Netze - Kunstbrowser

Ornament – Netze (S. 1 von 10) / www.kunstbrowser.de
N E T Z E
Netze sind Hilf sliniensysteme bzw. Raster, mit deren Hilf e die kompliziertesten Ornamente
auf der Basis regelmäßiger Unterteilungen konstruiert werden können.
In der Mathematik spricht man v on Parketten, wobei die drei regelmäßigen, die aus den
regulären Vielecken Dreieck, Quadrat und Sechseck (alle Seiten sind gleich lang)
bestehen v on den nicht­regelmäßigen unterschieden werden, die aus jedem beliebigen
Dreieck oder Viereck gewonnen werden können (siehe unten).
Reguläre Parkette
Nach dem Satz von Kepler (1571 ­ 1630) gilt:
"Jedes reguläre Parkett besteht aus gleichseitigen Dreiecken,
Quadraten oder regelmäßigen Sechsecken."
Da deren Innenwinkel (60 º , 90 º und 120 º ) Teiler von 360 º sind,
passen diese Figuren lückenlos und ohne Überschneidungen
zusammen. An jeder Ecke müssen drei oder mehr Elemente
zusammentreffen, deren Innenwinkelsumme genau 360 º ergeben
muss.
Gewöhnliches
Quadratnetz

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Dreiecknetz
Das Beispiel setzt
sich aus
gleichseitigen
Dreiecken
zusammen,
wenngleich es
natürlich auch aus
spitz­ oder
stumpfwinkligen
entwickelt werden
kann. Im Unterschied
zum Diagonalnetz
entstehen keine
Quadrate, sondern
Rauten.
Hilfskonstruktion
Wabennetz 1
Regelmäßige
Sechsecke werden
vertikal und
horizontal so
angeordnet, dass sie
passgenau die
Fläche füllen. Durch
den Versatz entsteht
eine Betonung der
Diagonalen.
Semireguläre Parkette
Ein semireguläres oder auch halbreguläres Parkett besteht aus
mindestens zwei verschiedenen Formen, die alle regelmäßige
Vielecke (gleiche Kantenlänge, gleiche Innenwinkel) sind. Es gibt
insgesamt nur acht derartige Parkette.
Quadrate und Dreiecke
Zeilen aus Quadraten wechseln sich mit solchen aus
gleichseitigen Dreiecken gleicher Kantenlänge ab.

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Drei­ und
Sechsecke
Ein gemeinsamer
Rahmen aus
gleichseitigen
Dreiecken umfasst
benachbarte
Sechsecke, die um
jeweils die Hälfte
nach oben oder
unten versetzt sind.
Hilfskonstruktion
Achtecke und Quadrate
Die passgenau gereihten Achtecke sparen als Zwischenflächen
auf die Spitze gestellte Quadrate aus.
Sechsecke,
Dreiecke und
Quadrate
Als Ausgangsform
dient ein liegendes
Sechseck, an dessen
Kanten Quadrate
angelegt werden und
in deren Lücken
gleichseitige
Dreiecke mit ihren
Spitzen die Ecken
des Polygons
berühren. Quadtrate
und Dreiecke bilden
aus dem Sechs­ ein
Zwölfeck.
Hilfskonstruktion

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Zwölfecke und Dreiecke
Die Zwölfecke haben gemeinsame Seiten und werden versetzt
angeordnet. Als Verbindungsstück ist hier ein gleichseitiges
Dreieck mit gleicher Kantenlänge nötig.
Zwölfecke lassen sich durch Winkelhalbierung der
Bestimmungswinkel aus Sechsecken ableiten.
Zwölf­, Sechs­ und Vierecke
An die Kanten des Zwölfecks sind bei diesem semiregulären
Parkett an jeder zweiten Kante Quadrate mit gleicher Kantenlänge
angefügt worden, zwischen denen nun ein reguläres Sechseck
entsteht.
Sechsecke im Diagonalnetz
Die Kanten eines regulären Sechsecks geben die Winkelung für
dieses Netz vor. Als Zwischenflächen entstehen dabei
gleichseitige Dreiecke mit gleicher Kantenlänge wie die
Ausgangsform.

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Dreiecke und Quadrate
Dieses lebhafte Parkett lässt sich am einfachsten ausgehen von
einem Quadrat konstruieren, an dessen vier Seiten gleichseitige
Dreiecke anliegen.
Sonstige Netze
Gerades Netz mit abwechselnder Teilung
Die Konstruktion baut auf dem Quadratnetz auf und lässt sich
vielfältig variieren.
Diagonalnetz
Über Eck gestelltes Quadratnetz mit einer Winkelung von jeweils
45 º

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Diagonalnetz mit abwechselnder Teilung
Lässt sich sehr einfach aus einem Quadratnetz entwickeln und
weist einen regelmäßigen Rhythmus der Abstände zwischen den
Diagonalen auf.
Maurisches Netz
Dieses
anspruchsvollere
Netz wird aus einem
regelmäßigen
Sternachteck
entwickelt, das aus
zwei gleichgroßen
und um 45 º
gedrehten Quadraten
besteht.
Rechts:
Hilfskonstruktion
Wabennetz 2
Stehende Waben, also regelmäßige Sechsecke werden vertikal
und horizontal verschoben, ohne dass ein Abstand zwischen den
Grundformen bleibt. Als Leerform entstehen liegende Rauten.

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Diamantnetz
Mit nur zwei
Elementen lässt sich
dieses Netz aus dem
Quadratgitter
konstruieren. Das
aus Quadrat und
Diamanten gebildete
Sechseck lässt sich
wiederum vielfältig zu
neuen Netzen
verbinden.
Rautennetz
Dieses sehr flexible Netz entsteht aus dem vorab gezeigten
Wabennetz durch Verlängerung aller Kanten der Sechsecke.
Es lässt sich gleichermaßen einfach aus dem oben gezeigten
Dreiecksnetz erstellen.
Fünfecke und Rauten
bilden dieses Netz. Da Fünfecke mit Zirkel und Lineal nicht exakt,
sondern nur näherungsweise zu konstruieren sind, ist es nicht
sehr verbreitet.

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Rautennetz 2
Durch Drehen und
Verschieben einer
Raute entsteht dieses
Netz, das besonders
in der islamischen
Ornamentik oft
verwandt wurde.
Es lässt sich auch
sehr einfach aus
einem Quadratnetz
gewinnen (siehe r.)

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Erstellen von Netzen durch Drehspiegelung von beliebigen Drei­ und Vierecken
Das rote Viereck wird um die Seitenmitte
P1 im Winkel von 180° drehgespiegelt
und ergibt das grüne Viereck. In
ähnlicher Weise wird diese Grundform
mit gleichem Winkel um P2 und P3
gespiegelt. Eine Drehspiegelung um P4
würde wieder die Ausgangsform
ergeben.
Durch Wiederholung entstandenes Netz.
Dabei kann durch Verschieben der
ersten beiden Grundformen (rot, grün)
die Konstruktion vereinfacht werden.
Auch Schablonen sind in der Praxis sehr
hilfreich.
Die Konstruktion erfolgt wie oben
beschrieben.
Drehungen und Verschiebungen
lassen sich besonders einfach mit
einem CAD­Programm durchführen.

Ornament – Netze (S. 10 von 10) / www.kunstbrowser.de
Das Ausgangsdreieck wurde drei Mal
um die gleiche Seitenmitte gedreht,
und zwar um 90, 180 und 270 Grad.
Durch Verschiebung in zwei
Richtungen lässt sich die entstandene
Form zu einem Netz erweitern. An
den Ecken der Grundformen
entstehen dabei immer Quadrate.