Der Sinussatz - Sesama.de

Klasse 10 Math./Sinussatz S.1 Let
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Der Sinussatz
Sinussatz: In jedem Dreieck ABC gilt
sin
a
sin
b
sin
c
a
b
sin
sin
b
c
sin
sin
a
c
sin
sin .
Der Sinussatz stellt eine Beziehung zwischen den Seiten und Winkeln
eines beliebigen Dreiecks her.
Beweis:
1. Fall: , , 90 (Spitzwinkliges Dreieck)
C
b
h
c
a
A
c
.
B
Es gilt
h c
b
sin
h c
a
sin
sin
sin
h c
b : h c
a
h c
b
a
h c
a
b
sin
sin
a
b .
Analog ergeben sich die Gleichungen sin
sin
2. Fall: aut aut 90 (Rechtwinkliges Dreieck)
C
b
c , sin
sin
a
c .
b
a
° O.B.d.A. °
A
c
B
a
sin
Es gilt
b sin a
c
sin sin b : c a b a
b b c c .
b
Mit sin sin 90 1 folgt der Rest der Behauptung über
sin
sin
sin
1
sin
a
b
sin
sin
1
sin
1
c / b
b
c .

Klasse 10 Math./Sinussatz S.2 Let
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3. Fall: aut aut 90 (Stumpfwinkliges Dreieck)
C
b
.
hb
a
h
c
A
c
B
.
ha
O.B.d.A. ß > 90°
.
Es gilt
sin
sin
sin *
h c
sin *
b
sin
sin 180
h c
a
Satz 11
sin 180
sin
sin 180 180
sin
sin
Satz 7
sin
sin
h c
b : h c
a
sin
sin
sin
sin
h c
b
a
h c
h b
c : h b
a
sin *
sin
a
b
h b
c
a
h b
h a
c : h a
b
Beh.
a
c
h a
c
b
h a
Beh.
b
c
Beh.
Soll mit dem Sinussatz der Innenwinkel eines Dreiecks bestimmt
werden, ist Vorsicht geboten, da die Sinusfunktion über dem Intervall
[0°,180°] nicht eineindeutig ist. Zu jedem Sinuswert