¨ubungsblatt 8 (20.12.2005) - ECAP

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Experimentalphysik 1, Wintersemester 2005/06
Universität Erlangen–Nürnberg
Übungen: Di 12:00 in 01.779 und TL-307;
Di 14:00 in 00.103, 00.732, 01.332, 01.779,
02.779, TL-2.140, TL-307, HE
Übungsblatt 8 (20.12.2005)
Präsenzaufgaben
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Vorlesungen: Mo 10:20 & Mi 10:05, Hörsaal HG
www.pi1.physik.uni–erlangen.de/˜katz/ws05/p1
Sehen Sie sich gründlich Ihre Klausur an und besprechen Sie die Lösungen der Aufgaben.
13) Trägheitsmoment einer dünnen Zylinderscheibe
Zeigen Sie, dass das Trägheitsmoment einer dünnen homogenen Zylinderscheibe mit
Masse M und Radius R bei Rotation um die Querachse I = MR 2 /4 ist.
Hinweis: � 2π
0 cos2 φ dφ = π .
14) Bierbank
Ein schwergewichtiger Mann (mM = 120kg) sitzt 25cm vom
Rand einer Bierbank (Masse mB = 10kg) entfernt. Plötzlich
stehen alle anderen Gäste auf, die auf der Bank saßen.
(a) Skizzieren Sie das Kräftediagramm und berechnen Sie die
auftretenden Drehmomente. Was passiert?
(b) In welchem Bereich der Bierbank müsste eine Frau mit
Masse mF = 50kg sitzenbleiben, um das Kippen der Bank
zu verhindern?
Hinweis: Vernachlässigen Sie das Gewicht der Standbeine.
17) Inhomogene Kugel
Hausaufgaben
Mann (120 kg)
Bank (10 kg)
3 m
2 R
25 cm
50 cm
(a) Berechnen Sie die Masse M und das Trägheitsmoment I einer Kugel mit Radius R, deren Dichte
linear von Mittelpunktsabstand r abhängt:
ρ(r) = ρi + (ρa − ρi) r
R .
(b) Geben Sie das Verhältnis von I zu dem Trägheitsmoment Ih einer homogenen Kugel gleicher
Masse als Funktion von ρi/ρa an.
(c) Wie groß ist der Betrag des Drehimpulses der Erde, wenn man sie (i) als homogene Kugel betrachtet
und (ii) einen linearen Dichteverlauf mit ρi = 12 × 10 3 kg/m 3 annimmt? Wie groß muss
im letzteren Fall ρa sein?
Hinweis: Die Erdmasse beträgt ME = 6.0 × 10 24 kg, der Erdradius ist 6.4 × 10 6 m.

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12
18) Trägheitsmoment eines Zylinders bei Drehung um die Querachse
Berechnen Sie das Trägheitsmoment I eines homogenen Zylinders mit Länge L,
Radius R und Masse M, der um seine Querachse durch den Schwerpunkt rotiert
(siehe Abbildung).
Hinweis: Zerlegen Sie den Zylinder in infinitesimal dünne Scheiben, wenden Sie
für jede davon den Steiner’schen Satz und das Ergebnis von Präsenzaufgabe 13 an
und integrieren Sie.
Zusatz-Knobelaufgabe 19) Präzession der Erde
Diese Aufgabe ist schwieriger als übliche Hausaufgaben. Sie können damit Zusatzpunkte erwerben, ohne dass
die 12 Punkte in die Summe der zu erreichenden Hausaufgabenpunkte eingerechnet werden.
Die Erde hat in guter Näherung die Form eines Rotationsellipsoids, wobei der Durchmesser in Nord-
Süd-Richtung (d.h. entlang der Drehachse) 2b = 12713km beträgt, der Äquatordurchmesser dagegen
2a = 12756km. Diese Abweichung von der Kugelform führt zur Präzession der Erdachse.
(a) Berechnen Sie das Volumen des “Wulstes”, der um den Äquator auf einer gedachten Kugel mit
Radius b sitzt. Welcher Anteil der Erdmasse ist in diesem Wulst enthalten, wenn Sie die Erde als
homogenen Körper betrachten?
Hinweis: Das Volumen eines Ellipsoids mit Halbachsen a, b und c beträgt VE = 4πabc/3.
(b) Nehmen Sie an, die Wulstmasse sei in einem dünnen Ring
mit Radius b um den Äquator konzentriert. Betrachten Sie
zwei gleiche Massenelemente dm1 und dm2 bei Winkeln φ
und −φ (siehe Skizze). Berechnen Sie die Summe d�Fi aus
Gravitationskraft der Sonne und Zentrifugalkraft auf jedes
dieser Massenelemente. Beachten Sie, dass die Neigung der
Erd-Rotationsachse gegen die Bahnebene ψ = 23.5 ◦ beträgt.
Zeigen Sie, dass für den Betrag von d�Fi gilt:
dFi = 3sinφ cosψ · G dmiMS
R 2 S
� �
b
b2 · + Ordnung
RS
R 2 S
��
,
wobei MS = 2 × 10 30 kg die Sonnenmasse und RS = 1.5 ×
10 8 km der Erdbahnradius sind. Vernachlässigen Sie ab hier
Terme der Ordnung (b/RS) 2 .
dm 1
(c) Welches Drehmoment wirkt auf die beiden Massenelemente dm1 und dm2?
φ
2b
ψ
−φ
2R
dm 2
(d) Berechnen Sie das Gesamt-Drehmoment durch geeignete Integration über den Ring.
L
L
zur
Sonne
(e) Zeigen Sie, dass unter Annahme einer homogenen Massenverteilung in der Erde die resultierende
Präzessions-Winkelfrequenz näherungsweise durch
ΩP = 15
4
GMS
R 3 S ωE
a2 − b2 a2 cosψ
gegeben ist, wobei ωE die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ist. Wie erklären Sie die Abweichung
des resultierenden Wertes von der gemessenen Präzessionsperiode von etwa 26 000
Jahren?
Das Vorlesungsteam wünscht Ihnen
ein frohes Weihnachtsfest, einen guten Rutsch
und viel Erfolg in Neuen Jahr!