¨Ubung 3 Lösung von LTI Systemen

Übung 3
Lösung von LTI Systemen
In dieser Übung wird das Thema Lösung von LTI-Systemen weiter vertieft. Es wird unter
anderem auf die Fälle von Systemmatrizen mit mehrfachen Eigenwerten und komplexen
Eigenwerten eingegangen.
3.1 Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume
Die Begriffe der Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume werden nun noch einmal kurz
wiederholt.
Wie bereits in der letzten Übung besprochen wurde, gilt für eine n × n-Matrix A und
jeden Vektor v i ≠ 0 und Skalar λ i , welche die Gleichung
Av i = v i λ i
erfüllen, dass λ i ein Eigenwert und v i ein Eigenvektor der Matrix A ist. Weiters ist
span{v i } ein A-invarianter Unterraum. Sind die Eigenwerte λ i paarweise verschieden, so
kann zu jedem Eigenwert ein Eigenvektor gefunden werden, und es lässt sich
Av 1 = v 1 λ 1
Av 2 = v 2 λ 2
.
oder
⎡
⎢
A[v 1 v 2 · · ·] = [v 1 v 2 · · ·] ⎣
λ 1
λ 2
. ..
⎤
⎥
⎦
schreiben. Dies entspricht
AV = VÃ .
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Übung 3. Lösung von LTI Systemen
3.2. Transformation auf Jordanform
3.2 Transformation auf Jordanform
3.3 Beispiele
3.3.1 2 gleiche EW mit Haupt- und Nebeneigenvektor
Bestimmen Sie die Transitionsmatrix für das System
⎡ ⎤
1 1 2
ẋ = ⎣ 0 1 3 ⎦x .
0 0 2
3.3.2 Komplexe Eigenwerte
Bestimmen Sie die Transitionsmatrix für das System
[ ]
3 2
ẋ = x .
−1 1
3.3.3 Gleichstrommaschine – Transitionsmatrix
Bestimmen Sie für das Modell der Gleichstrommaschine aus der ersten Übung die Transitionsmatrix
mit den (nicht physikalisch motivierten) Parameter
R A = 3, L A = 1, k m = 1, Θ = 1 2 .
3.3.4 Veranschaulichung zum Bsp. GS-Maschine
Anhand des Vektorfeldplots Abb. 3.1 können die Schar der Lösungskurven leicht illustriert
werden.
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Übung 3. Lösung von LTI Systemen
3.3.4. Gleichstrommaschine
Abbildung 3.1: Vektorfeld des Systems Gleichstrommaschine.
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3.4. Aufgaben
3.4 Aufgaben
Aufgabe 3.1 Transitionsmatrix
Berechnen Sie die Transitionsmatritzen der autonomen LTI-Systeme
⎡
1. ẋ = ⎣
1 0 −1
0 1 0
0 0 2
⎤
⎦x
[ ] [ ][ ]
ẋ 0 1 x
2. =
˙v − c 0 v
m
⎡
⎤
3 2 3 −2
3. ẋ = ⎢ −3 1 −3 1
⎥
⎣ −2 0 −1 2 ⎦ x
0 2 −1 1
⎡
4. ẋ = ⎣
0 1 1
0 0 1
0 0 0
⎤
⎦x
Versuchen Sie auch die Transitionsmatrix des Systems aus 4. durch explizites berechnen
der Reihe e At zu lösen!
Aufgabe 3.2 Berechnung der Lösung
Für das mathematische Modell eines Feder-Masse Schwingers
[ ] [ ] [ ] [ ]
ẋ 0 1 x 0
=
˙v − c 0 + 1 F
v
m
m
y = [ 1 0 ][ ]
x
v
sind folgende Aufgaben zu lösen:
Berechnen Sie die Transitionsmatrix.
Berechnen Sie die Sprungantwort (F(t) = σ(t)).
Berechnen Sie y(t) für F(t) = σ(t − T) mit T > 0.
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