Die Genauigkeit der Chain Ladder Reserve für ein Portfolio mit ...

Der Prognosefehler des Chain-Ladder- 

Verfahrens bei korrelierten 

Abwicklungsdreiecken 

Dr. Christian Braun 

23.Juni 2006

Inhalt 

1. Einführung 

2. Der Prognosefehler der Reserve im Chain-Ladder-Modell 

3. Beispiel 

4. Vorteile der vorgestellten Verfahren und Schlußbemerkungen 

Der Prognosefehler des Chain-Ladder-Verfahrens bei korrelierten Abwicklungsdreiecken 

2

Einführung 

3

Bestimmung der IBNR-Reserve für ein Portfolio 

• Aufteilung des Portfolios in Segmente mit homogenen 

Abwicklungsverhalten 

• Schätzen der IBNR-Reserve für die einzelnen Segmente mit aktuariellen 

Verfahren 

• Schätzen der IBNR-Reserve des Portfolios durch Addition der geschätzten 

IBNR-Reserven der Segmente 

Was ist die Unsicherheit dieser geschätzten Schadenreserve für das 

Portfolio? 

(für Management, Sicherheitszuschläge, Fair-Value Betrachtungen) 


4

Wie stellt sich das Problem für den Aktuar dar? (1) 

• Reserve eines Segments: 

R i 

• Reserveschätzer eines Segments: 

Rˆi 

• Prognosefehler für den Reserveschätzer eines Segments: 

E(( 

Rˆ 

i 

− R i 

) 

2 

) 


5


• Reserve des Portfolios: 

R 

1 

+K+ R n 

• Reserveschätzer des Portfolios: 

R 

ˆ1 

+K+ 

ˆ 

R n 

• Prognosefehler des Reserveschätzers: 

E(( 

∑ 

R − Rˆ 

2 

= R − Rˆ 

2 

) ) E(( ) ) + E(( R − Rˆ 

)( R − Rˆ 

)) 

i 

∑ 

i 

∑ 

i 

i 

∑ 

i≠ 

j 

i 

i 

j 

j 

Prognosefehler der 

Segmente ? 


6


In den Prognosefehler des Portfolios gehen die Korrelationen der Reserven 

R 

i 

und deren Schätzer 

Rˆ 

untereinander und miteinander ein 

j 

Diese können 

• passend zum Portfolio und 

• passend zum gewählten Schätzverfahren 

aus den Daten bestimmt werden. 


7

Der Prognosefehler der Reserve im Chain-Ladder- 

Modell 

Betrachtung für ein Segment 

8

Datenbasis 

• Abwicklungsdreieck der kumulierten Schadenbeträge, bekannt für i+k

Das Modell von Mack 

(CL1) 

(CL2) 

E( F 

ik 

| C 

i1 

,..., C 

Die Anfalljahre 

i, 

k −1 

) 

f 

{ C ,..., C } 

i1 

= 

k 

, 1 ≤ i ≤ n , 2 ≤ k ≤ n 

in 

, 1 ≤ i ≤ n , sind global unabhängig 

(CL3) 

Var( F 

ik 

| C 

i1 

,..., C 

i, 

k −1 

) 

= 

C 

σ 

2 

k 

i, 

k −1 

, 

1 ≤ 

i 

≤ 

n 

, 

2 

≤ 

k 

≤ 

n 


10

Schätzen des Ultimates 

• Mittlerer Abwicklungsfaktor 

fˆ 

k 

: = 

n+ 

1−k 

∑ 

i= 

1 

w F 

i 

ik 

mit 

w 

i 

: = 

C 

i, 

k −1 

n+ 

1−k 

∑ 

j= 

1 

C 

j, 

k −1 

, 

2 

≤ 

k 

≤ 

n 

Ultimate C in wird rekursiv geschätzt 

Cˆ 

ik 

= 

⎧ C 

⎪ 

⎨ 

⎪ ˆ 

⎩C 

i, 

k −1 

i, 

n+ 

1−i 

⋅ 

fˆ 

k 

, 

, 

k ≤ n + 1-i 

n + 1-i 

< k ≤ 

n 


11

Prognosefehler für ein Segment 

Prognosefehler 

ˆ 

ˆ 2 

mse( C ) : = E(( C − C ) ) ≈ Var( C ) + 

in 

in 

in 

in 

Var( Cˆ 

in 

) 

Zufallsfehler 

Schätzfehler 


12

Rekursionen für die Varianzschätzer 

• Zufallsfehler 

∧ 

Var( C 

ik 

) 

= 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

∧ 

⎪ 

⎩Var( 

C 

i, 

k −1 

) ⋅ 

0 

fˆ 

2 

k 

+ Cˆ 

i, 

k −1 

⋅ ˆ σ 

2 

k 

, 

, 

k ≤ n + 1-i 

n + 1-i 

< k 

≤ 

n 

• Schätzfehler 

∧ 

Var( 

Cˆ 

ik 

) 

= 

⎧ 

⎪ 

⎪ 

⎨ 

∧ 

Var( ˆ 

⎪ C 

⎪ 

⎩ 

i, 

k −1 

) ⋅ 

fˆ 

2 

k 

+ 

0 

Cˆ 

2 

i, 

k −1 

∑ 

n + 1 − k 

C 

j= 

1 

j, 

k −1 

⋅ ˆ σ 

2 

k 

, 

, 

k ≤ n + 1-i 

n + 1-i 

< k 

≤ 

n 


13

Rekursionen für die Fehlerschätzer 

• Prognosefehler für ein Anfalljahr 

∧ 

mse( Cˆ 

ik 

) 

= 

∧ 

mse( Cˆ 

⎛ 

⎜ 

ˆ σ 

⋅ 

⎜ ˆ 

⎝ Ci, 

k 

2 2 

⋅ ˆ 2 

+ ˆ 2 k 

ˆ σ k 

i , k −1) 

fk 

Ci, 

k −1 

+ 

ˆ −1 

C< 

, k −1 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

• Prognosefehler für alle Anfalljahre zusammen 

∧ ⎛ 

mse⎜ 

⎜ 

⎝ 

n 

∑ 

Cˆ 

ik 

i= 

n+ 

2−k 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

= 

∧ ⎛ 

mse⎜ 

⎜ 

⎝ 

n 

∑ 

Cˆ 

i, 

k −1 

i= 

n+ 

2−( 

k −1) 

⎞ 

⎟ ⋅ 

⎟ 

⎠ 

fˆ 

2 

k 

+ Cˆ 

2 

≥, 

k −1 

⎛ 

⋅⎜ 

⎜ 

⎝ 

ˆ σ 

Cˆ 

2 

k 

≥, 

k −1 

+ 

ˆ σ 

Cˆ 

2 

k 

< , k −1 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 


14

Der Prognosefehler der Reserve im Chain-Ladder- 

Modell 

Betrachtung für ein Portfolio mit korrelierten Segmenten 

15

Portfolio 

• Portfolio mit zwei korrelierten Segmenten (oBdA) 

• Die kumulierten Schadenbeträge seien C ik und D ik 

• Die individuellen Abwicklungsfaktoren seien ik und 

• Schätzer für Ultimate-Schadenbetrag: 

F 

Cˆ + ˆ 

in D in 

Gik 

• Prognosefehler 

mse( C ˆ + Dˆ 

) ≈ Var( C + D ) + Var( Cˆ 

+ 

in 

in 

in 

in 

in 

Dˆ 

in 

) 

• Zufallsfehler 

Var( 

C + D ) = Var( C ) + 2Cov( C , D ) + 

in 

in 

in 

in 

in 

Var( D 

in 

) 

Modellannahme? 


16

Kovarianzannahme 

• Analog zur Varianzannahme (CL3) 

Var( F 

ik 

) 

= 

C 

σ 

2 

k 

i, 

k −1 

Var( G 

ik 

) 

= 

D 

τ 

2 

k 

i, 

k −1 

Cov( F 

ik 

, G 

ik 

) 

= 

C 

ρ 

k 

i, 

k −1 

D 

i, 

k −1 

⇒ Corr( F 

ik 

, G 

ik 

) 

= 

Cov( F 

Var( F 

ik 

ik 

, G 

ik 

) 

)Var( G 

ik 

) 

= 

σ 

ρ 

k 

k 

τ 

k 

= ψ 

k 


17

Rekursionen für die Covarianzschätzer (1) 

• Covarianz der Schadenstände (für k=n+1- i,...,n und 0 sonst) 

∧ 

Cov( 

C 

ik 

, D 

ik 

) 

∧ 

= Cov( C 

ˆ ˆ ˆ 

i, k −1, 

Di, 

k −1) 

⋅ f ˆ + i, 

k −1 

i, 

k −1 

⋅ ˆ 

k 

gk 

C D ρk 

• Covarianz der Schätzer (für k=n+1- min(i,j),...,n und 0 sonst) 

∧ 

Cov( Cˆ 

ik 

, Dˆ 

jk 

) 

= 

∧ 

Cˆ 

ˆ n 1 

Cov( ˆ , ˆ ) ˆ i, 

k −1D 

j, 

k −1 

− 

C , 1 , 1 

ˆ 

∑ i k − D j k − ⋅ fk 

gk 

+ 

C D 

< , k −1 

< , k −1 

+ m= 

1 

k 

C 

m, 

k −1 

D 

m, 

k −1 

⋅ ˆ ρ 

k 


18

Wie lässt sich die Kovarianzannahme überprüfen? 

Residuen aller Entwicklungsjahre 


19

Beispiel 

20

Beispiel: Ein Portfolio mit fünf Segmenten 

• Das Portfolio besteht aus fünf US-Haftpflichtsegmenten. 

• Die Daten sind derart skaliert, dass sich für jedes Segment eine Chain-Ladder- 

Reserve von 1000 USD ergibt. 

• Die Korrelationen zwischen den Segmenten betragen zwischen 0.18 und 0.56 

(geschätzt mit dem vorgestellten Verfahren). 


21

Segment 1 des Portfolios 

Loss Ratios 


22

Segment 2 des Portfolios 

Loss Ratios 


23

Ergebnisse 

Ergebnis 

ohne 

Berücksichtigung 

der Korrelation 

nach Aggregation 

der Dreiecke 

Reserve 5.000 5.000 4.332 

Zufallsfehler 399 260 284 

Schätzfehler 504 486 454 

Prognosefehler 643 551 536 


24

Range für den Best Estimate (1) 

Range für den Best Estimate: 4678 - 5359. 

Best Estimate 

3.000 3.400 3.800 4.200 4.600 5.000 5.400 5.800 6.200 6.600 7.000 


25


Range nach einer einzelnen Rechnung auf dem aggregierten Dreieck: 4042 - 4656. 

Best Estimate 

Aggregierte Rechnung 

3.000 3.400 3.800 4.200 4.600 5.000 5.400 5.800 6.200 6.600 7.000 


26


Range mit Schätzfehler aus Einzelrechnung und aufsummierter Reserve: 4708 – 5321. 

Aggregierte Rechnung 

Best Estimate 

3.000 3.400 3.800 4.200 4.600 5.000 5.400 5.800 6.200 6.600 7.000 


27

Range für die Reserven 

Range für die Reserven : 4017 - 6122 

Reserven 

3.000 3.400 3.800 4.200 4.600 5.000 5.400 5.800 6.200 6.600 7.000 


28

Vergleich der Ranges 

Range für die Reserven gegen den Range des Best Estimate 

Best Estimate 

Reserven 

3.000 3.400 3.800 4.200 4.600 5.000 5.400 5.800 6.200 6.600 7.000 


29

Vergleich der Bandbreiten der Reserven 

Range basierend auf dem 

aggregierten Dreieck 

Range für die Reserve 

Fehlerhafte Modellierung liefert 

falsche Ranges 

3.000 3.400 3.800 4.200 4.600 5.000 5.400 5.800 6.200 6.600 7.000 


30

Simulation korrelierter Dreiecke 

Verteilung der geschätzten Korrelation bei tatsächlicher Korrelation 0%. 

E 0,2% 

s.e. 36,1% 

0,03 

0,025 

0,02 

0,015 

0,01 

0,005 

0 

-1 -0,5 0 0,5 1 


31

Simulation korrelierter Dreiecke 

Verteilung der geschätzten Korrelation bei tatsächlicher Korrelation 30%. 

E 28,9% 

0,03 

s.e. 33,9% 

0,025 

0,02 

0,015 

0,01 

0,005 

0 

-1 -0,5 0 0,5 1 


32

Vorteile der vorgestellten Verfahren und 

Schlussbemerkungen 

33

Vorteile der vorgestellten Verfahren 

• Bestimmung der Schadenreserve und ihrer Unsicherheit erfolgt mit einem 

stochastischen Modell. Der Prognosefehler ist also genau der zur 

geschätzten Reserve des Portfolio gehörige. 

• Die Kovarianzannahme ergibt sich als eine natürliche Verallgemeinerung der 

Varianzannahme in den stochastischen Modellen. 

• Die Kovarianzen werden auf der Basis der beobachteten Daten geschätzt. 

Es werden keine Korrelationen angenommen und es sind auch keine 

Simulationen notwendig. 

• Der Prognosefehler für das Portfolio wird unter Verwendung eines 

stochastischen Modells geschätzt, dessen Modellannahmen überprüfbar 

sind. 


34

Schlussbemerkungen 

• Das Verfahren wird bei der Münchener Rück seit 2003 eingesetzt. 

• Vollständige Herleitungen und detailliertes Beispiel sind veröffentlicht: 

C.Braun, „The Prediction Error of the Chain Ladder Method Applied 

to Correlated Run-off Triangles“, ASTIN Bulletin, Vol.34, No.2, 

(siehe Unterlagen). 

• Die Simulationsdaten wurden von Frau Susanne Grohmann zur 

Verfügung gestellt. 


35

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

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