Dynamische Systeme

Dynamische Systeme
Sommersemester ’08

Inhaltsverzeichnis
I Einführung 5
1 Grundlegende Beispiele für Dynamische Systeme 5
1.1 Mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Mathematisches Pendel mit Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Sphärisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Duffing Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Populationsdynamik bei nicht überlappenden Generationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Wärmeleitungs-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Differentialgleichungen mit Verzögerungsterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 Hybride Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Definition ”Dynamischer Systeme” 11
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Abstraktion der Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Eigenschaften von Flüssen 14
3.1 Periodische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Eigenschaften von Flüssen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Klassifikation von Flüssen / Dynamischen Systemen anhand von Eigenschaften 19
4.1 Definition und Eigenschaften von e At . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Beispiel für ”einfache” Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten 25
5 Die stabile/instabile Mannigfaltigkeit 25
5.1 Grundlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.3 Motivierendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Äquivalente Dynamische Systeme 30
6.1 Rektifizierung des Flusses in regulären Pkt x 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Hyperbolische Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3 Herleitung einer Partiellen DGL zur Bestimmung der invarianten Mannigfaltigkeit . . . . 34
III Zentrumsmannigfaltigkeit 36
7 Die Zentrumsmannigfaltigkeit 36
7.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2 Hintergrund und Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

IV Normalformen 42
8 Normalformen 42
8.1 Einführung/Rückblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.2 Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9 Reduktion und qualitative Analyse 47
9.1 Reduktion auf Zentrumsmannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.2 Parameterabhängige Zentrumsmannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
10 Verzweigungstheorie (dynamical system approach) 50
10.1 Ein Nulleigenwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10.1.1 Saddle-Node Bifurcation (Sattel-Knoten Verzweigung) . . . . . . . . . . . . . . . . 51
10.1.2 Transcritical Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
10.1.3 Pitchfork Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10.2 Ein Paar komplex konjugierter Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
V Das Langzeitverhalten Dynamischer Systeme 55
11 Limesmengen und Attraktoren 55
11.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11.3 Attraktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
12 Planare Systeme 58
12.1 Hauptergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
12.2 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13 Fallstudie: van der Pol-Oszillator 63
13.1 Analyse der Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
14 Invarianz - Prinzipien 66
14.1 Bestimmung positiv invarianter Mengen mittels Ljapunov-Funktion . . . . . . . . . . . . . 66
14.2 Das La Salle’sche Invarianz-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
14.3 Das ”Mazewski”-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
14.4 Anwendung von Invarianz-Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
14.5 Anwendung: Verbindungsorbits bei Reaktions-Diffusionsgleichungen . . . . . . . . . . . . 69
VI Diskrete Dynamik 72
15 Die Poincaré-Abbildung 72
15.1 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
15.2 Stabilität der periodischen Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
15.3 Poincaré-Abbildung nahe eines periodischen Orbits für autonome Systeme . . . . . . . . . 74
15.4 Die Poincaré-Abbildung einer zeitperiodischen DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

16 Diskrete Dynamische Systeme 77
16.1 Einfache Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
16.2 Allgemeine Konzeption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
16.2.1 Invariante Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
16.2.2 Zentrumsmannigfaltigkeit bei Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
16.2.3 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
16.2.4 Verzweigungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
16.3 Planare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Teil I
Einführung
Was sind Dynamische Systeme?
Womit befasst sich diese Vorlesung?
Wie ist sie aufgebaut?
Ein Dynamisches System ist ein Vorgang, der sich im Laufe der Zeit entwickelt. Es wird beschrieben
durch die zeitliche Entwicklung einer Zustandsgröße x(t) in einem Zustandsraum X.
Die allgemeine Form eines solchen Prozesses lässt sich mathematisch so schreiben:
∂x
(t) = F (x(t), t)
∂t
Zustand x(t) ∈ X Zustandsraum, F Entwicklungsprozess
1 Grundlegende Beispiele für Dynamische Systeme
(i) endlich dimensionale D.S. (Systeme GDgl.) ∂x
∂t = f (x(t)) , f : Rn =: X → R n
KDS
(ii) diskrete D.S.: x n+1 = f(x n ) (n ∈ Z)f : R n → R n DDS
Ausgehend von diesen beiden Beispielklassen werden wir die Theorie der Dynamischen Systeme entwickeln.
Sie befasst sich mit qualitativen Eigenschaften solcher Systeme mit ihrem Lösungsverhalten.
Klassifikation der Lösungsstruktur, beginnend bei speziellen Lösungen.
·Stabilitätsuntersuchungen
·invariante Mannigfaltigkeiten
·stationäre Lösungen
·periodische Lösungen
·chaotische
Konkrete Beispiele
1.1 Mathematisches Pendel
ϑ
L
¨v = −g sin(ϑ) ( )
ϑ(t)
Zustandsgröße x = ; X = R
˙ϑ(t)
2 5
m

1
¨ϑ ˙ϑ 2
= −g sin(ϑ) ˙ϑ
2
ϑ˙
2 ˙
= (− cos(ϑ)
ϑ
c
e
a
Π Π 2 Π
d
ϑ
b
(a) (stabile) stationäre Ruhelage
(b) periodische Schwingungen (zwischen den Ruhelagen −π und π um 0)
(c) ”Durchschlagen”
(d) (instabile) Ruhelagen π, −π
(e) Verbindung von 2 instabilen Ruhelagen
E = 1 ˙ϑ 2 2
+ g(1 − cos(ϑ))
Energie konstant längs Trajektorien
Bemerkung
(1) Das echte Pendel hat nur 2 Ruhelagen: 0, π
Im Phasenportrait: ∞-viele
(2) Lösungen vom Typ (c) sind periodisch, aber nicht im Phasenportrait
Deshalb: Modifikation: Identifikation von ϑ = ∧ ϑ + 2π
d.h. Phasenraum X := S 1 × R Zylinder
6

Modifikation der Darstellung unter Berücksichtigung der Energie:
Verbiege den Zylinder zu 2 Röhren.
E = T + V = 1 2 ˙ϑ 2
}{{}
kinetisch
+ g(1 − cos(ϑ))
} {{ }
potentiell
1.2 Mathematisches Pendel mit Reibung
¨ϑ = −g sin(ϑ) − a ˙ϑ
∂
∂t E = −a ˙ϑ 2 < 0
(a > 0) beschreibt die ”Stärke” der Reibung
d.h. längs Trajektorien wird Energie verbraucht. Das System ist also dissipativ.
Bemerkung Das System b) entsteht aus a) durch eine beliebig kleine Störung a ˙ϑ(a > 0)
Die Phasenbahnen von a) können nicht homöomorph auf die Phasenbahnen von b) abgebildet werden [in
a) überwiegend periodische Orbits in b) keine]
d.h. die Struktur von a) ist nicht robust gegenüber kleinen Störungen
a nicht strukturell stabil
b ist strukturell stabil
1.3 Sphärisches Pendel
Bewegung des Pendels auf S 2 := { (x, y, z)|x 2 + y 2 + z 2 = 1 }
Parametrisierung durch (ϕ, ϑ)
¨ϑ = sin ϑ(cos ϑ)( ˙ϕ) 2 + g sin ϑ
¨ϕ = −2(cos ϑ) ˙ϕ ˙ϑ
⇕
˙ϑ = λ
˙ϕ = µ
˙λ = µ 2 sin ϑ cos ϑ + g sin ϑ
˙µ = −2λµ cot ϑ
Bemerkung
Die Parametrisierung von S 2 durch (ϑ, ϕ) ist nicht eindeutig in einer Umgebung der Pole
(0, 0, ±1). Deshalb wird der Phasenraum nicht durch R 4 beschrieben. Der Phasenraum ist gegeben durch
die Menge aller Punkte im S 2 und die Menge aller Tangentenebenen an S 2 ; d.h. T S 2 -Tangentialbündel
an S 2 . Lokal T S 2 topologisch äquivalent zu R 4 7

1.4 Duffing Oszillator
Ein Duffing Oszillator mit äußerer Anregung ü + δ ˙u − u + u 3 =
eines magneto-elastischen Balkens.
γ cos(ωt) beschreibt Schwingungen
} {{ }
äußere Zwangskraft
ẋ = y
ẏ = −δy + x − x 3 + γ cos(ωz)
ż = 1
Bemerkung
Zusammenhang zwischen KDS und den DDS mittels Poincaré-Abbildung
periodisch ←→ Fixpunkt
1.5 Populationsdynamik bei nicht überlappenden Generationen
Beispiel logistische Gleichung x n+1 = λx n (1 − x n ), X = [0, 1], λ ∈ [0, 4]
weitere Beispiele
Zelldynamik: - Dynamik der einzelnen Zelle (selbsterregbare Zellen)
1.6 Wärmeleitungs-Problem
Reaktions-Diffusions-Gleichung
Eine Wärmeleitungsgleichung beschreibt die Temperaturverteilung eines Körpers durch Wärmeleitung
oder die Ausbreitung eines gelösten Stoffes durch Diffusion.
u t = ∆u + f(u)
Partielle Differentialgleichung (Parabol. Dgl.)
Bemerkung
Phasenraum ∞-dimensional.
∂u
∂t = a2 ∂2 u
∂x 2 + q(x)u
u(x, 0) = u 0 (x) Anfangsbedingung
u(0, t) = u 1 (t)
u(1, t) = u 2 (t)
8

eschreibt die Temperaturentwicklung in einem Stab der Länge 1 mit Anfangstemperatur u 0 , Randtemperaturen
u 1 (t), u 2 (t)
Bemerkung
1.) Problem ist sachgerecht gestellt für t ≥ 0 (d.h. Existenz, Eindeutigkeit, stetige Abhängigkeit)
Beispiel: für q=0, x ∈ R d.h. ∞−langer Stab
u(x, t) = 1
∞∫
2a √ π
−∞
u 0(¯x)
√
t
e − (x−¯x)
(4tu 2 ) d¯x
2.) Problem für t ≤ 0 nicht sachgerecht (”ill-post”)
Physikalischer Hintergrund: Wärmeausbreitung ist ein irreversibler Prozess
Mathematisches Beispiel
∂u
∂t = ∂2 u
∂x 2
u(x, 0) = γ sin(ωx)
0 ≤ x ≤ π
u(0, t) = u(π, t) = 0 Lösung: u(x, t) = γe −ω2t sin(ωx) =: u(x, t, γ, ω)
Keine stetige Abhängigkeit von AW für t < 0 bezüglich der Norm ‖u(x, t)‖ ∞ =
Damit:
‖u(x, t, γ, ω) − u(x, t, 0, ω)‖ ∞ = γe ω2 T
‖u(x, 0, γ, ω) − u(x, 0, 0, ω)‖ ∞ = γ
sup |u(x, t)|
x∈[0,π],t∈[−T,0]
Obwohl der Anfangszustand für kleine γ beliebig klein gemacht werden kann, sind Zustände
zur Zeit t = -T für große ω beliebig weit entfernt.
d.h. keine stetige Abhängigkeit für t ≤ 0
1.7 Differentialgleichungen mit Verzögerungsterm
˙u(t) = f (u(t − 1))
spez. ˙u(t) = u(t − 1)
Ansatz: u(t) = e λt
⇒ λe λt = e λ(t−1) = e λt e −λ
⇒ λ = e −λ charakteristische Gleichung: kein Polynom - hat ∞-viele Lösungen
Bemerkung
Phasenraum: ∞-dimensional
1.8 Hybride Probleme
a) Pendel mit Anschlag (Glocke)
9

) Kugel in Box
c) Reset
Beispiel
ẋ = 1 + x 2 \ |x| < M
x = −M \ x = M
Bemerkung
1.6 und 1.7 können auch als Dynamische Systeme aufgefasst werden, jedoch wegen des
∞-dimensionalen Phasenraumes mit fehlenden Kompaktheitseigenschaften.
Es gelten z.T. weniger Aussagen als in endlich-dimensionalen Systemen.; zudem technisch aufwändiger.
10

2 Die Definition ”Dynamischer Systeme” durch Flüsse
2.1 Einführung
Voraussetzungen
E endlich dimensionaler Banachraum über K ∈ {R, C}, D ⊆ E offen
f : D → E lipschitz-stetig
System
ẋ(t) = f (x(t)) (1) autonomes Differentialgleichungssystem
Bemerkung
Für alle ξ ∈ D existiert eine eindeutig bestimmte nicht fortsetzbare Lösung
u(t,ξ) von (1) mit u(0,ξ) = ξ, u(.,ξ): ( t − (ξ), t + (ξ) )
→ E
} {{ }
Existenzintervall
t − (ξ) := negative Fluchtzeit
t + (ξ) := positive Fluchtzeit
Definition 2.1
(i) ϕ(. . . , ξ) : (t − (ξ), t + (ξ)) → D
t ↦→ ϕ(t, ξ) := u(t, ξ) Lösung der (AWA): ẋ = f(x), x(0) = ξ
(ii) Ω(f) := {(t, x) ∈ R × D / t − (x) < t < t + (x), x ∈ D} Definitionsbereich von ϕ
Ω(f) :=
⋃ (t − (x), t + (x)) × D
x∈D
Eigenschaften von Ω(f), ϕ :
(a) Ω(f) offen in R × D
(b) ϕ : Ω(f) → D lipschitz-stetig
(c) f ∈ C m (D, E) (m ≥ 1) ⇒ ϕ ∈ C m (Ω(f), D)
(d) ϕ(0, .) = I D
(e) ϕ (t, ϕ(s, x)) = ϕ(t + s, x)∀ x∈D ∀ s∈J(x) ∀ t∈J(ϕ(s,x))
Definition 2.2 ϕ : Ω(f) → D heißt Fluss des autonomen Dgl.Systems (1)
Beispiele
(i) ẋ = A =: f(x), A konstante Matrix
E = R n
D = R n 11

t + = ∞
t − = −∞
ϕ(t, x) = Y (t) · x = e At x
Ω(f) = R × R n
(ii) ẋ = x 2 , E
{
= R
1
1 x ≠ 0
ϕ(t, x) = x −t
0 x = 0
Berechnung von t + (x), t − (x)
a) x = 0 t − (0) = −∞, t + (0) = ∞
b) x > 0 t − (x) = −∞, t + (x) = 1 x
c) x < 0 t − (x) = 1 x , t+ (x) = ∞
t
x
2.2 Abstraktion der Definition
Situation
M metrischer Raum, sodass J(x) := (t − (x), t + (x)), 0 ∈ J(x) offenes Intervall ∀ x∈M
Ω := ⋃
(J(x) × {x}) ⊆ R × M
x∈M
ϕ : Ω → M Abbildung mit:
12

(i) Ω offen in R × M
(ii) ϕ : Ω → M stetig
(iii) ϕ(0, .) = id M
(iv) ∀ x∈M ∀ s∈J(x) ∀ t∈J(ϕ(x)),s+t∈J(x) : ϕ(t, ϕ(s, x)) = ϕ(s + t, x)
Dann heißt ϕ Fluss auf M oder lokales Dynamisches System auf M.
t − (x) = negative Fluchtzeit
t + (x) = positive Fluchtzeit
Gilt Ω = R × M, dann heißt ϕ glober Fluss auf M.
D.h. t − (x) = −∞, t + (x) = ∞
∀ x∈M
Bezeichnung
ϕ(t, x) = t · x
Bemerkung
(i) Falls ϕ ein globaler Fluss ist, dann ist die Abbildung
R → M
t ↦→ t · x
stetige Operation der additiven Gruppe (R, +) auf M.
(ii) Wird der Zeitparameterbereich R durch R + ersetzt, d.h. Gruppe (R, +) durch Halbgruppe (R + , +)
so erhält man stattdessen einen ”Halbfluss”.
Definition 2.3 (Verallgemeinerung) ( Irwin)
G ∈ {R, Z} additive Gruppe
X topologischer Raum
ϕ : G × X → X Dynamisches System
:⇔ ϕ : G × X → X stetig mit: ∀ x∈X ∀ s,t∈G : ϕ(s + t, x) = ϕ(s, ϕ(t, x)), ϕ(0, x) = x
Beispiel
G = R ϕ Fluss, Kont. DS
G = Z ϕ Fluss, Diskret. DS
G = [0, ∞) oder G = N ϕ Halbfluss
Beispiel
(i) G = R, X = R, ϕ(t, x) := e t x = t · x
(ii) G = Z, X = R n , ϕ(n, x) := f n (x) := (f ◦ f ◦ . . . ◦ f)(x) = f(f n−1 (x))
Iterationsvorschrift: x n+1 = f(x n ) (n = 0, 1, . . .) AW x 0
13

3 Eigenschaften von Flüssen
ẋ = f(x), f glatt −→ Fluss ϕ(t, x) ← Lösung der Differentialgleichung mit ϕ(0, x) = x
Frage
Wann ist ϕ(t,x) ein Fluss?
Beispiele
(a) ϕ(t, x) := (1 + t) · x,
ϕ : R 2 → R
(A) ϕ(0, x) = 1 · x = x □
(B) Additionseigenschaft:
ϕ(t, x) := (1 + t)x
ϕ(s + t, x) = (1 + t + s)x ≠ ϕ (t, ϕ(s, x)) = (1 + t)(1 + s)x
kein Fluss
(b) ϕ(t, x) := e At · x
R × R n → R n
∞∑
e At (tA) j
:=
j!
j=0
= 1 + tA + t2 2 A2 + t3
3! A3 + t4
4! A4 + . . .
(A) ϕ(0, x) = e 0t x = 1 · x = x
(B) Additionstheorem für e At !
□
□
Frage
Kann man aus dem Fluss ein/das zugehörige Vektorfeld generieren?
Satz 3.1 (Zusammenhang zwischen Fluss und Vektorfeld)
Voraussetzung
f : D ⊆ E → E lipschitz-stetig, E endlich dimensionaler Banachraum, D ⊆ E offen
Behauptung
(i) Die Lösung ϕ : Ω(f) → D der (AWA) ẋ = f(x), x(0) = ξ stellt einen Fluss auf D dar. Ist K = R
und f ∈ C m (D, E)
(m ≥ 1), so ist der Fluss m-mal stetig differenzierbar.
(ii) Ist ϕ ein differenzierbarer Fluss auf D und ist ∂ϕ
∂x
lipschitz-stetig, so wird der Fluss von dem Vektorfeld
∂ ∂tϕ(0, . . .) erzeugt.
d.h. ϕ(t, x) erfüllt die Differentialgleichung ẋ = ∂ϕ
∂t
(0, x).
14

Beweis
(i) □
(ii) u(t) := ϕ(t, x)
↓
u(0) = ϕ(0, x) = x
u(t + h) − u(t) = ϕ(t + h, x) − ϕ(t, x) = ϕ(h, u(t)) − ϕ(0, u(t))
u(t+h)−u(t)
ϕ(h,u(t))−ϕ(0,u(t))
˙u(t) = lim
h→0
h
= . . . = lim
h→0
h
= ∂ϕ
∂t
(0, u(t))
Bemerkung Wird ϕ von einem Vektorfeld f erzeugt, so heißt f der infinitesimale Generator 1 des
Flusses.
Beispiel ϕ(t, x) := e tA x Bestimme f(x)!
∂ϕ
∂t (t, x) = AetA x |
∂ϕ
∂t (0, x) = Ax | (e tA −1)x
t
f(x) = lim
t→0
t · x − x
t
t→0
−−→ Ax
(c) Ω := {(t, x) ∈ R 2 /t − (x) < t < t + (x), x ∈ R}
{
{
(I) t − −∞ x ≥ 0
1
(x) :=
1
x
x < 0 , t+ x
x > 0
(x) :=
∞ x ≤ 0
{ 1
1 x ≠ 0
(II) ϕ(t, x) := x −t 0 x = 0
t
x
1 infinitesimaler Generator: wichtiger Begriff in der ”Halbgruppentheorie” für Operatoren, PDgl
15

(i) Fluss □
ϕ(t,x)−x
(ii) lim
t→0 t
= . . . = x 2 =: f(x)
Definition 3.1 X topologischer Raum
(i) g : x → [−∞, ∞] unterhalb stetig in x 0 ∈ X :⇔ ∀ ξ

(4) γ − (x) = {x}
(5) [a, b] ∈ J(x), [a, b] · x = {x}
(6) ‡ Es existiert eine Folge t j ∈ J(x) mit t j > 0, t j → 0 und t j · x = x ∀ j∈N ‡
Satz 3.3
Voraussetzung f : D → E lipschitz-stetig mit Fluss ϕ.
Behauptung x kritischer Punkt von ϕ ⇔ f(x) = 0
3.1 Periodische Lösungen
Definition 3.4 x ∈ M ist ein periodischer Punkt :⇔ ∃ T >0 mit (t+T)·x ≡ t · x ∀ t∈J(x) .
Dann heißt T Periode von x.
Satz 3.4 ϕ Fluss auf M.
a) x ∈ M periodisch ⇔ ∃ T ≠0 T · x = x
b) x ∈ M periodisch ⇒ J(x) = R
c) Ist x periodisch, also nicht kritisch, so existiert eine kleinste Periode T von x, die minimale Periode
und {T n / n ∈ Z, n ≠ 0} ist genau die Menge der Perioden.
Zusammenfassung
Voraussetzung
x
ϕ Fluss auf M, x ∈ M beliebig, ϕ x := ϕ(., x) : J(x) → M Flusslinie durch
Behauptung
Dann gilt eine der Aussagen:
(a) ϕ x ist konstant, d.h. ϕ(t, x) ≡ x
(b) ϕ x ist periodisch mit minimaler Periode T > 0
(c) ϕ x ist injektiv
konstant
periodisch
offener Orbit
3.2 Eigenschaften von Flüssen
Satz 3.5
Voraussetzung ϕ Fluss auf M.
Behauptung
17

t + (x) < ∞ ⇒ ∀ κ⊆Mkompakt ∃ tκ∈J(x)∀ t>tκ t · x /∈ κ
d.h. jeder Punkt x ∈ M mit endlicher Fluchtzeit verlässt jede kompakte Menge für immer
für t → t + (x)
Korrolar
(i) γ + (x) relativ kompakt ⇒ t + (x) = ∞
(ii) M kompakt ⇒ ϕ globaler Fluss.
18

4 Klassifikation von Flüssen / Dynamischen Systemen anhand
von Eigenschaften
Vorbereitung
Idee
Untersuchung (Versuch) bei ”einfachen” Systemen ⇒ Idee für allgemeinen Ansatz
Beispiel für ”einfache” Systeme
ẋ = Ax,
A konst, ϕ(t, x) = e t·A x
4.1 Definition und Eigenschaften von e At
Hintergrund
(1) y ′ = Ay mit A ∈ C ⇒ y(t) = e At ·x 0
}{{}
F.S.
(2) y ′ = a(t)y mit a(t)C − wertig ⇒ y(t) = e
t∫
t 0
a(s)ds
Lösung
Frage
Gilt ähnliches auch für Systeme?
Erweiterung der e-Funktion auf Matrizen
Sei B eine reelle oder komplexe Matrix und p(s) := c 0 + c 1 s + . . . + c k s k Polynom.
Formal: p(B) = c 0 1 + c 1 B + . . . + c k B k Polynom-Matrix.
p(At) = c 0 1 + c 1 At + . . . + c k t k A k
insbesondere für B = A·t
∂
∂t ↓
∂p
∂t (At) = c 1A + . . . + kc k A k t k−1 = A(c 1 + . . . + kc k A k−1 t k−1 ) = A · p ′ (At)
∑
Analog für Reihen c = ∞ c k hier wird Konvergenz vorausgesetzt (komponentenweise).
k=0
Definition 4.1 Matrizen-Reihe konvergiert (bzw. konvergiert absolut)
⇔ jede der n 2 Komponenten konvergiert (bzw. konvergiert absolut)
∑
Wenn f(s) := ∞ c k s k (|s| < r) Potenzreihe mit Konvergenzradius r,
k=0
∑
dann f(B) = ∞ c k B k konvergiert absolut, falls ‖B‖ < r mit ‖ · ‖ verträgliche Matrixnorm.
k=0
Bemerkung ‖B‖ = s < r ⇒ ‖B k ‖ ≤ ‖B‖ k = s k < r k
also nach Majorantenkriterium: (absolute) Konvergenz!
19

Anwendung
Hat f(s) Konvergenzradius r, so ist f(A·t) absolut konvergent, falls ‖A · t‖ < r ⇔ |t| <
Dann durch gliedweises Differenzieren:
∂
∂t f(A · t) = A · f ′ (At)
Beispiel f(s) = e s = 1 + s + s2 2 + . . .
(
}{{}
e At ) ′ = Ae At
Y
Y ′ = A · Y
Y (t) := e At erfüllt Dgl Y ′ = AY, Y (0) = 1
⇒ Y (t) = e At Fundamentalsystem zu
y ′ = Ay
} {{ }
System mit konstanten Koeffizienten
r
‖A‖
Satz 4.1
Voraussetzungen
A konstante quadratische Matrix
Behauptung
e At ist ein Fundamentalsystem zu y ′ = Ay
Bemerkung
t∫ t∫
e A(s)ds
ist im Allgemeinen kein Fundamentalsystem zu y ′ = A(t)y, wegen: A(t)e A(s)ds
≠
e
t∫
A(s)ds
A(t)
Bemerkung
Für die Exponential-Funktion gilt:
(a) e B+C = e B e C falls BC = CB
(b) e C−1 BC = C −1 e B C falls det c ≠ 0
(c) e diag(λ1,...,λn) = diag(e λ1 , . . . , e λn )
Folgerung
(i) (e A ) −1 = e −A
(ii) e A(s+t) = e As e At
(iii) e A+λ1 = e λ e A
Beweis
(Bemerkung)
(a) U(t) := e (B+C)t ist Lösung von U ′ = (B + C)U, U(0) = 1
V (t) := e Bt e Ct
↓
V ′ (t) = Be Bt e Ct + e Bt Ce Ct = Be Bt e Ct + Ce Bt e Ct (fallsBC = CB) = (B + C)e Bt e Ct
V (0) = 1
⇒ U und V erfüllen die selbe (AWA) y ′ = (B + C)y, y(0) = 1 ⇒ U(t) = V (t) Eindeutigkeit
20

(b) per Induktion: (C −1 BC) k = C −1 B k C (k = 0, 1, 2, . . .)
∑ 1
k! (C−1 BC) k = C −1 ( ∑ 1
k! Bk )C = C −1 BC
(c) [diag(λ 1 , . . . , λ n )] k = diag(λ k 1, . . . , λ k n)
Bemerkung Bei Matrizen A in Jordannormalform lässt sich e At einfach berechnen.
⎛
⎞ ⎛
⎞
λ 1
0 1
. .. . ..
. .. . ..
A =
= λ1 +
⎜ .
⎝ .. ⎟ ⎜ . 1 ⎠ ⎝ .. ⎟ 1 ⎠
λ
0
Beispiel y ′ = A(t)y, Frage: Ist e ∫ A(s)ds ein Fundamentalsystem? Im Allgemeinen nicht!!!
( )
( )
1 2t ∫ t
t t 2
A(t) := , B(t) := A(s)ds =
0 0
0
0 0
( ) j (
)
e B(t) ∑
= ∞ t
1 t
e t t(e t − 1)
j
j!
= . . . =
j=0 0 0
0 1
( ) )
e
B(t) ′
(e t te t + e t − 1
=
0 0
( ) (
)
B ′ (t)e B(t) 1 2t e t t(e t − 1)
=
=
0 0 0 1
(
e t
)
te t + t
0 0
Allgemein: [B(t) 2 ] ′ = B(t)B ′ (t) + B ′ (t)B(t) ≠ 2B(t)B ′ (t) falls B, B’ nicht kommutativ.
4.2 Beispiel für ”einfache” Systeme
Situation
A konstante quadratische Matrix (n×n) ⇒ n Eigenwerte
• n − Eigenwerte mit negativem Realteil - A −
• n 0 Eigenwerte mit Realteil = 0 - A 0
• n + Eigenwerte mit positivem Realteil - A +
⎛
A + 0 0
⎜
o.E. A = ⎝ 0 A − ⎟
0 ⎠
0 0 A 0 ⎞
E = E + ⊕ E − ⊕ E 0 Zerlegung in verallgemeinerte Eigenräume.
ϕ(t, x) Fluss zu e tA x
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛ ⎞
A + e A+ t
0 0
e A+t x +
⎜
A = ⎝ A − ⎟
⎠ ⇒ e At ⎜
= ⎝ 0 e A− t ⎟
⎜
0 ⎠ ⇒ ϕ(t, x) = ⎝e A−t x − ⎟
⎠
A 0 0 0 e A0 t
e A0t x 0
Der Vektorraum E und der Fluss werden zerlegt durch die direkte Summe der Eigenräume.
21

Beispiele
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1 0 0
e t x +
⎜ ⎟
⎜
(i) A = ⎝0 −1 0⎠ ⇒ ϕ(t, x) = ⎝e −t x − ⎟
⎠
0 0 0
x 0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
0.5
o
0.0
0.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
⎛ ⎞
1 0 0
(ii) A =
0 −1 0
⎜
⎝0 0 1
⎟
⎠
0 −1 0
E 0
Eigenwerte ± i
E 0 22
1
1 1
1

⎛
⎞
1 0 0 0
(iii) A =
0 −1 0 0
⎜
⎝0 0 0 1
⎟
⎠
0 0 0 0
Eigenwerte: +1, -1, 0, 0
1
1 1
1
( )
E 0 ↔ A 0 0 1
=
0 0
( ˙̂
) ( )
z 3
= A 0 z 3
⇒ z 4 = z 4 , z 3 ′ = z 4 ⇒ z 3 = z 4 t + z 3
z 4 z 4
z 4
z 3
Fazit Der Fluss ist zerlegbar in Komponenten durch die Eigenrume von A. Die Eigenräume sind
invariant.
Definition 4.2 X metrischer Raum ϕ : Ω → X Fluss auf X, M ⊆ X.
(i) M positiv invariant unter ϕ :⇔ ∀ x∈M γ + (x) ⊂ M ⇔ γ + (M) ⊆ M
(ii) M negativ invariant unter ϕ :⇔ ∀ x∈M γ + (−) ⊂ M ⇔ γ + (−) ⊆ M
(iii) M invariant unter ϕ :⇔ ∀ x∈M γ(x) ⊂ M
Beispiele
für invariante Mengen
(i) x kritischer Punkt (stat) ⇒ {x} invariant
23

(ii) Jede periodische Lösung ist invariant
(iii) Jede Trajektorie ist invariant
Beispiel
positive Invarianz: Räuber-Beute-System
y
x
positiv invariant falls das Vektorfeld auf dem Rand einwärts zeigt.
Bemerkung
(i) (M i ) i∈I Familie positiver invarianter Mengen, dann gilt ⋃ i∈I M i, ⋂ i∈I M i positiv invariant
Folgerung:
zu jeder Menge M gibt es eine kleinste positive invariante Obermenge.
(ii) M abgeschlossen, M ist positiv invariant ⇔ ∀ x∈∂M ∃ ε>0 [0, ε)x ⊂ M
d.h. in jedem Randpunkt läuft die Trajektorie nach innen.
24

Teil II
Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten
5 Die stabile/instabile Mannigfaltigkeit
5.1 Grundlage
Lineares System ẋ = Ax mit dem Fluss ϕ(t, x) = e tA x
⇓
Zerlegung von A gemäß Spektrum von A σ(A)
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞
e tA− 0 0 x −
A − 0 0
ϕ(t, x) = e tA ⎜
⎟ ⎜
x = ⎝ 0 e tA0 0 ⎠ ⎝x 0 ⎟ ⎜
⎠ ⇔ A = ⎝ 0 A 0 ⎟
0 ⎠ ⇔
0 0 e tA+ x + 0 0 A +
σ(A) = σ − (A) ∪ σ 0 (A) ∪ σ + (A)
Rλ < 0 = 0 > 0
E = E − ⊕ E 0 ⊕ E +
⎛ ⎞
−1 0 0
⎜ ⎟
Beispiel A = ⎝ 0 0 0⎠
0 0 1
Bemerkung
Übertragung
Dynamik in E 0 ist etwas komplizierter.
auf nicht lineare Systeme ẋ = f(x)
• nur lokal (in einer Umgegung um stationäre Lösungen)
Beispiel
mathematisches Pendel
y ′′ = − sin(y),
x˙
1 = x 2
x˙
2 = − sin(x 1 )
} {{ }
∼−x 1
(i) y ≡ 0 stationäre Lösung
⇓ Linearisierung in y ≡ 0
y ′′ = −y
⇕
( )
x˙
1 = x 2
0 1
A = , EW: λ 1/2 = ±i
x˙
2 = −x 1 −1 0
Gute Übereinstimmung zwischen nicht linearem und linearem System in Umgebung der
stationären Lösung y ≡ 0. Allerdings keine globale Übereinstimmung.
(ii) y ≡ π stationäre Lösung
Lin. Problem:
x˙
1 = x 2 ,
x˙
2 = x 1 , A =
( )
0 1
, EW λ 1/2 = ±1
1 0
Übereinstimmung zwischen nicht linearem und linearem System in Umgebung von y ≡ π.
25

5.2 Verallgemeinerung
ẋ = f(x) mit stationärer Lösung ¯x, das heißt f(¯x) = 0
∂f
f(x) = f(¯x + x − ¯x ) = f(¯x) +
} {{ } }{{} ∂x (¯x) (x − ¯x) + 1 ∂f 2
(¯x)(x − ¯x)
y
} {{ }
2 ∂x2 } {{ }
=0
konst. Matrix A
T.v.h.O.
ẏ = x − ˙ ¯x = ẋ = A (x − ¯x) + . . . y 2 + . . .
} {{ } } {{ }
y
TvhO
Transformiertes System: ẏ = Ay + g(y) mit g(0) = 0, ∂g
∂y (0) = 0
Ziel Vergleiche Systeme ẏ = Ay + g(y) und ẏ = Ay in einer Umgebung von y = 0.
• Information über ẏ = Ay durch 5.1: E = E − ⊕ E 0 ⊕ E + , ϕ = . . .
• Gelten ähnliche Aussagen für das nicht lineare System?
Ja, falls (vorerst): E 0 = ∅
Diskussion mit E 0 ≠ ∅ ist aufwändiger.
Beispiel für E = R ẋ = f(x) = Ax + βx 2 + γx 3 + . . .
Qualitatives Verhalten in Umgebung von x=0.
(i) A < 0 E = R, E = E −
(ii) A > 0 E = E +
(iii) A = 0 Verhalten abhängig von β, γ, . . .
Genaue Ergebnisse: Zentrumsmannigfaltigkeit
5.3 Motivierendes Beispiel
⎛
⎞
x˙
1 = −x 1
−1 0 0
x˙
2 = −x 2 + x 2 ⎜
⎟
1
⇔ A = ⎝ 0 −1 0⎠
x˙
3 = x 3 + x 2 1
0 0 1
Allgemeine Lösung:
σ(A − ) = {−1, −1}, < e 1 , e 2 >= E −
σ(A 0 ) = ∅
σ(A + ) = {1}, < e 3 >= E +
⎧
⎪⎨ x 1 (t) = ¯x 1 e −t
ϕ(t, ¯x) = x 2 (t) = ¯x 2 e
⎪⎩
−t + ¯x 1 (e −t − e −2t )
x 3 (t) = ¯x 3 e t + ¯x12
3 (et − e −2t ) = e t ( ¯x 3 + ¯x12
3 ) − ¯x12
3 e−2t
Analyse des Flusses in der Umgebung von x = 0.
Für welche ¯x gilt:
lim ϕ(t, ¯x) = 0
t→∞
bzw. lim ϕ(t, ¯x) = 0
t→−∞
⇕
⇕
¯x 3 + ¯x 1 2
3 = 0
} {{ }
Mannigfaltigkeit
¯x 1 = ¯x 2 = 0
26

Definition 5.1 M ⊆ X metrischer Raum
M n-dimensionale differenzierbare (C k −) Mannigfaltigkeit :⇔ M zusammenhängender metrischer Raum
mit offener Überdeckung {U α } das heißt M = ⋃ α
U α mit:
(i) ∀ α U α homöomorph 2 zur offenen Einheitskugel im R n
d.h. es existiert h α : U α → {x ∈ R n /‖x‖ < 1} Homöomorph.
(ii) Falls U α ∩ U β ≠ ∅ : h := h α ◦ h −1
β : h β(U α ∩ U β ) → h α (U α ∩ U β )
• differenzierbar (bzw. C k ) und
• det ∂h
∂x (x) ≠ 0 ∀ x∈h β (U α∩U β )
M heißt analytische Mannigfaltigkeit, falls h analytisch ist.
Satz 5.1 (Stabile/instabile Mannigfaltigkeit)
Voraussetzungen
D ⊆ R n offen 0 ∈ D, f ∈ C 1 (D), ẋ = f(x)
f(0) = 0, A = ∂f
∂x (0) :
mit Fluss ϕ(t, x).
Behauptung
k EW λ mit R(λ) ≤ α < 0 mit korrespondierendem Raum E −
n-k EW β mit R(β) ≥ σ > 0 mit korrespondierendem Raum E +
Existiert k-dim Mannigfaltigkeit S tangential zu E − in 0
Existiert n-k-dim Mannigfaltigkeit U tangential zu E + in 0
mit:
a) ∀ t≥0 ∀ x∈S : ϕ(t, x)
} {{ }
∈ S und lim ϕ(t, x) = 0
t→∞
S pos. invariant
b) ∀ t≤0 ∀ x∈U : ϕ(t, x) ∈ U und lim ϕ(t, x) = 0
t→−∞
Bemerkung
Definition 5.2 a
S heißt lokale stabile Mannigfaltigkeit
U heißt lokale instabile Mannigfaltigkeit
W s (0) := ⋃ ϕ(t, s) global stabile Mannigfaltigkeit
t≤0
W u (0) := ⋃ ϕ(t, u) global instabile Mannigfaltigkeit
t≥0
2 Homöomorphismus: f ist homöomorph genau dann wenn f bijektiv und stetig ist und die Umkerhfunktion ebenfalls
stetig ist.
27

Zusammenfassung
Lässt sich das Konzept der invarianten stabilen/instabilen Unterräume bei linearen
Systemen übertragen auf nicht lineare Systeme?
-Ja, falls nur stabile/instabile Räume keine neutrale Komponente.
Bemerkung
Die (lokale) Mannigfaltigkeiten S und U lassen sich darstellen als Graph geeigneter Funktionen.
φ + , φ − -
Unter ↔ Mannigfaltigkeit
stab/insab ↔ (stab/instab)
S = {(x − , φ − (x − ))/x − ∈ U − }
U − Umgebung von 0 in E −
φ − : U − → E +
U = {(x + , φ + (x + ))/x + ∈ U + }
U + Umgebung von 0 in E +
φ + : U + → E −
φ + ∂φ +
(0) = 0
∂x + (0) ≡ 0
} {{ }
AB für φ +
Beweisidee O.E. ⊛ ẋ = Ax + g(x), g C 1 , 0 = g(0), 0 = ∂g
∂x (0)
( )
P 0
A = mit σ(P ) = {λ 1 , . . . , λ k } R(λ i ) ≤ α < 0, σ(Q) = {λ k+1 , . . . , λ n } R(λ j ) ≥ σ > 0
0 Q
( ) ( )
Fluss zu ẋ = Ax : e tA e tP 0 x −
x =
0 e tQ x +
( ) ( )
( )
e P t 0 ∫ t e P (t−s) 0
∞∫ 0 0
⊛Lösung : x(t, a) = a +
g (x(s, a)) ds −
g (x(s, a)) ds ⊚
0 0 0 0 0
t 0 e Q(t−s)
Aus ⊚ folgt: ( )
1 0
∞∫
x(0, a) = a + 0 −
0 0
0
⎛ ⎞
a =
⎜
⎝
a 1
.
a k
a k+1
.
a n
=
⎟
⎠
x j (0, a) = a j ⎛
(j = 1, . . . , k)
⎞
x j (0, a) = 0 − ⎝
∫ ∞
0
( )
0 0
g (x(s, a)) ds
0 e −Qs
(
a −
a + )
, a − ∈ E − a + ∈ E +
[·]g(·)ds⎠
(j = k + 1, . . . , n)
j
=:y j
} {{ }
Wähle a j = 0, (j = k + 1, . . . , n)
28

Frage Welche AWA erfüllt die Lösung x(t,a)?
⎛ ⎞
AW:
⎜
⎝
a 1
.
a k
y k+1
.
das heißt (n-k) Gleichungen:
⎟
⎠
⎛
für n Unbekannte
⎜
⎝
a 1
.
a k
y k+1
.
⎞
⎟
⎠
y n
⎛
⎞
⎜
∞∫
⎟
y j = − ⎝ [ ]g(s, a 1 , . . . , a k , 0, . . . , 0)ds⎠
(j = k + 1, . . . , n)
0
} {{ }
k+1,...
j
↑ implizit gegebene Gleichungen.
y n
y j = y j (a 1 , . . . , a k ) ← beschreiben die stabile Mannigfaltigkeit S
Bemerkung
(i) ⊚ kann iterativ gelöst werden (Kontraktion).
(ii) Für x(t,a) gilt: ‖x(t, a)‖ ≤ 2K‖a‖e αt 29

6 Äquivalente Dynamische Systeme
Definition 6.1 topologisch äquivalent
D 1 , D 2 ⊆ R n Gebiete.
(1) ẋ = f(x), f ∈ C 1 (D 1 )
(2) ẋ = g(x), g ∈ C 1 (D 2 )
(1) heißt topologisch äquivalent zu (2) :⇔ ∃ H:D1→D 2
mit
a) H bildet Trajektorien von (1) auf Trajektorien von (2) ab.
b) Orientierung bzgl. der Zeit bleibt erhalten.
∀ x∈D1 ∃ t(x,τ) stetig differenzierbar, t(x,.): R → R,
∂t
∂x > 0
H ◦ ϕ(t(x, τ), x) = ψ τ ◦ H(x)
Modifikation Homöomorphismus ersetzen durch Diffeomorphismus bzw. analytische Abbildungen.
Achtung: Nicht besonders geeignet!
Satz 6.1 Globale Existenz eines Dynamischen Systems
Voraussetzungen f ∈ C 1 (R n )
Beispiel
Behauptung
f(x)
(i) ∀ x0∈Rn (AW A) ẋ =
1+‖f(x)‖
(3) eine global definierte Lösung x(t) : R → R
(ii) (3) ist topologisch äquivalent zu (1) auf R n
Beweis (zu (ii) )
Wähle H = Id, τ :=
∫ t
0
[1 + ‖f(x(s))‖]ds, τ ′ (t) > 0
Sei x(t) Lösung von (1), dann gilt y(τ) := x(t)
∂y
∂t = ∂x(t)
∂t
= ∂x(t)
∂t
∂t
∂τ = f(x(t)) 1
1 + ‖f(x(t))‖ = f(y(τ))
1 + ‖f(y(τ))‖
⎧
}
⎪⎨
ẋ = x 2
(−∞, 1 x 0
) x 0 > 0
⇒ x(t) =
x0
1−x
x(0) = x mit D = 0t
(−∞, ∞) x
0
⎪ 0 = 0
⎩
( 1 x 0
, ∞) x 0 < 0
topologisch äquivalentes Problem:
ẋ =
x2
1+x 2
x(0) = x 0
30

Bemerkung In Satz 6.1 f ∈ C 1 (R n )
} {{ }
auf ganz R n definiert
System mit Fluss auf ganz R n .
⇒ Dann existiert ein topologisch äquivalentes
Analog, aber technisch komplizierter, falls f ∈ C 1 (D), D R n
siehe Perko, Theorem 2, S. 187
Klassifikation des Flusses in 2 typischen Situationen:
a) in einer Umgebung regulärer Punkte ¯x, das heißt ¯x ist kein kritischer Punkt , das heißt keine stationäre
Lösung, das heißt f(¯x) ≠ 0
b) in einer Umgebung hyperbolischer Punkte
(⇒ f(x) ≠ 0 in Umgebung von ¯x)
Definition 6.2 ẋ = f(x), mit stationärer Lösung ¯x
¯x hyperbolischer kritischer Punkt :⇔ A = ∂f
∂x
(¯x) hat keine Eigenwerte auf der imaginären Achse.
Äquivalenzen von Flüssen
E ist ein endlichdimensionaler Raum, M ⊆ E offen, f ∈ C 1 (M, E), ϕ : Ω → M der von f erzeugte Fluss.
6.1 Rektifizierung des Flusses in regulären Pkt x 0
Satz 6.2
Voraussetzungen f(x 0 ) ≠ 0
Behauptung
Es gibt eine Umgebung U(x 0 ) von x 0 und eine Umgebung V(0), sodass ϕ |U und Ψ |V mit
Ψ(t, y) := y + t · e
⎛ ⎞ 1
1
0
e 1 =
⎜ ⎟
⎝.
⎠
C1 -flussäquivalent.
0
U
V
x 0
−→ e 1
φ
31

6.2 Hyperbolische Punkte
( ) ∂f
x 0 hyperbolischer Punkt f(x 0 ) = 0 und σ
∂x (x 0) ∩ i · R = ∅, das heißt es liegt kein Eigenwert von A
} {{ }
A
auf der imaginären Achse!
Satz 6.3 (Hartman, Grobman, ...)
Voraussetzungen
Behauptung
h, der den Fluss ϕ in e tA x überführt.
x 0 hyperbolischer kritischer Punkt von f
ϕ und e t ∂f
∂x (x0) x sind lokal flussäquivalent, das heißt es existiert ein Homöomorphismus
Bemerkung
(i) h kann konstruktiv (näherungsweise) bestimmt werden als Fixpunkt einer Kontraktion
}
( )
( )
ẏ = −y
y
(ii) Beispiel:
⊛ h(y, z) =
, h −1 y
(y, z) =
ż = z + y 2 z + 1 3 y2 z − 1 3 y2
( )
y
Frage Was macht die Abbildung h(x,y) mit einer Lösung (t) von ⊛?
z
( ) ( ) (
)
ỹ
y(t) y(t)
(t) := h =
˜z
z(t) z(t) + 1 3 y2 (t)
( ) ′ ( ) ( )
ỹ −1 0 ỹ
Sollte das linearisierte System = lösen.
˜z 0 1 ˜z
( )
∂
∂t
ỹ(t)
˜z(t)
Historische Bemerkungen
(
) (
ẏ(t)
=
=
ż(t) + 2 3ẏ(t)y(t)
)
−y(t)
z(t) + y 2 (t) + 2 3 y(t)(−y(t)) =
(i) Satz von Hartman-Grobman unabhängig voneinander bewiesen in 1959
(
) ( ) ( )
−y(t) −1 0 ỹ
=
z(t) + 1 3 y2 (t) 0 1 ˜z
(ii) Version mit f, h, h −1 analytisch und Elementarteiler von A einfach und diophantische 3 Bedingung:
λ j ≠ (m 1 λ 1 + . . . + m n λ n )∀ j ∀ mi≥0m 1 + . . . + m n > 1
Eigenwerte λ 1 , . . . , λ n in einer Halbebene von C. (1879 Poincaré)
(iii) Analoges Resultat von Sternberg 1957 für C 2 -Abbildung
(iv) Andere Version von Hartman: 1960
3 diophantische Gleichungen (benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophantos) sind Relationen mit ganzzahligen
Koeffizienten → hier: Resonanzbeziehung
32

Satz 6.4 (Hartman) (siehe Perko) ?
Voraussetzungen
E ⊆ R n offen, x 0 ∈ E, f ∈ C 2 (E), f(x 0 ) = 0
ϕ(t, x) Fluss zu ẋ = f(x)
A := ∂f
∂x (x 0) mit Eigenwerten λ 1 , . . . , λ n alle Eigenwerte mit negativem oder positivem Realteil.
Behauptung
Es existiert C 1 -Diffeomorphismus H in einer Umgebung U von x 0 ,
H ◦ϕ(t, x) = e At H(x).
(Bemerkung
ohne diophantische Bedingung?)
Beispiel
(
) {
e 2t z 1
ϕ(t, z) =
←−
e 4t (z 2 + tz1)
4
z˙
1 = 2z 1
z˙
2 = 4z 2 + z1
2
( ) ( )
0 2 0
, x 0 = , A = ,
0 0 4
(diophantische Bedingung: 4 = 2 · 2 + 0 = 2 λ 1 + 0λ 2 )
( )
Angenommen H erfüllt H ◦ ϕ(t, z) ≡ e tA H 1
H(z) H =
H 2
⎛
⎞
e 2t z } {{ } 1
( )
x
H ⎜
1
⎝e (z 2 + tz1)
4 ⎟
⎠ = H(ϕ(t, z)) ≡ e 2t H 1 (z)
∀
e
} {{ }
t ∀ z1,z 2 klein
H 2 (z)
x 2
insbesondere gilt es für t = 1, Identität in z 1 , z 2 in einer Umgebung von
( )
0
0
.
Falls H C 1 ist kann man anwenden auf beiden Seiten (anwenden auf die 2. Komponente).
∂
∂z 1
∂
∂z 1
(
H2 (e 2t z 1 , e 4t (z 2 + tz 4 1)) ) = ∂H 2
∂x 1
( ) ∂x 1
∂z 1
+ ∂H 2
∂x 2
( ) ∂x 2
∂z 1
= ∂H 2
∂x 1
( )e 2 + ∂H 2
∂x 2
( )e 4 · 4 · z 3 1
!
= ∂ (e 4 H 2 (z)) = e 4 ∂H 2
( )
∂z 1 ∂x 1
∀ z1,z 2 klein : ∂H2
∂x 1
( )e 2 + ∂H2
∂x 2
( )e 4 · 4 · z 3 1 = e 4 ∂H2
∂x 1
( ) insbesondere für z 1 = z 2 = 0:
Analog:
(
∂H 2
∂z 2
)
0
= 0
0
( ) ( )
( )
∂H 2 0
e 2 + ∂H 2 0
· 0 = ! e 4 ∂H 2 0
∂x 1 0 ∂x 2 0 ∂x 1 0
} {{ }
0
33

(
∂H1 ∂H 1
∂H
∂(x = ∂x 1 ∂x 2
1,x 2) ∂H 2 ∂H 2
∂x 1 ∂x 2
)|(0,0)
( )
∗ ∗
= singulär, das heißt H ist kein C 1 -Diffeomorphismus.
0 0
Ergebnis
(i) Bei hyperbolischen kritischen Punkten wird der Fluss qualitativ in einer Umgebung durch den Fluss
des linearisierten Systems beschrieben
(ii) Transformation h, im Allgemeinen nur ein Homöomorphismus, zusätzliche Glattheitseigenschaften
erfordern zusätzliche Voraussetzungen
(iii) Die (tiefer liegende) Bedeutung der diophantischen Ungleichung λ j ≠ (m 1 λ 1 +. . .+m n λ n )∀ j ∀ mi≥0m 1 +
. . . + m n > 1 wird später klar im Zusammenhang mit Normalformen.
Hier: ẋ = Ax + f(x), σ(A) ∩ i · R = ∅
Dann: Transformation so dass alle nicht linearen Terme eliminiert werden.
Wenn Resonanzen vorliegen, dann können bestimmte n-lin Terme nicht eliminiert werden.
(iv) Die Berechnung der lokalen stabilen/instabilen Mannigfaltigkeit knn iterativ erfolgen.
6.3 Herleitung einer Partiellen DGL zur Bestimmung der invarianten Mannigfaltigkeit
Situation E n-dimensionaler Raum, ẋ = f(x), f(0) = 0, E = E 1 ⊕ E 2 U Umgebung von 0 in E 1 .
Mannigfaltigkeit lokal beschreibbar als Graph von Funktionen. Sei l : U → E 2
W := {(x 1 , h(x 1 ))/x 1 ∈ U} ist eine Mannigfaltigkeit.
C 1 −Abbildung,
Forderung:
W sei invariante Mannigfaltigkeit unter Fluss von ẋ = f(x) also zum Beispiel W
stabile oder instabile lokale Mannigfaltigkeit (oder Zentrumsmannigfaltigkeit) ⎧ korrespondierend
zu E = E 1 ⊕ E
( )
x 1
⎪⎨ ẋ 1 = f 1
2
die Funktion f und die DGL zerlegen: ẋ = f(x) ⇔
(
x 2
)
x = (x 1 , x 2 )
x 1
⎪⎩ ẋ 2 = f 2
x 2
W invariant unter Fluss von ẋ = f(x) heißt:
( x(0) ∈ ) W ⇒ x(t) ∈ W
x 1 (t)
∈ W ⇔ x 2 (t) ≡ h(x 1 (t)) ∀ t∈U
x 2 (t)
⇒ ẋ 2 (t) ≡ ∂h
∂x 2
(x 1 (t))ẋ 1 (t)
( )
( )
x 1
⇒ f 2 ≡ ∂h
x 1 (t)
∂x
x 1
(x 1 (t))f 1
2 x 2 (t)
( )
( )
x 1 (t)
⇒ f 2 ≡ ∂h
x 1 (t)
∂x
h(x 1 (t))
1
(x 1 (t))f 1
h(x 1 (t))
⇒ f 2 (x 1 , h(x 1 )) ≡ ∂h
∂x 1
(x 1 )f 1 (x 1 , h(x 1 ))
∀ x1∈U
34

Identität in x 1 zur Bestimmung von h: pDGL für h, gDGL falls x 1 ∈ R, d.h.
E 1 = 1
Später bei der Bestimmung der Zentrumsmannigfaltigkeit genügt es, h approximativ
zu bestimmen bs zu einer bestimmten Ordnung (Taylor-Ansatz).
AB h(0) = 0,
∂h
∂x 1
(0) = 0
35

Teil III
Zentrumsmannigfaltigkeit
7 Die Zentrumsmannigfaltigkeit
7.1 Einführung
ẋ = f(x), o.E. f ∈ C 1 , f(0) = 0, das heißt 0 ist eine stationäre Lösung. A := ∂f
∂x (0)
¯x = 0 hyperbolisch:⇔ σ(A) ∩ i · R = ∅, das heißt es liegen keine Eigenwerte auf der imaginären Achse.
R n = E = R + ⊕ R −
Frage
Was passiert, wenn einige Eigenwerte auf der imaginären Achse liegen?
Bemerkung
stationäre Lösungen.
Beispiel
(i) ẋ = Ax
Der Satz von Hartman-Grobman ist nicht ohne weiteres übertragbar auf nicht-hyperbolische
( ) ( )
ẍ + εx 2 x˙
1 0 1
ẋ + x = 0 ⇔ =
x˙
2 −1 0
} {{ }
A
Ε ⩵ 0
x 2
( ) (
x 1
− ε
x 2
)
0
, σ(A) = {i, −i}
x 2 1x 2
x 1
(ii) ẍ + εx 2 ẋ + x = 0
x 2
Ε 0
x 2
Ε 0
x 1
x 1
Beispiel
x ∈ R
a) ẋ = x 2 0
b) ẋ = x 3 0
x
x
36

c) ẋ = −x 3 0
x
Folgerung
Linearisierung ẋ = 0 · x gibt keine Information über das nicht lineare System. Es kommt
auf die Terme von höherer Ordnung an.
⎛ ⎞
u
⎜ ⎟
Situation Betrachte das System: x = ⎝v
⎠ ∈ R n
w
⎧
⎪⎨ ˙u = A − u + R − (u, v, w)
(1) ˙v = A
⎪⎩
+ v + R + (u, v, w)
ẇ = A 0 w + R 0 (u, v, w)
⎛
⎞ ⎛ ⎞
A − 0 0 R − (x)
⎜
(1) ⎝ 0 A + ⎟ ⎜
0 ⎠ x + ⎝R + ⎟
(x) ⎠, wobei gilt:
0 0 A 0 R 0 (x)
λ ∈ σ(A − ) ⇔ R(λ) < 0
λ ∈ σ(A + ) ⇔ R(λ) > 0
λ ∈ σ(A 0 ) ⇔ R(λ) = 0
⎧
⎪⎨
R + , R − , R 0 : R n →
⎪⎩
R n−
R n+ , n − + n + + n 0 = n, C r (r ≥ 2)
R n0
U Umgebung von 0 in E − , V Umgebung von 0 in E + , W Umgebung von 0 in E 0 .
R − , R + , R 0 Terme von mindestens quadratischer Ordnung.
Satz 7.1 (stabile, instabile und Zentrumsmannigfaltigkeit)
Voraussetzung
Behauptung
Beweis
Situation wie oben
∃ h − :U→R n+ ×R n0 : h− (0) = 0
∂h −
∂u (0) = 0
∃ h + :V →R n− ×R n0 : h+ (0) = 0
∂h +
∂u (0) = 0
∃ h 0 :W →R n− ×R n+ : h0 (0) = 0
∂h 0
∂u (0) = 0
{
( ) }
W − v
= (u, v, w) ∈ R n− × R n+ × R n0 / = h − (u) lokale stabile Mannigfaltigkeit
w
{
( ) }
W + u
= (u, v, w) ∈ R n− × R n+ × R n0 / = h + (v)
w
{
( ) }
instabile Mannigfaltigkeit
W 0 = (u, v, w) ∈ R n− × R n+ × R n0 /
u
v
= h 0 (w) Zentrumsmannigfaltigkeit
W − , W + , W 0 sind invariante Mannigfaltigkeiten mit den asamptotischen Eig. von E − , E + , E 0 .
Bemerkung
skizziert für stabile Mannigfaltigkeiten
⎛
⎞
A −
x = 0 stationäre Lösung, A = ∂f
∂x (0) = ⎜
⎝ A + ⎟
⎠ falls σ(A + ) ≠ ∅, das heißt
A 0
falls A Eigenwerte mit positivem Realteil besitzt, dann existiert eine instabile Mannigfaltigkeit und deshalb
37

ist die stationäre Lösung x=0 instabil.
Für die weiteren Untersuchungen ( ) können wir uns deshalbt auf die Situation beschränken, dass A + nicht
A − 0
auftritt, also o.E. A =
0 A 0
{
˙u = A − ∂f
u + f(u, v) f(0, 0) = 0
∂(u,v)
Betrachten also: (1)
mit
(0) = 0
˙v = A 0 ∂g
v + g(u, v) g(0, 0) = 0
∂(u,v) (0) = 0 f und g Cr
Ziel
Zentrumsmannigfaltigkeit kann benutzt werden, um
(i) (1) zu reduzieren
(ii) zur Stabilitätsanalyse
Satz 7.2 (Reduktion)
(i) Es existiert eine lokale Zentrumsmannigfaltigkeit W 0 = {(u, v)/u = h(v), v klein}, wobei h(0) = 0,
∂h
∂v
(0) = 0.
(ii) Dynamik von (1) auf der Zentrumsmannigfaltigkeit ist durch das reduzierte System (2) ˙v = A 0 v +
g(h(v), v) gegeben.
Bestimmende ( ) Gleichung ( ) für h W 0 ist eine lokale invariante Mannigfaltigkeit, das heißt eine Lösung
u(t)
u
mit AW ∈ W 0 bleibt in der Mannigfaltigkeit, das heißt u(t) ≡ h(v(t))
v(t)
v
˙u(t) = ∂h (v(t)) · v(t)
∂v
A − u + f(u, v) = ∂h
∂v (v(t))A0 v + g(u, v)
A − h(v)f(h(v), v) = ∂h
∂v (v(t))(A0 v + g(h(v), v))
A − h(v) + f(h(v), v) = ∂h
∂v (v)[A0 v + g(h(v), v)]
AW h(0) = 0, ∂h
∂v (0) = 0
}
PDgl, falls v mehrdimensionaler Vektor
Gleichung für h,
in der Regel komplexes nicht-lineare Dgl,
GDgl falls v skalar
aber in relevanten Anwendungen n 0 = dimV ”klein” (1 oder 2)
Für die Praxis reicht näherungsweise Lösung durch Potenzreihenansatz.
Beispiel n = 2 , n 0 = 1, n − = 1 A =
Bestimmende Gleichung:
( ) ( )
A − 0 −1 0
:=
0 A 0 0 0
˙u = −u + uv
˙v = u 2 v + u 3
∀ v∈V
38

−h(v) + h(v)v = ∂h
∂v (v)(h2 (v)v + h 3 (v)) ⇒ h ≡ 0 oder
h ′ v−1
(v) =
vh(v)+h 2 (v) , h(0) = 0, h′ (0) = 0
Taylor-Entwicklung:
h(v) = av 2 + bv 3 + . . .
Koeffizienten a,b,c,. . . durch Vergleiche aus der Dgl bestimmen.
Satz 7.3 (Stabilität)
⎧
⎪⎨ instabil
Voraussetzung ¯v = 0 stabil
⎪⎩
asymptotisch stabil
Lösung von (2)
Behauptung
(i)
( ) ( ) ⎧ ⎪
u 0 ⎨ stabil
= instabil
v 0 ⎪ ⎩
asymptotisch stabil
Lösung von (1)
(ii) Falls ¯v = 0 stabile Lösung von (2), dann gilt: für jede Lösung (u(t),v(t)) von (1) mit ‖u(0)‖+‖v(0)‖
genügend klein gibt es eine Lösung ¯v(t) von (2) und γ > 0 mit:
u(t) = h(¯v(t)) + O(e −γt )
v(t) = ¯v(t) + O(e −γt ) (t → ∞)
Satz 7.4 (Approximation der Zentrumsmannigfaltigkeit)
Voraussetzung
ϕ : R n0 → R n−n0 C 1 mit ϕ(0) = 0, ∂ϕ
∂v (0) = 0
∃ q>1 : ∂ϕ
∂v [A0 v + g(ϕ(v), v)] − A − ϕ(v) − f(ϕ(v), v) = O(‖v‖ q ) (v → 0)
Behauptung ‖h(v) − ϕ(v)‖ = O(‖v‖ q )
7.2 Hintergrund und Anwendung
Bisher Ergebnisse zur praktischen Berechnung und Handhabung der Zentrumsmannigfaltigkeit (Satz
7.1, Satz 7.3, Satz 7.4)
Idee der Zentrumsmannigfaltigkeit
⎛
A−
⎜
ẋ = f(x) = Ax + TvhO = ⎝
A +
⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝x⎠ + TvhO
A 0
R n = R n− ⊕ R n+ ⊕ R n0 = E − ⊕ E + ⊕ E 0 n − + n + + n 0 = n
Korrespondierend zur direkten Summe R n = E − ⊕ E + ⊕ E 0 gibt es Projektionen Π − , Π + , Π 0
Π h := Π + ⊕ Π − = 1 − Π 0 hyperbolische Projektion
(Π 0 zentrale Projektion )
39

Lemma
∀ ε>0 ∃ M(ε)
‖e At Π + ‖ ≤ M(ε)e (β−ε)t ∀ t≤0
‖e At Π − ‖ ≤ M(ε)e (β−ε)t ∀ t≥0
∀ η>0 ‖e At Π 0 ‖ ≤ M(ε)e η|t| ∀ t∈R
{
}
⇒ Charakterisierung von E 0 : E 0 = x ∈ R n / sup ‖Π h (e At x)‖ < ∞
t∈R
Beispiel
⎛ ⎞
−1 0 0
⎜ ⎟
(i) A = ⎝ 0 1 0⎠
0 0 0
⎛
⎞
−1 0 0 0
(ii) A =
0 1 0 0
⎜
⎝ 0 0 0 1
⎟
⎠
0 0 0 0
E0 = R 2 - in E 0 polynomiales Wachstum abschätzbar durch e ... für t ∈ R
Definition 7.1 (Zentrumsmannigfaltigkeit)
{
}
unhandlich M c := x ∈ R n / sup ‖Π h (ϕ(t, x))‖ < ∞
t∈R
Gleichung.
formale Übertragung von E 0 auf nicht-lineare
man kann zeigen:
(i) M c invariante Mannigfaltigkeit
(ii) M c lässt sich lokal darstellen als Graph brauchbar für praktische Anwendungen
Beispiel
}
ẋ = 0
⇒ x(t) = x 0
beschränkt fpr alle t ∈ R falls y
ẏ = −y + x 2 y(t) = x 2 0 + (y 0 − x 2 0)e −t 0 = x 2 0
}
x = 0
stabiler Fixpunkt, aber nicht asymptotisch stabil.
y = 0
Bestimmung h(y)
ẋ = −x + y 2
ẏ = 0
A − h(y) + f(h(y), y) = ∂h
∂y [A0 y + g(h(y), y)]
−1h + y 2 = h ′ [0 + 0]
h(y) = y 2
40

Beispiel
ẋ = xy + ax 3 + bxy 2
ẏ = −y + cx 2
Bestimmung der lokalen Zentrumsmannigfaltigkeit als Graph (x,h(x))
Ansatz für Approximation: ϕ(x) = 0 + 0x + αx 2 + βx 3 + . . .
Dgl für ϕ : O(x 4 ) =
M(ϕ) = ϕ ′ (x)[xϕ + ax 3 + bϕ 2 x] + ϕ(x) − cx 2
= (2α + 3βx 2 + . . .)[(αx 3 + βx 4 + . . .) + ax 3 + bxα 2 x 4 + . . .] + αx 2 + βx 3 + . . . − cx 2
= 2α 2 x 4 + 3αβx 5 + (α − c)x 2 + βx 3 + O(x 4 )
Falls α = c, β = 0 dann ist M(ϕ) = O(x 4 ) ⇒ ϕ(x) = cx 2 + O(x 4 )
Anwendung
Stabilitätsuntersuchung für die stationäre Lösung x=0, y=0 durch Untersuchung
der reduzierten Gleichung des Flusses auf der Zentralenmannigfaltigkeit.
ẋ = cx 3 + O(x 4 ) + ax 3 + bc 2 x 5
ẋ = (c + a)x 3 + O(x 4 )
Falls (a+c) = 0 Pech gehabt
Falls (a+c) < → asymptotisch stabil
Falls (a+c) > → instabil
Beispiel (linear)
ẋ = −y
ẏ = x
ż = −z
⎛
⎞
0 −1 0
⎜
⎟
A = ⎝1 0 0 ⎠ , Eigenwerte: ± i, -1
0 0 −1
41

Teil IV
Normalformen
8 Normalformen
8.1 Einführung/Rückblick
Bisher
Dynamisches System ẋ = f(x) in einer Umgebung einer speziellen Lösung ¯x betrachtet.
a) ¯x = konstant (Ohne Einschränkung: ¯x = 0)
b) ¯x(t) periodisch (später, analog)
c) ¯x(t) ∈ Lösungsmenge (später, analog)
Sei ohne Einschränkung ¯x = 0, f(0) = 0, die Taylor-Entwicklung von f glatt ergibt
f(x) = f(0) + ∂f
}{{} ∂x (0) x + X 2 (x) +X 3 (x) + . . . + X r (x) + . . .
} {{ }
} {{ }
0
alle quad. Terme
=A
Frage
Wie sieht der Fluss in Umgebung von ¯x aus?
• ¯x hyperbolisch ⇔ Satz von Hartman-Grobman
• ¯x nicht hyperbolisch → Reduktion auf Zentrumsmannifaltigkeit
Bemerkung Für die genaue (quantitative) Analysr sowohl bei ¯x hyperbolisch wie auch bei ¯x nichthyperbolisch
sind nicht-lineare Terme wichtig.
Welche?
Frage
Lassen sich die nicht-linearen Terme wegtransformieren?
• diejenigen die sich wegtransformieren lassen: ”unwichtig”
• diejenigen die sich nicht wegtransformieren lassen: ”wichtig” - resonant
8.2 Formal
Sei f glatt, f(0) = 0, f: R n → R n , f(x) = X 1 (x) + X 2 (x) + . . . + X k (x) + O(|x| k+1 ), wobei X r ∈ H r :=
R−Vektorraum der Vektorfelder deren Komponenten homogene Polynome vom Grad r sind.
Beispiel n = 3 f : R 3 → R 3
r = 1 H 1 =
〈 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 1 x 2 x 3 0 〉
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ , ⎝ 0 ⎠ , ⎝ 0 ⎠ , ⎝x 1 ⎠ , . . .
0 0 0 0
42

= 2 H 2 =
r = 3 H 3 =
〈 ⎛ ⎜ ⎝
x 2 1
0
〈 ⎛ ⎜ ⎝
x 3 1
0
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 1 x 2 x 1 x 3
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎠ , ⎝ 0 ⎠ , ⎝ 0
0
⎞
0
⎟
⎠ , . . .
0
〉
0
⎟
⎠ , . . .
∑
Allgemein X r (x) = r r∑ n∑
· · · a j nx m e j , mit m 1 + m 2 + · · · + m n = r
m 1=0 m n=0 j=1
⎛ ⎞
x 1
x = ⎜ ⎟
⎝ . ⎠ , xm := x m1
1 · · · x mn
n , m := (m 1 , . . . , m n )
x n
〉
Ziel
Eliminiere sukzessive die nicht linearen Terme, beginnend mit r=2.
Ansatz für Transformation: x = y + h r (y) mit h r ∈ H r
Eigenschaften dieser Transformation: (für r ≥ 2!)
(i) y = x − h r (x) + O(|x| r+1 )
(ii) Auswirkung der Transformation auf die lineare Gleichung ẋ = Ax?
ẏ = ẋ − ∂h r
∂x (x) · ẋ + O(|x|r )ẋ
= [1 − ∂h r
∂x (y − h r(y)) + O(|y| r )]
Ax
}{{}
A(y+h r(y))
= Ay + Ah r (y) − ∂h r
∂x (y + h r(y)) · [Ay + Ah r (y)] + O(|y| r )A(y + h r (y))
} {{ }
O(|y| r+1 )
✠ ∂h r
∂x (y + h r(y)) = ∂h r
∂x (y) +
∂2 h r
∂x 2
} {{ }
O(|y| 2r−2 )
= Ay + Ah r (y) − ∂h r
∂x (x)[Ay] +O(|y| r+1 )
} {{ }
−L A h r(y)
= Ay − L A h r (y)
(y) · h r (y)
} {{ }
O(|y| r )
+ · · · ✠ Nebenrechnung
Definition 8.1 L A h r (y) := ∂hr
∂x (y)Ay − Ah r(y) nennt man LIE- (oder Poisson-) Klammer der Vektorfelder
Ay und h r (y)
Sei nun ẋ = Ax + X r (x) −→ X r (y + h r (y)) = X r (y) + O(|y| r+1 )
Damit ẋ = Ax + X r (x), x = y + h r (y)
⇒ ẏ = Ay − L A h r (y) + X r (y) + O(|y| r+1 )
das heißt bei dieser Transformation entstehen keine Terme der Ordnung < r (bis auf den linearen Term
der erhalten bleibt!)
43

Ziel
Das Ziel war die sukzessive Elimination der nicht-linearen Terme X r (x), also wird L A h r (y) mit
L A h r (y) = X r (y) gesucht.
Frage
Wann ist die Gleichung lösbar? -Falls L A invertierbar ist!
Satz 8.1
Voraussetzung
L A : H r → H r sei invertierbar
Behauptung Dgl: ẋ = Ax + X r (x) + O(|x| r+1 ), X r ∈ H r , kann durch x = y + h r (y)
mit L A h r = X r in die Form ẏ = Ay + O(|y| r+1 ) gebracht werden.
Frage
Wann ist L A invertierbar? -Falls 0 kein Eigenwert ist!
Bemerkung
von A ausgedrück werden.
Eigenwerte und Eigenvektoren von L A können durch die Eigenwerte und Eigenvektoren
Hier zeigen wir es für den Fall falls A diagonalisierbar, das heißt A hat Eigenwerte λ 1 , . . . , λ n und
Eigenvektoren v 1 , . . . , v n linear unabhängig. Ohne Einschränkung A = diag(λ 1 , . . . , λ
} {{ n )
}
EW
Dann
Ansatz x m e i als Eigenvektor für L A
L A (x m e i ) = ∂
∂x
=
}{{}
Ax
∑
A n ∑
x n je j=
j=1 j=1
x jλ je j
−A(x m e i )
n∑ m j
(λ j x j x m e i ) − λ i x m e i
x j
j=1
= (mλ − λ i ) x m e
} {{ } } {{ } i
EW EV
Fazit L A is invertierbar ⇔ Λ m,i := m · λ − λ i ≠ 0 ∀ m,i=1,...,n :
n∑
m j = r
Definition 8.2 das Tupel von Eigenwerten λ = (λ 1 , . . . , λ n ) heißt resonantn-ter Ordnung, wenn λ i =
n∑
n∑
m j λ j für m j ∈ N mit m j = r (i = 1, . . . , n).
j=1
Folgerung
Bild von H r unter L A .
j=1
Die Eigenvektoren von L A mit von 0 verschiedenen Eigenwerten bilden eine Basis für das
H r = L A H r ⊕ G r Komplement
Die Terme aus G können nicht eliminiert werden ← resonante Terme!
j=1
Satz 8.2 (Normalformsatz)
Voraussetzung
f(x) glattes Vektorfeld auf R n mit f(0)=0
44

Behauptung Es gibt eine polynomiale Transformation in neue Koordinaten y, sodass die
∑
Dgl ẋ = f(x) die Form ẏ = Jy + n W r (y)
+ O(|y| N+1 ) annimmt, wobei
• J reelle JNF von A
r=2
• W r ∈ G r die resonanten Terme bezeichnet
Normalform
Einordnung ˙˜x = f(˜x) ˜x = 0 spezielle Lösung −−−−−−−−−−−−−−→
Zentrumsmgf.reduktion
Wichtige Beispiele
ẋ = f(x) [niedrig dim] −−−−−−−−−−−−−−→
Normalform anwenden
J = 0(
1-dim)
0 −1
J =
1 0
( )
0 1
J =
0 0
H r = L A H r ⊕ G r
Beispiel (n=2)
( ) (
)
x 1 2x 1 − 1 2
f =
x 2 + x 2 1 − 1 2 x 1x 2 + x 2 2
+ O(|x| 3 )
x 2 x 2 + x 1 x 2 − 1 2 x2 2
( ) ( )
ẋ 1 x 1
= f , gesucht Normalform
ẋ 2 x 2
( ) ( ) ( ) (
)
x 1 2 − 1 2
x 1 x 2 1 − 1 2
f =
+
x 1x 2 + x 2 2
+O(|x| 3 )
x 2 0 1 x 2 x 1 x 2 − 1 2
} {{ }
x2 2
} {{ }
X 1 X 2
( )
2 0
Eigenwerte von A: λ 1 = 2, λ 2 = 1, JNF , L J : H r → H r hat Eigenvektoren
0 1
x m e i , Eigenwerte Λ m,i = m 1 λ 1 + m 2 λ 2 − λ i (i = 1,2), mit m 1 ≥ 0, m 2 ≥ 0, m 1 + m 2 = r
Resonante Terme (zu Λ m,i = 0)
a) r = 2
m 1 m 2 Λ m,1 Λ m,2
2 0 2 3
1 1 1 2
0 2 0 1
b) r ≥ 3
⇒ y 2 2e 1 resonant
{2, 1} ∋ λ i
!
= m 1 λ 1 + m 2 λ 2 = m 1 2 + m 2 = 2m 1 − m 1 + r = m 1 + r ≥ 3
Dies ist nie erfüllt, also gibt es keine weiteren resonanten Terme für r≥ 3, das heißt
W r (y) ≡ 0 (r ≥ 3)
( ) ( )
ẏ 1 2y 1 + κy2
2 ⇒ NF =
+ O(|y| N+1 )
ẏ 2 y 2
45

( )
1 1
Bemerkung Die Bestimmung von κ erfordert die Kenntnis der Transformation auf JNF, M =
0 2
ẏ = M −1 f(My)
rot := eliminierbar, blau := nicht eliminierbar
= M −1 AMy + M −1 X 2 (My) + O(|y| 3 )
( )
y1 2 + 4y2
2 = Jy +
y 1 y 2
46

9 Reduktion und qualitative Analyse
Kombination von
• Zentrumsmannigfaltigkeit-Reduktion
• Normalform-Theorem
9.1 Reduktion auf Zentrumsmannigfaltigkeit
{
˙u = A − u + f(u, v)
(1)
˙v = A 0 v + g(u, v)
mit: σ(A − ) ⊆ −a + ib σ(A 0 ) ⊆ i · R, f(0, 0) = 0, g(0, 0) = 0,
∂f
∂(u,v)
(0, 0) = 0 =
∂g
∂(u,v)
(i) es existiert lokal eine Zentrumsmannigfaltigkeit W 0 = {(u, h(u))/u = h(v), |u| klein }
(ii) Dynamik von (1) ist lokal äquivalent zur Dynamik von
(2) ˙v = A 0 v + g(h(v), v) n 0 -dimensional (n 0 ≪ n)
Ziel
Auf (2) Normalform-Satz anwenden.
Beispiel
(i) n 0 = 1 ⇒ A 0 = (0)
{( ) ( ) ( )}
(ii) n 0 = 2 ⇒ A 0 =
0 0 0 −1 0 1
, ,
0 0 1 0 0 0
(iii) n 0 = 3 . . .
Ergebnis
(Resonanz)
(i) n 0 = 1 ⇒ λ 1 = 0 Resonanzbedingung: λ 1 = 0 = m 1 · 0 ⇒ alle Terme resonant
( )
0 0
(ii) a) n 0 = 2 und A = ⇒ alle Terme resonant.
0 0
( )
( )
b) A 0 0 −β
=
, β ≠ 0 ⇒ A 0 ha Eigenwerte: λ 1 = ¯λ 1
2 = iβ mit EV
β 0
−i
( )
Diagonalisierung von A 0 durch Komplexifizierung z = M −1 1 1
x, M =
−i i
( ) ( ) ( )
M −1 iβ 0
x 1 + ix 2 z
AM =
, z =
=
0 −iβ
x 1 − ix 2 ¯z
⇒ z m e i (i = 1, 2) Eigenvektoren von L JC
⇒ Resonanzbedingung wie im reellen Fall:
Λ m,i = mλ−λ i ≠ 0, m = (m 1 , m 2 ), m 1 ≥ 0, m 2 ≥ 0, m 1 +m 2 = r, λ = (λ 1 , λ 2 )
47

0 = ! mλ − λ 1 = m 1 λ 1 + m 2 λ 2 − λ 1
= m 1 λ 1 − m 2 λ 1 − λ 1
= λ 1 (2m 1 − r − 1)
⇔ 2m 1 − r − 1 = 0 ⇔ r = 2m 1 − 1 ⇔ m 1 = k + 1 m 2 = k r = 2k + 1
Analog 0 = ! mλ − λ 2 = . . . ⇔ r = 2m 1 + 1 ⇔ m 1 = k m 2 = k + 1 r = 2k + 1
das heißt die resonanten Terme haben die Form:
(a) r ungerade, r = 2k+1
(b) m 1 , m 2 = r − m 1 z m e i = z k+1¯z k e 1 oder z k ¯z k+1 e 2
⇓
Rücktransformation in x-Koordinaten:
[ ] [ ]
M[z k+1¯z k e 1 ] = M[|z| 2k ze 1 ] = |z| 2k zMe 1 = ‖x‖ 2k 1
z = ‖x‖ 2k x 1 + ix 2
=
−i
−ix 1 + x
{( ) ( )}
2
‖x‖ 2k x 1 −x 2
− i
x 2 x 1
Analog:
{( ) ( )}
M[z k ¯z k+1 e 2 ] = · · · = ‖x‖ 2k x 1 −x 2
+ i
x 2 x 1
( ) ( )
Das heißt resonante Terme haben die Form ‖x‖ 2k x 1
, ‖x‖ 2k −x 2
x 2 x 1
Normalform
( ) (
ẏ 1 0 −β
=
ẏ 2 β 0
) ( )
y 1
+
y 2
mit a k , b k noch zu bestimmende Koeffizienten
[ 1 2 (N−1)] ∑
k=1
{
( )
y
2
1 + y2
2 k
( )
c) Analog: A 0 0 1
=
Takens-Bogdanov Normalfom
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
ẏ 1 0 1 y 1 ∑
Normalform =
+ N a r y1
r
ẏ 2 0 0 y 2 r=1 b r y1
r
9.2 Parameterabhängige Zentrumsmannigfaltigkeit
( )
y 1
a k
y 2
(k = 1, 2, . . .).
+ b k
(
−y 2
y 1
)}
+O(|y| n+1 )
ẋ = A − x + f(x, y, ε)
ẏ = A 0 y + g(x, y, ε)
, ε ∈ R p ,
f(0, 0, 0) = 0 = g(0, 0, 0)
∂f
∂(x,y,ε)
(0, 0, 0) = 0 =
∂g
∂(x,y,ε)
(0, 0, 0)
Erweiterung
⎫
ẋ = A − x + f(x, y, ε) ⎪⎬
ẏ = A 0 x + g(x, y, ε) hierauf bisherige Theorie anwenden.
⎪⎭
˙ε = 0
( ) ( )
u = x, A − := A − y
, v = , A 0 A 0 0
:=
ε
0 0
48

( )
⇒ Es existiert eine Zentrumsmannigfaltigkeit u = h(v) = h
y
ε
Reduzierte Gleichung: ˙v = A 0 v + G(h(v), v)
Reduzierte Gleichung: v = Av ⇕
( )
Reduzierte Gleichung ẏ = A0 y + g(h
y
ε
, y, ε)
˙ε = 0
Bemerkung
Alle kleinen Lösungen werden von der Zentrumsmannigfaltigkeit erfasst.
Berechnung von h(y, ε):
Wlov 0 (0) = {(x, y, ε)/x = h(y, ε), |x|, |y|, |ε| klein }
A − h + f(h(y, ε), y, ε) ≡ Dyh(y, ε) [ A 0 y + g(h(y, ε), y, ε) ]
x(t) = h (y(t), ε(t))
h(0, 0) = 0,
∂h
∂(y,ε)
(0, 0) = 0
Beispiel
ẋ = −x + y 2
ẏ = εy − xy
a) direkte Berechnung stationärer Lösungen
• x=0, y=0
∀ ε
• x = ε, y = ± √ ε
∀ ε≥0
b) Einordnen in Zentrummannigfaltigkeitsansatz
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ẋ −1 x y 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ẏ⎠ = ⎝ 0 0⎠
⎝y⎠ + ⎝εy − xy⎠ x = h(y, ε)
˙ε
0 0
−h + y 2 = Dy h(x, ε)[0 + εy − hy]
ε
h(y, ε) = a(ε) + b(ε)y + c(ε)y 2 + O(|y| 3 )
Reduziertes System: ẏ = εy + εy 2 − (1 − 2ε)y 2 + O(| · | 4 )
0 ! = εy + εy 2 − (1 − 2ε)y 3
y = 0 ∨ ε + εy − (1 − 2ε)y 2 = 0 ⇒ y = ± √ ε + O(| · | 2 )
0
49

10 Verzweigungstheorie (dynamical system approach)
Sei ẋ = f(x, λ), x ∈ R n , λ ∈ R, f glatt
und λ = λ 0 ⇒ f(x 0 , λ 0 ) = 0 ⇒ x 0 ein Fixpunkt.
• Ist der Fixpunkt stabil oder instabil?
• Wie hängt die (In-)Stabilität von λ ab?
Linearisierung
A = ∂f
∂x (x 0, λ 0 ),
λ i Eigenwerte von A
1. x = x 0 hyperbolischer Fixpunkt
R(λ i ) ≠ 0 ∀ i=1,...,n ⇒ ẋ = Ax (topologisch äquivalent)
2. x = x 0 nicht-hyperbolischer Fixpunkt
⇒ A invertierbar, x(λ) ⇒ f(x(λ), λ) = 0
mit λ kleine Veränderung von λ 0
a) ∃!i : R(λ i ) = 0, R(λ j ) ≠ 0 ∀
⎛ ⎞
j≠i
A = ⎝ A− 0
0
}{{}
A c ⎠
0
ImΛ
ReΛ
b) ∃ ein paar komplex konjugierte Eigenwerte R(λ i ) = 0, I(λ i ) ≠ 0
⎛
⎞
A − 0
⎜
⎟
A = ⎝ 0 −β⎠
0
β 0
ImΛ
ReΛ
Definition 10.1 Man sagt, dass f eine Verzweigung in λ = λ 0 für den Fixpunkt x = x 0 hat, wenn die
Flüsse in einer Umgebung U von λ = λ 0 und x = x 0 nicht topologisch äquivalent sind.
Bemerkung Wenn (x 0 , λ 0 ) ein Fixpunkt für das System ẋ = f(x, λ) ist, dann ergibt die Transformation
˜x = x − x 0
˜λ = λ − λ 0
das System ˙˜x = f(˜x, ˜λ) mit f(0, 0) = 0.
10.1 Ein Nulleigenwert
ẋ = f(x, λ), x ∈ R n , λ ∈ R
f(0, 0) = 0, R(λ i ) = 0 ⇒ x = 0 ist nicht-hyperbolischer Fixpunkt
50

ẋ = f(0, 0) + ∂f (0, 0)
} {{ } ∂x
⇒
} {{ }
0
0
˙λ = 0
⎧
⎛ ⎞
( )
x 1
ẋ 1
⎪⎨
= A − ⎜ ⎟
ẋ
⎝ . ⎠ + NLT
n−1
x n−1
ẋ n
= ∂fn
∂λ (0, 0)λ + 1 2
[ ]
x + ∂f
∂λ (0, 0)λ + 1 ∂ 2 f
2 ∂x
(0, 0)x 2 + . . . + O(| · | 3 )
2
[ ]
∂ 2 f n
∂x
(0, 0)x 2 + 2 ∂2 f
2
∂λ∂x (0, 0)λx + ∂2 f
∂λ
(0, 0)λ 2 2
⎪⎩
˙λ = 0
∃ 1-dimensionale Zentrumsmannigfaltigkeit mit 1-dimensionalem System
ẋ = aλ + bx 2 + cxλ + dλ 2 + ex 3 + O(| · | 4 ) oder
ẋ
= ∂fn
∂λ (0, 0)λ + ∂2 f n
∂x 2 n
(0, 0)x 2 + ∂2 f n
∂x∂λ (0, 0)xλ + ∂2 f n
∂λ 2 (0, 0)λ 2 + ∂3 f n
∂x 3 (0, 0)x 3
10.1.1 Saddle-Node Bifurcation (Sattel-Knoten Verzweigung)
a = ∂f
∂λ
(0, 0) ≠ 0 b
= ∂2 f
∂x 2 n
(0, 0) ≠ 0
⇒ ẋ = aλ + bx 2 ⇒ ẋ = λ − x 2 Sattel-Knoten Verzweigung
x
Λ
ẋ = f(x, λ) mit x ∈ R, λ ∈ R hat in (0,0) Sattel-Knoten Verzweigung, wenn
f(0, 0) = 0, ∂f
∂f
∂x
(0, 0) = 0,
∂λ (0, 0) ≠ 0, ∂2 f
∂x
(0, 0) ≠ 0
2
Normalform für Sattel-Knoten Verzweigung: ẋ = λ ± x 2
10.1.2 Transcritical Bifurcation
a = ∂f
∂λ
(0, 0) = 0, b
= ∂2 f
∂x 2 (0, 0) ≠ 0,
c = ∂2 f
∂x∂λ
(0, 0) ≠ 0, d
= ∂2 f
∂λ 2 (0, 0) = 0
ẋ = bx 2 + cxλ
51

⇒ ẋ = λx + x 2 x ∈ R, λ ∈ R, Fixpunkte x = 0, x = −λ
Transkritische Verzweigung
x
Λ
ẋ = f(x, λ) mit x ∈ R, λ ∈ R hat in (0,0) eine transkritische Verzweigung, wenn:
∂f
∂f
∂
f(0, 0) = 0,
∂x
(0, 0) = 0,
∂λ
(0, 0) = 0,
2 f
∂
∂x
(0, 0) ≠ 0,
2 f
2 ∂x∂µ
(0, 0) ≠ 0
Normalform für Transkritische Verzweigung: ẋ = λx ± x 2
10.1.3 Pitchfork Bifurcation
a = ∂f
∂λ
(0, 0) = 0, b = ∂2 f
∂x
(0, 0) = 0,
2 c = ∂2 f
∂x∂λ
(0, 0) ≠ 0,
d = ∂2 f
∂λ
(0, 0) = 0,
2 e = ∂3 f
∂x
(0, 0) ≠ 0
3
ẋ = cxλ + ex 3 ⇒ ẋ = λx − x 3 Gabel-Verzweigung
x
Λ
52

ẋ = f(x, λ), mit x ∈ R, λ ∈ R, hat in (0,0) Gabel-Verzweigung, wenn:
∂f
∂f
∂
f(0, 0) = 0,
∂x
(0, 0) = 0,
∂λ
(0, 0) = 0,
2 f
∂
∂x
(0, 0) = 0,
2 f
∂ 2 ∂x∂λ
(0, 0) ≠ 0,
3 f
∂x 3 (0, 0) ≠ 0
Normalform für Pitchfork Bifurcation: ẋ = λx ± x 3
10.2 Ein Paar komplex konjugierter Eigenwerte
⎛
⎞
A − 0
⎜
⎟
A = ⎝ 0 −β⎠ σ(A) = {I(λ i ) = β, R(λ i ) = 0, R(λ j ) < 0}
0
β 0
(2) ẋ = f(x, µ), x ∈ R 2 , µ ∈ R, f(0, 0) = 0
A := D x f(0, 0), λ(A) = ±i,
∂
∂µ (R(λ(µ)))| µ=0 ≠ 0
⇒ (2) hat eine Hopf-Verzweigung (Andronov-Hopf)
Das System hat eine 2-dimensionale Zentrumsmannigfaltigkeit mit reduziertem System:
( ) (
) ( ) ( )
ẋ R(λ(µ)) I(λ(µ)) x f 1 (x, y, µ)
=
+
, wobei λ(µ) = α(µ) ± iβ(µ) - EW mit
ẏ I(λ(µ)) R(λ(µ)) y f 2 (x, y, µ)
α(0) = 0 und β(0) ≠ 0
Transformation des Systems in Polarkoordinaten ergibt:
{
ṙ = α(µ)r + a(µ)r 3 + O(|r| 5 )
˙θ = ω(µ) + b(µ)r 2 + O(|r| 4 )
Taylor-Entwicklung {
in µ = 0 ergibt:
ṙ = α ′ (0)µr + a(0)r 3 + O(|r| 5 )
˙θ = ω(0) + ω ′ (0)µ + b(0)r 2 + O(|r| 4 ) , oder für d := α′ (0), a := a(0), ω := ω(0), c := ω ′ (0), b := b(0)
{
ṙ = dµr + ar 3 + O(| · | 2k+3 )
˙θ = ω + cµ + br 2 + O(| · | 2k )
⇒
{
a < 0
[ ]
a(0) = 1
16 f
1
xxx + fxyy 1 + fxxy 2 + fyyy
2 +
1
16
Wenn ˙θ ≠ 0 und ṙ = 0, dann existiert ein periodischer Orbit.
dµr + ar 3 = 0 ⇒ r 2 = − dµ a
periodischer Orbit, asymptotisch stabil, superkritisch
a > 0 periodischer Orbit, instabil, subkritisch
[
f
1
xy (fxx 1 + fyy) 1 − fxy(f 2 xx 2 + fyy) 2 − fxxf 1 xx 2 + fyyfyy]
1 2
⇒ ∃ periodischer Orbit, wenn d = α′ (0) = d
dµ λ(0) ≠ 0
53

Für µ ≤ 0, d > 0, a < 0 ist der Fixpunkt (0,0) stabil, für µ > 0, d > 0, a < 0 ist der Fixpunkt (0,0)
instabil und der periodische Orbit stabil.
Normalform für Hopf-Bifurkation:
( ) ( ) ( )
( )
ṙ = r(µ ∓ r 2 ) ẋ µ −1 x
oder =
∓ (x
˙θ 2 + y 2 x
)
= 1
ẏ 1 µ y
y
54

Teil V
Das Langzeitverhalten Dynamischer
Systeme
11 Limesmengen und Attraktoren
Dynamische Systeme: ϕ Fluss (Halbfluss). Was passiert für t → ∞?
Beispiele
(i) ẋ = f(x) mit f(¯x) = 0,
¯x asymptotisch stabiler Fixpunkt
(ii) Klassifikation von Dynamischen Systemen mittels invarianter Mannigfaltigkeit
• stabile Mannigfaltigkeit (von stationären Lösungen)
• Zentrummannigfaltigkeit (von stationären Lösungen) Reduktion auf niedrig dimensionales
System
(iii) ẋ = −y + x(1 − x 2 − y 2 )
ẏ = x + y(1 − x 2 − y 2 )
siehe Übung 28
(iv) ẋ = −y + x(1 − z 2 − x 2 − y 2 )
ẏ = x + y(1 − z 2 − x 2 − y 2 )
ż = 0
(a) z = z 0 konstante Lösung ⇒ für jedes z 0 ist die z 0 -Ebene eine invariante Ebene.
(b) für |z 0 | ≤ 1
(v) ẋ = −y + x(1 − x 2 − y 2 )
ẏ = x + y(1 − x 2 − y 2 )
ż = α
⇒ invarianter Zylinder (attraktiv)
Durch Identifikation von (x,y,0) mit (x,y,2π) erhält man einen invarianten Torus.
(vi) Torus
ẋ = σ(y − x)
ẏ = ρx − y − xy
ż = −βz + xy
⎫
⎪⎬
⎪⎭ ”strange” Attractor 55

11.1 Begriffe
Situation: X metrischer Raum, ϕ : Ω → X Halbfluss auf X
Für x ∈ X definiert:
• ω(x) := ⋂ γ + (tx) die positive Limesmenge von x (ω-Limesmenge von x )
t>0
• α(x) := ⋂ γ − (tx) negative Limesmenge (α-Limesmenge ) falls ϕ ein Fluss ist
t

Sei U offene Umgebung von ω(x) und t k → ∞ mit t k · x /∈ U, wegen der Kompaktheit von
(X\U) ∩ γ + (x) existiert eine Teilfolge t k ′, und y ∈ X\U mit t k ′ · x konvergiert gegen y, also
ω(x) ∩ (X\U) ≠ ∅ ,
das heißt t · c → ω(x) (t → ∞)
ω(x) zusammenhängend:
Angenommen ω(x) sei nicht zusammenhängend, dann existieren Mengen ω 1 , ω 2 nicht leer,
abgeschlossen mit ω = ω 1 + ω 2 und ω 1 ∩ ω 2 = ∅.
Da ω kompakt ist sind auch ω 1 und ω 2 kompakt. Also existieren disjunkte offene Mengen
U 1 ⊇ ω 1 , U 2 ⊇ ω 2 . Wegen t · x → ω(x) gibt es t > 0 mit γ + (t · x) ⊆ U 1 ∪ U 2 und
γ + (t · x) ∩ U i ≠ ∅ (i = 1, 2). Wegen ω i ≠ ∅ und ω(x) = {y ∈ X/∃ tk →∞ : t k · x → y}. Damit
ist aber γ + (t · x) nicht zusammenhängend da γ + (t · x) das stetige Bild von [t, ∞).
Rest des Beweises:
siehe Amann
Bemerkung
(a) x periodischer Punkt ⇔ γ + (x) = ω(x) und γ + (x) kompakt
Beweis
”⇒” ̌
”⇐”: Durch x verläuft eine globale Lösung u(t), also (−τ) · u(0) = u(−τ) ∀ τ>0
}{{}
x
Wegen U(R) ⊆ ω(x) = γ + (x) existiert zu festem τ > 0 ein τ ′ mit u(−τ) = τ ′ · x.
Dann folgt für jedes t ≥ 0 : (t + τ + τ ′ ) · x = t · τ · τ ′ · x = t · τ · u(−τ) = t · u(0) = t · x.
Also ist x periodisch mit der Periode τ + τ ′̌
(b) Ist ϕ sogar Fluss so gilt:
x periodisch ⇔ γ(x) = ω(x) und ω(x) ist kompakt.
11.3 Attraktoren
Definition 11.2
(i) x ∈ X wird von M ⊆ X angezogen :⇔ t + (x) = ∞, t · x → M (t → ∞)
(ii) A(M) := {x ∈ X/x von M angezogen} Anziehungsbereich
(iii) M attraktiv :⇔ A(M) Umgebung von M
(iv) M globaler Attraktor :⇔ A(M) = X
57

12 Planare Systeme
• Einfach, spezielle Gegebenheit im R 2
• Immernoch aktuelles Forschungsgebiet (noch ungelöste Probleme, aber sehr speziell)
Hilbert 16.-Problem, Anzahl der periodischen Orbits
Situation ẋ = f(x), f : D ⊆ R 2 → R 2 , lipschitz-stetig, D offen
Charakterisierung der Lösung durch das Phasenportrait
Das elementare Lösungsverhalten ist bedingt durch die Topologie der Ebene.
Satz 12.1 (Jordan’scher Kurvensatz)
Voraussetzungen Γ einfache geschlossene Kurve im R 2
Behauptung
R 2 \Γ enthält 2 Zusammenhangskomponenten.
12.1 Hauptergebnis
Satz 12.2 (Poincaré-Bendixson)
Voraussetzungen
K ⊆ D ⊆ R 2 kompakt und γ + (x) ⊆ K
Behauptung
Wenn ω(x) keinen kritischen Punkt enthält, dann ist ω(x) ein periodischer Orbit.
Bemerkung
Gelegentlich andere Formulierung:
Voraussetzungen
wie Poincaré-Bendixson
Behauptung
ω(x) besteht entweder aus:
(i) einem kritischen Punkt
(ii) einer periodischen Lösung
(iii) einem Verbindungsorbit kritischer Punkte
x 2
x 1
Abbildung 1: homokliner Verbindungsorbit
x 2
x 1
Abbildung 2: heterokliner Verbindungsorbit
Illustration der Verbindungsorbits:
58

x 1
x 1
t
t
Abbildung 3: pulsartige Lösung
Abbildung 4: frontartige Lösung
Beispiel
Annahme: K sei positiv invariant
Dann gilt ∀ x∈K : Γ + (x) ⊆ K. Dann ist ω(x) ⊆ K, falls K keinen kritischen Punkt enthält, ist
ω(x) ein periodischer Orbit ⇒ Existenz einer periodischen Lösung
{
ẋ = 1 2 y
ẏ = 2x − 3x 2 + λ(x 3 − x 2 + y 2 )y
Hier existiert ein Verbindungsorbit, also kein periodischer Orbit und somit kein Widerspruch
zu Poincaré-Bendixson, da ω(x) einen kritischen Punkt enthält.
12.2 Beweis
Definition 12.1 (Lokaler Transversalschnitt)
Sei X ein 1-dimensionaler Unterraum von R 2 .
S := (x + X) ∩ B ε (x) lokaler Transversalschnitt durch x :⇔ f(x) /∈ X
∀ y∈S , das heißt
a) das Vektorfeld schneide S transversal
b) wegen f(y) /∈ X gilt insbesondere f(y) ≠ 0 ∀ y∈S , das heißt keine kritischen Punkte
Lemma I
Voraussetzungen V lokaler transversaler Schnitt des Flusses in x 0 . t 0 − y 0 = x 0
Behauptung
Es existiert eine offene Umgebung U von y 0 in R n und eine eindeutig bestimmte
Funktion τ ∈ C 1 (U, R) mit τ(y 0 ) = t 0 und τ(y) · y ∈ V für alle y ∈ U.
Beweis
Stetige Abhängigkeit
Definition 12.2 (Orientierung von Orbits) mit Hilfe der Durchlaufzeit
a) Jeder Orbit γ(x) ist in natürlicherweise durch die Durchlaufrichtung orientiert
ϕx : (t − (x), t + (x)) → γ(x)
59

) Orientierung von Geraden
Sei L eine Gerade und y k ∈ L, dann ist {y k } wachsend :⇔ ∃ tk+1 ≥t k ≥1 : y k = y 0 + t k (y 1 − y 0 )
Lemma II
Voraussetzungen S lokaler transversaler Schnitt, y j := t j ·x ∈ S ∩γ(x), {t j } monoton
wachsend
Behauptung y j wachsend auf S.
Lemma III
Voraussetzungen x ∈ D, y ∈ ω(x), S lokaler transversaler Schnitt
Behauptungen
a) #(S ∩ ω(x)) ≤ 1
b) #(S ∩ γ + (y)) ≤ 1
Beweis ω(x) positiv invariant, also γ + (y) ⊆ ω(x). Seien nun y 1 , y 2 ∈ ω(x) ∩ S, y 1 ≠ y 2 :
Seien U 1 , U 2 disjunkte Umgebungen von y 1 , y 2 dann existiert wegen y i ∈ ω(x) eine Folge
{t k } mit t k → ∞, monoton wachsend und t 2k+1 · x
} {{ }
→ y 1 t 2k · x → y
} {{ } 2 .
∈U 1 ∈U 2
Nach Lemma I existiert eine Funktion τ ∈ C 1 (U 1 ∪ U 2 , R) mit τ(ω) · ω ∈ U j ∩ S = I j
Setze a k := τ(t 2k+1 · x) · (t 2k+1 · x) ∈ U 1 ∩ S
und b k := τ(t 2k · x) · (t 2k · x) ∈ U 2 ∩ S.
∀ ω∈Uj
Die Folge a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . . . ist auf γ(x) wachsend und in S, also auch wachsend in S, im Widerspruch
zu a i ∈ I 1 , b i ∈ I 2 , das heißt y 1 = y 2
Rest analog
Lemma IV
Behauptung γ + (x) ∩ ω(x) ≠ ∅ ⇒ x ist periodisch
Beweis ohne Einschränkung γ + (x) ≠ {x} also x keine stationäre Lösung und damit
f(y) ≠ 0 für y ∈ γ + (x) ∩ ω(x).
Also existiert ein lokaler transversale Schnitt S durch y und nach Lemma III: γ + (y)∩S = {y},
wegen y ∈ γ + (x) ∩ ω(x) existiert t > 0 mit t · x = y. Ist U eine genügend kleine Umgebung
von y, so existiert wegen y ∈ ω(x) ein s > t mit s · x ∈ U, also τ(s · x) · (s · x) ∈ S.
60

Folglich für t := s + τ(s · x) − t ⇒
t · y = [s + τ(s · x) − t] · y
= [s + τ(s · x) − t] · (t · x)
= [s + τ(s · x) − t + t] · x
= [s + τ(s · x)]ẋ
= τ(s · x) · (s · x) ∈ S
t · y ∈ S,
y ∈ S nach Lemma III:
#(S ∩ γ + (y)) ≤ 1 also t · y = y, das heißt γ + (y) ist periodisch und damit auch x.
Satz 12.3
Voraussetzungen
K ⊆ D kompakt, γ + (x) ⊆ K
Behauptung
Enthält ω(x) nicht-kritischer periodischer Orbit, so ω(x) = γ
Beweis
Annahme: ω(x)\γ ≠ ∅
Da γ[0, T ] · y abgeschlossen, so ist ω(x)\γ offen in ω(x).
ω(x) ist zusammenhängend, also enthält γ einen Häufungspunkt z von ω(x)\γ.
Wegen z ∈ γ und γ nicht kritisch gilt f(z) ≠ 0, also existiert ein lokaler transversaler Schnitt S durch z.
In jeder Umgebung von z existiert ein p ∈ ω(x)\γ. Falls p nahe genug bei z, so schneidet γ(p) S. Aufgrund
der Invarianz von ω(x) gilt: γ(p) ⊆ ω(x)
S\ω(x) ⊃ {z, τ(p) · p}
Im Widerspruch dazu gilt aber nach Lemma III:
1 = #{S\ω(x)} ≤ #{z, τ(p) · p} = 2, also gilt ω(x)\γ = ∅.
Beweis (Poincaré-Bendixson) ω(x) ≠ ∅, kompakt, invariant, also existiert y ∈ ω(x) und γ(y) ⊆
ω(x). Damit ist ω(x) ≠ ∅, ω(y) ⊆ ω(x). Sei z ∈ ω(y).
Angenommen ω(x) enthalte keinen kritischen Punkt, dann gilt f(w) ≠ 0 ∀ w∈ω(x) also insbesondere
f(z) ≠ 0. Also existiert ein transversaler Schnitt S durch z. Wegen z ∈ ω(y) schneidet γ + (y) das Segment
genau im Punkt z.
Damit: y ∈ ω(y) ∩ γ + (y), nach Lemma IV folgt: γ(y) periodischer Orbit und nach Satz 12.3 γ(y) = ω(x).
Bemerkungen
(i) Poincaré-Bendixson ist ein Ergebnis für planare Systeme und gilt i.a. nicht für höher dimensionale
Systeme. (Topologischer Hintergrund: Jordan-Kurvensatz)
(ii) Für spezielle Systeme (Populationsdynamik) sind Verallgemeinerungen auf höher dimensionale
Systeme möglich. (Systeme in zyklischer Form)
61

Folgerungen (aus Poincaré-Bendixson)
Kriterium von Bendixson
Voraussetzungen D ⊆ R 2 offen, einfach zusammenhängend, ẋ = f(x), D ∋ x =
div f = ∂f1
∂x 1
+ ∂f2
∂x 2
hat keinen Vorzeichenwechsel in D und nicht ≡ 0.
Behauptung ẋ = f(x) hat keine periodischen Lösungen in D.
( )
x 1
x 2
Beweis
Angenommen es existiert eine periodische Lösung x(t) in D, das heißt
{x(t)/t ∈ R} = Γ ⊆ D. }
ẋ 1 = f 1 (x 1 (t), x 2 (t))
∂x 2
∂x
ẋ 2 = f 2 (x 1 (t), x 2 (t))
1
= f2(x1,x2)
f ⇒ f 1(x 1,x 2) 1dx 2 = f 2 dx 1
⇒ 0 = ∫ [f 1 dx 2 − f 2 dx 1 ] = ∫ ∫ (div f)dx 1 dx 1 ≠ 0 (da nicht ≡ 0 und kein Vorzeichenwechsel)
Γ
62

13 Fallstudie: van der Pol-Oszillator
Hintergrund Balthasar van der Pol: niederländischer Ingenieur, Forschungsinstitut von Philips, 1920
ẍ + x = µ(1 − x 2 ) · ẋ (1)
• ẍ + x Schwingungsgleichung
• µ Koeffizient
• (1 − x 2 ) Vorzeichen des Reibungsterms: amplitudenabhängig
• ẋ Reibungsterm
kleine Amplituden: µ(1 − x 2 ) positiv → Anfachung
große Amplituden: µ(1 − x 2 ) negativ → Dämpfung
13.1 Analyse der Gleichung à la ”Diener”
Linearisierung in x = 0: ẍ + x − µẋ = 0
Ansatz:
x(t) = e λt
λ 2 − µλ + 1 = 0
λ = µ 2 ± 2√ 1 µ2 − 4
⇒ Für 0 < µ < 2 ist µ 2 − 4 < 0
Eigenwert: positiver Realteil → x = 0 instabil.
Ohne Einschränkung sei µ = 1:
ẋ = y + x − x3
3
ẏ = −x
Satz 13.1 System (2) hat nicht-trivialen periodischen Orbit
Beweis
⎫
Skaliere (2) vermöge
ξ = εx ⎪⎬
η = ε 3 y
⎪⎭ (3), ξ′ = dξ
ds = ε dx dt
dt ds = εẋε2 = ε 3 ẋ,
t = ε 2 s
{ {
1
ε
ξ ′ = 1
⇒ 3 ε
η + 1 3 ε ξ − 1 1
3 ε
ξ 3 ξ ′ = η + ε 2 ξ − 1 3 3
1
ε
η ′ = − 1 5 ε ξ
⇒
ξ3
η ′ = −ε 4 ξ
η ′ = dη dy dt
ds
= ε3
dt ds = ε3 ẏε 2 = ε 5 ẏ
(4) ε=0
⇒
{
ξ ′ = η − 1 3 ξ3
η ′ = 0
63

c
d
a
b
Abbildung 5: Analyse von (4) für ε = 0
□ ist positiv invariant
Konstruktion einer positiv invarianten Region
W = {(ξ, η) / a ≤ ξ ≤ b, c ≤ η ≤ d } positiv invariant für ε = 0, wobei b ≥ 3√ 3d und a ≤ 3√ 3c
Bemerkung
für (x,y) transformiert.
Eine positiv invariante Region für (ξ, η) wird in eine positiv invariante Region
Aber: W ist nicht positiv invariant für ε ≠ 0. Deshalb Modifikation für ε ≠ 0. Wähle
α ∈ (0, 3√ 3d), betrachte die Gerade η = d + γ(ξ − α), mit γ klein.
Für ε = 0 zeigt das Vektorfeld auf der so bestimmten Region nach innen, also auch für ε ≠ 0
hinreichend klein, das heißt für ε ≠ 0 klein haben wir positiv invariante Region bestimmt.
Damit hat auch System (2) eine invariante Region Q, wobei der Rand von Q weit draußen
liegt.
Ergebnis ∀ (x,y)∈Q : ω(x, y) ⊆ Q, aber ω(x, y) kann kritischen Punkt enthalten, da (0,0) ∈ Q kritischer
Punkt, aber der einzige.
Durch Herausschneiden einer hinreichend kleinen Scheibe um x=0, y=0 erhält man eine positiv invariante
Region ohne kritische Punkte. Nach Poincaré-Bendixson muss dort ein positiver Orbit existieren.
ẍ − 1 ε (1 − x2 )ẋ + x = 0
⇕
εẍ − (1 − x 2 )ẋ + εx = 0
⇕
v ′ = −εu
εu ′ = v − G(u)
⊛, G(u) = −u + u3
3
64

⇕
t = ετ, ε ≠ 0
v ′ = −ε 2 u
u ′ = v − G(u)
⊚
Bemerkung
⊛ für ε = 0:
⊚ ”sinnvoll für ε = 0, ⊛ nicht (direkt)
v ′ = 0
(DAE)-System
0 = v − G(u)
Wir analysieren ⊛ ausgehend von ⊚.
Erste Information
für ε = 0 ist ˙v = 0 und somit v konstant.
ε = 0
v
langsame Bewegung
u
schneller Übergang
Bemerkung Als 2-dim System ist der van der Pol-Oszillator komplett analysiert.
Immernoch aktuelles Forschungsgebiet: van der Pol-Oszillator mit externer Anregung
ẍ + ε(1 − x 2 )ẋ + x = γ sin(ωt)
mit interner Frequenz (1 − x 2 ) und externer Frequenz sin(ωt).
65

14 Invarianz - Prinzipien (mittels Ljapunov-Funktion)
X metrischer Raum, ϕ : Ω → X Halbfluss auf X
M ⊆ X, V : M → R stetig
Definition 14.1
{
lim
V (t·x)−V (x)
(i) Orbitale Ableitung in x ˙V (x) := t→∞ t
−∞
, falls x Häufungspunkt von M ∩ γ + (x)
sonst
(ii) V : M → R heißt Ljapunov-Funktion für ϕ auf M :⇔ ˙V (x) ≤ 0
∀ x∈M
Bemerkung
1) Bei Walter wird zusätzlich vorausgesetzt, dass V ≥ 0, ˙V ≤ 0
2) Falls X offene Teilmenge von R-Banachraum E f: X → E lipschitz-stetig, ϕ der zu ẋ = f(x) gehörige
Fluss und V : X → R differenzierbar, dann:
˙V (x) = ∇V (x) t ·
ẋt
}{{}
f(x)
= ∇V (x) t · f(x)
das heißt die orbitale Ableitung kann allein aus dem Vektorfeld berechnet werden.
14.1 Bestimmung positiv invarianter Mengen mittels Ljapunov-Funktion
Satz 14.1
Voraussetzungen −∞ ≤ γ < β < ∞, V : X → R Ljapunov-Funktion auf { x ∈ X / γ < V (x) < β }
Behauptung
∀ α∈[γ,β) M α := { x ∈ X | V (x) ≤ α } positiv invariant
Beweis
Beispiel
siehe Amann
zu Invarianz mittels Ljapunov-Funktion
−△u − g(u) = 0 , u ∈ C 2 (R n )
· Radialsymmetrische Lösung: Ansatz u(x 1 , . . . , x n ) = v(r), r := √ x 2 1 + . . . + x2 n
∂u
= ∂v ∂r
= v ′ (r) x i
∂x i ∂r ∂x i r
∂ 2 u
∂x 2 = v ′′ (r) x2 i
i r 2 + 2v′ (r) + r − x i xi
r
r 2 v ′ (r)
❀ △u = v ′′ (r) + v ′ (r) nr − r
r 2 = v ′′ (r) + n − 1 v ′ (r)
r
Einsetzen in die elliptische DGL: −v ′′ (r) − n−1
r
− g(v(r)) = 0 (0 < r < ∞), v ′ (0) = 0
66

v ′′ (r) + n−1
r
v(r) + g(v(r)) = 0
⇕
}
v ′ = w
2-dim System
w ′ = v ′′ = . . .
v ′′ v ′ + n−1
r v′2 (r) + g(v(r))v ′ ≡ 0
(
1
2 v ′2 (r) ) ′
+
n−1
r v′2 (r) + G (v(r)) ′ ≡ 0 | ∫
r∫
1
2 v′2 (r) + G(v(r)) = −(n − 1) v ′2 (s)
s
ds
”Energie”: E(v,v’) = 1 2 v′2 ∂
(r) + G(v(r)),
∂r E = −(n − 1) v′2 (r)
r
≤ 0
das heißt die ”Energie” nimmt längs Trajektorien ab.
V(v,v’) := 1 2 v′2 + G(v)
Beispiel g(v) = 4v 3 − 2v ⇒ G(v) = v 4 − v 2 , V = 1 2 v′2 + v 4 − v 2
V ≡ konstant = c, v ′ = ± √ 2[c − v 4 + v 2 ]
14.2 Das La Salle’sche Invarianz-Prinzip
Lokalisierung positiver Limesmengen mittels Ljapunov-Funktion
Satz 14.2 (La Salle)
Voraussetzungen
M ⊆ X abgeschlossen, V : M → R stetige Ljapunov-Funktion auf M, γ + (x) ⊆ M
Behauptung ∃ α∈R : ω(x) ⊆ V −1 (α) und ω(x) ⊆ { y ∈ M | v ′ (y) = 0 }
Beweis Ohne Einschränkung sei ω(x) ≠ 0, also t + (x) = ∞, dann ω(x) ⊆ γ + (x) ⊆ M. Da V Ljapunov-
Funktion auf M ist ist V(t · x) monoton fallend auf [0, ∞), also konvergiert V(t · x) gegen α := inf {v(t·x)}
t≥0
aufgrund der Stetigkeit von V folgt V(y) = α ∀ y∈ω(x) also insbesondere α > −∞.
Für y ∈ ω(x) gilt dann wegen der Invarianz 0= ∂ ∂t α = ∂ ∂t V (t · y) = ˙V (y).
14.3 Das ”Mazewski”-Prinzip
Sei ϕ Fluss auf D ⊆ R n , W ⊆ D, D offen.
Definition 14.2
(i) W − := { x ∈ W | [0, t] · x ⊄ U
∀ t>0 } unmittelbare Fluchtmenge
(ii) W 0 := { x ∈ W | t · x /∈ W für ein t > 0 }
Bemerkung W − ⊆ W 0
(iii) W ⊆ D Wazewski-Menge :⇔
1.) abgeschlossen relativ zu D
2.) W − abgeschlossen relativ zu W 0
67

(iv) A ⊆ B abgeschlossen relativ zu B :⇔ ∀ {an}⊆A,a n→a∈B :⇒ a ∈ A
Beispiel B = [0, 1), A = [ 1 2
, 1) relativ abgeschlossen zu B.
Beispiel W − relativ abgeschlossen zu W 0 : bedeutet anschaulich keine inneren Tangenten beim
Vektorfeld auf dem Rand von W.
(v) Für x ∈ W 0 definiert Fluchtzeit τ(x) := sup{t ≥ 0 | [0 · t) · x ⊆ W }
(vi) Γ : W 0 → W , x ↦→ τ(x) · x , das heißt einem Element der Fluchtmenge wird der unmittelbare
Austrittspunkt zugeordnet.
Bemerkung
Γ ist wohldefiniert auf W 0 , aber
Satz 14.3 (Wazewski-Prinzip)
Voraussetzung
W Wazewski-Menge
Behauptung
Γ : W 0 → W − ist stetig
14.4 Anwendung von Invarianz-Prinzipien
Beispiel Planares Problem
{
u ′ = v
Betrachte
v ′ = u 3 + uv
mit der Wazewski-Menge W := {(u, v)|0 ≥ u, 0 ≤ v ≤ u + 1}
Frage
Existiert eine Trajektorie im III. Quadranten, die in den kritischen Punkt läuft?
W − := {(u, v) ∈ W | u = 0 oder v = 0} \ {(0,0)}
W − = W − ∪ {(0, 0)}, also W − abgeschlossen zu W 0 , da (0,0) /∈ W 0 .
Also ist W Wazewski-Menge und damit Γ : W 0 → W − stetig. Angenommen W 0 = W \ {(0,0)} ,
das heißt alles bis auf (0,0) wird heraustransportiert.
W 0 ist zusammenhängend, also ist auch Γ(W 0 ) zusammenhängend, aber W − ist nicht zusammenhängend
Die Annahme war falsch, also ist W 0 ≠ W \ {(0,0)} ⇒ ∃ x∈W \{(0,0)} : t · x ⊆ W ∀ (t≥0) .
Poincaré-Bendixson
ω(x) ⊆ W und ω(x) enthält kritischen Punkt, da in W kein periodischer
Orbit existiert, weil u ′ = v ≥ 0. ( Also: (0, 0) ) ∈ ω(x).
Betrachte V(u,v) := -u, ˙V = t v
(∇V )
= −v, das heißt V ist eine Ljapunovu
3 + uv
Funktion.
⇒ ∃ α∈R : ω(x)
{(
⊆
)
V
∣ −1 (
({0}),
)
das
}
heißt
{(
−u
)
=
∣
α
u ∣∣∣∣
u
u ∣∣∣∣
⇒ ω(x) ⊆ ˙V = 0 = − v = 0}
v v
v
wegen (0, 0) ∈ ω(x) folgt α = 0, das heißt ω(x) = {(0, 0}.
∀ (u,v)∈ω(x)
68

Numerisches Problem Berechne die Trajektorie, die in (0,0) führt. Problem über [0,∞)
mit Anfangsbedingung bei 0 und Bedingung bei t=∞. Naive Möglichkeit: Betrachte Invervall
[0,T] mit T ≫ 0 und ersetze V(∞) = 0 durch V(T) = 0. Es gibt bessere Möglichkeiten, z.B.
die Forderung, dass V(T) zur stabilen Mannigfaltigkeit von (0,0) gehört.
Beispiel Berechnung eines Orbits, der in einen stationären Punkt läuft
Verallgemeinerter Begriff Verbindungsorbit −→ WS 08/09
Definition 14.3 (Verbindungsorbits)
(i) Ein homokliner Orbit eines Flusses ist ein Orbit, der für t → ±∞ den selben kritischen Punkt
erreicht.
(ii) Ein heterokliner Orbit eines Flusses ist ein Orbit, der für t → ±∞ unterschiedliche kritische
Punkte erreicht.
(iii) Verallgemeinerung:
kritischer Punkt kann durch “periodische Lösung” ersetzt werden
14.5 Anwendung: Verbindungsorbits bei Reaktions-Diffusionsgleichungen
Skalare Reaktionsdiffusionsgleichung mit skalarer Größe u, zum Beispiel Konzentration. Betrachtet wird
die Entwicklung von u in Ort x und Zeit t.
PDGL:
∂u
∂t =
u xx
}{{}
+ f(u)
}{{}
Diffusion Reaktionsterm
Frage
Welche Arten von Lösungen kann es geben?
• zum Beispiel konstante Lösungen u = u, d.h. f(u = 0
Stabilität von u
a) bzgl. zeitlicher Entwicklung u t = f(u)
b) bzgl. Zeit und Ort
• Wellenförmige Lösungen: Ansatz: u(x, t) = V (x − ct) mit c konstant
} {{ }
ξ
Einsetzen: −cV ′ (ξ) = V ′′ (ξ) + f(V (ξ)) ← GDgl für V
3 wichtige Beispiele
a) Pulsförmige Wellen: V(−∞) = V(∞) = 0
b) Frontartige Wellen: V(−∞) = 0, V(∞) = v 0
c) Wellenzüge: periodische Lösungen
Typische Form für f
a) f(0) = f(1) = 0, f(u) > 0 (0 < u < 1)
⇒ Fisher Gleichung
b) f(0) = f(1) = 0
69

Existenz Wellenförmiger Lösungen f(0) = f(1) = 0
v ′′ + cv ′ + f(v) = 0 oder als System
Gesucht
(i) ∂P
∂v
{
v ′ = P
P ′ = −cP − f(v)
Frontartige Lösungen, das heißt heterokliner Verbindungsorbit
{
−cP −f(v) −c v = 0
=
P
=
−c v = 1
(ii) Angenommen { Front v verbindet (0,0) mit (1,0), dann
∂v
∂ξ = P > 0 P > 0
< 0 P < 0
⊛
(iii) Folgerung: Jede einfache Kurve, die (0,0) und (1,0) verbindet, erfüllt P ≥ 0
Folgerung: P > 0 (ausgenommen die Endpunkte)
}
∂P
f(v)
∂v
= −c −
P
, p > 0 System für Verbindungsorbit
P (0) = P (1) = 0
Lemma
Für jedes f ∈ C 1 [0,1], f(0) = f(1) = 0 gibt es eine eindeutige Beziehung zwischen den Frontwellen
und der Lösung von ⊛
∫ 1
P
}{{}
′ P +f = −cP ⇒ 1 (P 2 ) ′ (v)dv +
2
1
2 (P 2 ) ′ 0
} {{ }
0
⇒
∫ 1
0
f(v)dv = −c
∫ 1
0
∫ 1
0
f(v)dv = −c
P (v)dv
} {{ }
≥0
∫ 1
0
P (v)dv
⇒ Vorzeichen von c (Wellengeschwindigkeit) ist bestimmt durch das Vorzeichen von
∫ 1
0
f(v)dv
Analyse der stationären Lösung
a) Linearisierung in (0,0)
(
)
0 1
A =
−f ′ (0) −c
Eigenwerte: λ = 1 2
[
−c ± √ ]
c 2 − 4f ′ (0)
3 Fälle:
1. f ′ (0) > 0, c 2 ≥ 4f ′ (0)
⇒ beide Eigenwerte reell mit gleichem Vorzeichen
⇒ (0,0) Knoten (in-— stabil)
2. f ′ (0) < 0
⇒ Eigenwerte reell unterschiedliches Vorzeichen
⇒ d.h. Sattel
70

3. c 2 < 4f ′ (0)
⇒ Eigenwerte komplex
⇒ Zentrum oder Fokus (uninteressant für Verbindungsorbit)
⇒ Fall 3 entfällt
b) Analog in (1,0)
⇒ 4 Kombinationen möglich: nur 2 interessante
a) Sattel-Sattel
b) Knoten-Sattel
Bestimme Kriterien, sodass ein Verbindungsorbit existiert ↦→ Bedingungen an c
b) Knoten-Sattel ⇒ c =
Satz 14.4
1∫
f(v)dv
0
1∫
P (v)dv
0
< 0
(i) f ′ (0) < 0, f ′ (1) < 0, f hat genau 1 Nullstelle in (0,1), dann existiert ein eindeutig bestimmtes c, das
zu einem Verbindungsorbit gehört.
(ii) f ′ (0) > 0, f ′ (1) < 0 und f(u) > 0 (u ∈ (0, 1))
Dann existiert c ∗ < 0, sodass für alle c < c ∗ ein Verbindungsorbit zwischen (0,0) und (1,0)
[Fife: Lecture Notes Springer]
Beweis (zu (ii) )
• c < 0
• µ geeignet bestimmen
T Trajektorie, die zur stabilen Mannigfaltigkeit von (1,0) gehört
• Vektorfeld:
Für P > 0, P klein, ∂P
Für P = µv:
∂u
=
−cP −f(v)
P
= −c − f(v)
P < 0
∂P
∂v = −cµv−f(v)
µv
= −c − f(v)
µv ≥ −c − ν µ
−c − ν µ ≥ µ ⇔ −cµ − ν ≥ µ2 ⇔ 0 ≥ µ 2 + cµ + ν
a) beide Nullstellen 1 2 (−c ± √ c 2 − 4ν) ∈ R
b) −c − √ c 2 − 4ν ≤ µ ≤ −c + √ c 2 − 4ν
Also falls c ≤ − √ 4ν < 0, dann existiert ein Verbindungsorbit.
≥ µ durch Wahl µ mit ν := sup
v
Beachte: c 2 ≥ 4f ′ (0)
} {{ }
Bedingung für Knoten
gilt wegen ν ≥ f ′ (0), also existiert c ∗ ∈
∀ c≤c ∗ eine Wellenfunktion existiert.
f(v)
v
≥ f ′ (0)
[
− √ 4ν, − √ ]
4f ′ (0) , sodass
71

Teil VI
Diskrete Dynamik
15 Die Poincaré-Abbildung
Zeit-T-Abbildung
{
ẋ(t) = f(t, x(t))
(I)
, f : R × D → R n D ⊂ R n offen, f stetig, lokal lipschitz-stetig bezüglich x
x(t 0 ) = x 0
⇒ x(t, t 0 , x 0 ) ist eine Lösung der AWA.
Definition 15.1 (Zeit-T-Abbildung)
Sei T ∈ R wir definieren die Zeit-T-Abbildung P T (oder den T-Verschiebungsoperator)
P T : x 0 ↦→ x(t 0 + T, t 0 , x 0 ) =: P T (x 0 )
15.1 Anwendung
a) T-periodische DGL
(II)
{
ẋ(t) = f(t, x(t))
x(t 0 ) = x 0
, f T-periodisch f(t + T, x) = f(t, x) ∀ x,t∈R
Satz 15.1 Eine T-periodische DGL (II) besitzt genau dann eine T-periodische Lösung x(t), wenn
x 0 := x(x 0 ) Fixpunkt der Zeit-T-Abbildung P T (x) ist, also P T (x 0 ) = x 0 .
Beweis ′′ ⇒ ′′ Es sei x(t,t 0 ,x 0 ) eine T-periodische Lösung von (II), das heißt x(t + T, t 0 , x 0 ) =
x(t, t 0 , x 0 ) ⇒ ∃ x(t) ∀ t∈R
x 0 := x(t 0 , t 0 , x 0 ), P T (x 0 = x(t 0 + T, t 0 , x 0 ) = x(t 0 , t 0 , x 0 ) = x 0 ⇒ d.h. x 0 ist Fixpunkt für P T
Beweis ′′ ⇐ ′′ Es sei x 0 ein Fixpunkt für P T ⇔ x 0 = P T (x 0 )
Setze y(t) := x(t + T, t 0 , x 0 ), y(t 0 ) = x(t 0 + T, t 0 , x 0 ) = P T (x 0 ) = x 0
ẏ(t) = ẋ(t + T, t 0 , x 0 ) = f(t + T, x(t + T, t 0 , x 0 )) = f(t, x(t + T, t 0 , x 0 )) = f(t, y(t))
⇒ x(t, t 0 , x 0 ) = y(t) = x(t + T, t 0 , x 0 ) ⇒ x(t, t 0 , x 0 ) ist T-periodisch.
b) T-periodische lineare DGL
(III)
{
ẋ(t) = A(t)x + a(t)
x(t 0 ) = x 0
, A(t), a(t) stetig und A(t+T) = A(t), a(t+T) = a(t)
∫ t
x(t, t 0 , x 0 ) = X(t, t 0 ) · x 0 + X(t, s)a(s)ds mit X(t) Fundamentalsystem mit X(0) = 1
t 0
∫ T
P T (x 0 ) := X(T )x 0 +
t 0
X(T, s)a(s)ds = X(T )x 0 + η
} {{ }
η
72

Satz 15.2 Die T-periodische lineare DGL (III) bestitzt genau dann eine T-periodische Lösung, wenn
sie eine gleichmäßig beschränkte Lösung hat.
Beweis(Skizze)
⇒
trivial
⇒ nach Satz 15.1 hat (III) T-periodische Lösung ⇔ P T (x 0 = x 0 ⇔ X(T )x 0 + η = x 0
das heißt wenn x 0 nicht Fixpunkt ist ⇒ alle Lösungen sind nicht beschränkt
Lineare Algebra x 0 = X(T )x 0 + η nicht lösbar ⇔ ∃ ρ : (X(T )) t · ρ = ρ, < ρ, ρ >≠ 0 . . .
c) T-periodische homogene DGL
(IV )
{
ẋ(t) = A(t)x(t)
x(t 0 ) = x 0
, A(t+T) = A(t), P T (x 0 ) := X(T )x 0
Satz 15.3 (von Floquet)
X(t) = Q(t)e t·B , wobei Q(t) = Q(t + T ),
B : X(t) = e T B
Definition 15.2
(i) M := X(T ) von (IV) heißt auch Monodromiematrix .
(ii) Die Eigenwerte der Monodromiematrix X(T) heißen charakteristische- oder Floquetmultiplikatoren
von (IV)
(iii) Sei λ ∈ σ(X(T )) dann heißt β ∈ C mit λ = e T β charakteristischer- oder Floquetexponent von
(IV)
⇒ β Eigenwert von B ⇒ T β ist Eigenwert von T ·B ⇒ λ = e T ·B ist Eigenwert von X(T ) = e T ·B
X(t) = Q(t)p m (t)e βt , (m = 0, k − 1) p m (t) Vektorpolynom von Grad ≤ m.
Satz 15.4 Die DGL (IV) besitzt genau dann eine nicht-triviale T-periodische Lösung, wenn λ = 1
ein Floquetmultiplikator ist.
Beweis nach Satz 15.1 ist x 0 ∈ D genau dann ein Fixpunkt von P T (x) = X(T )x, wenn X(T )x 0 =
x(t) eine T-periodische Lösung von (IV) ist.
x 0 ∈ D\{0}, x 0 − X(T )x 0 = 0 ⇒ x 0 (1 − X(T )) = 0 ⇒ Ker(1 − X(T )) ≠ 0 ⇒ λ ist Eigenwert von
X(T ).
15.2 Stabilität der periodischen Lösung
(II) ẋ(t) = f(t, x(t)), f lokal lipschitz-stetig, f(t + T, x) = f(t, x)∀ t,x∈R
Sei x ∗ (t, t 0 , x 0 ) eine T-periodische Lösung von (II).
73

ẏ = Df(t, x)| x=x ∗ (t) · y x 0 ↦→ P T (x 0 ) = x 0
Df(t, x ∗ ) =: A(t, x) − A(t + T, x) = A(t, x) DP T (x)| x=x0 = X(T )
⊛ ẏ = A(t) · y, A(t + T ) = A(t) ⇓
y(t) = X(t) · y 0 (X(T ) = e T B λ = σ(X(T )) (Eigenwert von X(T ))
⇒ X(t) = Q(t)p m (t)e Bt ⇒ |λ| < 1 x = x 0 stabil
|λ| > 1
x = x 0 instabil
Satz 15.5 Es sei x ∗ (t) T-periodische Lösung von (II), dann gilt für alle Floquetmultiplikatoren λ, der
linearisierten Gleichung ⊛: |λ| < 1 so ist x ∗ (t) asymptotisch stabil, |λ| > 1 so ist x ∗ (t) instabil
Autonome DGL
{
ẋ(t) = f(x)
(V )
, x ∗ (t) = x ∗ (t + T ) T-periodische Lösung von (V), ẏ(t) = Df(x ∗ (t))y
x(t 0 ) = x 0
⇒ λ = 1 ist ein Floquetmultiplikator!
⇒ Poincaré-Abbildung - Idee:
Betrachtung eines (n-1)-dimensionalen Unterraumes H der komplementär
zum Tangentialvektor f(z) im Punkt z ist.
15.3 Poincaré-Abbildung nahe eines periodischen Orbits für autonome Systeme
ẋ = f(x), f : D → R n , D ⊂ R n offen
ϕ(t, x 0 ) T-periodische Lösung
ϕ(t + T, x 0 ) = ϕ(t, x 0 )
Sei Σ eine (N-1)-dimensionale Fläche: x 0 ∈ Σ und transversal zum Fluss ϕ(t)
< f(x 0 ), n(x 0 ) >≠ 0, n(x) Normalvektor zu Σ in x 0 ⇒ transversaler Schnitt.
∀ x∈V
(V Umgebung von x 0 ) ∃ t=t(x) : ϕ(t(x), x) ∈ Σ
P: V → Σ heißt Poincaré-Abbildung
x ↦→ ϕ(t(x), x)
x 0 ↦→ P (x 0 ) = x 0 ⇒ x 0 Fixpunkt für P
Beispiel
ẋ = x − y − x(x 2 + y 2 )
ẏ = x + y − y(x 2 + y 2 )
x = r cos θ
y = r sin θ
⇒ ṙ = r(1 − r2 )
˙θ = 1
(x, y) ∈ R 2
Σ := { }
(r, θ) ∈ R × S 1 |r > 0, θ = θ 0 , τ(r) = 2π
( ( (
P : Σ → Σ : (r 0 , θ 0 ) → P (r 0 , θ 0 ) := φ 2π (r 0 , θ 0 ) = 1 +
( ( ) ) − 1
1
r → 1 + − 1 e −4π 2
r0
2
P (r 0 ) = r 0 ⇒ r 0 = 1
( ( ( ) ) − 1
)
1
⇒ r = 0, r = 1 Fixpunkte ⇒ φ t (r 0 , θ 0 ) = 1 + − 1 e −2t 2
, t + θ
r0
2 0
1
r 2 0
) ) − 1
)
− 1 e −4π 2
, 2π + θ 0
74

( ( ) ) − 3 (
1
1 + − 1 e −4π 2
·
r0
2
a) DP (r)| r=r0 = − 1 2
⇒ r 0 = 1 stabiler Fixpunkt für P(r)
⇒ x 2 + y 2 = 1 stabiler Orbit
d
b)
dr (r { − r3 )| r=1 = 1 − 3r 2 | r=1 = −2
˙ξ = −2x
⇒
⇒ Dφ t (ξ 0 , θ 0 ) = (e
˙θ −2t ξ 0 , t + θ 0 )
= 1
)
2e −4π
|
r0
3 r=1 = e −4π < 1
DP = e −4π
15.4 Die Poincaré-Abbildung einer zeitperiodischen DGL
(1) ẋ(t) = f(t, x(t)) f : R × D → R n , D ⊂ R n offen, f(t + T, x) = f(t, x) T-periodisch
⇓
θ : R × S 1
t ↦→ ωt( { mod 2π )
ẋ = f(x, θ)
(2)
˙θ = ω
(x, θ) ∈ R n × S 1
⇒ (x(t), θ(t)) = (x(t), ωt + θ 0 ( mod 2π ))
transversaler Schnitt Σ¯θ 0
:= { (x, θ) ∈ R n × S 1 |θ = ¯θ 0 ∈ (0, 2π] }
( )
( )
0
( )
0
n = , < f, n >= f(x, θ) ω · = ω ≠ 0
1
1
P : Σ¯θ 0
→ Σ¯θ 0
(
x
( ¯θ0−θ
ω
)
, θ 0
)
↦→
(
x
( )
¯θ0−θ+2π
ω
, ¯θ
)
0 + 2π
Beispiel
ẍ + δẋ + ω 2 0x = γ cos ωt
x(t) = x hom (t) + x par (t)
hom: ẍ + δẋ + ω 2 0x = 0
P (λ) = λ 2 δλ + ω 2 0 = 0
λ 1/2 = − δ 2 ± √
δ 2 −4ω 2 0
2
1) δ 2 − 4ω 2 0 > 0 ∃ λ(1/2)∈R
x h (t) = c 1 e λ1t + c 2 e λ2t ,
c 1 , c 2 ∈ R
λ 1 , λ 2 < 0 ⇒ x h (t) → 0 (t → ∞)
2) δ 2 − 4ω0 2 = 0 λ 1 = λ 2 = − δ 2
x h (t) = (c 1 + tc 2 )e λt , c 1 , c 2 ∈ R
x h (t) → 0 (t → ∞)
3) δ 2 − 4ω 2 0 < 0 λ 1/2 = ( − δ 2 + i) ∈ C
ω ≠ ¯ω
x h (t) = (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) e − δ 2 t
wobei ω = 1 2√
−(δ2 − 4ω 2 0 ), c 1, c 2 ∈ R
x h (t) → 0 (t → ∞)
75

{
ẋ = y
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ẏ = −ω0x 2 − δy + γ cos ωt
⇓
ẋ = y
ẏ = −ω 2 0x − δy + γ cos ωθ
˙θ = ω
( ) (
ẋ
⇒ =
ẏ
⇒
) ( ) ( )
0 1 x 0
+
−δ y γ cos ωt
−ω 2 0
Fluss ϕ(x(t), y(t), ω(t) + θ 0 )
x(t) = e − δ 2 t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) + A cos ωt + B sin ωt
y(t) = ẋ(t)
⇒ c 1 , c 2 : x(t 0 ) = x 0 , ( y(t 0 ) = y 0
)
⇒ c 1 = x 0 − A, c 2 = 1 δ
ω 2 x 0 + y 0 − δ2 2 A − ωB
Σ : θ 0 = 0
Σ 0 := {(x, y, θ) ∈ R 2 × S 1 |θ = 0 ∈ [0, 2π)}
P ( :)
Σ → Σ
x
↦→ e − δπ ω
y
l = cos 2π ω ω ;
(
l +
δ
2ω s 1
ω s
) ( )
x
− ω2 0
ω
s l − δ
2ω s +
y
s = sin 2π ω
ω
(
e
− δπ ω
e − δπ ω
[ (
−Al + −
δ
2ω − ω ω B) S ] )
[ ( ) ]
+ A
ω
2
0
−ωBl +
ω A + δω
2ω B s + ωB
P ist eine affine Abbildung:
⇒ (x, y) = (A, ωB)
DP (x, y)| A,ωB ⇒ λ 1/2 = e − πδ
ω ±i2π ω ω
Resonanz ω = ω
⇒ stabiler periodischer Orbit
P
(
:
)
Σ → Σ
x
= e − δπ ω
y
( ) ( ) ⎛ ( ) ⎞
1 0 x
+ ⎝ A 1 − e − δπ ω
( ) ⎠
0 1 y ωB 1 − e − δπ ω
∃ Fixpunkt für P (x, y) = (A, ωB)
DP (A, ωB) ⇒ λ = e − δπ ω
⇒ stabiler periodischer Orbit
76

16 Diskrete Dynamische Systeme
16.1 Einfache Begriffe
(i) O + (x) := {x, f(x), f(f(x)), . . .} vorwärtsgenommener Orbit
(ii) Falls f ein Homöomorphismus ist, dann ist: O − (x) := {x, f −1 (x), f −1 (f −1 (x)), . . .} der rückwärtsgenommene
Orbit
(iii) O(x) := {f n (x) | n ∈ Z}
(iv) x = f(x), dann ist x ein Fixpunkt von f
(v) x = f 2 (x): x ↦→ f(x) ↦→ f(f(x)) = ! x Fixpunkt von f 2 oder auch x 2-periodische Lösung
x ist n-periodischer Punkt :⇔ x = f n (x)
Beispiel
a) f(x) = x 3 : Fixpunkt x = x 3 ⇔ x = 0 oder x = ±1
b) f(x) = x 2 − 1: Fixpunkt x = 1±√ 5
2
x 0 = −1 ↦→ x 1 = 0 ↦→ x 2 = −1 . . .
x = −1 ist ein 2-periodischer Punkt.
c) f : S 1 → S 1 f(θ) := 2θ, f n (θ) = 2 n θ
periodische Orbits:
∃ k : f n (θ) = θ + 2πk = 2 n θ
Einheitswurzeln → θ = 2πk
2 n −1
(0 ≤ k ≤ 2 n )
Beispiele Sei M Mannigfaltigkeit, ϕ : M × Z → M, ϕ(x, n) := x n
(i) Iterationen, f : M → M, x n+1 := f(x n ), (n ∈ Z)
(ii) f(x) = Ax, x n+1 := Ax n = A n x 1
Definition 16.1
(i) Halborbit: O + (x) := { x, f(x), f 2 (x), . . . }
}
(ii) falls f Homömorphismus O − := { x, f −1 (x), f −2 (x), . . . }
O(x) := {f n (x) | n ∈ Z} Orbit
Beispiel f(x) = Ax
⎛
⎞
A + 0 0 λ EW A + ⇒ |λ| > 1
⎜
(vereinfacht o.E) A = ⎝ 0 A − ⎟
0 ⎠ , λ EW A − ⇒ |λ| < 1
0 0 A 0 λ EW A 0 ⇒ |λ| = 1
Zerlegung von R m = E + ⊕ E − ⊕ E 0 invariante Unterräume.
Expansion
Kontraktion
Verallgemeinerung auf nicht lineare Abbildungen der Form f(x) = Ax + T.v.h.O. ⇒ Hartman-
Grobman für Abbildungen
77

Klassisches Beispiel
Logistische Abbildung
f µ (x) := µx(1 − x), f : [0, 1] → [0, 1], falls 0 ≤ µ ≤ 4
Frage Was passiert mit Iterationen x n+1 = f µ (x n ) für x n ∈ [0, 1]
(a) 0 ≤ µ ≤ 1: Kontraktion x = µx(1 − x)
x = 0 ist ein attraktiver Fixpunkt ∀ x0∈[0,1]
(b) µ ≥ 1 :
x = 0 bleibt Fixpunkt, aber verliert die Attraktivität.
Es existiert ein weiterer Fixpunkt x = 1 − 1 µ
(µ ≥ 1)
f µ (x) = µx(1 − x), f ′ µ(x) = µ − µ2x = µ − 2µ µ−1
µ = −µ + 2
Der Fixpunkt x = µ−1
µ
ist attraktiv, falls |2 − µ| < 1 ist.
Kreisabbildung f(ϑ) := ϑ + ε sin(2ϑ) (0 < ε < 1 2 )
Fixpunkte:
0, π 2 , π, 3 2π, 2π
Stabilität:
f’ im Fixpunkt untersuchen
f ′ (0) = f ′ (π) = · · · = 1 + 2ε > 1 abstoßend
f ′ ( π 2 ) = f ′ ( 3 2π) = · · · = 1 − 2ε < 1 anziehend
Verallgemeinerung: f(ϑ) := ϑ + ε sin(Nϑ) (0 < ε < 1 N )
Translationen:
T λ (ϑ) := ϑ + 2πλ
1. λ = p q , p, q ∈ Z, T q λ
(ϑ) = qϑ + 2πp ≡ ϑ
⇒ T q q (ϑ) = ϑ also Identität
p
2. λ /∈ Q ⇒ jeder Orbit von T λ liegt dicht in S 1 .
Übertragen in 2-dim:
Billiards
x 1
x 0
a x 3
a
α)
b ∈ Q ⇒ periodische Orbits β) a
b
b
/∈ Q Trajektorien liegen dicht
Identifikation gegenüberliegender Seiten ⇒ Bewegung auf einem Torus.
78

Verallgemeinerung des Gebiets:
Zum Beispiel Stadion oder Sinai Billard
Ersetze Rechteck durch Konvexes Gebiet.
2D-Abbildungen Hénon-Abbildung f : R 2 → R 2 , (x, y) ↦→ (y + 1 − ax 2 , bx)
( ) (
)
y
f −1 x
b
=
y x − 1 + a y2
b 2
Vereinfachung:
Lozi-Abbildung : Hénon-Abbildung ersetzen durch “stückweise lineare Abbildung”
( )
x
↦→ (1 − y − a|x|, bx)
y
16.2 Allgemeine Konzeption
Definition 16.2 Seien ϕ 1 , ϕ 2 Diffeomorphismen auf M
ϕ 1 und ϕ 2 topologisch konjugiert :⇔ ∃ h:M→M Homöo. : ϕ 1 ◦ h = h ◦ ϕ 2 bzw. h −1 ◦ ϕ 1 ◦ h = ϕ 2
Beispiel ϕ 1 (x) = 1 3 x, ϕ 2(x) = 1 2 (x), x ∈ R = M
gesucht h(x): 1 (h(x)) = h(ϕ 2 (x)) ⇔ 1 3 h(x) = h( 1 2 x)
{
ϕ
Ansatz h(x) =
x α x ≥ 0
−x α x < 0
( ) α
1 1
3 xα =
2 x ( ) α
1 1
3 xα = x α
2
1
3 = ( 1
2
) α
2 α = 3 ⇒ α = ln 3
ln 2
Definition 16.3 (Hyperbolischer Periodischer Punkt)
Voraussetzung:
p n-periodischer Punkt von ϕ ⇔ p Fixpunkt von ϕ n
p hyperbolisch :⇔ ∂
∂x (ϕn )(p) hat keinen Eigenwert von Betrag 1.
Verallgemeinerung:
∂ϕ n ∂ϕ
∂x
(p) =
∂x (pn−1 ) · · · ∂ϕ
∂x (p)
Satz 16.1 (Hartman-Grobman für Abbildungen)
Voraussetzungen:
ϕ Diffeomorphismus, p hyperbolischer n-periodischer Punkt von ϕ
Behauptung:
ϕ ist lokal topologisch konjugiert zu
∂ϕ
∂x (p)
} {{ }
lineare Abbildung
79

16.2.1 Invariante Mannigfaltigkeit
a) f(x) = Ax −→ Zerlegung von A: σ(A) = σ + (A) ∪ σ − (A) ∪ σ 0 (A)
⎛
⎞
A +
⎜
A = ⎝ A − ⎟
⎠ ←−−−−−−−−− EW|λ| > 1, |λ| < 1, |λ| = 1
Jordannorm.
A 0 R m = E + ⊕ E − ⊕ E 0
Falls E 0 = {0} dann: R m = E + ⊕ E −
E + , E − , E 0 invariante Unterräume,
0 hyperbolisch
1) Verallgemeinerung auf nicht-lineare Systeme
2) Reduktion der Dynamik auf “Zentrumsmannigfaltigkeit”
stabile Situation −−−−−−−−−−−→
Instab. erzeugen 3 typische (generische) Situationen
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1 Eigenwert kreuzt 1
1 Eigenwert kreut -1
1 Paar konjugiert komplexer Eigenwerte
Restliche Situationen sehr speziell
b) Nichtlineare Systeme f(x) = 0 + ∂f
∂x
(0) · x + TvhO o.E. f(0) = 0
(i) zu A gehört eine Aufspaltung wie in a)
(ii) Definition der Mannigfaltigkeiten (zum Fixpunkt x = 0)
Definition 16.4 (Mannigfaltigkeiten)
globale stabile Mannigfaltigkeit W − (x) := {x ∈ R m | x n+1 → x (n → ∞)}
globale instabile Mannigfaltigkeit W + (x) := {x ∈ R m | x n+1 → x (n → −∞)}
Beispiel
u n+1 = 1 2
x = (u, v)
u n + u n (v n − u 2 n)
v n+1 = 2v n − 7 4 u2 n
( )
1
2
0
x = (0, 0), Linearisierung in x A = −→ hyperbolisch
0 2
Bemerkung
( ) ( v ) = u( 2 ist invariante ) Menge für ( das ) nicht-lineare System
u 1 n 2
↦→
u 1
n 2
=
u n
u
auf dem Graph
v n u 2
Bemerkung
1
4 v n
1
4 u2 n
lokal lassen sich die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten W + , W − als Graph von
Funktionen beschreiben, die tangential zu den entsprechenden Räumen E + , E − liegen.
Das heißt ∃ h − :E − ∩U − (0)→E + ⊕E 0 ∃ h + :E + ∩U + (0)→E − ⊕E 0 Ck − Abbildungen, falls f C k , h + (0) = h − (0) =
∂h +
∂x
(0) = ∂h−
+ ∂x
(0) = 0
−
Definition 16.5
lokale instabile Mannigfaltigkeit {(u, h + (u)) | u ∈ E + ∩ U + (0)}
lokale stabile Mannigfaltigkeit {(v, h − (v)) | v ∈ E − ∩ U − (0)}
80

16.2.2 Zentrumsmannigfaltigkeit bei Abbildungen
Situation
x ↦→ A 0 x + f(x, y)
y ↦→ A − y + g(x, y)
(1)
mit f(0, 0) = Df(0, 0) = g(0, 0) = Dg(0, 0) = 0, λ ∈ σ(A 0 ) ⇒ |λ| = 1, λ ∈ σ(A − ) ⇒ |λ| < 1
Frage
Was passiert mit Iterationen
( ) (
)
x n+1 A 0 x n + f(x n , y n )
=
?
y n+1 A − y n + g(x n , y n )
Bemerkung
Es gelten analoge Sätze wie bei DGL.
Satz 16.2 Es existiert lokal: C r -Mannigfaltigkeit für (1)
wobei h : R c → R s C r mit h(0) = 0, Dh(0) = 0.
W c
loc (0) = {(x, y) ∈ Rc × R s | y = h(x), |x| < δ}
Die Dynamik von (1), eingeschränkt auf die Zentrumsmannigfaltigkeit, ist durch das System (2) gegeben
u ↦→ A 0 u + f(u, h(u)) (u ∈ R c ) (2)
Satz 16.3
⎧
⎫
⎧
⎪⎨ stabil ⎪⎬
⎪⎨
(i) u = 0 asymp. stabil
⎪⎩
⎪⎭ Fixpunkt von (2) ⇐⇒ (0, 0)ist ⎪ ⎩
instabil
⎫
stabil ⎪⎬
asymp. stabil Fixpunkt von (1)
⎪⎭
instabil
(ii) Falls u=0 stabile Lösung von (2):
Zu jeder Lösung (x n , y n ) von (1) und (x 0 , y 0 ) genügend klein existiert eine Lösung u n von (2) und
Konstanten k > 0, 0 < β < 1, sodass |x n − u n | ≤ kβ n , |y n − h(u n )| ≤ kβ n (n → ∞)
Satz 16.4 (Approximation)
Voraussetzungen ϕ : R c → R s C 1 −Abbildung mit ϕ(0) = 0, Dϕ(0) = 0
A 0 x + f(x, ϕ(x)) − A − ϕ(x) − g(x, ϕ(x)) = O(|x| q ) (q > 1)
zum Beispiel ϕ durch Taylor-Ansatz bestimmen
Behauptung h(x) − ϕ(x) = O(|x| q )
Frage
Lässt sich das System (1) reduzieren auf ein (lokal äquivalentes) niedrig-dimensionales System?
81

Antwort
werden!
Die Zentrumsmannigfaltigkeit y = h(x) existiert lokal und kann näherungsweise berechnet
y n+1 = A s y n + g(x n , y n )
h(x n+1 ) = A s h(x n ) + g(x n , h(x n ))
h(f(x n , h(x n )) + A 0 x n ) = A s h(x n ) + g(x n , h(x n ))
⇒ Identität in x: h(A 0 x + f(x, h(x))) ≡ A s h(x) + g(x, h(x))
Aussage von Satz 16.4
Falls ϕ(x) erfüllt:
ϕ(A 0 x + f(x, ϕ(x)) − A s ϕ(x) − g(x, ϕ(x)) = O(|x| q ) (q > 1)
dann gilt:
h(x)−ϕ(x) = O(|x| q ) ← benutzen um in der reduzierten Gleichung Stabilitätsuntersuchungen
vorzunehmen.
Reduzierte Gleichung
u n+1 = A 0 u n + f(u n , h(u n )) ← h i.a. nur näherungsweis zu bestimmen als ϕ
Approximation u n+1 = A 0 u n + f(u n , ϕ(u n ))
Beispiel
(
x ↦→ x + xy
y ↦→ 1 2 y + A =
x2
)
1 0
, h(0) = h ′ (0) = 0
0
1
2
A 0 = (1), A s = ( 1 2 ) y = h(x) = ax2 + bx 3 + O(|x| 4 )
Definierende Gleichung für h:
h(x + x · h(x)) = 1 h(x) + x2
2
a[x + xh] 2 + b[x + xh] 3 + O(|x| 8 ) = 1 2 ax2 + 1 2 bx3 + x 2 + O(|x| 4 )
ax 2 + 2ax 2 h + ax 2 h + bx 3 + O(|x| 4 )) ≡ 1 2 ax2 + x 2 + 1 2 bx3 + O(|x| 4 )
Einsetzen in reduzierte Gleichung:
}
a = 1 2 a + 1 ⇒ a = 2
b = 1 2 b ⇒ b = 0 ⇒ h(x) = 2x 2 + O(|x| 4 )
u n+1 = u n + u n (2u 2 n + O(|u n | 4 )
= u n + 2u 3 n + O(|u n | 5 )
⇒ 0 instabil
Zwischenergebnis
x n+1 = f(x n ), f Diffeomorphismus
↓ Reduziertes System auf Zentrumsmannigfaltigkeit
82

u n+1 = A 0 u n + g(u n ), A 0 hat nur Eigenwerte mit Betrag 1 (n 0 × n 0 )-Matrix
↓ Systematisch verschiedene Fälle untersuchen
Klassifizierung
1. n 0 = 1 (A) A 0 =
(
1
)
(B) A 0 = −1
( )
2. n 0 = 2 (A) A 0 cos(α) − sin(α)
=
(B) A 0 1 0
=
sin(α) cos(α)
0 1
( )
(C) A 0 1 1
=
0 1
16.2.3 Normalformen
Situation
f : R n → R n ein glatter Diffeomorphismus, f(0) = 0 Taylor
⇒ f(x) = Ax + f 2 (x) + f 3 (x) +
. . . + f k (x) + O(|x| k+1 ) mit f r r-Linearformen ∈ H r
Ziel
Frage
Eliminiere Terme von höherer Ordnung durch Transformation.
Wie erreicht man das?
Annahme f(x) = Ax + f r (x) + O(|x| r+1 ) (r ≥ 2)
Transformation x = y + k r (y) =: K(y)
Transformation ˜f(y) : = K −1 (f(K(y)))
= K −1 (f(y + k r (y)))
= K −1 (Ay + Ak r (y) + f r (y) + O(|y| r+1 ))
K −1 (y) = y − k r (y) + O(|y| r+1 )
⇒ ˜f(y) = K −1 (Ay+Ak r (y)+f r (y)+O(|y| r+1 )) = Ay
}{{}
lin.
+ Ak r (y) + f r (y) − k r (Ay)
} {{ }
=0 Ziel
+ O(|y| r+1 )
} {{ }
Rest von Ordn. r+1
”= 0” ⇔ M A k r (y) := k r (Ay) − Ak r (y) ! = f r (y)
M A : H r → H r ,
k r ↦→ M A k r linear
Lineare Algebra: Lösbar falls M −1
A
existiert, das heißt kein Eigenwert von M A = 0. Die
Eigenvektoren von M A sind bekannt: x m · e i . Falls A = diag(λ i ), dann sind die Eigenwerte
von M A :
M A (x m e i ) = (λ m − λ i ) x m e i , wobei λ m := λ m1
1 · · · λ mn
n
} {{ }
Eigenwerte
m 1 + . . . + m n = m
M A ist invertierbar falls λ m − λ i ≠ 0 für alle Konstellationen.
Definition 16.6 λ := (λ 1 , . . . , λ n ) Eigenwert-Tupel heißt resonant von der Ordnung r :⇔ ∃ m : ∑ m j =
r λ i = λ m
Bemerkung
(i) Wenn 0 kein Eigenwert von M A ist, das heißt keine resonanten Terme der Ordnung r, dann können
alle Terme der Ordnung r eliminiert werden.
83

(ii) Analog wie bei Flüssen können auch Diffeomorphismen auf Normalform reduziert werden.
∑
J y + N ω r (y) + O(|y|N + 1) mit ω r Monom von Ordnung r
r=2
Spezialfälle gemäß Klassifikation
1. n 0 = 1
(A) A = (1) ⇔ f(0) = 0, f ′ (0) = 1, λ 1 = 1
Bestimmung der resonanten Terme: 1 = λ 1
!
= λ m = λ m 1 = λ r 1 = 1 r erfüllt für alle r, also
sind alle Terme resonant.
(B) A = (−1) ⇔ f(0) = 0, f ′ (0) = −1, λ 1 = −1
Bestimmung der resonanten Terme: −1 = λ 1
!
= λ m = λ m 1 = λ r 1 = (−1) r erfüllt für alle r
ungerade, also sind alle ungeraden Terme resonant und alle geraden Terme können eliminiert
werden.
⇒ f(x) = −x + N ∑
Folgerung:
r=1
a 2r+1 x 2r+1 + O(|x| 2N+3 )
f(−x) = −f(x) Symmetrie, also wenn x Lösung von x = f(x), dann auch −x.
Zum Beispiel f(x) = −x + a 3 x 3
2. n 0 = 2
(A) A =
(
cos(α
sin(α)
)
− sin(α)
⇔ f(0) = 0,
cos(α)
∂f
∂x
(0) = A mit α irrationalem Vielfachem von 2π.
Behauptung
Die Normalform von f enthält nur ungerade Terme.
Beweisskizze Diagonalisierung von A vermöge z 1 = z = x + iy
z 2 = z = x − iy
Resonanzbedingung: λ i
!
= λ m
J C =
( )
e iα 0
0 e −iα
λ 1 = e iα !
= ( e iα) m 1
(
e
−iα ) m 2 m1 + m 2 = r
= e iα(m1−m2) ⇒ m 1 − m 2 = 1
λ 2 = e −iα !
= e iα(m1−m2) ⇒ m 1 − m 2 = −1
( ) ( )
z m+1 z m
0
das heißt resonante Terme:
oder
0
z m z m+1
16.2.4 Verzweigungstheorie
∂f
Sei x n+1 = f(x n , µ) ein parameterabhängiges System mit µ ∈ R und Linearisierung (x, µ) , A hat
}
∂x
{{ }
konst. Matrix A
Eigenwerte in Abhängigkeit vom Parameter µ, λ = λ(µ)
Bemerkung
Falls f genügend oft differenzierbar in x und µ ist und der Eigenwert geometrisch einfach
ist, dann ist auch der Eigenwert λ(µ) eine glatte Funktion.
84

Frage Was kann im Übergang der Eigenwerte λ von |λ| < 1 zu |λ| > 1 passieren? - Verzweigungstheorie
für diskrete dynamische Systeme!
Skalare Situation
f : R × R → R
(x, µ) ↦→ f(x, µ) mit Fixpunkt x = 0, µ = 0 das heißt Normierung f(0, 0) = 0.
Taylor f(x, µ) = f(0, 0)
} {{ }
=0
+ ∂f
∂x
}{{}
A
·x + ∂f
∂µ (0, 0) · µ + 1 2
[
∂ 2 f
∂x 2 (0, 0)x 2 + ∂2 f
∂x∂µ (0, 0)xµ + ∂2 f
∂µ 2 (0, 0)µ 2 ]
+ TvhO
Untersuche die Situation für ∂f
∂x (0, 0) = A = (a 1,1 ) mit |a 1,1 | = 1 also a 1,1 = ±1.
(A) A = 1
Betrachte h(x, µ) := f(x, µ) − x Fixpunkte von f ↔ Nullstellen von h
Frage
Wie sieht das Nullstellenverhalten von h aus?
h(0, 0) = 0, das heißt (0,0) ist spezielle Lösung von h(x, µ) = 0
Falls ∂h (0, 0) ≠ 0, dann gilt nach dem Satz über implizite Funktionen, dass sich die Nullstellenmenge
lokal als Graph einer Funktion beschreiben lässt, das heißt ∃ µ=µ(x),µ(0)=0 : 0
∂µ
} {{ }
∂f
∂µ (0,0) ≡
h(x, µ(x))
∂
∂x
∂
∂x
x ≡ f(x, µ(x)) Identität in x (lokal)
1 ≡ ∂f
∂x
(x, µ(x)) +
∂f
∂µ
∂ 2 f
⇒ µ ′′ (0) = −
∂x
(0, 0)
2
(0, 0)
∂f
∂µ
(x, µ(x))∂µ
∂x
Bemerkung Für µ ′′ (0) ≠ 0, gibt es 2 Fälle (< 0, > 0)
Satz 16.5 (Sattel-Knoten-Verzweigung)
∂f
(x) ⇒ (0, 0) + ∂f (0, 0) µ ′ (0) = 1 ⇒ µ ′ (0) = 0
}
∂x
{{ }
∂µ
} {{ }
1
≠0
Voraussetzungen f(0, 0) = 0,
∂f
∂f
∂x
(0, 0) = 1,
∂µ (0, 0) ≠ 0, ∂ 2 f
∂x
(0, 0) ≠ 0
2
Behauptung Lösungsverhalten µ ′′ (0) > 0 (an der x-Achse gespiegelt für µ ′′ (0) < 0)
x
Λ
85

Beispiel f(x, µ) = x − µ + x 2
Fixpunkt von f x = x − µ + x 2 ⇔ µ = x 2 ⇔ x = ± √ µ (µ ≥ 0)
Bemerkung Falls ∂f
∂µ
(0, 0) ≠ 0, dann verläuft (lokal) durch (0,0) genau ein Lösungszweig. Damit sich
2 Lösungszweige schneiden ist ∂f
∂µ
(0, 0) = 0 notwendig.
Beispiel a) f(x, µ) = x + µx + x 2 b) f(x, µ) = x + µx + x 3
f(0, 0) = 0,
∂f
∂µ (0, 0) = 0, ∂f
∂x
(0, 0) = 1, x
= 0 Lösung ∀ y∈R (triviale Lösung)
Weitere Lösungen:
a) 1 = 1 + µ + x
x = −µ
x
b) 1 = 1 + µ + x 2
x = ± √ −µ
x
Λ
Λ
Allgemein Angenommen x = { 0 ist eine Lösung für alle µ, das heißt f(0, µ) = 0 also h(x, µ) =
f(x,µ)
x
x ≠ 0
x [F (x, µ) − 1], wobei F (x, µ) =
∂f
∂x
(0, µ) x = 0
also 0 = h(x, µ) ⇔ x = 0 oder 0 = F (x, µ) − 1 =: H(x, µ)
Spezielle Lösung H(0, 0) = F (0, 0) − 1 = ∂f
∂x
(0, 0) − 1 = 0
∂H
∂F
∂µ
(0, 0) =
∂µ (0, 0) = ∂2 f
∂x∂µ
(0, 0)
Falls ∂2 f
∂x∂µ
(0, 0) ≠ 0, dann gilt wie oben:
Es existiert eine eindeutig bestimmter Lösungszweig von H(x, µ) = 0 durch (0,0) µ = µ(x).
µ ′ (0) hängt von f ab.
Satz 16.6 (Transkritische- oder Pitchfork-Verzweigung)
Voraussetzungen f(0, µ) = 0 ∀ µ , ∂f
∂x
(0, 0) = 1
Behauptung
(i) falls
∂2 f
∂x∂µ (0, 0) ≠ 0 und ∂2 f
∂x 2
(ii) falls ∂2 f
∂
∂x∂µ
(0, 0) ≠ 0 und f(−x, µ) = −f(x, µ),
Verzweigung (b)
≠ 0, dann gibt es eine transkritische Verzweigung (a)
3 f
∂x 3 (0, 0) ≠ 0 dann gibt es eine Pitchfork
86

(B) A = −1 ⇒ f 2 ∂
= f ◦ f,
∂x f 2 = ∂f
∂f
∂x
(f(x, µ)) ·
∂x
(x, µ)
Sei x = x ein Fixpunkt mit ∂f
∂
∂x
(x, µ) = −1, dann ist
∂x f 2 = (−1) · (−1) = 1, das heißt wir haben Fall
(A) für f 2 , also existiert ein Fixpunkt für f 2 , das heißt eine 2-periodische Lösung für f.
Satz 16.7 (Periodenverdopplungs-Verzweigung, Flip-Verzweigung)
Voraussetzungen f(0, 0) = 0,
0,
∂ 2 f 2
∂x∂µ (0, 0) ≠ 0, ∂ 3 f 2
∂x 3 (0, 0) ≠ 0
∂f
∂x (0, 0) = −1, f(0, µ) ≡ 0∀ µ,
∂f 2
∂µ (0, 0) = 0, ∂ 2 f 2
∂x
(0, 0) =
2
Behauptung
In µ = 0 verzweigt von der trivialen Lösung x = 0 von x = f(x, µ) eine 2-periodische
Lösung, das heißt ein Fixpunkt von f 2 (x, µ). x ↦→ f(x, µ) ↦→ f(f(x, µ), µ) = x.
Allgemein für skalare Abbildungen
Sukzessive Anwendung dieses Satzes gibt weitere Periodenverdopplungen.
Resultat: Die Parameterwerte, bei denen die Periodenverdopplungen stattfinde, erfüllen
ein Skalierungsgesetz (universal): Feigenbaum-Konstante
1. Weg ins Chaos durch Periodenverdopplung
2. Weg ins Chaos mittels “Periode 3”
Satz 16.8 (Li-Yorke) Periode 3 impliziert Chaos (x = f 3 (x))
Satz 16.9 (Sarkowski) zeitgleich, etwas allgemeiner
“Zwischending” zwischen skalaren und planaren Abbildungen: Kreisabbildungen (später im Zusammenhang
mit planaren Gleichungen)
16.3 Planare Abbildungen
f : R 2 × R → R, f((x, y), µ),
∂f
∂x
(0, µ) reelle Matrix mit Eigenwerten auf dem Einheitskreis
• Reduktion auf Noralform
• Analyse des Lösungsverhaltens für die Normalform
• Analyse des Lösungsverhaltens für die Normalform mit kleinen Störungen
Satz 16.10 (Andronov-Hopf-Poincaré) [für Abbildungen]
Voraussetzungen f : R 2 × R → R 2 C 4
(i) f(0, λ) = 0 (|λ − λ 0 | klein )
(ii) ∂f
∂x (0, λ) hat Eigenwerte µ(λ), µ(λ) mit |µ(λ 0)| = 1
(iii) ∂f
∂λ |µ(λ 0)| > 0
87

(iv) µ k (λ 0 ) ≠ 1 (k = 1, 2, 3, 4)
Behauptung
1.) Durch glatte Koordinatentranformation erhält man eine Normalform
2.) Die Normalform lässt sich wie folgt in Polarkoordinaten darstellen
( ) (
)
r |µ(λ)|r − a(λ)r 3
=
ϑ ϑ + ω(λ) + b(λ)r 2
Falls a(λ 0 ) > 0, existiert eine Umgebung von 0 ∈ R 2 mit stabilem Ursprung für λ < λ 0 und stabilem
invarianten Kreis für λ > λ 0 . Falls a(λ 0 ) < 0, dann umgekehrt.
Bemerkung
einen invarianten Kreis.
Für Abbildungen die sich genau auf die Normalform transformieren lassen, erhält man
Falls noch Terme von höherer Ordnung bei der Normalform auftreten, erhält man eine geschlossene
invariante Kurve.
Was auf der invarianten Kurve passiert hängt von der 2. Komponente der Abbildung ab, das heißt ϑ ↦→
ϑ + ω(λ) + b(λ)r 2 ← Kreisabbildung
Die Bedingnung (iv) benötigt man, um die angegebene Normalform zu berechnen.
Beispiel mit “starken” Resonanzen
( ) ( )
x 1 x 2
↦→ = f(x
x 2 λ − x 2 1 , x 2 )
1
Fixpunkt: x 1 = x 2 , x 2 = λ − x 2 1 = λ − x2 2
Beim Stabilitätswechsel des Fixpunktes gilt für den zugehörigen Eigenwert µ = ±i, damit ist
(iv) verletzt und der Satz nicht anwendbar, aber es existiert trotzdem eine invariante Menge
bestehend aus ( einem ) Quadrat ( )(keine glatte Kurve).
Berechne f 2 x 1 λ − x 2 1
= ⇒ Fixpunkt von f 2 [Kocak-Hale page 497]
x 2 λ − x 2 2
Globales Verhalten von planaren Abbildungen
Transversale Schnittpunkte der stabilen und instabilen
Mannigfaltigkeiten ⇒ kompliziertes dynamisches Verhalten (Chaos), Hufeisenabbildung
88

Index
α-Limesmenge, 56
ω-Limesmenge, 56
2-periodischer Punkt, 77
abgeschlossen relativ, 68
Anziehungsbereich, 57
attraktiv, 57
Bogdanov, 48
charakteristische Multiplikatoren, 73
charakteristischer Exponent, 73
Diffusionsgleichung, 69
Duffing Oszillator, 8
Einheitswurzeln, 77
Fixpunkt, 77
Flip Verzweigung, 87
Floqueexponent, 73
Floquemultiplikatoren, 73
Fluchtzeit, 68
Fluss, 11, 13
globaler, 13
Halbfluss, 13
Flusslinie, 16
frontartig, 58
Gabel Verzweigung, 52, 86
globaler Attraktor, 57
Hénon-Abbildung, 79
Halborbit, 16, 77
heterokliner Orbit, 69
homokliner Orbit, 69
Hybride Probleme, 9
hyperbolische Projektion, 39
hyperbolischer Punkt, 31, 79
infinitesimaler Generator, 15
Jordan’scher Kurvensatz, 58
Kriterium von Bendixson, 62
kritischer Punkt, 16
La Salle, 67
LIE-Klammer, 43
Limesmenge
negativ, 56
positiv, 56
Ljapunov-Funktion, 66
Lokaler Transversalschnitt, 59
Lozi-Abbildung, 79
Mannigfaltigkeit, 27
global instabil, 27, 80
global stabil, 27, 80
lokal instabil, 27, 80
lokal stabil, 27, 80
Mathematisches Pendel, 5
mit Reibung, 7
Monodromiematrix, 73
Orbit, 77
Orbitale Ableitung, 66
Orientierung, 60
Periode, 17
minimal, 17
Periodenverdopplungs Verzweigung, 87
periodischer Punkt, 17
Phasenraum, 16
Pitchfork Verzweigung, 52, 86
Poincaré-Abbildung, 74
Poisson-Klammer, 43
Populationsdynamik, 8
pulsartig, 58
rückwärtsgenommener Orbit, 77
Reduktion, 38
regulärer Punkt, 31
Rektifizierung, 31
resonant, 42, 83
n-ter Ordnung, 44
Sattel-Knoten Verzweigung, 51, 85
89

Sphärisches Pendel, 7
subkritisch, 53
superkritisch, 53
T-Verschiebungsoperator, siehe Zeit-T-Abbildung
Takens, 48
Takens-Bogdanov Normalform, 48
topologisch äquivalent, 30
topologisch konjugiert, 79
Transkritische Verzweigung, 51, 86
unmittelbare Fluchtmenge, 67
van der Pol, 63
Verzweigung, 50
vorwärtsgenommener Orbit, 77
Wärmeleitungs-Problem, 8
Wazewski-Menge, 67
Zeit-T-Abbildung, 72
zentrale Projektion, 39
Zentrumsmannigfaltigkeit, 37, 40
90