Differentialgleichungen (PDF)

Im Folgenden bezeichnet p m x bzw. P m x jeweils ein Polynom m-ter Ordnung mit konsatnten
Koeffizienten.
p m x ⩵ c m x m c m1 x m1 ... c 1 x 1 c 0 P m x ⩵ C m x m C m1 x m1 ... C 1 x 1 C 0
Im charakteristischen Polynom ΧΛ ⩵ a 2 Λ 2 a 1 Λ a 0 bzw. ΧΛ ⩵ Λ 2 a 1 Λ a 0 der Dgl. kann
• eine reelle Zahl Α als Nullstelle in Χ(Λ) mit der Vielfachheit k ⩵ 0, 1, 2 auftreten (k ⩵ 0 bedeutet
dabei, dass Α keine Nullstelle von ΧΛ ist)
• ein Paar Α Β, Α Β konjugiert komplexer Nullstellen mit der Vielfachheit k ⩵ 0, 1auftreten (k ⩵ 0
bedeutet dabei, dass Α Β bzw. Α Β keine Nullstelle von ΧΛ ist)
Dgln.nb | 7
rechte Seite bx
Ansatzfunktion
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _
p m x 0x x k P m x 0
ist k fache Nullst. von ΧΛ k ⩵ 0, 1, 2
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _
p m x Αx x k P m x Αx Α ∈
ist k fache Nullst. von ΧΛ k ⩵ 0, 1, 2
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _
p m x a cos Β x b sinΒ x P m x x k A cos Β x B sinΒ x Β , Β ∈
ist k faches Paark ⩵ 0, 1
konjugiert komlpexerNullst. von ΧΛ
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _
p m x a cos Β x b sinΒ x Α x P m x x k A cos Β x B sinΒ x Α x Α Β , Α Β ∈
ist k faches Paar k ⩵ 0, 1
konjugiert komlpexerNullst. von ΧΛ
Achtung:
Ist m die höchste Potenz im Polynom p m x der rechten Seite bx, dann müssen Im Ansatzpolynom
P m x alle Potenzen von x berücksichtigt werden, also auch solche, die in p m x garnicht
vorkommen.
Auch wenn in der rechten Seite bx nur die Sinus-Funktion oder nur die Cosinus-Funktion
vorkommt, so müssen in den Ansatz beide trigonometrischen Funktion aufgenommen werden.