Dreiecksflächenformel, Sinussatz, Cosinussatz - willimann.org
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Mathematik<br />
Trigonometrie<br />
<strong>Dreiecksflächenformel</strong>, <strong>Sinussatz</strong>, <strong>Cosinussatz</strong><br />
Herleitung der Flächenformel für allgemeine Dreiecke:<br />
Gegeben ist von einem beliebigen Dreieck a, b und α .<br />
hc<br />
Es gilt: sin α = ; hc<br />
= b⋅sin<br />
α<br />
b<br />
Für die Dreiecksfläche ergibt sich nun:<br />
c⋅ hc<br />
c⋅b ⋅sin α b⋅c<br />
A = = = ⋅sin<br />
α<br />
2 2 2<br />
Analog gilt mit zyklischer Vertauschung<br />
Die Flächenformel für allgemeine Dreiecke<br />
b ⋅c c⋅a a ⋅b<br />
A = sin α = sinβ = sin γ<br />
2 2 2<br />
(Dieser Satz gilt auch für recht- und stumpfwinklige Dreiecke)<br />
Verallgemeinerung:<br />
Die Dreiecksfläche liess sich bisher aus einer Seite mal deren Höhe geteilt durch zwei<br />
berechnen. Oder anders gesagt galt für die Fläche "Seite mal Seite durch zwei" nur für<br />
rechtwinklige Dreiecke. Nun lässt sich die Fläche für allgemeine Dreiecke berechnen aus<br />
dem Produkt zweier beliebiger Seiten mal dem 'Korrekturfaktor' Sinus des<br />
Zwischenwinkels.<br />
Aus dieser Flächenformel folgt:<br />
Herleitung des Sinus-Satzes:<br />
b ⋅c<br />
a ⋅c<br />
sin α = sin β / c 2 2<br />
2<br />
b sin a sin<br />
sin α ⋅sinβ<br />
⋅ α = ⋅ β / :( )<br />
a sin α<br />
=<br />
b sinβ<br />
Analog gilt mit zyklischer Vertauschung *)<br />
Der <strong>Sinussatz</strong><br />
a sin b sin c sin<br />
= α ; = β ; =<br />
γ<br />
b sinβ c sin γ a sin α<br />
In Worten:<br />
Im Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel<br />
(Dieser Satz gilt auch für recht- und stumpfwinklige Dreiecke)<br />
*) Erklärung der zyklischen Vertauschung siehe nächste Seite<br />
A5170-Trigonometrie B. Willimann Seite 1 / 3<br />
<strong>Dreiecksflächenformel</strong>, <strong>Sinussatz</strong>, <strong>Cosinussatz</strong> 19.02.2007
Mathematik<br />
Trigonometrie<br />
<strong>Dreiecksflächenformel</strong>, <strong>Sinussatz</strong>, <strong>Cosinussatz</strong><br />
Zyklische Vertauschung:<br />
Eine Formel, die Winkel und Seiten beliebiger ebener Dreiecke in Beziehung setzt,<br />
bleibt richtig, wenn man zyklisch vertauscht, d.h. wenn man jede Dreiecksgrösse durch<br />
die nächste (alphabetisch, nach c fange wieder bei a an) ersetzt Dieses V<strong>org</strong>ehen heisst<br />
deshalb zyklische Vertauschung, weil das Vertauschen anhand folgender Diagramme<br />
abläuft:<br />
Herleitung des Cosinus-Satzes:<br />
(Beachten Sie die Skizze auf der vorhergehenden Seite)<br />
h = b − c und h = a − c<br />
2 2 2<br />
c 1<br />
2 2 2 2<br />
1 2<br />
2 2 2<br />
c 2<br />
b − c = a − c<br />
/<br />
2<br />
+ c 1<br />
2 2 2 2<br />
b = a + c1 − c2<br />
/ setze c1 = c − c2<br />
2 2 2 2<br />
b = a + (c − c ) − c<br />
/ TU<br />
2 2<br />
b = a + c − 2⋅c ⋅ c + c − c / TU<br />
2 2 2 2 2<br />
2 2 2<br />
Nach dem Satz von Pythagoras gilt:<br />
Durch Gleichsetzen ergibt sich:<br />
2 2 2<br />
c2<br />
b = a + c − 2⋅c ⋅ c 2<br />
es gilt: sin c<br />
a<br />
damit erhalten wir:<br />
2 2 2<br />
b = a + c − 2⋅c ⋅a ⋅sin<br />
β / alfabetisch sortieren<br />
2 2 2<br />
b = a + c − 2⋅a ⋅c ⋅sin<br />
β<br />
β = ;<br />
2<br />
= a ⋅sinβ<br />
Analog gilt mit zyklischer Vertauschung<br />
Der <strong>Cosinussatz</strong><br />
2 2 2<br />
c = a + b − 2⋅a ⋅b ⋅sin<br />
α<br />
2 2 2<br />
a b c 2 b c sin<br />
= + − ⋅ ⋅ ⋅ γ<br />
2 2 2<br />
b a c 2 a c sin<br />
= + − ⋅ ⋅ ⋅ β<br />
(Dieser Satz gilt auch für recht- und stumpfwinklige Dreiecke)<br />
Verallgemeinerung:<br />
Der Cosinus-Satz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras!<br />
2 2 2<br />
Bisher galt c = a + b für rechtwinklige Dreiecke. Nun können wir diesen Satz auch auf<br />
0<br />
beliebige Dreiecke anwenden mit dem "Korrektur-Subtrahenden" −2absin<br />
α . Für α = 90<br />
gilt sin α = 0 und damit −2absin α = 0 was dem guten alten Pythagoras entspricht.<br />
A5170-Trigonometrie B. Willimann Seite 2 / 3<br />
<strong>Dreiecksflächenformel</strong>, <strong>Sinussatz</strong>, <strong>Cosinussatz</strong> 19.02.2007
Mathematik<br />
Trigonometrie<br />
<strong>Dreiecksflächenformel</strong>, <strong>Sinussatz</strong>, <strong>Cosinussatz</strong><br />
Anwendungen des <strong>Sinussatz</strong>es:<br />
• Wenn von einem Dreieck eine Seite und zwei Winkel (und damit alle drei Winkel)<br />
gegeben sind<br />
• Wenn von einem Dreieck zwei Seiten und der Gegenwinkel einer dieser Seiten<br />
gegeben ist<br />
Anwendungen des <strong>Cosinussatz</strong>es:<br />
• Sind von einem Dreieck alle drei Seitenlängen bekannt, so notieren Sie zuerst den<br />
Kosinussatz für diejenige Seite, welche dem gesuchten Winkel gegenüber liegt. Lösen<br />
Sie diese Gleichung nach dem Cosinus des gesuchten Winkels auf. Aus diesem<br />
Kosinuswert erhalten Sie den gesuchten Winkel mit dem Arcus-Cosinus<br />
• Sind von einem Dreieck zwei Seiten und deren Zwischenwinkel bekannt, so liefert der<br />
Kosinussatz direkt die dritte Seite (bzw. das Quadrat dieser Seite<br />
• Sind von einem Dreieck zwei Seiten und ein anliegender Winkel (≠ Zwischenwinkel)<br />
bekannt, so notieren Sie zuerst den <strong>Cosinussatz</strong> für diejenige Seite, welche dem<br />
bekannten Winkel gegenüber liegt. Diese Gleichung ist eine quadratische Gleichung<br />
für die dritte Dreiecksseite<br />
Beispiele:<br />
Stellen Sie sich selber Aufgaben:<br />
Nehmen Sie von den dreiecksbestimmenden Stücken (a, b, c, α , β , γ ) je 3 Stück und<br />
berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel.<br />
Diskutieren Sie die Fälle, in denen die Auswahl nicht zu einer eindeutigen Lösung sondern<br />
zu zwei oder sogar unendlich vielen Lösungen führt.<br />
Machen Sie sich zuerst zu jeder Aufgabe ein paar Gedanken: Was muss/kann ich zuerst<br />
berechnen, brauche ich nur den Sinus- oder <strong>Cosinussatz</strong> oder brauche ich beide?<br />
A5170-Trigonometrie B. Willimann Seite 3 / 3<br />
<strong>Dreiecksflächenformel</strong>, <strong>Sinussatz</strong>, <strong>Cosinussatz</strong> 19.02.2007