Rajchmans starkes Gesetz der großen Zahlen

ab. Wegen (1) und m 2 ≤ n bleibt daher, (S n − S m 2)/n → 0 f.s. zu zeigen. Das folgt wiederum aus
dem Lemma, denn
wegen
( |Sn − S
È
m 2|
)
≥ ε
n
≤
≤
1
ε 2 n 2
n ∑
j=m 2 +1
Var(X j )
K
ε 2 n 2 (n − m2 ) = O(n −3/2 )
n − m 2 ≤ (m +1) 2 − 1 − m 2 =2m ≤ 2 √ n.
(wie oben)
¾
Satz 1 bleibt samt Beweis für banachraumwertige Zufallsvariable gültig, die unabhängig sind
und Werte in einem Banachraum vom Typ 2 annehmen. Statt der Unkorreliertheit verwendet man
die Typ-2-Abschätzung
( ‖ ∑ X j ‖ 2) ≤ const. ∑ ( ‖X j ‖ 2) ,
falls (X j )=0∀j.
In funktionalanalytischer Sprache kann man Satz 1 so formulieren (es reicht natürlich, daß die
Folge (f n ) orthogonal und L 2 -beschränkt ist):
Satz 2: Sei µ ein beliebiges Maß und (f n ) ⊂ L 2 (µ) ein Orthonormalsystem. Dann gilt
1
n
n∑
f j → 0
j=1
µ-f.ü.
Dieser Satz wurde 1919 von Banach in dessen zweiter Publikation 2 bewiesen! Eine Verschärfung
ist der Satz von Rademacher-Menschow aus dem Jahre 1922:
Satz 3: Ist (f n ) ⊂ L 2 (µ) ein Orthonormalsystem und (a n log n) ∈ l 2 , so konvergiert ∑ ∞
j=1 a jf j
fast überall.
Offensichtlich impliziert Satz 3 für a n = 1 n
mit Hilfe des Lemmas von Kronecker Satz 2. Banachs
Argument beruht übrigens auf einer Vorform von Satz 3, die 1912 von Hobson bewiesen wurde und
die die stärkere Voraussetzung (a n n ε ) ∈ l 2 für ein ε>0 macht; insbesondere ist der Fall a n = 1 n
eingeschlossen. Daraus leitet Banach – ohne das Kronecker-Lemma zu benutzen – Satz 2 ab.
2 S. Banach: Sur la valeur moyenne des fonctions orthogonales. Bull. Intern. Acad. Pol. Sci. Lettres; Classe Sci.
Math. Natur. Sér. A (1919), 66–72; siehe auch Band 1 seiner Gesammelten Werke, S. 40–46.
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