Länge (euklidische Norm) eines Vektors, Cosinussatz, Cauchy ...

Länge (euklidische Norm) eines
Vektors, Cosinussatz,
Cauchy-Schwarzsche
Ungleichung
Literatur
M.Gruber
20. Oktober 2006
[1] G.Strang, Introduction to Linear Algebra, 3rd Edition, Wellesley
Cambridge Press, 2003.
Lineare Algebra
WS 2006/2007, IFB1
Länge (euklidische Norm) eines Vektors
1. Für v ∈ R n sei ||v|| die natürliche Länge (euklidische
Norm) von v.
Wegen ||v|| 2 = v 2 1 + v 2 2 + . . . + v 2 n (Pythagoras!) ist
Beispiel.
2
4
‚
1
2
3
||v|| = √ v · v .
3
5
‚ = √ 1 2 + 2 2 + 3 2 = √ 14.
2. Für a ∈ R und v ∈ R n ist ‖av‖ = |a| ‖v‖.
3. Orthogonalität zweier Vektoren v, w ∈ R n drücken
wir durch v ⊥ w aus.
Nach Pythagoras gilt
v ⊥ w ⇔ ||v|| 2 + ||w|| 2 = ||v − w|| 2 .
Wegen
gilt damit auch
||v − w|| 2 = ||v|| 2 − 2v · w + ||w|| 2
v ⊥ w ⇔ v · w = 0 .
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Lineare Algebra
Cosinussatz
WS 2006/2007, IFB1
1. Seien v, w ∈ R n , v ≠ 0. Wir wissen (Laborübung
3):
w − cv ⊥ v ⇔ c = w · v
||v|| 2 .
Sei ∠(v, w) der von v und w eingeschlossene Winkel
≤ π.
Es ist sgn c = 1 für ∠(v, w) ∈ [0, π/2[, sgn c = 0 für
∠(v, w) = π/2 und sgn c = −1 für ∠(v, w) ∈]π/2, π].
2. Wenn w − cv ⊥ v ist, gilt
d.h.
sgn c · ||cv|| = ||w|| · cos ∠(v, w) ,
c||v|| = ||w|| · cos ∠(v, w) ,
3. Aus 1. und 2. erhält man den Cosinussatz
w · v = ||w|| · ||v|| · cos ∠(v, w) .
Lineare Algebra
WS 2006/2007, IFB1
Rechnen mit der Norm
1. Einheitsvektoren sind Vektoren der Länge 1.
Beispiel.
» 1
0–
,
» 0
1–
,
"
1
2 √
3
2
#
,
» – cos φ
sin φ
haben die Länge 1.
2. Wie normiert man einen Vektor v ∈ R n , v ≠ 0,
d.h. wie skaliert man ihn so, dass ein Einheitsvektor herauskommt?
∣ ∣∣∣
∣ ∣∣∣ 1
||v|| v ∣ ∣∣∣
∣ ∣∣∣
= 1 .
3.
||v|| = 0 ⇔ v = 0 .
4. Dreiecksungleichung:
Beweis
||v + w|| ≤ ||v|| + ||w|| .
||v + w|| 2 = ||v|| 2 + ||w|| 2 + 2v · w
≤
||v|| 2 + ||w|| 2 + 2||v|| · ||w||
4. Aus 3. folgt (wegen cos ∠(v, w) ∈ [−1, 1])
|w · v| ≤ ||w|| · ||v||
(Cauchy-Schwarzsche Ungleichung).
= (||v|| + ||w||) 2 □
5. Folgerung (“linke Seite der Dreiecksungleichung”):
| ||v|| − ||w|| | ≤ ||v − w|| .
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