T j y 1 =
∞
∑
k = j
T
(3.9) ∞
k+ 1
- Tk
≤ ∑ Tk
+ 1
- Tk
=
1
1
k = j
∞
=∑ ⎜
∫ T
1(x)
dx − ∫
k = j
⎛
⎜
⎝
R
n
+
⎟ ⎞
Tk
(x) dx
n
R ⎠
k
.
∞
∑ ∫
k = j R
n
T
k+
1
(x) - T (x) dx
⎛ ⎞
Die Folge ⎜ dx⎟
∫ T k + 1
(x) ist monoton wachsend und beschränkt, konvergiert also gegen eine
n
⎝ R ⎠ k
Zahl I u yf-T j y [ I – T
j
dx u 0 [ lim yf-T j y 1 [ lim
j→∞
j→∞
(I-∫ T
j
dx ) = 0. q.e.d.
∫n
R
k
$OVÃ )ROJHÃ GLHVHVÃ 6DW]HVÃ N|QQHQÃ ZLUÃ GDVÃ 9HUKlOWQLVÃ YRQÃ /HEHVJXH,QWHJUDOÃ XQGÃ XQHLJHQWOLFKHPÃ ,QWHJUDOÃ YRQ
5HJHOIXQNWLRQHQÃJHQDXHUÃXQWHUVXFKHQÃ'DEHLÃVW W]HQÃZLUÃXQVÃDXIÃGDVÃIROJHQGH
(3.19) Lemma: Sei I`R ein Intervall. Sei f: ItR eine Regelfunktion mit f(x)m0. Sei (I j ) j eine
Folge von kompakten Teilintervallen I j`I mit I j`I j+1 und I=UI j
. Dann existiert eine
j
Folge (T j ) j von Treppenfunktionen auf R mit
1) T j (x) [ T j+1 (x) , x c R
2) f(x)- j
1
[ T j (x) [ f(x) für x c I j
3) T j (x)=0 für x c R \ I j

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
Sei j c N. Dann existiert auf dem kompakten Intervall I j eine Treppenfunktion S j mit
f(x)- j
1
[ S j (x) [ f(x) für alle x c I j (Approximationssatz (1.10)). Sei
S j
~ die triviale Fort-
~ ~
setzung von S j auf R. Die Funktion T j :=max{ S 1 , ... , Sj
}, j c N, leistet das Behauptete.
q.e.d.
(3.20) Satz: Sei I:=(a,b) mit –¢[a

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beispiel:
⎪
⎧ 1
f: RtR mit f(x):= ⎨sin x
⎪⎩ x
wenn x = 0
wenn x ≠ 0
u f ist über R uneigentlich integrierbar, da für R>1
und
und da
∞
∫
−∞
R
∫
sin x
x
dx = cos1 −
cos R
R
2
1 1
x
−
R
∫
cos x
dx
R
R
R
1
R
cos x
1
sin x sin x sin x
lim ∫ dx ≤ lim ∫ dx < ∞ , so daß lim = +
< ∞
R→∞
2
R→∞
2
x
x
R→∞∫
dx ∫ dx lim
R→∞
∫ dx ,
x x
0
1
sin x
∫ dx =
x
−R
f(x) dx =
0
∫
−∞
R
∫
0
f(x) dx +
1
sin y
dy und somit
y
∞
∫
0
f(x) dx = lim
1
∫
R→∞
−R
f(x) dx + lim
x
0 0
1
−α
∫
α →
α > 0 0
−1
f(x) dx + lim
1
∫
α→
α > 0 0
α
f(x) dx + lim
R
∫
R→∞
1
f(x) dx
f ist nicht uneigentlich absolut-integrierbar, denn für x c (ko , (k+1)o) gilt:
(k+ 1) π
( k + 1) π
1 1
sin x 1
2
≥ ⇒
≥ ⋅ sin x =
x (k + 1) π
∫ dx
x (k + 1) π
∫ dx
(k + 1) π
k π kπ
u
( k + 1) π
k
sin x 2 1
∫ dx ≥ ⋅ ∑
x π j=
0 j + 1
0
.
(VÃIROJHQÃQXQÃ$QZHQGXQJHQÃGHVÃNOHLQHQÃ6DW]HVÃYRQÃ%Ã/HYLÃ]XUÃPHKUGLPHQVLRQDOHQÃ,QWHJUDWLRQÃ'DEHLÃEHQXW]HQ
ZLUÃGLHÃIROJHQGHÃ6SUHFKZHLVH
(3.21) Definition: Sei ) (A, R ) die Menge aller Funktionen auf A`R n in R .
Sei à g ) 0 ` F(A, R ) eine Teilmenge. Eine Funktion h: At R mit
h(x):=sup{f(x): f c ) 0 } für x c A heißt die obere Einhüllende von ) 0 .
,VWÃ ) 0 ={f j : j c N} `Ã )(A, R ) HLQHÃ DE]lKOEDUHÃ 7HLOPHQJHÃ XQGÃ LVWÃ g j : At R GHILQLHUWÃ GXUFK
g j (x):=max{f 1 (x),...,f j (x)} I UÃ[ÃcÃ$ÃÃVRÃJLOWÃg j (x)[g j+1 (x) I UÃ[ÃcÃ$ÃXQGÃMÃcÃN.
h(x)= lim g j (x) I UÃ[ÃcÃ$ÃLVWÃGDQQÃGLHÃREHUHÃ(LQK OOHQGHÃ]XÃ) 0 .
j→∞
(3.22) Lemma: Sei U`R n offen. Sei f: UtR stetig mit f(x)m0 für x c U. Dann gibt es eine
Folge (T j ) j von Treppenfunktionen T j auf R n mit T j (x)[T j+1 (x), x c R n , j c N, so daß
f U (x)= lim T j (x) für x c R n , f U triviale Fortsetzung von f.
j→∞

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
Sei a c R n , r>0, sei W r (a):= [a 1 -r,a 1 +r] % ... % [a n -r,a n +r] ein achsenparalleler abgeschlossener
Würfel. W r (a) heiße rational, wenn a c Q n , r c Q.
Sei 7 0 die Menge aller Treppenfunktionen auf R n der Gestalt T r,a = m r,a $ 1
W r ( a)
, wobei
W r (a)`U ein rationaler Würfel und m r,a = min{f(x): x c W r (a)}.
Zu zeigen: Für alle T c 7 0 gilt T(x) [ f k (x), x c R n , denn:
x c R n , x v U, u T r,a (x) = 0 [f U (x), da W r (a)`U.
Ist x c U u für alle rationalen Würfel W r (a)`U.
T r,a = m r,a $ 1
W r ( a)
(x) [ f(x) [ f U (x).
f ist stetig,, zu x c R n und e>0 existiert ¼>0 mit ¼ c Q, so daß xf(x)-f(y)x< e für alle
y c K ¼ (x)={z c R n : yx-zy 2

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
2. Fall:
Sei A abgeschlossen und beschränkt, d.h. kompakt. f ist stetig auf A, also auch beschränkt auf
A. Tietzes Fortsetzungssatz liefert eine Funktion ~ f : R n tC, so daß ~ f stetig und beschränkt
auf R n ist mit ~ f (x)=f(x) für x c A. Wähle offenen Quader Q`R n mit A`Q, wende 1. Fall auf
Q an. ~ f ist auf Q beschränkt
~
u für die triviale Fortsetzung f A =
Lebesgue-integrierbar, also auch f A .
q.e.d.
f − ~
Q
f Q
⋅
~
1 Q\ A gilt: f Q und 1Q\ A sind nach dem 1. Fall
,PÃ%HZHLVÃGLHVHVÃ6DW]HVÃZXUGHÃYRQÃ6DW]ÃÃ%Ã/HYLÃQXUÃGLHÃ7DWVDFKHÃGHUÃ,QWHJULHUEDUNHLWÃGHUÃ*UHQ]IXQNWLRQ
DXVJHQXW]WÃ 'XUFKÃ .RPELQDWLRQÃ GHUÃ )RUPHOÃ
∫
n
R
∫
f(x) dx = lim Tj (x) dx à PLWà GHPà 6DW]à YRQà )XELQLà I U
j→∞
n
R
7UHSSHQIXQNWLRQHQÃ.RUROODUÃÃHUKDOWHQÃZLUÃDXFKÃHLQÃ5HGXNWLRQVYHUIDKUHQÃ]XUÃ%HUHFKQXQJÃGHVÃ,QWHJUDOV
(3.24) Satz: („kleiner“ Satz von Fubini):
Sei A`R n %R m eine offene und beschränkte Teilmenge (bzw. eine kompakte
Teilmenge). Sei f: AtC stetig und beschränkt. Dann gilt:
1) für jedes y c R m mit ÃgA y :={x c R n : (x,y) c A} ist f y : A y`R n tC mit f y (x)=f(x,y)
über A y Lebesgue-integrierbar. Ferner ist die Funktion F: R m tC mit
⎧
⎪ ∫ f(x, y) dx für A
y
≠ ∅
F(y) : = ⎨Ay
⎪
⎩ 0 für A
y
= ∅
Lebesgue-integrierbar auf R m , und es gilt:
⎛
∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎞
f(x, y) d(
x,
y)
= F(y) dy =
⎜
f(x, y) dx dy
⎜
A
m
m
n
R
R
⎝
A y ⊆R
⎠
2) für jedes x c R n mit ÃgA x :={y c R m : (x,y) c A} ist f x : A x`R m tC mit f x (y)=f(x,y)
über A x Lebesgue-integrierbar. Ferner ist die Funktion G: R n tC mit
⎧
⎪ ∫ f(x, y) dy für A
x
≠ ∅
G(x) : = ⎨Ax
⎪⎩ 0 für A
x
= ∅
über R n Lebesgue-integrierbar. Es gilt:
⎛
∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎞
f(x, y) d(
x,
y)
= G(x) dx = ⎜ f(x, y) dy dx
⎜
A
n
n
m
R
R ⎝ A x ⊆R
⎠
Beweis:
Für A offen und beschränkt: o.B.d.A.: fm0
Sei f A triviale Fortsetzung von f, dann existiert (T j ) j , T j Treppenfunktion auf R n %R m mit
T j [T j+1 und f A (x,y)= lim T j (x,y) für (x,y) c R n %R m . Sei y c R m , die Treppenfunktionen T j,y mit
j→∞
T j,y (x)=T j (x,y) bilden eine monoton wachsende Folge mit lim T j, y (x) = lim T j (x,y) = f A (x,y),
j→∞
j→∞
und die Folge
⎛
⎜ T
∫
n
⎝ R
j, y
⎞
(x) dx ⎟ ist beschränkt
⎠
j

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
u F(y) =
lim
∫n
j→∞
R
T j, y
(x) dx
Zu zeigen: F(y) ist Lebesgue-integrierbar. Mit Hilfe von Satz (3.23):
S j : R m tR mit S j (y):= T j, y
(x) dx sind Treppenfunktionen auf R m , und (S j ) j konvergiert
∫n
R
monoton gegen F.
⎛ ⎞
Ferner ist ⎜ S
j
(y) ⎟
∫ dy beschränkt.
m
⎝ R ⎠ j
Satz von Fubini für Treppenfunktionen und weil T j,y [f A , liefert nämlich
⎛
∫ ∫ ∫ ⎟ ⎞
S ⎜
j
(y) dy = T
j, y
(x) dx dy = ∫ Tj
(x, y) d(
x,
y)
≤ ∫ f
A
(x, y) d(
x,
y)
m
m n
n m
n m
R
R ⎝ R ⎠ R × R
R × R
B. Levi liefert, daß F Lebesgue-integrierbar ist mit den angegebenen Eigenschaften.
q.e.d.
Beispiele:
1) f: [a,b]%[c,d]tR sei stetig auf [a,b]%[c,d]=:A`R 2 .
b d
d b
⎞
∫ ∫∫ ∫∫ ⎟ ⎞
⎜ ⎛
⎟
⎜ ⎛
f(x, y) d ( x,
y)
= f(x, y) dy
dx = f(x, y) dx dy
A
a ⎝ c ⎠ c ⎝ a ⎠
1
2) A=[1,2]%[0,1] f(x 1 ,x 2 ):=
1 x 2
+ x 1 2
Ð für x 2 c [0,1]:
2
1
F(x 2 ) = ∫ dx1
1 +
2
1 x 1
x
2
⎧ 1
wenn x
2
= 0
⎪ 2
= ⎨ 1 x
2
1
⋅
= ⋅ ( − ) ≠
⎪ ∫ dx arctan(2 x ) arctan( x ) wenn x 0
2 1
2
2
2
x
2 1
⎩ 1+
( x x ) x
2 1
2
arctan(2
F(0) = 1 = lim
x →0
2
x
1
2
) − arctan(
x
2
x
2
)
, daher ist F auf [0,1] stetig
u ∫ f(x1
, x
2
) d(
x1,
x2
) = ∫ F(x
2
) dx2
mit Aufwand zu berechnen !!!
A
0
Ð für x 1 c [1,2]:
1
1 2
1 1 x 1
1
2
1 + x x x 1 + x x x
x
1
2 x2
= 1
G(x 1 ) = ∫ dx2
= ⋅
2
= ⋅ [ ln (1 + x
1
x
2
)] x 0
= ⋅ ln (1 + x1
)
2
2 ∫ dx
2
2
2 = 2
0
1
2
1
0
1
2
1
1
u
∫
A
f(x , x
1
2
) d(
x
1
, x
2
2
2
ln (1 + x
) = ∫ G(x1)
dx1
= ∫ 2
x
1
1
1
2
1
)
dx
1
=
K
= ln
2
5
π
+ 2 ⋅ arctan 2 −
2

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
3) Sei A`R%R n-1 eine Teilmenge, für y c R n-1 (y = (y 1 ,...,y n-1 )) sei
A y ={x c R: (x,y) = (x;y 1 ,...,y n-1 ) c A} ein Intervall oder leer. Dann heißt A einfach bzgl.
y = (y 1 ,...,y n-1 ) bzw. Normalbereich bzgl. y = (y 1 ,...,y n-1 )
Sei A kompakt, sei B:={y c R n-1 : A y gÃ}, dann gilt für y c B: A y =[x 1 (y),x 2 (y)]
x
⎛
2 (y)
∫
− ∫ ∫
−
⎟ ⎟ ⎞
f(x, y) d ( x,
y = ⎜
1,...,
yn
1)
f(x, y) dx d(
y1,...,
y
n 1)
⎜
A
B ⎝ x1(y)
⎠
4) A= K r
(0) `R 2 , K r
(0) = (x,y): x 2 +y 2 [r 2 }
x 2 + y 2 [ r 2 u x 2 [ r 2 - y 2 , wenn xyx[ r
u A y ={x c R: (x,y) c A}={x c R: x 2 +y 2 [r 2 }
- für xyx[ r
2 2
r ⎛ r -y ⎞
u
⎟
∫ f(x, y) d(
x,
y)
=
⎜
∫⎜
∫ f(x, y) dx
⎟
dy
A
−r
2 2
⎝ − r -y ⎠
5) Sei A der im 1. und 4. Oktanden gelegene Teil einer Vollkugel mit Radius 3. Sei f: R 3 tR
gegeben durch f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 1 $x 2 $x 3
f(x1,
x
2
, x
3
) d ( x1,
x2
, x3
)
2 2 2 2
A y = [ r - y , r - y ]
Berechne ∫
A
A={(x 1 ,x 2 ,x 3 ) c R 3 : x 2 1 +x 2 2
2 +x 3 [9, x 1 m0, x 3 m0}
2 2
u 0 [ x 3 [ 9 - (x x )
1
+
2
Mit B={(x 1 ,x 2 ) c R 2 : x 2 2
1 +x 2 [9} folgt:
2 2
⎛ 9-(x1
+ x 2 )
∫
∫ ∫
⎟ ⎟ ⎞
x ⋅ ⋅
=
⎜
1
x
2
x
3
d ( x1
, x2
, x3
)
⎜
x1
⋅ x
2
⋅ x
3
dx3
d(
x1
, x2
)
A
B 0
⎝
⎠
2
2 2
3 ⎛ 9-x 2
2 2
9 - (x +
= ∫
∫ ∫
⎟ ⎟ ⎞
1
x
2
)
⎜
9 - (x1
+ x
2
)
x1
⋅ x
2
⋅
d(
x1,
x2
) =
⎜
x
1
⋅ x
2
⋅
dx1
dx2
2
2
B
−3
0
⎝
⎠
6) Volumen des Eikörpers:
2 2 2
V ei ={(x 1 ,x 2 ,x 3 ) c R 3 x1
x
2
x
3
: + + ≤ 1} mit a>0,b>0,c>0
2 2 2
a b c
V ei = 2$V ob , wobei V ob ={(x 1 ,x 2 ,x 3 ) c V ei : x 3 m0}
2 2
⎛ x ⎞
1
x
2
0 [ x 3 [ c ⋅ 1- ⎜ ⎟
+
2 2
=: f(x 1 ,x 2 )
⎝ a b ⎠
2 2
V ob= ∫ f(x1 , x
2
) d ( x1
, x2
) , wobei B:={(x 1 ,x 2 ) c R 2 x1
x
2
: + ≤1}
2 2
B
a b
2
⎛ x 2
a⋅
1-
⎞
2 2
⎜ 2
b b
2 2
⎛ x
V ob =∫
⎟ ⎞
1
x
2
c ⋅ 1- ⎜
+ d ( x
2 2 1,
x2
) = ⎜
⎛ x ⎞
1
x
2
B ⎝ a b
∫ ∫ c ⋅ 1- ⎜ ⎟
⎠
⎜
+
dx1
−
⎝ ⎠
⎜ ⋅
⎟ ⎟⎟⎟ dx
2 2
2
b
2
a b
x 2
-a 1-
2
⎝ b
⎠
2
= ... = π ⋅ a ⋅ b ⋅ c
3
9 HL
D$E$F$
3
4
$oÃÃ'LHVHVÃ,QWHJUDOÃOl‰WÃVLFKÃPLWÃ+LOIHÃGHUÃ6XEVWLWXWLRQVUHJHOÃVHKUÃYLHOÃHLQIDFKHUÃEHUHFKQHQ

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 3 Meßbarkeit von Teilmengen des 5 Q , Mengen vom Lebesgue-Maß 0
'DVÃ/HEHVJXH,QWHJUDOÃYHUVHW]WÃXQVÃMHW]WÃLQÃGLHÃ/DJHÃHLQHQÃVHKUÃDOOJHPHLQHQÃ,QKDOWVEHJULIIÃHLQ]XI KUHQÃGHUÃGHP
)OlFKHQLQKDOWÃE]ZÃ9ROXPHQÃYRQÃ3XQNWPHQJHQÃLQÃGHUÃ(EHQHÃE]ZÃLPÃ5DXPÃHQWVSULFKWÃZHQQÃGLHVHÃ0HQJHQÃLQ
HQGOLFKÃYLHOHÃ'UHLHFNHÃE]ZÃ7HWUDHGHUÃ]HUOHJWÃZHUGHQÃN|QQHQ
(3.25) Definition: Eine Teilmenge A`R n heißt Lebesgue-meßbar (kurz: meßbar), wenn
die Funktion 1: AtR mit 1(x)=1, x c A, Lebesgue-integrierbar ist.
Die Zahl V n (A) = ∫ 1 dx = ∫ 1 A
dx heißt dann das n-dimensionale Volumen von A
A
n
R
(oder das Lebesgue-Maß von A). Die leere Menge habe das Lebesgue-Maß 0.
Ist A=Q ein Quader der R n ( 3.10)
⇒ Vn (A)=V n (Q) [vgl.(3.1)]
(3.26) Satz: (Eigenschaften des Lebesgue-Maßes):
Sind A,B ` R n Lebesgue-meßbar und sind A 1 ,...,A m ` R n Lebesgue-meßbar.
Dann gilt:
1) A4B und A3B sind Lebesgue-meßbar und es gilt
V n (A4B)=V n (A)+V n (B)-V n (A3B); insbesondere gilt V n (A4B)=V n (A)+V n (B),
wenn V n (A3B)=0
2) V n (A)[V n (B) wenn A`B
m
3) A 1 4 ... 4 A m ist Lebesgue-meßbar mit V n (A)=∑ V
n
(A
j
) , wenn A=U m
A j
V n (A i 3 A j ) = 0 für igj
j=
1
j=
1
und
:LUÃZHUGHQÃVHKHQÃGD‰ÃGLHÃ$GGLWLYLWlWÃGHVÃ/HEHVJXH0D‰HVÃDXIÃDE]lKOEDUÃYLHOHÃ0HQJHQÃPLWà ∑
∞
DXVJHGHKQWÃZHUGHQÃNDQQÃr$GGLWLYLWlWÃGHVÃ/HEHVJXH0D‰HV
:HOFKHÃ0HQJHQÃVLQGÃGHQQÃ/HEHVJXHPH‰EDU"Ã8QPLWWHOEDUÃDXVÃÃIROJW
j=
1
V
n
(A
j)
(3.27) Satz: Jede offene (bzw. abgeschlossene) und beschränkte Teilmenge des R n ist
Lebesgue-meßbar.
< ∞
:LHÃ ODVVHQÃ VLFKÃ 9ROXPLQDÃ YRQÃ 7HLOPHQJHQÃ $`R n Ã
PLWÃ +LOIHÃ YRQÃ 9ROXPLQDÃ EHNDQQWHUÃ 0HQJHQÃ GHVÃ R n
EHUHFKQHQ"Ã'HUÃNOHLQHÃ6DW]ÃYRQÃ)XELQLÃOLHIHUWÃHLQÃQ W]OLFKHVÃ5HNXUVLRQVYHUIDKUHQÃ]XUÃ%HUHFKQXQJÃYRQÃ9ROXPLQD
HVÃNDQQÃDXIÃIROJHQGHÃ:HLVHÃIRUPXOLHUWÃZHUGHQ
(3.28) Korollar: Sei A`R n+m eine offene (bzw. abgeschlossene) und beschränkte Teilmenge.
Dann gilt: V n+m (A)= Vn
(A
y
) dy , wobei A y :={x c R n : (x,y) c A}.
∫m
R

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
,QVEHVRQGHUHÃJLOWÃGDVÃIROJHQGHÃQDFKÃ%Ã&DYDOLHULÃEHQDQQWHÃ3ULQ]LS
(3.29) Korollar: (Prinzip von Cavalieri):
Zwei kompakte Mengen A,B ` R n+m haben dasselbe (n+m)-dimensionale Volumen,
wenn für jedes y c R m die Schnittmengen A y :={x c R n : (x,y) c A} und
B y :={x c R n : (x,y) c B} dasselbe n-dimensionale Volumen besitzen.
:LHÃGDVÃ9ROXPHQÃHLQHUÃNRPSDNWHQÃRGHUÃRIIHQHQÃXQGÃEHVFKUlQNWHQÃ0HQJHÃPLWÃ+LOIHÃYRQÃ9ROXPLQDÃYRQÃ4XDGHUQ
EHUHFKQHWà ZHUGHQà NDQQà ]HLJWà GHUà IROJHQGHà 6DW]à 'DEHLà HULQQHUQà ZLUà XQVà GD‰Ã HLQHà 0HQJHà GLHà 9HUHLQLJXQJ
HQGOLFKÃYLHOHUÃ4XDGHUÃLVWÃHLQHÃ)LJXUÃJHQDQQWÃZLUGÃ'HILQLWLRQÃ
(3.30) Satz: Sei M`R n eine Teilmenge. Dann gilt:
1) Ist M offen und Lebesgue-meßbar, so gibt es eine Folge (A j ) j von Figuren mit
A j`A j+1 und M=U ∞
=1
M=U ∞ B j
j=1
j
A j
. Ist (B j ) j eine Folge von Figuren mit B j`B j+1 und
, dann gilt: sup V (B ) = lim V (B ) = V (M)
n j
j∈N
j→∞
2) Ist M kompakt, so gibt es eine Folge (A j ) j von Figuren mit A j+1`A j und M=I ∞
=1
n
j
n
j
A j
.
Für jede Folge (B j ) j von Figuren mit B j+1`B j und M=I ∞
=1
V
n
(M)
=
j →∞
lim V (B ) = inf V (B )
n
j
j∈N
n
j
j
B j
gilt:
Beweis:
ad 1)
Wähle rationale Würfel, die in M enthalten sind, so erhält man eine abzählbare Folge von
Quadern Q j mit M=U Q
j
; setze A k :=U k
Q j
u A k`A k+1 und M=U ∞ A k
.
j
j=
1
=1
Sei (B j ) j eine Folge von Figuren mit B j`B j+1 , M=U ∞
=1
1
B j
sind monoton wachsend und konvergieren gegen 1 M , V k (B j ) =
∫n
j
B j
.
k
R
1 dx
Da M Lebesgue-meßbar ist, folgt aus B j`M: 1 [ 1 M und V n (B j ) [ V n (M)
⎛
u
B j ⎟ ⎞
⎜
∫ 1 dx ist beschränkt.
n
⎝ R ⎠ j
Der „kleine“ Beppo Levi liefert: 1 M =
lim
j→∞
V n (M) = ∫ 1 M
dx = lim ∫1B
j
dx lim Vn
(B
j
)
n
R
=
j → ∞
j →∞
n
R
B j
1
B j
ist Lebesgue-integrierbar mit
B j

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
ad 2)
Zu M wähle offene Würfel WrM, wähle eine Folge von Figuren B k mit B k`B k+1 und
U B
k
= W \ M; setze A k := W \ B k , k c N
k
u A k+1 = W \ B k+1 ` W \ B k = A k
und I ∞
=1
k
A k
= I
k
W \ B k = W \ U
k
B = M
k
q.e.d.
Beispiele:
1) Volumen eines Zylinders im R n :
Sei B`R n-1 eine kompakte Teilmenge, sei h>0. Die Menge Z(B,h):=B % [0,h] ` R n heißt
Zylinder zur Basis B mit der Höhe h.
Sei y c [0,h], Z(B,h) y :={x c R n-1 : (x,y) c Z(B,h)}=B
Cavalieri
⇒ V n (Z(B,h)) = h$V n-1 (B)
2) Volumen eines Kegels im R n :
Sei B`R n-1 eine kompakte Teilmenge, sei h>0. Die Menge
K(B,h)={(x,y) c R n ⎛ y ⎞
: y c [0,h], x c ⎜1 − ⎟ $ B} heißt Kegel zur Basis B mit der Höhe h.
⎝ h ⎠
Sei y c [0,h] u K(B,h) y ={x c R n-1 ⎛ y ⎞
: (x,y) c K(B,h)}= ⎜1 − ⎟ $ B
⎝ h ⎠
n−1
⎛ y ⎞
u V n-1 (K(B,h) y ) = ⎜1
− ⎟ $ V n-1 (B)
⎝ h ⎠
−1
h
h
n
n
⎛ y ⎞
⎡ h ⎛ y ⎞ ⎤
V n (K(B,h)) = ∫ ⎜1-
⎟ ⋅ Vn-1
(B) dy = ⎢-
⋅ ⎜1-
⎟ ⎥ ⋅ Vn-
1(B)
= K
⎝ h ⎠
⎢⎣
n ⎝ h
0
⎠ ⎥⎦
3) Volumen eines Standardsimplex im R n :
¯n={(x
1 ,...,x n ) c R n : x j m0, j c {1,...,n}, x 1 +x 2 +...+x n [1}
n=1: ¯1 = [0,1]
n=2: ¯2 = {(x 1 ,x 2 ) c R 2 : x 1 m0, x 2 m0, x 1 +x 2 [1}
V 1 (¯1)
= 1 / V 2 (¯2)
= 2
1 , da für x2 c [0,1]: ¯ 2
x 2
= {x 1 c R: x 1 m0, x 1 +x 2 [1} = [0,1-x 2 ]
1 1−x
2
⎛ ⎞
u V 2 (¯2)
= ⎜ ⎟
∫ 1 2
=
∫ dx dx
0 ⎝ 0 ⎠
1
per Induktion: V n (¯n)
= n!
1
2
0
4) Cantorsches Diskontinuum C:
A 0 = U[2k,2k
+ 1]
k ∈
N 0
1
A n = A n 0
, n c N
3
C n = [0,1] 3 A 0 3 A 1 3 ... 3 A n

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
C n ist die Vereinigung von 2 n 1
kompakten Intervallen der Länge
n .
3
C n+1 entsteht aus C n durch Herausnahme der offenen mittleren Dritteln aus allen 2 n
Intervallen, die C n zusammensetzen.
C:=IC n
Cantorsches Diskontinuum
n
n
⎛ 2 ⎞
V 1 (C n ) = ⎜ ⎟⎠ u V 1 (C) = lim V 1 (C n ) = 0
⎝ 3
n→∞
(LQHÃEHVRQGHUHÃ%HGHXWXQJÃI UÃGHQÃZHLWHUHQÃ$XVEDXÃGHUÃ,QWHJUDWLRQVWKHRULHÃKDEHQÃGLHMHQLJHQÃ0HQJHQÃLPÃR n
GHUHQÃ/HEHVJXH0D‰Ã1XOOÃLVW
(3.31) Definition: Eine Teilmenge N`R n heißt eine Lebesgue-Nullmenge (kurz:
Nullmenge) oder hat das Lebesgue-Maß 0, wenn N Lebesgue-meßbar ist und
V n (N)=0.
:LUÃ JHEHQÃ KLHUÃ ]ZHLÃ &KDUDNWHULVLHUXQJHQÃ YRQÃ /HEHVJXH1XOOPHQJHQÃ ZREHLÃ HLQHÃ GHUÃ EHLGHQÃ EHVRQGHUV
]ZHFNPl‰LJÃI UÃ%HZHLVHÃLVWÃXQGÃGLHÃDQGHUHÃGHQÃXQPLWWHOEDUHQÃ=XVDPPHQKDQJÃ]XÃ'HILQLWLRQÃ Ã EULQJWÃ =X
GHQÃ&KDUDNWHULVLHUXQJHQÃEHQ|WLJHQÃZLUÃGDVÃIROJHQGH
(3.32) Lemma: Sei U`R n eine offene Menge. Dann gibt es kompakte Würfel W k , k c N, die
Beweis:
höchstens Randpunkte gemeinsam haben, so daß U =U ∞
=1
dann gilt V n (U) =∑ ∞ V
j=1
n
(Wj)
.
k
W k
. Ist U Lebesgue-meßbar,
Sei k c N. : k sei die Gesamtheit der Würfel W = I 1 % I 2 % ... % I n mit
⎡ m
j
m
j
+ 1⎤
I j := ⎢ ,
k k ⎥ , m j c Z.
⎣ 2 2 ⎦
Für l>k schneiden sich zwei Würfel W c : k und W‘ c : k entweder nur in den Randpunkten,
oder es gilt W‘`W.
Wir wählen Würfel induktiv aus: : 1 *={W c : 1 : W`U}, für k>1 sei : k * die Menge aller
derjenigen Würfel aus : k , die in U enthalten sind, aber in keinem der Würfel aus : i *, i

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
:LUÃNRPPHQÃ]XÃGHQÃDQJHN QGLJWHQÃ&KDUDNWHULVLHUXQJHQ
(3.33) Satz: Sei N`R n eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1) N ist eine Lebesgue-Nullmenge des R n
2) y1 N y 1 = 0
Beweis:
3) zu jedem e>0 gibt es abzählbar viele Quader Q j`R n , j c N, mit N `U∞
und ∑ ∞ V
j=1
n
(Q
j)
1) u 2):
y1 N y 1 = ∫ 1N dx = V n (N) = 0
R n
< e (vgl. (1.43))
2) u 1)
Wir betrachten die Treppenfunktionen T k : R n tR mit T k (x)=0, k c N
u 0 =y1 N y 1 = lim y1 N -T k y 1
k →∞
u 1 N ist Lebesgue-integrierbar
u N ist Lebesgue-meßbar mit V n (N) = 1 dx = 1 dx = lim T (x) 0
2) u 3)
∫
N
∫
n
R
N k
=
k→∞
Q j
j=1
0 =y1 N y 1 u 0 =y2$1 N y 1 . Sei e>0, dann gibt es eine Hüllreihe für f=2$1 N , etwa w =∑ ∞
j=
wobei c j m0 und Q j offene Quader des R n mit dem Inhalt I(w)=∑ ∞
j=
Für m c N sei T m =∑
Die Folge
m
j=
1
c ⋅ 1 , T m ist Treppenfunktion mit T m [T m+1 .
j
Q
j
1
c
j
⋅ Vn
(Q
j)
< e.
⎛ ⎞
⎜ Tm
(x) ⎟
∫ dx ist nach oben beschränkt durch e, also ist w(x)=∑ ∞
⎝ R n ⎠
j=
1
m∈N
Lebesgue-integrierbar auf R n . Sei U:={x c R n : w(x)>1} u N`U, außerdem ist U offen.
c
1
j
c j
⋅1 Q
,
j
Wir zeigen: U ist Lebesgue-meßbar mit V n (U)< e.
Nach (3.22) ist 1 U Grenzfunktion einer monoton wachsenden Folge (S j ) j von
Treppenfunktionen mit S j [ 1 U [ w
S j
(x) dx ≤ ϕ (x) dx [ e.
u
∫
n
R
∫
n
R
Der kleine Satz von B. Levi (3.18) liefert, daß 1 U Lebesgue-integrierbar ist mit
V n (U)[ ∫ 1U dx < e.
n
R
Nach Lemma (3.32) läßt sich U durch kompakte Würfel überdecken:
⋅1
Q
j
(x)

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
U =U ∞
=1
j
3) u 2)
W j
und V n (U) =∑ ∞ V
j=1
n
(Wj)
Sei e>0, es gebe Quader wie in 3) angegeben u y1 N y 1 = 0, da N `U∞
1 N [ ∑
∞
j=1
∞
Q
Vn
(Q
j)
1
j = 1
1
Q j
, sowie y1 N y 1 [ ∑ =
j ∑
∞
j=
1
Q j
j=1
1 < e. q.e.d.
,
,PÃ HLQGLPHQVLRQDOHQÃ )DOOÃ VWLPPWÃ GLHÃ &KDUDNWHULVLHUXQJÃ HLQHUÃ /HEHVJXH1XOOPHQJHÃ 1`RÃ PLWÃ GHUÃ 'HILQLWLRQ
à EHUHLQÃ8QPLWWHOEDUÃDXVÃGHPÃ%HZHLVÃGLHVHVÃ6DW]HVÃHUJLEWÃVLFKÃGDVÃIROJHQGHÃ.RUROODU
(3.34) Korollar: Ist N`R n eine Lebesgue-Nullmenge, so gibt es zu jedem e>0 eine
Lebesgue-meßbare offene Menge U`R n mit N`U und V n (U)< e.
$OVÃ$QZHQGXQJÃHUKDOWHQÃZLUÃDX‰HUGHP
(3.35) Satz: Sei K`R n eine kompakte Teilmenge, sei f: KtC eine beschränkte Funktion, die
auf K \ N stetig ist, wobei N`K`R n eine Lebesgue-Nullmenge ist. Dann ist f auf K
Lebesgue-integrierbar.
Beweis:
Da f auf K beschränkt ist, gibt es ein M>0 mit xf(x)x[M für alle x c K. Sei e>0, nach
Korollar (3.34) gibt es zu N eine Lebesgue-meßbare Menge U`R n mit N`U und M$V n (U)

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beispiele:
Es sind Lebesgue-Nullmengen:
1) die Vereinigung abzählbar vieler ausgearteter Quader
2) jede abzählbare Teilmenge des R n , insbesondere Q in R
3) das Cantorsche Diskontinuum C in R
4) der Graph einer stetigen Funktion f: BtR, wobei B`R n-1 die Vereinigung abzählbar
vieler kompakter Teilmengen des R n-1 ist
5) jede Hyperebene des R n
'LHÃ%HGHXWXQJÃGHUÃ1XOOPHQJHQÃI UÃGLHÃ,QWHJUDWLRQVWKHRULHÃOLHJWÃLQÃLKUHUÃ5ROOHÃDOVó]XOlVVLJHÃ$XVQDKPHPHQJH§
'LHÃIROJHQGHQÃ(UJHEQLVVHÃNRQNUHWLVLHUHQÃGLHVHÃ5ROOHÃ=XUÃ)RUPXOLHUXQJÃGHUÃGDPLWÃJHPHLQWHQÃ6DFKYHUKDOWHÃI KUHQ
ZLUÃGLHÃIROJHQGHÃ6SUHFKZHLVHÃHLQ
(3.37) Definition: Sei E eine Eigenschaft, bei der für jeden Punkt x c R n erklärt ist, ob x
diese Eigenschaft hat oder nicht. Man sagt: fast alle Punkte x c R n haben diese
Eigenschaft E oder E gilt fast überall, wenn die Menge aller Punkte, für die E nicht
gilt, eine Lebesgue-Nullmenge ist (vgl. (1.27)).
,PÃ+LQEOLFNÃDXIÃGLHÃ%HLVSLHOHÃXQGÃGLHVHÃ6SUHFKZHLVHÃJHZLQQWÃ'HILQLWLRQÃÃGHUÃ'LIIHUHQ]LHUEDUNHLWÃIDVWÃ EHUDOO
LQÃIÃHLQHÃQHXHÃ%HGHXWXQJ
(3.38) Satz: Die Werte einer Funktion f: R n t C mit yfy 1 < ¢, insbesondere die Werte einer
Lebesgue-integrierbaren Funktion, sind fast überall endlich,
d.h. M f :={x c R n : f(x)=z ¢ } ist eine Lebesgue-Nullmenge.
Beweis:
Sei e>0.
1 [ e$xfx u y1 y[ e$yfy 1 u y1 y= 0. q.e.d.
M f
M f
M f
(3.39) Satz: Seien f,g: R n t C Funktionen, die fast überall gleich sind. Ist f Lebesgueintegrierbar
auf R n , dann ist auch g Lebesgue-integrierbar auf R n , und es gilt:
yf-gy 1 =0 und ∫ g(x) dx = ∫ f(x) dx .
Beweis:
n
R
n
R
N:={x c R n : g(x)gf(x)} ist eine Lebesgue-Nullmenge. Sei U N := z ¢ $1 N und sei f k :=1 N , dann
gilt: U N :=∑ ∞ f k
. Da N Lebesgue-Nullmenge ist, folgt daß y1 N y 1 = 0 u yU N y 1 = 0.
k =1
f ist Lebesgue-integrierbar auf R n , dann existiert eine Folge (T j ) j , T j Treppenfunktionen, mit
lim yf-T j y 1 = 0.
j→∞
Da xg(x)-T j (x)x [ xf(x)-T j (x)x + U N (x), x c R n u yg-T j y 1 [ yf-T j y 1 u g ist Lebesgueintegrierbar
mit yf-gy 1 [ yf-T j y 1 + yT j -gy 1 [ 2$yf-T j y 1 → 0 und
∫ g(x) dx = lim ∫Tj(x)
dx = ∫f(x)
dx
q.e.d.
j→∞
R n R n
R n
j→∞

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(3.40) Korollar: Sei f über A`R n und über B`R n Lebesgue-intgrierbar. Sei A3B eine
Lebesgue-Nullmenge. Dann ist f über A4B Lebesgue-integrierbar und es gilt:
∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx .
Beweis:
A∪B
A
B
Nach Satz (3.39) dürfen wir f(x)=0 für alle x c A 3 B annehmen. Dann gilt f A 4 B = f A + f B
u Behauptung
q.e.d.
(3.41) Korollar: Zu jeder Lebesgue-integrierbaren Funktion f: R n t C gibt es eine Lebesgueintegrierbare
Funktion ~ f : R n tC mit
1) xf(x)x< ¢ für alle x c R n und
2) ~ f =f fast überall auf R n
Beweis:
~
Man setze dazu an jeder Unendlichkeitsstelle x von f etwa f(x)
wende Satz (3.38) an.
~
:=0 und sonst f(x)
= f(x) und
q.e.d.
,VWÃIÃIDVWÃ EHUDOOÃDXIÃR n ÃGHILQLHUWÃGKÃDXIÃR n Ã?Ã1Ã1Ã/HEHVJXH1XOOPHQJHÃVRÃVDJWÃPDQÃDXFKÃIÃLVWÃ EHUÃR n
/HEHVJXHLQWHJULHUEDUÃZHQQÃLUJHQGHLQHÃ)RUWVHW]XQJÃYRQÃIÃDXIÃJDQ]ÃR n Ã/HEHVJXHLQWHJULHUEDUÃLVW
(3.42) Satz: (vgl. (3.39)):
Sei f: R n t C eine Funktion. Es gilt yf y 1 = 0 genau dann, wenn f=0 fast überall gilt.
Beweis:
„s“: (3.39)
„u“: Sei yfy 1 = 0 , N={x c R n : f(x)g0}
u N = U N
k
k
u Für alle k gilt:
= U{x c R n 1
: xf(x)x> }
k
k
1 [ k$xfx u y
N
1
k
N y
k
1 [ k$yfy 1 = 0
u V n (N k ) = 0 u N Lebesgue-Nullmenge.
q.e.d.
:LUÃ]HLJHQÃQXQÃGD‰ÃGDVÃ/HEHVJXH,QWHJUDOà GLHà ZLFKWLJHà (LJHQVFKDIWà GHUà 7UDQVODWLRQVLQYDULDQ]à EHVLW]Wà GLHà VLFK
DOVÃ$XVJDQJVSXQNWÃI UÃGLHÃ+HUOHLWXQJÃZHLWHUJHKHQGHUÃ$EELOGXQJVHLJHQVFKDIWHQÃHUZHLWHUQÃOl‰W

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(3.43) Satz: (Translationsinvarianz des Lebesgue-Integrals):
Sei f: R n t C Lebesgue-integrierbar. Sei a c R n . Dann ist auch f a : R n tC mit
f a (x):=f(x-a) über R n Lebesgue-integrierbar mit
∫ f(x) dx = ∫ f
a
(x) dx = ∫ f(x - a) dx .
Beweis:
n
R
n
R
n
R
~
Sei Q = I 1 % ... % I n ein Quader, ¹ j ,º j mit ¹ j

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
ad (D1):
wir zeigen (D1) für k=1, dann für k c N, dann für k c Q, dann für km0 und k c R und
schließlich für k0: Dann existieren r 1 ,r 2 c Q, r 1 >0, r 2 >0 mitr 1 [ k [ r 2 und
ε
r 2 -r 1 [
für vorgegebenes e.
Vn
( P(a1,...,
a
n
))
P(a 1 ,...,r 1 $a i ,...,a n ) ` P(a 1 ,...,k$a i ,...,a n ) ` P(a 1 ,...,r 2 $a i ,...,a n )
u V n (P(a 1 ,...,r 1 $a i ,...,a n )) ` V n (P(a 1 ,...,k$a i ,...,a n )) ` V n (P(a 1 ,...,r 2 $a i ,...,a n ))
u xV n (P(a 1 ,...,k$a i ,...,a n )) - k$V n (P(a 1 ,...,a n ))x[ ... [ (r 2 -r 1 )$V n (P(a 1 ,...,a n )) < e.
4. k=0 klar
5.
n
n
k0 an !!!
j=
1
j≠i
n
= λ ⋅ a
i
+ ∑ t
ja
j
+ λ ⋅ (t
i
-1) ⋅ a
i
j=
1
j≠i
n
= λ ⋅ a
i
+ ∑ t
ja
j
− ( −λ)
⋅ (t
i
-1) ⋅ a
i
j=
1
j≠i
ad (D2)
Mit < ij n
= {x =∑ t la l
: t l c [0,1], l c {1,...,n}, t i [t j } gelten
l = 1
, wobei 1-t i c [0,1]
(wir schreiben nur die maßgeblichen Argumente)
P(a i ,a j ) = < ij 4 < ji , P(a i ,a j +a i ) = < ji 4 (a i +< ij ). Die Durchschnitte < ij 3 < ji
und < ji 3 (a i + < ij ) liegen in Hyperebenen und haben somit das Volumen 0. Damit ergibt sich
V n (P(a i ,a j +a i )) = V n (< ji ) +V n (< ij ) = V n (P(a i ,a j ))
q.e.d.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(3.46) Korollar: Sei T: R n tR n eine lineare Transformation, sei Q`R n ein Quader. Dann hat
das Bildparallelotop T(Q) folgendes Volumen: V n (T(Q)) = V n (Q) $xdet(T)x.
Beweis:
Seien k 1 ,...,k n die Kantenlängen von Q in Richtung von e 1 ,...,e n (wobei e j kanonische Basis),
die Kantenlängen des Bildparallelotops von k 1 $Te 1 ,...,k n $Te n ergeben das Volumen
V n (T(Q)) = k 1 $ ... $ k n $xdet(Te 1 ,...,Te n )x=xdet(T)x$V n (Q).
q.e.d.
'LHVHÃ )RUPHOÃ ZLUGÃ VSlWHUÃ ]XUÃ 7UDQVIRUPDWLRQVIRUPHOÃ I UÃ ,QWHJUDOHÃ HUZHLWHUWÃ $QÃ 6WHOOHÃ YRQÃ GHW7Ã WULWWÃ GLH
)XQNWLRQDOGHWHUPLQDQWH
=XPÃ6FKOX‰ÃGLHVHVÃ.DSLWHOVÃVHLÃEHPHUNWÃGD‰ÃZLHÃLPÃHLQGLPHQVLRQDOHQà )DOOà DXFKà GDVà /HEHVJXH,QWHJUDOà HLQHU
VWHWLJHQÃ)XQNWLRQÃDXIÃHLQHUÃNRPSDNWHQÃ0HQJHÃGXUFKÃ5LHPDQQVFKHÃ6XPPHQÃDSSUR[LPLHUWÃZHUGHQÃNDQQ
Eine Zerlegung einer Menge A`R n ist ein System (A 1 ,...,A m ) von Teilmengen A j`A mit
1) A = A 1 4 ... 4 A m
2) A j 3 A k Lebesgue-Nullmenge für jgk
¼(A):=sup{yx-yy 2 : x,y c A} Durchmesser von A, ¼(Ã):=0
max ¼(A j ) heißt Feinheit der Zerlegung {A 1 ,...,A m ) von A
1≤
j≤m
(3.47) Satz: (vgl. (1.40))
Sei A`R n kompakt, sei f: AtC stetig. Dann existiert zu e>0 ein ¼>0, so daß für jede
Zerlegung {A 1 ,...,A s } von A mit der Feinheit [¼ und für jede Besetzung {n 1 ,...,n s } mit
n j c A j , j c {1,...,n} gilt:
∫ A
j = 1
s
f(x) dx − ∑ f( ξ
j
) ⋅ Vn
(A
j)
< ε .

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
9ROOVWlQGLJNHLWGHV/HEHVJXH,QWHJUDOV 6lW]H YRQ %
/HYL/HEHVJXH)XELQLXQG7RQHOOL
(LQHÃGHUÃZLFKWLJVWHQÃ(LJHQVFKDIWHQÃGHVÃ/HEHVJXH,QWHJUDOVÃLVWÃGD‰ÃGHUÃ(UZHLWHUXQJVSUR]H‰ÃGHUÃYRPÃ5DXPÃGHU
7UHSSHQIXQNWLRQHQÃ]XPÃ5DXPÃGHUÃ/HEHVJXHLQWHJULHUEDUHQÃ)XQNWLRQHQÃI KUWÃEHLÃ$QZHQGXQJÃDXIÃOHW]WHUHQÃQLFKW
PHKUÃ EHUÃLKQÃKLQDXVI KUWÃ6DW]ÃYRQÃ5LHV])LVFKHUÃ$OVÃ.RQVHTXHQ]ÃHUJHEHQÃVLFKÃ6lW]HÃ EHUÃGLHÃ9HUWDXVFKEDU
NHLWÃYRQÃ,QWHJUDWLRQÃXQGÃ/LPHVELOGXQJÃVRZLHÃHLQLJHÃ,QWHJUDELOLWlWVNULWHULHQ
§ 1 Der Vollständigkeitssatz von Riesz-Fischer
bKQOLFKÃZLHÃQDFKÃ6DW]ÃÃHLQHÃ)XQNWLRQÃIÃItCÃHLQHÃ5HJHOIXQNWLRQÃLVWÃZHQQÃHVÃHLQHÃ)ROJHÃIMMÃYRQÃ5HJHO
IXQNWLRQHQÃIMÃItCÃJLEWÃPLWÃ
j→∞
lim yIIMy ¢Ã ÃÃXQGÃ
b
b
∫ f(x) dx = lim
j→∞
∫ f
j(x)
dx ÃDEÃcÃ,ÃÃD[EÃZROOHQÃZLUÃGHQ
a
a
(UZHLWHUXQJVSUR]H‰ÃYRQÃ/HEHVJXHLQWHJULHUEDUHQÃ)XQNWLRQHQÃPLWÃ+LOIHÃGHUÃ+DOEQRUPÃyyÃGXUFKI KUHQ
(4.1) Definition: Sei (f j ) j eine Folge von Funktionen f j : R n t C , j c N. Sei f: R n tC . Dann
heißt:
1) (f j ) j eine L 1 -Cauchyfolge, wenn zu jedem e>0 ein j e
c N existiert mit yf j -f k y< e für
j,k m j e
.
2) die Folge (f j ) j c N L 1 -konvergent gegen f und f L 1 -Grenzwert von (f j ) j , wenn
lim yf j -fy 1 = 0
j→∞
'DÃyyÃQXUÃHLQHÃ+DOEQRUPÃLVWÃXQGÃy f -
~ f y ÃÃJHQDXÃGDQQÃJLOWÃZHQQÃ f =
~ f
ÃIDVWÃ EHUDOOÃ6DW]ÃÃLVW
HLQÃ/ *UHQ]ZHUWÃQXUÃHLQGHXWLJÃEHVWLPPWÃELVÃDXIÃHLQHÃ0HQJHÃ1ÃYRPÃ/HEHVJXH0D‰ÃÃ$OOHUGLQJVÃLVWÃMHGHÃ/
NRQYHUJHQWHÃ)ROJHÃI M M ÃDXFKÃHLQHÃ/ &DXFK\IROJH
(4.2) Satz: (Riesz-Fischer):
Sei (f j ) j eine L 1 -Cauchyfolge Lebesgue-integrierbarer Funktionen f j : R n t C , j c N.
Dann gilt: Es gibt eine Lebesgue-Nullmenge N`R n , eine Teilfolge ( f ) j k k`(f j ) j und
eine Funktion f: R n tC mit:
1) lim f (x) = f(x) für x
k →∞
j
c R n \ N
k
2) f ist Lebesgue-integrierbar auf R n
3) lim yf-f j y 1 = 0 und
j→∞ ∫ f(x) dx = lim ∫ f
j
(x) dx
n
R
j→∞
n
R

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
ad 1)
1
(f j ) j ist Cauchyfolge u es gibt (f jk ) k`(f j ) j mit yf j - f j y
k 1 <
2
k
für j m j k
∑ ∞
k = 1
u f - f ≤1
j
k + 1
j
k
Setze g k := f
jk
+
- f
1 j
und
k
g:=∑ ∞
=1
(3.38)
k
g k
∞
u ygy 1 = ∑ g
k
≤ ∑ g
k
≤ 1
1
∞
k = 1 1 k = 1
⇒ es gibt eine Lebesgue-Nullmenge N mit g(x) c C für x c R n \ N
u f (x) j c C für x c R n \ N
1
u die Reihe ∑ g
k
konvergiert absolut auf R n \ N.
k
⎧
Wir setzen f: R n ⎪lim f
tC: f(x):= ⎨k→∞
⎪
⎩
u es gilt 1)
jk
= + ∑ ∞ (x) f
j1(x)
g
=
0
k 1
k
(x)
für x ∈R
x ∈ N
n
N
ad 2)
Sei e>0, dann existiert r=r(e) mit ∑ ∞
=1
Zu
k
g k
f
j r
existiert eine Treppenfunktion T mit y f
j r
u yf-Ty 1 [ yfj
y f
r
1 + y f
j
-Ty
r
1 = g k
+ ε
ad 3)
Für j m j r gilt: yf-f j y 1 [ yfj
y f
r
1 + yf
j r
u
lim yf-f j y 1 = 0
j→∞
1
∑ ∞
k = r 1
< e und yf j - f
-f j y 1 [ 2$ e
j r
-Ty 1 < e
[ 2$e
y< e , j m j r
u für j m j r :
∫
R
u Behauptung
n
f(x) dx −
∫
R
n
∫
f
j
(x) dx ≤ f(x) - f
j
(x) dx = yf-f j y 1 [ 2$e
R
n
q.e.d.
(4.3) Korollar: f: R n tC Lebesgue-integrierbar. Dann existiert eine Folge (T k ) k von
Treppenfunktionen f k : R n tC mit
1) lim yf-T ky 1 = 0
k →∞
∑ ∞
k = 1
2) T - T < ∞
k+
1
k
1
3) es gibt eine Lebesgue-Nullmenge N`R n mit f(x)= lim T k (x) für x c R n \ N
k →∞

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
f Lebesgue-integrierbar, daher gibt es eine Folge (S j ) j von Treppenfunktionen mit
lim yf-S j y 1 = 0 u (S j ) j ist eine L 1 -Cauchyfolge Lebesgue-integrierbarer Funktionen.
j→∞
Wende Beweis von (4.2) auf Teilfolge (T k ) k`(S j ) j an u Behauptung
q.e.d.
(4.4) Korollar: Sei (f j ) j c N eine L 1 -Cauchyfolge Lebesgue-integrierbarer Funktionen
f j : R n t C . Es gebe eine Lebesgue-Nullmenge N `R n und eine Funktion f: R n t C
mit f(x)= lim f j (x), x c R n \ N. Dann ist f auf R n Lebesgue-integrierbar mit
j→∞
lim yf-f j y 1 = 0 und
j→∞
∫
n
R
f(x) dx = lim f
j
(x) dx .
∫
j→∞
n
R
Bemerkung: Erweiterung der Halbnorm zur Norm durch Herausdividieren des Kerns:
N ={f: R n t C : yfy 1 =0} ist ein linearer Teilraum aller Funktionen f: R n tC mit yfy 1 < ¢
(=L 1 (R n )).
L 1 (R n ) = L 1 (R n ) /1 Quotientenraum. L 1 (R n ) bezeichnet alle über R n Lebesgueintegrierbaren
komplexwertigen Funktionen. Zwei Funktionen f,g c L 1 (R n ) heißen dann
äquivalent, f ig, wenn f=g fast überall gilt. Auf L 1 (R n ) wird dann durch yfy 1 :=yf+1Ãy 1 eine
Norm erklärt. Unter dieser Norm ist L 1 (R n ) nach dem Satz von Riesz-Fischer ein Banachraum.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 2 Der Satz von B. Levi
,PÃ 6DW]Ã Ã KDEHQÃ ZLUÃ GHQÃ 6DW]Ã EHUÃ GLHÃ JOLHGZHLVHÃ ,QWHJUDWLRQÃ HLQHUÃ PRQRWRQ
ZDFKVHQGHQÃ )ROJHÃ YRQÃ 7UHSSHQIXQNWLRQHQÃ DOVÃ HLQÃ ZLUNXQJVYROOHVÃ ,QVWUXPHQW
NHQQHQJHOHUQWÃ :LUÃ GHKQHQÃ GLHVHQÃ 6DW]Ã MHW]WÃ DXIÃ )ROJHQÃ /HEHVJXHLQWHJULHUEDUHU
)XQNWLRQHQÃDXV
(4.5) Satz: (B. Levi, Satz von der monotonen Konvergenz) [vgl. (3.18)]
Sei f: R n t R eine Funktion. Es gebe eine monoton wachsende Folge (f j ) j von
Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf R n mit
1) lim f j (x) = f(x) für x c R n
Beweis:
j→∞
2) es gebe M>0 mit
∫n
R
auf R n mit
f j
(x) dx
lim yf-f j y 1 = 0 und
j→∞
[ M für alle j c N. Dann ist f Lebesgue-integrierbar
∫
n
R
f(x) dx = lim
∫
j→∞
n
R
f (x) dx
j
∫n
R
∫
R
f j
(x) dx ist monoton und beschränkt, also konvergent. Sei e>0, dann existiert n e
c N mit
n
∫
f (x) dx − f (x) dx < e für j,k m n e
. Für j > k m n e
gilt
j
yf j -f k y 1 =
∫
R
f
n
j
n
R
u (f j ) j ist eine L 1 -Cauchyfolge
k
(x)
- f
k
(x) dx = ∫ f
j
(x) - f
k
(x) dx
Monotonie
Nach Riesz-Fischer existiert f ~ : R n tR mit
R
n
< ε
lim ~ y f -f j y 1 = 0 ,
j→∞
~ f ist Lebesgue-integrierbar; es gibt eine Teilfolge ( f
jk
überall.
∫
n
R
~
f(x) dx = lim
~
) k`(f j ) j mit f(x)
∫
j→∞
n
R
= lim
k →∞
f
j
(x) dx :
f
j k
(x) gilt fast
~
Da f(x)= lim f j (x)= lim f
j
j→∞
k →∞
k
(x)= f(x)
, x c R n , und da yf- ~ f y 1 = 0 (Satz (3.42)), folgt, daß auch f
Lebesgue-integrierbar ist.
q.e.d.
:LUÃJHEHQÃQXQÃHLQLJHÃ$QZHQGXQJHQÃ'D]XÃYHUZHQGHQÃZLUÃGHQÃIROJHQGHQÃ%HJULII
(4.6) Definition: Sei A`R n eine Teilmenge. Eine Folge (A j ) j von Teilmengen heißt eine
Ausschöpfung von A, wenn A j`A, A j`A j+1 und A=U ∞
=1
j
A j
.
In Satz (3.30) wurde gezeigt, daß jede offene und beschränkte Teilmenge A`R n
Ausschöpfung von Figuren besitzt. Ist (A j ) j eine Ausschöpfung von A u 1
A j
~ 1
A
.
eine

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(4.7) Satz: (Integration durch Ausschöpfung):
Sei A`R n eine Teilmenge, (A j ) j eine Ausschöpfung von A. f: R n tC sei eine
Funktion, die auf jeder Teilmenge A j Lebesgue-integrierbar ist. f ist genau dann über
⎛ ⎞
A Lebesgue-integrierbar, wenn die Folge ⎜ dx⎟
⎜
A
∫ f beschränkt ist. Dann gilt:
⎟
⎝ j ⎠
Beweis:
∫
A
f(x) dx = lim f(x) dx
∫
j→∞
A j
„s“ N:={x c A, f(x)=z ¢ }. ~ f : R n ~
~
tC sei definiert durch f(x)
=f(x) für x c A \ N, f(x)
=0 für
x c N. ~ f ist komplexwertig, o.B.d.A.: sei ~ ~ ~
f m0, f1
triviale Fortsetzung von f
~ ~
u f1
ist monotoner Grenzwert von ( f A j
) .
j
~ ~ ~ ⎛ ⎞
Wegen lim
j→∞ ∫ f dx = lim ∫ fA
dx =
→∞ ∫ fA
dx ist ⎜
~
dx⎟
j
j
A
n
n
∫ f A j
beschränkt.
n
j
R
R ⎝ R ⎠ j
B. Levi
~ ⇒ f ~ ~ ~
A ist Lebesgue-integrierbar mit ∫ f dx = lim ∫ f dx . Da f A Lebesgue-integrierbar ist,
ist N eine Lebesgue-Nullmenge.
A
j→∞
A j
j
q.e.d.
:LUà EHZHLVHQà QXQà HLQHà (LJHQVFKDIWà GHVà /HEHVJXH0D‰HVà GLHà I Uà GLHVHVà 0D‰Ã HLQH
JUXQGOHJHQGHÃ%HGHXWXQJÃKDW
(4.8) Satz:
1) Sei (A j ) j eine aufsteigende Folge Lebesgue-meßbarer Mengen. Dann gilt:
A ist genau dann Lebesgue-meßbar, wenn die Folge (V n (A j )) j beschränkt ist.
U
j
j
⎛
In diesem Fall gilt: V n
⎟ ⎞
⎜
U
∞ A j
= sup V n (A j )
j
⎝ j = 1 ⎠
2) Sei (B j ) j eine Folge Lebesgue-meßbarer Mengen mit B i 3 B j als Lebesgue-
Nullmenge für igj. U B j
ist genau dann Lebesgue-meßbar, wenn
Dann gilt: V n ⎜
⎝
⎛
U
∞ B j
j=
1
⎟ ⎞
⎠
=∑ ∞
j=1
V
n
(B
j)
∑ ∞
j=1
V
n
(B
j)
< ∞ .

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
ad 1)
Anwendung von Satz (4.7) für f = 1.
ad 2)
Setze A j := B 1 4 ... 4 B j , dann gilt A j`A j+1 ,j c N, mit
Ferner gilt V n (A j ) =∑
j
k = 1
n
(Bk
)
∞
U
j=
1
∞
U
A j
= B
V , woraus mit 1) die Behauptung folgt. q.e.d.
k = 1
k
.
'DVà LQà à HLQJHI KUWHà /HEHVJXH0D‰Ã RUGQHWà VRPLWà JHZLVVHQà 7HLOPHQJHQà GHVà R n à ]Xà GHQHQà DOOH
EHVFKUlQNWHQà RIIHQHQà XQGà EHVFKUlQNWHQà DEJHVFKORVVHQHQà NRPSDNWHQà 7HLOPHQJHQà GHVà R n à JHK|UHQà HLQH
0D‰]DKOÃ]XÃGLHÃGDVÃQGLPHQVLRQDOHÃ9ROXPHQÃJHQDQQWÃZLUGÃ'DEHLÃJHOWHQÃIROJHQGHÃ*HVHW]H
Bemerkung: Eigenschaften des Lebesgue-Maßes:
1) V n (Ã) = 0
2) (Translationsinvarianz)
V n (a+A) = V n (A), wobei A`R n Lebesgue-meßbar und a+A = {a+x: x c A}, a c R n
gegeben
3) (r-Additivität):
⎛ ⎞
V n ⎜ ⎟
U
∞ A j
=∑ ∞ Vn (A
j
) , wobei A j`R n Lebesgue-meßbare paarweise disjunkte Mengen
⎝ j = 1 ⎠ j=1
sind mit ∑ ∞ Vn (A
j
) < ¢
j=1
4) Der Einheitswürfel W=[0,1] n`R n hat das Volumen V n (W)=1
0DQÃNDQQÃQXQÃ]HLJHQÃGD‰ÃGLHVHÃYLHUÃ(LJHQVFKDIWHQÃGDVÃ/HEHVJXH0D‰ÃDXIÃR n ÃHLQGHXWLJÃIHVWOHJHQÃ,QÃGLHVHP
=XVDPPHQKDQJÃVHLÃHUZlKQWÃGD‰ÃHVÃEHVFKUlQNWHÃ0HQJHQÃGHVÃR n ÃJLEWÃGLHÃQLFKWà /HEHVJXHPH‰EDUà VLQGà HLQ
%HLVSLHOÃGD]XÃJHKWÃDXIÃ9LWDOLÃ]XU FN
0LWÃ +LOIHÃ GHUÃ ELVKHUÃ JHZRQQHQHQÃ (UJHEQLVVHÃ NDQQÃ GLHÃ ,QWHJUDWLRQ
URWDWLRQVV\PPHWULVFKHUÃ )XQNWLRQHQÃ LQÃ HLQHPÃ ZLFKWLJHQÃ )DOOÃ DXIÃ HLQGLPHQVLRQDOH
,QWHJUDWLRQÃ]XU FNJHI KUWÃZHUGHQ
Sei f: ItR eine Regelfunktion auf dem Intervall I`[0,¢) mit den Randpunkten a und b,
wobei a[b. Sei K a,b (0):={x c R n : a

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
) UÃHLQHÃVROFKHÃURWDWLRQVV\PPHWULVFKHÃ)XQNWLRQÃ f ~ ÃDXIÃ. DE ÃJLOWÃGHUÃIROJHQGHÃ6DW]
(4.9) Satz: Sei f(a,b)tR eine Regelfunktion auf (a,b)`[0,¢).
Sei ~ f : K a,b (0):={x c R n : a

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(4.10) Korollar: Sei K`R n kompakt. Sei l: KtC eine beschränkte Lebesgue-integrierbare
Funktion. Sei a c R n und ¹ c R mit ¹

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 3 Der Satz von Lebesgue
:LUÃNRPPHQÃQXQÃ]XÃHLQHPÃ]ZHLWHQÃZLFKWLJHQÃ.ULWHULXPÃI UÃGLHÃJOLHGZHLVHÃ,QWHJUDWLRQ
HLQHUÃ )ROJHÃ /HEHVJXHLQWHJULHUEDUHUÃ )XQNWLRQHQÃ 'LHÃ ZHVHQWOLFKHÃ 9RUDXVVHW]XQJ
GDEHLÃLVWÃGLHÃ([LVWHQ]ÃHLQHUÃ/HEHVJXHLQWHJULHUEDUHQÃ0DMRUDQWH
(4.11) Satz: (Lebesgue, Satz von der majorisierten Konvergenz):
Sei (f j ) j eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen auf R n , die fast überall
punktweise gegen eine Funktion f: R n t C konvergiert. Es gebe eine Lebesgueintegrierbare
Funktion F: R n t R mit xf j (x)x[F(x) für alle x c R n , j c N. Dann ist f
über R n Lebesgue-integrierbar und es gilt:
∫ f(x) dx = lim ∫ f
j
(x) dx sowie lim yf-f j y 1 =0
n
R
j→∞
n
R
j→∞
Bemerkung: F heißt eine Majorante für jede Funktion f j und f j heißt beschränkt durch F.
Beweis:
N F :={x c R n : F(x)=z ¢ } ist eine Lebesgue-Nullmenge im R n
u für alle x c R n \ N F gilt 0 [ F(x) < ¢. lim f j (x)=f(x) für alle x c R n \ N 0 , N 0 Lebesguej→∞
Nullmenge; auf N F 4 N 0 =:N gilt f j , f, F sind auf R n \ N komplexwertig.
Setze f j , f und F auf N gleich Null; für die abgeänderten Funktionen bleiben Lebesgue-
Integrierbarkeit und Abschätzungen bestehen.
O.B.d.A. seien f j , f, F reellwertig.
Sei k c N, l c N, sei g kl :=max{f k ,f k+1 ,...,f k+l }
u g kl ist Lebesgue-integrierbar mit g kl [ g k,l+1
Sei g k = sup {f j : jmk} u g k (x) =
Also ist
j
l
lim g kl (x) und
l→∞
∫
R
n
g
kl
(x) dx ≤
∫
R
n
g
kl
(x) dx ≤
∫
R
n
F(x) dx
⎛ ⎞
⎜ dx⎟
∫ g kl
(x) beschränkt u nach B. Levi ist dann auch g
n
k Lebesgue-integrierbar
⎝ R ⎠
über R n . Es gilt g k m g k+1 ,
⎛ ⎞
⎜ dx⎟
∫ g k
(x) ist beschränkt, f(x) =
n
⎝ R ⎠
lim yf-g ky 1 =0 und
k →∞
k
∫
n
R
∫
R
n
g
k
(x) dx = lim
∫
k →∞
n
R
∫
l→∞
R
f(x) dx = lim g
k
(x) dx .
Analog: h k : R n tR mit h k := inf {f j : jmk}
j
Wie oben:
lim yf-h ky 1 =0 und
k →∞
∫
n
R
n
g
kl
(x) dx ≤
∫
R
n
F(x) dx , d.h.
lim g k(x) ist Lebesgue-integrierbar (B.Levi) mit
k →∞
f(x) dx = lim
∫
k →∞
n
R
h
k
(x) dx
Für k c N gilt: h k [ f k [ g k u 0 [ f k -h k [ g k -h k u yf k -h k y 1 [yg k -h k y 1 [ yg k -fy 1 + yf-h k y 1
u lim yf k-h k y 1 =0 u lim yf-f ky 1 [ lim (yf-h ky 1 + yh k -f k y 1 ) = 0
q.e.d.
k →∞
k →∞
k →∞

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
'LHà $XVVDJHà LPà 6DW]à YRQà /HEHVJXHà GD‰Ã HLQHà *UHQ]IXQNWLRQà /HEHVJXHLQWHJULHUEDU
LVWÃVWHOOWÃDQÃVLFKÃVFKRQÃHLQHÃEHPHUNHQVZHUWHÃ(UNHQQWQLVÃGDUÃ$XVÃLKUÃHQWZLFNHOQÃZLU
HLQÃ Q W]OLFKHVÃ 0DMRUDQWHQNULWHULXPÃ 'D]XÃ EHQ|WLJHQÃ ZLUÃ GLHÃ IROJHQGHQÃ EHLGHQ
%HJULIIH
(4.12) Definition: Eine Menge A`R n heißt r-kompakt, wenn A die Vereinigung abzählbar
vieler kompakter Mengen ist.
Beispiele: r-kompakte Mengen sind
1) offene Mengen, denn sie lassen sich als Vereinigung kompakter Würfel beschreiben
(3.32)
2) A r :={x c R n : yxy 2 [r} ist für r>0 kompakt
3) abgeschlossene Mengen, sie lasen sich nämlich als Vereinigung von Mengen aus 2)
beschreiben
4) der Durchschnitt endlich vieler r-kompakter Mengen
(4.13) Definition: Sei A`R n eine r-kompakte Teilmenge. Eine Funktion f: At C heißt
lokal-(Lebesgue-)integrierbar, wenn f auf jeder kompakten Teilmenge von A
Lebesgue-integrierbar ist.
Beispiele:
1) f: AtR n stetig u f lokal-integrierbar
2) 1 ist über A`R n lokal-integrierbar (ist A Lebesgue-meßbar, dann ist 1 über A Lebesgueintegrierbar
µ (x)
3) f(x)= (¹

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
f$g ist lokal-integrierbar über A. Sei M eine obere Schranke für xgx. Dann ist F:=M$xgx eine
Lebesgue-integrierende Majorante für f$g.
q.e.d.
0LWÃ+LOIHÃGHVÃ0DMRUDQWHQNULWHULXPVÃEHZHLVHQÃZLUÃHLQÃ,QWHJUDELOLWlWVNULWHULXPÃZHOFKHV
GHQà 6DW]à GD‰Ã MHGHà EHVFKUlQNWHà VWHWLJHà )XQNWLRQà DXIà HLQHUà EHVFKUlQNWHQà RIIHQHQ
0HQJHÃ$`R n à EHUÃ$Ã/HEHVJXHLQWHJULHUEDUÃLVWÃZHVHQWOLFKÃHUZHLWHUW
(4.16) Satz: Sei U`R n offen, N`U eine Lebesgue-Nullmenge. Sei f: UtC auf U \ N stetig.
Es gebe eine Lebesgue-integrierbare Funktion F: R n tR mit xf(x)x[F(x) für x c U.
Dann ist f über U Lebesgue-integrierbar.
Beweis:
Nach dem Majorantenkriterium (4.14) genügt es zu zeigen, daß f lokal-integrierbar ist.
O.B.d.A. sei fm0. Sei K`U kompakt. Wir zeigen, daß f K Lebesgue-integrierbar ist. Dazu
betrachten wir die „abgeschnittenen“ Funktionen f j :=min{f K ,j}.
Dann gilt lim f j (x)=f K (x). f j sind beschränkt und ihre Einschränkung auf K ist stetig auf K \ N.
j→∞
Also ist f j nach Satz (3.35) über K Lebesgue-integrierbar. Ferner gilt xf j (x)x[F(x), x c K`U,
j c N. Nach dem Satz von Lebesgue ist auch die Grenzfunktion f K Lebesgue-integrierbar.
q.e.d.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 4 Die Sätze von Fubini und Tonelli
'HUÃ6DW]ÃYRQÃ)XELQLÃI KUWÃGLHÃ,QWHJUDWLRQÃ EHUÃR n+m = R n % R m DXIÃVXN]HVVLYHÃ,QWHJUDWLRQÃ EHUÃR n ÃXQGÃR m
]XU FNà GLHà ,QWHJUDWLRQà EHUà R n à VRPLWà DXIà Qà ,QWHJUDWLRQHQà EHUà Rà 0LWà GLHVHPà 6DW]à VWHKHQà GDQQà 5HFKHQ
WHFKQLNHQà GHUà ,QWHJUDOUHFKQXQJà HLQHUà 9DULDEOHQà DXFKà I Uà ,QWHJUDWLRQHQà EHUà R n à ]XUà 9HUI JXQJà (LQà ZLFKWLJHU
6SH]LDOIDOOÃZXUGHÃEHUHLWVÃLPÃNOHLQHQÃ6DW]ÃYRQÃ)XELQLÃ6DW]ÃÃEHKDQGHOW
(4.17) Satz: (Fubini):
Sei f: R n % R m t C Lebesgue–integrierbar über R n+m = R n % R m . Dann gilt:
1) es gibt eine Lebesgue-Nullmenge M`R m , so daß für jedes y c R m \ M die
Funktion f y : R n t C mit f y (x)=f(x,y) Lebesgue-integrierbar ist über R n
2) die Funktion F: R m t C mit F(y)=0 für y c M und F(y):=
∫n
R
über R m Lebesgue-integrierbar mit F(y) dy = f(x, y) d(
x,
∫ ∫
m
n + m
R
R
f(x, y) dx für y v M ist
3) es gibt eine Lebesgue-Nullmenge N`R n , so daß für jedes x c R n \ N die Funktion
f x : R m t C mit f x (y)=f(x,y) Lebesgue-integrierbar ist über R m
4) die Funktion G: R n t C mit G(x)=0 für x c N und G(x):=
∫m
R
über R n Lebesgue-integrierbar mit G(x) dx = f(x, y) d(
x,
∫ ∫
n
n+
m
R
R
5) Vertauschungsregel: ⎜
∫ ∫f(x,
y) dy ⎟ dx = ⎜
∫ ∫
R
⎛
⎜
⎝
n
R
m
⎞
⎟
⎠
R
m
⎛
⎜
⎝
R
n
⎟ ⎞
f(x, y) dx dy
⎠
y)
f(x, y) dy für x v N ist
Zum Beweis dieses Satzes benötigt man eine Aussage über Nullmengen im R n+m , die bereits
als Spezialfall des Satzes von Fubini angesehen werden kann.
(4.18) Lemma: Sei A eine Lebesgue-Nullmenge in R n+m . Dann existiert eine Lebesgue-
Nullmenge M`R m , so daß die Schnittmenge A y :={x c R n : (x,y) c A} für jedes y c R m
\ M ebenfalls eine Lebesgue-Nullmenge des R n ist.
Beweis:
y)
Sei e>0, dann existieren offene Quader Q j`R n % R m , j c N, mit A=U ∞
=1
j
Q j
und
∑ ∞
j=
1
V
n + m
(Q
j
) <
ε (Satz (3.33)).
Q j kann dann als direktes Produkt von Quadern Q j,n und Q j,m geschrieben werden, also
Q j = Q j,n % Q j,m , j c N. y.y 1,n sei die L 1 -Halbnorm bezüglich R n . Wir betrachten die Funktion
a: R m tC mit a(y):=
∞
u 1 [ ∑
A y
j = 1
1 A y
1,n
1 Q
⋅ 1Q
(y) u a(y) [ ∑ ∞ V
j,n j, m
j = 1
n
(Q
j,n
) ⋅ 1
Q
j, m
(y)
Daraus folgt nach der Definition der L 1 -Halbnorm

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
∞
∞
yay 1,m [ ∑ Vn (Q
j,n
) ⋅ Vm
(Q
j,m
) = ∑ Vn
+ m
(Q
j)
< ε u yay 1,n =0
j= 1
j=
1
u Nach Satz (3.42) gibt es eine Lebesgue-Nullmenge M`R m , so daß a(y)=
jedes y c R m \ M
u A y ist für jedes y c R m \ M eine Lebesgue-Nullmenge in R n (Satz (3.33))
1 = 0 für
A y
1,n
q.e.d.
Bemerkung:
Das Beispiel A = R % Q ` R % R = R 2 zeigt, daß die Schnittmenge A y für kein y c Q eine
Lebesgue-Nullmenge in R ist und man deshalb auf die Voraussetzung an A, eine Lebesgue-
Nullmenge in R % R zu sein, nicht verzichten kann.
Beweis zum Satz von Fubini:
ad 1)
Da f: R n+m t C Lebesgue-integrierbar ist, exisitiert nach dem Satz von Riesz-Fischer
(Korollar (4.3)) eine Folge (T j ) j von Treppenfunktionen T j : R n % R m tC mit
1) lim yf-T j y 1 =0
j→∞
∑ ∞
j=
1
2) T - T < ∞
j+
1
j
1
3) f(z) = lim T j (z) für z c R n+m \ A
j→∞
A`R n+m Lebesgue-Nullmenge. Sei y c R m beliebig, definiere T j,y : R n tC durch
T j,y (x):=T j (x,y) und f y : R n t C durch f y (x):=f(x,y) für x c R n .
Zu A`R n+m existiert nach Lemma (4.13) eine Nullmenge M 1`R m , so daß fast überall auf R n
für jedes y c R m \ M gilt: f y (x) = lim T j,y (x).
j→∞
Ferner setzen wir für y c R m H k (y):= ∫ Tk+
1(x,
Fubini für
⇒
Treppenfkt.
R
∫ H
k
(y) = ∫
m
n+
m
R
k+
1
∞
u mit Eigenschaft 2) ∑ ∫
n
R
y) -
T (x, y) dx
dy T (x, y) - T (x, y) d(
x,
y)
=yT k+1 -T k y 1
k = 1
m
R
H
k
k
(y) dy < ∞
k
Die Folge
s
⎜
⎛ ∑
k =1
⎝
⎞
H
k
⎟ wächst monoton und
⎠
s
⎛ s
∫ ∑
⎜
⎝
R
m
k=
1
⎞
H dy⎟
k
(y) ist beschränkt.
⎠
s
Mit B. Levi folgt, daß ∑ ∞
=1
k
H k
über R m
Lebesgue-integrierbar ist. Nach Saz (3.38) gilt
insbesondere ∑ ∞ H k
(y) < ¢ für alle y c R m \ M 2 , wobei M 2 eine Lebesgue-Nullmenge, also
=1
k

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
∑ ∞
k = 1
T
k+
1,y
- T
k,y
1, n
< ∞
für alle y c R m \ M 2 . Wir setzen M:= M 1 4 M 2 , M ist Lebesgue-
Nullmenge im R m .
Für y v M u (T k,j ) k ist eineL 1 -Cauchyfolge auf R n . Nach dem Satz von Riesz-Fischer gibt es
eine Teilfolge (T kj,y ) j`(T k,y ) k , eine Nullmenge N`R n sowie eine Lebesgue-integrierbare
Funktion ~ f : R n ~
tC mit f(x)
lim ~ y f -T kj,y y 1,n = 0 und
j→∞
∫n
R
Wegen f y (x) =
= lim T kj,y (x) für x c R n \ N,
j→∞
~
f(x) dx
=
→∞
lim T k, y
(x) dx .
k
∫n
R
lim T k,y(x) fast überall auf R n , gilt ~ f =f y fast überall auf R n .
k →∞
Somit ist f y Lebesgue-integrierbar mit F(y):=
Damit ist Aussage 1) bewiesen.
∫
f
y
n
R
(x) dx =
∫
n
R
f(x, y) dx = lim
∫
k→∞
n
R
T (x, y) dx
k
ad 2)
Setze S k : R m tC mit S k (y)= T k
(x, y) dx
∫n
R
mit den folgenden Eigenschaften
1) lim S k(y) = F(y) für y c R m \ M
k →∞
∑ ∞
k = 1
2) S - S < ∞
k+
1
k 1, m
. Dann sind S k , k c N, Treppenfunktionen auf R m
Eigenschaft zwei folgt aus xS k+1 (y)-S k (y)x[ H k (y). Wegen dieser Eigenschaft ist außerdem
(S k ) k eine L 1 -Cauchyfolge von Treppenfunktionen auf R m .
Mit dem Satz von Riesz-Fischer folgt, daß eine Teilfolge (S kj ) j`(S k ) k punktweise fast überall
gegen eine Lebesgue-integrierbare Funktion auf R m konvergiert. Diese Funktion stimmt fast
überall mit F überein.
Riesz-Fischer liefert dann
⎛
∫ F(y) dy = lim ∫ S
⎜
⎟
k
(y) dy = lim ∫ ∫T
(x, y) = lim ∫ T (x, y) ( , ) =
→∞
→∞
k
dx dy
k
d x y
k
k
k→∞
∫
+
+
R
m
R
nach Wahl der T k
m
R
m
⎝
R
n
⎞
⎠
R
n m
R
f(x, y) d(
x,
y)
n m
q.e.d.
Bemerkung:
Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge braucht nicht zu gelten, wenn der Integrand
nicht über dem Produktraum R n+m = R n % R m Lebesgue-integrierbar ist, wie das folgende
Beispiel zeigt:
1
⎛
∫∫
⎜
0
⎝
1
0
x - y
(x + y)
3
⎞
dx⎟
dy ≠
⎠
1
⎛
∫∫
⎜
0
⎝
1
0
x - y
(x + y)
3
⎟ ⎞
dy dx
⎠

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beispiel:
∫n
R
2
- x
e dx wobei yxy 2 = x 2 1 + x 2 2 + ... + x 2 n für x=(x 1 ,...,x n ) gilt
2
- x
2 2 2
-x1
−x
2 -...-x n
2
-x1
2
-x 2
2
-x n
e = e = e ⋅ e ⋅ ... ⋅ e
Nach dem Satz über rotationssymmetrische Funktionen (Satz (4.9)) ist die Funktion
f: R n 2
- x
tR mit f(x):= e über R n Lebesgue-integrierbar. Nach dem Satz von Fubini gilt
∫
n
2
- x
⎛ 2 ⎞
2
-t
-t
dx = ⎜ e ⎟
∫ dt
, wobei ∫ e dt = π .
R
R
deshalb e
R n ⎝ ⎠
Das Integral im n-dimensionalen wurde also auf den eindimensionalen Fall zurückgeführt!
'LHÃ$QZHQGEDUNHLWÃGHVÃ6DW]HVÃYRQÃ)XELQLÃVHW]WÃYRUDXVÃGD‰ÃGLHÃEHWUDFKWHWHÃ)XQNWLRQ
EHUÃ GHPÃ 3URGXNWUDXPÃ LQWHJULHUEDUÃ LVWÃ 'HUÃ 6DW]Ã YRQÃ 7RQHOOLÃ OLHIHUWÃ QXQÃ HLQ
EUDXFKEDUHVÃ .ULWHULXPÃ GDI UÃ ZDQQÃ HLQHÃ )XQNWLRQÃ EHUÃ HLQHPÃ 3URGXNWUDXP
/HEHVJXHLQWHJULHUEDUÃ LVWÃ 'LHVHVÃ .ULWHULXPÃ LQYROYLHUWÃ HLQÃ LWHULHUWHVÃ ,QWHJUDOÃ GHV
%HWUDJHVÃGHUÃ)XQNWLRQ
(4.19) Satz: (Tonelli):
Sei f: R n+m tC lokal-integrierbar oder fast überall stetig. f ist genau dann über R n+m
Lebesgue-integrierbar, wenn eines der beiden Integrale
⎛ ⎞
⎛
∫ ∫
∫ ∫ ⎟ ⎞
⎜ f(x, y) dy⎟
dx oder ⎜ f(x, y) dx dy existiert.
n m
m n
R ⎝ R ⎠
R ⎝ R ⎠
Beweis:
⎛
⎜
⎝
⎜
∫ ∫
R
m
R
n
⎟ ⎞
f(x, y) dx dy existiert genau dann, wenn eine Lebesgue-Nullmenge M`R m existiert, so
⎠
f(x, y) dx existiert und die Funktion F: R m tC mit F(y):=0 für y c M
daß für y c R m \ M
∫n
R
und F(y):= f(x, y) dx für y v M über R m Lebesgue-integrierbar ist.
∫n
R
„u“:
Sei f Lebesgue-integrierbar über R n+m
u xfx ist über R n+m Lebesgue-integrierbar
u Behauptung mit Hilfe des Satzes von Fubini

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
„s“:
⎛
∫ ∫ ⎟ ⎞
⎜ f(x, y) dx dy existiere, dann ist zu zeigen,, daß xfx über R n+m Lebesgue-integrierbar
m n
R ⎝ R ⎠
ist, weil dann dasselbe auch für f gilt (nach Sätze (4.14) und (4.16))
Für k c N sei W k :=[-k,k] n`R n und f k :=min{xfx, k$ 1
W k
}. Ist f lokal-integrierbar, so ist f k
Lebesgue-integrierbar. Ist f fast überall stetig, dann ist f k auch Lebesgue-integrierbar nach
Satz (3.35). Die Folge (f k ) k Lebesgue-integrierbarer Funktionen konvergiert monoton
⎛ ⎞
wachsend gegen xfx. Die Folge ⎜ dx⎟
∫ f k
(x) ist beschränkt wegen
n
⎝ R ⎠ k
Fubini ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
f
= ⎜
⎟ ⎜
⎟ ≤ ⎜ ⎟
∫ ≤
< ∞
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫+ k
(x, y) d ( x,
y)
f
k
(x, y) dx dy f
k
(x, y) dx dy f(x, y) dx dy
n m
m n
m n
R
R ⎝ R ⎠ R ⎝ R ⎠ R
m ⎝ R
n ⎠
Nach dem Satz von B. Levi ist somit xfx=
lim f k Lebesgue-integrierbar über R n .
k →∞
q.e.d.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 5 Der Transformationssatz
$OVÃ 9HUDOOJHPHLQHUXQJÃ GHUÃ 6XEVWLWXWLRQVUHJHOÃ Ã EHLÃ GHUÃ ,QWHJUDWLRQÃ YRQ
5HJHOIXQNWLRQHQÃ ZLUGÃ LQÃ GLHVHPÃ $EVFKQLWWÃ GHUÃ 7UDQVIRUPDWLRQVVDW]Ã IRUPXOLHUWÃ XQG
EHZLHVHQÃ GLHVHUÃ 7UDQVIRUPDWLRQVVDW]Ã EHVFKUHLEWÃ GDVÃ 9HUKDOWHQÃ HLQHVÃ /HEHVJXH
,QWHJUDOVÃ XQWHUÃ HLQHUÃ .RRUGLQDWHQWUDQVIRUPDWLRQÃ 'HUÃ %HZHLVÃ HUIROJWÃ LQÃ ]ZHL
6FKULWWHQÃ ]XQlFKVWÃ I UÃ 7UHSSHQIXQNWLRQHQÃ VRGDQQÃ PLWÃ +LOIHÃ GHVÃ 6DW]HVÃ YRQÃ 5LHV]
)LVFKHUÃ I UÃ EHOLHELJHÃ /HEHVJXHLQWHJULHUEDUHÃ )XQNWLRQHQÃ ,QÃ EHLGHQÃ 6FKULWWHQ
YHUZHQGHWà PDQà PHKUPDOVà GLHà 7DWVDFKHà GD‰Ã HLQà 'LIIHRPRUSKLVPXVà /HEHVJXH
1XOOPHQJHQÃ LQÃ /HEHVJXH1XOOPHQJHQÃ EHUI KUWÃ 'LHVHÃ 7DWVDFKHÃ EHUXKWÃ DXIÃ GHP
IROJHQGHQÃ/HPPD
(4.20) Lemma: Sei N`R n eine Lebesgue-Nullmenge. Sei T: NtR n mit
yTx-Tyy ¢ [ L$yx-yy ¢ für alle x,y c N, L unabhängig von x,y. Dann ist T(N) eine
Lebesgue-Nullmenge.
Beweis:
Es existiert ein L>0, so daß für alle x,y c N die Beziehung yTx-Tyy ¢ [ L$yx-yy ¢ gilt
w es existiert ein L 0 >0, so daß für alle x,y c N die Beziehung yTx-Tyy 2 [ L 0 $yx-yy 2 gilt,
weil im R n alle Normen äquivalent sind.
Sei e>0, dann existiert eine offene Lebesgue-meßbare Menge U (Korollar (3.34)) mit N`U
und V n (U)

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
) UÃGLHÃZHLWHUHQÃ8QWHUVXFKXQJHQÃYHUZHQGHQÃZLUÃGHQÃIROJHQGHQÃ%HJULII
(4.22) Definition: Seien U,V`R n offene Mengen. Eine stetig differenzierbare Funktion
f: UtV heißt ein Diffeomorphismus, wenn f bijektiv ist und die Umkehrabbildung
f -1 : VtU ebenfalls stetig differenzierbar ist.
'HQÃ%HZHLVÃGHVÃ7UDQVIRUPDWLRQVVDW]HVÃ]HUOHJHQÃZLUÃLQÃYLHUÃ/HPPDWDÃYRQÃGHQHQÃGLH
EHLGHQÃ IROJHQGHQÃ ]XQlFKVWÃ 6FKUDQNHQÃ I UÃ GLHÃ 9HU]HUUXQJÃ GHVÃ 9ROXPHQVÃ NRPSDNWHU
0HQJHQÃDQJHEHQÃ:LUÃHULQQHUQÃGDUDQà YJOà .RUROODUà à à GD‰Ã I Uà HLQHQà OLQHDUHQ
2SHUDWRUÃ$ÃR n tR n ÃGHW$ÃGHILQLHUWÃLVWÃDOVÃGHW$ GHW$H Ã ÃÃÃ$H Q ÃZREHL
H ÃÃH Q ÃcÃR n ÃGLHÃNDQRQLVFKHÃ%DVLVÃLVW
(4.23) Lemma: Seien U,V`R n offene Mengen, sei T: UtV ein Diffeomorphismus. Dann
gilt für jeden kompakten Würfel W`U, daß V n (T(W))[ max xdet(T‘(x))x$V n (W)
Beweis:
T ist stetig u T(W) kompakt u T(W) ist Lebesgue-meßbar.
Ist V n (W)=0, dann ist die Behauptung trivial (Korollar (4.21))
Sei V n (W)g0:
Vn
( T(W) )
Sei α : = . Wir halbieren die Intervallängen l:=º j -¹ j des Würfels W=I 1 % ... % I n mit
Vn
(W)
I j =[¹ j ,º j ], j c {1,...,n} und erhalten 2 n kompakte Teilwürfel W ~ j
.
Unter diesen existiert ein Würfel W 1 mit V n (T(W 1 ))m¹$V n (W 1 ).
Durch wiederholte Teilung erhält man eine fallende Folge (W j ) kompakter Würfel mit
V n (T(W j ))m¹$V n (W j ).
Sei {a}=I ∞ W j
und b=T(a), dann dürfen wir o.B.d.A. a=b=0 annehmen (erhalten wir durch
j=1
Verschiebung des Koordinatensystems)
x ∈W
Sei m j der Mittelpunkt von W j und d:= 2
l
die halbe Kantenlänge von W
u W j ={x c R n : yx-m j y ¢ [2 -j d}
Nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit ist die Ableitung A:=T‘(0) invertierbar, daher
gibt es die Darstellung
Tx=Ax+yxyAr(x) für x c U, mit
lim
→0 x
r(x)=0.
Wir zeigen: Zu e>0 existiert ein j=j(e) c N mit
V j ={x+yxy ¢ r(x): x c W j }`W j
e:={y c R n : yy-m j y ¢ [2 -j (1+e)d}.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Dazu wählen wir zu e>0 j=j(e) so, daß yr(x)y ¢ < 2
ε für x c W j .
Es gilt aber yxy ¢ [yx-m j y ¢ + ym j y ¢ [ 2 -j d + 2 -j d = 2$2 -j d
u yx+yxy ¢ r(x)-m j y ¢ [yx-m j y ¢ + yxy ¢ yr(x)y ¢ [ 2 -j d + 2$2 -j d 2
ε = 2 -j d(1+e)
u V j`W j
e
u T(W j )=A(V j )`AW j
e
u nach Satz (3.45) und Korollar (3.46): V n (T(W j )) [ (1+e) n $xdet(A)x$V n (W j )
Angenommen, es gilt ¹> max xdet(T‘(x))xmdet(A), dann wähle e>0 so klein, daß auch
x ∈W
¹>(1+e) n $xdet(A)x
u V n (T(W j ))

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(4.25) Definition: Sei f: U`R n tR m eine Funktion. Die abgeschlossene Menge
Tr(f):= {x ∈ U :f(x) ≠ 0} heißt der Träger von f.
:LUÃEHZHLVHQÃQXQÃGHQÃ7UDQVIRUPDWLRQVVDW]ÃI UÃ7UHSSHQIXQNWLRQHQ
(4.26) Lemma: Seien U,V`R n offen, T: UtV ein Diffeomorphismus. Sei f: VtC eine
Treppenfunktion. Dann ist f(T(x))$xdet(T‘(x))x über U`R n Lebesgue-integrierbar
f(y) dy = f T(x) ⋅ det T’(x) dx
Beweis:
∫
und es gilt: ( )
V
∫
U
Aus Linearitätsgründen genügt es, die Aussagen für die charakteristischen Funktionen von
Quadern zu beweisen; da nach Korollar (4.21) die Lebesgue-Nullmenge Rd(Q), Q Quader,
auf eine Lebesgue-Nullmenge abgebildet wird, genügt es, sich auf die charakteristischen
Funktionen von kompakten Quadern zu beziehen:
Sei f also eine charakteristische Funktion auf einem Quader Q, sei o.B.d.A. Q`V kompakt
T‘ ist stetig und 1 Q )T verschwindet außerhalb der Menge T -1 (Q)
u (1 Q )T)$xdet(T‘)x ist über U Lebesgue-integrierbar.
Es bleibt zu zeigen, daß = f( T(x) )
∫
V
∫
f(y) dy ⋅ det T’(x) dx :
U
Sei e>0: xdet(T -1 )‘x -1 ist gleichmäßig stetig auf kompakten Mengen
u es gibt eine Zerlegung (Q j ) 1[j [r mit Q= Q 1 4 Q 2 4 ... 4 Q r , die höchstens Randpunkte
gemeinsam haben und so klein sind, daß
max xdet(T -1 )‘(y)x -1 – min xdet(T -1 )‘(y)x -1 [ e für j c {1,...,r}
y ∈Q j
y ∈Q j
Sei K j :=T -1 (Q j )
max xdet(T‘(x))x– min xdet(T‘(x))x[ e für j c {1,...,r}
u
x ∈K j
x ∈K j
u ∫ det T’(x) dx − Vn
(Q
j
) [ e$V n (K j )
K j
Für igj sind die Durchschnitte K i 3 K j Lebesgue-Nullmengen
u Durch Summation über j c {1,...,r} erhält man:
∫ det T’(x) dx Vn
(Q) [ e$V n (T -1 (Q)), woraus die Behauptung folgt. q.e.d.
−
T -1 (Q)
(4.27) Lemma: Sei V`R n offene Menge. Sei f: VtC Lebesgue-integrierbar. Zu e>0 gibt es
eine Treppenfunktion S mit Träger in V, so daß yf V -Sy 1 < e.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Beweis:
Sei R: R n tC eine Treppenfunktion auf R n ε
mit yf V -Ry 1 < . Da xf V -1 V Rx[xf V -Rx, folgt auch
2
ε
yf V -1 V Ry 1 < . 2
Wir approximieren 1 V R durch eine Treppenfunktion mit Träger in V. Sei B`R n eine
beschränkte offene Menge mit tr(R)`B. Sei A eine Vereinigung endlich vieler kompakter
ε
Quader in V 3 B mit V n (V 3 B) – V n (A)< , wobei xRx[ M.
2 ⋅ M
Dann ist S:=1 A R eine Treppenfunktion mit Träger in A`V, für die
ε
y1 V R-Sy 1 = y1 V 3 BR–1 A Ry 1 [ M$(V n (V 3 B)–V n (A))< , so daß 2
yf V -Sy 1 [ yf V -1 V Ry 1 + y1 V R-Sy 1 < e.
q.e.d.
:LUÃNRPPHQÃ]XPÃDQJHN QGLJWHQÃ7UDQVIRUPDWLRQVVDW]
(4.28) Satz: (Transformationssatz):
Seien U,V`R n offen, sei T: UtV ein Diffeomorphismus. Sei f: Vt C eine Funktion.
Dann gilt: f ist genau dann über V Lebesgue-integrierbar, wenn (f)T)$xdet(T‘)x über U
Lebesgue-integrierbar ist.
In diesem Falle gilt die Substitutionsregel (resp. Transformationsregel)
f(y) dy = f T(x) ⋅ det T’ (x) dx
Beweis:
∫
V
∫
U
( )
„u“:
Sei f Lebesgue-integrierbar über V. Dann gilt: es gibt eine Folge (S k ) k von Treppenfunktionen
mit
1) tr(S k ) ` V
2)
lim yT k-fy 1 =0
k →∞
3) (eventuell Übergang zu Teilfolge)
lim S k(x) = f(x) für x c V \ N
k →∞
~
Wir setzen Sk
:= (Sk )T)xdet(T‘)x, k c N, und ~ f := (f)T)xdet(T‘)x.
~
Nach Lemma (4.26) sind die Funktionen Sk
, k c N, über U Lebesgue-integrierbar und bilden
eine L 1 -Cauchyfolge, da
~
y S k - Sl
~ ~ ~
y1 = ∫ Sk
- Sl
dx = ∫ S
U
V
k
- S
l
dy =yS k -S l y 1
Außerhalb der Lebesgue-Nullmenge T -1 ~
(N) konvergiert ( Sk
)k punktweise gegen ~ f .
Nach dem Satz von Riesz-Fischer ist ~ f somit Lebesgue-integrierbar, und es gilt
~
~
∫ f(x) dx = lim ∫ Sk (x) dx = lim ∫ Sk
(y) dy = ∫ f(y) dy .
U
k →∞
U
k →∞
V
V

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
„s“:
Sei ~ f über K Lebesgue-integrierbar. Das bereits Bewiesene wenden wir auf die
Umkehrabbildung T -1 : VtU an und erhalten, daß ( ~ f ) T -1 )$xdet(T -1 )µx=f über V Lebesgueintegrierbar
ist.
q.e.d.
(4.29) Korollar: Sei A: R n tR n eine lineare Transformation, b c R n . Sei T: R n tR n die
durch Tx:=Ax+b gegebene nicht ausgeartete affine Transformation. Ist f über eine
Menge K`R n Lebesgue-integrierbar, so ist f)T über die Urbildmenge T -1 (K)
Lebesgue-integrierbar, und es gilt
1
∫ f(Ax + b) dx = ∫ f(y) dy .
det A
-
Beweis:
T 1 (K)
K
Man wende den Transformationssatz auf U=V=R n und f K an; dabei ist zu beachten, daß
f K )T = ((f)T))
q.e.d.
-
T 1
(K)
(4.30) Korollar: Sei A: R n tR n eine lineare Transformation, b c R n , sei Tx:=Ax+b nicht
ausgeartet. Ist K Lebesgue-meßbar, dann ist auch T(K) Lebesgue-meßbar, und es gilt
V n (T(K)) = xdet Ax$V n (K).
Insbesondere gilt für A=E n und Tx=x+b, daß V n (T(K)) = V n (K).
Beispiele:
1) Polarkoordinatentransformation
y 1 =r$cos t , y 2 =r$sin t
T: [0,R] % [0,2o] t K R
(0)
Wegen T(0,t) = (0,0) ist T nicht bijektiv
T: (0,R] % [0,2o) t K 0 :={(y 1 ,y 2 ) c R 2 : 0

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
2) Elliptische Koordinaten im R 2
y
a
2
1
2
y
2
2 2
+ ≤ R u y
2
1 :=r$a$cos t , y 2 :=r$b$sin t
b
mit r c [0,R] , t c [0,2o]
T: [0,R] % [0,2o] t E:={(y 1 ,y 2 ) c R 2 y y
:
a b
⎛a
⋅ cos t - r ⋅ a ⋅ sin t ⎞
det T‘(r,t) = det ⎜
⎟ = a$b$r
⎝ b ⋅ sin t r ⋅ b ⋅ cos t ⎠
∫
E
f(y) dy =
2π
⎛
∫∫
⎜
⎝
R
0 0
f(r ⋅ a ⋅ cos
t, r
2 2
1 2 2
+ ≤ R }
2 2
⎟ ⎞
⋅ b ⋅ sin t) ⋅ a ⋅ b ⋅ r dr dt
⎠
3) Elliptische Koordinaten im R 3
y 1
y
2
y
: = r ⋅ cos s ⋅ cos t : = r ⋅ sin s ⋅ cos t
2 : = r ⋅ sin t für a>0, b>0, c>0
a
b
b
⎡ π π ⎤
r c [0,R] , s c [0,2o] , t c
⎢ − ,
⎣ 2 2 ⎥ ⎦
H:={(y 1 ,y 2 ,y 3 ) c R 3 :
y
2
1
a
y
y
2 2
2 3 2
+ + ≤ R }
b
c
⎡ π π ⎤
T: [0,R] % [0,2o] %
⎢ − ,
⎣ 2 2 ⎥ ⎦
t H
⎛a
⋅ cos s ⋅ cos t
⎜
det T‘(r,s,t) = det ⎜ b ⋅ sin s ⋅ cos t
⎜
⎝ c ⋅ sin t
- a
⋅ r ⋅ sin s ⋅ cos t
b ⋅ r ⋅ cos s ⋅ cos t
0
- a
- b
⋅ r ⋅ cos s ⋅ sin t ⎞
⎟
⋅ r ⋅ sin s ⋅ cos t ⎟ = a$b$c$r 2 $cos t
r ⋅ c ⋅ cos t ⎟
⎠
⎛ π π ⎞
det T‘(r,s,t) g 0 w r>0 t c ⎜ − , ⎟
⎝ 2 2 ⎠
∫
H
f(y) dy =
R
⎛
⎜
∫⎜
∫⎜
∫
0
⎜
⎝
0
⎛
⎜
π
2π
2
⎜
⎝
π
−
2
f(a ⋅ r ⋅ cos s ⋅ cos
t, r
⋅ b ⋅ sin s ⋅ cos
t, r
⋅ c ⋅ sin t) ⋅ a ⋅ b ⋅ c ⋅ r
2
⋅ cos t
⎞ ⎞
⎟ ⎟
dt ⎟ ds⎟
dr
⎟ ⎟
⎠ ⎠
⎛
⎜
f=1: V 3 (H) = a ⋅ b ⋅ c ⋅ ∫⎜
∫⎜
∫
R
0
⎜
⎝
2π
0
⎛
⎜
⎜
⎝
π
2
π
−
2
r
2
π
⎞ ⎞
⎟ ⎟
R 2
2
⋅ cos t dt ⎟ ds⎟
dr = a ⋅ b ⋅ c ⋅ ∫ r dr ∫ cos t dt = K
⎟ ⎟
0 π
−
⎠ ⎠
2

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
4) Zylinderkoordinaten im R 3
y 1 =a$r$cos t , y 2 =b$r$sin t , y 3 =x 3
r c [0,R] , t c [0,2o] , x 3 c [0,h]
T: [0,R] % [0,2o] % [0,h] t Z:={(y 1 ,y 2 ,y 3 ) c R 3 : 0[y 3 [h,
y
a
2
1
2
y
2
2 2
+ ≤ R }
2
b
⎛a
⋅ cos t
⎜
det T‘(r,t,x 3 ) = det⎜
b ⋅ sin t
⎜
⎝ 0
- a ⋅ r ⋅ sin t
b ⋅ r ⋅ cos t
0
0⎞
⎟
0⎟
= a$b$r
1⎟
⎠

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
,QWHJUDOVlW]HLP5
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt für jede Stammfunktion F auf
einem Intervall
I c R einer Regelfunktion f: ItR die Beziehung
b
∫
a
f(x) dx = F(b) - F(a) für jedes a,b c I.
'DVÃ,QWHJUDOÃYRQÃ)© IÃNDQQÃDOVRÃGXUFKÃ5DQGZHUWHÃYRQÃ)ÃDXVJHGU FNWÃZHUGHQ
,QÃGLHVHPÃ.DSLWHOÃVROOÃGLHVHUÃ6DFKYHUKDOWÃLQÃJHHLJQHWHUÃ)RUPÃDXIÃGLHÃ6LWXDWLRQÃLPÃ5DXPÃ EHUWUDJHQÃZHUGHQÃ=X
GLHVHPÃ=ZHFNÃZHUGHQÃGLHÃNODVVLVFKHQÃ,QWHJUDOVlW]HÃYRQÃ*DX‰ÃXQGÃ6WRNHVÃEHKDQGHOWÃGLHÃLQÃGHPÃ6SH]LDOIDOOÃGHU
(EHQHÃ GHUÃ DQJHOVlFKVLVFKHQÃ 7UDGLWLRQÃ IROJHQGÃ DOVÃ *UHHQVFKHUÃ 6DW]Ã EH]HLFKQHWÃ ZHUGHQÃ 'LHÃ *DX‰VFKHQÃ XQG
6WRNHVVFKHQÃ,QWHJUDOVlW]HÃ¥ÃDXFKÃLQÃLKUHQÃK|KHUGLPHQVLRQDOHQÃ9HUDOOJHPHLQHUXQJHQÃ¥ÃVLQGÃHLQÃXQHQWEHKUOLFKHV
+LOIVPLWWHOÃ GHVÃ 1DWXUZLVVHQVFKDIWOHUVÃ XQGÃ ,QJHQLHXUVÃ XQGÃ XUVSU QJOLFKÃ DXVÃ QDWXUZLVVHQVFKDIWOLFKHQÃ )UDJH
VWHOOXQJHQÃKHUYRUJHJDQJHQ
§ 1 Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene
6FKRQÃ LQÃ .DSLWHOÃ Ã
EHUÃ .XUYHQLQWHJUDOHÃ ZXUGHÃ GHUÃ +DXSWVDW]Ã GHUÃ 'LIIHUHQWLDOÃ XQGÃ ,QWHJUDOUHFKQXQJÃ DXI
.XUYHQLQWHJUDOHÃ H[DNWHUÃ 9HNWRUIHOGHUÃ YHUDOOJHPHLQHUWÃ XQGÃ GLHÃ %H]LHKXQJÃ YJOÃ 6DW]Ã
∫ <
γ
grad F, dt > =
F(b) - F(a)
ÃKHUJHOHLWHWÃZREHLÃDÃGHUÃ$QIDQJVSXQNWÃXQGÃEÃGHUÃ(QGSXQNWÃGHUÃ.XUYH
»ÃcÃR n ÃLVWÃ) UÃGLHÃ* OWLJNHLWÃGLHVHUÃ+DXSWVlW]HÃVLQGÃDEHUÃJHZLVVHÃ9RUDXVVHW]XQJHQÃ]XÃHUI OOHQ
GLHà ]Xà LQWHJULHUHQGHà )XQNWLRQà Ià PX‰Ã HLQHà 6WDPPIXQNWLRQà EHVLW]HQà XQGà GHVKDOEà HLQHà EHVWLPPWHà )RUP
KDEHQÃ]%ÃIÃ Ã)©ÃRGHUÃIÃ ÃJUDGÃ)
PDQÃPX‰ÃGLHÃ(LJHQVFKDIWHQÃGHVÃ,QWHJUDQGHQÃDXIÃGHPÃ5DQGÃNHQQHQ
GHUÃ5DQGÃPX‰ÃRULHQWLHUWÃVHLQÃHWZDÃDEÃEHLPÃ,QWHUYDOOÃI >DE@ÃRGHUÃDOVÃ$QIDQJVSXQNWÃDÃE]Zà (QGSXQNWà E
GHUÃ.XUYHûÃVRÃGD‰ÃDÃYRUÃEÃOLHJW
'HUÃ *DX‰VFKHÃ ,QWHJUDOVDW]Ã LQÃ GHUÃ (EHQHÃ DXFKÃ 6DW]Ã YRQÃ *UHHQÃ JHQDQQWÃ NDQQÃ DOVÃ 9HUDOOJHPHLQHUXQJÃ GLHVHU
+DXSWVlW]HÃ I UÃ )XQNWLRQHQÃ YRQÃ ]ZHLÃ 9HUlQGHUOLFKHQÃ DQJHVHKHQÃ ZHUGHQÃ :LUÃ ZHUGHQÃ LKQÃ I UÃ VHKUÃ HLQIDFKH
*HELHWHÃGHUÃ(EHQHÃR 2 ÃQDFKZHLVHQ
'D]XÃEHVFKlIWLJHQÃZLUÃXQVÃ]XQlFKVWÃPLWÃGHUÃ2ULHQWLHUXQJÃGHVÃ5DQGHVÃ5GÃ*ÃHLQHVÃEHVFKUlQNWHQÃ*HELHWHV
*` R 2 ÃXQGÃHULQQHUQÃLQÃGLHVHPÃ=XVDPPHQKDQJÃDQÃGHQÃ%HJULIIÃGHUÃ.XUYHÃLPÃR n ÃYJOÃ'HILQLWLRQÃ
(5.1) Definition: Eine Kurve im R n mit einer stetigen Parameterdarstellung »: [a,b]tR n
heißt einfach geschlossen, wenn »(a)=»(b) und »(s)g»(t) für sgt, s,t c (a,b).

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(5.2) Definition: Sei » eine einfach geschlossene glatte Kurve im R 2 mit der Parameterdarstellung
»: [a,b]tR 2 , »(t)=(» 1 (t),» 2 (t)). Wir sagen, » umlaufe das von ihr
eingeschlossene Gebiet G`R 2 im Gegenuhrzeigersinn (oder: » ist der positiv
orientierte Rand von G), wenn für jeden Punkt »(t)=(» 1 (t),» 2 (t),0) c R 3 , t c [a,b],
( γ
1’(t),
γ
2
’(t),0)
der Tangenteneinheitsvektor T » (t)=
, der in das Gebiet weisende
( γ ’(t), γ ’(t),0)
1
Tγ
’(t)
Normalenvektor N » (t)= und der Einheitsvektor e 3 =(0,0,1) ein Rechtssystem
Tγ
’(t)
bilden, d.h. det(T » (t),N » (t),e 3 )>0.
2
»ÃLVWÃDOVRÃHLQÃSRVLWLYÃRULHQWLHUWHUÃ5DQGÃYRQÃ*ÃZHQQà *à EHLPà 'XUFKODXIHQà YRQûÃ]XU
/LQNHQÃ OLHJWÃ 'LHÃ SRVLWLYHÃ 2ULHQWLHUXQJÃ HLQHUÃ VW FNZHLVHÃ JODWWHQÃ HLQIDFK
JHVFKORVVHQHQÃ.XUYHÃOl‰WÃVLFKÃY|OOLJÃDQDORJÃGHILQLHUHQ
,QÃ%HLVSLHOÃÃQDFKÃ6DW]ÃÃNOHLQHUÃ6DW]ÃYRQÃ)XELQLÃKDEHQÃZLUÃ1RUPDOEHUHLFKHÃDOVÃ,QWHJUDWLRQVEHUHLFKHÃI U
VWHWLJHÃ)XQNWLRQHQÃXQWHUVXFKWÃ'DEHLÃZXUGHÃ%`R 2 ÃHLQÃ1RUPDOEHUHLFKÃE]JOÃ[ÃJHQDQQWÃZHQQ
% ^[\ÃcÃR 2 ÃD[[[EÃw [[\[w [`ÃPLWÃVWHWLJHQÃ)XQNWLRQHQÃw M Ã>DE@tR 2 ÃMÃcÃ^`ÃJLOW
%`R 2 ÃLVWÃHLQÃ1RUPDOEHUHLFKÃE]JOÃ\ÃZHQQÃ% ^[\ÃcÃR 2 ÃF[\[GÃy \[[[y \`ÃPLWÃVWHWLJHQÃ)XQNWLRQHQ
y M Ã>FG@tRÃMÃcÃ^`
) UÃHLQHQÃ1RUPDOEHUHLFKÃ%`R 2 ÃE]JOÃ[ÃXQGÃE]JOÃ\ÃODXWHWÃGHUÃ*DX‰VFKHÃ6DW]ÃLQÃGHUÃ(EHQH
(5.3) Satz: (Gaußscher Integralsatz in der Ebene, Satz von Green):
Sei B`R 2 ein Normalbereich bzgl. x und bzgl. y, sei Rd B der positiv orientierte Rand
von B. Sei G`R 2 offen mit B`G. Seien f j : GtR stetig differenzierbar, j c {1,2}.
Dann gilt für das Vektorfeld f=(f 1 ,f 2 ): GtR 2
∂f
2
(x, y) ∂f1
(x, y)
∫ − d(
x,
y)
= ∫ < f, dt > .
∂x
∂y
Beweis:
B
Rd B
»= Rd B besteht aus vier Teilkurven » 1 , » 2 , » 3 , » 4 , die, da B ein Normalbereich bzgl. x ist,
wie folgt parametrisiert werden können:
» 1 : [a,b]tR 2 » 1 (t):=(t,w 1 (t))
» 2 : [0,1]tR 2 » 2 (t):=(b,w 1 (b)+t(w 2 (b)-w 1 (b)))
» 3 - : [a,b]tR 2 » 3 - (t):=(t,w 2 (t))
» 4 - : [0,1]tR 2 » 4 - (t):=(a,w 1 (a)+t(w 2 (a)-w 1 (a)))
Da
∫
B
∂
f 1
∂y
∂f1(x,
y)
d ( x,
y)
=
∂y
b
∫
a
⎛
⎜
⎜
⎝
ϕ 2 (x)
∫
ϕ1(x)
∂f
⎞
1
(x, y)
dy⎟
dx =
∂y
⎟
⎠
stetig auf G, gilt
b
∫
a
f
1
( x, ϕ (x)) − f ( x, ϕ (x))
2
1
1
dx

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
1
1
−
Da ∫ f1
( γ
2
(t)) dt = 0 = ∫ f1( γ
4
(t))
0
b
b
-
= ∫ f1( γ
3
(t)) dt − ∫ f1( γ
1
(t)) dt = −∫
f1( γ
3
(t)) dt − ∫ f1( γ
1(t)
)
a
0
a
b
a
dt , d.h. die Integrale verschwinden, gilt auf der anderen
Seite für das Vektorfeld g(t):=(f 1 (t),0): GtR 2
4
b
b
< dt > = < g, dt > = < g, dt > + < g, dt > = f ( γ (t)) dt f ( γ (t))
∫ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1
+ ∫
g,
1 3
Rd B
j = 1 γ j
γ 1
γ 3
a
b
a
a
dt
dt
u
∂f
(x, y)
1
∫ d(
x,
y)
= − ∫ < g, dt >
B
∂y
Rd B
Da sich B auch als Normalbereich bzgl. y darstellen läßt, erhält man durch analoge
Überlegungen die Beziehung
∂f
2
(x, y)
∫ d(
x,
y)
= ∫ < h, dt > mit dem Vektorfeld h(t):=(0,f 2 (t))
∂x
B
Rd B
Daraus ergibt sich
∂f
2
(x, y) ∂f1(x,
y)
∫ − d(
x,
y)
=
∂x
∂y
∫ < h, dt > + < g, dt > = ∫ < f, dt >
B
Rd B
Rd B
q.e.d.
6HW]HQÃZLUÃI UÃI I I ÃGDVÃ9HNWRUIHOGÃI[\ \[ÃHLQÃVRÃHUKDOWHQÃZLUÃVRIRUWÃI UÃGHQÃ)OlFKHQLQKDOWÃYRQÃ%
(5.4) Korollar: Sei B`R 2 ein Normalbereich bzgl. x und bzgl. y und Rd B sein positiv
orientierter Rand, so gilt für den Flächeninhalt F(B) von B
b
1
1 ⎛ γ
1
(t) γ
2
(t)
∫ ∫
⎟ ⎞
F(B) = < (-y,x), dt > = det
⎜
dt , wenn »: [a,b]tR 2 mit
2
2
a ⎝γ
1’(t)
γ
2
’(t)
Rd B
⎠
»(t)=(» 1 (t),» 2 (t)) eine stetig differenzierbare Parameterdarstellung von Rd B ist.
Die beiden letzten Sätze gelten bereits unter weit schwächeren Voraussetzungen über B,
nämlich dann, wenn B beschränkt und Rd B eine rektifizierbare, doppelpunktfreie Kurve ist.
Bemerkungen:
1) Ist f=(f 1 ,f 2 ): G`R 2 tR 2 ein Vektorfeld und sind die Vektorfelder g: GtR 2 und h: GtR 2
definiert durch g(x,y):=(f 1 (x,y),0) bzw. h(x,y):=(0,f 2 (x,y)) für (x,y) c G, so schreibt man
für die Integrale ∫ < g, dt > bzw. ∫ < h, dt > auch ∫ f 1
dx : = ∫ < g, dt > bzw.
∫ dy : = ∫ < h, dt >
γ
f 2
.
γ
γ
Die Gleichung im Greenschen Satz lautet dann
∂f
2
(x, y) ∂f
1(x,
y)
∫ − d(
x,
y)
= f1
dx + f
2
dy
∂x
∂y
B
γ
∫ ( )
Rd B
γ
γ

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
2) Für jeden Punkt (x,y) c B eines Normalbereiches B, der berandet wird von der Kurve
Rd B, steht der Vektor F(x,y):=(f 2 (x,y),-f 1 (x,y)) senkrecht auf f(x,y):=(f 1 (x,y),f 2 (x,y)).
∂f 2
(x, y) ∂f1(x,
y)
Ferner gilt: div F(x,y) = − , so daß der Greensche Satz auch in der
∂x
∂y
Form ∫ div F(x, y) d(
x,
y)
= ∫ < f, dt > geschrieben werden kann.
B
Rd B
Diese Gleichung ist Ausgangspunkt der Verallgemeinerung zum Divergenztheorem
(=Satz von Gauß im Raum) und läßt folgende Interpretation zu: Die per saldo aus dem
Normalbereich über den Rand hinausfließende Flüssigkeitsmenge muß im Inneren von B
produziert werden und ist deshalb gleich dem Integral dieser Intensität über B.
3) Identifiziert man das Vektorfeld f=(f 1 ,f 2 ): B`R 2 tR 2 mit dem dreidimensionalen Vektorfeld
~ f :=(f 1 ,f 2 ,0), so ergibt sich rot ~ ⎛ ∂f
2
∂f1
f =
⎟ ⎞
⎜0,0,
− . Aus diesem Grund bezeichnet
⎝ ∂x
∂y
⎠
∂f 2
∂f1
man − auch als zweidimensionale Rotation von f. Der Greensche Satz erhält
∂x
∂y
dann die Form ∫ rot f(x, y) d(
x,
y)
= ∫ < f, dt > = ∫ ( f1
dx + f
2
dy)
und wird Ausgangspunkt
B
einer Verallgemeinerung in Form des Satzes von Stokes im Raum.
Rd B
Rd B

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 2 Flächen und Oberflächenintegrale im Raum
,QÃGLHVHPÃ$EVFKQLWWÃZHUGHQÃ HLQLJHÃ 7DWVDFKHQÃ EHUHLWJHVWHOOWÃ GLHÃ ]XUÃ *HZLQQXQJÃ JHZLVVHUÃ $QDORJDÃ GHVÃ +DXSW
VDW]HVÃ GHUÃ 'LIIHUHQWLDOÃ XQGÃ ,QWHJUDOUHFKQXQJÃ LPÃ R 3 Ã EHQ|WLJWÃ ZHUGHQÃ 'D]XÃ HULQQHUQÃ ZLUÃ ]XQlFKVWÃ DQÃ GDV
.UHX]SURGXNWÃRGHUÃ9HNWRUSURGXNWÃ]ZHLHUÃ9HNWRUHQÃLPÃR 3 Ã$QVFKOLH‰HQGÃZHQGHQÃZLUÃXQVÃGHPÃ%HJULIIÃGHUÃ)OlFKH
LPÃR 3 Ã ]XÃ ZREHLÃ GLHVHUÃ %HJULIIÃ MHGRFKÃ QLFKWÃ VRÃ DOOJHPHLQÃ JHID‰WÃ ZLUGÃ ZLHÃ HVÃ JUXQGVlW]OLFKÃ P|JOLFKÃ XQGÃ I U
JHZLVVHÃ8QWHUVXFKXQJHQÃDXFKÃQRWZHQGLJÃLVWÃVRQGHUQÃLQÃHLQHUÃ:HLVHÃHLQJHVFKUlQNWÃLVWÃGLHÃGHPÃDQJHVWUHEWHQ
5DKPHQÃDQJHPHVVHQÃLVW
Für zwei Vektoren x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ) c R 3 und y=(y 1 ,y 2 ,y 3 ) c R 3 ist das Kreuzprodukt oder
Vektorprodukt x % y durch x % y:=(x 2 y 3 -x 3 y 2 , x 3 y 1 -x 1 y 3 , x 1 y 2 -x 2 y 1 ) definiert.
Formal läßt sich diese Definition auch schreiben in der Form
⎛ 1 2 3 ⎞
⎜
⎟
x % y = det ⎜ x1
x
2
x
3 ⎟ .
⎜
⎟
⎝ y1
y
2
y
3 ⎠
Für das Vektorprodukt gelten folgende Rechenregeln:
1) x % y = – (y % x)
2) x % x = 0
3) (kx) % y = x % (ky) = k (x % y) für k c R
4) x % (y+z) = (x % y) + (x % z) für z=(z 1 ,z 2 ,z 3 ) c R 3
5) (x+y) % z = (x % z) + (y % z) für z=(z 1 ,z 2 ,z 3 ) c R 3
6) = = 0
Sind x: ItR 3 und y: ItR 3 auf I`R definierte R 3 -wertige Funktionen, so ist ihr Vektorprodukt
x % y punktweise erklärt: (x % y) (t) = x(t) % y(t) , für t c I.
Sind x und y auf I differenzierbar, so ist auch x % y auf I differenzierbar mit
d
7) (x % y) = (x dy dx
% ) + ( % y)
dt
dt dt
In Kapitel 3.3 wurde eine Teilmenge A`R n als Lebesgue-meßbar bezeichnet, wenn die
charakteristische Funktion 1 A auf A Lebsgue-integrierbar ist. Ersetzt man den Lebesgueschen
Integralbegriff durch den Integral-begriff nach Riemann, so erhält man Jordan-meßbare
Teilmengen des R n .
(5.5) Definition: Eine nichtleere beschränkte Teilmenge B`R n heißt Jordan-meßbar,
wenn die charakteristische Funktion 1 B auf B Riemann-integrierbar ist. In diesem Fall
heißt xBx n := ∫ 1
B
dx der (n-dimensionale) Jordan-Inhalt von B.
B

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(5.6) Satz: Eine nichtleere beschränkte Teilmenge B`R n ist genau dann Jordan-meßbar,
wenn Rd B eine Lebesgue-Nullmenge ist.
Beweis:
Sei B`R n beschränkt, dann existiert ein kompakter Quader Q`R n mit B `Q.
Q ist genau dann Jordan-meßbar, wenn das Riemann-Integral ∫ 1
Q
dx existiert.
Q
Nach dem Lebesgueschen Kriterium ist dies genau dann der Fall, wenn die Menge M der
Unstetigkeitspunkte von 1 BxQ (eingeschränkt auf Q) eine Lebesgue-Nullmenge ist.
Da M=Rd B ist, folgt die Behauptung.
q.e.d.
Ähnlich wie früher eine Kurve im R n definieren wir eine Fläche im Raum mit Hilfe einer
Parameterdarstellung, wobei der Parameterbereich jetzt eine Teilmenge des R 2 ist.
(5.7) Definition: Sei G`R 2 eine nichtleere, offene und Jordan-meßbare Menge. Sei
ÃgK`G kompakt. Unter einer regulären Fläche S mit dem Parameterbereich K
verstehen wir die Einschränkung px K einer C 1 -Funktion p: GtR 3 , die injektiv in K ist
und deren Funktionalmatrix p‘(s,t) für alle s,t c G den Rang 2 hat.
P(K) heißt die Spur der Fläche, p eine Parameterdarstellung von S.
=ZLVFKHQó)OlFKH§ÃXQGó6SXUÃYRQÃS§ÃEHVWHKWà DOVRà HLQà lKQOLFKHUà 8QWHUVFKLHGà ZLHà ]ZLVFKHQà ³.XUYH§Ã XQGà ³6SXU
YRQû§Ã+lOWÃPDQÃGHQÃ3DUDPHWHUÃW ÃIHVWÃVRÃLVWÃGLHÃ)XQNWLRQÃVxSVW ÃGLHÃ3DUDPHWHUGDUVWHOOXQJÃHLQHUÃ.XUYHÃDXI
GHUÃ )OlFKHÃ 6Ã VLHÃ ZLUGÃ DXFKÃ GLHÃ V.RRUGLQDWHQOLQLHÃ JHQDQQWÃ W FRQVWÃ ,KUÃ 7DQJHQWLDOYHNWRUÃ LVWÃ
(QWVSUHFKHQGÃ LVWÃ
∂p(s 0
, t)
∂t
∂p(s, t
0
)
∂s
à GHUà 7DQJHQWLDOYHNWRUà DQà GLHà W.RRUGLQDWHQOLQLHà V FRQVWà 'LHà 5DQJEHGLQJXQJà LQ
GHUÃ'HILQLWLRQÃEHGHXWHWÃGD‰ÃLQÃMHGHPÃ)OlFKHQSXQNWÃ[ SVWÃJHQDXHUÃ[[[ SVWÃÃSVWÃÃSVWÃVWÃc
.ÃGLHÃ9HNWRUHQÃ
∂p(s,
t)
∂s
ÃXQGÃ
∂p(s,
t)
∂t
ÃOLQHDUÃXQDEKlQJLJÃVLQGÃ'LHÃ,QMHNWLYLWlWÃYRQÃSà KDWà ]XUà )ROJHà GD‰Ã GLH
)OlFKHÃGRSSHOSXQNWIUHLÃLVWÃPDQÃVSULFKWÃGDQQÃDXFKÃYRQÃHLQHUÃHLQIDFKHQÃ)OlFKH
'DÃ GLHÃ 9HNWRUHQÃ
∂p(s,
t)
∂s
à XQGÃ
GLH7DQJHQWLDOHEHQHÃ[Ã Ã[ÃÃk$
∂p(s,
t)
∂t
∂p(s 0
, t
0
)
∂s
à LQà MHGHPà 3XQNWà VWà cà .à OLQHDUà XQDEKlQJLJà VLQGà VSDQQHQà VLH
ÃÃl$
∂p(s 0
, t
0
)
∂t
ÃkÃlÃcÃRÃLPÃ3XQNWÃ[Ã Ã[[[Ã ÃSVW
DXIÃ-HGHUÃDXIÃGLHVHUÃ(EHQHÃVHQNUHFKWÃVWHKHQGHÃQLFKWÃYHUVFKZLQGHQGHÃ9HNWRUÃKHL‰WÃ1RUPDOHQYHNWRUÃYRQÃUÃLP
)OlFKHQSXQNWÃSV W ÃRGHUÃ1RUPDOHÃDQÃ6ÃLPÃ3XQNWÃSV W Ã Ã[ Ã+DWÃHUÃGLHÃ/lQJHÃÃVRÃZLUGÃGLHVHUÃQRUPLHUW
RGHUÃ 1RUPDOHQHLQKHLWVYHNWRUÃ JHQDQQWÃ ,QVEHVRQGHUHÃ LVWÃ GDVÃ 9HNWRUSURGXNWÃ 1VWÃ
∂p(s 0
, t
0
) ∂p(s 0
, t
0
)
%
∂s
∂t
−1
∂p(s 0
, t
0
) ∂p(s
0
, t
0
) ⎛ ∂p(s
0
, t
0
) ∂p(s
0
, t
0
) ⎞
YVWÃ Ã ×
⎜ × ⎟
∂s
∂t
⎝ ∂s
∂t
⎠
ÃHLQHÃ1RUPDOHÃDQÃ6ÃLPÃ3XQNWÃ[ SVWÃDXVÃGHUÃVLFKÃGHUÃ1RUPDOHQHLQKHLWVYHNWRU
à LQà GLHVHPà 3XQNWà JHZLQQHQà Ol‰Wà -HGHU
3XQNWÃ[ SVWÃDXIÃ6ÃEHVLW]WÃJHQDXÃ]ZHLÃQRUPLHUWHÃ1RUPDOHQÃQlPOLFKÃYVWÃXQGÃYVW

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
(5.8) Definition: Der Flächeninhalt J(S) einer regulären Fläche S`R 3 mit der Parameterdarstellung
p: K`R 2 tR 3 , ÃgK kompakt und Jordan-meßbar, wird definiert durch das
∂p(s,
t) ∂p(s,
t)
Integral J(S):= ∫ N(s, t) d ( s,
t)
= ∫ × d(
s,
t)
.
∂s
∂t
K
K
Der Wert dieses Integrals ist unabhängig von „zulässigen Parameterdarstellungen“ von S.
Beispiele:
1) Ist f: GtR eine stetig differenzierbare Funktion auf der offenen, Jordan-meßbare Menge
Ggà des R 2 . Dann ist S = graph f = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ) c R 3 : x 3 =f(x 1 ,x 2 ) , (x 1 ,x 2 ) c G} eine Fläche
im R 3 , für die p: GtR 3 mit p(s,t):=(s,t,f(s,t)) für s,t c G eine Parameterdarstellung ist.
Dann gilt
∂p(s,
t) ⎛ ∂f(s,
t) ⎞ ∂p(s,
t) ⎛ ∂f(s,
t) ⎞
= ⎜1,0,
⎟ und = ⎜0,1,
⎟ und somit
∂s
⎝ ∂s
⎠ ∂t
⎝ ∂t
⎠
∂p(s,
t) ∂p(s,
t) ⎛ ∂f(s,
t) ∂f(s,
t) ⎞
N(s,t) = × = ⎜−
, − ,1⎟
≠ (0,0,0)
.
∂s
∂t
⎝ ∂s
∂t
⎠
Der Flächeninhalt von S mit dem Parameterbereich K`G berechnet sich aus
J(S) =
∫
K
⎛ ∂f(s,
t) ∂f(s,
t) ⎞
⎛ ∂f(s,
t) ⎞ ⎛ ∂f(s,
t) ⎞
⎜−
, − ,1⎟
d ( s,
t)
= ∫ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ d(
s,
t)
⎝ ∂s
∂t
⎠
⎝ ∂s
⎠ ⎝ ∂t
⎠
K
2) Die Kugeloberfläche S=S R (0)`R 3 kann beschrieben werden durch die Parameterdarstellung
(Stichwort „Kugelkoordinaten“)
⎡ π π ⎤
p: [0,2o] %
⎢ − ,
⎣ 2 2 ⎥ t R 3 mit p(s,t):=(R$cos(s)$cos(t) , R$sin(s)$cos(t) , R$sin(t))
⎦
∂p(s,
t)
Dann gilt = (-R$sin(s)$cos(t) , R$cos(s)$cos(t) , 0)
∂s
∂p(s,
t)
= (-R$cos(s)$sin(t) , -R$sin(s)$sin(t) , R$cos(t))
∂t
∂p(s,
t) ∂p(s,
t)
und
% = R$cos(t)$p(s,t) g (0,0,0) für t ⎛ π π ⎞
c ⎜ − , ⎟
∂s
∂t
⎝ 2 2 , R>0
⎠
∂p(s,
t)
∂s
∂p(s,
t)
∂t
sowie J(S R (0)) = ∫ × d(
s,
t)
= ∫⎜
∫
K
π
2
2
2 ⋅π
⋅ R cos t dt = 4 ⋅π
⋅
= ∫
π
−
2
R
π
2
π
−
2
2
⎛
⎜
⎝
2π
0
2
R
2
2
⎞
⋅ cos t ds⎟
dt
⎠

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
3) Die Oberfläche der oberen Halbkugel mit Radius R (ohne die in der x 1 ,x 2 -Ebene liegende
Fläche) hat dann die Parameterdarstellung
⎡ ⎤
[0,2o] %
⎢0,
π
⎣ 2 ⎥t R 3 mit p(s,t):=(R$cos(s)$cos(t) , R$sin(s)$cos(t) , R$sin(t))
⎦
Aber auch q: K R
(0) tR 3 2 2 2
mit q(s,t):=( s, t, R − (s + t ))
für (s,t) c K R
(0)
( K R
(0) :={(s,t) c R 2 : s 2 +t 2 [R 2 }) ist eine Parameterdarstellung dieser Oberfläche.
:LUÃNRPPHQÃQXQÃ]XÃGHPÃZLFKWLJVWHQÃ%HJULIIÃGLHVHVÃ$EVFKQLWWHVÃGHPÃGHVÃ2EHUIOlFKHQLQWHJUDOVÃ'DEHLÃP VVHQ
ZLUÃ]ZLVFKHQÃÃ]ZHLÃ$UWHQÃYRQÃ2EHUIOlFKHQLQWHJUDOHQÃXQWHUVFKHLGHQÃlKQOLFKÃZLHÃEHLPÃ.XUYHQLQWHJUDOÃMHÃQDFKGHP
REÃGHUÃ,QWHJUDQGÃHLQÃ6NDODUIHOGÃRGHUÃHLQÃ9HNWRUIHOGÃLVW
(5.9) Definition: (Oberflächenintegral für Skalarfelder):
Sei p: KtR 3 die Parameterdarstellung mit dem Parameterbereich K einer regulären
Fläche S. Sei f: p(K)tR ein stetiges Skalarfeldauf p(K)`R 3 . Dann heißt
∂p(s,
t) ∂p(s,
t)
∫ f d σ : = ∫ f( p(s, t) ) × d(
s,
t)
∂s
∂t
S
K
das Oberflächenintegral des
Skalarfeldes f über S.
$XFKà KLHUà LVWà QDFK]XZHLVHQà GD‰Ã VLFKà GHUà :HUWà GHVà ,QWHJUDOVà ∫
S
3DUDPHWHUWUDQVIRUPDWLRQHQÃQLFKWÃlQGHUW
,QÃ3K\VLNÃXQGÃ7HFKQLNÃWUHWHQÃ 2EHUIOlFKHQLQWHJUDOHÃ GHUÃ )RUPÃ ∫
S
f dσ Ã EHLÃ ]XOlVVLJHQ
f dσ Ã KlXILJÃ DXIÃ 6LH
OLHIHUQÃ]Ã%ÃGLHÃ*HVDPWPDVVHÃHLQHVÃ)OlFKHQVW FNHVÃ6ÃGDVÃPLWÃGHUÃ0DVVHÃGHUÃ|UWOLFK
XQWHUVFKLHGOLFKHQÃ)OlFKHQGLFKWHÃI I[ [ [ ÃEHOHJWÃLVW
:LUÃ NRPPHQÃ QXQÃ ]XUÃ 'HILQLWLRQÃ HLQHVÃ )OlFKHQLQWHJUDOVÃ I UÃ 9HNWRUIHOGHUÃ 6HL
) ) ) ) ÃHLQÃ9HNWRUIHOGÃXQGÃS S S S Ã*tR 3 ÃHLQHÃ3DUDPHWHUGDUVWHOOXQJÃHLQHU
∂p(s,
t) ∂p(s,
t)
)OlFKHÃ 6Ã GDQQÃ NDQQÃ GDVÃ 6NDODUSURGXNWÃ < F( p(s, t) ),
× > Ã LQWHUSUHWLHUW
∂s
∂t
ZHUGHQÃ DOVÃ GLHÃ .RPSRQHQWHÃ GHUÃ )OX‰GLFKWHÃ )Ã LPÃ 3XQNWÃ SVWÃ LQÃ 5LFKWXQJÃ GHV
∂p
∂p
1RUPDOHQYHNWRUVÃ × ÃLPÃ)OlFKHQSXQNWÃ1XQÃJLOWÃEHNDQQWOLFK
∂s
∂t
∂p(s,
t) ∂p(s,
t)
% =ÃGHWÃ- VWÃÃGHWÃ- VWÃÃGHWÃ- VWÃZREHL
∂s
∂t
⎛ ∂p
i
(s, t) ∂p
i
(s, t) ⎞
⎜
⎟
- LN VWÃ ⎜ ∂s
∂t
⎟ ÃI UÃLNÃcÃ^`
⎜ ∂p
k
(s, t) ∂p
k
(s, t) ⎟
⎝ ∂s
∂t
⎠
∂p(s,
t) ∂p(s,
t)
'HVKDOEÃOl‰WÃVLFKÃ < F( p(s, t) ),
× > ÃDXFKÃLQÃGHUÃ)RUP
∂s
∂t

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
∂p
∂p
< F, × > Ã) Ã GHWÃ - ÃÃ) Ã GHWÃ - ÃÃ) Ã GHWÃ - Ã Ã Ã VFKUHLEHQÃ 'LHVÃ JLEWÃ GLH
∂s
∂t
9HUDQODVVXQJÃ]XÃGHUÃIROJHQGHQÃ'HILQLWLRQÃHLQHVÃ)OlFKHQLQWHJUDOVÃI UÃ9HNWRUIHOGHU
(5.10) Definition: Sei S eine reguläre Fläche mit der Parameterdarstellung p: K`R 2 tR 3 ,
p=(p 1 ,p 2 ,p 3 ). Sei F: G`R 3 tR 3 mit F=(F 1 ,F 2 ,F 3 ) ein stetiges Vektorfeld auf G mit
K`G. Man setzt
dx ∧ dx F p(s, t) det J (s, t) d(
s,
t)
∫ 1 2 3
= ∫
( )
F
1
23
S
K
∫ 2 3
∧ dx1
= ∫
( p(s, t) )
F
2
31
S
K
dx F det J (s, t) d(
s,
t)
∫ 3 1
∧ dx2
= ∫
( p(s, t) )
F
3
12
S
K
dx F det J (s, t) d(
s,
t)
und
nennt
F1 dx2
∧ dx3
+ F2
dx3
∧ dx1
+ F3
dx1
∧ dx2
: = F1
dx2
∧ dx3
+ F2
dx3
∧ dx1
+ F3
dx1
∧ dx2
∫
S
das Oberflächenintegral des Vektorfeldes F über S.
+LHUEHLÃLVWÃEHLÃGHQÃÄ3URGXNWHQ³ÃG[ .G[ ÃÃG[ .G[ ÃÃG[ .G[ ÃDXIÃGLHÃ5HLKHQIROJHÃGHU
Ä)DNWRUHQ³Ã ]Xà DFKWHQà GDà ]à %à GHWà - VWà à GHWà - VWà XQGà VRPLW
F1 dx2
∧ dx3
= − F1
dx3
∧ dx2
∫
S
∫
S
'DVÃ2EHUIOlFKHQLQWHJUDOÃKlQJWÃDOVRÃEHLÃIHVWHPÃ,QWHJUDQGHQÃQLFKWÃQXUÃYRQÃGHUÃ6SXU
GHUÃ)OlFKHÃVRQGHUQÃDXFKÃYRQÃGHUÃ3DUDPHWHUGDUVWHOOXQJÃGHUÃ)OlFKHÃDEñÃDOOHUGLQJVÃLQ
HLQHUÃ HLQIDFKÃ ]XÃ EHUVHKHQGHQÃ :HLVHÃ (VÃ LVWÃ LQYDULDQWÃ XQWHUÃ SRVLWLYHP
3DUDPHWHUZHFKVHOÃ GHWÃ 7µ!Ã XQGÃ lQGHUWÃ GDVÃ 9RU]HLFKHQÃ EHLÃ QHJDWLYHP
3DUDPHWHUZHFKVHOÃGHWÃ7µ
∫
K
∫
K
∫
K

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 3 Der Stokessche Integralsatz im R 3
'LHVHUÃ I UÃ GLHÃ 0DWKHPDWLNÃ XQGÃ 3K\VLNÃ ZLFKWLJHÃ 6DW]Ã HUODXEWÃ HVÃ JHZLVVH
2EHUIOlFKHQLQWHJUDOHÃGXUFKÃ.XUYHQLQWHJUDOHÃDXV]XGU FNHQÃ:LUÃSUlVHQWLHUHQÃGHQÃ6DW]
YRQÃ6WRNHVÃLQÃ HLQHUÃ VHKUÃ HLQIDFKHQÃ )RUPÃ GLHÃ MHGRFKÃ I UÃ GLHÃ 3UD[LVÃ LQÃ YLHOHQÃ )lOOHQ
DXVUHLFKW
(5.11) Satz: (Stokes):
Sei S eine reguläre Fläche im Raum mit einem Parameterbereich K`R 2 , der ein
Normalbereich bzgl. x und bzgl. y ist, und einer Parameterdarstellung p: UrKtR 3 ,
die auf der offenen Menge U zweimal stetig differenzierbar ist. Der Rand Rd K von K
werde durch eine stückweise stetig differenzierbare Parameterdarstellung »: [a,b]tR 2
so paramterisiert, daß er positiv orientiert ist. Sei f: V`R 3 tR 3 ein stetig
differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge V`R 3 mit p(K)`V. Dann gilt
∫ < f, n > dσ
= ∫ < f, dτ
>
S
∂p
∂p
⎛ ∂p
∂p
⎞
rot , wobei n:= × ⎜ × ⎟
∂s
∂t
⎝ ∂s
∂t
⎠
po
γ
−1
(*)
Bemerkungen:
∂p(s,
t) ∂p(s,
t)
rot d σ d(
s,
t)
, läßt sich die Beziehung
∂s
∂t
∫ ∫
× >
1) Da < f, n > = < rot f( p(s, t) ),
S
K
∂p(s,
t) ∂p(s,
t)
∫ d < f, dτ
>
∂s
∂t
(*) schreiben in der Form < rot f( p(s, t) ),
× > ( s,
t)
= ∫
K
⎛ ∂f
3
∂f
2
∂f1
∂f
3
∂f
2
∂f1
⎞
2) Da rot f =
⎜ − , − , −
⎟ , läßt sich (*) auch schreiben in der Form
⎝ ∂x
2
∂x
3
∂x
3
∂x
1
∂x
1
∂x
2 ⎠
⎛ ∂f
3
∂f
2
⎞
⎛ ∂f1
∂f
3
⎞ ⎛ ∂f
2
∂f1
⎞
∫ ⎜ −
⎟ dx ∧ +
⎜ −
⎟ ∧ +
⎜ −
⎟
2
dx3
dx3
dx1
dx1
∧ dx2
= ∫ < f, dτ
>
⎝ ∂x
∂x
⎠
⎝ ∂x
∂x
⎠ ⎝ ∂x
∂x
S 2 3
3 1
1 2 ⎠
poγ
po
γ
Beweis des Satzes von Stokes:
Wir beginnen mit dem Kurvenintegral. Mit p=(p 1 ,p 2 ,p 3 )=p(s,t) und »=(» 1 , » 2 )= »(t) ergibt
b
sich < f, dτ
> = < f ( p( γ ( τ )
),
p( γ ( τ ))
d
d
p
τ
∫ ∫
>
poγ
d
⎜
⎝ dτ
a
d
dτ
d
dτ
d
dτ
dτ
, wobei
⎛
⎞
( γ ( τ )) = p ( γ ( τ )),
p ( γ ( τ )),
p ( γ ( ))⎟ ⎠
Nun gilt für j c {1,2,3}
d
p
dτ
j
( γ ( τ ))
1 2
3
τ
( γ ( τ )) ∂p
( γ ( τ ))
∂p
j
j
= γ
1’(
τ ) + γ
2
’( τ)
, so daß
∂s
∂t
.

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
mit ( )
( ) ( )
∫
∫
∫ =
>
<
=
b
a
p
p
j
d
d
dx
τ
τ
γ
τ
τ
γ
τ
γ
γ
)
(
p
d
d
)
(
p
f
,
e
f
:
f
j
j
j
j
j
o
o
(e j sei der j-te kanonische Einheitsvektor)
und mit der Abkürzung
p
f
:
f
~
j
j
o
= dann gilt:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
∫
∫
∫
⎟ ⎟ ⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
=
b
a
b
a
p
j
d
d
dx
τ
τ
γ
τ
γ
τ
γ
τ
γ
τ
γ
τ
τ
γ
τ
τ
γ
γ
)
’(
t
)
(
p
)
’(
s
)
(
p
)
(
f
~
)
(
p
d
d
)
(
f
~
f 2
j
1
j
j
j
j
j
o
∫ >
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
<
=
γ
dτ
,
t
p
,
s
p
f
~ j
j
j
Nach dem Gaußschen Integralsatz in der Ebene (5.3) gilt aber
∫
∫
⎟ ⎟ ⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
> =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
<
K
t
s
d
d )
,
(
s
p
f
~
t
t
p
f
~
s
,
t
p
f
,
s
p
f
~ j
j
j
j
j
j
j
j
γ
τ .
Wir formen nun den Integranden des letzten Integrals um. Die partiellen Ableitungen zweiter
Ordnung von p j sind stetig, somit erhalten wir
t
p
t
f
~
t
p
s
f
~
t
s
p
f
~
t
p
t
f
~
t
s
p
f
~
t
p
s
f
~
s
p
f
~
t
t
p
f
~
s
j
j
j
j
j
2
j
j
j
j
2
j
j
j
j
j
j
j
∂
∂
⋅
∂
∂
−
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
∂
−
∂
∂
⋅
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
Die Kettenregel liefert für
s
f
~
j
∂
∂
und
t
f
~
j
∂
∂
die Gleichungen
s
p
x
f
s
p
x
f
s
p
x
f
s
f
~
3
3
j
2
2
j
1
1
j
j
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
t
p
x
f
t
p
x
f
t
p
x
f
t
f
~
3
3
j
2
2
j
1
1
j
j
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
Mit ihnen folgt für j c {1,2,3,}
s
p
t
p
x
f
t
p
x
f
t
p
x
f
t
p
s
p
x
f
s
p
x
f
s
p
x
f
s
p
t
f
~
t
p
s
f
~
j
3
3
j
2
2
j
1
1
j
j
3
3
j
2
2
j
1
1
j
j
j
j
j
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
s
p
t
p
t
p
s
p
x
f
s
p
t
p
t
p
s
p
x
f
s
p
t
p
t
p
s
p
x
f
j
3
j
3
3
j
j
2
j
2
2
j
j
1
j
1
1
j
Insbesondere gilt für j=1:
31
3
1
12
2
1
1
1
3
3
3
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
J
det
x
f
J
det
x
f
t
p
s
p
t
p
s
p
det
x
f
t
p
s
p
t
p
s
p
det
x
f
s
p
t
f
~
t
p
s
f
~
∂
∂
+
∂
∂
= −
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Zusammengefaßt ist also für j=1
∂
∂
⎛~
⎜ f
s ⎝
∂p
und damit
∫
f
1
poγ
⎞ ∂ ⎛~
∂p
⎞
−
⎠ ⎝ ⎠
∂f
∂f
1
1
1
1
1 ⎟ ⎜ f1
⎟ = − det J12
+ det J
31
∂t
∂t
∂s
∂x
2
∂x
3
⎛ ∂f1
∂f1
⎞
∂f1
∂f1
dx ∫
⎜
⎟
1
= − det J12
+ det J
31
d(
s,
t)
= ∫ − dx1
∧ dx2
+ dx3
∧ dx1
⎝ ∂x
∂ ⎠
∂
∂
K 2
x
3
x
S 2
x
3
In entsprechender Weise erhält man für j=2 bzw. j=3
∫
f
2
poγ
∫
f
3
poγ
∂f
2
∂f
2
dx2
= ∫ − dx2
∧ dx3
+ dx1
∧ dx2
∂x
∂x
S
3
∂f
3
∂f
3
dx3
= ∫ − dx3
∧ dx1
+ dx2
∧ dx3
∂x
∂x
S
1
2
1
Die Addition der letzten drei Gleichungen liefert dann die gewünschte Behauptung.
q.e.d.
'LHÃ SK\VLNDOLVFKHÃ ,QWHUSUHWDWLRQÃ GHVÃ 6DW]HVÃ YRQÃ 6WRNHVÃ NDQQÃ ZLHÃ IROJWÃ DQJHJHEHQÃ ZHUGHQÃ ,PÃ )DOOHÃ HLQHU
VWU|PHQGHQÃ )O VVLJNHLWÃ PLWÃ GHPÃ *HVFKZLQGLJNHLWVIHOGÃ YÃ R 2 tR 2 Ã EHVFKUHLEWÃ GDVÃ ,QWHJUDOÃ
∫ < v, dt > Ã GLH
S r (a)
=LUNXODWLRQÃYRQÃYÃLQÃ6 U DÃHLQÃ0D‰ÃGDI UÃZLHÃVHKUÃGLHÃVWU|PHQGHÃ)O VVLJNHLWÃLQÃGHUÃJHJHEHQHQÃ5LFKWXQJÃXPÃGHQ
.UHLVÃ . U D`R 2 Ã URWLHUWÃ 'HUÃ 6DW]Ã YRQÃ 6WRNHVÃ EHVDJWÃ GDQQÃ 'LHÃ =LUNXODWLRQÃ HQWODQJÃ HLQHUÃ .XUYHÃ GLHÃ HLQ
)OlFKHQVW FNÃ XPIOLH‰WÃ LVWÃ JOHLFKÃ GHPÃ ,QWHJUDOÃ
EHUÃ DOOHÃ :LUEHOVWlUNHQÃ DXIÃ GHPÃ )OlFKHQVW FNÃ RGHU
XPJDQJVVSUDFKOLFKÃDXVJHGU FNWÃ'LHÃ8PVWU|PXQJÃHLQHUÃ)OlFKHÃ=LUNXODWLRQÃJHQDQQWÃUHVXOWLHUWÃDXVÃGHQÃ:LUEHOQ
LQÃGHQÃ3XQNWHQÃGHUÃ)OlFKH

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
§ 4 Der Gaußsche Integralsatz im R 3
Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene (Satz (5.3)) ermöglicht es, gewisse Integrale über
ebene Bereiche in Kurvenintegrale, also in Integrale über den Rand des Bereiches, zu
verwandeln. Der Gaußsche Integralsatz
im R 3 leistet Ähnliches: er lehrt, wie man Integrale bestimmter Bauart über räumliche
Bereiche durch Integrale über den Rand des Bereiches, also durch Oberflächenintegrale
berechnen kann. Physikalisch gesehen läßt er dieselbe Interpretation zu wie für ebene
Bereiche: die per saldo aus einem beschränkten Gebiet des Raumes heraustretende
Flüssigkeitsmenge wird im Inneren des Gebietes produziert und ist deshalb gleich dem
Integral der (sich örtlich verändernden) Volumenintensität..
Wir formulieren den Gaußschen Integralsatz für sehr einfach zu beschreibende Gebiete im
Raum, die wir im folgenden etwas genauer beschreiben wollen:
6HLÃ .`R 2 Ã HLQHÃ NRPSDNWHÃ -RUGDQPH‰EDUHÃ 7HLOPHQJHÃ XQGÃ TÃ 8tR 2 Ã HLQHÃ & )XQNWLRQÃ DXIÃ HLQHUÃ RIIHQHQ
0HQJHÃ8ÃPLWÃ.`8Ã:LUÃQHQQHQÃTÃHLQHÃ6XEVWLWXWLRQVIXQNWLRQÃI UÃ.ÃZHQQÃT.`R 2 Ã-RUGDQPH‰EDUÃLVWÃXQGÃI U
MHGHÃ VWHWLJHÃ )XQNWLRQÃ IÃ T.t RÃ Ã GLHÃ 6XEVWLWXWLRQVUHJHO
∫ f(x , x
2
) ( x1,
x2
) = ∫
( q(s, t) )
d f det q’(s, t) d(
s,
t)
1 ÃJLOW
q(K)
K
:LUÃ HUNOlUHQÃ QXQÃ ZDVÃ ZLUÃ XQWHUÃ HLQHPÃ & 1RUPDOEHUHLFKÃ E]JOÃ GHUÃ [ [ (EHQHÃ HQWVSUHFKHQGÃ GHUÃ [ [ (EHQH
E]ZÃGHUÃ[ [ (EHQHÃYHUVWHKHQÃZROOHQ
(5.12) Definition: Seien p j : K j tR 3 mit p j =(p j,1 ,p j,2 ,p j,3 )=p j (s,t) für (s,t) c K j Parameterdarstellungen
zweier Flächen S j mit den Parameterbereichen K j , j c {1,2}. Die Flächen
S j haben die Eigenschaften:
1) für j c {1,2} ist q j : K j tR 2 mit q j (s,t)=(p j,1 (s,t) , p j,2 (s,t)) eine Substitutionsfunktion
für K j
2) det q 1 ‘0 überall mit Ausnahme einer Jordanschen Nullmenge
3) es gilt R 2 rK:=q 1 (K 1 )=q 2 (K 2 )
4) Rd K ist eine stückweise glatte Kurve in der x 1 x 2 -Ebene
5) Für j c {1,2} gebe es stetige Funktionen w j : KtR, so daß für alle (s,t) c K j gilt:
p j,3 (s,t) = w j (p j,1 (s,t) , p j,2 (s,t))
6) für alle (x 1 ,x 2 ) c K gilt w 1 (x 1 ,x 2 )[w 2 (x 1 ,x 2 )
Dann heißt die Menge V:={(x 1 ,x 2 ,x 3 ) c R 3 : w 1 (x 1 ,x 2 )[x 3 [w 2 (x 1 ,x 2 )} ein
C 1 -Normalbereich bezüglich der x 1 x 2 -Ebene mit den erzeugenden Flächen S 1 und
S 2 , S 1 =p 1 (K 1 ) heißt der untere Deckel von V und S 2 =p 2 (K 2 ) der obere Deckel von V.
Beispiele:
1) Sei Q=[a 1 ,b 1 ] % [a 2 ,b 2 ] % [a 3 ,b 3 ] ein achsenparalleler Quader. Die erzeugenden Flächen S 1
und S 2 werden beschrieben durch die Parameterdarstellungen
p 1 : K 1 :=[a 1 ,b 1 ] % [a 2 ,b 2 ]tR 3 mit p 1 (s,t):=(s,t,a 3 )
p 2 : K 2 :=[a 1 ,b 1 ] % [a 2 ,b 2 ]tR 3 mit p 2 (s,t):=(s,t,b 3 )
p j , j c {1,2} ist die konstante Funktion auf [a 1 ,b 1 ] % [a 2 ,b 2 ] mit w 1 (s,t)=a 3 und w 2 (s,t)=b 3 .

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
2) Die Kugeloberfläche S R (0) hat die erzeugenden Flächen S 1 und S 2 , beschrieben durch die
Parameterdarstellungen
⎡ π ⎤
p 1 : K 1 :=[0,2o] %
⎢ − , 0
⎣ 2 ⎥t R 3 mit p 1 (s,t):=(R$cos(s)$cos(t) , R$sin(s)$cos(t) , R$sin(t))
⎦
⎡ ⎤
p 2 : K 2 :=[0,2o] %
⎢0,
π
⎣ 2 ⎥t R 3 mit p 2 (s,t):=(R$cos(s)$cos(t) , R$sin(s)$cos(t) , R$sin(t))
⎦
2 2
Die Funktionen w j , j c {1,2}, sind definiert auf dem Kreis x 1 + x 2 [ R 2 durch
w j (x 1 ,x 2 ):=(-1) j $
R
2
− x − x .
2
1
2
2
Nach diesen Vorbereitungen formulieren wir
(5.13) Satz: (Gaußscher Integralsatz, Divergenztheorem):
Sei B ein C 1 -Normalbereich bzgl. aller Koordinatenebenen. Sei f: UtR 3 ein stetig
differenzierbares Vektorfeld auf U mit B`U. Dann gilt
∫ div f d(
x1 , x2
, x3
) = ∫ < f, n > dσ
, wenn S der Rand von B und n die äußere Normale
B
S
von S ist.
Beweis:
∂f1
∂f
2
∂f
3
Da div f = + + , zeigen wir nur, daß
∂x
1
∂x
2
∂x
3
∂f
3
∫ d(
x1,
x2
, x3
) = ∫ f
3
dx1
∧ dx2
.
∂x
B
3
Durch analoge Überlegungen erhalten wir
∫
B
∫
B
∂f
∂x
∂f
∂x
2
1
2
1
d(
x1,
x2
, x3
) = f
2
dx3
∧ dx1
S
∫
S
∫
und
d(
x1
, x2
, x3
) = f1
dx2
∧ dx3
, da B ein Normalbereich bzgl. aller Koordinatenebenen ist
S
∫
B
∂f
3
∂x
3
ϕ
⎛
2 (x1,x
2 )
∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎞
⎜
∂f
3
d ( x1,
x2
, x3
) =
dx3
d(
x1
, x2
)
⎜
⎝
∂x
K ϕ1
(x1,x
2 ) 3 ⎠
x , x , ϕ (x , x ) d(
x , x ) f x , x , ϕ (x
( ) ( , x ))
= ∫ f
1 2 2 1 2 1 2
− ∫
K
3 3 1 2 1 1 2
d(
x1,
x2
)
K

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
Da q 2 : K 2 tR 2 eine Substitutionsfunktion mit det q 2 ‘>0 (bis auf eine Jordan-Nullmenge) ist,
gilt
∫ f
3( x
1,
x
2
, ϕ
2
(x1,
x
2
)) d(
x1,
x2
) = ∫ f
3( x
1,
x
2
, ϕ
2
(x1,
x
2
))
d(
x1,
x2
)
K
=
=
=
q2
(K 2 )
∫
K 2
∫
K 2
∫
K 2
f
f
f
( q (s, t), ϕ ( q (s, t)
)
3 2
2 2
det q
2
’(s, t) d(
s,
t)
( p (s, t) )
⎛ ∂p
⎜
det⎜
∂s
⎜ ∂p
⎜
⎝ ∂s
2,1
∂p
2,1
∂t
∂p
∂t
⎞
⎟
⎟ d(
s,
t
⎟
⎟
⎠
3 2
)
2,2 2,2
3
dx
Entsprechend erhält man wegen det q 1 ‘

,QWHJUDWLRQVWKHRULH
6HLWHÃ
∫
B
∂f
3
∂x
3
d ( x , x , x ) = f dx ∧ dx .
1
2
3
∫
S
3
1
2
Summation liefert
∫ div f d(
x1
, x2
, x3
) = ∫ f1
dx2
∧ dx3
+ f
2
dx3
∧ dx1
+ f
3
dx1
∧ dx2
= ∫ < f, n >
B
S
S
dσ
nach den Bemerkungen im Anschluß des Satzes von Stokes.
q.e.d.