Eigenschaften der Hermite-Polynome

also
H ′′
n(z) − 2zH ′ n(z) + 2nH n (z) = 0
Diese Differentialgleichungen zeigen, dass die Polynome H n (z) in der Tat die
bei der Lösung der (zeitunabhängigen) Schrödinger-Gleichung für den harmonischen
Oszillator auftretenden Hermite-Polynome sind.
5. Orthogonalitätsrelationen
Die Hermite-Polynome erfüllen die folgende Orthogonalitätsrelation
Dazu betrachte man
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
e −z2 w(z,t)w(z,s)dz =
e −z2 H n (z)H m (z)dz = √ π2 n n!δ n,m .
∫ ∞
−∞
= e 2ts√ π =
e −z2 e 2z(t+s) e −t2 −s 2 dz =
∞∑ (2ts) n √ π.
n!
n=0
∫ ∞
−∞
e −(z−(t+s))2 e 2ts dz
Andererseits gilt
∫ ∞
−∞
e −z2 w(z,t)w(z,s)dz =
=
∫ ∞
−∞
∞∑
n,m=0
e −z2 ( ∞
∑
n=0
t n s m ∫ ∞
n! m!
−∞
) (
H n (z) tn ∑ ∞
n!
m=0
e −z2 H n (z)H m (z)dz.
)
H m (z) sn
m!
Der Vergleich liefert
∫ ∞
e −z2 H n (z)H m (z)dz = √ π2 n n!δ n,m .
−∞