1.4 Potenzgesetze (dr1_3)

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2 6
Bem.
1)
Das vorhergehende Beispiel zeigt, dass Logarithmieren und Exponieren zur selben
Basis sich aufheben, sie sind Umkehrungen zueinander. Dies folgt unmittelbar aus
der Definition:
wenn a x = b (1) ,
dann gilt x = log a (b) (2) .
log a (b)
Ersetzt man in (1) das x gemäß (2) , erhält man: a = b
2)
Der Ausdruck log a (b) kann auch als „Handlungsvorschrift“ aufgefasst werden:
„ logarithmiere b zur Basis a “ , genau so wie der Ausdruck (b) 2 als
„Handlungsvorschrift“ aufgefasst werden kann: „quadriere b“ .
Keinesfalls darf log a (b) als Produkt von „log a “ und „b“ missverstanden werden.
3)
x x2
Wenn a 1 = a = b folgt : x1 = x 2 = x , nämlich x = log a (b) .
Diese Eigenschaft heißt Umkehrbarkeit oder „Eineindeutigkeit“ der Exponentialfunktion.
Wenn x = log a (b 1 ) = log a (b 2 ) folgt : b 1 = b 2 = b , nämlich b = a x .
Diese Eigenschaft heißt Umkehrbarkeit oder „Eineindeutigkeit“ des Logarithmus,
genauer gesagt der Logarithmusfunktion.
Das ist nicht selbstverständlich:
so folgt z.B. aus ( b 1 ) 2 = ( b 2 ) 2 NICHT: b 1 = b 2 , sondern: b 1 = b 2 ODER b 1 = - b 2 !!
Die Begriffe „Funktion“ , „Eindeutigkeit“ und „Eineindeutigkeit“ werden in einem
entsprechenden Kapitel der Vorlesung Mathematik 1 behandelt werden.
4)
Oft lässt man die Klammer um den Numerus weg: log a b