Bezaubernde Mathematik - Freie Universität Berlin

Bezaubernde Mathematik: 

Vortrag zur Langen Nacht der Wissenschaften 

Ehrhard Behrends 

Freie Universität Berlin 

Berlin, 8. 6. 2013 

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Bezaubernde Mathematik. E. Behrends, FU Berlin. 8. 6. 2013

Immer einmal wieder lassen sich mathematische Ergebnisse für einen 

Zaubertrick verwenden. 

Einige Beispiele sollen in diesem Vortrag vorgestellt werden. 

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1. Resteverwertung 

1a) Was passiert? 

Jemand aus dem Publikum gibt eine dreistellige Zahl vor. Die wird 

aufgeschrieben und – damit es etwas schwieriger wird – noch einmal 

daneben geschrieben. So entsteht eine sechsstellige Zahl. Nun wird diese 

Zahl durch 7 geteilt. 

Die Überraschung: Es geht auf! 

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1b) Die Erklärung. Geht man von einer dreistelligen Zahl xyz zu xyz xyz 

über, so ist diese Zahl gerade das Produkt xyz · 1001. Da 1001 durch 7 

teilbar ist (es ist nämlich 1001 = 7 · 11 · 13), bleibt auch kein Rest, wenn 

man xyz xyz durch 7 teilt. 

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1c) Vorschlag für die ” 

Verpackung“. 

Man kann das Teilen und das Ermitteln des Restes erst einmal an 

kleineren Zahlen vorführen. Alle sollen überzeugt sein: Der Rest kann 

irgendetwas zwischen 0 und 6 sein. Und dann kann man versprechen, den 

bei xyz xyz entstehenden Rest in Hundert-Euro-Scheinen auszuzahlen. 

Statt durch 7 kann man auch durch 11 oder durch 13 teilen lassen, doch 

das dürfte bei einer Zaubervorfürung für manche zu anstrengend sein. 

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2. Magische Quadrate 

2a) Was passiert? Es wird ein ” 

magisches Quadrat“ präsentiert. Jemand 

aus dem Publikum sucht sich eine Zahl in diesem Quadrat aus. Sie wird 

umrandet, dann werden alle anderen Zahlen in dieser Zeile und Spalte 

gestrichen. 

Unter den verbleibenden Zahlen wird wieder eine bestimmt. Auch sie wird 

umrandet und alle anderen in der entsprechenden Zeile und der Spalte 

werden gestrichen. Das wird so lange gemacht, bis alle Zahlen umrandet 

oder gestrichen sind. (Bei der letzten muss nur umrandet werden.) 

Die umrandeten Zahlen werden nun addiert. 

Die Überraschung: Man kann das Ergebnis vorhersagen, obwohl man 

vorher nicht weiß, welche Zahlen für das Umranden ausgesucht wurden. 

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Hier ein konkretes Beispiel: Am Ende wird garantiert die Summe gleich 

50 sein. 

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2b) Die Erklärung. Mal angenommen, es soll ein 4 × 4-Quadrat 

entstehen. Dann sucht man sich 4 + 4 = 8 nicht zu große Zahlen und 

berechnet die Summe S. Die wird sich am Ende immer ergeben. (Man 

kann natürlich auch S vorgeben und die 8 Zahlen so wählen, dass sie 

genau diese Summe haben. Für eine Vorführung zum 50-ten Geburtstag 

wäre S = 50 eine naheliegende Wahl.) 

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2b) Die Erklärung. Mal angenommen, es soll ein 4 × 4-Quadrat 

entstehen. Dann sucht man sich 4 + 4 = 8 nicht zu große Zahlen und 

berechnet die Summe S. Die wird sich am Ende immer ergeben. (Man 

kann natürlich auch S vorgeben und die 8 Zahlen so wählen, dass sie 

genau diese Summe haben. Für eine Vorführung zum 50-ten Geburtstag 

wäre S = 50 eine naheliegende Wahl.) 

Diese 8 Zahlen schreibt man neben ein noch leeres 4 × 4-Quadrat, und 

zwar 4 darüber und 4 links von oben nach unten. 

Nun werden alle 4 · 4 = 16 möglichen Summen gebildet und in das 

Quadrat eingetragen. 

Das ist das Quadrat für die Vorführung, die 8 am Anfang gewählten 

Zahlen sind dabei geheim. 

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Wenn nun, wie am Anfang beschrieben, gewählt und gestrichen wird, 

bleiben 4 Zahlen übrig. Und da die alle in verschiedenen Zeilen und 

Spalten stehen, sind bei ihrer Entstehung durch Summenbildung jede der 

8 Anfangszahlen genau enmal verwendet worden. Und deswegen wird die 

Summe exakt gleich S sein. 

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Hier ein ausführliches Beispiel. Wir wollen als Summe den Wert 50 

erreichen, die 8 Zahlen (mit Summe 50) wählen wir als 

2, 9, 3, 5, 10, 15, 2, 4. So starten wir: 

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Wir tragen die Zahlen 2, 9, 3, 5, 10, 15, 2, 4 am Rand ein: 

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Und so entsteht das Quadrat durch Summenbildung: 

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Der erste Durchgang; Zahl wählen, Rest in Zeile und Spalte streichen: 

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Der zweite Durchgang; noch eine Zahl wählen, Rest in Zeile und Spalte 

streichen: 

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Der dritte Durchgang; dritte Zahl wählen, Rest in Zeile und Spalte 

streichen: 

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Nun noch die verbleibende Zahl markieren: 

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Die Summe berechnen: Es ergibt sich wirklich 50 wie vorausgesagt. 

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2c) Die Verpackung. Man kann die ” 

Zielzahl“ in einen für alle sichtbaren 

verschlossenen Umschlag deponieren und dann am Ende zeigen, dass 

man ” 

in die Zukunft sehen konnte“. Es bietet sich auch an, es so 

einzurichten, dass sich eine für das jeweilige Publikum interessante Zahl 

ergibt (runder Geburtstag, Jubiläum, . . . ). 

Es soll noch auf Varianten hingewiesen werden: 

◮ Es geht mit jedem quadratischen Raster (nicht nur 4 × 4-Quadrate). 

◮ Man kann überall ” 

+“ durch ”·“ ersetzen. 

◮ Negative Zahlen sind auch zulässig (eigentlich sogar beliebige 

Zahlen, etwa Brüche). 

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3. Invarianten: Einführung 

Wenn man irgendwelche Objekten umsortiert oder auf andere genau 

beschriebene Weise verändert, so kann es sein, dass sich dabei gewisse 

Größen nicht verändern: 

◮ Wenn man Karten mischt, so bleibt die Anzahl der roten Karten 

gleich. 

◮ Wenn man ein Dreieck in der Ebene verschiebt oder spiegelt, so 

bleibt die Eigenschaft ” 

Das Dreieck hat einen stumpfen Winkel“ 

erhalten. 

◮ . . . 

In solchen Fällen spricht man von Invarianten. 

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Das kann man sich beim Zaubern zunutze machen: 

◮ Bestimme – zum Beispiel – für eine spezielle Form des Mischens 

eine Invariante. 

◮ Lasse dieses Mischen von einem Zuschauer beliebig oft durchführen. 

◮ Nutze die Kenntnis der Invariante für eine Voraussage. 

Das wird alle überraschen, denn für die Zuschauer scheint der 

Kartenstapel nach dem Mischen keine Vorhersagen mehr zu gestatten. 

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Hier ein ganz einfaches Beispiel. Als Vorbereitung sortieren wir die 

Damen und Könige eines Skatspiels so, dass der Abstand Dame-König 

der gleichen Farbe jeweils gleich vier ist: 

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Das sieht bei flüchtigem Hinsehen recht zufällig aus. 


Man beachte: Die jeweils vierte Karte nach irgendeiner beliebigen Karte 

enthält den jeweiligen Partner (oder die Partnerin). Das gilt auch für die 

Karten am Ende, wenn man nach der letzten Karte wieder von vorn 

weiterzählt. 

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Man beachte: Die jeweils vierte Karte nach irgendeiner beliebigen Karte 

enthält den jeweiligen Partner (oder die Partnerin). Das gilt auch für die 

Karten am Ende, wenn man nach der letzten Karte wieder von vorn 

weiterzählt. 

Man kann sich nun leicht davon überzeugen, dass die Eigenschaft ” 

Vier 

Plätze weiter ist der Partner/die Partnerin“ beim Abheben dieses 

Kartenstapels erhalten bleibt: 

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Man kann also den vorbereiteten Stapel (mit der Bildseite nach unten) 

beliebig oft abheben lassen, die fragliche Eigenschaft bleibt erhalten. 

Es ist deswegen keine Kunst, unter einem Tuch oder unter dem Tisch 

Pärchen Dame/König der gleichen Farbe zu erzeugen: Erste Karte und 

fünfte Karte heraussuchen und präsentieren; dann erste Karte (des 

Restes) und vierte Karte, schließlich erste und dritte; und auch die beiden 

restlichen Karten passen zusammen. 

Man sollte dabei sehr angestrengt aussehen . . . 

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4. Der Gilbreath-Zaubertrick 

4a) Was passiert? Der Zauberer präsentiert einen Kartenstapel. Ein 

Zuhörer darf ihn ungefähr in der Mitte teilen und die beiden Teile dann 

mit einem möglichst gekonnten ” 

riffle shuffle“ (die Methode der 

Profispieler) mischen. 

Danach versteckt der Zauberer den Stapel unter einem Tuch. 

Die Überraschung: Er holt die Karten paarweise hervor, immer eine rote 

und eine schwarze Karte. 

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4b) Die Erklärung. Das Spiel ist vorbereitet, rote und schwarze Karten 

wechseln sich ab: 

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Die hier relevante Invariante kann so beschrieben werden: 

◮ Angenommen, es wird erstens der Stapel geteilt und es gibt 

zweitens einen ” 

riffle shuffle“. Dann kann man garantieren: 

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◮ Wenn beim Teilen die Farbe der unten liegenden Karten verschieden 

war, so ist nach dem Shuffeln der Stapel schon perfekt vorbereitet: 

Karte 1 und 2 sind ein Pärchen, Karte 3 und 4 ebenfalls, usw. 

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◮ Wenn beim Teilen die Farbe der unten liegenden Karten verschieden 

war, so ist nach dem Shuffeln der Stapel schon perfekt vorbereitet: 

Karte 1 und 2 sind ein Pärchen, Karte 3 und 4 ebenfalls, usw. 

◮ Wenn beim Teilen die Farbe der unten liegenden Karten gleich war, 

so entsteht dann ein perfekt vorbereiteter Stapel, wenn man die 

oberste Karte nach unten legt 

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Die unten liegenden Farben kann man sich bei der Übergabe der 

Teilstapel an den Riffle-Shuffler ansehen. 

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Im nachstehenden Bild ist links der Originalstapel zu sehen. Er wurde 

zwischen Herz Drei und Kreuz Vier geteilt, unten lagen danach zwei rote 

Karten. Das Shuffle-Ergebnis (rechts) sieht so aus: 

Bringt man die Pik Neun ganz nach rechts (also nach unten), so 

entstehen Schwarz-Rot-Pärchen an den Stellen 1-2 und 3-4 usw. 

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Die mathematische Begründung ist leider zu kompliziert, um sie hier in 

vertretbarer Zeit vermitteln zu können. 

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5. ” 

Verfeindete“ Farben 

5a) Was passiert? Der Zauberer präsentiert ein Kartenspiel, in dem sich 

rote und schwarze Karten abwechseln. Sie sind angeblich verfeindet. 

Dann werden Zuschauer gebeten, das Spiel durcheinanderzubringen: 

Karten umdrehen und abheben, und zwar beliebig oft. 

Der Zauberer teilt den Stapel in zwei Teilstapel auf und legt sie 

übereinander. 

Die Überraschung: Die schwarzen Karten zeigen in die eine, die roten in 

die andere Richtung. 

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5b) Die Erklärung. Die genaue Vorschrift lautet: 

◮ Drehe zwei Karten um. 

◮ Danach hebe irgendwo ab. 

Die hier relevante Invariante ist etwas kompliziert: 

Das Spiel ist in folgendem Zustand: Wenn man jede zweite 

Karte umdreht, so zeigen die roten und die schwarzen Karten 

in verschiedene Richtungen. 

Das ist am Anfang erfüllt, und die zulässigen Mischoperationen ändern 

nichts daran. 

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Hier ein Beispiel. Die Ausgangssituation: 

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Zwei Karten umdrehen: 

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Abheben: 

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Noch einmal umdrehen: 

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Noch einmal abheben: 

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Karten verteilen: links-rechts usw.; einen Stapel umdrehen und auf den 

anderen legen. Danach sind die Karten getrennt: 

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6. Mit großer Wahrscheinlichkeit wird es funktionieren 

. . . 

Es gibt auch Zaubertricks, die nicht todsicher funktionieren, sondern nur 

mit überwältigender Wahrscheinlichkeit. Manche Zauberer lieben sie 

deswegen nicht besonders. Sie können aber recht attraktiv sein. Als 

Beispiel präsentieren den Kruskal count. 

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6. Mit großer Wahrscheinlichkeit wird es funktionieren 

. . . 

Es gibt auch Zaubertricks, die nicht todsicher funktionieren, sondern nur 

mit überwältigender Wahrscheinlichkeit. Manche Zauberer lieben sie 

deswegen nicht besonders. Sie können aber recht attraktiv sein. Als 

Beispiel präsentieren den Kruskal count. 

6a) Was passiert? Der Zauberer gibt einem Zuschauer eine Kartenstapel 

(Teil eines Rommee-Spiel, ohne Joker) zum Mischen. Danach werden die 

Karten mit dem Bild nach oben nebeneinander gelegt. Jeder Karte wird 

ein Wert zugeordnet, zum Beispiel: Für Zahlen ist es die aufgedruckte 

Zahl, die Zehn und die Bilder zählen 10, das As zählt 1. 

Die Vorschrift lautet: Starte irgendwo am linken Ende. Gehe dann so viele 

Karten nach rechts, wie der Wert angibt, und zwar so lange, bis es nicht 

mehr weitergeht. 

Die Überraschung: Egal, wo man startet, alle beenden ihren Spaziergang 

auf der gleichen Karte. 

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Hier ein Beispiel. Die Kartenwerte sollen 

2, 4, 1, 10, 6, 7, 3, 10, 5, 5, 4, 5, 1, 2, 3, 1, 8, 5, 4, 7 

sein. 

Start beim ersten Feld, bei der 2: Man geht auf 2, 1, 10, 2, 1, 8. 

Start beim zweiten Feld, bei der 4: Man geht auf 4, 7, 1, 2, 1, 8. 

Start beim dritten Feld, bei der 1: Man geht auf 10, 2, 1, 8. 

Wirklich landen alle bei der 8 ! 

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6b) Die Erklärung. Wir betrachten den ersten Spaziergang und markieren 

die berührten Felder. Um einzusehen, dass andere Spaziergänger auf dem 

gleichen Endfeld landen werden, muss man zwei Tatsachen kombinieren: 

◮ Mal angenommen, der andere Spaziergänger erreicht ein markiertes 

Feld. Dann hat er sicher auch die gleiche Endposition, da ab hier für 

beide die gleichen Regeln zum Weitergehen gelten. 

◮ Was ist, wenn der Spaziergänger nicht auf einem markierten Feld 

ist? Seine Chance, im nächsten Schritt ein markiertes Feld zu 

verpassen, ist kleiner als Eins, etwa gleich p. 

Nach r Schritten ist diese Wahrscheinlichkeit p r , und diese Zahlen 

gehen sehr schnell gegen Null, wenn r nur groß genug ist. 

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6b) Varianten. Man kann die relevanten Zahlen auch durch Würfeln 

festlegen. Das erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass es klappt, denn die 

großen Zahlenwerte (die 10 für die Bilder) haben zur Folge dass die 

Begründung für das Funktionieren eventuell nicht anwendbar ist (viele 

Schritte). 

Um sicher zu gehen, könnte man auch vorschreiben, dass Bilder und As 

nur 1 zählen, und die hohen Zahlenkarten (etwa 6 bis 10) könnte man 

ganz entfernen. 

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Bei einer Straßen-Mathematikaktion in Krakau im letzten Sommer hat 

der Kollege Steve Humble den Trick durch einen realen Spaziergang auf 

großen auf der Straße ausgelegten Karten illustriert: 

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Danke für Ihre Aufmerksamkeit! 

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