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Inhaltsverzeichnis
FH Formelsammlung - Signale und Systeme Editiert: 21.02.2011
1 Grundlagen ........................................................................................................ 7
1.1 logarithmische Skalen ..................................................................................................................... 7
1.2 Dämpfung und Verstärkung ............................................................................................................ 8
1.3 Pegel ............................................................................................................................................... 9
1.4 Klirrfaktor ....................................................................................................................................... 10
1.5 Funktionen .................................................................................................................................... 11
1.5.1 verschieben von Funktionen ............................................................................................. 11
1.5.2 strecken und stauchen von Funktionen ............................................................................ 13
1.5.3 spiegeln von Funktionen ................................................................................................... 15
1.5.4 Rechteckimpulsfunktion .................................................................................................... 16
1.5.4.1 normale Darstellung ..................................................................................................... 16
1.5.4.2 alternative Darstellung ................................................................................................. 17
1.5.5 Sägezahnimpulsfunktion................................................................................................... 18
1.5.5.1 normale Darstellung ..................................................................................................... 18
1.5.5.2 alternative Darstellung ................................................................................................. 19
1.5.6 Sinus cardinalis, sinc() ...................................................................................................... 20
1.5.6.1 nicht normierte Darstellung .......................................................................................... 20
1.5.6.2 normierte Darstellung ................................................................................................... 20
1.5.6.3 allgemeine normierte Darstellung ................................................................................ 21
1.6 Abtastfunktion ............................................................................................................................... 21
1.7 Signaltypen ................................................................................................................................... 22
1.8 Faltung .......................................................................................................................................... 24
1.8.1 Faltprodukt ........................................................................................................................ 24
1.8.2 Faltung bei der Laplace Transformation ........................................................................... 24
1.8.2.1 Definition ...................................................................................................................... 24
1.8.2.2 Vorgehen ..................................................................................................................... 25
1.8.2.3 Faltung zweier Rechteckimpulse ................................................................................. 26
1.8.2.4 Impulsantwort eines Tiefpasses 1. Ordnung ................................................................ 28
1.8.2.5 Schrittantwort eines Tiefpasses 1. Ordnung ................................................................ 29
1.8.3 Faltung bei der Fouriertransformation .............................................................................. 30
1.8.3.1 Definition ...................................................................................................................... 30
1.8.3.2 Impulsantwort eines Tiefpasses 1. Ordnung ................................................................ 32
1.8.3.3 Schrittantwort eines Tiefpasses 1. Ordnung ................................................................ 34
2 Verzerrungen und Störungen ........................................................................ 36
2.1 thermisches Rauschen .................................................................................................................. 36
2.2 äquivalenter Rauschwiderstand, ENR ........................................................................................... 38
2.3 Signal-Rausch-Verhältnis, SNR .................................................................................................... 38
2.4 Rauschzahl, Rauschfaktor ............................................................................................................ 39
2.4.1 Definition ........................................................................................................................... 39
2.4.2 Rauschzahl, Rauschfaktor bei Kettenschaltung von Zweitoren ........................................ 39
2.5 Rauschen bei Zweitoren ............................................................................................................... 40
2.6 Rauschen bei idealen Verstärkern ................................................................................................ 41
3 Zweitore ........................................................................................................... 42
3.1 Parameter ..................................................................................................................................... 42
3.1.1 z-Parameter, Impedanz-Parameter .................................................................................. 42
3.1.2 y-Parameter, Admittanz-Parameter .................................................................................. 43
3.1.3 h-Parameter, Hybrid-Parameter ....................................................................................... 43
3.1.4 a-Parameter, Ketten-Parameter ....................................................................................... 44
3.1.5 k-Parameter, p-Parameter, c-Parameter, g-Parameter inverse Hybrid-Parameter ........... 44
3.1.6 b-Parameter, inverse Ketten-Parameter ........................................................................... 45
3.1.7 Umrechnungen ................................................................................................................. 45
3.1.8 Parameter von Bauelementen .......................................................................................... 46
3.1.9 Parameter von Schaltungen ............................................................................................. 46
3.2 Zusammenschaltungen ................................................................................................................. 48
3.3 Betriebsverhalten .......................................................................................................................... 49
3.3.1 Berechnung ...................................................................................................................... 50
3.3.2 Berechnung mit Parametern ............................................................................................. 51
4 Filter ................................................................................................................. 52
4.1 Grundlagen ................................................................................................................................... 52
4.1.1 Polstellen, Nullstellen und Stabilität .................................................................................. 52
4.1.2 Frequenzverhalten ............................................................................................................ 55
4.1.3 Frequenznormierung ........................................................................................................ 56
4.1.4 Filterspezifikationen .......................................................................................................... 57
4.2 Butterworth Tiefpass ..................................................................................................................... 58
4.2.1 Verhalten .......................................................................................................................... 58
4.2.2 Berechnung ...................................................................................................................... 58
4.3 Tschebyscheff Tiefpass ................................................................................................................ 59
4.3.1 Verhalten .......................................................................................................................... 59
4.3.2 Berechnung ...................................................................................................................... 59
4.4 Bessel Tiefpass ............................................................................................................................. 60
4.4.1 Verhalten .......................................................................................................................... 60
4.5 Frequenztransformation ................................................................................................................ 61
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4.5.1 Tiefpass zu Tiefpass ......................................................................................................... 61
4.5.1.1 Frequenznormierung.................................................................................................... 61
4.5.1.2 Beispiel mit Butterworth ............................................................................................... 61
4.5.1.3 Beispiel mit Butterworth und ω 3dB ................................................................................ 62
4.5.1.4 Beispiel mit Tschebyscheff .......................................................................................... 63
4.5.1.5 Beispiel mit Tschebyscheff und ω 3dB ........................................................................... 64
4.5.2 Hochpass zu Tiefpass ...................................................................................................... 65
4.5.2.1 Frequenznormierung.................................................................................................... 65
4.5.2.2 Berechnung ................................................................................................................. 66
4.5.2.3 Beispiel mit Butterworth ............................................................................................... 67
4.5.3 Beispiel mit Tschebyscheff ............................................................................................... 68
4.5.4 Bandpass zu Tiefpass ...................................................................................................... 69
4.5.4.1 Berechnung ................................................................................................................. 69
4.5.4.2 Beispiel mit Butterworth ............................................................................................... 70
4.5.4.3 Beispiel mit Tschebyscheff .......................................................................................... 71
4.5.5 Bandsperre zu Tiefpass .................................................................................................... 72
4.5.5.1 Berechnung ................................................................................................................. 72
4.5.5.2 Beispiel mit Butterworth ............................................................................................... 73
4.5.5.3 Beispiel mit Tschebyscheff .......................................................................................... 74
4.6 aktive Filter .................................................................................................................................... 75
4.6.1 aktiver Tiefpass 1. Ordnung .............................................................................................. 75
4.6.2 aktiver Tiefpass 2. Ordnung .............................................................................................. 76
4.6.3 aktiver Hochpass 2. Ordnung ........................................................................................... 77
4.6.4 aktiver Bandpass 2. Ordnung ........................................................................................... 78
4.6.5 aktive Bandsperre 2. Ordnung .......................................................................................... 79
4.7 passive Filter ................................................................................................................................. 80
4.7.1 passiver Tiefpass 1. Ordnung ........................................................................................... 80
4.7.2 passiver Hochpass 1. Ordnung ........................................................................................ 82
5 Leitungstheorie ............................................................................................... 84
5.1 Leitungswellenimpedanz ............................................................................................................... 84
5.2 Leitungsbeläge, Leitungsparameter .............................................................................................. 84
5.2.1 Beläge .............................................................................................................................. 84
5.2.2 Leitungswellenimpedanz .................................................................................................. 85
5.2.3 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit .................................................... 86
5.2.4 Koaxialkabel ..................................................................................................................... 86
5.2.5 Paralleldrahtleitung, Zweidrahtleitung mit gegensinniger Bestromung ............................. 87
5.3 Schaltvorgänge ............................................................................................................................. 88
5.3.1 Anfangswerte und Endwerte ............................................................................................. 88
5.3.2 Reflexionsfaktor ................................................................................................................ 89
5.3.3 Reflexion an einer Stossstelle .......................................................................................... 90
5.3.4 Phasensprung .................................................................................................................. 91
5.3.4.1 Spannungswellen ........................................................................................................ 91
5.3.4.2 Stromwellen ................................................................................................................. 92
5.4 eingeschwungene Leitung ............................................................................................................ 93
5.4.1 Ausbreitungskoeffizient ..................................................................................................... 93
5.4.2 Leitungswellenimpedanz .................................................................................................. 93
5.4.3 Spannungen und Ströme .................................................................................................. 94
5.4.4 Eingangsimpedanz ........................................................................................................... 95
5.4.5 Stehwellenverhältnis, VSWR, SWR .................................................................................. 96
6 Regelungstechnik ........................................................................................... 97
6.1 Differentialgleichungen .................................................................................................................. 97
6.1.1 Spannung und Strom ........................................................................................................ 97
6.1.2 Reihenschaltungen ........................................................................................................... 98
6.1.2.1 Widerstand und Kapazität in Reihenschaltung ............................................................ 98
6.1.2.2 Widerstand und Induktivität in Reihenschaltung .......................................................... 99
6.1.2.3 Widerstand, Kapazität und Induktivität in Reihenschaltung ....................................... 100
6.1.3 Parallelschaltungen ........................................................................................................ 101
6.1.3.1 Widerstand und Kapazität in Parallelschaltung .......................................................... 101
6.1.3.2 Widerstand und Induktivität in Parallelschaltung ........................................................ 102
6.1.3.3 Widerstand, Kapazität und Induktivität in Parallelschaltung ....................................... 103
6.2 Übertragungsfunktion .................................................................................................................. 104
6.2.1 Polstellen, Impulsantwort und Schrittantwort .................................................................. 104
6.2.2 Bedeutung von Polstellen ............................................................................................... 110
6.2.3 Bodediagramm ............................................................................................................... 111
6.2.3.1 Definition .................................................................................................................... 111
6.2.3.2 Darstellung im Raum und auf der imaginären Achse ................................................. 111
6.2.3.3 grundlegende Übertragungsfunktionen ...................................................................... 114
6.2.3.4 asymptotische Annäherungen ................................................................................... 118
6.2.3.5 Übertragungsfunktionen zerlegen .............................................................................. 120
6.2.4 Grundelemente ............................................................................................................... 123
6.2.4.1 Basisblock .................................................................................................................. 123
6.2.4.2 Summationspunkt ...................................................................................................... 124
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6.2.4.3 Abzweigpunkt, Verzweigungsstelle ............................................................................ 125
6.2.5 Grundschaltungen .......................................................................................................... 126
6.2.5.1 Reihenschaltung ........................................................................................................ 126
6.2.5.2 Parallelschaltung ....................................................................................................... 126
6.2.5.3 negative Rückkopplung, Gegenkopplung .................................................................. 127
6.2.5.4 positive Rückkopplung, Mitkopplung .......................................................................... 128
6.2.6 Differentialgleichungen und Blockschaltbild .................................................................... 129
6.3 Stabilität ...................................................................................................................................... 130
6.3.1 Stabilität am geschlossenen Regelkreis ......................................................................... 130
6.3.2 Stabilität am offenen Regelkreis ..................................................................................... 133
6.3.2.1 Stabilitätskriterium von Nyquist .................................................................................. 133
6.3.2.2 Stabilitätskriterium im Bodediagramm ........................................................................ 135
6.3.2.3 Amplitudenreserve und Phasenreserve ..................................................................... 137
6.4 Regler ......................................................................................................................................... 138
6.4.1 Reglerübersicht .............................................................................................................. 138
6.4.1.1 Schrittantwort ............................................................................................................. 138
6.4.1.2 Störverhalten ............................................................................................................. 138
6.4.2 P-Regler ......................................................................................................................... 139
6.4.3 I-Regler ........................................................................................................................... 141
6.4.4 D-Regler ......................................................................................................................... 143
6.4.4.1 theoretischer D-Regler ............................................................................................... 143
6.4.4.2 praktischer D-Regler .................................................................................................. 145
6.4.5 PI-Regler ........................................................................................................................ 149
6.4.6 PD-Regler ....................................................................................................................... 153
6.4.6.1 theoretischer PD-Regler ............................................................................................ 153
6.4.6.2 praktischer PD-Regler ................................................................................................ 157
6.4.7 PID-Regler ...................................................................................................................... 161
6.4.7.1 theoretischer PID-Regler ........................................................................................... 161
6.4.7.2 praktischer PID-Regler ............................................................................................... 165
6.5 Todzeitglied ................................................................................................................................. 170
6.6 klassischer Reglerentwurf ........................................................................................................... 173
6.6.1 Regleraufbau .................................................................................................................. 173
6.6.1.1 Basisblöcke ................................................................................................................ 173
6.6.1.2 offener Regelkreis ...................................................................................................... 173
6.6.1.3 geschlossener Regelkreis ohne Störgrösse ............................................................... 174
6.6.1.4 geschlossener Regelkreis mit Störgrösse .................................................................. 175
6.6.2 Entwurfsregeln am offenen Regelkreis ........................................................................... 177
6.6.2.1 Entwurfsregel 1 und 2, Amplitudenreserve und Phasenreserve ................................ 177
6.6.2.2 Entwurfsregel 3, Nulldurchgang ................................................................................. 177
6.6.2.3 Entwurfsregel 4, Steigung .......................................................................................... 178
6.6.3 Entwurfsregeln am geschlossenen Regelkreis ............................................................... 178
6.6.3.1 Bandbreite und Anstiegszeit, Unschärferelation ........................................................ 178
6.6.4 Regelstrecken des Typs A .............................................................................................. 180
6.6.4.1 Übertragungsfunktion der Regelstrecke ..................................................................... 180
6.6.4.2 Regler mit 20% Überschwingen ................................................................................. 183
6.6.4.3 Regler ohne Überschwingen ...................................................................................... 192
6.6.5 Regelstrecken des Typs B .............................................................................................. 201
6.6.5.1 Übertragungsfunktion der Regelstrecke ..................................................................... 201
6.6.5.2 Regler mit 20% Überschwingen ................................................................................. 204
6.6.5.3 Regler ohne Überschwingen ...................................................................................... 213
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Stichwortverzeichnis
Abtastfunktion ................................................ 21
Abtastintervall ................................................ 21
Amplitudengang .......................................... 111
analoges Signal ............................................. 22
Dämpfung ........................................................ 8
dBm ................................................................. 9
dBm(50 Ω) ....................................................... 9
dBm(600 Ω) ..................................................... 9
dBm(75 Ω) ....................................................... 9
dBm(R) ............................................................ 9
dBmV ............................................................... 9
dBu .................................................................. 9
dBV ................................................................. 9
dBW................................................................. 9
dBμV ............................................................... 9
Delta Distribution ........................................... 21
deterministisches Signal ................................ 22
Dirac Funktion ............................................... 21
Diracimpuls .................................................... 21
Diracpuls ....................................................... 21
Diracstoss ...................................................... 21
diskretes Signal ............................................. 22
Einheitsimpulsfunktion ................................... 21
Faltprodukt .................................................... 24
Faltung .......................................................... 24
Faltung bei der Fouriertransformation ........... 30
Faltung bei der Laplace Transformation ........ 24
Faltungsoperator ........................................... 24
Filter .............................................................. 52
aktive Bandsperre 2.Ordnung .................... 79
aktive Filter ................................................ 75
aktiver Bandpass 2.Ordnung ..................... 78
aktiver Hochpass 2.Ordnung ..................... 77
aktiver Tiefpass 1.Ordnung ........................ 75
aktiver Tiefpass 2.Ordnung ........................ 76
Amplitudengang ......................................... 55
Anforderungen ........................................... 57
Bandpass ............................................. 57, 69
Bandsperre .......................................... 57, 72
Bessel Tiefpass ......................................... 60
Butterworth Bandpass ................................ 70
Butterworth Bandsperre ............................. 73
Butterworth Hochpass ................................ 67
Butterworth Tiefpass .......................58, 61, 62
charakteristische Gleichung ....................... 52
Dämpfungsverlauf ...................................... 55
Filterspezifikationen ................................... 57
Frequenzgang ............................................ 55
Frequenznormierung.......................56, 61, 65
Frequenztransformation ............................. 61
Frequenzverhalten ..................................... 55
Gruppenlaufzeit ......................................... 55
Hochpass ............................................. 57, 65
Hurwitz ....................................................... 52
Kürzen von Polstellen ................................ 52
normierte Frequenz.........................56, 61, 65
Nullstellen .................................................. 52
passive Filter .............................................. 80
passiver Hochpass 1. Ordnung .................. 82
passiver Tiefpass 1.Ordnung ..................... 80
Phasengang ............................................... 55
Phasenverlauf ............................................ 55
Polstellen ................................................... 52
Routh ......................................................... 52
Spezifikationen .......................................... 57
Stabilität ..................................................... 52
Tiefpass ............................................... 57, 61
Tschebyscheff Bandpass ........................... 71
Tschebyscheff Bandsperre ........................ 74
Tschebyscheff Hochpass ........................... 68
Tschebyscheff Tiefpass ..................59, 63, 64
Verstärkungsverlauf ................................... 55
Frequenzgang .............................................. 111
Funktionen .....................................................11
gerades Signal ...............................................22
Gesamtklirrfaktor ............................................10
Impulsantwort ..................................... 28, 32, 33
Impulsfolge .....................................................21
Kardinalsinus ..................................................20
kausales Signal ..............................................22
Klirrdämpfung .................................................10
Klirrfaktor ........................................................10
Klirrfaktor n-ter Ordnung .................................10
Leistungsdämpfung ..........................................8
Leistungspegel .................................................9
Leistungsverstärkung .......................................8
Leitungstheorie ...............................................84
Ableitungsbelag ..........................................84
Anfangswerte ..............................................88
Anpassung ..................................................89
Ausbreitungsgeschwindigkeit ......................86
Ausbreitungskoeffizient ...............................93
Dämpfungsbelag .........................................93
Dämpfungskoeffizient .................................93
Durchgangskoeffizient ................................90
Eingangsimpedanz .....................................95
eingeschwungene Leitung ..........................93
Einschaltvorgänge ......................................88
Endwerte ....................................................88
Ersatzschaltbild ...........................................84
gegensinnige Bestromung ..........................87
Induktivitätsbelag ........................................84
Kapazitätsbelag ..........................................84
Koaxialkabel ...............................................86
Kurzschluss ................................................89
Leerlauf .......................................................89
Leiterelement ..............................................84
Leitungsbeläge ...........................................84
Leitungsparameter ......................................84
Leitungswellenimpedanz ................ 84, 85, 93
Lichtgeschwindigkeit ...................................86
Paralleldrahtleitung .....................................87
Phasenbelag ...............................................93
Phasengeschwindigkeit ..............................86
Phasenkoeffizient .......................................93
Phasensprung .............................................91
Phasensprung bei Spannungswellen ..........91
Phasensprung bei Stromwellen ..................92
Reflexion an einer Stossstelle .....................90
Reflexionsfaktor .................................... 89, 90
return loss ...................................................96
Rückflussdämpfung ....................................96
Schaltvorgänge ...........................................88
Spannungen ...............................................94
Standing Wave Ratio ..................................96
Startwerte ...................................................88
Stehwellenverhältnis ...................................96
Stossstelle ..................................................90
Ströme ........................................................94
SWR ...........................................................96
Transmissionsfaktor ....................................90
ungleichsinnige Bestromung .......................87
Voltage Standing Wave Ratio .....................96
VSWR .........................................................96
Wellenimpedanz ............................. 84, 85, 93
Wellenwiderstand ........................... 84, 85, 93
Widerstandsbelag .......................................84
Zweidrahtleitung .........................................87
logarithmische Skalen ......................................7
Neper ...............................................................8
nichtlineares System ......................................10
Pegel ................................................................9
periodisches Signal ........................................22
Phasengang ................................................. 111
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punktspiegeln von Funktionen ....................... 15
punktsymmetrisches Signal ........................... 22
Rechteckimpulsfunktion ........................... 16, 26
rect() ........................................................ 16, 26
rect(t) ............................................................. 16
rect(t/T 0 ) ........................................................ 17
Regelungstechnik .......................................... 97
20 ∙ log(|G(j ∙ ω)|) ..................................... 111
20 ∙ log(|G(s)|) .......................................... 111
Abzweigpunkt .......................................... 125
Amplitudengang ................ 111, 120, 177, 178
Amplitudenreserve ........................... 137, 177
Annäherungen ......................................... 118
Anstiegszeit ............................................. 178
asymptotische Annäherungen ................. 118
Aufbau ..................................................... 173
Bandbreite ............................................... 178
Basisblock ........................................ 123, 173
Bedeutung von Polstellen ........................ 110
bleibende Regelabweichung .................... 138
Blockschaltbild ......................................... 129
Bodediagramm ................................ 111, 135
charakteristische Gleichung ..................... 130
Darstellung auf der imaginären Achse ..... 111
Darstellung im Raum ............................... 111
Differentialgleichungen ...................... 97, 129
Differenziererbeiwert ................................ 143
D-Regler .................................................. 143
einhüllende Kurve .................................... 110
Entwurfsregeln ......................................... 177
Enveloppe ................................................ 110
Frequenzgang .................................. 111, 120
Führungsübertragungsfunktion ................ 175
Führungsverhalten ................................... 175
Gegenkopplung ....................................... 127
geschlossener Regelkreis . 130, 174, 175, 178
gewöhnliche Differentialgleichungen........ 129
Grenzkreisfrequenz.................................. 178
Grundelemente ........................................ 123
grundlegende Übertragungsfunktionen .... 114
Grundschaltungen ................................... 126
Hurwitz ..................................................... 130
imaginäre Achse ...................................... 111
Impulsantwort .................................. 104, 110
Induktivität .................................................. 97
I-Regler ..................................... 141, 185, 194
Kapazität .................................................... 97
K D ............................................................. 143
K I 141
klassischer Reglerentwurf ........................ 173
K P ............................................................. 139
Kürzen von Polstellen .............................. 130
Ladung ....................................................... 97
Leitwert ...................................................... 97
lineare Differentialgleichungen ................. 129
Messeinrichtung ....................................... 173
Mitkopplung ............................................. 128
Nachstellzeit ............................................ 141
negative Rückkopplung ............................ 127
Nulldurchgang beim Amplitudengang ...... 177
Nullstellen ................................................ 130
Nyquist ..................................................... 133
Nyquistdiagramm ..................................... 133
offener Regelkreis ..................... 133, 173, 177
Parallelschaltung ............................. 101, 126
Parallelschaltung R|C .............................. 101
Parallelschaltung R|L ............................... 102
Parallelschaltung R|L|C ........................... 103
PD-Regler ................................................ 153
Phasengang ..................................... 111, 120
Phasenreserve ................................. 137, 177
PID-Regler ............................................... 161
PI-Regler ................... 149, 187, 196, 206, 214
Polstellen .................................. 104, 110, 130
positive Rückkopplung .............................. 128
praktischer D-Regler ................................. 145
praktischer PD-Regler .............. 157, 208, 215
praktischer PID-Regler165, 189, 198, 210,
217
P-Regler ................... 139, 183, 192, 204, 213
Regelabweichung ..................................... 138
Regelstrecke ............................................. 173
Regelstrecken des Typs A ........................ 180
Regelstrecken des Typs B ........................ 201
Regler ............................................... 138, 173
Regleraufbau ............................................ 173
Reglerentwurf ........................................... 173
Reglerübersicht ......................................... 138
Reihenschaltung ................................. 98, 126
Reihenschaltung R-C ..................................98
Reihenschaltung R-L ..................................99
Reihenschaltung R-L-C ............................ 100
Reserve .................................................... 137
Robustheit................................................. 137
Routh ........................................................ 130
Rückkopplung ................................... 127, 128
Schrittantwort ............................ 104, 110, 138
Schwingung .............................................. 110
Spannung ...................................................97
Stabilität ............................................ 130, 133
Stabilitätskriterium im Bodediagramm ...... 135
Stabilitätskriterium von Nyquist ................. 133
stationäre Antwort ............................. 104, 110
stationärer Fehler ...................................... 138
Steigung beim Amplitudengang ................ 178
Störgrösse ................................................ 175
Störübertragungsfunktion ......................... 175
Störverhalten .................................... 138, 175
Stossantwort ..................................... 104, 110
Strom ..........................................................97
Summationspunkt ..................................... 124
T D .............................................................. 143
theoretischer D-Regler .............................. 143
theoretischer PD-Regler ........................... 153
theoretischer PID-Regler .......................... 161
T I 141
T N .............................................................. 141
Todzeitglied .............................................. 170
T V .............................................................. 143
Typ A ........................................................ 180
Typ B ........................................................ 201
Typenbeschreibung .......................... 180, 201
Übertragungsfunktion ............................... 104
Übertragungsfunktionen zerlegen ............. 120
Unschärferelation ...................................... 178
Verlegung ................................................. 123
Verstärkung ...................................... 139, 141
Vertauschung ............................................ 123
Verzögerung ............................................. 170
Verzweigungsstelle ................................... 125
Vorhaltzeit ................................................. 143
Widerstand..................................................97
Zeitverzögerung ........................................ 170
zerlegen .................................................... 120
Zusammenschalten .................................. 126
Sägezahnimpulsfunktion ................................18
Schrittantwort ........................................... 29, 34
Signaltypen ....................................................22
Signalzerlegung ..............................................22
sinc() ..............................................................20
sinc(t) .............................................................20
sinc(t/T 0 ) .........................................................21
Sinus cardinalis ..............................................20
Spaltfunktion...................................................20
Spannungsdämpfung .......................................8
Spannungspegel ..............................................9
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 5

FH Formelsammlung - Signale und Systeme Editiert: 21.02.2011
Spannungsverstärkung .................................... 8
spiegeln von Funktionen................................ 15
spiegelsymmetrisches Signal ........................ 22
stauchen von Funktionen .............................. 13
stochastisches Signal .................................... 22
Stossfunktion ................................................. 21
strecken von Funktionen ............................... 13
Stromdämpfung ............................................... 8
Strompegel ...................................................... 9
Stromverstärkung ............................................ 8
Teilsignal ....................................................... 22
Tiefpass 1. Ordnung ..................... 29, 32, 33, 34
Tiefpasse 1. Ordnung .................................... 28
ungerades Signal .......................................... 22
unvorhersehbares Signal ............................... 22
verschieben von Funktionen .......................... 11
Verstärkung ..................................................... 8
Verzerrungen und Störungen ........................ 36
äquivalenter Rauschwiderstand ................. 38
Energie der Rauschleistungsdichte ........... 36
ENR ........................................................... 38
ideale Verstärker ........................................ 41
N 0 ............................................................... 36
N 0,dB ........................................................... 36
N 0dBm .......................................................... 36
Rauschabstand .......................................... 38
Rauschen bei idealen Verstärkern ............. 41
Rauschen bei Zweitoren ............................ 40
Rauschfaktor .............................................. 39
Rauschleistungsdichte ............................... 36
Rauschzahl ................................................ 39
Signal-Rausch-Verhältnis .......................... 38
SNR ........................................................... 38
Störabstand ............................................... 38
thermisches Rauschen .............................. 36
Verstärker .................................................. 41
Wärmerauschen ........................................ 36
Zweitoren ................................................... 40
vorhersehbares Signal................................... 22
wertdiskretes Signal ...................................... 22
zeitdiskretes Signal ....................................... 22
Zerlegung eines Signals ................................ 22
Zufallssignal .................................................. 22
Zweitore ......................................................... 42
Admittanz-Parameter ..................................43
a-Parameter ................................................44
äquivalente Rauschtemperatur ...................40
Ausgangsimpedanz .............................. 50, 51
Betriebsleistungsverstärkung ................ 50, 51
Betriebsspannungsverstärkung ............ 50, 51
Betriebsverhalten ........................................49
b-Parameter ................................................45
c-Parameter ................................................44
Eingangsimpedanz ............................... 50, 51
g-Parameter ................................................44
h-Parameter ................................................43
Hybrid-Parameter .......................................43
Impedanz-Parameter ..................................42
inverse Hybrid-Parameter ...........................44
inverse Ketten-Parameter ...........................45
Ketten-Parameter .......................................44
Kettenschaltung .................................... 39, 48
k-Parameter ................................................44
Leistungsverstärkung ............................ 50, 51
Parallel-Reihenschaltung ............................48
Parallelschaltung ........................................48
Parameter ...................................................42
Parameter von Bauelementen ....................46
Parameter von Schaltungen .......................46
p-Parameter ................................................44
Rauschen....................................................40
Rauschfaktor ...............................................39
Rauschtemperatur ......................................40
Rauschzahl .................................................39
Reihen-Parallelschaltung ............................48
Reihenschaltung .........................................48
Spannungsverstärkung ......................... 50, 51
Stromverstärkung ................................. 50, 51
Umrechnungen ...........................................45
y-Parameter ................................................43
z-Parameter ................................................42
Zusammenschaltungen ........................ 39, 48
δ(t) ..................................................................21
δ-Funktion ......................................................21
δ T (t) ................................................................21
Λ() ..................................................................18
Λ(t) .................................................................18
Λ(t/T 0 ..............................................................19
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 6

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
Dekaden
1 Grundlagen
1.1 logarithmische Skalen
1 Dekade:
5 Dekaden:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
log(x) 0 0.30 0.48 0.60 0.70 0.78 0.85 0.90 0.95 1
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
log(x) 1 1.30 1.48 1.60 1.70 1.78 1.85 1.90 1.95 2
x 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
log(x) 2 2.30 2.48 2.60 2.70 2.78 2.85 2.90 2.95 3
Skalen
linear:
logarithmisch:
doppellogarithmisch:
Berechnung
Wert :
Wert der Messgrösse bei bestimmtem Punkt
D : Startwert der Dekade, z. B. 10 oder 100
0
Abstand : Abstand zwischen dem Startwert der Dekade und dem Punkt, 0.0 Abstand 1.0
Wert D
10
0
Abstand
Wert
Abstand log
D0
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 7

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.2 Dämpfung und Verstärkung
D
u
: Spannungsdämpfung dB
D : Stromdämpfung dB
i
D : Leistungsdämpfung dB
p
A
u
: Spannungsverstärkung dB
A : Stromverstärkung dB
i
A : Leistungsverstärkung dB
p
U
in
: Eingangsspannung V
I : Eingangsstrom A
in
P : Eingangsleistung W
in
U : Ausgangsspannung V
out
I : Ausgangsstrom A
out
P Ausgangsleistung W
out
Dämpfung
Verstärkung
Eingang
Ausgang
Spannungen
Ströme
Leistungen
Spannungsdämpfung
U
in
Du
20dB
log
Uout
Stromdämpfung
I
in
Di
20dB
log
Iout
Leistungsdämpfung
P
in
Dp
10dB
log
Pout
Spannungsverstärkung
U
out
Au
20dB
log
Uin
Stromverstärkung
I
out
Ai
20dB
log
Iin
Leistungsverstärkung
P
out
Ap
10dB
log
Pin
wichtige Grössen
Neper
Dämpfung oder Spannungsverhältnis U x / U y
Verstärkung Stromverhältnis I x / I y
Leistungsverhältnis P x / P y
20 dB 10 100
10 dB 3.16 10
6 dB 2 4
3 dB 1.41 2
0 dB 1 1
-3 dB 0.707 0.5
-6 dB 0.5 0.25
-10 dB 0.316 0.1
-20 dB 0.1 0.01
20 dB
1 Np 8.686 dB
ln 10
ln 10
1 dB 0.115 Np
20 Np
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 8

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.3 Pegel
L
u
: Spannungspegel dB
L : Strompegel dB
i
L : Leistungspegel dB
p
U : Spannung V
I : Strom A
P : Leistung W
U : Bezugsspannung V
0
0
I : Bezugsstrom A
P
0
: Bezugsleistung W
R : Bezugswiderstand Ω
Pegel
Messgrössen
Bezugsgrössen
Spannungspegel
Strompegel
Leistungspegel
dBW
dBm
dBV
dBmV
dBμV
dBm(600 Ω), dBu
dBm(75 Ω), dBu
dBm(50 Ω), dBu
dBm(R), dBu
Umrechnungen
U
Lu
20dB
log
U0
I
Li
20dB
log
I0
L
p
P
10dB
log
P0
P0 1W
P0 1mW
U0 1V
U0 1mV
U0 1μV
U0 600 0.001W 0.7746V
U0 75 0.001W 0.2739V
U0 50 0.001W 0.2236V
U0 R
0.001W
dBm 30 dBW
dBμV 60 dBmV
dBμV 120 dBV
R
dBmV 10 log dBm
3
R
110
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 9

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.4 Klirrfaktor
cos2
1
yt U cos2
i f t
x t f t
nichtlineares
System
N
i0
i
1
Frequenzspektrum des
Eingangssignals
Frequenzspektrum des
Ausgangssignals
k : Gesamtklirrfaktor
k : Gesamtklirrfaktor in % %
%
k : Gesamtklirrfaktor in dB dB
dB
k :
n
Klirrfaktor n-ter Ordnung
U , U : Effektivwert einer Harmonischen V
n
i
xt : Eingangssignal V
f
1
: Frequenz Hz
X j : Frequenzspektrum V s
yt : Ausgangssignal V
Y
j
N :
: Frequenzspektrum V s
Anzahl Harmonische
: Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Klirrfaktor
Eingangssignal
Ausgangssignal
Andere
Gesamtklirrfaktor
k
U U U
...
2 2 2
2 3 4
U U U U
...
2 2 2 2
1 2 3 4
Gesamtklirrfaktor in
%
Gesamtklirrfaktor in
dB, Klirrdämpfung
k% k
100%
kdB
1
20dB
log
k
Klirrfaktor Klirrdämpfung
10 % 20 dB
1 % 40 dB
0.1 % 60 dB
n-ter Ordnung
k
n
U
U U U U
n
2 2 2 2
1
2
3
4
...
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 10

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.5 Funktionen
1.5.1 verschieben von Funktionen
f t : Funktion Funktion
gt : verschobene Funktion
a : Verschiebung nach rechts oder links
verschobene Funktion
b : Verschiebung nach oben oder unten, positiv
t : Zeit s Andere
Funktion f(t)
ohne Verschiebung
Verschiebung
um a nach rechts
g t f t a
a positiv
g t f t a
a positiv
g t f t a
a negativ
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 11

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
Verschiebung
um a nach links
g t f t a
a positiv
g t f t a
a positiv
g t f t a
a negativ
Verschiebung
um b nach oben
g t f t b
Verschiebung
um b nach unten
g t f t b
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 12

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.5.2 strecken und stauchen von Funktionen
f t :
A :
T :
g t :
Funktion
Maximalwert
Periodendauer
Funktion
gestreckte oder gestauchte Funktion
gestreckte oder gestauchte Funktion
k : Streckungsfaktor, Stauchungsfaktor, positiv
t : Zeit s Andere
Funktion f(t)
ohne Streckung
Streckung
um k in y-Richtung
g t
k f t k 1
Stauchung
um -k in y-Richtung
g t
k f t k 1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 13

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
Streckung
um k in x-Richtung
g t
t
f
k
k 1
Stauchung
um k in x-Richtung
g t
t
f
k
k 1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 14

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.5.3 spiegeln von Funktionen
f t :
gt :
Funktion
gespiegelte Funktion
a : Zeitkonstante, positiv s
t : Zeit s
Funktion f(t) ohne
Spiegelung
Spiegelung
an der y-Achse
g t f
t
Spiegelung
an der x-Achse
g t
f t
Punktspiegelung
im Ursprung
g t f
t
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 15

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
Definition
1.5.4 Rechteckimpulsfunktion
1.5.4.1 normale Darstellung
rect t :
A :
Rechteckimpulsfunktion
maximaler Wert
T : halbe Impulsdauer s
t : Zeit s
rect t
A für t T
0 für t T
Verschiebung
um T nach rechts
f t rect t T
Verschiebung
um T nach links
f t rect t T
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 16

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
Definition
1.5.4.2 alternative Darstellung
t
rect : T0
Rechteckimpulsfunktion
A : maximaler Wert
T
0
: ganze Impulsdauer s
t : Zeit s
A
t
rect
T
T0
für t
2
T0
2
0 0 für t
Verschiebung
um T 0 /2 nach rechts
f t
T0
t
rect 2
T0
Verschiebung
um T 0 /2 nach links
f t
T0
t
rect 2
T0
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 17

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
Definition
1.5.5 Sägezahnimpulsfunktion
1.5.5.1 normale Darstellung
t
: Sägezahnimpulsfunktion
A :
maximaler Wert
T : halbe Impulsdauer s
t : Zeit s
A
t
A für t T
t
T
0 für t T
Verschiebung
um T nach rechts
f t t T
Verschiebung
um T nach links
f t t T
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 18

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
Definition
1.5.5.2 alternative Darstellung
t
:
T0
Sägezahnimpulsfunktion
A : maximaler Wert
T
0
: ganze Impulsdauer s
t : Zeit s
2A
t
A
für
t T0
T
0 für
T0
t
2
T
t
2
0 0
Verschiebung
um T 0 /2 nach rechts
f t
T0
t
2
T0
Verschiebung
um T 0 /2 nach links
f t
T0
t
2
T0
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 19

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.5.6 Sinus cardinalis, sinc()
1.5.6.1 nicht normierte Darstellung
t : Zeit s
sinc
t
sint
t
t
sin
sinct 0 für t n
n1, 2,...
t
t
sin
s inct
hat Maxima bei t
0, 7.73, 14.07, 20.37, 26.67, 32.96, 39.24,...
t
t
sin
sinct
hat Minima bei t
4.49, 10.90, 17.22, 23.52, 29.81, 36.10,. ..
t
1.5.6.2 normierte Darstellung
t : Zeit s
sinc
t
sin
t
t
sin t
sinct
0 für t1, 2,...
t
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 20

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.5.6.3 allgemeine normierte Darstellung
T 0 = 2 T 0 = 3
T
0
: Konstante
t : Zeit s
sinc
T
t 0
0
t
sin
T
t
T
0
t
sin
t T
0
sinc
0 für t 1 T0, 2 T0,...
T t
0
T
1.6 Abtastfunktion
0
T : Abtastfunktion s-1
t
: Dirac Funktion s -1
T : Abtastintervall s
a : Konstante s
t : Zeit s
T
t t n T
n
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 21

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.7 Signaltypen
xt :
beliebiges Signal
xp
t : periodisches Signal
xcs
t : kausales Signal
xe
t : gerades Signal (even)
xo
t : ungerades Signal (odd)
T T : Periodendauer s
0 , s
t : Zeit s
analog und diskret
analoges Signal
diskretes Signal
zeit- und wertdiskret
zeitdiskretes Signal wertdiskretes Signal zeit- und wertdiskretes Signal
deterministisch
und stochastisch
deterministisches Signal, vorhersehbar
stochastisches Signal, Zufallssignal,
unvorhersehbar
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 22

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
periodisch
Erfüllt folgende Bedingung:
p
x t x t T
p
0
periodisches Signal
nicht periodisches Signal
kausal
Ist auf der negativen Zeitachse Null:
xt für t 0
xcs
t
0 für t 0
kausales Signal
nicht kausales Signal
gerade und
ungerade
Gerades Signal (spiegelsymmetrisch bezüglich der y-Achse):
x t x t
e
e
Ungerades Signal (punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs):
x t x t
o
o
gerades Signal (even)
ungerades Signal (odd)
Zerlegung in gerades und ungerades Teilsignal:
xt
x t x t x t x t
2 2 2 2
x t
x t
e
o
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 23

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.8 Faltung
1.8.1 Faltprodukt
: Faltungsoperator
f t : erste Funktion im Zeitbereich
g t : zweite Funktion im Zeitbereich
: Integrationsvariable s
t : Zeit s
Definition
Kommutativität
f t g t f g t d
f t g t g t
f t
1.8.2 Faltung bei der Laplace Transformation
1.8.2.1 Definition
xt
ht
yt xt
ht
Xs
Hs
Y s X s
H s
Hs : Übertragungsfunktion Y X -1 Frequenzbereich
Xs : Eingangssignal X s
Ys : Ausgangssignal Y s
ht : Impulsantwort Y X -1 s -1 Zeitbereich
xt : Eingangssignal X
yt : Ausgangssignal Y
. Integrationsvariable s Andere
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Frequenzbereich
Zeitbereich
H s
Y s
X s
Y s X sH s xtht
x ht d
1 t h
t
y t X s H s x x h t d
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 24

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.8.2.2 Vorgehen
Schritte
Schritt Vorgehen
1 Ersetze die Zeitvariable t von h(t) und x(t) durch die Integrationsvariable τ
2 Falte h(τ) um die y-Achse um das gespiegelte Signal h(-τ) zu erhalten
Verschiebe h(-τ) um t
3
1 nach rechts:
Dies ergibt h(t 1 – τ)
Multipliziere x(τ) mit h(t
4
1 – τ):
Dies ergibt x(τ) ∙ h(t 1 – τ)
Integriere die Funktion x(τ) ∙ h(t
5
1 – τ) über die ganze τ-Achse:
Dies ergibt den Wert y(t 1 ) als Flächeninhalt des schraffierten Bereichs
Führe die Schritte 1 bis 5 für alle Punkte auf der Zeitachse t aus:
6
Dies ergibt die Faltung y(t) = x(t) * h(t)
Faltungsprozess
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 25

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
Eingangssignal x(t)
Impulsantwort h(t)
1.8.2.3 Faltung zweier Rechteckimpulse
1
1 für t
t
rect
2
1
1
0 für t
2
1
1 für t
t
rect
2
1
1
0 für t
2
gerade Funktion, h(t) = h(-t)
Schritt 1
Eingangssignal
Impulsantwort
Schritt 2
Schritt 3, 4 5 und 6
Fall 1: t < -1, keine Überlappung von x(τ) und h(t – τ):
h(t – τ)
h(t – τ) und x(τ) sowie y(t)
01 0
y t x h t d d
Fall 2: -1 ≤ t < 0, grösser werdende Überlappung von x(τ) und h(t – τ):
h(t – τ)
h(t – τ) und x(τ) sowie y(t)
t0.5
y t x h t d 11d
1t
0.5
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 26

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
Fall 3: t = 0 Überlappung von x(τ) und h(t – τ) am grössten:
h(t – τ)
h(t – τ) und x(τ) sowie y(t)
y t x h t d 11d
1
0.5
0.5
Fall 4: 0 ≤ t < 1, kleiner werdende Überlappung von x(τ) und h(t – τ):
h(t – τ)
h(t – τ) und x(τ) sowie y(t)
y t x h t d 11d
1
t
0.5
t0.5
Fall 5: 1 ≤ t, keine Überlappung von x(τ) und h(t – τ):
h(t – τ)
h(t – τ) und x(τ) sowie y(t)
01 0
y t x h t d d
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 27

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.8.2.4 Impulsantwort eines Tiefpasses 1. Ordnung
Hs : Übertragungsfunktion Y X -1 Frequenzbereich
Xs : Eingangssignal X s
Ys : Ausgangssignal Y s
xt : Eingangssignal X
yt : Ausgangssignal Y
t
: Dirac Funktion s -1
K :
Verstärkungskonstante
Zeitbereich
Konstanten
T : Zeitkonstante rad -1 s
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1 Andere
t : Zeit s
Eingangssignal
Ausgangssignal, Impulsantwort
Übertragungsfunktion
H s
K
T s 1
Eingangssignal
X s
xt
t 1
Ausgangssignal
K K
Y s X s H s 1 T s 1 T s 1
t
1 1
T
y t X s H s e
K
T s
1
K
T
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 28

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.8.2.5 Schrittantwort eines Tiefpasses 1. Ordnung
Hs : Übertragungsfunktion Y X -1 Frequenzbereich
Xs : Eingangssignal X s
Ys : Ausgangssignal Y s
xt : Eingangssignal X
yt : Ausgangssignal Y
Ht :
K :
Heaviside Funktion
Verstärkungskonstante
Zeitbereich
Konstanten
T : Zeitkonstante rad -1 s
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1 Andere
t : Zeit s
Eingangssignal
Ausgangssignal, Impulsantwort
Übertragungsfunktion
Eingangssignal
Ausgangssignal
H s
X
s
K
T s 1
xt
Ht 1
s
1 K
Y s X s H s
s T s
1
1
t
K
1 1
T
y t X s H s K 1
e
s T s
1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 29

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.8.3 Faltung bei der Fouriertransformation
1.8.3.1 Definition
xt
ht
yt xt
ht
X
f
H
f
Y f X f
H f
,
,
Y j ,
Y f : Ausgangssignal Y s
ht : Impulsantwort Y X -1 s -1 Zeitbereich
H j H f : Frequenzgang Y X -1
X j X f : Eingangssignal X s Frequenzbereich
xt : Eingangssignal X
Andere
yt : Ausgangssignal Y
f : Frequenz Hz
. Integrationsvariable s
: Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Kreisfrequenz ω
Frequenz f
Kreisfrequenz ω
H
H
Y
j
X
f
Y
X
f
f
j
j
Y j X j H j xtht
x ht
d
1 x t h
y t X j H j t x h t d
Frequenz f
Y f X f H f xtht
x ht d
1 x t h
y t X f H f t x h t d
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 30

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
Beispiel mit
X(f) = U in (f) und
Y(f) = U out (f)
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 31

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.8.3.2 Impulsantwort eines Tiefpasses 1. Ordnung
1.8.3.2.1 Impulsantwort mit Kreisfrequenz ω
H
j
X
j
Y
j
xt : Eingangssignal X
: Eingangssignal X s Frequenzbereich
: Frequenzgang Y X -1
: Ausgangssignal Y s
yt : Ausgangssignal Y
t
: Dirac Funktion s -1
K :
Verstärkungskonstante
Zeitbereich
Konstanten
Andere
T : Zeitkonstante rad -1 s
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
. Integrationsvariable s
: Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Eingangssignal
Ausgangssignal, Impulsantwort
Übertragungsfunktion
Frequenzgang
Eingangssignal
Ausgangssignal
H s
H
K
T s 1
K
sj
T j 1
j Hs
xt
1
X j t
K K
Y j X j H j 1
T j 1 T j 1
1 1 K K
yt X j H j H t e
T j
1
T
t
T
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 32

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.8.3.2.2 Impulsantwort mit Frequenz f
xt : Eingangssignal X
X f : Eingangssignal X s Frequenzbereich
H f : Frequenzgang Y X -1
Y f : Ausgangssignal Y s
yt : Ausgangssignal Y
t
: Dirac Funktion s -1
K : Verstärkungskonstante
T : Zeitkonstante rad -1 s
f : Frequenz Hz
. Integrationsvariable s
t : Zeit s
Zeitbereich
Konstanten
Andere
Eingangssignal
Ausgangssignal, Impulsantwort
Übertragungsfunktion
Frequenzgang
Eingangssignal
Ausgangssignal
H s
H
K
T s 1
f Hs s j2
f
T j 2 f 1
K
xt
1
X f t
K
K
Y f X f H f 1
T j 2
f 1 T j 2
f 1
1 1
K K
yt X f H f
H t e
T j 2
f 1
T
t
T
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 33

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.8.3.3 Schrittantwort eines Tiefpasses 1. Ordnung
1.8.3.3.1 Schrittantwort mit Kreisfrequenz ω
H
j
X
j
Y
j
xt : Eingangssignal X
: Eingangssignal X s Frequenzbereich
: Frequenzgang Y X -1
: Ausgangssignal Y s
yt : Ausgangssignal Y
Ht :
K :
Heaviside Funktion
Verstärkungskonstante
Zeitbereich
Konstanten
Andere
T : Zeitkonstante rad -1 s
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
. Integrationsvariable s
: Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Eingangssignal
Ausgangssignal, Impulsantwort
Übertragungsfunktion
Frequenzgang
Eingangssignal
Ausgangssignal
H s
H
K
T s 1
K
sj
T j 1
j Hs
1
j
xt
X j H t
1 K
Y j X j H j
j
T
j
1
t
1 1 1
K
T
y t X j H j
1
j
T j 1
H t K e
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 34

FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011
1.8.3.3.2 Schrittantwort mit Frequenz f
xt : Eingangssignal X
X f : Eingangssignal X s Frequenzbereich
H f : Frequenzgang Y X -1
Y f : Ausgangssignal Y s
yt : Ausgangssignal Y
Ht :
Heaviside Funktion
K : Verstärkungskonstante
T : Zeitkonstante rad -1 s
f : Frequenz Hz
. Integrationsvariable s
t : Zeit s
Zeitbereich
Konstanten
Andere
Eingangssignal
Ausgangssignal, Impulsantwort
Übertragungsfunktion
Frequenzgang
Eingangssignal
Ausgangssignal
H s
H
X
K
T s 1
f Hs s j2
f
T j 2 f 1
f xt H t 2
f
K
1
j 2
f
1
K
Y f X f H f
2
f
j 2
f T
j 2
f 1
1 1
1
K
yt X f H f
2
f
j 2
f
T j 2
f 1
yt
H t
K 1e
t
T
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 35

FH Formelsammlung - Verzerrungen und Störungen Editiert: 21.02.2011
2 Verzerrungen und Störungen
2.1 thermisches Rauschen
U
r eff
: effektive Leerlaufrauschspannung V
I
r eff
: effektiver Kurzschlussrauschstrom A
Widerstand
Leistung über dem Widerstand
P
Kurzschluss
:
bei Kurzschluss der Quelle
W
P
verfügbar
:
maximale Leistung die von der Quelle bei
Leistungsanpassung abgegeben werden kann
W
T : Temperatur K
B : Bandbreite Hz
Energie der spektralen
N
0
:
Rauschleistungsdichte des AWGN
J = W Hz -1 = W s
N
0,dBW
:
Energie der spektralen
Rauschleistungsdichte des AWGN
dBW Hz -1
Umgebung
N
0,dBm
:
Energie der spektralen
Rauschleistungsdichte des AWGN
dBm Hz -1
k : Boltzmannkonstante 1.3806504· 10 -23 J K -1 Andere
Ersatzschema
Spannungsquelle
Stromquelle
Ur eff
4 k T B R
I
r eff
4kT
B
R
Kurzschluss
Leistungsanpassung
PKurzschluss
Pverfügbar
4 k T B
k T B
Energie der Rauschleistungsdichte
N0
k T
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 36

FH Formelsammlung - Verzerrungen und Störungen Editiert: 21.02.2011
Raumtemperatur
N0 k 290 K 4
10 WHz
21 -1
N0, dB
204 dBWHz
-1
N0, dBm
174 dBmHz
-1
Pverfügbar
21 -1
410 WHz
B
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 37

FH Formelsammlung - Verzerrungen und Störungen Editiert: 21.02.2011
2.2 äquivalenter Rauschwiderstand, ENR
R
eq
: äquivalenter Rauschwiderstand Ω
2
r
u t : zeitlich gemitteltes Rauschspannungsquadrat V 2
i t : zeitlich gemitteltes Rauschstromquadrat A 2
2
r
T : Raumtemperatur 290 K
0
B : Bandbreite Hz
k : Boltzmannkonstante 1.3806504· 10 -23 J K -1
Spannung
Strom
Leistungen
R
R
eq
eq
t
2
ur
4 k T B
2
r
0
4 k T0
B
i
t
2.3 Signal-Rausch-Verhältnis, SNR
SNR : Signal-Rausch-Verhältnis
Signal-Rausch-Verhältnis
SNR : Signal-Rausch-Verhältnis dB
s
dB
P : Leistung W
U : Spannung V
s
s
I : Strom A
P : Leistung W
r
U : Spannung V
r
r
I : Strom A
Ps
SNR P
r
Signal
Rauschsignal
SNR
dB
P
s
10dB
log
Pr
Spannungen
U
SNR U
2
s
2
r
SNR
dB
U
s
20dB
log
Ur
Ströme
I
SNR I
2
s
2
r
SNR
dB
I
s
20dB
log
Ir
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 38

FH Formelsammlung - Verzerrungen und Störungen Editiert: 21.02.2011
2.4 Rauschzahl, Rauschfaktor
2.4.1 Definition
F : Rauschzahl
F : Rauschzahl dB
dB
SNR :
s,
in
in
Signal-Rausch-Verhältnis am Eingang
P : Eingangssignal W
P
r,
in
: Eingangsrauschsignal W
SNR
out
: Signal-Rausch-Verhältnis am Ausgang
P : Ausgangssignal W
s,
out
P
r,
out
: Ausgangsrauschsignal W
Rauschzahl
Eingang
Ausgang
Rauschzahl
SNR
F SNR
in
out
F
P
P
P
s,
in
r,
in
s,
out
P
r,
out
F 10dB log F
dB
Werte
idealer Fall F 1
realer Fall F 1
2.4.2 Rauschzahl, Rauschfaktor bei Kettenschaltung von Zweitoren
F
tot
:
F :
i
V
pi
:
n :
Gesamtrauschzahl
Rauschzahl eines Zweitors
Leistungsverstärkung eines Zweitors
Anzahl Zweitore
F
tot
F 1 F 1 F 1
F 1
2 3
4
n
F1
...
Vp 1
Vp 1
Vp2 Vp 1
Vp2 Vp3 Vp 1
Vp2 Vp3 ...
Vn
1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 39

FH Formelsammlung - Verzerrungen und Störungen Editiert: 21.02.2011
2.5 Rauschen bei Zweitoren
P
s1
: Eingangssignalleistung W
P : Ausgangssignalleistung W
s2
P : äussere Rauschleistung am Eingang W
ra1
P : äussere Rauschleistung am Ausgang W
ra2
innere Rauschleistung des
P
ri1
:
Verstärkers am Eingang
W
innere Rauschleistung des
P
ri2
:
Verstärkers am Ausgang
W
R : Innenwiderstand der Quelle Ω
R : Eingangswiderstand des Verstärkers Ω
e
V :
p
Leistungsverstärkung des Zweitors
F : Rauschzahl
T : Raumtemperatur 290 K
0
T : äquivalente Rauschtemperatur K
e
B : Bandbreite Hz
k : Boltzmannkonstante 1.3806504· 10 -23 J K -1
Leistungen
Widerstände
Andere
thermisches Rauschen
Messschaltung
Messbedingungen
thermisches Rauschen am Eingang:
P k T B
ra1 0
Leistungsanpassung am Eingang:
R
R e
Leistungen
P V P
s2 p s1
P P V P P V P P
ra2 ri2 p ra1 ri1 p ra1 ri2
SNR am Eingang
SNR
in
P
P
s1
ra1
SNR am Ausgang
SNR
SNR
out
out
P
Ps
2
P
ra2 ri2
Vp
Ps
1
V P P
p ra1 ri2
äquivalente
Rauschtemperatur
T
e
P
ri1
k B
2
T
e
Pri
V k B
p
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 40

FH Formelsammlung - Verzerrungen und Störungen Editiert: 21.02.2011
Rauschzahl
Pri2
F 1
V P
p
ra1
T
F
T
1
e
0
2.6 Rauschen bei idealen Verstärkern
P
r,
in
: Eingangsrauschsignal W
P : Ausgangsrauschsignal W
r,
out
V
p
:
Leistungsverstärkung des Verstärkers
Summationspunkt
am Eingang
+
V
p
P
r,
in
P
r,
in
P
V
r,
out
p
Summationspunkt
am Ausgang
V
p
+
P P V
r, out r,
in p
P
r,
out
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 41

FH Formelsammlung - Zweitore Editiert: 21.02.2011
3 Zweitore
3.1 Parameter
U
1
: Eingangsspannung V
U : Ausgangsspannung V
1
2
I : Eingangstrom A
I : Ausgangsstrom A
2
3.1.1 z-Parameter, Impedanz-Parameter
Z : Impedanzmatrix
z : Eingangsimpedanz Ω
11
z : Rückwärts-Übertragungsimpedanz Ω
12
z : Vorwärts-Übertragungsimpedanz Ω
21
z : Ausgangsimpedanz Ω
22
Matrix
z
Z
z
z
11 12
z
21 22
Matrixschreibweise
U
U
z z
U
U
1 1
11 12
1 I1 I
I
2
20 I10 I
1
2 U2 U I
2 2
z21 z22
I1 I
I
2
20 I10
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 42

FH Formelsammlung - Zweitore Editiert: 21.02.2011
3.1.2 y-Parameter, Admittanz-Parameter
Y : Admittanzmatrix
y : Eingangsadmittanz S
11
y : Rückwärts-Übertragungsadmittanz S
12
y : Vorwärts-Übertragungsadmittanz S
21
y : Ausgangsadmittanz S
22
Matrix
y
Y
y
y
11 12
y
21 22
Matrixschreibweise
I1 I
1
y11 y12
I
1 U1 U
U
2
20 U10 U1
I I I U
2 2 2
2
y21 y22
U1 U
U
2
20 U10
3.1.3 h-Parameter, Hybrid-Parameter
H : Hybridmatrix
h : Eingangsimpedanz Ω
11
h :
12
h :
21
22
Spannungsrückwirkung
Stromverstärkung
h : Ausgangsadmittanz S
Matrix
h
H
h
h
11 12
h
21 22
Matrixschreibweise
U1 U
1
h11
I h12
U
U
1 2
1 U2 0 I1
0 I 1
I I I U
2 2 2
2
h21 h22
I1 U
U
2
2 0 I1
0
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 43

FH Formelsammlung - Zweitore Editiert: 21.02.2011
3.1.4 a-Parameter, Ketten-Parameter
A :
a :
11
12
Kettenmatrix
Spannungsdämpfung
a : Übertragungsimpedanz Ω
a : Übertragungsadmittanz S
21
a : Stromdämpfung
22
Matrix
a
A
a
a
11 12
a
21 22
Matrixschreibweise
U1 U
1
a11 a12
U
U2 I2
1
I 2 0
U2
0
U2
I I
I
I
1 1 1
2
a21 a22
U2 I
I
2
2 0
U2
0
3.1.5 k-Parameter, p-Parameter, c-Parameter, g-Parameter inverse Hybrid-
Parameter
K, P, C,
G : inverse Hybridmatrix
k : Eingangsadmittanz S
11
k : Stromrückwirkung
12
k : Spannungsverstärkung
21
k : Ausgangsimpedanz Ω
22
Matrix
k
K
k
k
11 12
k
21 22
Matrixschreibweise
I1 I
1
k11 k12
I
1 U1 I
I
2
2 0
U1
0
U1
U2 U
I
2
U2
2
k21 k
22
U1 I
I
2
2 0
U1
0
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 44

FH Formelsammlung - Zweitore Editiert: 21.02.2011
3.1.6 b-Parameter, inverse Ketten-Parameter
B : inverse Kettenmatrix
Matrix
b
B
b
b
11 12
b
21 22
Matrixschreibweise
Übersicht
U2 U
2
b11 b12
U
U1 I1
2
I1
0
U1
0
U1
I I
I
I
2 2 2
1
b21 b22
U1 I
I
1
1 0
U1
0
3.1.7 Umrechnungen
Z
Y
A
H
K, P,
C,G
z
z
z
det Z
z
det Z
z
z
Z Y A H K, P, C, G
z
11 12
z
21 22
z
det Z
z
det Z
22 12
11
1
z
21 11
det Z
z
21 21
z
z
22
21 21
det Z
z
z
z
1
z
z
z
12
22 22
21
z
z
1
z
y
detY
y
detY
y
detY
y
detY
22 12
y
y
y
y
21 11
y
11 12
y
21 22
22
detY
y
1
y
y
y
1
y
21 21
y
y
11
a
a
11
1
a
a
a
22
det A
a
21 21
a
a
22
21 21
det
A
a
12 12
1
a
21 21
y12
a12
11 11
21
detY
y
22 22
11 11
z12
detY
y12
11 11
21
z
det Z
z
11 11
y
y
y
y
22 22
21
y
1
y
22 22
a
a
11
12 12
a
a
a
a
11 12
a
21 22
det A
a
22 22
1
a
a
a
21
1
a
a
a
21
22 22
det
A
a
11 11
a
a
12
11 11
det H
h
h
h
1
h
h
h
12
22 22
21
h
h
1
h
1
k
k
k
12
11 11
21
k
k
det K
k
22 22
11 11
h12
det K k12
11 11
21
h
det H
h
11 11
det
H
h
h
h
11
21 21
22
h
h
1
h
21 21
h
h
h
det H
h
det H
h
11 12
h
21 22
h
det H
h
det H
22 12
21 11
k
k
k
1
k
k
k
22 22
21
k
1
k
22 22
22
21 21
11
k
k
det K
k
21 21
k
det K
k
det K
k
det K
k
det K
22 12
21 11
k
k
k
11 12
k
21 22
Zusammenhänge
Y Z
1
K H
B
A
1
1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 45

FH Formelsammlung - Zweitore Editiert: 21.02.2011
3.1.8 Parameter von Bauelementen
Z Y H K, P, C, G A
1 1
Z Z
Z 1 0 1
1
undef.
1 1
Z
Z
1 0
1 Z
Z
0 1
Z Y H K, P, C, G A
1 1
Y Y
1 1
Y Y
undef.
0 1 Y 1
1 0
1 Y 1 0 Y 1
Z Y H K, P, C, G A
1 1
jC
jC
1
jC
0 1
1
jC
undef.
1
jC
jC
1 0
0 1
1
jC
Z Y H K, P, C, G A
1 1
jC
jC
1 1
jC
jC
undef.
0 1
1 jC
jC
1
1 0
1 0
jC
1
Z Y H K, P, C, G A
undef.
1 1
jL jL
1 1
jL jL
jL
1
1 0
0 1
1
1 jL
jL
0 1
Z Y H K, P, C, G A
1
jL
jL
0 1 1
jL
undef.
1
jL
jL
1 0
1
jL
1 0
1
jL
1
3.1.9 Parameter von Schaltungen
Z Y H K, P, C, G A
undef.
2 2
1
LC LC1
jL
jL
jL jL
2
1 0 1
1
2
1
LC
1
LC
2 2
jC
LC1 1
LC
jL jL
1 0 1
2
1
LC 0 1
Z Y H K, P, C, G A
2
1
LC
2
1
LC
jC
jC
2
1
LC
2
1
LC
jC
jC
undef.
0 1
1
jC
2
1
LC
1
1 0
1 0
jC
2
1
jC
2
1
LC
1
LC
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 46

FH Formelsammlung - Zweitore Editiert: 21.02.2011
Z Y H K, P, C, G A
1 1
1
2 2
Z1 Z Z
1 1
1
1 2
Z2 Z
1 Z Z
1
2 1 Z1 Z1Z
Z
2
2
Z Z Z
1 Z2
Z1
Z2
Z1 Z2 Z1 Z
Z
2 Z2
1
Z2 Z1Z2
1
1
Z1 Z2 Z1 Z
Z
2
2
Z Y H K, P, C, G A
Z Z
1
1
1 1
Z Z Z
1 1 2
Z1Z2
1
Z1Z2 Z2
1 1
Z2 Z2
Z1Z2 Z1
1
Z1 Z2 Z1 Z2
Z1
Z1
1
Z1 Z2 Z1 Z2
1
Z
2
Z
2
1 Z1
Z2
Z1 Z1
Z Y H K, P, C, G A
1 1
Z1 Z2 Z1 Z2
Z1Z2 1
0 1 1
Z
Z
undef.
1 1
1 0 1 Z Z
0 1
Z1 Z2 Z1 Z2
1 2
1 2
Z Y H K, P, C, G A
Z1 Z2 Z1 Z2
2 2
Z1 Z2 Z1 Z2
2 2
Z
1 Z2 Z1 Z2
Z Z
Z Z
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 1 2
2Z1Z2 Z1 Z2
2 Z1Z2
Z1 Z2 2Z1Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
Z1Z2
2
Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 2Z1Z2
2 Z1
Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
Z Y H K, P, C, G A
Z Z Z
1 2 2
Z Z Z
2 2 3
Z2Z3 Z2
P Z2
1 Z2
Z1Z2
P
P P Z2 Z3 Z2 Z
3 Z1 Z2 Z1 Z2
Z2 Z2
Z2 Z1 Z2
P P
Z2
1
Z2 Z3 Z2 Z3
Z2
P
1 Z2Z3
Z1 Z2 Z1 Z2
Z2 Z2
Z Y H K, P, C, G A
LZ 1 ZZ Z
1 3
1Z2
1 Z1Z2 Z1
Z3
M
Z
M
M
Z1Z3 KZ3
M M
Z1Z2 Z2
1 Z2Z3
Z2 Z2Z3
K
Z1
K
K
LZ1
L
2Z3
Z3
M Z3 Z2Z3
M Z1
Z2
KZ3
L L Z1Z3 Z1
Z
2
Z Y H K, P, C, G A
R
N
Q
N
Q
N
S
N
L 1 Z2
1
P Z4 P Z4
Z2
1 K 1
P Z4 P Z4
PZ 4 Q N Q R PZ 4
S S R R Q Q
Q N Q PZ 4
N S
S S R R Q Q
Abkürzungen
K Z Z
1 2
L Z Z
2 3
M Z Z Z
1 2 3
N Z Z Z
1 3 4
P Z Z Z Z Z Z
1 2 1 3 2 3
Q Z Z Z Z Z Z Z Z P Z Z
1 2 1 3 2 3 2 4 2 4
R Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Q Z Z
1 2 1 3 2 3 2 4 1 4 1 4
S Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Q Z Z
1 2 1 3 2 3 2 4 3 4 3 4
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 47

FH Formelsammlung - Zweitore Editiert: 21.02.2011
3.2 Zusammenschaltungen
Z
i
:
Y :
i
H :
i
i
A :
Ki, Pi , Ci , G
i
:
B :
i
Impedanzmatrix
Admittanzmatrix
Hybridmatrix
Kettenmatrix
inverse Hybridmatrix
inverse Kettenmatrix
Reihenschaltung
Z Z Z
ges
1 2
Parallelschaltung
Y Y Y
ges
1 2
Reihen-
Parallelschaltung
H H H
ges
1 2
Parallel-
Reihenschaltung
P P P
ges
1 2
H H H
1 1 1
ges 1 2
Kettenschaltung
A A A
ges
1 2
A A A
1 1 1
ges 2 1
B B B
ges
2 1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 48

FH Formelsammlung - Zweitore Editiert: 21.02.2011
3.3 Betriebsverhalten
Z
G
: Innenimpedanz des Generators Ω
Z : Lastimpedanz Ω
L
Z : Eingangsimpedanz des Zweitors Ω
IN
Z : Ausgangsimpedanz des Zweitors Ω
OUT
Y : Innenadmittanz des Generators S
G
Y : Lastadmittanz S
L
Y : Eingangsadmittanz des Zweitors S
IN
Y : Ausgangsadmittanz des Zweitors S
OUT
U : Generatorspannung V
G
U : Eingangsspannung des Zweitors V
1
U : Eingangsspannung des Zweitors V
1
2
I : Eingangstrom A
I Ausgangstrom A
2
P : Leistung die aufgenommen wird W
1
P : Leistung die abgegeben wird W
2
V :
u
V :
i
V :
p
Spannungsverstärkung
Stromverstärkung
Leistungsverstärkung
V
B
: Betriebsspannungsverstärkung
V : Betriebsleistungsverstärkung
T
R : Widerstand, Wirkwiderstand, Resistanz Ω
i
X : Reaktanz, Blindwiderstand Ω
i
G : Leitwert, Wirkleitwert, Konduktanz S
i
B : Suszeptanz, Blindleitwert S
i
Impedanzen, Scheinwiderstände
Admittanzen, Scheinleitwerte
Spannungen
Ströme des Zweitors
Leistungen des Zweitors
Verstärkungen
Andere
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 49

FH Formelsammlung - Zweitore Editiert: 21.02.2011
Eingangsimpedanz
3.3.1 Berechnung
Z
IN
U
I
1
1
Ausgangsimpedanz
Z
OUT
U
I
2
2
Stromverstärkung
V
V
V
V
u
i
p
B
U
U
I
I
2
1
P2
P
1
2
1
U2
U /2
G
Spannungsverstärkung
Leistungsverstärkung
Betriebsspannungsverstärkung
Betriebsleistungsverstärkung
V
T
P2 P2
2 G
V
2 B
P1max
UG
G
4
R
G
L
G
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 50

FH Formelsammlung - Zweitore Editiert: 21.02.2011
Abkürzungen
3.3.2 Berechnung mit Parametern
Z R j X Y G j B
G G G G G G
Z R j X Y G j B
L L L L L L
Z R j X Y G j B
IN IN IN IN IN IN
Z R j X Y G j B
OUT OUT OUT OUT OUT OUT
Z IN , Z OUT , V u , V i
Z IN
Z OUT
V u
V i
z
z
11
22
Z Y A H K, P ,C, G
z12 z21
y22
Y
L
a11 ZL
a12
h12 h21
k22
ZL
h11
z Z detY y Y
a Z a
h Y det K k Z
z
z
22 L
z
Z
12 21
11 G
z21
ZL
det Z z Z
11
z12
z Z
22 L
L
11
y11
YG
detY y Y
y
y
22
L
G
21 L 22
a12 a22
Z
a a Z
11 21
Z
21
L
22
Y
L
a11 ZL
a12
y Y
detY y Y
1
21 L
11
L
a21 ZL
a22
G
G
22 L
h11
ZG
det H h Z
22
h21
det H h Y
h
11
21
1h22
ZL
G
L
k
22
k
k
k
k
21
22
11
k
Y
12 21
11 G
ZL
Z
11
L
k21
det K k Z
L
L
V p
V
V
V
V
V
p
p
p
p
p
2
z21
RL
2
22
L
IN
z Z R
2
y21
GL
2
y22
Y L
GIN
22 21
2
21
h R
1 h Z R
22
R
L
2
L
2
21
L
2
L
a a Z R
11
IN
L
2
L
IN
k R
det K k Z R
IN
V B
V
V
V
V
V
B
B
B
B
B
2 z21
ZL
z Z z Z z z
11 G 22 L 12 21
2
y21
YG
y Y y Y y y
11 G 22 L 12 21
2
Z
L
a Z a a Z a Z
11 L 12 21 L 22 G
2
h21
h Z h Y h h
11 G 22 L 12 21
2
k21
Y G
Z
L
k Y k Z k k
11 G 22 L 12 21
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 51

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4 Filter
4.1 Grundlagen
4.1.1 Polstellen, Nullstellen und Stabilität
Hs : Übertragungsfunktion System
Zs : Zählerpolynom
z
i
:
m :
Ns :
Nullstellen des Zählerpolynoms
Ordnung des Zählerpolynoms
charakteristisches Polynom, Nennerpolynom
p
i
: Nullstellen des Nennerpolynoms
n : Ordnung des Nennerpolynoms
, , cd , : Konstanten
a : Koeffizienten
i
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
Zähler
Nenner
Andere
Übertragungsfunktion
Polstellen
H s
Z s
N s
Die Polstellen p i (p = σ + j ∙ ω) sind die Nullstellen des Nennerpolynoms N(s):
N s s p s p s p
1 2
...
n
H p
i
charakteristische
Gleichung
Nullstellen
Ns 0
Die Nullstellen z i (z = σ + j ∙ ω) sind die Nullstellen des Zählerpolynoms Z(s):
Z s s z s z s z
1 2
...
m
Hzi
0
komplexe Ebene
p1,
p
4: reelle Polstellen
p ,
2 3
1 2
p : komplex konjugierte Polstellen
z , z : reelle Nullstellen
z ,
3 4
z : komplex konjugierte Nullstellen
Stabilität
Ein System ist stabil, wenn alle Polstellen im linken Teil der komplexen Ebene liegen:
Re p 0
i
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 52

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
Sonderformen aus
der Mathematik
Form Bedingungen Stabilitätsbedingung, hinreichend
Hs
1
s
α reell 0
H s
H s
1
n
s
c s
d
2 2
s
α reell, n >1 0
α und ω reell 0
Sonderformen
aus der
Regelungstechnik
Form
1
s a s ... a s a
n
n 1
H s
n1 1 0
Stabilitätsbedingung, nicht hinreichend
a 0
i
Kürzen von
Polstellen
Form
H s
1
a
s a
0 0
2
H s
0
1
s a s a
1 0
1
s a s a s a
3 2
H s
2 1 0
1
s a s a s a s a
4 3 2
H s
n
n 1
H s
3 2 1 0
1
s a s ... a s a
n1 1 0
Stabilitätsbedingung, hinreichend
a 0
a
1
0
0
a1 a2 a0 0
Polstellen mit negativem Realteil dürfen gekürzt werden.
Polstellen mit positivem Realteil dürfen nicht gekürzt werden.
a a a a a a
2 2
1
2
3
1
3
0
0
Routh-Hurwitz Stabilitätsbedingung
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 53

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
► Beispiel
Ist das System mit der Übertragungsfunktion
Das System ist stabil, da a0 1 0.
H s
1
s 1
stabil?
► Beispiel
► Beispiel
► Beispiel
► Beispiel
H s
s
Das System ist stabil, da a1 2 0 und a0 1 0.
Ist das System mit der Übertragungsfunktion
2
1
2 s1
stabil?
1
Ist das System mit der Übertragungsfunktion Hs
3 2
s 4 s 2 s 1
stabil?
Das System ist stabil, da a1 a2 a0 2 4 1 0 .
1
Ist das System mit der Übertragungsfunktion Hs
4 3 2
s 8 s 4 s 2 s 1
stabil?
2 2 2 2
Das System ist nicht stabil, da a1 a2 a3 a1 a3 a0 2 48 2 8 1 4 0 .
H s
Ist das System mit der Übertragungsfunktion
4
Das System ist nicht stabil, da a4 0 .
1
5 3 2
s 0
s 8 s 4 s 2 s 1
stabil?
► Beispiel
s 2
s 1
1
s 2
s
2
s1 s
2
Das System mit der Übertragungsfunktion
H s
s
2
s1 s
2
ist stabil.
► Beispiel
s 2
s 1
1
s 2
s
2
s1 s
2
Das System mit der Übertragungsfunktion
H s
s
2
s1 s
2
ist nicht stabil.
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 54

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.1.2 Frequenzverhalten
dB
dB
g
Hs :
H
j
D : Dämpfungsverlauf dB
A : Verstärkungsverlauf, Amplitudengang dB
: Phasenverlauf, Phasengang rad
t : Gruppenlaufzeit s
Übertragungsfunktion
Frequenzgang
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
Frequenzgang
s j
H j H s
Dämpfungsverlauf
DdB
1
20dB
log
H
j
Verstärkungsverlauf
AdB
20dB log H j
Phasenverlauf
arg H j
Gruppenlaufzeit
t
g
d
d
verwendete Übertragunsfunktion
1 1
H s H j
s1 j
1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 55

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.1.3 Frequenznormierung
S : auf ω r normierte komplexe Kreisfrequenz
: auf ω r normierte Kreisfrequenz
s : zu normierende komplexe Kreisfrequenz rad s -1
: zu normierende Frequenz rad s -1
, : Referenzkreisfrequenz rad s -1
r
s
S
r
D
r
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 56

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.1.4 Filterspezifikationen
f , f : Durchlassgrenzfrequenz Hz
pb
pb ,
D
A A : maximale Dämpfung im Durchlassbereich dB
max
B , B : Bandbreite des Durchlassbereichs Hz
pb
D
f , f : Sperrgrenzfrequenz Hz
sb
sb ,
S
A A : minimale Dämpfung im Sperrbereich dB
min
B , B : Bandbreite des Sperrbereichs Hz
sp
S
Durchlassbereich
Sperrbereich
Tiefpass
1: Welligkeit
A
2:
max
3: A
min
4: f D
5: f
S
6: Verstärkung
Hochpass
1: Welligkeit
A
2:
max
3: A
min
4: f D
5: f
S
6: Verstärkung
Bandpass
1: Welligkeit
A
2:
max
3: A
min
4: B
D
5: B
S
6: Mittenfrequenz,
Referenzfrequenz
7: Verstärkung
Bandsperre
1: Welligkeit
A
2:
max
3: A
min
4: B
D
5: B
S
6: Mittenfrequenz,
Referenzfrequenz
7: Verstärkung
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 57

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.2 Butterworth Tiefpass
4.2.1 Verhalten
Dämpfungsverlauf
Phasenverlauf
Gruppenlaufzeit
Anwendung
asymptotische
Steilheit
konstant im Durchlassbereich
geringfügige Amplitudenanhebung im Bereich der Grenzfrequenz
keine Welligkeit (ebenes Dämpfungsverhalten)
leichte Nichtlinearität
relativ frequenzabhängig
Übertragung von schmalbandigen Signalen mit
unterschiedlichen Frequenzen, zwischen denen
keine Amplitudenänderungen auftreten dürfen
- n ∙ 20 dB pro Dekade
- n ∙ 6 dB pro Oktave
4.2.2 Berechnung
n : Ordnung des Filters
: 3dB Grenzkreisfrequenz rad s -1
3dB
TP
H S : normierte Übertragungsfunktion
i : Filterstufe
A : Verstärkung bei ω = 0
0
a , b :
Filter
Übertragungsfunktion
:
i i
Koeffizienten aus der Tabelle
S : normierte komplexe Kreisfrequenz rad s -1
D
Durchlassgrenzkreisfrequenz rad s -1
A
max
: maximale Dämpfung im Durchlassbereich dB
: Sperrgrenzkreisfrequenz rad s -1 Filterspezifikationen
S
A : minimale Dämpfung im Sperrbereich dB
min
Übertragungsfunktion
H
TP
S
i
0
1 a S b S
i
A
i
2
Filterordnung
0.1
Amin
10 1
log
10
0.1
A
max
1
n
S
2log
D
3dB
Grenzkreisfrequenz
3dB
D
1
2n
0.1Amax
10 1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 58

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.3 Tschebyscheff Tiefpass
4.3.1 Verhalten
Dämpfungsverlauf
Phasenverlauf
Gruppenlaufzeit
asymptotische
Steilheit
starkes Überschwingen im Bereich der Grenzfrequenz
stark abfallendes Dämpfungsverhalten
stark nichtlinear
stark frequenzabhängig
- n ∙ 20 dB pro Dekade
- n ∙ 6 dB pro Oktave
4.3.2 Berechnung
n : Ordnung des Filters
3dB
: 3dB Grenzkreisfrequenz rad s -1
e : Rippelfaktor
HTP
S : normierte Übertragungsfunktion
i : Filterstufe
A : Verstärkung bei ω = 0
0
a , b :
Filter
Übertragungsfunktion
:
i i
Koeffizienten aus der Tabelle
S : normierte komplexe Kreisfrequenz rad s -1
D
Durchlassgrenzkreisfrequenz rad s -1
A
max
: maximale Dämpfung im Durchlassbereich dB
: Sperrgrenzkreisfrequenz rad s -1 Filterspezifikationen
S
A : minimale Dämpfung im Sperrbereich dB
min
Übertragungsfunktion
H
TP
S
i
0
1 a S b S
i
A
i
2
Filterordnung
0.1
Amin
10 1
arcosh
0.1
A
max
10 1
n
S
arcosh
D
Rippelfaktor
e
0.1
Amax
10 1
3dB
Grenzkreisfrequenz
3dB
1 1
D
cosh
arcosh
n
e
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 59

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.4 Bessel Tiefpass
4.4.1 Verhalten
Dämpfungsverlauf
Phasenverlauf
Gruppenlaufzeit
Anwendung
flache Flankensteilheit
linear
konstant
verzerrungsfreie Übertragung breitbandiger
Signale wie Rechtecksignale oder Pulse
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 60

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.5 Frequenztransformation
4.5.1 Tiefpass zu Tiefpass
4.5.1.1 Frequenznormierung
S : auf ω D normierte komplexe Kreisfrequenz
: auf ω D normierte Kreisfrequenz
s : zu normierende komplexe Kreisfrequenz rad s -1
: zu normierende Frequenz rad s -1
: Durchlassgrenzkreisfrequenz rad s -1
D
s
S
D
D
► Beispiel
Filterspezifikationen
Übertragungsfunktion von Tiefpass mit einer Durchlassgrenzkreisfrequenz von 1 rad s -1 :
HTP
S
2
S
1
1.414 S1
Übertragungsfunktion von Tiefpass mit einer Durchlassgrenzkreisfrequenz von 1000 rad s -1 :
6
s s 10
HTP
H
2 6
D
1000 s 1414 s10
4.5.1.2 Beispiel mit Butterworth
D
1
10
max
3
1
min
50s A 40dB
S
s A dB
Filterordnung
normierte Übertragungsfunktion
entnormierte Übertragungsfunktion
10 0.1
Amin
1 10 0.140
log
log
1
0.1
A
max
0.13
10 1 10 1
n
2.86
50
S
2 log
2
log
10
D
HTP
S
s s
S
10
D
1
2
S S 1 S
1
H
TP
s 1000
10 10 100 10
2
s s s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 61

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
Filterspezifikationen
4.5.1.3 Beispiel mit Butterworth und ω 3dB
D
S
1
10
max
0.5
1
50
min
20
s A dB
s A dB
Filterordnung
normierte Übertragungsfunktion
3dB
Grenzkreisfrequenz
entnormierte Übertragungsfunktion
10 0.1
Amin
1 10 0.120
log
log
1
0.1
A
max
0.10.5
10 1 10 1
n
2.08
50
S
2 log
2log
10
D
HTP
3dB
S
1
2
S S 1 S
1
1 1
D
10 14.19
2n
0.1 Amax
6 0.10.5
10 1
10 1
s s
S
3dB
14.19
H
TP
s 2857.24
14.19 14.19 201.356 14.19
2
s s s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 62

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
Filterspezifikationen
4.5.1.4 Beispiel mit Tschebyscheff
D
S
1
10
max
0.5
1
50
min
40
s A dB
s A dB
A max ist die maximale Welligkeit im Durchlassbereich
Filterordnung
normierte Übertragungsfunktion
entnormierte Übertragungsfunktion
10 0.1
Amin
1 10 0.140
arcosh
arcosh
1
0.1
A
max
0.10.5
10 1 10 1
n
2.77
50
S
arcosh arcosh
10
D
H
H
TP
TP
S
S
s s
S
10
D
2
0.8753 S 0.5484 S 1 1.5963 S 1
2
S 0.6265 S 1.142 S
0.6265
1
0.7157
H
TP
s 715.7
10 6.265 114.2 6.265
2
s s s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 63

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
Filterspezifikationen
4.5.1.5 Beispiel mit Tschebyscheff und ω 3dB
D
S
1
10
max
0.5
1
50
min
40
s A dB
s A dB
A max ist die maximale Welligkeit im Durchlassbereich
Filterordnung
normierte Übertragungsfunktion
10 0.1
Amin
1 10 0.140
arcosh
arcosh
1
0.1
A
max
0.10.5
10 1 10 1
n
2.77
50
S
arcosh arcosh
10
D
H
H
TP
TP
S
S
2
1.1931 S 0.6402 S 1 1.8636 S 1
2
S 0.5366 S 0.8382 S
0.5366
1
0.4498
Rippelfaktor
e
0.1
Amax
0.10.5
10 1 10 1 0.3493
3dB
Grenzkreisfrequenz
entnormierte Übertragungsfunktion
3dB
1 1 1 1
D
cosh arcosh 10 cosh arcosh
11.67
n e 3 0.3493
s s
S
3dB
11.67
H
TP
s 715.7
11.67 6.265 114.2 6.265
2
s s s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 64

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.5.2 Hochpass zu Tiefpass
4.5.2.1 Frequenznormierung
S : auf ω D normierte komplexe Kreisfrequenz
: auf ω D normierte Kreisfrequenz
s : zu normierende komplexe Kreisfrequenz s -1
: zu normierende Frequenz s -1
: Durchlassgrenzkreisfrequenz s -1
D
s
S
D
D
► Beispiel
Übertragungsfunktion von Hochpass mit einer Durchlassgrenzkreisfrequenz von 1 rad s -1 :
2
S
HHP
S
2
S 1.414 S 1
Übertragungsfunktion von Hochpass mit einer Durchlassgrenzkreisfrequenz von 1000 rad s -1 :
2
s s s
HHP
H
2 6
D
1000 s 1414 s10
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 65

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.5.2.2 Berechnung
S
:
HP
normierte Sperrgrenzkreisfrequenz vom Hochpass
S
:
TP
normierte Sperrgrenzkreisfrequenz vom Tiefpass
S : normierte komplexe Kreisfrequenz rad s -1
normierte Kreisfrequenzen
D
: Durchlassgrenzkreisfrequenz von Hochpass rad s -1
A
max
: maximale Dämpfung im Durchlassbereich dB
Filterspezifikationen
: Sperrgrenzkreisfrequenz von Hochpass rad s -1
S
A
min
: minimale Dämpfung im Sperrbereich dB
n : Ordnung des Filters
HHP
S : normierte Übertragungsfunktion vom Hochpass
HTP
S : normierte Übertragungsfunktion vom Tiefpass
Filter
Frequenznormierung
Filterordnung
Butterworth
Filterordnung
Tschebyscheff
Frequenztransformation
Übertragungsfunktionen
► Beispiel
1 S
S
HP
STP
D
1 D
S
TP
SHP
0.1
Amin
10 1
log
10
0.1
A
max
1
n
2log
S
STP
0.1
Amin
10 1
arcosh
0.1
A
max
10 1
n
arcosh
STP
1
H
HP S HTP
S
Übertragungsfunktion für Tiefpass:
1
HTP
S
2
S 1.414 S1
Übertragungsfunktion für Hochpass:
HP
H S H
TP
1
2
S
1.414 1
2
S S S
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 66

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
Filterspezifikationen
Frequenznormierung
Frequenztransformation
Filterordnung
normierte Übertragungsfunktion
Frequenzrücktransformation
entnormierte Übertragungsfunktion
4.5.2.3 Beispiel mit Butterworth
D
1
50
max
3
1
min
10s A 40dB
S
s A dB
1 S
10
S
0.2
HP
50
STP
1 D
50
S
TP
5
10
SHP
D
S
10 0.1
Amin
1 10 0.140
log
log
1
0.1
A
max
0.13
10 1 10 1
n
2.86
2log
HTP
HP
S
H S H
s s
S
50
D
2log 5
S
TP
1
2
S S 1 S
1
TP
3
1
S
S S S S
2
1 1
H
HP
3
s s
50 50 2500 50
2
s s s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 67

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
Filterspezifikationen
Frequenznormierung
Frequenztransformation
Filterordnung
normierte Übertragungsfunktion
Frequenzrücktransformation
entnormierte Übertragungsfunktion
4.5.3 Beispiel mit Tschebyscheff
D
S
1
50
max
0.5
1
10
min
40
s A dB
s A dB
1 S
10
S
0.2
HP
50
STP
1 D
50
S
TP
5
10
SHP
D
S
arcosh 5
S
A max ist die maximale Welligkeit im Durchlassbereich
10 0.1
Amin
1 10 0.140
arcosh
arcosh
1
0.1
A
max
0.10.5
10 1 10 1
n
2.77
arcosh
H
H
TP
TP
HP
S
S
H S H
s s
S
50
D
TP
2
0.8753 S 0.5484 S 1 1.5963 S 1
2
S 0.6265 S 1.142 S
0.6265
TP
1
0.7157
3
1
S
S S S S
2
0.5483 0.8753 1.596
H
HP
3
s s
50 27.42 2188 79.81
2 2
s s s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 68

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.5.4 Bandpass zu Tiefpass
4.5.4.1 Berechnung
, : normierte Durchlassgrenzkreisfrequenzen
B1 B2
, : normierte Sperrgrenzkreisfrequenzen
S1 S2
: normierte Sperrgrenzkreisfrequenz vom Tiefpass
S TP
S : normierte komplexe Kreisfrequenz rad s -1
,
normierte Kreisfrequenzen
: s -1 B
1 B2
Durchlassgrenzkreisfrequenzen rad
A
max
: maximale Dämpfung im Durchlassbereich dB
Filterspezifikationen
, : Sperrgrenzkreisfrequenzen rad s -1
S1 S2
A : minimale Dämpfung im Sperrbereich dB
min
r
: Mittenkreisfrequenz, Referenzkreisfrequenz rad s -1
n : Ordnung des Filters
B : Bandbreite des Durchlassbereichs
BP
H S : normierte Übertragungsfunktion vom Bandpass
HTP
S : normierte Übertragungsfunktion vom Tiefpass
Filter
Mittenkreisfrequenz
r B1 B2 S1 S2
Frequenznormierung
B1 B2
B1 B2
r
r
S1 S2
S1 S2
r
r
S2 S1
S
TP
B2
B1
Filterordnung
Butterworth
Filterordnung
Tschebyscheff
Frequenztransformation
Übertragungsfunktionen
0.1
Amin
10 1
log
10
0.1
A
max
1
n
2log
STP
0.1
Amin
10 1
arcosh
0.1
A
max
10 1
n
arcosh
STP
2
S
1
H
BP S HTP
B
S
B2 B1
B
r
B2 B1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 69

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
Filterspezifikationen
4.5.4.2 Beispiel mit Butterworth
30s 40s A 3dB
1 1
B1 B2
1 1
S
1 S2
max
12s 100 A 20dB
min
Frequenznormierung
30 40 12100 34.64
r B1 B2 S1 S2
30 40
0.8661 1.155
34.64 34.64
B1 B2
B1 B2
r
r
12 100
0.3464 2.887
34.64 34.64
S1 S2
S1 S2
r
r
Frequenztransformation
S
2.887 0.3464
2 S
1
S
TP
8.794
1.155 0.8661
B2 B1
Filterordnung
normierte Übertragungsfunktion
Frequenzrücktransformation
10 0.1
Amin
1 10 0.120
log
log
1
0.1
A
max
0.13
10 1 10 1
n
1.06
2log
HTP
S
2
S
2log 8.794
S
TP
1
1.414 S1
B2 B1 B
0.2887
r
2 2
S 1 S 1
BP
TP
TP
H S H H
B S
0.2887 S
H
BP
S
0.08346 S
2 2
S 0.2251 S 1.228 S 0.1834 S 0.815
2
entnormierte Übertragungsfunktion
s s
S
34.64
r
H
BP
2
s 100
s
34.64 7.793 1473 6.349 997.7
2 2
s s s s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 70

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
Filterspezifikationen
4.5.4.3 Beispiel mit Tschebyscheff
30s 40s A 0.5dB
1 1
B1 B2
1 1
S
1 S2
max
12s 100 A 20dB
A max ist die maximale Welligkeit im Durchlassbereich
min
Frequenznormierung
30 40 12100 34.64
r B1 B2 S1 S2
30 40
0.8661 1.155
34.64 34.64
B1 B2
B1 B2
r
r
12 100
0.3464 2.887
34.64 34.64
S1 S2
S1 S2
r
r
Frequenztransformation
S
2.887 0.3464
2 S
1
S
TP
8.794
1.155 0.8661
B2 B1
Filterordnung
normierte Übertragungsfunktion
Frequenzrücktransformation
10 0.1
Amin
1 10 0.120
arcosh
arcosh
1
0.1
A
max
0.10.5
10 1 10 1
n
1.41
arcosh
H
H
TP
TP
S
S
arcosh 8.794
S
TP
2
0.6596 S 0.9403 S 1
S
2
1
1.516
1.426 S 1.516
B2 B1 B
0.2887
r
2 2
S 1 S 1
BP
TP
TP
H S H H
B S
0.2887 S
H
BP
S
0.1265
S
2 2
S 0.2356 S 1.338 S 0.1762 S 0.7481
2
entnormierte Übertragungsfunktion
s s
S
34.64
r
H
BP
2
s 151.6 S
34.64 8.156 1604 6.101 897.6
2 2
S S S S
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 71

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.5.5 Bandsperre zu Tiefpass
4.5.5.1 Berechnung
, : normierte Durchlassgrenzkreisfrequenzen
B1 B2
, : normierte Sperrgrenzkreisfrequenzen
S1 S2
: normierte Sperrgrenzkreisfrequenz vom Tiefpass
S TP
S : normierte komplexe Kreisfrequenz rad s -1
,
normierte Kreisfrequenzen
: s -1 B
1 B2
Durchlassgrenzkreisfrequenzen rad
A
max
: maximale Dämpfung im Durchlassbereich dB
Filterspezifikationen
, : Sperrgrenzkreisfrequenzen rad s -1
S1 S2
A : minimale Dämpfung im Sperrbereich dB
min
r
: Mittenkreisfrequenz, Referenzkreisfrequenz rad s -1
n : Ordnung des Filters
B : Bandbreite des Sperrbereichs
normierte Übertragungsfunktion
HBS
S :
von der Bandsperre
TP
H S : normierte Übertragungsfunktion vom Tiefpass
Filter
Mittenkreisfrequenz
r B1 B2 S1 S2
Frequenznormierung
B1 B2
B1 B2
r
r
S1 S2
S1 S2
r
r
B2 B1
S
TP
S2
S1
Filterordnung
Butterworth
Filterordnung
Tschebyscheff
Frequenztransformation
Übertragungsfunktionen
0.1
Amin
10 1
log
10
0.1
A
max
1
n
2log
STP
0.1
Amin
10 1
arcosh
0.1
A
max
10 1
n
arcosh
STP
B
S
H
BS S HTP
2
S
1
S2 S1
B
r
S2 S1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 72

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
Filterspezifikationen
4.5.5.2 Beispiel mit Butterworth
12s 100s A 3dB
1 1
B1 B2
1 1
S
1 S2
max
30s 40s A 20dB
min
Frequenznormierung
12100 30 40 34.64
r B1 B2 S1 S2
12 100
0.3464 2.887
34.64 34.64
B1 B2
B1 B2
r
r
30 40
0.8661 1.155
34.64 34.64
S1 S2
S1 S2
r
r
Frequenztransformation
B
2.887 0.3464
2 B
1
S
TP
8.794
1.155 0.8661
S2 S1
Filterordnung
normierte Übertragungsfunktion
Frequenzrücktransformation
10 0.1
Amin
1 10 0.120
log
log
1
0.1
A
max
0.13
10 1 10 1
n
1.06
2log
HTP
S
2
S
2log 8.794
S
TP
1
1.414 S1
S2 S1 B
0.2887
r
B S
0.2887 S
H
BS S HTP H
2
TP 2
S 1 S 1
H
BS
S
2 2
S
1 S
1
2 2
S 0.2251 S 1.228 S 0.1834 S 0.815
entnormierte Übertragungsfunktion
s s
S
34.64
H
BS
r
2 2
s
1200 s
1200
2 2
s s s s
s
34.64 6.349 997.7 7.793 1473
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 73

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
Filterspezifikationen
4.5.5.3 Beispiel mit Tschebyscheff
12s 100s A 0.5dB
1 1
B1 B2
1 1
S
1 S2
max
30s 40s A 20dB
A max ist die maximale Welligkeit im Durchlassbereich
min
Frequenznormierung
12100 30 40 34.64
r B1 B2 S1 S2
12 100
0.3464 2.887
34.64 34.64
B1 B2
B1 B2
r
r
30 40
0.8661 1.155
34.64 34.64
S1 S2
S1 S2
r
r
Frequenztransformation
B
2.887 0.3464
2 B
1
S
TP
8.794
1.155 0.8661
S2 S1
Filterordnung
normierte Übertragungsfunktion
Frequenzrücktransformation
10 0.1
Amin
1 10 0.120
arcosh
arcosh
1
0.1
A
max
0.10.5
10 1 10 1
n
1.41
arcosh
H
H
TP
TP
S
S
arcosh 8.794
S
TP
2
0.6596 S 0.9403 S 1
S
2
1
1.516
1.426 S 1.516
S2 S1 B
0.2887
r
B S
0.2887 S
H
BS S HTP H
2
TP 2
S 1 S 1
H
BS
S
2 2
S
1 S
1
2 2
S 0.1488 S 1.211 S 0.1229 S 0.8261
entnormierte Übertragungsfunktion
s s
S
34.64
H
BS
r
2 2
s
1200 s
1200
2 2
s s s s
s
34.64 5.15 1453 4.253 991.1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 74

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.6 aktive Filter
4.6.1 aktiver Tiefpass 1. Ordnung
H s :
Übertragungsfunktion
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
K : Koeffizient
: Koeffizient s -1
p
R
i
: Widerstand Ω
C : Kondensator F
Übertragungsfunktion
Bauelemente
H s
K p
s
C ist frei wählbar.
p
1
R1
KC
p
1
R2
C
p
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 75

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.6.2 aktiver Tiefpass 2. Ordnung
H s :
Übertragungsfunktion
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
K : Koeffizient
: Koeffizient s -1
p
p
: Koeffizient s -1
: Verstärkung
R
i
: Widerstand Ω
C : Kondensator F
Übertragungsfunktion
2
p
2 2
2
p
p
H s K s s
Zusammenhänge
p
1
R C
3
2
p
RC
R2
K R R
1 2
R
R
4
1 3
3
2
p
p
Bauelemente
C ist frei wählbar.
R R
1
1 2
R R
1
R
2 C
p
R
1
R
K
R1
R
R2
R R
1
2
R3
R
1
R
R
4
2
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 76

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.6.3 aktiver Hochpass 2. Ordnung
H s :
Übertragungsfunktion
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
K : Koeffizient
: Koeffizient s -1
p
p
: Koeffizient s -1
R
i
: Widerstand Ω
C : Kondensator F
i
Übertragungsfunktion
2
s
H s
K s s
2 2
2
p
p
Bauelemente
C
K C
1 2
R
R
2 2
p
1 2
p
2
p
C C C
1 2 3
1
R C C
2 2 3
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 77

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.6.4 aktiver Bandpass 2. Ordnung
H s :
Übertragungsfunktion
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
K : Koeffizient
: Koeffizient s -1
p
p
: Koeffizient s -1
R
i
: Widerstand Ω
C : Kondensator F
Übertragungsfunktion
s 2
H s K s s 2
p
2 2
p
p
Bauelemente
1
R1
K C
2
p
1
R2
C
R
p
p
3 C
2 2
2
p
K
p
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 78

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.6.5 aktive Bandsperre 2. Ordnung
H s :
Übertragungsfunktion
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
K : Koeffizient
: Koeffizient s -1
p
p
: Koeffizient s -1
R : Widerstand Ω
C : Kondensator F
Übertragungsfunktion
Zusammenhänge
s
H s K s s
p
K 2
p
2 2
p
2 2
2
p
p
R R
K
R
1 2
1
Bauelemente
1
RC p
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 79

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.7 passive Filter
4.7.1 passiver Tiefpass 1. Ordnung
Schaltung
Amplitudengang
Phasengang
Gruppenlaufzeit
Hs :
H
Übertragungsfunktion
j Frequenzgang
U s,
V : Ausgangsspannung V
out
o
Uin
s : Eingangsspannung V
: Phasengang rad
g
t : Gruppenlaufzeit s
: Kreisfrequenz rad s -1
: Grenzkreisfrequenz rad s -1
3dB
R : Widerstand Ω
1
C : Kondensator F
1
Messgrössen
Bauelemente
Übertragungsfunktion
Frequenzgang
H s
1
U s sC
out
1
U 1
in
s
R
1 s R1 C1
1
s C1
1
H j H s
sj
1 j R C
1
1 1
Amplitudengang
H
j
1
R C 2
1
1 1
Phasengang
Gruppenlaufzeit
arg H j arctan
R1
C1
t
g
d
R1
C1
d
1 R C
1 1
2
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 80

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
3dB
3dB
1
R C
1 1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 81

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
4.7.2 passiver Hochpass 1. Ordnung
Schaltung
Amplitudengang
Phasengang
Gruppenlaufzeit
Hs :
H
Übertragungsfunktion
j Frequenzgang
U s,
V : Ausgangsspannung V
out
o
Uin
s : Eingangsspannung V
: Phasengang rad
g
t : Gruppenlaufzeit s
: Kreisfrequenz rad s -1
: Grenzkreisfrequenz rad s -1
3dB
R : Widerstand Ω
1
C : Kondensator F
1
Messgrössen
Bauelemente
Übertragungsfunktion
Frequenzgang
H s
Uout
s R1 s R1 C1
U 1
in
s
R
1 s R C
1
s C
j R1 C1
H j
H s
sj
1 j R C
1
1 1
1 1
Amplitudengang
H
j
R C
1 1
1 R C
1 1
2
Phasengang
Gruppenlaufzeit
3dB
2
t
g
arg H j arctan R1
C1
d
R1
C1
d
1 R C
3dB
1
R C
1 1
1 1
2
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 82

FH Formelsammlung - Filter Editiert: 21.02.2011
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 83

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
5 Leitungstheorie
5.1 Leitungswellenimpedanz
Leerlauf
Kurzschluss
Z
W
: Wellenimpedanz der Leitung Ω
Z : Impedanz der Leitung in Leerlauf Ω
L
Z : Impedanz der Leitung beim Kurzschluss Ω
K
ZW ZL ZK
5.2 Leitungsbeläge, Leitungsparameter
Ω m -1
5.2.1 Beläge
R ' : Widerstandsbelag
R : Widerstand Ω Widerstand
dR : Widerstandselement Ω
G ' : Ableitungsbelag S m -1
G : Leitwert S Leitwert
dG : Leitwertelement S
C ' : Kapazitätsbelag F m -1
C : Kapazität F Kapazität
dC : Kapazitätselement F
L ' : Induktivitätsbelag H m -1
L : Induktivität H Induktivität
dL : Induktivitätselement H
a : Länge der Leitung m
dx : Leiterelement m
Abmessungen
Widerstandsbelag
Ableitungsbelag
Kapazitätsbelag
Induktivitätsbelag
Er beschreibt den ohmschen Widerstand einer elektrischen Leitung bezogen auf ihre Länge.
R
R'
a
Er beschreibt die Verluste durch unvollständige Isolation pro Länge.
G
G '
a
Er ist die Kapazität einer Leitung pro Länge dieser Leitung.
C
C '
a
Er stellt den Induktivitätswert pro Länge dar.
L
L'
a
Ersatzschaltbild von
einem Leiterelement
dR dG dC dL
R'
G ' C ' L'
dx dx dx dx
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 84

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
5.2.2 Leitungswellenimpedanz
Z , Z : Wellenimpedanz der Leitung Ω
W
W
: Kreisfrequenz rad s -1 Andere
R ' : Widerstandsbelag Ω m -1
G ' : Ableitungsbelag S m -1
C ' : Kapazitätsbelag F m -1 Beläge
L ' : Induktivitätsbelag H m -1
allgemein
Z
W
R'
j
L'
G'
j
C
'
Gleichstrom
Z
W
R'
G '
niedrige Frequenzen
Z
W
R'
j
C'
hohe Frequenzen
Z
W
L'
C '
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 85

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
5.2.3 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit
: elektrische Feldkonstante des Vakuums 8.85419 ∙ 10 -12 F m -1
v
p
:
Ausbreitungsgeschwindigkeit,
m s -1
Phasengeschwindigkeit
c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1
Geschwindigkeiten
C ' : Kapazitätsbelag F m -1
L ' : Induktivitätsbelag H m -1
Beläge
0
r
: elektrische Feldkonstante des Dielektrikums
: magnetische Feldkonstante des Vakuums 4 ∙ π ∙ 10 -7 H m -1 Materialkonstanten
0
:
r
magnetische Feldkonstante des Materials
in einem Material
v p
v
p
1
L'
C'
1
0 r 0
r
v
p
c
r
r
im Vakuum
vp
c
1
0 0
5.2.4 Koaxialkabel
C ' : Kapazitätsbelag F m -1 Beläge
L ' : Induktivitätsbelag H m -1
R : innerer Radius m
i
R : Radius der Dielektrikagrenze m
Abmessungen
m
0
: elektrische Feldkonstante des Vakuums 8.85419 ∙ 10 -12 F m -1
r
: elektrische Feldkonstante des Dielektrikums
Materialkonstanten
: magnetische Feldkonstante des Vakuums 4 ∙ π ∙ 10 -7 H m -1
0
:
r
magnetische Feldkonstante des Materials
Kapazitätsbelag
2
0
r
C '
R
a
ln
Ri
hohe Frequenz
Induktivitätsbelag
L'
R
0 r a
ln
2 Ri
hohe Frequenz
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 86

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
5.2.5 Paralleldrahtleitung, Zweidrahtleitung mit gegensinniger Bestromung
C ' : Kapazitätsbelag F m -1 Beläge
L ' : Induktivitätsbelag H m -1
a : Abstand der Leiter m
Abmessungen
r : Radius der Leiter m
0
: elektrische Feldkonstante des Vakuums 8.85419 ∙ 10 -12 F m -1
r
: elektrische Feldkonstante des Dielektrikums
Materialkonstanten
: magnetische Feldkonstante des Vakuums 4 ∙ π ∙ 10 -7 H m -1
0
:
r
magnetische Feldkonstante des Materials
Kapazitätsbelag
C '
a a 4
r
ln
2
r
0
r
2 2
0
r
C '
a
ln
r
a
r
Induktivitätsbelag
L'
r a
r
r
0
ln
L'
a
r
0 r
ln
a
r
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 87

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
5.3 Schaltvorgänge
5.3.1 Anfangswerte und Endwerte
u1
t : Eingangsspannung V
u2
t : Ausgangsspannung V
i1
t : Eingangsstrom A
i2
t : Ausgangsstrom A
U
0
: Spannung V
R : Innenwiderstand Ω
1
Z : Wellenimpedanz der Leitung Ω
W
R
2
: Lastwiderstand Ω
t : Zeit s
zeitabhängige Grössen
Generator
Andere
Spannung
u Z
t U R Z
W
1
0
0
1
W
Spannungsteiler mit R 1 und Z W
u2 t 0 0
Welle noch nicht am Ausgang angekommen
Strom
2
u t u t U 1 2 0
R 1
R 2
i t 0
U
R Z
1
0
1
W
R
Spannungsteiler mit R 1 und R 2
ohmsches Gesetz mit R 1 und Z W
i t Welle noch nicht am Ausgang angekommen
2
0
0
i t i t
1 2
U
R R
1 2
ohmsches Gesetz mit R 1 und R 2
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 88

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
5.3.2 Reflexionsfaktor
r
u1
: Spannungsreflexionsfaktor am Leitungsanfang
r : Spannungsreflexionsfaktor am Leitungsende
u2
r :
i1
i2
Stromreflexionsfaktor am Leitungsanfang
r : Stromreflexionsfaktor am Leitungsende
R : Innenwiderstand des Generators Ω
1
R : Lastwiderstand Ω
2
Z : Wellenimpedanz der Leitung Ω
W
u : hinlaufende Spannungswelle am Eingang V
h1
u : rücklaufende Spannungswelle am Eingang V
r1
i : hinlaufende Stromwelle am Eingang A
h1
i : rücklaufende Stromwelle am Eingang A
r1
u : hinlaufende Spannungswelle am Ausgang V
h2
u
r 2
: rücklaufende Spannungswelle am Ausgang V
i : hinlaufende Stromwelle am Ausgang A
h2
i : rücklaufende Stromwelle am Ausgang A
r 2
Faktoren
Widerstände
Leitungsanfang
Leitungsende
Eigenschaften
Leitungsanfang
r 1 r 1 r 1 r 1
r
u1 u2 i1 i2
u1
ur1
R1
Z
u R Z
h1 1
W
W
r
i1
ir1
ZW
R
i R Z
h1 1
1
W
Leitungsende
r
u2
ur2
R2
Z
u R Z
h2 2
W
W
r
i2
ir
2
ZW
R
i R Z
h2 2
2
W
Anpassung, R 2 = Z W
r
u
0 r 0
u2 i2
0 i 0
r2 r2
keine Reflexion
Leerlauf, R 2 = ∞
r
1 r 1
u2 i2
u u i i
r 2 h2 r 2 h2
Spannung verdoppelt sich
Kurzschluss, R 2 = 0
r
1 r 1
u2 i2
u u i i
r 2 h2 r 2 h2
Strom verdoppelt sich
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 89

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
5.3.3 Reflexion an einer Stossstelle
R
W1
R
W 2
r
u12
: Spannungsreflexionsfaktor
r : Stromreflexionsfaktor
i12
t : Spannungstransmissionsfaktor
u12
t : Stromtransmissionsfaktor
i12
t : Leistungstransmissionsfaktor
p12
R
W1
: Wellenwiderstand der Zuführungsleitung Ω
R : Wellenwiderstand der Wegführungsleitung Ω
W 2
u : hinlaufende Spannungswelle V
v1
u : rücklaufende Spannungswelle V
r1
i : hinlaufende Stromwelle A
v1
i : rücklaufende Stromwelle A
r1
u : weglaufende Spannungswelle V
v2
i : weglaufende Stromwelle A
v2
Faktoren
Leitungen
links von der Stossstelle
rechts von der Stossstelle
Spannung und
Strom mit
R W2 = 3 ∙ R W1
Spannung (kein Phasensprung)
Strom (Phasensprung)
Zusammenhänge
R
W1
u
i
u
i
v1 r1
v1 r1
R
W 2
u
i
v2
v2
Reflexionsfaktor
u u u
v2 v1 r1
i i i
v2 v1 r1
r
u
u u R R
r1
v2 v1 W 2 W1
u12
uv 1
uv 1
RW 2
RW
1
r
i
i i R R
r1
v2 v1 W1 W 2
i12
iv 1
iv 1
RW 2
RW
1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 90

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
Transmissionsfaktor
t
u u u 2R
1
r
v2 v1 r1 W 2
u12 u12
uv 1
uv 1
RW 2
RW
1
t
i i i 2R
1
r
v2 v1 r1 W1
i12 i12
iv 1
iv 1
RW 2
RW
1
u i
t t t 1 r 1
r
v2 v2
2 2
p12 u12 i12 u12 i12
uv
1iv1
5.3.4 Phasensprung
5.3.4.1 Spannungswellen
Spannungswelle
Z
W1
ZW2 ZW1
Z
W1
Z
Z
W2 W1
Z
W1
: Wellenimpedanz der Zuführungsleitung Ω
Z : Wellenimpedanz der Wegführungsleitung Ω
W 2
r : Spannungsreflexionsfaktor
u12
Beschreibung
Erklärung
Kriterium
► Beispiel ohne
Phasensprung
Beim Übergang in eine Leitung mit einer kleineren Wellenimpedanz erfährt die rücklaufende
Spannungswelle einen Phasensprung um π (180° / Vorzeichenwechsel).
Die Spannung über einer kleinen Wellenimpedanz ist kleiner als die Spannung über einer grossen
Wellenimpedanz. Bei einem Phasensprung ist die Wellenimpedanz der Wegführungsleitung also nicht in
der Lage die komplette hinlaufende Spannungswelle aufzunehmen.
Z
Z Übergang in besser leitendes Material
W1 W2
Aufbau mit Z W1 = 50 Ω und Z W2 = 100 Ω:
50 Ω 100 Ω
r
Z
Z 100 50
1
100 50 3
W2 W1
u12
ZW2 ZW1
kein Phasensprung weil positiv
► Beispiel mit
Phasensprung
Aufbau mit Z W1 = 100 Ω und Z W2 = 50 Ω:
100 Ω 50 Ω
r
Z
Z 50 100
1
50 100 3
W2 W1
u12
ZW2 ZW1
Phasensprung weil negativ
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 91

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
5.3.4.2 Stromwellen
Stromwelle
Z
W1
Z
Z
W2 W1
Z
W1
Z
Z
W2 W1
Z
W1
: Wellenimpedanz der Zuführungsleitung Ω
Z : Wellenimpedanz der Wegführungsleitung Ω
W 2
r : Stromreflexionsfaktor
i12
Beschreibung
Erklärung
Kriterium
► Beispiel ohne
Phasensprung
Beim Übergang in eine Leitung mit einer grösseren Wellenimpedanz erfährt die rücklaufende
Stromwelle einen Phasensprung um π (180° / Vorzeichenwechsel).
Der Strom durch eine grosse Wellenimpedanz ist kleiner als der Strom durch eine kleine
Wellenimpedanz. Bei einem Phasensprung ist die Wellenimpedanz der Wegführungsleitung also nicht in
der Lage die komplette hinlaufende Stromwelle aufzunehmen.
Z
Z Übergang in schlechter leitendes Material
W1 W2
Aufbau mit Z W1 = 100 Ω und Z W2 = 50 Ω:
100 Ω 50 Ω
r
Z
Z 100 50
1
50 100 3
W1 W2
i12
ZW2 ZW1
kein Phasensprung weil positiv
► Beispiel mit
Phasensprung
Aufbau mit Z W1 = 50 Ω und Z W2 = 100 Ω:
50 Ω 100 Ω
r
Z
Z 50 100
1
100 50 3
W1 W2
i12
ZW2 ZW1
Phasensprung weil negativ
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 92

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
5.4 eingeschwungene Leitung
5.4.1 Ausbreitungskoeffizient
: Dämpfungskoeffizient, Dämpfungsbelag Np m -1
dB
: Dämpfungskoeffizient, Dämpfungsbelag dB m -1
Koeffizienten
: Ausbreitungskoeffizient, Fortpflanzungskonstante m -1
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1
grad
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag ° m -1
R ' : Widerstandsbelag Ω m -1
G ' : Ableitungsbelag S m -1
C ' : Kapazitätsbelag F m -1 Beläge
L ' : Induktivitätsbelag H m -1
: Kreisfrequenz rad s -1 Andere
Ausbreitungskoeffizient
Dämpfungskoeffizient
j
R' j L' G' j C '
ln 10
dB
20 Np
1
2 2 2 2 2 2 2
R' L' G' C ' R' G'
L' C '
2
Phasenkoeffizient
grad
2 rad
360
1
2 2 2 2 2 2 2
R' L' G' C ' R' G' L' C '
2
5.4.2 Leitungswellenimpedanz
Z
W
: Wellenimpedanz der Leitung Ω
x : Abstand vom Leitungsanfang m
Uh
x : hinlaufende Spannungswelle V
Ih
x : hinlaufende Stromwelle A
U x : rücklaufende Spannungswelle V
r
r
I x : rücklaufende Stromwelle A
Andere
hinlaufend
rücklaufend
hinlaufende Wellen
rücklaufende Wellen
Z
Z
W
W
U
I
h
h
U
I
x
x
r
r
x
x
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 93

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
5.4.3 Spannungen und Ströme
Ux : Spannung V
Uh
x : Spannung der hinlaufenden Welle V
Ur
x : Spannung der rücklaufenden Welle V
I x : Strom A
Ih
x : Strom der hinlaufenden Welle A
I x : Strom der rücklaufenden Welle A
r
U
h1
: Spannung der hinlaufenden Welle V
U : Spannung der rücklaufenden Welle V
r1
U : Spannung V
1
1
I : Strom A
U : Spannung V
2
2
I : Strom A
Z : Lastimpedanz am Leitungsende Ω
2
Z : Wellenimpedanz der Leitung Ω
W
Z
IN
: Eingangsimpedanz der Leitung Ω
x : Abstand vom Leitungsanfang m
l : Länge der Leitung m
beliebige Position x
Leitungsanfang
Leitungsende
Leitung
Abmessungen
beliebige Position
h
h1
U x U e
x
r
r1
U x U e
h1
x
1
x
I
h
x U e
Z
W
1 x
r1
I
r
x U e
Z
W
x
h1 r1
U x U e U e
x
1 x x
h1
r1
I x U e U e
Z
W
Leitungsende
U U e U e
l
2 h1 r1
l
1 l l
2
h1
r1
ZW
I U e U e
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 94

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
Leitungsanfang
U U U
1 h1 r1
I I I
1 h1 r1
1
I U U
1 h1 r1
ZW
1
Uh
1
U1 I
1
Z
2
1
Ur1 U1 I
1
Z
2
W
W
U
U
U Z
2 Z
1
h1 1
U Z
2 Z
1
r1 1
W
IN
W
IN
I
I
1
1
U
Z
1
IN
U
Z
1
IN
1 l
Uh
1
e U2
I
2
Z
2
1 l
Ur1 e
U2
I
2
Z
2
W
W
U
U
2
Z
W
Z2
2 l
h1
e
1
I
2
U
Z
2
2
U
U
2
Z
W
Z2
2 l
r1
e
1
5.4.4 Eingangsimpedanz
I
2
U
Z
Z
IN
: Eingangsimpedanz der Leitung Ω
Z : Wellenimpedanz der Leitung Ω
W
Z : Lastimpedanz am Leitungsende Ω
2
:
Ausbreitungskoeffizient,
Fortpflanzungskonstante
l : Länge der Leitung m
2
2
m -1
Impedanzen
Andere
Z
IN
Z
W
2
Z2
ZW
tanh l
Z tanh l Z
W
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 95

FH Formelsammlung - Leitungstheorie Editiert: 21.02.2011
angepasste Systeme
5.4.5 Stehwellenverhältnis, VSWR, SWR
nicht angepasste
Systeme
Stehwellenverhältnis,
VSWR,
SWR : Voltage Standing Wave Ratio,
Standing Wave Ratio
r : Spannungsreflexionsfaktor am Leitungsende
u2
A Rückflussdämpfung, return loss dB
r,
dB
U
max
: Maximalspannung V
U : Minimalspannung V
min
Andere
Stehwellen
VSWR
U
VSWR U
max
min
1
r
VSWR
1 r
u2
u2
Rückflussdämpfung
A
r,
dB
1
20dB
log
r
u2
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 96

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6 Regelungstechnik
6.1 Differentialgleichungen
6.1.1 Spannung und Strom
R : Widerstand Ω
G : Leitwert S
C : Kapazität F
L : Induktivität H
ut : Spannung im Zeitbereich V
Us : Spannung im Frequenzbereich V s
it : Strom im Zeitbereich A
Is : Strom im Frequenzbereich A s
q : Ladung C
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Widerstand
1
u t R i t i t
G
1
i t u t G u t
R
1
U s R I s I s
G
1
I s U s G U s
R
Kapazität
1 q
ut
C C
d
it
C ut
dt
itdt
U s I s
I s
1 1 q
C s C
C s U s
Induktivität
d
ut
L it
dt
1
it
u tdt
L
U s
I s
L s I s
1 1
U s
L s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 97

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.1.2 Reihenschaltungen
6.1.2.1 Widerstand und Kapazität in Reihenschaltung
ut : Eingangsspannung V
Us : Eingangsspannung V s
uR
t : Spannung über dem Widerstand V
u t : Spannung über der Kapazität V
C
R : Widerstand Ω
C : Kapazität F
it : Strom A
Is : Strom A s
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Spannungen
Bauteile
Andere
Zeitbereich
Frequenzbereich
u t u t u t
R
1
ut R it itdt
C
C
u t uRt uCt
U s R I s 1 1 I s
C s
Übertragungsfunktion
G s
sC
s R C 1
I s
U s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 98

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.1.2.2 Widerstand und Induktivität in Reihenschaltung
ut : Eingangsspannung V
Us : Eingangsspannung V s
uR
t : Spannung über dem Widerstand V
uL
t : Spannung über der Induktivität V
R : Widerstand Ω
L : Induktivität H
it : Strom A
Is : Strom A s
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Spannungen
Bauteile
Andere
Zeitbereich
u t u t u t
R
L
'
u t R i t L i t
Frequenzbereich
u t uRt uLt
U s R I s L s I s
Übertragungsfunktion
G s
I s 1
U s L s R
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 99

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.1.2.3 Widerstand, Kapazität und Induktivität in Reihenschaltung
ut : Eingangsspannung V
Us : Eingangsspannung V s
uR
t : Spannung über dem Widerstand V
u t : Spannung über der Kapazität V
C
uL
t : Spannung über der Induktivität V
R : Widerstand Ω
C : Kapazität F
L : Induktivität H
it : Strom A
Is : Strom A s
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Spannungen
Bauteile
Andere
Zeitbereich
Frequenzbereich
u t u t u t u t
R L C
1
ut R it L i'
t itdt
C
u t uR t uL t uC
t
U s R I s L s I s 1 1 I s
C s
Übertragungsfunktion
G s
2
I s sC
U s s C L s C R 1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 100

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.1.3 Parallelschaltungen
6.1.3.1 Widerstand und Kapazität in Parallelschaltung
it : Eingangsstrom A
Is : Eingangsstrom A s
iR
t : Strom durch den Widerstand A
i t : Strom durch die Kapazität A
C
R : Widerstand Ω
C : Kapazität F
ut : Spannung V
Us : Spannung V s
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Ströme
Bauteile
Andere
Zeitbereich
Frequenzbereich
i t i t i t
R
1
i t u t C u t
R
'
C
i t iRt iC t
I s 1 U s C s U s
R
Übertragungsfunktion
G s
R
s C R 1
U s
I s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 101

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.1.3.2 Widerstand und Induktivität in Parallelschaltung
it : Eingangsstrom A
Is : Eingangsstrom A s
iR
t : Strom durch den Widerstand A
iL
t : Strom durch die Induktivität A
R : Widerstand Ω
L : Induktivität H
ut : Spannung V
Us : Spannung V s
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Ströme
Bauteile
Andere
Zeitbereich
Frequenzbereich
i t i t i t
R
1 1
it ut utdt
R
L
L
i t iRt iLt
I s 1 U s 1 1 U s
R L s
Übertragungsfunktion
G s
U s s L R
I s s L R
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 102

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.1.3.3 Widerstand, Kapazität und Induktivität in Parallelschaltung
it : Eingangsstrom A
Is : Eingangsstrom A s
iR
t : Strom durch den Widerstand A
i t : Strom durch die Kapazität A
C
iL
t : Strom durch die Induktivität A
R : Widerstand Ω
C : Kapazität F
L : Induktivität H
ut : Spannung V
Us : Spannung V s
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Ströme
Bauteile
Andere
Zeitbereich
Frequenzbereich
i t i t i t i t
R L C
1 1
i t u t u t dt C u t
R L
'
i t iR t iL t iC
t
I s 1 U s 1 1 U s C s U s
R L s
Übertragungsfunktion
G s
2
U s s L R
I s s C L R s L R
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 103

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.2 Übertragungsfunktion
6.2.1 Polstellen, Impulsantwort und Schrittantwort
G s : Übertragungsfunktion
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
y t : Impulsantwort im Zeitbereich
imp
ystep
t : Schrittantwort im Zeitbereich
p
i
: Polstelle rad s -1
Impulsantwort
imp
1
y t G s
Schrittantwort
y
step
t
1
G s
s
G s
1
s 2
p1 2
yimp
t
e
2 t
step
2
0.5 0.5
y t e t
Impulsantwort
Schrittantwort
G s
1
s 1
p1 1
imp
y t e
t
step
1
y t e t
Impulsantwort
Schrittantwort
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 104

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
G s
1
s
p1 0
yimp
t 1
ystep
t
t
Impulsantwort
Schrittantwort
2
G s
1
s
p 0 p 0
1 2
yimp
t
t
ystep
t
2
t
2
Impulsantwort
Schrittantwort
G s
1
s 1
p1 1
imp
t
y t e
step
t
1
y t e
Impulsantwort
Schrittantwort
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 105

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
G s
1
s 2
p1 2
imp
2
y t e t
y
step
2t
t e
0.5 0.5
Impulsantwort
Schrittantwort
2
G s
s
1
4s5
p 2
i p 2
i
y
1 2
t
sin
e
t
imp 2t
y
step
t
t
t
cos 2sin
0.2
2t
2t
5e
5e
Impulsantwort
Schrittantwort
2
G s
s
1
2s2
p 1
i p 1
i
y
1 2
t
sint
e
imp t
t
t
y cos sin
t step
0.5
t
t
2e
2e
Impulsantwort
Schrittantwort
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 106

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
2
G s
1
s 1
p i p i
1 2
y t sin t
imp
y t 1
cos t
step
Impulsantwort
Schrittantwort
2
G s
s
1
2s2
p 1
i p 1
i
y
1 2
imp
t
sint
t
e
y
t
t
cos sin
0.5
t
t
2e
2e
t step
Impulsantwort
Schrittantwort
2
G s
s
1
4s5
p 2 i p 2
i
y
1 2
imp
t
sin
e
t
2 t
y
step
t
t
t
cos 2sin
0.2
2t
2t
5e
5e
Impulsantwort
Schrittantwort
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 107

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
2
G s
s
1
2s1
p 1 p 1
1 2
yimp
y
step
t
t
t
t
e
t 1
1
t t
e
e
Impulsantwort
Schrittantwort
2
G s
s
1
2s2
p 1
i p 1
i
y
1 2
t
sint
e
imp t
t
t
y cos sin
t step
0.5
t
t
2e
2e
Impulsantwort
Schrittantwort
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 108

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
2
G s
s
1
2s5
p 1 2i p 1 2
i
y
y
1 2
t
sin 2t
2e
imp t
step
t
t t
cos 2 sin 2
0.2
t
t
5e
10 e
Impulsantwort
Schrittantwort
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 109

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.2.2 Bedeutung von Polstellen
komplex konjugiertes Polstellenpaar
reelle Polstelle
Gs :
Übertragungsfunktion
yimp
t : Impulsantwort im Zeitbereich Y
System
ystep
t : Schrittantwort im Zeitbereich Y
: Kreisfrequenz der Schwingung rad s -1
p : Polstelle rad s -1 Pole
a : Konstante der einhüllenden Kurve, Enveloppe rad s -1
*
p : komplex konjugierte Polstelle rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1 Andere
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Impulsantwort
komplex konjugiertes Polstellenpaar
1
Gs
*
s p s p
G s
imp
1
s a j s a j
1
y t G s
reelle Polstelle
G s
G s
1
s p
1
s a
komplex konjugiertes Polstellenpaar reelle Polstelle
1 at
a
y t e sin
t y t e t
imp
komplex konjugiertes Polstellenpaar, a < 0 reelle Polstelle, a < 0
imp
Schrittantwort
y
step
t
1
G s
s
komplex konjugiertes Polstellenpaar
1 a sin
t cos
te
ystep
t
a
2 2 a
2 2
at
reelle Polstelle
y
step
1
a
at
t e
1
Schrittantwort
mit a < 0
komplex konjugiertes Polstellenpaar
ystep
1
t
2 2
a
reelle Polstelle
ystep
1
t
a
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 110

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.2.3 Bodediagramm
6.2.3.1 Definition
Gs :
G
j
dB
Übertragungsfunktion
: Frequenzgang
A : Amplitudengang dB
: Phasengang rad
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
K : Konstante, positiv
T : Konstante, positiv rad -1 s
Frequenzgang
Amplitudengang
Phasengang
G s
1
s 2
Gs s j
G j
AdB
20dB log G j
arg G j
6.2.3.2 Darstellung im Raum und auf der imaginären Achse
G s : Übertragungsfunktion
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
z : Nullstelle rad s -1
i
p : Polstelle rad s -1
i
p1 2
20 ∙ log(|G(s)|) 20 ∙ log(|G(j ∙ ω)|)
G s
1
s 1
p1 1
20 ∙ log(|G(s)|) 20 ∙ log(|G(j ∙ ω)|)
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 111

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
G s
1
s 0.1
p1 0.1
20 ∙ log(|G(s)|) 20 ∙ log(|G(j ∙ ω)|)
2
G s
s
1
4s5
p 2
i p 2
i
1 2
20 ∙ log(|G(s)|) 20 ∙ log(|G(j ∙ ω)|)
2
G s
s
1
2s2
p 1
i p 1
i
1 2
20 ∙ log(|G(s)|) 20 ∙ log(|G(j ∙ ω)|)
2
G s
s
1
0.2s1.01
p 0.1 i p 0.1
i
1 2
20 ∙ log(|G(s)|) 20 ∙ log(|G(j ∙ ω)|)
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 112

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
2
G s
s
s 1
2s2
z 1
1
p 1
i p 1
i
1 2
20 ∙ log(|G(s)|) 20 ∙ log(|G(j ∙ ω)|)
2
G s
s
s
2s2
z 0
1
p 1
i p 1
i
1 2
20 ∙ log(|G(s)|) 20 ∙ log(|G(j ∙ ω)|)
2
G s
s
s 1
2s2
z 1
1
p 1
i p 1
i
1 2
20 ∙ log(|G(s)|) 20 ∙ log(|G(j ∙ ω)|)
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 113

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.2.3.3 grundlegende Übertragungsfunktionen
Gs :
Übertragungsfunktion
G j : Frequenzgang
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
K : Konstante, positiv
T : Konstante, positiv rad -1 s
Gs
K
Amplitudengang
Phasengang
Gs
K
Amplitudengang konstant bei 20 ∙ log(|K|)
Phasengang konstant bei 0
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
konstant bei 20 ∙ log(|-K|)
konstant bei π
Gs
s T
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang +20 dB pro Dekade, 0 dB bei ω = 1/T
Phasengang konstant bei π/2
Gs
s T
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang +20 dB pro Dekade, 0 dB bei ω = 1/T
Phasengang konstant bei -π/2
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 114

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
G s
1
sT
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang -20 dB pro Dekade, 0 dB bei ω = 1/T
Phasengang konstant bei -π/2
G s
1
sT
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang -20 dB pro Dekade, 0 dB bei ω = 1/T
Phasengang konstant bei π/2
G s
1
s T
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang Knick bei ω = 1/T, dann +20 dB pro Dekade
Phasengang von 0 auf π/2 über zwei Dekaden, π/4 bei ω = 1/T
G s
1
s T
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang Knick bei ω = 1/T, dann +20 dB pro Dekade
Phasengang von 0 auf -π/2 über zwei Dekaden, -π/4 bei ω = 1/T
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 115

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Gs
K s T
Amplitudengang
Phasengang
Gs
K s T
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Knick bei ω = K/T, dann +20 dB pro Dekade
von 0 auf π/2 über zwei Dekaden, π/4 bei ω = K/T
Phasengang
G s
1
1 sT
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Knick bei ω = K/T, dann +20 dB pro Dekade
von 0 auf -π/2 über zwei Dekaden, -π/4 bei ω = K/T
Phasengang
Amplitudengang Knick bei ω = 1/T, dann -20 dB pro Dekade
Phasengang von 0 auf -π/2 über zwei Dekaden, -π/4 bei ω = 1/T
G s
1
1 sT
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang Knick bei ω = 1/T, dann -20 dB pro Dekade
Phasengang von 0 auf π/2 über zwei Dekaden, π/4 bei ω = 1/T
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 116

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
G s
K
1 sT
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang Knick bei ω = 1/T, dann -20 dB pro Dekade
Phasengang von 0 auf -π/2 über zwei Dekaden, -π/4 bei ω = 1/T
G s
K
1 sT
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang Knick bei ω = 1/T, dann -20 dB pro Dekade
Phasengang von 0 auf π/2 über zwei Dekaden, π/4 bei ω = 1/T
G s
sT
1 sT
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang +20 dB pro Dekade, 0 dB bei ω = 1/T, Knick bei ω = 1/T, dann 0 dB pro Dekade
Phasengang von π/2 auf 0 über zwei Dekaden, π/4 bei ω = 1/T
G s
sT
1 sT
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang +20 dB pro Dekade, 0 dB bei ω = 1/T, Knick bei ω = 1/T, dann 0 dB pro Dekade
Phasengang von π/2 auf π über zwei Dekaden, 3∙π/4 bei ω = 1/T
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 117

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
G s
s
K
1 sT
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang +20 dB pro Dekade, 0 dB bei ω = 1/K, Knick bei ω = 1/T, dann 0 dB pro Dekade
Phasengang von π/2 auf 0 über zwei Dekaden, π/4 bei ω = 1/T
G s
s
K
1 sT
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang +20 dB pro Dekade, 0 dB bei ω = 1/K, Knick bei ω = 1/T, dann 0 dB pro Dekade
Phasengang von π/2 auf π über zwei Dekaden, 3∙π/4 bei ω = 1/T
6.2.3.4 asymptotische Annäherungen
G s : Übertragungsfunktion
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
1
0.1
G s
s
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang Knick bei ω = 1 rad s -1 , dann +20 dB pro Dekade
Phasengang von 0 auf π/2 über zwei Dekaden, π/4 bei ω = 1 rad s -1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 118

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
G s
10 0.1
s
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang Knick bei ω = 1 rad s -1 , dann +20 dB pro Dekade
Phasengang von 0 auf π/2 über zwei Dekaden, π/4 bei ω = 1 rad s -1
G s
1
1 s
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang Knick bei ω = 1 rad s -1 , dann -20 dB pro Dekade
Phasengang von 0 auf -π/2 über zwei Dekaden, -π/4 bei ω = 1 rad s -1
10
Gs
1 s
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang Knick bei ω = 1 rad s -1 , dann -20 dB pro Dekade
Phasengang von 0 auf -π/2 über zwei Dekaden, -π/4 bei ω = 1 rad s -1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 119

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.2.3.5 Übertragungsfunktionen zerlegen
Gi
s :
Gi
j
dB
Übertragungsfunktion
: Frequenzgang
A : Amplitudengang dB
: Phasengang rad
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
Vorgehen
Das Produkt zweier Übertragungsfunktion ist eine Addition im Amplitudengang:
1 2 1 2
A 20dB log G j G j 20dB log G j 20dB log
G j
dB
Das Produkt zweier Übertragungsfunktion ist eine Addition im Phasengang:
arg G1 j G2 j arg G1 j arg G2
j
► Beispiel
G s
s
Bodediagramm für
2
1
110 s1000
:
G(s) zerlegen:
1 1 1 1 1 1 1
Gs
s 110 s 1000 s 10 s 100 10 s 1 100 s 1
2 1 1
10 100
1 1 1
Gs
G1 s G2 s G3
s
1000 s1 s1
G s
1
1 1
10 100
G s
G s
2 3
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 120

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 3 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 3 (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 121

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Exakter Amplituden- und Phasengang für G(s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G(s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 122

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.2.4 Grundelemente
6.2.4.1 Basisblock
Xs
Xs :
Ys :
Gi
s :
Gs
Eingangssignal
Ausgangssignal
Übertragungsfunktion
Ys
Grundbeziehung
G s
Y s
X s
Vertauschung
zweier Blöcke
Xs
G1
s G2
s
Ys
Xs
G2
s G1
s
Ys
Y s G s G s X s G s G s X s
1 2 2 1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 123

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.2.4.2 Summationspunkt
X1 s
+
X s X s
1 2
Ys
X2
s
Xi
s : Eingangssignal
Ys :
Gs :
Eingangssignal
Übertragungsfunktion
Verlegung eines
Blocks vor einen
Summationspunkt
X1 s
+
Gs
Ys
X2
s
X1 s
Gs
+
Ys
X2
s
Gs
1
2 1
2
Y s G s X s X s G s X s G s X s
Verlegung eines
Blocks hinter einen
Summationspunkt
X1 s
Gs
+
Ys
X2
s
X1 s
+
Gs
Ys
X2
s
1
Gs
1
Y s Gs X1 s X
2 s Gs
X1 s
X
2 s
Gs
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 124

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.2.4.3 Abzweigpunkt, Verzweigungsstelle
Xs
Xs
Xs
Xs :
Ys :
Gs :
Eingangssignal
Eingangssignal
Übertragungsfunktion
Verlegung eines
Blocks vor einen
Abzweigpunkt
Xs
Xs
Gs
Ys
Xs
Gs
1
Gs
Xs
Ys
Verlegung eines
Blocks hinter eine
Verzweigungsstelle
Xs
Gs
Ys
Ys
Gs
Ys
Xs
Gs
Ys
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 125

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.2.5 Grundschaltungen
6.2.5.1 Reihenschaltung
Xs
G1
s G2
s
Ys
Xs
G s G s
1 2
Ys
Xs :
Ys :
Gi
s :
Eingangssignal
Eingangssignal
Übertragungsfunktion
2 1
1 2
Y s G s G s X s G s G s X s
6.2.5.2 Parallelschaltung
G1
s
Xs
G2
s
+
Ys
Xs
G s G s
1 2
Ys
Xs :
Ys :
Gi
s :
Eingangssignal
Eingangssignal
Übertragungsfunktion
1
2 1
2
Y s G s X s G s X s G s G s X s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 126

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.2.5.3 negative Rückkopplung, Gegenkopplung
Xs
+
X2
s
Gs
Ys
X1 s
Fs
Xs
Gs
1
G s
F s
Ys
Gs :
Fs :
Xs :
Ys :
Übertragungsfunktion des Regelkreises
Übertragungsfunktion der Rückkopplung
Eingangssignal
Ausgangssignal
Übertragungsfunktionen
Signale
Gleichungen
2
1
Y s G s X s
X s F s Y s
X s X s X s
2 1
2
X s X s F s Y s
Y s G s X s F s Y s
Übertragungsfunktion
Gs
Y s
X s 1 G s F s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 127

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.2.5.4 positive Rückkopplung, Mitkopplung
Xs
+
X2
s
Gs
Ys
X1 s
Fs
Xs
Gs
1
G s
F s
Ys
Gs :
Fs :
Xs :
Ys :
Übertragungsfunktion des Regelkreises
Übertragungsfunktion der Rückkopplung
Eingangssignal
Ausgangssignal
Übertragungsfunktionen
Signale
Gleichungen
2
1
Y s G s X s
X s F s Y s
X s X s X s
2 1
2
X s X s F s Y s
Y s G s X s F s Y s
Übertragungsfunktion
Gs
Y s
X s 1 G s F s
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 128

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.2.6 Differentialgleichungen und Blockschaltbild
Us
Us : Eingangssignal U s
Ys : Ausgangssignal Y s
G s : Übertragungsfunktion Y U -1 Frequenzbereich
a , b :
i
n :
m :
i
G s
Koeffizienten
Y s
U s
Ordnung des Nennerpolynoms
Ordnung des Zählerpolynoms
ut : Eingangssignal U
Ys
Zeitbereich
yt : Ausgangssignal Y
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1 Andere
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
G s
Y s b s ... b s b
n
U s s a s a s a
m
m
1 0
n1
n1 ...
1 0
n n 1
m
n1 ...
1
0 m ...
1
0
Y s s a s a s a U s b s b s b
Differentialgleichung
normale Darstellung
n n1
m
d d d d d
n 1
...
1 1 0 m
...
n n
m
1 0
y t a y t a y t a y t b u t b u t b u t
dt dt dt dt dt
Us
b
0
b 1
bm
1
b
m
+
1
s
+
1
s
+
1
s
+
1
s
Ys
an
1
2
an
a
1
a
0
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 129

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
alternative
Darstellung
6.3 Stabilität
6.3.1 Stabilität am geschlossenen Regelkreis
Gs : Übertragungsfunktion System
Zs : Zählerpolynom
z
i
:
m :
Ns :
Nullstellen des Zählerpolynoms
Ordnung des Zählerpolynoms
charakteristisches Polynom, Nennerpolynom
p
i
: Nullstellen des Nennerpolynoms
n : Ordnung des Nennerpolynoms
, , cd , : Konstanten
a : Koeffizienten
i
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
Zähler
Nenner
Andere
Übertragungsfunktion
Polstellen
G s
Z s
N s
Die Polstellen p i (p = σ + j ∙ ω) sind die Nullstellen des Nennerpolynoms N(s):
N s s p s p s p
1 2
...
n
G p
i
charakteristische
Gleichung
Nullstellen
Ns 0
Die Nullstellen z i (z = σ + j ∙ ω) sind die Nullstellen des Zählerpolynoms Z(s):
Z s s z s z s z
1 2
...
m
Gzi
0
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 130

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
komplexe Ebene
p1,
p
4: reelle Polstellen
p ,
2 3
1 2
p : komplex konjugierte Polstellen
z , z : reelle Nullstellen
z ,
3 4
z : komplex konjugierte Nullstellen
Stabilität
Sonderformen aus
der Mathematik
Ein System ist stabil, wenn alle Polstellen im linken Teil der komplexen Ebene liegen:
Re p 0
i
Form Bedingungen Stabilitätsbedingung, hinreichend
Gs
1
s
α reell 0
G s
G s
1
n
s
c s
d
2 2
s
α reell, n >1 0
α und ω reell 0
Sonderformen
aus der
Regelungstechnik
Form
1
s a s ... a s a
n
n 1
G s
n1 1 0
Stabilitätsbedingung, nicht hinreichend
a 0
i
Kürzen von
Polstellen
Form
G s
Stabilitätsbedingung, hinreichend
1
a
s a
0 0
2
G s
0
1
s a s a
1 0
1
s a s a s a
3 2
G s
2 1 0
1
s a s a s a s a
4 3 2
G s
n
n 1
G s
3 2 1 0
1
s a s ... a s a
n1 1 0
a 0
a
1
0
0
a1 a2 a0 0
Polstellen mit negativem Realteil dürfen gekürzt werden.
Polstellen mit positivem Realteil dürfen nicht gekürzt werden.
a a a a a a
2 2
1
2
3
1
3
0
0
Routh-Hurwitz Stabilitätsbedingung
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 131

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
► Beispiel
Ist das System mit der Übertragungsfunktion
Das System ist stabil, da a0 1 0.
G s
1
s 1
stabil?
► Beispiel
► Beispiel
► Beispiel
► Beispiel
G s
s
Das System ist stabil, da a1 2 0 und a0 1 0.
Ist das System mit der Übertragungsfunktion
2
1
2 s1
stabil?
1
Ist das System mit der Übertragungsfunktion Gs
3 2
s 4 s 2 s 1
stabil?
Das System ist stabil, da a1 a2 a0 2 4 1 0 .
1
Ist das System mit der Übertragungsfunktion Gs
4 3 2
s 8 s 4 s 2 s 1
stabil?
2 2 2 2
Das System ist nicht stabil, da a1 a2 a3 a1 a3 a0 2 48 2 8 1 4 0 .
G s
Ist das System mit der Übertragungsfunktion
4
Das System ist nicht stabil, da a4 0 .
1
5 3 2
s 0
s 8 s 4 s 2 s 1
stabil?
► Beispiel
s 2
s 1
1
s 2
s
2
s1 s
2
Das System mit der Übertragungsfunktion
G s
s
2
s1 s
2
ist stabil.
► Beispiel
s 2
s 1
1
s 2
s
2
s1 s
2
Das System mit der Übertragungsfunktion
G s
s
2
s1 s
2
ist nicht stabil.
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 132

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.3.2 Stabilität am offenen Regelkreis
6.3.2.1 Stabilitätskriterium von Nyquist
Rs
+
GR
s
GS
s
Ys
YM
s
GM
s
Gs
Gs :
R
Übertragungsfunktion des
geschlossenen Regelkreises
G s : Übertragungsfunktion des Reglers
G s : Übertragungsfunktion der Regelstrecke
S
M
Rs .
G s : Übertragungsfunktion der Messeinrichtung
Ys :
M
Führungsgrösse, Sollwert
Regelgrösse, Istwert
Y s : Ausgangssignal bei offenem Regelkreis
Übertragungsfunktionen
Signale
: Kreisfrequenz rad s -1 Andere
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
Hinweis
offener Regelkreis
geschlossener
Regelkreis
Nyquistdiagramm
Stabilität
Gilt nur bei Regelkreisen mit Gegenkopplung, negativer Rückkopplung.
Y
M
s
R s
G s
G s G s G s
R S M
R
S
Y s G s G s
R s 1 G s G s G s
R S M
x-Achse: ReGR j GS j GM
j
y-Achse: ImG R j G S j G M j
Ein geschlossener Regelkreis ist stabil, wenn die Ortskurve des offenen Regelkreises G R (s) ∙ G S (s) ∙
G M (s) im Nyquistdiagramm den Punkt (-1, 0) nicht umschliesst.
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 133

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
► Beispiel
offener Regelkreis
Nyquistdiagramm
G s G s G s
R S M
10
1 s1 0.5 s1 0.01
s
► Beispiel
Der geschlossene Regelkreis ist stabil.
offener Regelkreis
Nyquistdiagramm
G s G s G s
R S M
500
1 s1 0.5 s1 0.01
s
Der geschlossene Regelkreis ist nicht stabil.
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 134

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.3.2.2 Stabilitätskriterium im Bodediagramm
Rs
+
GR
s
GS
s
Ys
YM
s
GM
s
Gs
Gs :
R
Übertragungsfunktion des
geschlossenen Regelkreises
G s : Übertragungsfunktion des Reglers
G s : Übertragungsfunktion der Regelstrecke
S
M
Rs .
G s : Übertragungsfunktion der Messeinrichtung
Ys :
M
Führungsgrösse, Sollwert
Regelgrösse, Istwert
Y s : Ausgangssignal bei offenem Regelkreis
Übertragungsfunktionen
Signale
: Kreisfrequenz rad s -1 Andere
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
Hinweis
offener Regelkreis
geschlossener
Regelkreis
Bodediagramm
Stabilität
Gilt nur bei Regelkreisen mit Gegenkopplung, negativer Rückkopplung.
Y
' s
R s
G s
G s G s G s
R S M
R
S
Y s G s G s
R s 1 G s G s G s
R S M
Amplitudengang: 20dB log GR j GS j GM
j
Phasengang: argGR j GS j GM
j
Ein geschlossener Regelkreis ist stabil, wenn der offene Regelkreis G R (s) ∙ G S (s) ∙ G M (s) im
Bodediagramm bei einer Phasendrehung von -180° (-π) kleiner als 1 (0 dB) ist.
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 135

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
► Beispiel
offener Regelkreis
Bodediagramm
G s G s G s
R S M
10
1 s1 0.5 s1 0.01
s
► Beispiel
Das System ist stabil.
offener Regelkreis
Bodediagramm
G s G s G s
R S M
5000
1 s1 0.5 s1 0.01
s
Das System ist nicht stabil.
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 136

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.3.2.3 Amplitudenreserve und Phasenreserve
1
20dB
log
: ar
Amplitudenreserve dB
r
: Phasenreserve rad
Kreisfrequenz für eine Verstärkung von 1 (0 dB),
D
:
Durchtrittsfrequenz
rad s -1
: Kreisfrequenz für eine Phasenverschiebung von -180° (-π) rad s -1
180
Hinweise
Gilt nur bei Regelkreisen mit Gegenkopplung, negativer Rückkopplung.
Es ist der Frequenzgang der offenen Regelkreises zu verwenden.
Nyquistdiagramm
Name Beschreibung Bedingung
Amplitudenreserve
reziproker Abstand zwischen Ursprung
und Schnittpunkt mit der realen Achse
Phasenverschiebung = -180° (-π)
Phasenreserve
Winkel beim Schnittpunkt mit dem Verstärkung des offenen
Einheitskreis
Regelkreises = 1 (0 dB)
Bodediagramm
Name Beschreibung Bedingung
Amplitudenreserve
reziproker Abstand zur
„1 (0 dB) Grenze“
Phasenverschiebung = -180° (-π)
Phasenreserve
Winkel zur
Verstärkung des offenen
„-180° (-π) Grenze“ Regelkreises = 1 (0 dB)
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 137

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.4 Regler
6.4.1 Reglerübersicht
6.4.1.1 Schrittantwort
P- und PD-Regler
I-, PI und PID-Regler
I-Regler
P- und PI Regler
PD- und PID-Regler
Aufbau
P- und PD-Regler weisen wegen dem fehlenden I-Anteil eine bleibende Regelabweichung auf.
I-, PI und PID-Regler weisen wegen dem I-Anteil keine bleibende Regelabweichung auf.
I-Regler sind langsame Regler.
P- und PI Regler sind mittelschnelle Regler.
PD- und PID Regler sind wegen dem D-Anteil die schnellsten Regler.
6.4.1.2 Störverhalten
Werte
Zeitverlauf
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 138

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.4.2 P-Regler
et
G s K
R
P
ut
DIN
vereinfacht
GR
s : Übertragungsfunktion
A : Amplitudengang dB
dB
et : Eingangssignal X
: Phasengang rad
ut : Ausgangssignal X
K :
P
Verstärkung
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Polstellen
Nullstellen
Zeitbereich
Amplitudengang
Phasengang
Bodediagramm
R
G s K
keine
keine
P
P
u t K e t
dB
20 log P
A dB K
0
Amplitudengang
Phasengang
K P = 10
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 139

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Impulsantwort mit K P = 10 Schrittantwort mit K P = 10
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 140

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.4.3 I-Regler
et
G
R
s
1
sT
I
ut
DIN
vereinfacht
GR
s : Übertragungsfunktion
A : Amplitudengang dB
dB
et : Eingangssignal X
: Phasengang rad
ut : Ausgangssignal X
T , T : Nachstellzeit rad -1 s
I
I
N
K : Verstärkung rad s -1
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
G
R
s
1
sT
I
G
R
s
K
s
I
K
I
1
T
I
Polstellen
Nullstellen
Zeitbereich
p1 0
keine
u t
1 t
T
I
0
e t dt
t
I
0
u t K e t dt
K
I
1
T
I
Amplitudengang
A
dB
1
20dB
log
TI
A
dB
K
I
20dB
log
K
I
1
T
I
Phasengang
2
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 141

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Bodediagramm
Amplitudengang
Phasengang
T I = 1
Impulsantwort mit T I = 1 Schrittantwort mit T I = 1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 142

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.4.4 D-Regler
DIN
vereinfacht
6.4.4.1 theoretischer D-Regler
et
G s s T
R
D
ut
GR
s : Übertragungsfunktion
A : Amplitudengang dB
dB
et : Eingangssignal X
: Phasengang rad
ut : Ausgangssignal X
T , T : Vorhaltzeit rad -1 s
D
D
V
K : Differenzierbeiwert rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Polstellen
Nullstellen
Zeitbereich
R
G s s T
keine
z1 0
D
d
ut
TD
e t
dt
d
ut
K e t
dt
D
KD TD
Amplitudengang
dB
20 log
A dB T
D
dB
20 log
A dB K
D
Phasengang
Bodediagramm
2
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 143

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
T D = 1
Problem mit
theoretischem
D-Regler
(mit T D = 1 rad -1 s)
Hochfrequentes Rauschen am Eingang wird fast unbeschränkt verstärkt:
Eingangs(rausch)signal
Ausgangs(rausch)signal
e t sin 0.01 t
u t 10.01 cos 0.01
t
Eingangs(rausch)signal
Ausgangs(rausch)signal
u t 11cos 1
t
sin1 t
e t
Eingangs(rausch)signal
Ausgangs(rausch)signal
6
6 6
sin 10
t
ut 110 cos10
t
e t
Impulsantwort
undef.
Schrittantwort
undef.
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 144

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.4.4.2 praktischer D-Regler
et
G
R
s
sT
D
sT 1
ut
GR
s : Übertragungsfunktion
A : Amplitudengang dB
dB
et : Eingangssignal X
: Phasengang rad
ut : Ausgangssignal X
TD,
T
V
: Vorhaltzeit rad -1 s
T : Zeitkonstante rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Polstellen
Nullstellen
Zeitbereich
G
R
s
1
p1
T
z1 0
sT
D
T
sT
D
1
d d
u t T u t TD
e t
dt dt
T
Amplitudengang
Phasengang
A
dB
T
T
1
D
20dB
log
2 2
2
arctan
T
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 145

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Bodediagramm,
exakt
sT
D
1
GRs
s T G1 sG2
s
s T
1 s T
1
D
G s
1
G s
2
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
T D = 1, T = 0.1 T D = 1, T = 0.01
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 146

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Bodediagramm,
angenähert
(mit T D = 1 rad -1 s
und T = 0.01 rad -1 s)
s
1
GR
s
s G1 s
G2
s
0.01 s1 0.01 s1
G s
1
G2
s
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 147

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
kein Problem mit
praktischem
D-Regler
(mit T D = 1 rad -1 s
und T = 0.01 rad -1 s)
Hochfrequentes Rauschen am Eingang wird beschränkt verstärkt:
Eingangs(rausch)signal
Ausgangs(rausch)signal
e t sin 0.01
t
Eingangs(rausch)signal
sin1
t
e t
Ausgangs(rausch)signal
Eingangs(rausch)signal
6
sin 10
t
e t
Ausgangs(rausch)signal
Impulsantwort
Schrittantwort
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 148

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.4.5 PI-Regler
et
K
P
+
ut
K
P
sT
I
DIN
vereinfacht
GR
s : Übertragungsfunktion
A : Amplitudengang dB
dB
et : Eingangssignal X
: Phasengang rad
ut : Ausgangssignal X
K
P
:
Verstärkung des P-Reglers
TI,
T
N
: Nachstellzeit des I-Reglers rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Polstellen
Nullstellen
K 1
P
KP s TI 1
s TI
1
GR s
KP KP 1 KP
s TI s TI TI s s TI
p1 0
1
z1
T
I
Zeitbereich
Amplitudengang
Phasengang
K
u t K e t e t dt
t
P
T
I 0
P
K 2 2
P
AdB
20dB log
TI
1
TI
1
arctan
T I
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 149

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Bodediagramm,
exakt
KP s TI 1
KP
1
GRs
s TI
1
G1 s G2 s G3
s
T s T s
I
I
G s
1
G s
2
G s
3
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 3 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
T I = 1 T I = 0.1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 150

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Bodediagramm,
angenähert
(mit K P = 10
und T I = 1 rad -1 s)
10 s
1
10 1
GR
s
s 1
G1 s G2 s G3
s
1 s 1 s
G2
s
G s
G s
1 3
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 3 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 151

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Impulsantwort
Schrittantwort
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 152

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.4.6 PD-Regler
DIN
vereinfacht
6.4.6.1 theoretischer PD-Regler
et
K
P
+
ut
K T s
P
D
GR
s : Übertragungsfunktion
A : Amplitudengang dB
dB
et : Eingangssignal X
: Phasengang rad
ut : Ausgangssignal X
K
P
:
Verstärkung des P-Reglers
TD,
T
V
: Vorhaltzeit des D-Reglers rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Polstellen
Nullstellen
Zeitbereich
Amplitudengang
Phasengang
1
G s K K T s K s T
R P P D P D
keine
1
z1
T
D
d
u t KP e t KP TD
e t
dt
2 2
20 log 1
A dB K T
dB P D
arctan
T
D
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 153

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Bodediagramm,
exakt
R P D P D
G1
s
G s
2
G s K s T 1 K s T 1
G s G s
1 2
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
K P = 10, T D = 1 K P = 10, T D = 0.1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 154

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Bodediagramm,
angenähert
(mit K P = 10
und T D = 1 rad -1 s)
G s
1
G s
2
1 2
G s 10 s 1 10 s 1
G s G s
R
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 155

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Problem mit
theoretischem
D-Regler
(mit K P = 10
und T D = 1 rad -1 s)
Hochfrequentes Rauschen am Eingang wird fast unbeschränkt verstärkt:
Eingangs(rausch)signal
Ausgangs(rausch)signal
e t sin 0.01 t
u t 10sin 0.01 t 101 0.01 cos 0.01
t
Eingangs(rausch)signal
Ausgangs(rausch)signal
u t 10sin 1t 10 11cos 1
t
sin1 t
e t
Eingangs(rausch)signal
Ausgangs(rausch)signal
6
sin 10
t
ut 10sin 10 6 t 10 110 6 cos 10
6 t
e t
Impulsantwort
undef.
Schrittantwort
undef.
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 156

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.4.6.2 praktischer PD-Regler
et
K P
sT
1
+
ut
KP
TD
s
sT 1
GR
s : Übertragungsfunktion
A : Amplitudengang dB
dB
et : Eingangssignal X
: Phasengang rad
ut : Ausgangssignal X
K
P
:
Verstärkung des P-Reglers
TD,
T
V
: Vorhaltzeit des D-Reglers rad -1 s
T : Zeitkonstante rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
sT
D
1
GRs
KP
sT 1
TD
T
Polstellen
1
p1
T
Nullstellen
1
z1
T
D
Zeitbereich
d
d
u t T u t KP e t KP TD
e t
dt
dt
Amplitudengang
AdB
20dB log
KP
T
2 2
D
T
2 2
1
1
Phasengang
T TD
arctan
2
TTD
1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 157

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Bodediagramm,
exakt
sT 1 1
G s
K K s T 1
G1 s G2 s G3
s
1 s T
1
D
R P P D
s T
G1
s
G s
2
G s
3
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 3 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
K P = 10, T D = 1, T = 0.1 K P = 10, T D = 1, T = 0.01
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 158

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Bodediagramm,
angenähert
(mit K P = 10,
T D = 1 rad -1 s
und T = 0.01 rad -1 s)
s 1 1
GR
s
10 10 s 1
G1 s G2 s G3
s
0.01 s1 0.01 s1
G s
1
G s
2
G s
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
3
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 3 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 159

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
kein Problem mit
theoretischem
D-Regler
(mit K P = 10,
T D = 1 rad -1 s
und T = 0.01 rad -1 s)
Hochfrequentes Rauschen am Eingang wird beschränkt verstärkt:
Eingangs(rausch)signal
Ausgangs(rausch)signal
e t sin 0.01
t
Eingangs(rausch)signal
sin1
t
e t
Ausgangs(rausch)signal
Eingangs(rausch)signal
6
sin 10
t
e t
Ausgangs(rausch)signal
Impulsantwort
Schrittantwort
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 160

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.4.7 PID-Regler
DIN
vereinfacht
6.4.7.1 theoretischer PID-Regler
K
P
et
K
P
sT
I
+
ut
K T s
P
D
GR
s : Übertragungsfunktion
A : Amplitudengang dB
dB
et : Eingangssignal X
: Phasengang rad
ut : Ausgangssignal X
K
P
:
Verstärkung des P-Reglers
T , T : Nachstellzeit des I-Reglers rad -1 s
I
N
TD,
T
V
: Vorhaltzeit des D-Reglers rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Zeitbereich
Amplitudengang
Phasengang
2
K 1
P
KP s TI TD s TI
1
GR s
KP KP TD s KP 1 s TD
s TI s TI TI
s
t
K
d
u t K e t e t dt K T e t
dt
P
P P D
TI
0
K 4 2 2 2 2 2
P
AdB 20dB log
TI TD 2 TI TD TI
1
TI
2
TI TD
1
arctan
TI
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 161

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Bodediagramm,
exakt für T I >> T D
G
R
s
2
KP s TI TD s TI
1
T s
I
Exakter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
K P = 10, T I = 1, T D = 0.1 K P = 10, T I = 1, T D = 0.01
Bodediagramm,
exakt für T D >> T I
G
R
s
2
KP s TI TD s TI
1
T s
I
Exakter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
Bodediagramm,
angenähert
(mit K P = 10,
T I = 1 rad -1 s und
T D = 0.01 rad -1 s)
G s
1
G s
G s
2 3
G s
4
s
s
2
10 0.01 s s1 10 0.01 1.01 98.99
GR
s
1 s 1
s
1
GR
s
0.1 s 1.01
s 98.99
G1 s G2 s G3 s G4
s
s
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 162

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 3 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 4 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 163

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Problem mit
theoretischem
D-Regler
(mit K P = 10,
T I = 1 rad -1 s und
T D = 0.01 rad -1 s)
Tieffrequentes Rauschen am Eingang wird fast unbeschränkt verstärkt:
Hochfrequentes Rauschen am Eingang wird fast unbeschränkt verstärkt:
Eingangs(rausch)signal
Ausgangs(rausch)signal
et sin 0.01 t
ut
10 sin 0.01 t 10 100 cos 0.01
t
10 0.01 0.01 cos 0.01 t
Eingangs(rausch)signal
sin1 t
ut
e t
Ausgangs(rausch)signal
10sin 1t
10 1 cos 1t
10 0.01 1 cos 1 t
Eingangs(rausch)signal
6
sin 10
t
e t
ut
Ausgangs(rausch)signal
6 6 6
t t
6 6
t
10 sin 10 10 10 cos 10
10 0.0110 cos 10
Impulsantwort
undef.
Schrittantwort
undef.
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 164

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.4.7.2 praktischer PID-Regler
K P
sT
1
et
s T
s T
1
I
K
P
+
ut
KP
TD
s
sT 1
GR
s : Übertragungsfunktion
A : Amplitudengang dB
dB
et : Eingangssignal X
: Phasengang rad
ut : Ausgangssignal X
K
P
:
Verstärkung des P-Reglers
T , T : Nachstellzeit des I-Reglers rad -1 s
I
N
TD,
T
V
: Vorhaltzeit des D-Reglers rad -1 s
T : Zeitkonstante rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
G
R
s
K s T T s T 1 1 K s T T s T
1
T s s T T s T s
2 2
P I D I P I D I
2
I
1
I
T
T
I
D
T
T
Zeitbereich
t
d
K
d
u t T u t K e t e t dt K T e t
dt T
dt
P
P P D
I 0
Amplitudengang
A
dB
K
20dB
log
T T 2 T T T
1
4 2 2 2 2 2
P
I D I D I
TI
2 2
T
1
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 165

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Bodediagramm,
exakt für T I >> T D
G
R
s
K s T T s T
1
T s T s
2
P I D I
2
I
Exakter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
K P = 10, T I = 1, T D = 0.1, T = 0.01 K P = 10, T I = 1, T D = 0.01, T = 0.001
Bodediagramm,
exakt für T D >> T I
G
R
s
K s T T s T
1
T s T s
2
P I D I
2
I
Exakter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 166

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Bodediagramm,
angenähert
(mit K P = 10,
T I = 1 rad -1 s und
T D = 0.01 rad -1 s und
T = 0.0001 rad -1 s)
G
R
s
G s
1
G s
G s
2 3
s
s
0.01 1.01 98.99
2
10 0.01 s s1 10
2
1 0.0001 s s 1 0.0001 s s 10000
1 1
GR
s 1000s 1.01 s
98.99
s s10000
1 1
GR
s
0.1 s 1.01
s 98.99
G1 s G2 s G3 s G4 s G5
s
s 0.0001s1
G s
G s
4 5
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 3 (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 167

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 4 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 5 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G R (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 168

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
kein Problem mit
theoretischem
D-Regler
(mit K P = 10,
T I = 1 rad -1 s und
T D = 0.01 rad -1 s und
T = 0.0001 rad -1 s)
Tieffrequentes Rauschen am Eingang wird fast unbeschränkt verstärkt:
Hochfrequentes Rauschen am Eingang wird beschränkt verstärkt:
Eingangs(rausch)signal
Ausgangs(rausch)signal
e t sin 0.01
t
Eingangs(rausch)signal
sin1
t
e t
Ausgangs(rausch)signal
Eingangs(rausch)signal
6
sin 10
t
e t
Ausgangs(rausch)signal
Impulsantwort
Schrittantwort
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 169

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Basisblock
6.5 Todzeitglied
xt
sT
e t
yt
Strukturbild
T
dB
G s : Übertragungsfunktion
A : Amplitudengang dB
: Phasengang rad
T
t
: Todzeit, Zeitverzögerung s
xt : Eingangssignal X
yt : Ausgangssignal X
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Zeitbereich
Amplitudengang
Phasengang
T
G s e
sTt
0 für t
Tt
yt xt Tt HT t xt T
t
t
H t Tt
xt Tt
für t Tt
AdB
0
dB
Tt
Bodediagramm
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 170

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
► Beispiel
Impulsantwort des Systems mit der Übertragungsfunktion
G s
e
sT t
1
s 1
:
1
yimp
t G s
e H t
e H
e
t
Ti
t
T
tTi
Tt
i t Ti
0 für
für
t
Tt
t T
t
T t = 0 T t > 0
xt
sT
e t
1
s 1
yt
► Beispiel
Schrittantwort des Systems mit der Übertragungsfunktion
G s
e
sT t
1
s 1
:
y
step
t
1
t T
G s 0 für
i
tT
i
1 e HT
t
1
e H t
T
t
i
tTi
s
1
e für
t
Tt
t T
t
T t = 0 T t > 0
xt
sT
e t
1
s 1
yt
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 171

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
► Beispiel
Differentialgleichung des Systems mit der Übertragungsfunktion
xt
sT
e t
ut
1
s 1
yt
G s
e
sT t
1
s 1
:
1
s 1
1
1
Y s
U s
Y s s U s
Y s s X s e
1
sT
t
0 für
d t
y t y t x t T
t H
T
t
t x t T
t
H t T
t
dt
xt T für t T
t
t T
t
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 172

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6 klassischer Reglerentwurf
6.6.1 Regleraufbau
6.6.1.1 Basisblöcke
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
S
G s : Übertragungsfunktion der Regelstrecke
GM
s : Übertragungsfunktion der Messeinrichtung
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1 Andere
Übertragungsfunktionen
Regler
GR
s
Regelstrecke
GS
s
Messeinrichtung
GM
s
6.6.1.2 offener Regelkreis
R s +
Es
Us
GR
s
GS
s
Ys
0
YM
s
GM
s
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
G s : Übertragungsfunktion der Regelstrecke
S
M
Rs .
G s : Übertragungsfunktion der Messeinrichtung
Ys :
M
Führungsgrösse, Sollwert
Regelgrösse, Istwert
Y s : Messgrösse
Es :
Us :
Fehler, Regelabweichung
Übertragungsfunktionen
Signale
Eingangssignal ohne Störgrösse
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1 Andere
Y
M
s
R s
G s G s G s
R S M
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 173

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.1.3 geschlossener Regelkreis ohne Störgrösse
R s +
Es
Us
GR
s
GS
s
Ys
YM
s
GM
s
Gs :
R
Übertragungsfunktion des
geschlossenen Regelkreises
G s : Übertragungsfunktion des Reglers
G s : Übertragungsfunktion der Regelstrecke
S
M
Rs .
G s : Übertragungsfunktion der Messeinrichtung
Ys :
M
Führungsgrösse, Sollwert
Regelgrösse, Istwert
Y s : Messgrösse
Es :
Us :
Fehler, Regelabweichung
Übertragungsfunktionen
Signale
Eingangssignal ohne Störgrösse
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1 Andere
Gleichungen
S
R
M
Y s G s U s
U s G s E s
Y s G s Y s
M
E s R s Y s
M
M
S
R
S
R
M
E s R s G s Y s
Y s G s G s E s
Y s G s G s R s G s Y s
R
M
R
M
R
M S
U s G s R s Y s
U s G s R s G s Y s
U s G s R s G s G s U s
Übertragungsfunktionen
G s
R
S
Y s G s G s
R s 1 G s G s G s
R S M
R
U s G s
R s 1 G s G s G s
R S M
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 174

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.1.4 geschlossener Regelkreis mit Störgrösse
Es
Us
Xs
Rs
+ G s
+ G s
Ys
R
Zs
S
YM
s
GM
s
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
G s : Übertragungsfunktion der Regelstrecke
S
M
Rs .
G s : Übertragungsfunktion der Messeinrichtung
Ys :
M
Führungsgrösse, Sollwert
Regelgrösse, Istwert
Y s : Messgrösse
Es :
Us :
Zs :
Xs :
Fehler, Regelabweichung
Eingangssignal ohne Störgrösse
Störgrösse
Übertragungsfunktionen
Signale
Eingangssignal mit Störgrösse
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1 Andere
Gleichungen
S
R
M
Y s G s X s
X s U s Z s
U s G s E s
Y s G s Y s
M
E s R s Y s
M
M
S
S
R
S
R
M
E s R s G s Y s
Y s G s U s Z s
Y s G s G s E s Z s
Y s G s G s R s G s Y s Z s
R
M
R
M
R
M S
U s G s R s Y s
U s G s R s G s Y s
U s G s R s G s G s U s
Zs 0
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 175

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Resultate
GR s GS s GS
s
Y s
Rs
Z s
1 G s G s G s 1 G s G s G s
R S M R S M
R
Zs 0
1
U s G s
R s G s G s G s
R S M
Führungsverhalten
Störverhalten
Y s
Y s
R
S
G s G s
1 G s G s G s
R S M
GS
s
1 G s G s G s
R S M
R s
Z s
Zs 0
Rs 0
Führungsübertragungsfunktion
Störübertragungsfunktion
R
S
Zs 0
1
Y s G s G s
R s G s G s G s
R S M
S
Rs 0
1
Y s G s
Z s G s G s G s
R S M
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 176

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.2 Entwurfsregeln am offenen Regelkreis
6.6.2.1 Entwurfsregel 1 und 2, Amplitudenreserve und Phasenreserve
A
R
: Amplitudenreserve dB
R
: Phasenreserve °
Kreisfrequenz für eine Verstärkung von 1 (0 dB),
D
:
Durchtrittsfrequenz
rad s -1
: Kreisfrequenz für eine Phasenverschiebung von -180° (-π) rad s -1
R
Amplitudenreserve
Phasenreserve
Die Amplitudenreserve
A
R
des offenen Regelkreises sollte grösser als 10 dB sein.
Die Phasenreserve
R
des offenen Regelkreises sollte grösser als 60° bis 90° (je nach Regelkreis)
sein damit keine Überschwingungen bei der Schrittantwort des geschlossenen Regelkreises
vorkommen.
Die Phasenreserve
R
des offenen Regelkreises sollte bei 45° sein, damit Überschwingungen von
maximal 20% bei der Schrittantwort des geschlossenen Regelkreises vorkommen.
6.6.2.2 Entwurfsregel 3, Nulldurchgang
Regel
Der Amplitudengang des offenen Regelkreises sollte mit einer Steigung von -20 dB pro Dekade durch
den ±6 dB Bereich verlaufen.
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 177

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.2.3 Entwurfsregel 4, Steigung
schlecht
gut
Regel
Regel
Der Amplitudengang des offenen Regelkreises sollte so lange wie möglich eine Steigung von -20 dB
pro Dekade aufweisen.
6.6.3 Entwurfsregeln am geschlossenen Regelkreis
6.6.3.1 Bandbreite und Anstiegszeit, Unschärferelation
T
A
: Anstiegszeit der Schrittantwort s
: 3dB Grenzkreisfrequenz rad s -1
3dB
Das Produkt der Anstiegszeit der Schrittantwort und der 3dB Grenzkreisfrequenz ist bei allen Systemen
annähernd gleich:
► Beispiel
TA
3dB
2.2 rad
System erster Ordnung mit der Übertragungsfunktion
G s
10
s 10
.
Amplitudengang
Schrittantwort
Folgendes kann dem Amplitudengang und der Schrittantwort entnommen werden:
1
3dB
9.98 rad s
y 0.0105 s 0.1
y
T
step
step
A
0.23 s 0.9
0.23 s 0.0105 s 0.22 s
Nun kann die Regel überprüft werden:
T
A
1
3dB
0.22 s 9.98 rad s 2.2 rad
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 178

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
► Beispiel
System erster Ordnung mit der Übertragungsfunktion
G s
10 10
s10 s10
.
Amplitudengang
Schrittantwort
Folgendes kann dem Amplitudengang und der Schrittantwort entnommen werden:
1
3dB
6.42 rad s
y 0.0532 s 0.1
y
T
step
step
A
0.389 s 0.9
0.389 s 0.0532 s 0.336 s
Nun kann die Regel überprüft werden:
T
A
1
3dB
0.336 s 6.42 rad s 2.2 rad
► Beispiel
System erster Ordnung mit der Übertragungsfunktion
G s
10 10 10
s10 s10 s10
.
Amplitudengang
Schrittantwort
Folgendes kann dem Amplitudengang und der Schrittantwort entnommen werden:
3dB
5.09 rad s
y 0.11 s 0.1
y
T
step
step
A
1
0.532 s 0.9
0.532 s 0.11 s 0.422 s
Nun kann die Regel überprüft werden:
T
A
1
3dB
0.422 s 5.09 rad s 2.2 rad
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 179

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.4 Regelstrecken des Typs A
6.6.4.1 Übertragungsfunktion der Regelstrecke
S
G s : Übertragungsfunktion der Regelstrecke
K : Polkonstanten rad -1 s
i
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
Typenbeschreibung
Normal
Zerlegt
Bodediagramm
Regelstrecken des Typs A haben bei tiefen Kreisfrequenzen einen dominierenden P-Anteil.
GS
G
S
S
s
s
K s 1 K s 1 K s 1 0.1 s 1 0.01 s 1 0.001 s 1
1 2 3
1 1
1 1 1 1
0.1 s 1 0.01 s 1 0.001 s 1 0.1 s 1 0.01 s 1 0.001 s 1
G s G s G s G s
1 2 3
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
G s G s G s
1 2 3
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 180

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 3 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 3 (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 181

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Exakter Amplituden- und Phasengang für G S (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G S (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 182

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.4.2 Regler mit 20% Überschwingen
6.6.4.2.1 P-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K :
P
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
R
G s K
P
Bestimmung von K P
K P wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 45° beträgt.
Regler
GR
s 14
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 183

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
y step (t∞) = 0.933 y step (t∞) = 0.0667
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
u step (t∞) = 0.933
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 184

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.4.2.2 I-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
T , T : Nachstellzeit rad -1 s
I
I
N
K : Verstärkung rad s -1
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
G
R
s
1
sT
I
Bestimmung von T I
T I wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 45° beträgt.
Regler
GR
s
1
0.1
s
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 185

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 0
y step (t∞) = 1
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 186

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.4.2.3 PI-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K
P
:
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung des P-Reglers
TI,
T
N
: Nachstellzeit des I-Reglers rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
K 1
P
KP s TI
1
GR s
KP KP
1
s TI s TI TI
s
Bestimmung von
K P und T I
T I wird so gewählt, dass die Nullstelle des PI-Reglers die erste (dominante) Polstelle der
Regelstrecke kompensiert.
K P wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 45° beträgt.
Regler
G
R
s
11 0.1s
1
0.1 s
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 187

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 0
u step (t∞) = 1
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 188

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.4.2.4 praktischer PID-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K
P
:
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung des P-Reglers
T , T : Nachstellzeit des I-Reglers rad -1 s
I
N
TD,
T
V
: Vorhaltzeit des D-Reglers rad -1 s
T : Zeitkonstante rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Bestimmung von
K P , T I , T D und T
G
R
s
K s T T s T
1
T s T s
2
P I D I
2
I
T I wird so gewählt, dass die erste (dominante) Nullstelle des PID-Reglers die erste (dominante)
Polstelle der Regelstrecke kompensiert.
T D wird so gewählt, dass die zweite Nullstelle des PID-Reglers die zweite Polstelle der Regelstrecke
kompensiert.
T wird so gewählt, dass die Überhöhung des D-Anteils 20 dB ist. Also T = T D / 10.
K P wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 45° beträgt.
Regler
G
R
s
50
0.1 0. 001s
Amplitudengang
2
0.1 0.01 s 0.1 s1
2
s
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 189

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 0
u step (t∞) = 1
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 190

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.4.2.5 Übersicht
Regler
stationärer
Fehler
3dB Grenzkreisfrequenz ω 3dB Anregelzeit (90%) Ausregelzeit (110%)
P-Regler ja 162 rad s -1 18 ms 36 ms
I-Regler nein 13 rad s -1 214 ms 492 ms
PI-Regler nein 141 rad s -1 20 ms 47 ms
praktischer
PID-Regler
nein 747 rad s -1 4.1 ms 8.9 ms
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 191

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.4.3 Regler ohne Überschwingen
6.6.4.3.1 P-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K :
P
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
R
G s K
P
Bestimmung von K P
K P wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 60° beträgt.
Regler
GR
s 8
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 192

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
y step (t∞) = 0.889 y step (t∞) = 0.111
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
u step (t∞) = 0.889
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 193

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.4.3.2 I-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
T , T : Nachstellzeit rad -1 s
I
I
N
K : Verstärkung rad s -1
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
G
R
s
1
sT
I
Bestimmung von T I
T I wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 70° beträgt.
Regler
GR
s
1
0.3
s
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 194

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 0
u step (t∞) = 1
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 195

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.4.3.3 PI-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K
P
:
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung des P-Reglers
TI,
T
N
: Nachstellzeit des I-Reglers rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
K 1
P
KP s TI
1
GR s
KP KP
1
s TI s TI TI
s
Bestimmung von
K P und T I
T I wird so gewählt, dass die Nullstelle des PI-Reglers die erste (dominante) Polstelle der
Regelstrecke kompensiert.
K P wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 70° beträgt.
Regler
G
R
s
3 0.1s
1
0.1 s
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 196

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 0
u step (t∞) = 1
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 197

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.4.3.4 praktischer PID-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K
P
:
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung des P-Reglers
T , T : Nachstellzeit des I-Reglers rad -1 s
I
N
TD,
T
V
: Vorhaltzeit des D-Reglers rad -1 s
T : Zeitkonstante rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Bestimmung von
K P , T I , T D und T
G
R
s
K s T T s T
1
T s T s
2
P I D I
2
I
T I wird so gewählt, dass die erste (dominante) Nullstelle des PID-Reglers die erste (dominante)
Polstelle der Regelstrecke kompensiert.
T D wird so gewählt, dass die zweite Nullstelle des PID-Reglers die zweite Polstelle der Regelstrecke
kompensiert.
T wird so gewählt, dass die Überhöhung des D-Anteils 20 dB ist. Also T = T D / 10.
K P wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 70° beträgt.
Regler
G
R
s
20
0.1 0. 001s
Amplitudengang
2
0.1 0.01 s 0.1 s1
2
s
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 198

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 0
u step (t∞) = 1
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 199

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.4.3.5 Übersicht
Regler stationärer Fehler Durchtrittsfrequenz ω D Anregelzeit (90%) Ausregelzeit (110%)
P-Regler ja 107 rad s -1 28 ms 28 ms
I-Regler nein 4.8 rad s -1 550 ms 550 ms
PI-Regler nein 41 rad s -1 62 ms 62 ms
praktischer
PID-Regler
nein 296 rad s -1 9.3 ms 9.3 ms
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 200

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.5 Regelstrecken des Typs B
6.6.5.1 Übertragungsfunktion der Regelstrecke
S
G s : Übertragungsfunktion der Regelstrecke
K : Polkonstanten rad -1 s
i
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
Typenbeschreibung
Normal
Zerlegt
Bodediagramm
Regelstrecken des Typs B haben bei tiefen Kreisfrequenzen einen dominierenden I-Anteil.
GS
G
S
S
s
s
1 1
s K s K s s s s
1 1 0.01 1 0.001 1
1 2
1 1 1 1
s 0.01 s 1 0.001 s 1 s 0.01 s 1 0.001 s 1
G s G s G s G s
1 2 3
G s G s G s
1 2 3
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 1 (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 201

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 2 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Exakter Amplituden- und Phasengang für G 3 (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G 3 (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 202

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Exakter Amplituden- und Phasengang für G S (s):
Amplitudengang
Phasengang
Angenäherter Amplituden- und Phasengang für G S (s):
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 203

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.5.2 Regler mit 20% Überschwingen
6.6.5.2.1 P-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K :
P
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
R
G s K
P
Bestimmung von K P
K P wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 45° beträgt.
Regler
GR
s 100
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 204

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 0.01
u step (t∞) = 0
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 205

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.5.2.2 PI-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K
P
:
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung des P-Reglers
TI,
T
N
: Nachstellzeit des I-Reglers rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
K 1
P
KP s TI
1
GR s
KP KP
1
s TI s TI TI
s
Bestimmung von
K P und T I
T I wird so gewählt, dass die Phasenreserve maximal wird.
K P wird so gewählt, dass die Phasenreserve maximal wird.
Regler
G
R
s
50 0.05 s
1
0.05 s
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 206

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 0
u step (t∞) = 0
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 207

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.5.2.3 praktischer PD-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K
P
:
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung des P-Reglers
TD,
T
V
: Vorhaltzeit des D-Reglers rad -1 s
T : Zeitkonstante rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
sT
D
1
GRs
KP
sT 1
TD
T
Bestimmung von
K P , T und T D
TD wird so gewählt, dass die Nullstelle des PD-Reglers die erste (dominante) Polstelle der
Regelstrecke kompensiert.
T wird so gewählt, dass die Überhöhung des D-Anteils 20 dB ist. Also T = TD / 10.
KP wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 45° beträgt.
Regler
G
R
s
s 0.011
450
s 0. 0011
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 208

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 1/450
u step (t∞) = 0
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 209

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.5.2.4 praktischer PID-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K
P
:
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung des P-Reglers
T , T : Nachstellzeit des I-Reglers rad -1 s
I
N
TD,
T
V
: Vorhaltzeit des D-Reglers rad -1 s
T : Zeitkonstante rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Bestimmung von
K P , T I , T D und T
G
R
s
K s T T s T
1
T s T s
2
P I D I
2
I
T I wird so gewählt, dass die erste (dominante) Nullstelle des PID-Reglers bei weit tieferen
Kreisfrequenzen auftritt als die erste (dominante) Polstelle der Regelstrecke.
T D wird so gewählt, dass die zweite Nullstelle des PID-Reglers die erste (dominante) Polstelle der
Regelstrecke kompensiert.
T wird so gewählt, dass die Überhöhung des D-Anteils 20 dB ist. Also T = T D / 10.
K P wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 45° beträgt.
Regler
G
R
s
Amplitudengang
2
450
10.01 s 1 s1
1 0.001s
2
s
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 210

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 0
u step (t∞) = 0
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 211

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.5.2.5 Übersicht
Regler stationärer Fehler Durchtrittsfrequenz ω D Anregelzeit (90%) Ausregelzeit (110%)
P-Regler ja 131 rad s -1 21 ms 49 ms
PI-Regler nein 85 rad s -1 29 ms 100 ms
praktischer
PD-Regler
ja 698 rad s -1 4.4 ms 9.5 ms
praktischer
PID-Regler
nein 698 rad s -1 4.4 ms 9.5 ms
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 212

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.5.3 Regler ohne Überschwingen
6.6.5.3.1 P-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K :
P
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
R
G s K
P
Bestimmung von K P
K P wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 70° beträgt.
Regler
GR
s 35
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 213

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 1/35
u step (t∞) = 0
Amplitudengang
Phasengang
6.6.5.3.2 PI-Regler
Nicht möglich, da PI-Regler unter „Regler mit 20% Überschwingen“ schon vollständig optimiert.
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 214

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.5.3.3 praktischer PD-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K
P
:
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung des P-Reglers
TD,
T
V
: Vorhaltzeit des D-Reglers rad -1 s
T : Zeitkonstante rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
sT
D
1
GRs
KP
sT 1
TD
T
Bestimmung von
K P , T und T D
TD wird so gewählt, dass die Nullstelle des PD-Reglers die erste (dominante) Polstelle der
Regelstrecke kompensiert.
T wird so gewählt, dass die Überhöhung des D-Anteils 20 dB ist. Also T = TD / 10.
KP wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 70° beträgt.
Regler
G
R
s
s 0.011
180
s 0. 0011
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 215

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 1/180
u step (t∞) = 0
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 216

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.5.3.4 praktischer PID-Regler
GR
s : Übertragungsfunktion des Reglers
Gs :
K
P
:
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Verstärkung des P-Reglers
T , T : Nachstellzeit des I-Reglers rad -1 s
I
N
TD,
T
V
: Vorhaltzeit des D-Reglers rad -1 s
T : Zeitkonstante rad -1 s
: Kreisfrequenz rad s -1
s : komplexe Kreisfrequenz rad s -1
t : Zeit s
Übertragungsfunktion
Bestimmung von
K P , T I , T D und T
G
R
s
K s T T s T
1
T s T s
2
P I D I
2
I
T I wird so gewählt, dass die erste (dominante) Nullstelle des PID-Reglers bei weit tieferen
Kreisfrequenzen auftritt als die erste (dominante) Polstelle der Regelstrecke.
T D wird so gewählt, dass die zweite Nullstelle des PID-Reglers die erste (dominante) Polstelle der
Regelstrecke kompensiert.
T wird so gewählt, dass die Überhöhung des D-Anteils 20 dB ist. Also T = T D / 10.
K P wird so gewählt, dass die Phasenreserve ca. 45° beträgt.
Regler
G
R
s
Amplitudengang
2
180
10.01 s 1 s1
1 0.001s
2
s
Phasengang
Amplitudengang
Phasengang
offener Regelkreis
Amplitudengang
Phasengang
FH Formelsammlung 5 Signale und Systeme.doc 217

FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
Amplitudengang
Phasengang
Amplitudenreserve
Phasenreserve
geschlossener
Regelkreis
Führungsverhalten
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
Störverhalten
bei X(s) = 0 und Z(s) = 1/s
Eingangssignal
bei X(s) =1/s und Z(s) = 0
y step (t∞) = 1 y step (t∞) = 0
u step (t∞) = 0
Amplitudengang
Phasengang
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FH Formelsammlung - Regelungstechnik Editiert: 21.02.2011
6.6.5.3.5 Übersicht
Regler stationärer Fehler Durchtrittsfrequenz ω D Anregelzeit (90%) Ausregelzeit (110%)
P-Regler ja 50 rad s -1 52 ms 52 ms
praktischer
PD-Regler
ja 271 rad s -1 10 ms 10 ms
praktischer
PID-Regler
nein 271 rad s -1 10 ms 10 ms
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