Zentrische Streckung

MathBuch 9+ Theorie Form LU 05
Bezirksschule Brugg
Die Abbildung, die der Pantograph erzeugt, heisst Streckung.
Zentrische Streckung
Durch zentrische Streckungen entstehen ähnliche (formgleiche) Figuren:
Streckungsfaktor:
a' = k·a
k =
ZA ' : ZA = 4 : 1 = 4
Jede Strecke wird auf eine
k-mal so lange Bildstrecke
abgebildet:
1
a
k = 4
'
a' = k·a
a' = 4·a
k > 1 Vergrösserung
k < 1 Verkleinerung
k = 1 identische Abbildung
Eine zentrische Streckung ist festgelegt durch das Streckungszentrum Z und den Streckungsfaktor k.
Jeder Bildpunkt (z.B. A’) liegt auf einem Strahl vom Zentrum durch den Originalpunkt (z.B. auf ZA)
Der Streckungsfaktor k bestimmt die Entfernung des Bildpunktes vom Streckungszentrum Z.
Jede Strecke wird auf eine zu ihr parallele Bildstrecke abgebildet:
Jeder Winkel wird auf einen gleich grossen Bildwinkel abgebildet: = ’
AB
//
A' B'
Flächeninhalte:
Rauminhalte:
1
F
k = 3
In ähnlichen Figuren ist der Flächeninhalt
der Bildfigur genau k 2 -mal so gross
wie der Flächeninhalt der Originalfigur.
F' = k·a · k·b = k 2·ab = k 2 · F
F' = 3 2 · F = 9F
F'
1
V
k = 3
V'
In ähnlichen Figuren ist der Rauminhalt
der Bildfigur genau k 3 -mal so gross wie
der Rauminhalt der Originalfigur.
V' = k·a · k·b · k·c = k 3 · abc = k 3 · V
V' = 3 3 · V = 27V
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MathBuch 9+ Theorie Form LU 05
Bezirksschule Brugg
Ähnlichkeit
In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zu einander ähnlich, wenn sie durch eine
geometrische Abbildung, die sich aus zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen
(Verschiebung, Drehung, Spiegelung) zusammensetzen lässt, ineinander überführt werden
können.
Die Dreiecke ABC und AB’C’ sind ähnlich:
b
b'
C
C’
A
a
a'
c
c'
B
’
B’
= ’
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn entsprechende Längen proportional sind.
a'
a
b'
b
c'
k
c
Beispiel-Aufgabe:
Ein Dreieck hat die Längen a = 5 cm, b = 7 cm und c = 6 cm
Bei einem ähnlichen Dreieck beträgt die Seite a’ = 8 cm.
Berechne die restlichen Seiten b’ und c’!
Lösung:
a' 8 cm
a 5 cm
1,6 k
b’ = k · b = 1,6 · 7 cm = 11,2 cm
c’ = k · c = 1,6 · 6 cm = 9,6 cm
k ist der Streckungs- oder Vergösserungsfaktor.
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