Trigonometrie - von MaWa
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wiederhole:<br />
• Definition <strong>von</strong> sin und cos am Einheitskreis, Eigenschaften und Graph der Winkelfunktionen,<br />
Unterschied Bogenmaß ↔ Gradmaß<br />
• Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck (AK, GK, H)<br />
• Sinussatz und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck, Kongruenzsätze (SSS, SWS, ...),<br />
Rechnen in allgemeinen Dreiecken (wann welcher Satz, wie beginnen, nicht eindeutig?, ...)<br />
trigonometrische Flächenformel, ...<br />
• Begriffe bei Vermessungsaufgaben: Höhen- und Tiefenwinkel, Schwenkwinkel, Visierlinie,<br />
Horizontalebene, vertikale Ebene, ...<br />
allgemeine Dreiecke: Löse:<br />
Bsp.1) geg.: ∆ ABC: b = 5,3 cm ; c = 12,4 cm ; α = 39° ges.: a, β , γ , h C , A , u<br />
Bsp.2) geg.: ∆ ABC: a = 15,3 cm ; c = 10,5 cm ; α = 33,54° ges.: b, β , γ , A , Umkreisradius r U<br />
Bsp.3) geg.: ∆ ABC: r U = 12,4 m ; β = 56,7° ; γ = 68,3° ges.: a, b, c, α , A<br />
Bsp.4) geg.: ∆ ABC: b = 29,4cm , c = 35,6cm , β = 51° ges.: Um wie viel cm² unterscheiden<br />
sich die Flächeninhalte der beiden möglichen Lösungsdreiecke?<br />
Bsp.5) geg.: ∆ ABC: c = 14,7m , α = 33,57° , A = 56,7 m² ges.: β , γ , a , b<br />
ebene Vermessungsaufgaben:<br />
Bsp. 6 – 9) Berechne Flächeninhalt und Umfang des Viereckigen Grundstücks ABCD:<br />
6) a = AB = 113m, c = CD = 211m, d = AD = 170m, ε = ∠ ABD = 63°, δ = ∠ ADC = 85°<br />
7) a = AB = 66m, c = CD = 83m, d = AD = 90m, ε = ∠ ABD = 62°, δ = ∠ ADC = 81°<br />
8) a = AB = 100m, b = BC = 60m, c = CD = 140m, e = AC = 130m, = α = ∠ BAD = 105°<br />
9) a = AB = 35,5m, b = BC = 24,7m, c = CD = 58,1m, e = AC = 46,3m, α = ∠ BAD = 112°<br />
Bsp. 10 – 12) Von einer s Meter langen Standlinie AB misst man die Winkel α<br />
1<br />
= ∠ BAP und<br />
β<br />
1<br />
= ∠ ABP zu einem Punkt P sowie die Winkel α<br />
2<br />
= ∠ BAQ und β<br />
2<br />
= ∠ ABQ zu einem Punkt Q.<br />
Fertige eine Zeichnung im entsprechenden Maßstab an und berechne die Entfernung PQ!<br />
10) s=100m, α<br />
1<br />
=115°, α<br />
2<br />
=44°, β<br />
1<br />
=30°, β<br />
2<br />
=67°, Maßstab 1:1000<br />
11) s=100m, α<br />
1<br />
=25°, α<br />
2<br />
=45°, β<br />
1<br />
=34°, β<br />
2<br />
=60°, Maßstab 1:1000<br />
12) s=200m, α<br />
1<br />
=108°, α<br />
2<br />
=42°, β<br />
1<br />
=38°, β<br />
2<br />
=64°, Maßstab 1:2000<br />
Bsp.13/14) Von einem viereckigen Grundstück ABCD werden folgende Seiten und Winkel gemessen:<br />
13) AB = 633 m, BC = 619 m, AD = 150 m, ∠ DAB = 89,2° , ∠ ABC = 115,62°<br />
14) AB = 720 m, BC = 910 m, AC = 875 m, ∠ DAB = 93,45° , ∠ ADC = 72,44°<br />
Das Grundstück soll durch eine <strong>von</strong> A ausgehende Teilungslinie AE (E liegt auf der Seite BC) in<br />
2 flächengleiche Teile geteilt werden. Das dabei entstehende Grundstück ABE wird als Weide<br />
genutzt und muss daher eingezäunt werden. Wie viel Meter Zaun müssen errichtet werden?<br />
WH <strong>Trigonometrie</strong> Seite 1 <strong>von</strong> 3 Version vom 17.11.2006
Bsp.15/16) Von einem viereckigen Grundstück ABCD werden folgende Seiten und Winkel gemessen:<br />
15) AB = 103 m, ∠ DAC = 40° , ∠ ABC = 125°, ∠ BCD = 96° , ∠ BAC = 12°<br />
16) AB = 95,2 m, BC = 42,1 m, CD = 138,2 m, AD = 116,9 m , ∠ BAD = 108,42°<br />
Durch einen Zaun BE (E liegt auf AD) wird das Grundstück in gleich große Teile geteilt. Berechne<br />
die Länge des Zaunes BE und den Winkel, unter dem der Zaun die Seite AD trifft!<br />
Bsp.17) Verlängert man <strong>von</strong> einem viereckigen Grundstück ABCD ( AB = 120 m, BC = 83 m, AD = 68<br />
m, AC = 132 m , ∠ BAD = 63° ) die Seiten AD und BC, so schneiden sie einander in einem Punkt P.<br />
Berechne a) den Flächeninhalt des Vierecks ABCD b) den Flächeninhalt des Dreiecks DCP c) den<br />
Abstand <strong>von</strong> P zur Seite AB<br />
Bsp.18)<br />
Ein dreieckiges Grundstück ABC (AB = 92 m, BC = 95m, AC = 105m) wird durch einen Zaun<br />
DE (D∈AC, E∈BC), der auf die Seite BC normalsteht, in 2 Teile geteilt. Eine geradlinige<br />
Verlängerung des Zaunes trifft die Gerade AB in einem Punkt P mit AP = 55m. Fertige eine<br />
Zeichnung im Maßstab 1:1000 an und berechne a)die Länge des Zaunes DE b) den Flächeninhalt<br />
des viereckigen Grundstücks ABDE c) den Flächeninhalt des Dreiecks DCE<br />
Bsp.19) Von einem 1120 m 2 großen viereckigen Grundstück kennt man neben der Seite AB = 37,4m<br />
auch noch die Winkel ∠ DAB = 72,4° und ∠ ABC = 117,2°. Berechne den Umfang des Vierecks,<br />
wenn die Diagonale AC die Fläche im Verhältnis 5:3 teilt, d.h. wenn A ABC : A ACD = 5:3 gilt!<br />
Bsp.20)<br />
Von einem viereckigen Grundstück ABCD kennt man die Seiten AB = 112m und AD = 66m, die<br />
Diagonale AC = 106m und die Winkel ∠ DAB = 52° und ∠ ADC = 108°.<br />
a) Berechne den Flächeninhalt des Grundstücks!<br />
b) Verlängert man die Seiten durch AD und BC, so schneiden sie einander in einem Punkt P. Wie<br />
weit ist dieser Punkt P <strong>von</strong> der Seite CD entfernt?<br />
räumliche Vermessungsaufgaben<br />
Bsp.21) Zwei Fenster eines Leuchtturms liegen senkrecht übereinander und haben eine Höhendifferenz<br />
<strong>von</strong> a = 3m. Von den Fenstern sieht man ein Schiff unter den Tiefenwinkeln α = 10,2° bzw.<br />
β = 8°6′. Wie weit ist das Schiff vom (Fußpunkt des) Leuchtturm entfernt ?<br />
Bsp.22) Ein 350 Meter hoch fliegender Ballon wird vom Fußpunkt F eines Turmes unter dem<br />
Höhenwinkel α = 34,4° gesehen. Von der Spitze des Turmes sieht man den Ballon unter dem<br />
Höhenwinkel β = 28,6°. Wie hoch ist der Turm ?<br />
Bsp.23) Von einem 50 Meter hohen Leuchtturm sieht man ein Boot A unter dem Tiefenwinkel α = 5,6°.<br />
Schwenkt man das Fernrohr um den Horizontalwinkel γ = 106°, so sieht man ein zweites Boot B<br />
unter dem Tiefenwinkel β = 9,3°. Wie weit sind die Boote <strong>von</strong>einander entfernt ?<br />
Bsp.24) Von einem Geländepunkt A aus sieht man die Kirchturmspitze unter dem Höhenwinkel α = 20,2°.<br />
Nähert man sich dem Kirchturm um 150 m, so sieht man die Spitze unter dem Höhenwinkel<br />
β = 38°24′. Wie hoch ist der Kirchturm ?<br />
WH <strong>Trigonometrie</strong> Seite 2 <strong>von</strong> 3 Version vom 17.11.2006
Bsp.25) Auf einem unter ϕ = 7,5° geneigten Hang steht ein 56 Meter hoher Turm. Von den Endpunkten<br />
A und B einer 100 Meter langen Standlinie, deren Verlängerung durch den Fußpunkt F des<br />
Turmes hindurchgeht, sieht man die Turmspitze S unter den Höhenwinkeln α und β.<br />
a) Wie groß ist α, falls β = 16,3° ist ?<br />
b) Wie weit ist der Punkt A vom Fußpunkt F des Turmes entfernt ?<br />
c) Wie viele Meter (<strong>von</strong> B ausgehend) muss man sich dem Turm nähern, damit die Spitze S unter<br />
dem Höhenwinkel γ = 35° gesehen wird ?<br />
Bsp.26) Von der Wilhelmswarte am Anninger (Meereshöhe 676m) sieht man die drei Haltestellen<br />
Pfaffstätten, Gumpoldskirchen und Guntramsdorf der in diesem Abschnitt geradlinig<br />
verlaufenden Südbahnstrecke. Die Meereshöhe der drei Haltestellen beträgt jeweils 250<br />
Meter.<br />
a) Berechne, wie weit die Haltestellen Pfaffstätten und Gumpoldskirchen entfernt sind, wenn man<br />
<strong>von</strong> der Wilhelmswarte aus die Haltestelle Pfaffstätten unter dem Tiefenwinkel 6,6° und nach<br />
Schwenken des Fernrohrs um den Horizontalwinkel 65,4° die Haltestelle Gumpoldskirchen unter<br />
dem Tiefenwinkel 7,8° sieht!<br />
b) Um welchen Horizontalwinkel muss man das Fernrohr weiter schwenken, um die <strong>von</strong><br />
Gumpoldskirchen 1,5 km entfernte Haltestelle Guntramsdorf zu sehen?<br />
Unter welchem Tiefenwinkel sieht man Guntramsdorf?<br />
Bsp.27) Von einem 80 Meter hohen Turm sieht man die 3 auf einer geradlinig verlaufenden Straße<br />
liegenden Punkte A, B und C. A sieht man unter einem Tiefenwinkel <strong>von</strong> α =10° und nach<br />
Schwenken des Fernrohrs um den Horizontalwinkel ε =58° sieht man B unter dem Tiefenwinkel<br />
β =6,3°. Schwenkt man das Fernrohr um weitere 19°, so sieht man den Punkt C. Berechne die<br />
Entfernungen AB und BC! Unter welchem Tiefenwinkel sieht man C?<br />
Bsp.28) Von einem 90 Meter hohen Turm sieht man die 3 auf einer geradlinig verlaufenden Straße<br />
liegenden Punkte A, B und C. A sieht man unter einem Tiefenwinkel <strong>von</strong> α =5,3° und B unter dem<br />
Tiefenwinkel β = 7,1°. Um welchen Horizontalwinkel muss man dabei das Fernrohr schwenken ,<br />
wenn AB= 800 m ist? Um welchen Winkel muss man weiter schwenken, um C (BC = 300m) zu<br />
sehen? Unter welchem Tiefenwinkel sieht man C?<br />
****************************************************************************************<br />
Lösungen<br />
1) a ≈ 8,9cm , β ≈ 21,94° , γ ≈ 119,06° , h C ≈ 3,3cm , A ≈ 20,7cm 2 , u ≈ 26,6cm 2) b ≈ 22,9cm ,<br />
β ≈124,18° , γ ≈ 22,28° , A ≈ 66,45cm 2 , r U ≈13,85cm 3) a ≈30,3m , b ≈ 20,7m , c ≈ 23,0 m , α = 55° ,<br />
A ≈ 291,5m 2 4) 275,2 cm 2 5) a ≈ 8,3m , b ≈ 13,95m , β ≈ 68,26° , γ ≈ 78,17° 6) A ≈24397m 2 ,<br />
u ≈ 661m 7) A ≈ 5593m 2 , u ≈ 304m 8) A ≈ 8205m 2 u ≈ 383,5m 9) A ≈ 1433,5m 2 , u ≈ 162m<br />
10) PQ ≈ 108m 11) PQ ≈ 36m 12) PQ ≈ 223,5m 13) ≈ 1963m 14) ≈ 2188,5m 15) ≈ 67,9m , ≈ 77,2°<br />
16) ≈ 142m , ≈ 39,6° 17a) ≈ 6776m 2 b) ≈ 3403m 2 c) ≈ 170m 18a) ≈ 57m b) ≈ 2903m 2 c) ≈ 1158m 2<br />
19) ≈ 153,2m 20a) ≈ 3708m 2 b) ≈ 57,3m 21) ≈ 80m 22) ≈ 71m 23) ≈ 663m 24) ≈ 103m<br />
25a) ≈ 14,4° b) ≈ 451m c) ≈ 252m 26a) 3,7km b) um 19,9° schwenken, Tiefenwinkel 6,1°<br />
27) AB ≈ 618m , BC ≈ 708m , γ ≈ 3,4° 28) ≈ 54° , ≈ 20,6° , ≈ 6,1°<br />
WH <strong>Trigonometrie</strong> Seite 3 <strong>von</strong> 3 Version vom 17.11.2006