Die Vermessung der Milchstraße: Hipparcos, Gaia, SIM

Die Vermessung der Milchstraße:
Hipparcos, Gaia, SIM
Vorlesung von Ulrich Bastian
ARI, Heidelberg
Sommersemester 2004

Gliederung
1. Populäre Einführung I: Astrometrie
2. Populäre Einführung II: Hipparcos und Gaia
3. Wissenschaft aus Hipparcos-Daten I
4. Wissenschaft aus Hipparcos-Daten II
5. Hipparcos: Technik und Mission
6. Astrometrische Grundlagen
7. Hipparcos Datenreduktion Hauptinstrument
8. Hipparcos Datenreduktion Tycho
9. Gaia: Technik und Mission
10. Gaia Global Iterative Solution
11. Wissenschaft aus Gaia-Daten
12. Sternklassifikation mit Gaia
13. SIM und andere Missionen

Astrometrie:
Einige
mathematische und astronomische
Grundlagen

Heute drei Themen:
1) Messgenauigkeit
Unterschied Winkelauflösung / Messgenauigkeit
Cramer-Rao-Limit
2) Modellierung der Objekte (Sternbewegung im Raum)
3) Modellierung der Messung (proper direction)
Relativistische Sichtweise

1) Astrometrische Messgenauigkeit
Alle wesentlichen astrometrischen Effekte sind sehr klein, deshalb ist
Astrometrie stets ein Kampf um die höchstmögliche Genauigkeit. Ein
Faktor 2 in der Messgenauigkeit bringt einen Faktor 2 in der erreichbaren
Entfernung, das bedeutet einen Faktor 8 im erreichbaren Volumen.
1a) Unterschied zwischen Winkelauflösung und Messgenauigkeit
Diese beiden Größen (beide in Bogensekunden auszudrücken!) werden
sehr oft verwechselt. Die Winkelauflösung ist ein Maß für den Durchmesser
eines registrierten Sternbilds, die astrometrische Messgenauigkeit ist ein
Maß für die Genauigkeit, mit der ich seine geometrische Mitte bestimmen
kann.
1b) Cramer-Rao Limit
Wie genau kann man überhaupt
messen? Siehe separate pdf-Datei
‚cramer-rao-limit.pdf‘

2) Modellierung der Objekte (Sternbewegung im Raum)
Ein astrometrisches Instrument misst an sich nur Positionen (oder sogar nur
Einzelkoordinaten) von Objekten zu bestimmten Zeitpunkten. Das ist aber
nicht das, was den Astronomen interessiert. Er will zusammengefasste
Ergebnisse, die sog. astrometrischen Parameter: Eigenbewegung, Parallaxe,
Ausgangsposition zu einem festen Zeitpunkt, evtl. Bahnparameter bei
Doppelsternen.
Im Folgenden wollen wir uns mit der Definition dieser Größen und ihrer
Anwendung etwas näher beschäftigen. Und dabei die vektorielle Darstellung
astrometrischer Größen und Sachverhalte einführen.
Jargon: Die Berechnung der Position eines Sterns für einen beliebigen
Zeitpunkt t aus den astrometrischen Parametern, die für einen festen
Zeitpunkt t 0
gelten, heißt Epochentransformation. Die beteiligten Zeitpunkte
werden auch als Epochen bezeichnet (speziell Beobachtungsepoche und
Bezugsepoche oder Katalogepoche).

Definition:
Gar zu einfache Umkehrung führt zu Unsinn:
a) Über lange Zeiten generell
b) In der Nähe des Pols

Gebräuchliche Modelle für Epochentransformation:
1) Konstante Zeitableitungen der Koordinaten
2) Konstante Bewegung auf einem Großkreis
3) Konstante Bewegung im dreidimensionalen Raum
- Bewegung auf Großkreis
- perspektivische Beschleunigung bzw.
Verlangsamung
- Radialgeschwindigkeit notwendig
- Entfernung notwendig
- Messung im Prinzip auch rein astrometrisch
möglich, aber Trennung von
Doppelsternbahn i.a. unmöglich
4) Konstante Bewegung plus Doppelsternbahn

Definition 1: Astrometrische Parameter, Bedeutung
Die 5 astrometrischen Parameter (2 Koordinaten, 2 Eigenbew.-Komponenten,
Parallaxe) eines Sterns im Hipparcos-Katalog beschreiben seine Bewegung
relativ zum Massenzentrum (Baryzentrum) des Sonnensystems - in einer
Ebene, die senkrecht zur Blickrichtung liegt.
Bei konstanter Bewegung im Raum sind diese Parameter zeitlich variabel.
Die im Katalog gegebenen Werte beziehen sich deshalb auf einen festen
Zeitpunkt („Katalogepoche“, bei Hipparcos J1991.25) und werden mit dem
Index „0“ versehen.
Die sechste Komponente, die zur vollständigen Beschreibung der Raumbewegung
benötigt ist - nämlich die Radialgeschwindigkeit - wird im
allgemeinen spektroskopisch bestimmt. Trotzdem wird sie manchmal auch
als der sechste astrometrische Parameter bezeichnet.
Zusammenhang zwischen Richtungsvektor
(Einheitsvektor vom Baryzentrum zum Stern)
und sphärischen Koordinaten eines Sterns:
Einheitsvektoren werden im englischen Jargon kurz als ‚directions‘ bezeichnet

Definition 2: Astrometrische Parameter, Darstellung
Koordinaten: einfache Winkel in radians oder in Grad, Bogenminuten, Bogensekunden,
bzw. in Stunden, Minuten, Sekunden
Parallaxe: einfacher Winkel in Millibogensekunden (mas); Halbachse der Parallaxen-Ellipse
Eigenbewegung: Winkel pro Zeiteinheit
(mas/a)
(unpraktisch)
(besser)
(Betrag)
(Positionswinkel)
Achtung 1: Die IAU hat das Julianische Jahr als Zeiteinheit für Eigenbewegungen
festgesetzt, exakt 365.25 Tage. Früher war das tropische Jahr 1900 die Einheit,
das etwa 365.2422 Tage lang ist. Das Gregorianische Jahr ist 365.2425 Tage lang.
Achtung 2: In den nachfolgenden Formeln sind Winkel im Bogenmaß, nicht in den
gerade genannten praktischen Einheiten eizusetzen.

Zwischenbemerkung:
Die in der praktischen Arbeit benutzten Größen:
Differenzen zu vorbekannten Näherungswerten
(eventuell auch diese als Differenzen)
Dazu mittlere Fehler bzw. Varianzen, sowie Kovarianzen:
(5*5-Matrix, ρ ij
= Korrelationskoeffizienten)

Definition 3: barycentric coordinate direction
Ortsvektor des Sterns:
wobei
Einheitsvektor:
(A ist die astronomische Einheit)
(Spitzklammer = Normierung)
Rechnerisch sehr unpraktisch (π im Nenner),
deshalb besser:

Problem:
Die Gleichungen
für den Richtungsvektor zur Zeit t enthalten nicht die eigentlich messbare
Eigenbewegung, sondern die Raumgeschwindigkeit.
Wir wollen insbesondere die zweite Gleichung so umschreiben, dass sie
nur noch die gemessen Größen (Position, Eigenbewegung, Parallaxe und
eventuell Radialgeschwindigkeit) enthält. Dazu müssen wir die Raumgeschwindigkeit
durch die Komponenten der Eigenbewegung ausdrücken.

Definition 4: Lokales Vektordreibein und Tangentialkoordinaten
(normal vector triad and tangential coordinates)
Kartesischer EB-Vektor:
wobei

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun die Raumgeschwindigkeit
so schreiben:
Dies können wir dann in unsere problematische Gleichung
einsetzen und erhalten:
wobei
die relative Entfernungsänderung pro Zeiteinheit ist (Radialgeschwindigkeit
geteilt durch Entfernung).
Beachte:
1) Dies ist die exakte Formel für konstante Raumgeschwindigkeit.
2) In keiner der vorkommenden Formeln erscheint die Parallaxe im Nenner.

Definition 5: topocentric coordinate direction
Definition 6: Tangentialgeschwindigkeit (transverse velocity)
(Betrag der Eigenbewegung mal Entfernung)
wobei A v
wieder die astronomische Einheit ist, allerdings in „Geschwindigkeit“
ausgedrückt: A v
= 4.740 470 446 km yr s -1 (Übungsaufgabe)

Einschub : Benutzung von Tangentialkoordinaten
(nicht in der Vorlesung zu behandeln)
Normalerweise ist díe vorstehende exakte Vektoralgebra für alle praktischen
Anwendungen zu empfehlen. Es gibt jedoch Fälle, in denen kleine Richtungsänderungen
oder –unterschiede besser durch Relativkoordinaten ausgedrückt
werden, z.B. bei der Beschreibung von Doppelsternbewegungen.
Traditionell hat man dafür direkt die Koordinatendifferenzen ∆δ und ∆αcosδ
benutzt. Diese führen aber zu unerfreulichen Effekten nahe der Pole. Deshalb
ist es sinnvoll, strenger definierte Größen zu verwenden.
Die beste Wahl sind die schon unter „Definition 4“ vorgekommenen Tangentialkoordinaten.
Sie sind vollständig definiert durch die Wahl einer festen Bezugsrichtung
r 0
(Einheitsvektor zum Ausgangspunkt am Himmel).
Im Folgenden werden ohne weitere Kommentare die relevanten Formeln für die
Umrechnung einer beliebigen Richtung u (Einheitsvektor) in die zugehörigen
Tangentialkoordinaten, ausserdem in eine den (kartesischen)Tangentialkoordinaten
entsprechende Polarkoordinatendarstellung in der Tangentialebene,
und schließlich die Epochentransformation in Tangentialkoordinaten gegeben.

Die Umrechnung in Tangentialkoordinaten lautet:
Wobei die Vektoren mit dem Suffix „0“ das lokale Dreibein sind und der
Apostroph das Skalarprodukt bedeutet. - Die Umkehrung lautet:
Statt der kartesischen Koordinaten ξ und η kann man in der
Tangentialebene auch Polarkoordinaten ρ (Abstand vom Bezugspunkt)
und θ (Positionswinkel, gezählt von Nord über Ost usw.) verwenden.
Diese sind definiert durch:
Sie werden bei der Beschreibung von Doppelsternen sehr häufig benutzt.

Die baryzentrische Epochentransformation nimmt in Tangentialkoordinaten
eine besonders einfache Form an:
Der Stern bewegt sich auf einer geraden Linie in der Tangentialebene!
So lange die relative Entfernungsänderung (zweiter Term im Nenner) klein
ist, ist diese Bewegung sogar linear in der Zeit.
Die topozentrische Epochentransformation lautet:

3) Modellierung der Messung (proper direction)
Wir haben uns bisher nur mit ‚coordinate directions‘ beschäftigt. Das ist aber
nicht das, was ein im Sonnensystem stationiertes Messinstrument (‚Beobachter‘)
sieht. Gaia oder Hipparcos sehen die Lichtstrahlen nicht aus der Richtung
kommen, die der momentanen ‚coordinate direction‘ zu einem Stern entsprechen.
Aus der Katalogposition (= barycentric coordinate direction) zur Beobachtungsepoche
erhält man die tatsächlich beobachtete Richtung der Lichtstrahlen
durch drei Transformationen:
3.1 Translation der Raumzeitkoordinaten vom Bezugspunkt (Baryzentrum) zum
Ort der Beobachtung (=Parallaxe; haben wir bereits in Kap. 2 bearbeitet).
Ergebnis: topocentric coordinate direction
3.2 Berechnung des Lichtwegs durch das Sonnensystem unter Berücksichtigung
der Gravitationsfelder (= relativistische Lichtablenkung).
Ergebnis: natural direction
3.3 Lorentz-Transformation auf die momentane baryzentrische Geschwindigkeit
des Beobachters (=Aberration des Lichts)
Ergebnis: proper direction (früher auch ungenau als ‚scheinbare Position‘
bzw. ‚apparent position‘ bezeichnet)

3.1 Coordinate directions; relativistische Sichtweise
Die Koordinaten, die wir in Kapitel 2 dieser Vorlesung behandelt haben, können
als rein Newtonsche, ebene Koordinaten oder aber als allgemeinere Koordinaten
in einer allgemein-relativistischen Raumzeit aufgefasst werden. Das ändert an
den Formeln in Kapitel 2 nichts.
In allgemein-relativistischer Betrachtung sind Koordinaten rein mathematische
Konstrukte ohne direkte physikalische Bedeutung. Sie hängen vollständig von
der gewählten Metrik ab.
Vor Hipparcos waren relativistische Effekte in der optischen Astrometrie nicht von
Bedeutung. Hipparcos musste die Lichtablenkung an der Sonne berücksichtigen
(nur die Sonne!) und die Lorentz-Transformation richtig machen. Hipparcos konnte
deshalb das sogenannte isotropic coordinate system benutzen, das eine auf die
Sonne zentrierte, sphärisch symmetrische Metrik beschreibt, und in dem der
Lichtweg eines Photons im Sonnensystem eine Hyperbel ist.
Gaia wird zusätzlich die Lichtablenkung aller Planeten und die Lichtlaufzeiteffekte
innerhalb des Sonnensystems berücksichtigen müssen. Darüber später mehr.

3.2 Relativistische Lichtablenkung
u
Linke Seite: natural direction
Rechte Seite: isotropic coordinate direction u, heliozentrischer Ort des
Beobachters h O
, Betrag h O
, Gravitationskonstante G,
Sonnenmasse S, Lichtgeschw. c, q=1 für Sterne

Zwischenbemerkung:
Die Gleichung 12.10 auf der vorigen Seite (Original aus Band 3 des
gedruckten Hipparcos-Katalogs) erscheint zunächst sehr fremd.
Eine Herleitung findet sich in Murray 1983.
Es ist eine nette Übungsaufgabe, die Gleichung 12.10 so umzuformen, dass
das aus der Kursvorlesung zur Relativitätstheorie bzw. aus der Einführungsvorlesung
in die Astronomie bekannte Gesetz herauskommt, nach dem díe
Ablenkung des Lichts von einem Objekt, das unter dem kleinen Winkel ε neben
der Sonne gesehen wird, näherungsweise proportional zu 1/sin ε ist.
Eine Fortsetzung der Aufgabe besteht darin, die Lichtablenkung für ein Objekt
zu berechnen, das genau am Sonnenrand steht (ε=0.5 Grad). Das ist der
Winkel, der bei der Sonnenfinsternis 1919 gemessen wurde und damit
Einsteins Weltruhm begründete.
Ein Zahlenwert dafür: GS = 1.327 10 20 m 3 s -2

Eine handliche und exakte Formel für die Lichtablenkung
r
2R
χ
d
δα
1+
γ 4GM
R 1
δα = . . .
2
2 c R r χ
2 tan
2
4GM
if
χ

3.3 Aberration; Lorentz-Transformation
Ohne weitere Herleitung soll hier nur die vektorielle Form der
Lorentz-Transformation einer Richtung zitiert werden:
Linke Seite: proper dírection
Rechte Seite: natural direction, baryzentrische Geschwindigkeit des
Beobachters V, Lichtgeschwindigkeit c, Abkürzung e für
Eine Herleitung der Gleichung 12.7 findet sich in Murray 1983.

3.4 Ausblick, Gaia
Die maximale Lichtablenkung durch die Sonne, die Gaia und Hipparcos beobachten
können, liegt bei ca. 4 mas = 4000 µas (bei 40 Grad Winkelabstand).
Die maximale Lichtablenkung durch andere Planeten (jeweils am Rand der Planetenscheibe)
ist auf der nächsten Folie gezeigt, ebenso der Winkelabstand, bei dem die
Lichtablenkung 1 µas unterschreitet.
Gaia muss also die Lichtablenkung an einer größeren Anzahl von Körpern berücksichtigen.
Will man das streng machen, dann ist die isotrope Metrik bzw. das isotropic
coordinate system nicht mehr geeignet.
Deshalb muss ein vollständig relativistisches Sonnensystemmodell mit einem geeigneten
Koordinatensystem benutzt werden: Dies ist das von der IAU als Standard
definierte Barycentric Reference System (BCRS), mit einer festgelegten Metrik, die
durch barycentric coordinates und die barycentric coordinate time dargestellt wird.
Schlimmer noch: Viele Effekte höherer Ordnung müssen bei der Berechnung des Lichtwegs
durch das Sonnensystem berücksichtigt werden, z.B. die Bewegung der Körper
in den paar Stunden, die das Licht im Sonnensystem unterwegs ist.
Das relativistische Modell für Gaia-Messungen ist noch in Arbeit!

IAU 1991, extended in 2000:
Definition of BCRS and TCB
origin : Barycentre of the solar system
(click for more)
orientation : ICRS
ds
2
g
αβ
dx
α
dx
β
g
00
=
= − 1 +
2U
( t,
x)
(
2 + O c
c
−4
)
;
g
0i
= O(
c
U : gravitational potential of the masses of the solar system
−3
)
;
g
ij
⎛ = δ
ij ⎜1
+
⎝
2U
( t,
x)
2
c
⎞
⎟ +
⎠
O(
c
−4
)
t : barycentric coordinate time : TCB
2
d τ
ds = −
c
Value of t at the origin :
2
2
2U
⎤
⎢
⎡ = − c ⎥
⎣ ⎦
2U
⎤
c ⎥ ⎦
2
2 2
1 dt
⎡ − 1 + dl / c
2
2
⎢
⎣
On 1 Jan 0 h 0 m 0 s TAI (JD : 2443144.5 TAI)
t = 1 Jan 0 h 0 m 32. s 184 ( JD 2443144.5003725 TCB)