Homologie II: Abbildungen

Abschnitt 14
Homologie II: Abbildungen
Die Homologie eines Simplex
Wir wollen für n ≥ −1 mit ∆ n auch den abstrakten Simplizialkomplex
P({0, . . . , n}) bezeichnen und setzen d∆ n := ∆ n \ {{0, . . . , n}}. Wie bereits
bemerkt ist |∆ n | ≈ ∆ n ≈ D n und |d∆ n | ≈ d∆ n ≈ S n−1 .
Da ∆ n für n ≥ 0 zusammenziehbar ist und die ˜H r ({Ø, {0}}) = ˜H r (∆ 0 ) =
0 für alle r (Nachrechnen!), erwarten wir ˜H r (∆ n ) = 0 für alle r. Dies ist
unser erstes Resultat.
14.1 Proposition. Sei S ein Simplizialkomplex und sei v ∈ V (S), so dass
σ ∪ {v} ∈ S für alle σ ∈ S. (Wir sagen, S sei ein Kegel mit Spitze v.) Dann
ist ˜H r (S) = 0 für alle r.
Beweis. Wir müssen zeigen, dass jeder r-Zykel Rand einer (r + 1)-Kette ist.
Dazu definieren wie für alle r ≥ −1 eine lineare Abbildung
K r : ˜Cr (S) → ˜C r+1 ,
{
[v, u 0 , . . . , u r ], v /∈ {u 0 , . . . , u r } ,
[u 0 , . . . , u r ] ↦→
0, v ∈ {u 0 , . . . , u r } .
Diese ist wohldefiniert, da die Definition mit Permutationen verträglich ist.
Wir setzen außerdem K r = 0 für r < −1.
Dann gilt für alle r ∈ Z, dass
d r+1 K r + K r−1 d r = id ˜Cr(S) .
In der Tat haben wir für r ≥ 0 und v /∈ {u 0 , . . . , u r }
dK[u 0 , . . . , u r ] = d[v, u 0 , . . . , u r ]
r∑
= [u 0 , . . . , u r ] + (−1) i+1 [v, u 0 , . . . , ˆv i , . . . , v r ]
i=0
= [u 0 , . . . , u r ] − Kd[u 0 , . . . , u r ].
1

2 14. Homologie II: Abbildungen
und für v = u j
Kd[u 0 , . . . , u r ] = Kd[u 0 , . . . , u j−1 , v, u j+1 , . . . , u r ]
und schließlich für r = −1
= (−1) j K[u 0 , . . . , û j , . . . , u r ]
= (−1) j [v, u 0 , . . . , û j , . . . , u r ]
= [u 0 , . . . , u j−1 , v, u j+1 , . . . , u r ]
= [u 0 , . . . , u r ] − dK[u 0 , . . . , u r ]
dK[] = d[v] = [] = [] − Kd[].
Man mache sich klar, dass obige Rechnung auch für r = 0 korrekt war, und
wo sie für C(S) an Stelle von ˜C(S) falsch gewesen wäre, beziehungsweise,
was dort das Ergebnis gewesen wäre.
Ist also [c] ∈ ˜H r (S), das heißt c ∈ ˜C r (S) und dc = 0, so ist c =
d r+1 (K r (c)) + K r−1 (d r (c)) = d r+1 (K r (c)) ein Rand, also [c] = 0. □
14.2 Korollar. ˜Hr (∆ n ) = 0 für n ≥ 0, r ∈ Z. □
14.3 Proposition. Für n ≥ 0 ist
˜H k (d∆ n ) ∼ =
{
0, k ≠ n − 1,
R, k = n − 1,
wobei ˜Hn−1 (d∆ n ) von [d n [0, . . . , n]] erzeugt wird.
Beweis. Für k < n − 1 ist ˜H k (d∆ n ) = ˜H k (∆ b ) = 0, für k > n − 1 ist
˜C k (d∆ m ) = 0, also ˜H k (d∆ n ) = 0.
Da ˜C n+1 (∆ n ) = 0, ist ˜H n (∆ n ) = ker d ˜C(∆ n )
n . Da ˜H n (∆ n ) = 0, ist also
d ˜C(∆ n )
n injektiv. Da ˜H n−1 (∆ n ) = 0, ist ker d ˜C(∆ n )
n−1 = im d ˜C(∆ n )
n .
Da ˜C n (d∆ n ) = 0, ist ˜H n−1 (d∆ n ) = ker d ˜C(d∆ n )
n−1 . Nun ist ker d ˜C(d∆ n )
n−1 =
ker d ˜C(∆ n )
n−1 , also nach dem vorhergehenden d n : ˜Cn (∆ n ) → ˜Z n−1 (d∆ n ) =
˜H n−1 (d∆ n ) ein Isomorphismus.
□
Simpliziale Abbildungen und Kettenabbildungen
Bei der Betrachtung der Fundamentalgruppe war es wesentlich, dass eine stetige
Abbildung zwischen Räumen einen Gruppenhomomorphismus zwischen
den Fundamentalgruppen induziert. Da wir Homologie für Simplizialkomplexe
definiert haben, betrachten wir eine geeignete Klasse von Abbildungen
zwischen ihnen.

Simpliziale Abbildungen und Kettenabbildungen 3
Simpliziale Abbildungen
14.4 Definition. Es seien S, T abstrakte Simplizialkomplexe. Eine simpliziale
Abbildung f : S → T ist eine Funktion f : V (S) → V (T ) mit f[σ] ∈ T
für alle σ ∈ S.
Wir werden zuerst beschreiben, wie eine simpliziale Abbildung zwischen
Simplizialkomplexen eine stetige Abbildung zwischen den Realisierungen
induziert.
Definieren wir, etwas allgemeiner als oben, für eine endliche Menge σ und
v ∈ σ den Punkt e v ∈ ∆ σ durch
(e v ) u :=
{
1, u = v,
0, u ≠ v,
so hat jeder Punkt x ∈ ∆ σ eine eindeutige Darstellung x = ∑ v∈σ λ ve v ,
und es ist ∑ v λ v = 1 und λ v ≥ 0 für alle v ∈ σ. (Selbstverständlich ist
λ v = x v .) Sind nun y v ∈ Y , v ∈ σ, Punkte in einer konvexen Teilmenge Y
eines euklidischen Raumes (zum Beispiel kann Y ein anderer Simplex sein),
so definiert dies eine stetige Abbildung
∑
∆ σ → Y
v∈σ
λ v e v ↦→ ∑ v∈σ
λ v y v
Aus solchen Abbildungen werden wir Abbildungen zwischen triangulierten
Räumen zusammensetzen.
14.5 Definition und Proposition. Es seien S, T abstrakte Simplizialkomplexe
und f : S → T eine simpliziale Abbildung. Dann wird eine stetige
Abbildung |f|: |S| → |T | dadurch definiert, dass
|S|
∆ σ
χ S σ
|f|
P
v∈σ λvev↦→P v∈σ λve f(v)
χ T f[σ]
|T |
∆ f[σ]
für alle σ ∈ S kommutiert.
Dies verallgemeinert die Konstruktion aus Proposition 12.7, wo f eine
Inklusionsabbildung war.
Beweis. Die Abbildung ist eindeutig definiert, da |S| = ⋃ σ∈S im χ σ. Sie ist

4 14. Homologie II: Abbildungen
wohldefiniert, da für τ ⊂ σ ∈ S das Diagramm
∆ σ
∆ τ i σ τ
P
v∈σ λvev↦→P v∈σ λve f(v)
i f[σ]
f[τ]
P
v∈τ λvev↦→P v∈τ λve f(v)
∆ f[σ] χ T f[σ] |T |
∆ f[τ]
χ T f[τ]
(14.1)
kommutiert. Sie ist stetig, da alle Kompositionen |f| ◦ χ σ für σ ∈ S stetig
sind.
□
14.6 Proposition. Es seien S, T , K abstrakte Simplizialkomplexe und
f : S → T , g : T → K simpliziale Abbildungen. Dann gilt:
(i) id V (S) =: id S : S → S ist eine simpliziale Abbildung.
(ii) g ◦ f : S → K ist eine simpliziale Abbildung.
(iii) |g ◦ f| = |g| ◦ |f|.
Kettenabbildungen
Wir werden beschreiben, wie eine simpliziale Abbildung lineare Abbildungen
zwischen den Homologiegruppen induziert. In einem Zwischnschritt werden
wir eine Abbildung zwischen den simplizialen Kettenkomplexen definieren.
Die entsprechende Art von Abbildungen definieren wir nun
14.7 Definition. Es seien C, D R-Kettenkomplexe. Eine Kettenabbildung
f : C → D ist ein System von R-linearen Abbildungen (f i : C i → D i ) i∈Z , so
dass
C i
f i
D i
d
□
d
C i−1
f i−1
D i−1
für alle i ∈ Z kommutiert.
14.8 Definition und Proposition. Ist f : C → D eine Kettenabbildung,
so definiert
H i (f): H i (C) → H i (D)
für alle i ∈ Z eine R-lineare Abbildung.
[c] ↦→ [f i (c)]

Simpliziale Abbildungen und Kettenabbildungen 5
Beweis. Wir müssen nur sicherstellen, dass die Abbildung wohldefiniert ist.
Sei c ∈ C i ein Zykel, also dc = 0. Dann ist d i (f i c) = f i−1 (d i c) = f i−1 (0) = 0,
also ist f i (c) ein Zykel und repräsentiert ein Element von H i (D).
Sei c ′ ∈ C i ein weiterer Zykel, [c ′ ] = [c]. Dann existert ein d ∈ C i+1 , so dass
c ′ = c + d i+1 d. Es ist dann f i (c ′ ) = f i (c) + f i (d i+1 d) = f i (c) + d i+1 (f i+1 (d)),
also [f i (c ′ )] = [f i (c)].
□
14.9 Definition und Proposition. Es sei f : S → T eine simpliziale
Abbildung. Dann definiert
˜C k (f): ˜Ck (S) → ˜C k (T )
{
[f(u 0 ), . . . , f(u k )], #{f(u 0 ), . . . , f(u k )} = k + 1,
[u 0 , . . . , u k ] ↦→
0, sonst
eine Kettenabbildung ˜C(f): ˜C(S) → ˜C(T ) und damit lineare Abbildungen
˜H(f) := H k (C(f)): ˜Hk (S) → ˜H k (T ) für alle k ∈ Z.
Ebenso definieren wir C(f): C(S) → C(T ), H(f): H(S) → H(T ).
Beweis. Wir wollen nachrechnen, dass ˜C(f) eine Kettenabbildung ist. Wir
haben für #{f(u 0 ), . . . , f(u k )} = k + 1, dass
)
f k−1 (d k [u 0 , . . . , u k ]) = f k1
( ∑
i
(−1) i [u 0 , . . . , û i , . . . , u k ]
= ∑ i
(−1) i [f(u 0 ), . . . , ̂f(u i ), . . . , f(u k )]
= d k (f k ([u 0 , . . . , u k ])).
Ist #{f(u 0 ), . . . , f(u k )} < k, so ist offensichtlich
f k−1 (d k [u 0 , . . . , u k ]) = 0 = d k (f k [u 0 , . . . , u k ]).
Ist #{f(u 0 ), . . . , f(u k )} = k, so gibt es j < j ′ mit f(u j ) = f(u j ′) = v, und
für diese erhalten wir
f k−1 (d k [u 0 , . . . , u k ]) =
)
= f k−1
((−1) j [u 0 , . . . , û j , . . . , u k ] + (−1) j′ [u 0 , . . . , û j ′, . . . , u k ]
= (−1) j [f(u 0 ), . . . , f(u j−1 ), f(u j+1 ), . . . , f(u j ′ −1), v, f(u j ′ +1), . . . , f(u k )]
+ (−1) j′ [f(u 0 ), . . . , f(u j−1 ), v, f(u j+1 ), . . . , f(u j ′ −1), f(u j ′ +1), . . . , f(u k )]
= 0 = d k−1 (f k [u 0 , . . . , u k ]),
da die beiden Summanden durch j ′ − j − 1 Transpositionen ineinander
überführt werden, und (−1) h (−1) j′ −j−1 = −(−1) j′ , so dass sie sich wegheben.
□

6 14. Homologie II: Abbildungen
Topologische Invarianz
Homologie wird erst durch folgendes Resultat, das zu beweisen wir leider
nicht mehr die Zeit haben, wirklich nützlich.
14.10 Satz. Es ist möglich, derart jeder stetigen Abbildung f : |S| → |T |
zwischen Realisierungen von abstrakten Simplizialkomplexen eine Famile von
linearen Abbildungen H r (f): H r (S) → H r (T ) zuzuordnen, so dass folgendes
gilt.
(i) H r (f ◦ g) = H r (f) ◦ H r (g).
(ii) Ist φ: S → T eine simpliziale Abbildung und f = |φ|: |S| → |T |, so ist
H r (f) = H r (φ).
Das selbe gilt für reduzierte Homologie.
Wir nehmen dieses Resultat nun als gegeben hin.
14.11 Korollar. Ist f : |S| ≈ −→ |T | ein Homöomorphismus, so ist
ein Isomorphismus.
H r (f): H r (S) ∼ = −→ Hr (T )
14.12 Proposition. S n−1 ist kein Retrakt von D n .
Beweis. Wir gehen wie bei Proposition 9.11, dem Fall n = 2, vor, nur dass
wir Homologie an Stelle der Fundamentalgruppe benutzen.
Wir ersetzen das Paar (D n , S n−1 ) durch das homöomorphe Paar (|∆ n |, |d∆ n |),
das heißt, wir benutzen diese Triangulierung des n-Balls. Sei i: |d∆ n | → |∆ n |
die Inklusionsabbildung, und r : |∆ n | → |d∆ n−1 | eine Retraktionsabbildung,
also r ◦ i = id. Das heißt, dass das Diagramm von Räumen
|d∆ n | |∆
n |
id |d∆ n |
i
r
|d∆ n |
kommutiert. Mit Satz 14.10 erhalten wir daraus für k ∈ Z das kommutative
Diagramm
˜H k (d∆ n )
˜H k (i)
˜H k (∆ n )
˜H k (r)
˜H k (d∆ n ).
id ˜Hk (d∆ m )
Da ˜H k (D n ) = 0, ist die Komposition ˜H k (r) ◦ ˜H k (i) = id ˜Hk (d∆ n )
k = n − 1 ergibt sich ein Widerspruch zu ˜H n−1 (d∆ n ) ∼ = R.
trivial. Für
□

Kettenhomotopien 7
14.13 Satz (Brouwerscher Fixpunktsatz). Für n ≥ 0 hat jede stetige Abbildung
f : D n → D n einen Fixpunkt.
Beweis. Wie für Satz 9.12, den Fall n = 2.
□
Kettenhomotopien
Wir betrachten nun das algebraische Analogon zur Homotopie zwischen
stetigen Abbildungen. Wir beginnen mit Kettenabbildungen, die in diesem
Sinne homotop zur Nullabbildung sind.
14.14 Proposition. Es seien C, D Kettenkomplexe und (K r ) r∈Z eine Famile
linearer Abbildungen K r : C r → D r+1 . Wir setzen f r := d r+1 K r + K r−1 d r .
Dann ist f : C → D eine Kettenabbildung und H r (f) = 0 für alle r.
Beweis. Um zu sehen, dass f eine Kettenabbildung ist, berechnen wir
f r−1 d r = (d r K r−1 + K r−2 d r−1 )d r = d r K r−1 d r + K r−2 0 = d r K r−1 d r ,
d r f r = d r (d r+1 K r + K r−1 d r ) = 0K r + d r K r−1 d r = d r K r−1 d r .
Sei nun [c] ∈ H r (C). Dann ist
H r (f)([c]) = [f r (c)] = [d r+1 K r c + K r−1 d r c] = [d r+1 K r c] = 0,
da dc = 0 und jeder Rand eine triviale Homologieklasse repräsentiert.
□
14.15 Beispiel. Bei der Berechnung der reduzierten Homologie eines Kegels
S in Proposition 14.1 haben wir Abbildungen K r : ˜Cr (S) → ˜C r+1 produziert,
so dass id ˜C(S)
= dK + Kd. Es folgte, dass id ˜Hr(S) = H r(id ˜C(S)
) = 0,
also ˜H r (S) = 0.
Kettenabbildungen von C nach D bilden einen R-Modul. Wir haben
gerade einen Untermodul von Kettenabbildungen betrachtet, die wir als
äquivalent zur Nullabbildung betrachten wollen. Damit ist nun klar, wann
wir zwei Kettenabbildungen als äquivalent betrachten werden.
14.16 Definition. Es seien f, g : C → D Kettenabbildungen. Dann ist
f ≃ g genau dann, wenn Abbildungen K r : C r → D r+1 existieren, so das
dK + Kd = g − f. In diesem Fall heiße K eine Kettenhomotopie von f nach
g und f und g heißen kettenhomotop.
Kettenkomplexe C, D heißen kettenhomotopieäquivalent, C ≃ D, wenn
Kettenabbildungen f : C → D, g : D → C mit f ◦ g ≃ id D , g ◦ f ≃ id C
existieren. In diesem Fall heißt f eine Kettenhomotopieäquivalenz.
14.17 Proposition. Kettenhomotopie und Kettenhomotopieäquivalenz sind
Äquivalenzrelationen. Ist f : C → D eine Kettenhomotopieäquivalenz, so ist
H r (f): H r (C) → H r (D) für alle r ein Isomorphismus.

8 14. Homologie II: Abbildungen
Beweis. Zur Reflexivität der Kettenhomotopie bemerken wir, dass, wenn
K eine Kettenhomotopie von f nach g ist und K ′ eine von g nach h, ihre
Summe K + K ′ eine Kettenhomotopie von f nach h ist.
Um zu sehen, dass Kettenhomotopieäquivalenz reflexiv ist, zeigen wir,
dass für homotope Kettenabbildungen f, f ′ : C → D und h, h ′ : D → E auch
h ◦ f ≃ h ′ ◦ f ′ gilt. Dazu sei f ′ − f = dK + Kd und h ′ − h = dK ′ + K ′ d. Wir
setzen K ′′ = hK + K ′ f ′ . Dann ist
dK ′′ + K ′′ d = dhK + dK ′ f ′ + hKd + K ′ f ′ d
= hdK + hKd + dK ′ f ′ + K ′ df ′
= h(dK + Kd) + (dK ′ + K ′ d)f ′
= h(f ′ − f) + (h ′ − h)f ′ = h ′ f ′ − hf.
Der Rest folgt dann rein formal wie für Homotopieäquivalenz von Räumen.
Schließlich sei f ≃ g : C → D. Wir haben in Proposition 14.14 gesehen,
dass dann H r (g − f) = 0. Nun ist H r aber additiv, also ist H r (g) − H r (f) =
H r (g − f) = 0.
□
14.18 Beispiel. Es set T ein Baum und v 0 ∈ V (T ). Es sei c: T → ∆ 0 die
simpliziale Abbildung c(u) := 0 und j : ∆ 0 → T die simpliziale Abbildung
j(0) := v 0 . Es ist offenbar c ◦ j = id ∆ 0.
Bei der Beschreibung von H 1 hatten wir für einen Baum T vor Proposition
13.14 eine Abbildung K : C 0 (T ) → C 1 (T ) definiert. Nennen wir diese nun
K 0 und setzen wir K r := 0: C r (T ) → C r+1 (T ) für k ≠ 0. Wir haben dort
und
d 1 K 0 + K −1 d 0 = d 1 K 0 = −C 0 (j ◦ c) + id C0 (T )
d 2 K 1 + K 0 d 1 = K 0 d 1 = id C1 (T )
berechnet, insgesamt also (da C 0 (j ◦ c) = 0)
und damit
dK + Kd = −C(j ◦ c) + id C(T )
C(j) ◦ C(c) = C(j ◦ c) ≃ id C(T ) .
Es ist also C(c): C(∆ 0 ) → C(T ) eine Kettenhomotopieäquivalenz und
H k (c): H k (∆ 0 ) → H k (T ) ein Isomorphismus für alle k und insbesondere
H 0 (T ) ∼ = R und H k (T ) = 0 für k ≠ 0. Den nicht trivialen Fall k = 1
haben wir so ähnlich schon in Proposition 13.14 (und danach) gezeigt.