Hamiltonsches Chaos

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Die p k sind im allgemeinen von den q i und den A i abhängig: p k = p k (⃗q, ⃗ A). Über q wird jedoch integriert, daher hängen die Wirkungskoordinaten nur von den Erhaltungsgröÿen ab: J i = J i ( ⃗ A) und sind somit ebenfalls Konstanten der Bewegung. Für ∫ die Transformation (⃗q,⃗p) → ( θ, ⃗ J) ⃗ lässt sich die Erzeugendenfunktion S 2 (⃗q, J) ⃗ = ⃗p d⃗q allgemein angeben. Da J ⃗ konstant ist, liefern die hamiltonischen Bewegungsgleichungen ˙θ i = ∂H′ ∂J i = ω i ( J) ⃗ = const. Die Lösung des Systems ist also trivial: J i = const (16) θ i = ω i t + β i (17) wobei die ω i und β i = θ i (0) durch die Anfangsbedingungen festgelegt sind. Die Benennung der 2. Variablen als Winkel θ wird klar, wenn man ihr Verhalten bei Oszillation betrachtet wird. Hier zeigt sich, dass sich θ bei einer Oszillation um 2π ändert, was dem Verhalten eines Winkels entspricht. Aus der Denition von ω = ˙θ folgt direkt, dass ω eine Winkelgeschwindigkeit bezeichnet. 6 Periodizität Im vorherigen Abschnitt haben wir die Wirkuns- und Winkelvariablen ⃗ J = const und ⃗θ = 2π-periodisch eingeführt. Natürlich können auch die ursprünglichen Variablen in Abhängigkeit der transformierten Variablen aufgefasst werden (⃗q( ⃗ θ, ⃗ J), ⃗p( ⃗ θ, ⃗ J)), wodurch diese auch 2π-periodisch sein müssen. Über die Fourier-Analyse der Frequenzen lässt sich feststellen, dass die Bewegung eines Systems genau dann periodisch ist, wenn die einzelnen Frequenzen ω i der Koordinaten vielfache einer Grundfrequenz ω 0 sind. Ist dies der Fall, werden die Frequenzen als kommensurabel bezeichnet. Sind die Frequenzen nicht kommensurabel, ist die Bewegung nicht periodisch. Die Phasenraumtrajektorie trit sich also nie wieder selbst, ist aber an die Torusoberäche gebunden. Anschaulich kann man sich somit klarmachen, dass die Trajektorie irgendwann die ganze Torusäche ausfüllt. Sie besitzt also Kurven, wie auch Flächencharakter und somit eine fraktale Dimension. 7 Beispiel: Kepler Problem Die Transformation in Wirkung-Winkel-Koordinaten soll hier einmal am Beispiel des Kepler Problems gezeigt werden. Betrachtet wird ein Planet der Masse m, welcher sich im Abstand r um einen Stern mit der Masse M bewegt. Als Potential wird hier das Newtonsche-Gravitationspotential angesetzt: V = − GmM r := − k r 6
Der Übergang in Relativ- und Polarkoordinaten liefert: H = p2 r 2µ + p2 φ 2µr 2 − k r , mit der reduzierten Masse µ und den relativen Impulsen p r , p φ . Dies führt mit der Hamilton-Jacobi Gleichung H(q,p) = H(q, ∂S ∂q ) = H′ = E, zur Gleichung: 1 µ (∂S r ∂r )2 + 1 µr 2 (∂S φ ∂φ )2 − 2(E + k r ) = 0 Nun wird die Denition der erzeugenden Funktion verwendet: p r = ∂S r ∂r , p φ = ∂S φ ∂φ Der Hamiltonian hat keine φ Abhängigkeit. Daraus lässt sich direkt folgern, dass der Impuls in φ-Richtung eine Erhaltungsgröÿe ist: ∂S ∂φ = const = p φ Nun muss, um den Hamiltonian zu transformieren, noch der Impuls in r Richtung bestimmt werden: √ ∂S ∂r = p r = 2E + 2k r − p2 φ µr 2 Aus diesen Impules lassen sich die neuen Wirkungskoordinaten direkt bestimmen: J r = 1 ∮ 2π J φ = 1 ∮ 2π p φ dφ = 1 ∫ 2π 2π p φ dφ = p φ 0 p r dr = 1 ∮ √ 2E + 2k √ 2π r − p2 φ µk µr 2 dr = √ − J φ −2E Da das System konservativ ist, kann aus der Energieerhaltung nun die Hamiltonfunktion bestimmt werden: −µk 2 E = 2(J r + J φ ) 2 = H Und die Frequenzen lauten demnach: ω i = ∂H ∂J i , ω r = ω φ = µk 2 (J r + J φ ) 3 Somit ist die Transformation in Wirkung-Winkel-Koordinaten abgeschlossen. 7
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