FGI 1

FGI 1
Automaten, Formale Sprachen,
Berechenbarkeit
Christopher Habel & Matthias Jantzen
Kap 20
(Entscheidbarkeit, Gödelisierung,
Halteproblem)
Matthias Jantzen
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 1
ein wichtiger Zusammenhang:
x fl Í *
Satz 35:
Eine Menge L ist
genau dann rekursiv
(entscheidbar) wenn
L selbst, und auch
ihr Komplement L
rekursiv aufzählbar
sind.
x fl Í *
x fl L ?
JA
x fl Í *
x fl L ?
JA
JA
NEIN
Entscheidbare Mengen sind natürlich aufzählbar!
Die andere Richtung folgt aus Erklärung zur obigen Graphik!
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 2

nichtaufzählbare Sprachen
Wenn es also eine aufzählbare Menge gäbe, die nicht
entscheidbar wäre, so wüssten wir sofort, dass das Komplement
nicht jeder aufzählbaren Menge wieder aufzählbar wäre!
1. Frage: Gibt es formale Sprachen, die von keiner DTM
akzeptiert werden können?
2. Wir zeigen, dass es eine Sprache L ⊆ {0, 1} ∗ gibt, die von
keiner DTM akzeptiert werden kann!
3. Wir benötigen: Codierung von Automaten als Wörter
über einem endlichen Alphabet, d.h. eine injektive
Funktion
code : Menge aller DTM → {0, 1} ∗
4. . . . wir können die lexikalische Ordnung wählen, aber es
gibt seit Gödel’s Beweisen andere!
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 3
Was sind Gödelnummern?
Definition 61:
Eine Funktion ν Σ : Σ ∗ −→ IN (Σ ein endliches Alphabet) heißt
Gödelisierung, wenn gilt:
1. ∀u, v ∈ Σ ∗ : u ≠ v impliziert ν Σ (u) ≠ ν Σ (v), ν Σ ist also
injektiv.
2. Aus jedem Argument w ∈ Σ ∗ kann ν Σ (w) in endlich vielen
Schritten effektiv bestimmt werden.
3. Für jedes n ∈ IN kann in endlich vielen Schritten effektiv
bestimmt werden, ob es ein w ∈ Σ ∗ gibt, für das ν Σ (w) =n
gilt.
4. Wenn es ein w ∈ Σ ∗ mit ν Σ (w) =n gibt, dann kann w in
endlich vielen Schritten effektiv aus n konstruiert werden.
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 4

Gödelisierung i.A. nicht bijektiv!
Es ist also bei Gödelisierungen keine Bijektion zwischen Σ ∗ und
IN gefordert!
Es gibt verschiedene Möglichkeiten spezielle Gödelisierungen anzugeben,
von denen wir z.B. die Cantorsche Paarfunktion kennenlernen
werden.
Die Paarfunktionen pair, und Ihre Erweiterung auf beliebige
Zahlentupel sind Gödelisierungen nur für Zahlentupel über IN
mit fester Dimension.
Wenn wir allerdings endliche Zahlenfolgen oder Zeichenketten
variabler Länge kodieren möchten, so taugen diese Abbildungen
herzlich wenig.
Von Gödel stammt die bijektive Abbildung von Zahlenfolgen/
Wörtern auf Zahlen über Primzahlprodukte:
m∏
ν IN −seq (α 1 , α 2 , . . . , α m ) := p α i+[i = m]
i − 1
i=1
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 5
zur Erinnerung:
Die Paarfunktion ist Gödeliserung;
Definition 51:
paar : IN × IN −→ IN sei definiert durch
( )
(i + j)(i + j + 1) i + j +1
paar(i, j) := i + = i +
2
2
…aber wie berechnen wir zu einer Zahl k fl Ñ
das zugehörige Tupel (i,j)?
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 6

Satz 36:
Für
π 1 (k) := k − 1 2 ·
Formel für paar -1 (k)
Dieses hier ohne Beweis…
(in die Berechnungsformel einsetzen würde ausreichen!):
⌊√
2 · k + 1 4 − 1 2
⌋
·
⌊√
warum
reicht das
aus?
2 · k + 1 4 + 1 2
⌋
,
π 2 (k) :=
⌊√ ⌋
2k + 1 4 − 1 − π 1 (k)
2
gilt:
k = paar(π 1 (k), π 2 (k)).
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 7
allgemeine Notation für Gödelnummercodierungen
Definition/Vereinbarung 62:
Gödelisierungen werden von nun an immer als bijektive
Abbildungen angesehen und – sofern das Alphabet Σ festgelegt
ist – durch 〈〉: Σ ∗ −→ IN notiert.
Beispiel:
Mit 〈abbab 〉 wird diejenige natürliche Zahl dargestellt, die
gemäß der beliebig gewählten, aber eindeutig festgesetzten
Gödelisierung, die Gödelnummer von abbab ist.
Wir können immer auch die lexikalische Anordnung der Wörter
benutzen, und benutzen i als Gödelnummer des i-ten Wortes in
dieser Abzählung!
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 8

Satz 37:
Die Sprache L d
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 9
Sei G ein Alphabet zur Kodierung von Turingmaschinen bzw.
Wörtern, sowie
w i das i-te Wort und
A i die i-te DTM in der (lexikalischen) Aufzählung der Wörter
〈A i 〉∈G ∗ .
Dann ist die Menge L d := {〈w i 〉 | w i /∈ L(A i )} nicht aufzählbar.
Die Matrix der charakteristischen Funktion
L d ∉ Re:
Charakteristische Funktion für L(M i ) und L d :
w 0 w 1 w 2 · · · w n · · ·
M 0 0 1 1 · · · 0 · · ·
M 1 1 1 0 · · · 1 · · ·
M 2 1 0 0 · · · 1 · · ·
.
.
.
.
.
.
.
.
. ..
.
.
.
.
M n 1 1 0 · · · 1 · · ·
. . . . . .
. ..
L d 1 0 1 · · · 0 · · ·
Also: ∀i ∈ IN : w i ∈ L(M i ) ⇐⇒ w i /∈ L d
Somit ∀i ∈ IN : L(M i ) ≠ L d
und L d := {〈w i 〉 | w i /∈ L(A i )} ist nicht aufzählbar.
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 10

das Komplement von L d
… ist aufzählbar:
w
Diese TM akzeptiert
w gdw. w fl Ld
bestimme i für w = w i
in lexikalischer Ordnung
i, w i
konstruiere TM-Tafel
der i-ten TM M i
w i , M i
simuliere M i mit
Eingabe w i
w i fl M i
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 11
Das Halteproblem
Def. hier nur wiederholt!
Definition 60:
{
∣
Sei H := 〈A 〉〈w 〉∈{0, 1} ∗ ∣∣
}
die TM A hält bei Eingabe von w ∈ Σ ∗ an .
Wichtig zur Erkennung von Endlosschleifen in Programmen!
Programm P = Turingmaschine A
Programmeingabe x = Eingabewort w der TM A
aber:
Satz 37:
Die Menge H aus Def. 60 ist nicht entscheidbar.
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 12

indirekter Beweis durch Selbstanwendung
Angenommen M löst das Halteproblem H :
Programm P
Eingabewort x
M
JA
NEIN
P stoppt bei
Eingabe x
P stoppt nicht
bei Eingabe x
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 13
Halteproblem (2)
Eingabewort x ersetzt durch das Programm P :
Programm P
Eingabewort P
M
JA
NEIN
P stoppt bei
Eingabe P
P stoppt nicht
bei Eingabe P
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 14

Halteproblem (3)
Neue Maschine ˜M mit Endlosschleife bei JA :
Programm P
Eingabewort P
M
M~
JA
NEIN
P stoppt nicht
bei Eingabe P
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 15
Halteproblem (3): die Selbstanwendung
Als Programm P verwenden wir nun ˜M :
Programm M
~ ~
Eingabewort M
M
M~
JA
Endlosschleife
Endlosschleife
~
NEIN
M stoppt nicht
~
bei Eingabe M
dies ist ein
offensichtlicher
Widerspruch!
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 16

Folgerung
Alle Inklusionen dieser Sprachfamilien wurden nun als
echte Inklusionen erkannt:
keine zwei Sprachfamilien sind identisch!
Folgende Beziehungen sind nun bewiesen:
⊈
⊈
⊈
⊈
⊈
≠
Familie der regulären Mengen
Familie der kontextfreien Mengen
Familie der kontextsensitiven Mengen
Familie der entscheidbaren Mengen
Familie der aufzählbaren Mengen
Familie der abzählbaren Mengen
Familie der überabzählbaren Mengen
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 17
Halteproblem und L d
18
Kodieren wir H und L d über dem Alphabet {0,1}
Unentscheidbarkeit von H kann durch Reduktion von
L d auf H gezeigt werden:
w ∈ L d
⇐⇒ 〈w 〉〈w 〉 /∈ H
D.h.: wenn H entscheidbar ist, dann ist auch Ld
entscheidbar. Letzteres ist aber nicht der Fall!
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008:

Wichtige / interessante Unentscheidbarkeitsresultate:
Schon als unentscheidbar kennen wir:
1. Sprache L d
2. Komplement von L d
3. Halteproblem, d.h., Sprache H
außerdem unentscheidbar:
1. Kachelprobleme
2. 10. Hilbertsches Problem
3. Vorkommen einer 1 als Bild einer Funktion
4. jedes nichttriviale Problem über Turingmaschinen!
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 19
Kachel-/Dominoprobleme
Das steht zwar nicht in Vossen/Witt, aber illustriert ganz nett…
Gegeben: Eine Menge von r Kacheltypen R =
{K 1 ,K 2 , . . . , K r } , n ∈ IN (beliebig viele Kacheln
von jedem Typ)
Gesucht: (A) Kann man den ersten Quadranten der euklidischen
Ebene korrekt kacheln?
(B) Kann man eine Fläche der Größe n × n
korrekt kacheln?
Antwort: JA oder NEIN
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 20

Kachelproblem
Nur gleichfarbige Seiten dürfen aneinander gelegt werden!
Steine dürfen nicht gedreht werden!
Satz 38:
Das Kachelproblem aus A ist unentscheidbar!
Für das endliche Kachelproblem B gibt es zur Zeit deterministische
Verfahren nur mit exponentiellem Aufwand,
denn das Problem ist NP-vollständig.
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 21
typische Lösung eines endl Kachelproblems:
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 22

Postsches Korrespondenzproblem
Definition 64:
Sei P ⊆ Σ ∗ × Σ ∗ eine endliche Menge von Wortpaaren
P := {(u i ,v i ) | 1 ≤ i ≤ |P | ,u i ,v i ∈ Σ ∗ }.
Als Post’sches Korrespondenzproblem (PCP) bezeichnet man
folgendes Problem:
PCP:
Gegeben: Eine beliebige, endliche Menge P = {(u i ,v i ) |
1 ≤ i ≤ |P | ,u i ,v i ∈ Σ ∗ } ⊆ Σ ∗ × Σ ∗
Gesucht: Indexfolge i 1 i 2 . . . i k mit ∀ k j=1 :1≤ i j ≤ |P |
Antwort:
und u i1 u i2 . . . u ik
JA oder NEIN
= v i1 v i2 . . . v ik
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 23
Beispiel
[ ] [ ] [ ]
a aa ab
Die Paare: 1: , 2: , 3: . Gibt es Lösung?
ba a aa
Ja: eine Indexfolge ist 231, mit:
[
][
aa ab
a aa
][
]
a
ba
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 24

Unentscheidbarkeit des PCP
Satz 38:
Es gibt keinen Algorithmus, der für ein beliebiges PCP entscheidet,
ob es eine Lösung besitzt!
Wenn das Alphabet nur ein Symbol enthält, dann ist jedes
(endliche) PCP entscheidbar.
Es konnte mit sehr komplizierten Beweis gezeigt werden, dass
jedes PCP mit höchstens zwei Wortpaaren entscheidbar ist!
Das bisher kleinste, unentscheidbare PCP besitzt 9 Wortpaare!
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 25
Kommt 1 als Funktionswert vor?
Definition 63:
Mit M T sei die Menge aller (Kodierungen von) Turing-Maschinen
M bezeichnet, die totale Funktionen f M : Σ ∗ → {0, 1} berechnen.
Problem:
Gegeben: Eine beliebige stets haltende Turing-Maschine
Gesucht: Wird bei allen Eingaben stets die Ausgabe 0
berechnet?
Antwort: JA oder NEIN
Das Problem, ob eine Funktion irgendwann den Wert 1 als Resultat
erhält, ist UNENTSCHEIDBAR !
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 26

Unentscheidbarkeitsresultate
Satz 39:
Es gibt keinen Algorithmus, der für eine beliebige Funktion
f M ∈ M T
entscheidet, ob
f M (w) = 1 für mindestens ein w ∈ Σ ∗ gilt.
Korollar:
Es ist unentscheidbar, ob eine beliebige, durch eine TM definierte,
entscheidbare Menge M leer ist.
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 27
Beweis
Annahme der Entscheidbarkeit von
P := {M ∈ M T | ∃w ∈ Σ ∗ : f M (w) =1}
⇒ TM A P berechne χ P von P.
{
1, falls M ∈ P
Also: χ P (M) =
0, sonst
• Betrachte Klasse M B,w von TM, mit:
– Eingabe n ∈ simuliere genau n Schritte von B bei
Eingabe von w,
– halte an und gib 1 aus, sofern B nach genau n Schritten
auf w hält,
– sonst gib eine 0 aus.
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 28

Beweis (Fortsetzung)
χ P (M B,w )=1
⇐⇒
M B,w ∈ P
⇐⇒
M B,w druckt bei Eingabe von n eine 1
⇐⇒
B hält auf w nach n Schritten an
⇐⇒
w ∈ L(B)
Dann entscheidet A P aber das Halteproblem!
Widerspruch !!!
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 29
Der Satz von Rice
Satz 40:
Jede nichttriviale Eigenschaft S der aufzählbaren Sprachen ist
unentscheidbar.
Nichttriviale Eigenschaften zeichnen sich
dadurch aus, dass es sowohl Mengen gibt, die sie erfüllen,
wie auch andere, die diese Eigenschaft nicht erfüllen.
Viele bisherigen Unentscheidbarkeitsresultate
folgen aus diesem allgemeinen Theorem!
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 30

weitere Unentscheidbare Fragen
Folgende Probleme sind unentscheidbar:
Ist L endliche Menge?
Ist L leere Menge?
Ist L unendliche Menge?
Ist L reguläre Menge?
Ist L kontextfreie Sprache?
Ist L entscheidbare Sprache?
Ist L eine Menge mit genau einem Element?
M. Jantzen, FGI-1, SoSe 2008: 31