PDF-Folien, 2MB - Institut fÃ¼r Angewandte Analysis und Numerische ...

Interdisziplinäres Seminar „Model Reduction“ 

Modale und Balancierte Reduktion 

Dipl.-Ing. Simon Hoher, PI: Jun.-Prof. Dr.-Ing. Sascha Röck, 25.01.2010 



Vortragender: Dipl.-Ing. Simon Hoher 

PI: Jun.-Prof. Dr.-Ing. Sascha Röck 

Institut für Steuerungstechnik der Werkzeugmaschinen 

und Fertigungseinrichtungen (ISW), Universität Stuttgart 

25.01.2010 

1




Echtzeitsimulation (Online-Simulation) 

Motivation 

Komponentenbasierte 

Modellierung 

Modellreduktion 

Modulare Integration 

Zusammenfassung + 

Ausblick 

• Linearachse 

• Sensorloses Überwachungssystem: 

Realisieren von 

Sicherheitssystemen 

Überwachung von 

Restlaufzeiten 

• Weiterverarbeitung zu 

höherwertigen Informationen 

• Ereignis- und zeitabhängige Regelung 

von Schwingungen 

• Hardware-in-the-Loop Simulation 

Quelle: 

Günther Pritschow, Sascha 

Röck: „“Hardware in the Loop” 

Simulation of Machine Tools“. 

CIRP Annals - Manufacturing 

Technology, Volume 53, Issue 1, 

2004, S. 295-298 

ISW, Universität Stuttgart 

ISG, Stuttgart 

• Materialflussapplikation 

• Optimierung des Teiledurchsatzes 

• Aufstauen von Material vermeiden 

• Mindern der Teilebelastung durch 

ereignis- und zeitabhängige Regelung 

2




Motivation 


Modellierung 




Ausblick 

Echtzeitsimulation (Online-Simulation) 

• Simulation in Echtzeit (im Sinne der 

Steuerungstechnik): 

• Garantierter Zeitdeterminismus 

• Hohe Recheneffizienz 

• Numerische Stabilität 

• Ausreichende Genauigkeit 

• Harte Echtzeitanforderung 

Other-Task 

(e.g. RT-Sim) 

Control-Task 

Steuerungstakt 

t 0 




Lösungsweg 

Motivation 


Modellierung 




Ausblick 


Modellierung 

Einfache Modellierung 


Steigerung der Effizienz 

1 

Α 

1 

Α r 

2 

Α 

2 

Α r 

Quelle: 

S. Röck, S. Hoher, P. Sekler, et 

al: “A New Approach for Realtime 

Simulation of Coupled 

Finite-Element-Models”, CIRP- 

Annals, 2010, PrePrint 

4 


Einsatz paralleler 

Rechnerarchitekturen 

möglich 

+




Lösungsweg 

Motivation 


Modellierung 




Ausblick 


Modellierung 


1 

Α 

1 

Α r 

2 

Α 

2 

Α r 


5 

+




Komponentenbasiertes Modellieren 

Motivation 


Modellierung 


• Unabhängiges Modellieren der Teilsysteme 

• Kopplung der Teilsysteme über die Ein- und Ausgänge 

der Teilsysteme auf Simulatorebene 



Ausblick 

Teilmodell 1 mit Finite- 

Elemente-Ansatz: 

•~30 000 Elemente, 

•1 000 Eingänge, 

•2 000 Ausgänge. 

Teilmodell 2 mit Finite- 

Elemente-Ansatz: 

•~200 000 Elemente, 

•500 Eingänge, 

•1 000 Ausgänge. 

6




Dynamische Teilkomponenten 

Motivation 


Modellierung 




Ausblick 

• Gleichung eines Teilsystems im Zustandsraum 

x 

( t ) f(t 

, x( 

t ), u( 

t )), x( 

t 

0) 

x0, 

: 

y( 

t ) g(t 

, x( 

t ), u( 

t )) 

mit 

• Zustandsvektor 

• Eingangsvektor 

• Ausgangsvektor 

x( 

t ) 

u( 

t ) 

y( 

t ) 

R 

R 

n 

m 

R 

, 

, 

p 

. 

u (t ) 

y(t ) 

7




Vereinfachungen 

Motivation 


Modellierung 




Ausblick 

• Linearer Ansatz für die Finite-Elemente 

Lineares, zeitinvariantes Modell 

• Vereinfachtes lineares Zustandsraummodell 

( 

t ) Αx( 

t ) Bu( 

t ), x( 

t ) x , 

: 

x 

0 0 

y( 

t ) Cx( 

t ) Du( 

t ) 

mit 

• Systemmatrix A 

• Eingangsmatrix B 

• Ausgangsmatrix C 

• Durchgangsmatrix 

R n n , 

R n m , 

R p n , 

D R p m . 

8




Beispiel: Teilmodell Arm 

Motivation 


Modellierung 




Ausblick 

Quelle: 

[KüS00] Kübler, R., Schiehlen, 

W., 2000: „Two Methods of 

Simulator Coupling“. 

Mathematical and Computer 

Modelling of Dynamical 

Systems, Volume 6, Number 2, 

p. 93-113. 

• Für das FE-Teilmodell des Arms 

ergibt sich: 

• Zustände n = 360000, 

• Eingänge m = 1000, 

• Ausgänge p = 2000, 

• Durchgangsmatrix D = 0. 

• D = 0 wichtig, damit bei der späteren modularen 

Simulation keine algebraischen Schleifen entstehen! 

[KüS00] 

• Anzahl der Zustände n sehr hoch: 

• hoher Rechenaufwand, 

• hoher Speicherbedarf. 

9




Lösungsweg 

Motivation 


Modellierung 




Ausblick 


Modellierung 


1 

Α 

1 

Α r 

2 

Α 

2 

Α r 


10 

+




Einleitung 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 

Balancierte Red. 



Ausblick 

Zusammenfassung: 

A. C. Antoulas: Approximation 

of Large-scale Dynamical 

Systems, Cambridge University, 

Press, 2005 

• Problem: 

• Aufwand für eine transiente Analyse sehr hoch, da Teilmodelle 

sehr viele Zustände besitzen (Speicherbedarf, 

Rechenoperationen) 

• Idee: 

• Systemverhalten durch eine geringe Anzahl an aussagekräftigen 

Zustände approximieren 

• Ergebnis: 

• Weniger benötigte Simulationszeit durch reduzierte Teilmodelle 

anstatt der Originalmodelle 

klasische Modellreduktion für lineare Systeme 

• Modale Modellreduktion [Davison, Chidambara, Litz], 

• Balancierte (Singuläre Werte-Zerlegung basierte) 

Modellreduktion (auch für nichtlineare Systeme…) *Moore, 

Antoulas], 

• Krylov-basierte Modellreduktion [Lanczos, Arnoldi, Antoulas]. 

11




Allgemeine Ziele 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

• Einfache und möglichst automatisierte Generierung 

von reduzierten Modellen 

• Erfüllt die gewünschte Fehlerschranke für alle 

zulässigen Eingangssignale: 

• Berechenbare globale Fehlerabschätzung im Zeitbereich 

• Erhält die physikalischen Systemeigenschaften: 

• Stabilität (Pole in der linken Halbebene), 

• Phasenminimum (Nullstellen in der linken Halbebene), 

• Passitivität („System erzeugt keine Energie“). 

12

Motivation 


Modellierung 




Ziel von Modellreduktion (aus systemtheoretischer 

Sicht) 

• Originalsystem 

• Modellreduziertes 

System 


Einleitung 

Modale Red. 

: 

x ( t ) 

y( 

t ) 

Αx( 

t ) 

Cx( 

t ) 

Bu( 

t ), 

Du( 

t ). 

r 

: 

x 

y 

r 

r 

( t ) 

( t ) 

Α 

C 

r 

r 

x 

x 

r 

r 

( t ) 

( t ) 

B 

r 

u( 

t ), 

D u( 

t ). 

r 




Ausblick 




x( 

t ) 

u( 

t ) 

y( 

t ) 

R 

R 

R 

n 

m 

p 

, 

, 

. 




• q




Motivation 


Modellierung 


14 

Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

Erste Recherchen zur Modellreduktion 

Bewertungskriterien 

Modale 

Reduktion 

Balancierte 

Reduktion 

Krylov-basierte 

Reduktion 

Globale Fehlerabschätzung möglich -- ++ -- 

Erhaltende Stabilität ++ ++ -- 

Hinweise auf günstige Ordnung des ++ ++ -- 

reduzierten Systems 

Invariant bezüglich verschiedener ++ ++ -(+) 

Darstellungen des Originalmodells 

Stationäre Genauigkeit - (++) - (++) + 

Reduktionsgrad unabhängig von der ++ ++ -- 

Anzahl der Ein- und Ausgänge 

Berechnung einfach und numerisch - - + 

robust 

Geeignet für Systeme hoher Ordnung - - ++ 

Erweiterungen auf nichtlineare -- + o 

Systeme 

Unterstützung in Matlab (Toolboxen) + ++ -- 

Gesamtbewertung o + - 

Legende: ++ hervorragend, + gut, o neutral, - schlecht, --ungenügend




Modale Reduktion 

Motivation 


Modellierung 


Quelle: 

Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

L. Litz: Reduktion der Ordnung 

linearer Zustandsraummodelle 

mittels modaler Verfahren, 

Stuttgarter Hochschulverlag, 

1979 

• Idee: 

• Transformation der Systemgleichungen auf Diagonalform und 

Abschneiden der nicht dominanten Moden 

• Vorteile: 

• Stabile Originalmodelle erzeugen stabile reduzierte 

Teilmodelle 

• Die Behandlung instabiler Teilsysteme ist in einfacher Weise 

möglich 

• Die Transformation auf Diagonalform erhält man anhand 

einfach zu programmierender, geschlossener Formeln 

• Es besteht keinerlei Einschränkung bezüglich der Anzahl der 

Ein- und Ausgänge 

• Das System reduzierter Ordnung liefert Näherungswerte für 

alle Zustandsvariablen des Originalsystems 

15




Vorgehensweise (1. Schritt) 

Motivation 


Modellierung 


Quelle: 

Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

Röck S., Pritschow, G., 2007: „Realtime 

Capable Finite Element Models 

with Closed-Loop Control: A Method 

for Hardware-in-the-Loop 

Simulation of Flexible Systems“, 

Production Engineering, Volume 1, 

Number 1, p. 37-43. 

• (i) Ähnlichkeitstransformation auf Diagonalform: 

x Vz, 

V 

z 

y 

• Für mehrfache Eigenwerte siehe [Röck] 

Beispiel: 

1 

V 

AV z 

CV ˆ 

z, 

D D. 

Cˆ 

Aˆ 

span( v 

1 

V 

Bu, 

Bˆ 

1 

, , 

v 

n 

), v 

* * * 

* 0 0 

* * 

A 

ˆ 

0 * 

A 

* 

0 

* * * 

0 0 * 

i 

Eigenvektor i 

16





Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

• Nach absteigenden Diagonalelementen (Eigenwerte) 

sortieren. 

Beispiel: 

* 

1 

ˆ 

0 * ~ 0 

2 

 

A A 

mit 

1 2 

 

n. 

0 

0 

0 

0 

 

 

0 

0 

* 

0 

0 

 

 

0 

0 

n 

17





Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 

• Zerlegen in wichtiges und unwichtiges Teilsystem: 

• Annahme: Eigenwerte nahe der imaginären Achse 

beeinflussen die transiente Simulation wesentlich. 

• Eigenwerte nahe der imaginären Achse werden beibehalten, 

die Andere vernachlässigt. 

Quelle: 

E.J. Davison: A Method for 

Simplifying Linear Dynamic 

Systems, IEEE Transactions on 

Automatic Control, 1966, S. 93- 

101 

18 




Ausblick 

Beispiel: 

z 

z 

 

z 

g 

 

 

1 

g 

z n 

1 

1 

0 

0 

 

0 

0 

0 

g 

 

 

g 1 

0 

0 

0 

 

0 

0 

n 

z 

~ 

b 

T 

1 

 

~ 

b 

~ T 

b 

T 

g 

g 1 

 

~ 

b 

T 

n 

u





Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 


Beispiel (Fortsetzung): 

z 

z 

1 

2 

~ 

A 

~ 

A 

11 

21 

~ 

A 

~ 

A 

12 

22 

z 

z 

1 

2 

~ 

B 

~ 

B 

1 

2 

u 

~ ~ 

z 

1 

A1 

z11 

B1u 

Reduziertes, 

dominantes 

Teilsystem 



Ausblick 

~ ~ 

z 

2 

A22z2 

B2u 

Rest 

19




Probleme und Fragen 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 



• 1.) Sind die betragsmäßig kleinsten Eigenwerte 

tatsächlich die wichtigsten? 

• 2.) Für unendliche Zeit geht die Lösung nicht gegen 

die des Originalsystems (stationär ungenau)! 

• 3.) Können die abgeschnitten Zustände zumindest 

näherungsweise rekonstruiert werden (physikalische 

Bedeutung)? 


Ausblick 

20

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 






Sind die größten Eigenwerte tatsächlich die 

wichtigsten? 

• Nicht unbedingt! 

• Werden die Anregung durch den Eingang (Steuerbarkeit) 

und die Sichtbarkeit im Ausgang (Beobachtbarkeit) 

berücksichtigt, können andere Eigenwerte wichtiger 

werden. 

Dominanzbegriff nach Litz! 

• Vorüberlegung: 


Ausblick 

Quelle: 

L. Litz: Reduktion der Ordnung 

linearer Zustandsraummodelle 

mittels modaler Verfahren, 

Stuttgarter Hochschulverlag, 

1979 

21




Dominanzbegriff nach Litz 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 


i. Normierungswert bestimmen: 

ii. 

i 

max(abs( y 

1,..., 

y 

ip 

)). 

i 

Dominanz des k-ten Zustands von dem j-ten Eingang 

auf den i-ten Ausgang bestimmen: 

d 

ikj, normiert 

~ 

c 

ik 

~ 

b u 

kj 

i k 

j max 

, 

 

d 

ikj, normiert 

d 

ikj, normiert 

~ 

a ( 

ij 

k 

). 



Ausblick 

iii. 

iv. 

Dominanzmaße bestimmen: 

m 

s 

k 

k 

max( d 

ij 

ij 

( d 

ikj ,normiert 

ikj, normiert 

), 

), 

 

m 

 

s 

k 

k 

 

max( d 

ij 

 

( d 

ij 

ikj ,normiert 

ikj, normiert 

Zerlegen in Teilsysteme jetzt nach Dominazmaß 

) 

) 

22




Dominanzbegriff nach Litz 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

• 1. Kriterium 

• Die bezüglich der Steuer-/ Beobachtbarkeit 

dominaten Eigenwerte 

k 

sind diejenigen mit 

den höchsten Maßen m , . 

• 2. Kriterium 

k 

s k 

• Die bezüglich des Übertragungsverhaltens 

dominaten Eigenwerte k sind diejenigen mit 

den höchsten Maßen 

m , 

. 

k 

s k 

23

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 





Für unendliche Zeit geht die Lösung nicht gegen die 

des Originalsystems (stationär ungenau)! 

• Ja, aber: 

• Durch weitere systemtheoretische Überlegungen kann auch 

dieses Problem behoben werden! 

• Beispiel: Impulsantwort Rack of STM (Quelle: ITM, s. 

links) 



Ausblick 

Quelle: 

A. Held und J. Fehr : Krylov- 

Unterraum Reduktionsverfahren zur 

systematischen Gewinnung von 

elastischen Ansatzfunktionen 

flexibler Körper, Interdisziplinäres 

Seminar „Model Reduction“, 

Exzellenzcluster SimTech, Universität 

Stuttgart, 2009 

24




Stationäre Genauigkeit (Algorithmus nach Matlab) 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

• System geordnet nach Dominanz: 

z 

z 

y 

1 

2 

~ 

C1 ~ z Du. 

C 

2 

~ 

A 

~ 

A 

11 

21 

~ 

A 

~ 

A 

12 

22 

• Stationäre Lösung von Teilsystem 2: 

~ 

A 

~ 

A 

z 

z 

1 

2 

~ 

B u 

21z1 

22z2 

2 

0 

• Stationär genaue Lösung, Modal reduziert: 

z 

1 

y 

~ 

( A 

~ 

( C 

11 

1 

~ ~ 1 ~ 

A12A22 

A21) 

z 

~ ~ 1 ~ 

C A A ) z 

2 

22 

21 

1 

1 

~ 

B 

~ 

B 

. 

1 

2 

u, 

~ ~ 

( B1 

A 

~ ~ 

( D C A 

2 

12 

1 

22 

~ 

A 

~ 

A 

1 

22 

21 

) u, 

~ 

B ) u. 

2 

25




Probleme und Einschränkungen 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

• Einschränkungen: 

~ 

A 

• muss invertierbar sein. 

22 

• Probleme: 

• D 0, 

• Direkter durchgriff des Eingangs auf den Ausgang. 

Algebraische Schleifen 

Sehr schlecht für transiente Simulation! 

• Aber: Anderer Algorithmus für Stationäre Genauigkeit 

nach [Guth] vorhanden! 

26




Stationäre Genauigkeit (Algorithmus nach Guth) 

Motivation 


Modellierung 


27 

Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

Quelle: 

R. Guth: Stationär genaue 

Ordnungsreduktion balancierter 

Zustandsraummodelle, at – 

Automatisierungstechnik, 39, S. 

286-290, 1991 

• System geordnet nach Dominanz: 

z 

z 

y 

1 

2 

~ 

C1 ~ z Du. 

C 

2 

~ 

A 

~ 

A 

11 

21 

~ 

A 

~ 

A 

12 

22 

• Stationäre Lösung des Gesamtsystems: 

z 

L 

L 

1 

2 

~ 

A 

• Stationär genaue Lösung nach Guth, Modal reduziert: 

z 

1 

y 

1 

L 1 

~ 

A 

~ 

( C 

11 

1 

z 

1 

L 

~ 

A 

• ist Pseudoinverse 

( 

2 

L 

1 

1 

1 

11 

) z 

z 

z 

1 

2 

~ 

B u 

1 

. 

1 

2 

L ) u, 

. 

~ 

B 

~ 

B 

1 

2 

u,

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 




Können die abgeschnitten Zustände zumindest 

näherungsweise rekonstruiert werden ? 

• Ja, auch das ist möglich. 

• Idee: 

• Approximation der abgeschnittenen Zustände aus den 

berechneten Zuständen: 

~ z Ez 

2 

mit 

ε 

folgt 

J 

EA 

1 

z ~ 

2 

z2 

0fürt 

. 

2 

ε j 

dt 

1 ~ ~ 1 

B1 

A2 

B 2 

min, 

~ 

0. 

28




Vorgehensweise für Modale Reduktion 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

i. Transformation auf Diagonalform 

ii. 

iii. 

iv. 

Bestimmen der Dominanzmaße nach Litz 

Neuordnung entsprechend der Dominanzmaße 

Zerlegen des Gesamtsystems in dominantes und 

nichtdominantes System 

v. Korrektur des stationären Fehlers 

vi. 

Evtl. Rekonstruktion der vernachlässigten Zustände 

29




Modale Reduktion in Matlab 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

• Matlab-Befehl: 

• sys_red = modred(sys, elim_states, method_sg). 

• Achtung: 

• Keine automatische Bestimmung der Dominanzmaße 

möglich 

• Stationäre Genauigkeit nach Matlab 

• Benötigt Control System Toolbox 

30




Balancierte Reduktion 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 


• Idee: 

• Betrachtung der Energie, die zwischen Eingang und Ausgang 

benötigt wird. 

• Möglichst die Zustände vernachlässigen, die viel Energie 

benötigen um erreicht zu werden. 

• Möglichst die Zustände vernachlässigen, die bei der 

Beobachtung nur wenig Energie sichtbar machen. 



Ausblick 

• Vorteile: 

• Ähnlich wie bei modaler Reduktion, aber: 

• Globaler Fehler durch Reduktion ist abschätzbar. 

31




Energiebetrachtung im Eingang 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

• Definition: Vollständige Erreichbarkeit 

• Es existiert eine Steuerfunktion u(t) mit der das System aus 

dem Anfangszustand x(0)=0 in einen beliebigen Zustand 

x(T)=x 0 überführt werden kann Vollständig Erreichbar 

• Lösung: 

Gramsche Erreichbarkeitsmatrix ist regulär: 

P( 

T ) 

T 

0 

t 

e 

A BB 

T 

e 

T 

A t 

dt . 

• Praktische Berechnung über Ljapunov-Gleichung: 

AP( 

T ) 

A 

T 

P( 

T ) 

e 

T 

A T 

BB 

T 

e 

T 

A T 

BB 

T 

. 

32




Energiebetrachtung im Eingang 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

• Möglichst die Zustände vernachlässigen, die viel 

Energie benötigen um erreicht zu werden. 

• Minimierung der aufzuwendenden Energie: 

J 

0 

-T 

u 

• Lösung: 

T 

( t ) u( 

t )dt 

min 

Optimale Steuerfunktion: 

u 

opt 

T A t 1 

( t ) B e P ( T ) x0. 

Minimum aufzubringender Energie: 

J 

opt 

T 1 

( t ) x0 

P ( T ) x0. 

T 

Große Eigenwerte der Erreichbarkeitsmatrix P sind mit 

kleinem Energieaufwand beeinflussbar 

Große Eigenwerte sind gut erreichbar 

33




Energiebetrachtung im Ausgang 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

• Analog zur vollständigen Erreichbarkeit 

• Lösung: 

Gramsche Beobachtbarkeitsmatrix ist regulär: 

Q( 

T ) 

T 

0 

e 

At 

C 

T 

C e 

dt . 

• Praktische Berechnung über Ljapunov-Gleichung: 

AQ( 

T ) 

A 

T 

Q( 

T ) 

• Sichtbare Energie am Ausgang: 

T 

y 

T 

( t ) y( 

t )dt 

T 

0 

0 

T 

A t 

x 

T 

0 

e 

e 

T 

A T 

T 

A t 

C 

T 

C 

T 

Ce 

C e 

At 

x 

T 

A T 

0 

dt 

C 

x 

T 

C. 

T 

0 

Q( 

T ) x 

0 

34 

Große Eigenwerte der Beobachtbarkeitsmatrix Q 

beeinflussen den Ausgang stark. 

Große Eigenwerte sind gut beaobachtbar.

Motivation 


Modellierung 


35 

Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 




Transformationseigenschaften der Gramschen 

Matrizen 

• Das gegeben Teilmodell wird über eine beliebige 

Ähnlichkeitstransformation transformiert: 

x Vz, 

z 

1 

V 

AVz 

Aˆ 

1 

V 

Bu, 

y 

• Für die Gramschen Matrizen folgt analog: 

Pˆ 

Qˆ 

• Daraus folgt für die Eigenwerte: 

i 

i 

VPV 

VQV 

( Pˆ ) 

( Qˆ ) 

T 

T 

i 

i 

, 

. 

( P), 

( Q). 

Bˆ 

CV ˆ 

z, 

D D. 

Energiebetrachtung abhängig von Systemdarstellung 

Sinnfrei für mögliche Modellreduktion!!! 

Cˆ




Balancierte Darstellung 

Motivation 


Modellierung 


Quelle: 

Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

B. C. Moore: Principal 

Component Analysis in Linear 

Systems: Controllability, 

Observability, and Model 

Reduction. IEEE Trans. Automat. 

Comtr. 26, (1981), p. 17-32. 

• Eigenwerte der Kombination von P und Q: 

( Pˆ 

Qˆ) 

( PQ). 

i 

i 

Grundgedanke von [Moore]: 

• Finden eines Koordinatensystems in dem jeder Zustand 

gleich gut erreichbar wie beobachtbar ist: 

Pˆ 

PQ ˆ ˆ 

i 

Qˆ 

diag( 

i 

diag( 

2 

i 

( PQ) 

), 

i 

( PQ ˆ ˆ ). 

• In diesem Fall ist das System balanciert. 

), 

i 

(Singuläre Werte) 

• Dann diejenigen Zustände eliminieren, die schlecht 

erreichbar wie beobachtbar sind (niedrige singuläre Werte ). 

36





Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

• Finden der Ähnlichkeitstransformation auf 

balancierte Darstellung: 

x Vz, 

V Trafo auf balancierte Darstellung 

z 

y 

• Ermitteln von V mittels 

• Schur-Methode, 

• Square-Root-Methode, 

• viele weitere… 

• Achtung: 

1 

V 

AVz 

CV ˆ 

z, 

D D. 

Cˆ 

Aˆ 

1 

V 

Bu, 

Bˆ 

• System muss vollständig steuerbar und beobachtbar sein 

37




Vorgehensweise (1.Schritt) 

Motivation 

Beispiel: 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 

P 

* 

* 

 

* 

* 

* 

 

 

 

 

 

* 

* 

 

* 

* 

x 

Vz 

Pˆ 

VPV 

T 

* 

0 

 

0 

0 

* 

 

 

 

 

 

0 

0 

 

0 

* 

, 




Ausblick 

Q 

* 

* 

 

* 

* 

* 

 

 

 

 

 

* 

* 

 

* 

* 

x 

Vz 

Qˆ 

VQV 

T 

* 

0 

 

0 

0 

* 

 

 

 

 

 

0 

0 

 

0 

* 

, 

A 

* 

* 

 

* 

* 

 

 

 

 

* 

 

* 

x 

Vz 

ˆ 1 

A 

V 

AV 

* 

* 

 

* 

* 

 

 

 

 

* 

 

* 

. 

* 

 

* 

* 

* 

 

* 

* 

38

Motivation 


Modellierung 


39 

Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 





• Nach absteigenden singulären Werte sortieren. 

Beispiel: 

* 0 0 

ˆ 

0 * 

P 

0 

0 

0 0 * 

0 0 

* 0 0 

ˆ 

0 * 

Q 

0 

0 

1 

~ 2 

P 

0 

1 

~ 2 

Q 

0 

 

0 

 

0 

 

n 

0 

 

0 

0 0 * 

0 0 

* * * 

* * * 

ˆ 

* * ~ * * 

A A 

. 

* 

* 

* * * 

* * * 

n 

, 

, 

1 2 

... 

n





Motivation 


Modellierung 


40 

Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

• Zerlegen in energiereiches und energiearmes 

Teilsystem: 

• Unter Zuhilfenahme der Erreichbarkeitsmatrix P ~ 

und der 

Beobachtbarkeitsmatrix Q ~ wird nun ermittelt wie viele 

Zustände energiereich sind. 

• Danach werden analog zur modalen Reduktion zwei 

Teilsysteme gebildet. 

~ ~ 

z 

1 

A1 

z11 

B1u 

Reduziertes, 

energiereiches 

~ ~ ~ 

Teilsystem 

z 

1 A A z 

11 12 1 B1 

~ ~ ~ u 

z 

A A z B 

2 

21 

22 

2 

2 

~ ~ 

z 

2 

A22z2 

B2u 

Rest




Probleme und Fragen 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 



• 1.) Ist eine globale Fehlerschätzung möglich und wie 

berechne ich diese? 

• 2.) Für unendliche Zeit geht die Lösung nicht gegen 

die des Originalsystems (stationär ungenau)! 

• 3.) Können die abgeschnitten Zustände zumindest 

näherungsweise rekonstruiert werden (physikalische 

Bedeutung)? 


Ausblick 

41

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 




Ist eine globale Fehlerschätzung möglich und wie 

berechne ich diese? 

• Ja, eine Fehlerschätzung ist möglich! 

• Bei der balancierten Reduktion ist eine Fehlerabschätzung 

über die singulären Werte möglich: 

G 

G,G r 

G r 

2, 

2 

i 

n 

g 

1 

i 

Tol, 

y( 

t ) yr ( t ) Tol u( 

t ) 

• sind die Übertragungsfunktionen des Originalsystems 

und des reduzierten System. 

 

42




Für unendliche Zeit geht die Lösung nicht gegen die 

des Originalsystems (stationär ungenau)! 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

• Kein Problem! 

• Für die Problemlösung gilt dieselbe Vorgehensweise wie bei 

der modalen Reduktion. 

Modale Red. 




Ausblick 

43




Können die abgeschnitten Zustände zumindest 

näherungsweise rekonstruiert werden? 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

• Aber natürlich! 

• Für die Problemlösung gilt dieselbe Vorgehensweise wie bei 

der modalen Reduktion. 

Modale Red. 




Ausblick 

44




Vorgehensweise für Balancierte Reduktion 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 




Ausblick 

i. Ermitteln einer balancierten Systemdarstellung 

ii. 

iii. 

iv. 

Ausführen der Ähnlichkeitstransformation 

Ermitteln der energiereichen Zustände 

Neuordnung entsprechend der Energiemaße 

v. Zerlegen des Gesamtsystems in energiereiches und 

energiearmes System 

vi. 

Korrektur des stationären Fehlers 

vii. Evtl. Rekonstruktion der vernachlässigten Zustände 

45




Balancierte Reduktion in Matlab 

Motivation 


Modellierung 


Einleitung 

Modale Red. 



• Matlab-Befehl: 

• sys_red = reduce(sys, order). 

• Achtung: 

• Stationäre Genauigkeit nach Matlab 

• Benötigt Robust Control Toolbox 

• Sehr einfach! 


Ausblick 

46




Lösungsweg 

Motivation 


Modellierung 




Ausblick 


Modellierung 


1 

Α 

1 

Α r 

2 

Α 

2 

Α r 


47 

+





Motivation 


Modellierung 




Ausblick 

Physikalische 

Modellebene 

Mathematische 

Modellebene 

Integrativ gekoppelte 

Systembeschreibung 

integrative Kopplung 

(auf Modellebene) 

Separativ gekoppelte 

Systembeschreibung 

Diskrete Modellebene 

separative Kopplung 

(auf Simulatorebene) 

48





Motivation 


Modellierung 


a) Variante 1: 

Simulationszeit 

Zykluszeit 

Gesamtsystem 

(bestehend aus Teilsystemen ) 


Integration 

Ausgabe 

Integration 

Ausgabe 


Ausblick 

b) Variante 2: 

Teilsystem 

Integration 

Ausgabe Integration Ausgabe 

Quelle: 

[KüS00] Kübler, R., Schiehlen, 

W., 2000: „Two Methods of 

Simulator Coupling“. 

Mathematical and Computer 

Modelling of Dynamical 

Systems, Volume 6, Number 2, 

p. 93-113. 

Teilsystem 

Integration 

Reale Zeit 

Ausgabe 

Integratio 

n 

Ausgabe 

49





Motivation 


Modellierung 



1 2 


Ausblick 

+ 

d 

1 

d 

d 

x 

d x 

 

d 

r 

d x 

1 

50




Beispiel: Mechanik einer SGM 

Motivation 


Modellierung 




Ausblick 

51




Motivation 


Modellierung 




Ausblick 

• Zusammenfassung 

• Vorgehensweise an Beispiel „Schwingarm“ 

• Vorgehen „Modale Reduktion“ 

• Eigenschaften „Modale Reduktion“ 

• Vorgehen „Balancierte Reduktion“ 

• Eigenschaften „Balancierte Reduktion“ 

• Ermittlung mit Matlab 

• Ausblick 

• Anwenden für Partielle Differentialgleichungen 

(Materialfluss) 

52

PDF-Folien, 2MB - Institut fÃ¼r Angewandte Analysis und Numerische ...

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