Teil XI Bilinearformen/Quadriken

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Teil XI
Bilinearformen/Quadriken

Bilinearformen/Quadriken
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Bilinearform
Sei V , V ′ K-VR, b : V × V ′ → K Abbildung mit
b(v 1 +v 2 , v ′ ) = b(v 1 +v 2 , v ′ ), b(v, v ′ 1 +v ′ 2 ) = b(v, v ′ 1 )+b(v, v ′ 2 )
b(λv, µv ′ ) = λµb(v, v ′ )
∀v, v 1 , v 2 ∈ V , v ′ , v ′ 1 , v ′ 2 ∈ V ′ , λ, µ ∈ K
Dann nennen wir b Bilinearform.
Erinnerung: Skalarprodukte auf R-Vektorräume sind
bilinear
Für v ∈ V fest ist b(v, ·) ∈ Abb(V ′ , K) eine lineare
Abbildung, ebenso b(·, v ′ ) ∈ Abb(V , K) für festes v ′ ∈ V ′ .

Bilinearformen/Quadriken
Matrixdarstellung
Seien V , V ′ endlich erzeugte Vektorräume mit Basen B, B ′
und Dimensionen n, n ′ , und Φ B : K n → V , Φ B ′ : K n′ → V ′ die
Koordinatenabbildungen. Dann ist b : V × V ′ → K eine
Bilinearform genau dann, wenn eine Matrix M ∈ K n×n′ existiert
mit
b(v, v ′ ) = (Φ −1
B (v))T MΦ −1
B
(v ′ ) ′
Beweis: Tafel
Mit Basisvektoren B = {b 1 , . . . b n } und B ′ = {b ′ 1 , . . . b′ n ′ }
gilt insbesondere M = (b(b i , b ′ j ))n,n′ i,j=1 .
Für Euklidische Vektorräume gilt mit Standardbasen also
einfach: b : R n × R n′ → R ist Bilinearform genau dann
wenn existiert M ∈ R n×n′ mit b(x, x ′ ) = x T Mx ′ für
x ∈ R n , x ′ ∈ R n′ 245 / 275

Bilinearformen/Quadriken
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Transformationsformel für Bilinearformen
Seien V , V ′ endlich erzeugte Vektorräume mit Basen
A , B, A ′ , B ′ und Dimensionen n, n ′ . Seien M A ,A ′ und M B,B ′
die Matrizen, die die Bilinearform b : V × V → K in den
entsprechenden Koordinatensystemen darstellen. Dann
transformieren sich die Matrizen folgendermaßen:
Beweis: Tafel
M A ,A ′ = (T A B )T M B,B ′T A ′
B ′ .

Bilinearformen/Quadriken
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Eigenschaften von Bilinearformen
Wir nennen eine Bilinearform b : V × V → K
symmetrisch wenn für alle v, v ′ gilt b(v, v ′ ) = b(v ′ , v)
alternierend oder antisymmetrisch/schiefsymmetrisch
wenn für alle v, v ′ gilt b(v, v ′ ) = −b(v ′ , v)
entartet falls existiert ein v ∈ V , v ≠ 0 mit b(v, v ′ ) = 0 für
alle v ′ ∈ V . Sonst nennen wir b regulär oder nicht-entartet.

Bilinearformen/Quadriken
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Für endlichdimensionale Räume V gilt:
b ist regulär ⇔ M ist regulär.
b ist alternierend ⇔ b(v, v) = 0 für alle v ∈ V .
Jede Bilinearform b : V × V ist Summe eines
symmetrischen und alternierenden Anteils:
b(v, v ′ ) = b s (v, v ′ ) + b a (v, v ′ )
b s (v, v ′ ) := 1 2 (b(v, v ′ ) + b(v ′ , v)),
b a (v, v ′ ) := 1 2 (b(v, v ′ ) − b(v ′ , v)).

Bilinearformen/Quadriken
Im Folgenden beschränken wir uns auf Euklidische
Vektorräume
Quadratische Form auf R n
q : R n → R heißt quadratische Form, wenn eine der folgenden
äquivalenten Charakterisierungen gilt:
a) q(x) = ∑ n
i,j=1 a ijx i x j mit a ij ∈ R
b) q(x) = x T Ax für A ∈ R n×n
c) Es existiert eine Bilinearform b : R n × R n → R mit
q(x) = b(x, x).
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Bilinearformen/Quadriken
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Bemerkungen:
Zu q(x) kann immer ein A gefunden werden, welches
symmetrisch ist: Sei A nicht symmetrisch. Es gilt mit
A s := 1 2 (A + AT ) :
q(x) = x T Ax = 1 2 x T Ax + ( 1 2 x T Ax) T = 1 2 x T Ax + 1 2 x T A T x
= x T ( 1 2 (A + AT ))x = x T A s x.
Daher nehmen wir im Folgenden o.B.d.A. immer
Symmetrie in einer Matrixdarstellung von q an.
Zur Verdeutlichung der Matrixabhängigkeit schreiben wir
auch q A (x) := q(x) für q(x) = x T Ax.

Bilinearformen/Quadriken
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Beispiele
Längenquadrat:
‖x‖ 2 =
n∑
i=1
x 2
i
= ∑ i,j
δ ij x i x j = x T E n x = q En (x).
( 5 2
q(x) = 5x1 2 + 2x 1x 2 − 2x2 2 = (x 1, x 2 )
0 −2
( ) ( )
5 1 x1
(x 1 , x 2 )
1 −2 x 2
durch Symmetrisierung der ersten Matrix.
) (
x1
x 2
)
=

Bilinearformen/Quadriken
Linearform
Eine Abbildung f : R n → R heißt Linearform, wenn eine der
folgenden äquivalenten Darstellungen gilt:
a) f (x) = ∑ n
i=1 a ix i mit a i ∈ R und x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n .
b) f (x) = a T x mit a ∈ R n .
Insbesondere ist eine Linearform also eine lineare Abbildung.
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Bilinearformen/Quadriken
Definitheit
Eine quadratische Form q auf R n heißt
positiv definit falls q(x) > 0 für alle x ≠ 0.
negativ definit falls q(x) < 0 für alle x ≠ 0.
indefinit falls existieren x, x ′ mit q(x) < 0 und q(x ′ ) > 0.
Bemerkung: Hiermit sind nicht alle Fälle abgedeckt, z.B.
q(x) ≥ 0 aber nicht positiv definit: positiv semidefinit.
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Bilinearformen/Quadriken
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Beispiele
( ) 1 0
q(x) = x T x = x
0 2
1 2 + 2x 2
2
⇒ q(x) > 0 für alle x ∈ R 2 \{0} ⇒ q ist positiv definit.
( ) −1 0
q(x) = x T x = −x
0 2
1 2 + 2x 2
2
(( )) (( ))
1 0
⇒ q = −1, q = 2 ⇒ q ist indefinit.
0
1
( ) (( ))
1 1
1
q(x) = x T x ⇒ q
= 0 ⇒ q nicht
1 1
−1
positiv/negativ definit (ist positiv semidefinit)

Bilinearformen/Quadriken
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Definitheit über Eigenwerte
Sei q(x) = x T Ax für A ∈ R n×n symmetrisch mit Eigenwerten
λ 1 , . . . , λ n . Dann gilt
q ist positiv definit ⇔ ∀i : λ i > 0.
q ist negativ definit ⇔ ∀i : λ i < 0.
q ist indefinit ⇔ existieren i, j : λ i < 0, λ j > 0.

Bilinearformen/Quadriken
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Allgemeiner Zusammenhang zwischen Eigenwerten und
quadratischen Formen:
Rayleigh-Quotienten
Sei A ∈ R n×n symmetrisch, λ min , λ max kleinster/größter EW. Wir
definieren den Rayleigh-Quotienten
Dann gilt
R(x) := x T Ax
x T x , x ≠ 0.
min
x∈R n \{0} R(x) = λ min,
max
x∈R n \{0} R(x) = λ max.
Beweis: Tafel

Bilinearformen/Quadriken
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Dies inspiriert ein numerisches Verfahren einen Eigenwert
einer Matrix zu approximieren, die “Vektoriteration” :
Beginne mit x 0 ∈ R n zufällig mit ‖x 0 ‖ = 1.
Berechne iterativ: λ n := R(x n−1 )
ˆx n := Ax n−1
x n := ˆx n / ‖ˆx n ‖.
Ohne Beweis: Dann konvergiert (λ n ) n∈N gegen einen (i.A. den
größten) Eigenwert von A. Das Verfahren kann in der Praxis
abgebrochen werden, falls ‖λ n − λ n−1 ‖ < ε für eine
vorgegebene Genauigkeitstoleranz ε > 0. x n ist dann eine
Approximation eines zugehörigen Eigenvektors.

Bilinearformen/Quadriken
Quadriken
Sei q : R n → R quadratische Form, f : R n → R Linearform,
c ∈ R Konstante. Dann nennen wir die Menge
Q := {x ∈ R n |q(x) + 2f (x) + c = 0}
eine Quadrik in R 2 . In Matrix-/Vektorschreibweise mit A ∈ R n×n
symmetrisch und a ∈ R n also
Q = {x ∈ R n |x T Ax + 2a T x + c = 0}
In R 2 nennen wir Quadriken Q auch “Kurven zweiter
Ordnung”.
In R 3 nennen wir Quadriken Q auch “Flächen zweiter
Ordnung”
Für A = 0, a ≠ 0 degenerieren Quadriken offensichtlich zu
affinen Unterräumen, sind also Verallgemeinerungen von
Hyperebenen.
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Bilinearformen/Quadriken
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Beispiele in R 2
( ) ( 1 0 0
A = , a =
0 2 0
)
, c = −1
Q = {x ∈ R 2 |x 2 1 + 2x 2 2 = 1}
Ellipse um Ursprung, Hauptachsen
entlang Koordinatenachsen,
Achsenabschnitte 1, 1/ √ ( )
2.
m1
Kreis um m = , Radius r > 0:
m 2
0 = ‖x − m‖ 2 − r 2
= (x − m) T (x − m) − r 2
= x T E
}{{} 2 x −2m
} {{ T
}
x + m
} T m
{{
− r 2
}
A a T c

Bilinearformen/Quadriken
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Beispiel in R 3
⎛
Setze A = ⎝
1 0
⎞
0
⎛
0 1 0 ⎠ , a = ⎝
0 0 0
0
0
−1/2
Q = {x ∈ R 3 |x 2 1 + x 2 2 − x 3 = 0}
⎞
⎠ , c = 0
Veranschaulichung durch Schnitte mit Ebenen parallel zur
x 1 /x 2 -Ebene, d.h. x 3 = k
⇒ Schnitt x 2 1 + x k 2 = k
⇒
k > 0 ⇒ Kreis mit Radius √ k
k = 0 ⇒ Punkt (x 1 , x 2 ) T = 0
k < 0 ⇒ keine Schnittpunkte
⇒ Rotationsparaboloid

Bilinearformen/Quadriken
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Beispiel in R 3
⎛
Setze A = ⎝
1 0 0
⎞ ⎛
0 1 0 ⎠ , a = ⎝
0 0 −1
0
0
0
⎞
Q = {x ∈ R 3 |x 2 1 + x 2 2 − x 2 3 = 0}
⎠ , c = 0
Schnitt mit x 1 /x 3 -Ebene, d.h. x 2 = 0: ⇒ x 2 1 − x 2 3 = 0
⇔ 0 = (x 1 − x 3 )(x 1 + x 3 )
⇔ x 1 − x 3 = 0 oder x 1 + x 3 = 0
ˆ= Vereinigung zweier Geraden: “Kreuz”
Schnitt mit Parallelen zu x 1 /x 2 -Ebene,
d.h. x 3 = k: ⇒ x 2 1 + x 2 2 = k 2
ˆ= Kreis mit Radius k ⇒ “Doppelkegel”

Bilinearformen/Quadriken
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Beispiele in Pfaffenwaldring 57, Gang 7. Stock
Sammlung von Exponaten:

Bilinearformen/Quadriken
Grobklassifikation
Zu A ∈ R n×n , a ∈ R n , c ∈ R definieren wir die erweiterte Matrix
⎛
c a T ⎞
à := ⎜
⎟
⎝ a A ⎠ ∈ R(n+1)×(n+1)
Die durch A, a, c gegebene Quadrik nennen wir
kegelige Quadrik falls Rang(Ã) = Rang(A)
Mittelpunkts-Quadrik falls Rang(Ã) = Rang(A) + 1
parabolische Quadrik falls Rang(Ã) = Rang(A) + 2 263 / 275

Bilinearformen/Quadriken
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Bemerkungen
Klassifikation vollständig, da
Rang(A) ≤ Rang(Ã) ≤ Rang(A) + 2
Klassifikation ist grob, da Ellipse nicht von Hyperbel
unterscheidbar
( ) 1
mit ˜x := ∈ R
x
n+1 schreibt sich die Quadrik
äquivalent
Q = {˜x ∈ R n+1 |˜x T Øx = 0}.

Bilinearformen/Quadriken
Beispiele
⎜
⎝
Rotationsparaboloid: Ã = ⎛
0 0 0 −1/2
0 1 0 0
0 0 1 0
−1/2 0 0 0
⎞
⎟
⎠
Rang(Ã) = 4, Rang(A) = 2 ⇒ parabolische Quadrik.
Doppelkegel: Ã = ⎛
0 0 0 0
⎜
⎝
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
⎞
⎟
⎠
Rang(Ã) = 3 = Rang(A) ⇒ kegelige Quadrik. 265 / 275

Bilinearformen/Quadriken
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Beispiel
A =
Zwei Geraden: x 2 1 − x 2 2
( ) ( 1 0
0
, a =
0 −1 0
⎛ ⎞
0 0 0
à = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0 −1
Rang(Ã) = 2 = Rang(A)
⇒ kegelige Quadrik.
= 0, also
)
, c = 0.

Bilinearformen/Quadriken
Alle Möglichkeiten im R 2 : Ellipse, Kreis, Hyperbel, Parabel,
∅, Punkt, Doppelgerade, parallele Geraden.
Quadriken in R 2 sind Schnitt geeigneter Ebene mit einer
kegeligen Quadrik in R 3 ⇒ “Kegelschnitte”.
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Beispiel
A =
Hyperbel: x 2 1 − x 2 2 − r 2 = 0, r > 0, also
( ) ( 1 0
0
, a =
0 −1 0
⎛
à = ⎝
−r 2 0 0
⎞
0 1 0 ⎠
0 0 −1
)
, c = −r 2 .
Rang(Ã) = 3, Rang(A) = 2
⇒ Mittelpunkts-Quadrik

Bilinearformen/Quadriken
⇒ “affine Normalform” 268 / 275
Hauptachsentransformation von Quadriken
Motivation:
Lage/Eigenschaften von allgemeiner Quadrik unklar, z.B.
Q = {x ∈ R 2 |q(x) := 7x 2 1 −3x 1x 2 +5x 2 2 +7x 1−8x 2 +10 = 0}
Existiert eine Koordinatentransformation, so dass q
möglichst einfache Gestalt hat?
Schritte:
1 Diagonalisierung und Rotation
2 Verschiebung des Ursprungs gegen lineare Terme
3 Verschiebung des Ursprungs gegen Konstante
4 Rotation der freien lineare Koordinaten
⇒ “Euklidische Normalform”
Eventuell: Normierung der Koeffizienten auf ±1

Bilinearformen/Quadriken
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Hauptachsentransformation von Quadriken: Schritt 1
Sei q(x) = x T Ax + 2a T x + c. Diagonalisierung und Rotation:
Elimination der gemischten Produkte:
A reell, symmetrisch ⇒ reell diagonalisierbar A = V ΛV −1
mit U orthogonal, Λ = diag(λ 1 , . . . , λ n ), oBdA sortiert s.d.
λ 1 , . . . λ m ≠ 0 und λ m+1 , . . . , λ n = 0.
Koordinatentransformation durch Rotation: ˜x := V −1 x,
bzw. x = V ˜x:
˜q(˜x) := q(V ˜x) = ˜x T Λ˜x + 2a T V ˜x + c
=:
m∑
n∑
λ i ˜x i 2 + 2 ã i ˜x i + c
i=1
i=1
=: ˜x T Øx + 2ã T ˜x + ˜c.

Bilinearformen/Quadriken
Hauptachsentransformation von Quadriken: Schritt 2
Verschiebung des Ursprungs gegen lineare Terme
Eliminieren der ã i , i = 1, . . . , m durch quadratische
Ergänzung
Koordinatentransformation durch Verschiebung
v := (ã 1 /λ 1 , . . . , ã m /λ m , 0, . . . , 0) T , ˜x := ˜x + v
˜q(˜x) := ˜q(˜x − v) =
=
m∑
i=1
+2
m∑
i=1
λ i ˜x 2
i
i=1
−
m∑
i=1
λ i 2ãi λ i
˜x i +
i=1
m∑
i=1
n∑
m∑ ã i
ã i ˜x i − 2 ã i + ˜c
λ i
λ i ˜x 2
i + 2
n∑
=:ã T ˜x
m∑
ã i ˜x i −
λ i
ã 2 i
λ 2 i
ãi
2 + ˜c
λ i
i=m+1 i=1
} {{ } } {{ }
=:˜c
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Bilinearformen/Quadriken
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Hauptachsentransformation von Quadriken: Schritt 3
Verschieben des Ursprungs gegen Konstante,
Möglich, falls ã k ≠ 0, k ≥ m + 1 also mindestens ein
linearer Term übrig.
Verschiebung der k-ten Koordinate: ˆx := ˜x +
˜c
2ã k
e k
ˆq(ˆx) := ˜q(ˆx −
˜c
2ã k
e k ) =
m∑
i=1
λ i ˆx 2
i + 2
˜c
−2ã k + ˜c
2ã
} {{ k
}
=0
=: ˆx T ˆx + 2â T ˆx
n∑
i=m+1
ã i ˆx i

Bilinearformen/Quadriken
Hauptachsentransformation von Quadriken: Schritt 4
Rotation des linearen Terms
Setze d := ‖â‖, finde Rotationsmatrix R ∈ R n×n welche
Koordinaten ˆx 1 , . . . ˆx m festhält und â auf de m+1 dreht.
ˆx := Rˆx, Râ = de m+1 , also
ˆq(ˆx) := ˆq(R −1ˆx) = ˆx T ˆx + 2 â
} T {{
R −1
}
ˆx
=(Râ) T =(de m+1 ) T
=: ˆx T ˆx + 2d ˆx m+1
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Bilinearformen/Quadriken
Euklidische Normalform für Quadriken
Durch eine Bewegung (d.h. Rotation, Spiegelung,
Verschiebung) des Koordinatensystems läßt sich jede Quadrik
beschreiben durch eine Gleichung der Form
λ 1 y 2 1 + . . . + λ my 2 m = 0 (Kegelige Quadrik)
λ 1 y 2 1 + . . . + λ my 2 m + c = 0 (Mittelpunkts-Quadrik)
λ 1 y 2 1 + . . . + λ my 2 m + 2dy m+1 = 0 (Parabolische Quadrik)
Die Mehrdeutigkeit bzgl. Skalierung der Gleichung kann
man durch Normieren des größten Eigenwertes oder des
konstanten/linearen Koeffizienten auf 1 eliminieren.
Man nennt h i := √ 1/λ i Hauptachsenlänge der Quadrik
(bei Ellipse tatsächlich geometrische Länge falls c = 1)
Affine Normalform erreichbar, indem alle Koeffizienten
durch eine Koordinatenskalierung Betrag 1 bekommen ⇒
Ellipse nicht mehr von Kreis aber von Hyperbel
unterscheidbar. Nur noch qualitative Information.
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Bilinearformen/Quadriken
Klassifikation von Quadriken in R 3
Kegelige Quadriken: ein Punkt, Doppelkegel, eine Gerade,
scheidendes Ebenenpaar, Doppelebene
Mittelpunkts-Quadriken: kein Punkt,
zweischaliges/einschaliges Hyperboloid, Ellipsoid,
hyperbolisher/elliptischer Zylinder, paralleles Ebenenpaar
Parabolische Quadriken: Elliptisches Paraboloid,
hyperbolisches Paraboloid, parabolischer Zylinder
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Bilinearformen/Quadriken
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Klassifikation von Quadriken in R 3
Illustration:
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-Material/bsp-quadriken/