Einführung in die Quantenfeldtheorie - Institut für Theoretische Physik

Einführung in die Quantenfeldtheorie
Gernot Münster
Wintersemester 2011/12
Vorlesungsmitschrift von Burkhard Echtermeyer
Inhaltsverzeichnis
0 Vorbemerkung 3
1 Relativistische Quantenmechanik 5
1.1 Grundelemente der speziellen Relativitätstheorie . . . . . . . . 5
1.2 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Probleme der Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . 14
1.3 Diracgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Freie Diracgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Kovarianz der Diracgleichung . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.4 Äußere elektromagnetische Felder . . . . . . . . . . . . 39
1.3.5 Nichtrelativistischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . 40
2 Feldoperatoren in der nichtrelativistischen QM 43
2.1 Viel-Teilchen-Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Vertauschungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 Fock-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Feldquantisierung 58
3.1 Lagrange-Formalismus für Felder . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Quantisierung, Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Quantisierung des Schrödingerfeldes . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1

2 INHALTSVERZEICHNIS
4 Quantisierung freier relativistischer Felder 69
4.1 Komplexes Skalarfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Reelles Skalarfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Kommutator und Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Yukawa-Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 Symmetrien und Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.1 Symmetrie-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5.2 Raumzeit-Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5.3 Innere Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5.4 Symmetrien in der Quantentheorie . . . . . . . . . . . 94
4.6 Dirac-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.6.1 Felder und Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.6.2 Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6.3 Propagator und Antikommutator . . . . . . . . . . . . 103
4.6.4 Diskrete Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.7 Elektromagnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 Wechselwirkende Felder 119
5.1 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2 Green’sche Funktionen und S-Matrix . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.1 Green’sche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.2 S-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.3 Reduktionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3 Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.1 Beispiel: Mott-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.2 Gell-Mann-Low-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.3 Wick’sches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3.4 Feynman-Diagramme für die ϕ 4 -Theorie . . . . . . . . 146
5.3.5 Feynman-Regeln für die QED . . . . . . . . . . . . . . 156

3
0 Vorbemerkung
Quantenmechanik
Bei nicht zu großen Energien gilt die nichtrelativistische Quantenmechanik.
Ein einzelnes Teilchen in einem Potenzial V hat die Energie E = p2
2m + V ,
was Anlass zur Schrödingergleichung gab
i ∂ (
)
∂t ψ = − 2
2m ∇2 + V ψ. (0.1)
Kennzeichnend ist hier der nichtrelativistische Zusammenhang zwischen Energie
und Impuls eines Teilchens.
Systeme mit mehreren Teilchen, z. B. mit einer festen Teilchenzahl N erfordern
eine Wellenfunktion mit N Ortsvariablen
ψ(⃗r 1 ,⃗r 2 , . . . ,⃗r N , t). (0.2)
Systeme, die auf diese Weise beschrieben werden, sind
• Atomhülle,
• Moleküle,
• Festkörper (Phononen, Magnonen, Exzitonen),
• Atomkerne (Nukleonen, Schalenmodell).
Es zeigen sich Grenzen für den Gültigkeitsbereich der nichtrelativistischen
Theorie, z. B. bei der Atomhülle: die Feinstruktur der Spektrallinien, die
Spin-Bahn-Kopplung, der Darwin-Term und Energiekorrekturen ∼ p 4 sind
relativistische Effekte.
Relativistische Quantenmechanik
Die relativistische Energie-Impulsbeziehung, die für ein freies Teilchen
E 2 = m 2 0c 4 + c 2 p 2 (0.3)
lautet, motiviert relativistische Wellengleichungen, wie die Klein-Gordon-
Gleichung und die Diracgleichung.
Aber auch hier treten Probleme auf, die in der als fest angenommenen Teilchenzahl
ihren Ursprung haben. Offenbar können Teilchen-Erzeugungs- und
-Vernichtungs-Prozesse so nicht behandelt werden. Die Klein-Gordon-Gleichung
lässt Lösungen mit negativen, nach unten unbeschränkten Energien
zu, was die Existenz eines Grundzustandes verhindert, den es in der nichtrelativistischen
Quantenmechanik gibt. Dieses Problem erfährt seine Lösung

4 0 VORBEMERKUNG
in der Quantenfeldtheorie, welche die negativen Frequenzen den Antiteilchen
zuweist. Die Existenz der Antiteilchen erlaubt keine feste Teilchenzahl N in
der Theorie. Als weiteres Problem führt die Klein-Gordon-Gleichung sogar
zu negativen Wahrscheinlichkeiten.
Diese Probleme werden im Rahmen der relativistischen Quantenfeldtheorie
gelöst.
Neue Phänomene, die von der Quantenfeldtheorie beschrieben werden, sind
• Die Existenz von Antiteilchen. (Ein Teilchen kann auch sein eigenes Antiteilchen
sein, z. B. Photon oder hypothetische Majorana-Neutrinos.)
Die negativen Frequenzen der Antiteilchen gehören zu positiven Energien.
• Variable Teilchenzahl N. In einer Theorie, die Wechselwirkungen beinhaltet,
können Teilchen erzeugt und vernichtet werden. Bei den Teilchenkollisionen
der Hochenergiephysik entstehen oft riesige Teilchenmengen.
Die Möglichkeit variabler Teilchenzahlen löst auch das Problem
negativer Wahrscheinlichkeiten und von Wahrscheinlichkeiten, die
den Wert 1 übersteigen.
• Statistik. Die Bose-Einstein- und die Fermi-Dirac-Statistik werden begründet,
ebenso der Spin-Statistik-Zusammenhang.
Das Teilchen-Feld-Konzept in der Quantenfeldtheorie
Die klassische Physik kennt Teilchen und Felder – insbesondere als elektromagnetisches
Feld (Maxwellfeld). Während ein Teilchen durch die Angabe
von Ort und Zeit festgelegt ist, hat ein Feld eine unendliche Anzahl von
Freiheitsgraden.
In der Quantenmechanik werden Teilchen durch eine Wellenfunktion ψ beschrieben.
Felder treten als äußere Felder, z. B. als Maxwellfeld, auf.
Die Quantisierung des Maxwellfeldes führt Photonen ein. Auf diese Weise findet
der Welle-Teilchen-Dualismus beim Licht seinen vollständigen Ausdruck.
In analoger Weise gelangt man durch die Quantisierung des klassischen Schrödinger-Materiefeldes
zu einer Mehrteilchen-Quantentheorie mit beliebiger Teilchenzahl
N, was eine nichtrelativistische Quantenfeldtheorie darstellt.
Die relativistische Quantenfeldtheorie schließlich beschreibt vorwiegend Objekte
der Hochenergiephysik, also Elementarteilchen.
Pfadintegrale
In dieser Vorlesung wird die Quantenfeldtheorie im kanonischen Operator-
Formalismus eingeführt. Pfadintegrale bieten eine alternative Formulierung
der Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie, die einige Vorzüge hat.

5
An die Stelle von Schrödingergleichung oder von Heisenbergs Matrizenmechanik,
die zur heutigen Quantenmechanik mit Operatoren im Hilbertraum
geführt hat, treten Pfadintegrale, mit denen quantenmechanische Übergangsamplituden
berechnet werden.
∫
=
alleWege
e iS (0.4)
wobei S die Wirkung entlang eines Weges vom Anfangszustand zum Endzustand
ist.
x(t)
x(0)
1 Relativistische Quantenmechanik
1.1 Grundelemente der speziellen Relativitätstheorie
Der Minkowski-Raum
In der Raumzeit werden Ereignisse durch Vektoren in einem Minkowski-
Raum repräsentiert,
x = (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = (x µ ), x 0 = ct. (1.1)
Der metrische Fundamentaltensor ist
⎛
⎞
1 0 0 0
0 −1 0 0
(g µν ) = ⎜
⎟
⎝0 0 −1 0 ⎠
0 0 0 −1
(1.2)
und das Minkowski-Skalarprodukt wird dann mit der Einstein’schen Summationskonvention
geschrieben als
x · y = x µ g µν x ν = x 0 y 0 − ⃗x · ⃗y = x µ y µ . (1.3)
Das Herunterziehen eines Index vermöge
x µ = g µν x ν (1.4)

6 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
lässt die Zeitkomponente eines Vektors unverändert, während die räumlichen
Komponenten ihr Vorzeichen umkehren.
(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 0 , −x 1 , −x 2 , −x 3 ) = (ct, −⃗x). (1.5)
Lorentz-Transformationen
Eine Lorentz-Transformation Λ : x → x ′ wird durch eine 4 × 4 - Matrix
beschrieben
x ′µ = Λ µ ν xν . (1.6)
Sie soll das Minkowski-Skalarprodukt unverändert lassen. Dazu fordern wir
die Bedingung
g µν Λ µ ρ Λν σ = g ρσ (1.7)
oder in Operatorschreibweise Λ T gΛ = g.
Es folgt die Invarianz des Minkowski-Skalarproduktes:
x ′ · y ′ = Λ µ ρx ρ g µν Λ ν σy σ = x ρ g ρσ y σ = x · y. (1.8)
Die Menge der Lorentz-Transformationen Λ bildet die Lorentz-Gruppe L, die
6 freie Parameter hat. Es gilt
| det Λ| = 1. (1.9)
Ein bekanntes Beispiel für Lorentz-Transformationen sind die „boosts“ in
x-Richtung:
x 1 ′ = γ(x 1 − βct), x 2 ′ = x 2 , x 3 ′ = x 3 , ct ′ = γ(ct − βx 1 ) (1.10)
mit β = v c , γ = ( 1 − β 2) − 1 2
.
Man rechnet leicht nach, dass x ′ · x ′ = x · x gilt.
Die physikalische Bedeutung der Lorentz-Transformationen liegt im Prinzip
begründet, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen dieselbe
ist. Daher gilt für die Ereignisse auf dem Lichtkegel
c 2 t ′ 2 − ⃗x ′ 2 = c 2 t 2 − ⃗x 2 = 0. (1.11)

1.1 Grundelemente der speziellen Relativitätstheorie 7
ct ct ′ x ′
x
Davon ausgehend lässt sich begründen, dass die Längen aller Raumzeit-
Intervalle x · x = c 2 t 2 − ⃗x 2 invariant sind:
x ′ · x ′ = x · x. (1.12)
Mit x · y = 1 4 ((x + y)2 − (x − y) 2 ) folgt daraus die Invarianz der Skalarprodukte.
Für die Physik ist die Menge der eigentlichen, orthochronen Lorentz-Transformationen
wichtig
L ↑ + = { Λ ∈ L | Λ 0 0 ≥ 1, det Λ = +1} . (1.13)
Dabei bedeutet Λ0 0 ≥ 1, dass nur Lorentz-Transformationen, welche die Zeitrichtung
nicht umkehren, betrachtet werden, und det Λ = +1 lässt nur solche
Lorentz-Transformationen zu, die stetig aus der Identität hervorgehen -
räumliche Spiegelungen sind damit ausgeschlossen.
Ableitungen nach den Koordinaten
Für die Ableitungen verwenden wir die Konventionen:
∂ µ =
∂
∂x µ , (∂ 0, ∂ 1 , ∂ 2 , ∂ 3 ) =
( 1
c
∂ µ = g µν ∂ ν =
∂
∂x µ
, (∂ µ ) =
( 1
c
)
∂
∂t , ∇ , (1.14)
)
∂
∂t , −∇ , (1.15)
□ = −∂ µ ∂ µ = −
∂2
∂(ct) + ∇ · ∇ = − 1 ∂ 2
+ ∆. (1.16)
2 c 2 ∂t2 Der Wellenoperator oder d’Alembert-Operator □ ist ebenfalls Lorentz-invariant:
∂ ′ µ ∂′µ = ∂ µ ∂ µ . Er wird oft auch mit dem entgegengesetzten Vorzeichen
definiert.

8 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Kinematik eines Teilchens
Die Bewegung eines Teilchens beschreiben wir mit einem Vierervektor, dem
Viererimpuls oder Energie-Impuls-Vektor,
(p µ ) =
Die Länge des Viererimpulses ist Lorentz-invariant:
( E
c , ⃗p )
. (1.17)
p 2 = p µ p µ = E2
c 2 − ⃗p 2 = m 2 c 2 . (1.18)
Aufgelöst nach der Energie erhält man hieraus
E =
E 2
c 2 − ⃗p 2 = m 2 c 2 (1.19)
√
m 2 c 4 + c 2 ⃗p 2
= mc 2 + ⃗p 2
2m − (⃗p 2 ) 2
8m 3 c 2 + . . . . (1.20)
Der Grund für die Verwendung der Vierer-Vektoren
Das Relativitätsprinzip fordert, dass Naturgesetze in allen Bezugssystemen in
gleicher Weise gelten. Dieses ist erfüllt, wenn Gleichungen, die Naturgesetze
ausdrücken, beim Übergang in ein anderes Bezugssystem ihre Form beibehalten.
Sollte dies nicht der Fall sein, so bleibt die Aufgabe, nachzuweisen,
dass eine Aussage auch in unterschiedlichen Bezugssystemen wahr bleibt.
Beim Übergang von einem ungestrichenen zu einem gestrichenen Koordinatensystem
ist eine Gleichung forminvariant wenn sie von der Art ist:
V µ = W µ −→ V ′µ = W ′µ . (1.21)
Bei Gleichungen, die Vierer-Vektorkomponenten oder entsprechende Tensorkomponenten
enthalten, lässt sich die Forminvarianz beim Wechsel des Bezugssystems
häufig sofort erkennen. Darum ist es nützlich, Naturgesetze in
dieser Form relativistisch kovarianter Vektor- und Tensorgleichungen zu formulieren.
Kontinuitätsgleichungen
In der Strömungsmechanik, der Elektrodynamik und der Quantenmechanik
haben wir Kontinuitätsgleichungen kennen gelernt, die lokal Erhaltungssätze
formulieren. Diese lassen sich auch in relativistisch kovarianter Form notieren.

1.1 Grundelemente der speziellen Relativitätstheorie 9
In der Strömungsmechanik bezeichne ρ(⃗r, t) die Materiedichte und ⃗j(⃗r, t) die
Stromdichte am Ort ⃗r zur Zeit t
⃗j(⃗r, t) = ρ(⃗r, t)⃗v(⃗r, t). (1.22)
Dann gilt für kleine Volumenbereiche lokal eine Bilanzgleichung für die Materie
∂ρ
∂t + ∇ ·⃗j = 0. (1.23)
Mit Hilfe des Gauß’schen Satzes folgt hieraus die globale Erhaltung der Größe
∫
Q =
d 3 r ρ(⃗r, t) = konst,
d
Q = 0. (1.24)
dt
Die analoge Situation hat man in der Elektrodynamik und in der Quantenmechanik.
In der Maxwell-Theorie bedeuten ρ(⃗r, t) die Ladungsdichte und
⃗j(⃗r, t) die Dichte des elektrischen Stromes, in der Quantenmechanik übernehmen
Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeitsstrom im Sinne
der Born’schen statistischen Deutung diese Rollen.
ρ = ψ ∗ ψ, (1.25)
⃗j = ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ . (1.26)
Die relativistische Form der Kontinuitätsgleichungen erhält man, wenn man
setzt
j 0 (x) := cρ(⃗r, t), (1.27)
j µ (x) := ( cρ(⃗r, t), ⃗j(⃗r, t) ) . (1.28)
Damit ergibt sich die Kontinuitätsgleichung als Gleichung für Vierervektoren
∂cρ
∂ct + ∇ ·⃗j = ∂ µ j µ = 0. (1.29)
Man beachte, dass die globale Ladung Q zu einem festen Zeitpunkt t 0
∫
Q =
t 0 fest
d 3 x ρ(x) (1.30)
nicht relativistisch kovariant geschrieben ist. Dem entspricht, dass Ereignisse,
die in einem Bezugssystem gleichzeitig zum Zeitpunkt t 0 sind, in einem
anderen Bezugssystem nicht mehr gleichzeitig sind. Dies zeigt sich im Minkowski-Diagramm:

10 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
t = konst
t ′ = konst
ct ct ′ x ′
x
Gleichwohl folgt aus der Invarianz der Kontinuitätsgleichung gegenüber Lorentz-Transformationen,
dass die im im zweiten Bezugssystem definierte Ladung
Q ′ ,
∫
Q ′ = d 3 x ′ ρ(x ′ ), (1.31)
t ′ 0 fest
ebenfalls zeitlich konstant bleibt.
1.2 Klein-Gordon-Gleichung
d
dt Q = 0 = d . (1.32)
dt ′Q′
Wir wollen eine relativistisch kovariante Wellengleichung finden, die an die
Stelle der nichtrelativistischen Schrödingergleichung treten könnte. Dazu erinnern
wir uns an den historischen Beginn der Quantenmechanik, als de Broglie
für ebene Wellen von den Zusammenhängen
E = hν = ω, (1.33)
p = h λ oder ⃗p = ⃗ k (1.34)
ausging. In kovarianter Schreibweise haben wir wegen p 0 = E = ω c c
=: k 0
p µ = k µ , (1.35)
k = ( ω c ,⃗ k), (1.36)
und eine ebene Welle ist gegeben durch
ψ = A e i(⃗k·⃗r−ωt) = A e −ik·x . (1.37)

1.2 Klein-Gordon-Gleichung 11
Für sie gilt
i ∂ ψ = Eψ,
∂t
(1.38)
∇ψ = ⃗p ψ.
i
(1.39)
Im nichtrelativistischen Fall gilt für ein freies Teilchen E = ⃗p 2 /2m, was zur
Schrödingergleichung eines freien Teilchen führt
i ∂ ∂t ψ = − 2
∇·∇ ψ. (1.40)
2m
Wir haben also in der nichtrelativistischen Energie-Impuls-Beziehung die Ersetzungen
E −→ i ∂ ∂t
⃗p −→ i ∇ (1.41)
vorgenommen, um zur Schrödingergleichung zu gelangen. Dasselbe Verfahren
wenden wir auf die relativistische Energie-Impuls-Relation
an und erhalten
E 2 = ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4 (1.42)
− 2 ∂2
∂t 2 ψ = −2 c 2 ∆ψ + m 2 c 4 ψ. (1.43)
In der Lorentz-kovarianten Schreibweise liest sich das als
p µ −→ i∂ µ , (1.44)
(− 2 ∂ µ ∂ µ − m 2 c 2 )ψ(x) = 0. (1.45)
Diese Gleichung ist als Klein-Gordon-Gleichung bekannt. Sie wurde zuerst
von Schrödinger verwendet, um die Feinstruktur des H-Atoms zu berechnen.
Zu diesem Zeitpunkt war der Elektronen-Spin noch unbekannt, der über
Spin-Bahnkopplung einen weiteren Beitrag zur Feinstruktur liefert. Darum
stimmte die berechnete Feinstruktur mit dem Experiment nicht überein und
Schrödinger wandte sich der nichtrelativistischen Gleichung zu, die heute
seinen Namen trägt. Klein, Gordon und Fock haben unabhängig voneinander
die Gleichung neu erfunden.

12 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Die Klein-Gordon-Gleichung für ein geladenes Teilchen
Die elektromagnetischen Potenziale sind in einem Vierer-Vektor zusammengefasst
A µ (x), A 0 = Φ c , (Aj (x)) = ⃗ A(x). (1.46)
Die Regel für die Kopplung eines Teilchens der Ladung −e an das Maxwellfeld
fordert die Ersetzung
E −→ E − eΦ,
⃗p −→ ⃗p − e ⃗ A,
(1.47)
so dass die relativistische Energie-Impuls Beziehung
lautet. In kovarianter Form ist das
(E − eΦ) 2 = (⃗p − e ⃗ A) 2 c 2 + m 2 c 4 (1.48)
(p − eA) 2 = m 2 c 2 . (1.49)
Daraus ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung für ein Elektron in einem
äußeren elektromagnetischen Feld zu
(i∂ µ − eA µ )(i∂ µ − eA µ )ψ = m 2 c 2 ψ. (1.50)
Die Lösung des Coulomb-Problems
Die potenzielle Energie eines Elektrons in einem Coulomb-Potenzial ist
eΦ(r) = V (r) = − γ r , γ = e2
4πǫ 0
. (1.51)
Das bestimmt die zeitliche Komponente A 0 des Vierer-Potenzials, während
die räumlichen Komponenten A j verschwinden. Wie bei den stationären Lösungen
der Schrödingergleichung setzen wir den Ansatz
ψ(x) = ϕ(⃗r ) e −i E t (1.52)
in die Klein-Gordon-Gleichung (1.50) ein und erhalten
[ (
E + γ r
) 2
+ 2 c 2 ∆ − m 2 c 4 ]
ϕ(⃗r ) = 0. (1.53)

1.2 Klein-Gordon-Gleichung 13
Wie bei der Lösung der Schrödingergleichung für ein kugelsymmetrisches
Potenzial separieren wir die Winkelabhängigkeit mit Kugelflächenfunktionen
und führen eine radiale Wellenfunktion u(r) ein
Wir erhalten
[ (
E + γ ) ( 2 1 + 2 c 2
r r
[ ∂
2
ϕ(⃗r ) = u l(r)
Y lm (θ, ϕ). (1.54)
r
∂
∂r
)
∂ l(l + 1)
r −
∂r r 2
]
− m 2 c 4 ul (r)
Y lm (θ, ϕ) = 0,
r
l(l + 1) − α2
− + 2Eα
∂r2 r 2 cr + E2 − m 2 c 4 ]
u
2 c 2 l (r) = 0. (1.55)
In dieser Gleichung tritt die Sommerfeld’sche Feinstrukturkonstante α auf
α = γ c =
e2
4πǫ 0 c ≈ 1
137, 036 . (1.56)
Zum Vergleich sei hier die nichtrelativistische radiale Schrödingergleichung
für das Coulomb-Potenzial notiert
[ ∂
2
l(l + 1)
− + 2mγ
∂r2 r 2 2 r + 2mE ]
u
2 l (r) = 0. (1.57)
Die relativistische radiale Wellengleichung (1.55) kann man wie ihr nichtrelativistisches
Pendant durch einen Sommerfeld’schen Potenzreihenansatz lösen.
Die Energie-Eigenwerte zeigen nun nicht mehr die Drehimpulsentartung, die
wir aus der nichtrelativistischen Rechnung kennen. Sie sind
E n,l = mc 2 ⎡
⎢
⎣1 +
= mc 2 − mc2 α 2
2n 2
⎤− 1
α 2
2
(
n − (l +
1
) + √ ⎥
) 2 ⎦
(l + 1 2 2 )2 − α 2
⎡
⎤
(1.58)
(
⎢ 1 + α2 n
⎣ n 2 l + 1 − 3 )
+O(α 4 )
⎥
4
. 2
⎦
} {{ }
=:H 1
Der erste Term ist die Ruheenergie. Der zweite Term −mc 2 α 2 /2n 2 stellt die
nichtrelativistische Balmer-Formel dar. Der dritte Term H 1 , der die Feinstruktur
verursacht, resultiert aus der relativistischen Korrektur zur kinetischen
Energie. Er stimmt allerdings nicht mit der experimentellen Feinstruktur
beim Wasserstoff überein. Die anderen Feinstrukturterme, nämlich
Spin-Bahn-Kopplung und Darwin-Term, treten in dieser Theorie nicht auf.
Gleichwohl ist unser Ergebnis relevant, wenn das Elektron durch ein spinloses
Teilchen ersetzt wird, z. B. durch ein π − Teilchen für pionische Atome.

14 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
1.2.1 Probleme der Klein-Gordon-Gleichung
a) Negative Wahrscheinlichkeitsdichten
Es muss eine Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(⃗x, t)
gelten
∂ρ
∂t + ∇ ·⃗j = 0 oder ∂ µ j µ = 0. (1.59)
Wir suchen daher einen vernünftigen Ansatz für j µ . Zunächst stellen wir
fest, dass j 0 = cρ mit ρ = ψ ∗ ψ keine 0-Komponente eines Vierer-Vektors sein
kann, denn die skalare Größe ψ ∗ ψ ist in allen Bezugssystemen gleich.
Nun starten wir – auf ähnliche Weise wie in der nichtrelativistischen Quantentheorie
– mit der Klein-Gordon-Gleichung und ihrer konjugierten Gleichung
Subtraktion ergibt
was auf
führt. Definiert man
ψ ∗ ( 2 ∂ µ ∂ µ + m 2 c 2) ψ = 0, (1.60)
ψ ( 2 ∂ µ ∂ µ + m 2 c 2) ψ ∗ = 0. (1.61)
ψ ∗ ∂ µ ∂ µ ψ − ψ∂ µ ∂ µ ψ ∗ = 0, (1.62)
∂ µ (ψ ∗ ∂ µ ψ − ψ∂ µ ψ ∗ ) = 0 (1.63)
j µ = i
2m (ψ∗ ∂ µ ψ − ψ∂ µ ψ ∗ ), (1.64)
so ist ∂ µ j µ = 0 erfüllt. (Dieses ist der einzig mögliche Kandidat für j.)
Die räumlichen Komponenten von j
⃗j =
2mi (ψ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) (1.65)
sind die gleichen wie im nichtrelativistischen Fall. Die zeitliche Komponente
liefert
ρ = j0
c = i (
ψ ∗ ∂ψ )
2mc 2 ∂t − ψ∂ψ∗ . (1.66)
∂t
Jedoch ist dieses ρ nicht notwendig positiv. Man kann Wellenpakete bilden,
für die ρ in einigen Bereichen negativ wird.
b) Negative Energien
Die allgemeine Lösung der freien Klein-Gordon-Gleichung ist eine Superposition
von ebenen Wellen
ψ(⃗r, t) = A e i (⃗p·⃗r−Et) . (1.67)

1.2 Klein-Gordon-Gleichung 15
Diese erfüllen die Klein-Gordon-Gleichung
unter der Bedingung, dass
( 2 ∂ µ ∂ µ + m 2 c 2 )ψ = 0 (1.68)
E 2 = ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4 (1.69)
gilt. Zu einem vorgegebenen Impuls ⃗p gibt es daher zwei Lösungen mit positiver
und mit negativer Energie,
√
E ± = ± ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4 . (1.70)
Die allgemeine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung ist
∫
ψ(⃗r, t) =
d 3 k
(2π) 3 (
A( ⃗ k) e
i( ⃗ k·⃗r−ω + t) + B( ⃗ k) e i(⃗ k·⃗r−ω − t) ) . (1.71)
E + = ω + > 0, E − = ω − < 0. (1.72)
Falls B nicht identisch Null ist, enthält ψ Anteile mit negativen Energien.
Für freie Teilchen könnte man die Lösungen auf den Teilraum mit B = 0 beschränken.
Mit Wechselwirkung ist das nicht mehr möglich. Z. B. können bei
der Streuung eines Wellenpaketes an einem äußeren Potenzial bisher nicht
vorhandene negative Frequenzkomponenten B( ⃗ k) ≠ 0 erzeugt werden. Bekannt
ist das Klein’sche Paradoxon, bei dem ein Wellenpaket mit B = 0 an
einer Potenzialstufe hinreichend großer Höhe (> mc 2 ) gestreut wird. Sowohl
im reflektierten, als auch im transmittierten Wellenpaket werden Anteile mit
B ≠ 0 neu erzeugt.
B = 0 B ≠ 0 B ≠ 0
Potenzialschwelle
Auch im Coulomb-Potenzial gibt es stationäre Lösungen mit nach unten unbeschränkten
Energien. Die tieferen Energien spiegeln das Termschema der
höheren Energien bei einer Energielücke von 2mc 2 . Ein Elektron in einem
solchen Potenzial könnte in immer niedrigere Energieniveaus herabfallen und
dabei beständig Photonen aussenden. Offenbar ist das auszuschließen.
Die Lösung der beiden Probleme, die die Wahrscheinlichkeiten und die Energien
betreffen, wird in der quantisierten Feldtheorie erreicht.

16 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
1.3 Diracgleichung
1.3.1 Freie Diracgleichung
Wir folgen der historischen Entwicklung der Diracgleichung. 1 Dirac suchte
1928 eine relativistische Wellengleichung, die eine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte
zulässt. Sie sollte eine Gestalt wie die Schrödingergleichung
mit einem Hamiltonoperator haben
i ∂ ψ = Hψ, (1.73)
∂t
wobei aus Gründen der Kovarianz H linear in ∂
∂x k
, k = 1, 2, 3, sein sollte. So
liegt ein Ansatz nahe
i ∂ t ψ = c i
3∑
α k ∂ k ψ + βmc 2 ψ. (1.74)
k=1
Das definiert den Hamiltonoperator in Gleichung (1.73). Mit dem Impulsoperator
⃗ P = i ∇ hat man H = c⃗α · ⃗P + βmc 2
= i c ⃗α · ∇ + βmc2 .
(1.75)
Nun aber steht ein hier einzuführender Vektor ⃗α im Widerspruch zur Isotropie
des Raumes, so dass die α k nicht einfach Zahlen sein können. Im Jahr
1928 war die Pauli-Gleichung bekannt, so dass man für die α k an mathematische
Objekte denken konnte, die wie die Pauli-Matrizen Elemente einer
Algebra sind.
Für ebene Wellen sollte gelten
i∂ t ψ = Eψ und ⃗ Pψ = ⃗pψ, (1.76)
wobei der relativistische Energie-Impuls-Zusammenhang zu fordern ist
E 2 = ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4 . (1.77)
1 Eine Herleitung der Diracgleichung, die auf der Darstellungstheorie der inhomogenen
Lorentz-Gruppe beruht, findet man in S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vol. 1,
Cambridge University Press, 1995.

1.3 Diracgleichung 17
Darum quadrieren wir die Gleichung (1.73)
Dies muss gleich
sein. Daraus folgt
(i ∂ ∂t )2 ψ = H 2 ψ
= c 2 3∑
j,k=1
1
2 (α jα k + α k α j )P j P k ψ
3∑
+ mc 3 (α k β + βα k )P k ψ
k=1
+ β 2 m 2 c 4 ψ.
(1.78)
c 2 ⃗ P 2 ψ + m 2 c 4 ψ (1.79)
α j α k + α k α j = 2δ jk ,
α k β + βα k = 0,
β 2 = 1.
(1.80)
Die Antikommutator-Regel Gl. (1.80) ist die ähnlich zu derjenigen, die von
den drei Pauli-Matrizen erfüllt wird, σ j σ k + σ k σ j = 2δ jk ; aber hier benötigen
wir 4 Matrizen α k , β. Weil es eine vierte Pauli-Matrix, die β repräsentiert,
nicht gibt, können die Pauli-Matrizen nicht die Lösung sein. Wir suchen daher
eine Lösung durch n×n - Matrizen. Damit der Hamiltonoperator hermitesch
ist, müssen die Matrizen hermitesch sein. Weiterhin muss n gerade sein 2 ,
daher ist n ≥ 4.
Dirac fand für n = 4 eine Lösung der Gleichungen (1.80). In Blockform mit
Pauli’s Spin-Matrizen σ k ist sie
α k =
(
0 σk
σ k 0
)
(k = 1, 2, 3), β =
( )
1 0
. (1.82)
0 −1
Die Wellenfunktionen, die nun zu Dirac’s Hamiltonoperator gehören, haben
vier Komponenten
⎛ ⎞
ψ 1 (⃗r, t)
ψ
ψ(⃗r, t) = 2 (⃗r, t)
⎜ ⎟
⎝ψ 3 (⃗r, t) ⎠ , (1.83)
ψ 4 (⃗r, t)
2 Wegen der Gleichungen (1.80) und der zyklischen Eigenschaft der Spur gilt
Sp(β/2) = Sp(α k α k β) = Sp(α k βα k ) = Sp(α k (−α k β)) = − Sp(β/2). (1.81)
Darum verschwindet Sp β. Eine ähnliche Rechnung liefert Sp α k = 0. In einer Basis, in der
β eine Diagonalmatrix ist, folgt aus β 2 = 1, dass β genau so viele Diagonalelemente +1
wie −1 hat. Daher ist n gerade.

18 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
und die Diracgleichung ist ein System von vier linearen Gleichungen.
i ∂ ∂t ψ = ( c⃗α · ⃗P + βmc 2) ψ. (1.84)
Wahrscheinlichkeitsdichte
Wir bezeichnen die transponierte konjugiert-komplexe Wellenfunktion mit
ψ + := (ψ1, ∗ ψ2, ∗ ψ3, ∗ ψ4) ∗ = (ψ ∗ ) T (1.85)
und multiplizieren die Diracgleichung damit
iψ + ˙ψ = i cψ+ ⃗α · ∇ψ + mc 2 ψ + βψ. (1.86)
Ähnlich verfahren wir mit der konjugierten Dirac Gleichung
− i ˙ψ + = − i c(∇ψ+ ) · ⃗α + mc 2 ψ + β, (1.87)
− i ˙ψ + ψ = − i c(∇ψ+ ) · ⃗αψ + mc 2 ψ + βψ. (1.88)
Subtraktion der Gleichungen (1.86) und (1.88) gibt
Damit haben wir eine Kontinuitätsgleichung
mit einem positiv definiten ρ,
∂
∂t (ψ+ ψ) = −c∇ · (ψ + ⃗αψ). (1.89)
∂
∂t ρ + ∇ ·⃗j = 0 (1.90)
4∑
ρ = ψ + ψ = ψi ∗ ψ i, und ⃗j = cψ + ⃗αψ. (1.91)
i=1
Das Problem der negativen Wahrscheinlichkeiten, das bei der Klein-Gordon-
Gleichung auftritt, gibt es bei der Diracgleichung also nicht mehr. Bestehen
bleibt das Problem unbeschränkt negativer Energien.
Kovariante Schreibweise
Wir multiplizieren die Diracgleichung (1.74)
i ∂ t ψ = i c⃗α · ∇ ψ + βmc2 ψ (1.92)

1.3 Diracgleichung 19
mit 1 c β und erhalten wegen β2 = 1
i {β∂ 0 + β⃗α · ∇} ψ − mc ψ = 0. (1.93)
Die Gleichung lässt sich kompakter schreiben, wenn wir neu definierte Dirac-
Matrizen γ µ verwenden
Damit lautet die Diracgleichung
γ 0 := β und γ k := βα k (k = 1, 2, 3). (1.94)
(iγ µ ∂ µ − mc) ψ = 0 (1.95)
oder auch
Man schreibt auch
(γ µ P µ − mc) ψ = 0. (1.96)
γ µ ∂ µ = ∂/, γ µ P µ = P/. (1.97)
Die „kovariante Diracgleichung“ ist nicht manifest kovariant, weil die γ µ nicht
Komponenten eines Vierer-Vektors sind, sondern konstante Matrizen, so dass
beim Wechsel des Bezugssystem nicht γ ′µ = Λ µ νγ ν gilt.
Algebraische Beziehungen der γ’s
Aus den Gleichungen (1.80) folgen vierdimensionale Erweiterungen der Antivertauschungsregeln:
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν 1. (1.98)
Die γ’s bilden daher die Basiselemente einer Clifford Algebra. Ihre Matrixdarstellungen
sind
γ 0 =
( )
1 0
, γ k =
0 −1
( )
0 σk
, (1.99)
−σ k 0
(γ 0 ) † = γ 0 , (γ k ) † = −γ k . (1.100)
Ladungs- und Stromdichte nach Gleichung (1.91) bilden zusammen einen
Viererstrom (beachte j 0 = cρ)
j µ = cψ + γ 0 γ µ ψ. (1.101)
Definiert man
ψ := ψ + γ 0 = (ψ ∗ 1, ψ ∗ 2, −ψ ∗ 3, −ψ ∗ 4), (1.102)
so wird der Viererstrom zu
j µ = ψγ µ ψ. (1.103)

20 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Die konjugierte Diracgleichung
wird in der Viererschreibweise zu
− i ˙ψ + = − i c(∇ψ+ ) · ⃗α + mc 2 ψ + β (1.104)
− i∂ µ ψγ µ − mcψ = 0. (1.105)
Lösungen der Diracgleichung
Wir wählen einen Lösungsansatz für ebene Wellen, wie sie z. B. bei Streulösungen
gebraucht werden,
⎛ ⎞
u 1
ψ(⃗r, t) = u e i(⃗k·⃗r−ωt) = u e −ik·x u , mit u = 2
⎜ ⎟
⎝u 3 ⎠ . (1.106)
u 4
Wir geben ⃗ k vor, setzen ψ in die Diracgleichung (1.95) ein und erhalten mit
k µ = p µ
(γ µ p µ − mc)u = 0. (1.107)
Dies sind 4 lineare Gleichungen für u 1 , . . . , u 4 . Nichttriviale Lösungen existieren,
falls die Determinante des Gleichungssystems verschwindet,
det(γ µ p µ − mc) = 0. (1.108)
Die Determinante ist proportional zu p µ p µ − m 2 c 2 , so dass für die Lösungen
gelten muss
p µ p µ = m 2 c 2 . (1.109)
Alternativ kann man
betrachten, woraus ebenfalls folgt
(γ µ P µ + mc)(γ ν P ν − mc)u = 0,
p µ p µ − m 2 c 2 = 0. (1.110)
Betrachten wir zunächst ein ruhendes Teilchen mit ⃗p = 0 oder ⃗ k = 0. Ist die
Lösungsbedingung (1.109) erfüllt, so folgt daraus
E 2 = m 2 c 4 . (1.111)
Für das ruhende Teilchen reduziert sich die Diracgleichung auf
(γ 0 p 0 − mc)u = 0. (1.112)

1.3 Diracgleichung 21
In Komponenten ist das
(E − mc 2 )u 1 = 0,
(E − mc 2 )u 2 = 0,
(−E − mc 2 )u 3 = 0,
(−E − mc 2 )u 4 = 0.
(1.113)
Es gibt vier Lösungen u (1) , u (2) , v (1) , v (2) , der Gleichungen (1.113).
⎛ ⎞
1
1. E = mc 2 u = u (1) 0
= ⎜ ⎟
⎝0⎠
0
⎛ ⎞
0
2. E = mc 2 u = u (2) 1
= ⎜ ⎟
⎝0⎠
0
⎛ ⎞
0
3. − E = mc 2 u = v (1) 0
= ⎜ ⎟
⎝1⎠
0
⎛ ⎞
0
4. − E = mc 2 u = v (2) 0
= ⎜ ⎟
⎝0⎠
1
(1.114)
(1.115)
(1.116)
(1.117)
Wie man sieht, gehören zwei dieser Lösungen zu negativen Energien.
Wir verlassen jetzt den Spezialfall des ruhenden Teilchens. Die ebenen Wellen-
Lösungen der vollen Diracgleichung zerlegen wir in zwei Anteile
( ( ) ( )
ϕ ϕ1 χ1
ψ = mit ϕ = , χ = . (1.118)
χ)
ϕ 2 χ 2
Die Diracgleichung mit der Lösungsbedingung für ebene Wellen führt jetzt
auf
( ) (
(γ µ (p0 − mc)ϕ − ⃗p · ⃗σχ 0
p µ − mc)ψ =
= . (1.119)
(−p 0 − mc)χ + ⃗p · ⃗σϕ 0)
Es folgt
χ =
⃗p · ⃗σ
⃗p · ⃗σ
ϕ, ϕ = χ. (1.120)
p 0 + mc p 0 − mc

22 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Prüfen wir das Ergebnis. Mit (⃗p · ⃗σ)(⃗p · ⃗σ) = ⃗p 2 = p 2 0 − m 2 c 2 erhält man
ϕ =
⃗p · ⃗σ
p 0 − mc χ =
⃗p · ⃗σ
p 0 − mc
⃗p · ⃗σ
p 0 + mc ϕ = ⃗p 2
p 2 0 − m 2 c2ϕ = ϕ. (1.121)
Das heißt, für E 2 = ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4 findet man Lösungen, bei denen ϕ beliebig
ist.
Um jetzt die ebene Wellen-Lösungen mit Amplituden u (r) ( ⃗ k), v (r) ( ⃗ k) aufzuschreiben,
sei abgekürzt
√
E = E p = ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4 > 0 (1.122)
eine positive Energie. Für
ψ (+) (x) = u( ⃗ k)e −ik·x (1.123)
erhalten wir die folgenden zwei Amplituden (mit Normierungsfaktor N).
⎛ ⎞ ⎛
1
1
u (1) ( ⃗ 0
k) = N ⎜ ( )
⎟
⎝ ⃗p·⃗σ 1 ⎠ = N 0
⎜ p
⎝c
3 ⎟ . (1.124)
E+mc 2 ⎠
p 0 +mc 0 c p 1+ip 2
E+mc 2 ⎞
Für ⃗p = 0 reduziert sich das auf das frühere Ergebnis u (1) . Entsprechend ist
⎛ ⎞ ⎛
0
0
u (2) ( ⃗ 1
k) = N ⎜ ( )
⎟
⎝ ⃗p·⃗σ 0 ⎠ = N 1
⎜
⎝c p 1−ip 2 ⎟ . (1.125)
E+mc 2 ⎠
p 0 +mc 1 c −p 3
E+mc 2 ⎞
Im nichtrelativistischen Grenzfall ist ||χ||

1.3 Diracgleichung 23
⎛ ( ) ⎞ ⎛
⃗p·⃗σ 0 c p 1−ip 2
⎞
|E|+mc
v (2) ( ⃗ −p 0 +mc 1
2
k) = N ⎜
⎟
⎝ 0 ⎠ = N −p c 3
|E|+mc
⎜
2
⎟
⎝ 0
. (1.129)
⎠
1
1
Hier sind die Rollen der großen und der kleinen Komponenten vertauscht.
Wie im obigen Spezialfall eines ruhenden Teilchens haben wir eine Basis
des Lösungsraumes mit vier Basiselementen, deren Eigenschaften wir jetzt
betrachten wollen.
Eigenschaften der Basis-Lösungen
Wenn wir stets k 0 > 0, mit anderen Worten
k 0 = E p
c
> 0, (1.130)
wählen, so lauten die Diracgleichungen für u bzw. v
(γ µ k µ − mc)u( ⃗ k) = 0 (1.131)
(γ µ k µ + mc)v( ⃗ k) = 0. (1.132)
Für den noch freien Normierungsfaktor wählen wir bei beiden Lösungstypen
N =
Dann gilt eine „Orthonormalität“ der Art, (r, s = 1, 2)
√
|p 0 |c + mc 2 . (1.133)
u (r) ( ⃗ k)u (s) ( ⃗ k) = 2mc 2 δ r,s , (1.134)
v (r) ( ⃗ k)v (s) ( ⃗ k) = −2mc 2 δ r,s , (1.135)
u (r) ( ⃗ k)v (s) ( ⃗ k) = v (r) ( ⃗ k)u (s) ( ⃗ k) = 0. (1.136)
Wir haben auch eine Art Vollständigkeitsrelation
u (1)
α (⃗ k) u (1)
β (⃗ k) + u (2)
α (⃗ k) u (2)
β (⃗ k)
− v α (1) (⃗ k) v (1)
β (⃗ k) − v α (2) (⃗ k) v (2)
β (⃗ (1.137)
k) = 2mc 2 δ α,β
Ein Lorentz-invariantes Integrationsmaß für Wellenpakete
Wellenpakete sind Superpositionen der Wellenfunktionen e −ik·x mit ⃗p = ⃗ k,
also Integrale der Form
∫
d 3 p . . . . (1.138)

24 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Ein geschicktes Integrationsmaß ist Lorentz-invariant. Wir wollen ein solches
Integrationsmaß entwickeln. Dazu nehmen wir eine beliebige Funktion f(p)
als Integrand zu Hilfe. Das Vierer-Integral ist Lorentz-invariant:
∫
∫
∫
∫
d 4 p f(p) = d 4 p ′ f(p ′ ) = d 4 p det } {{ Λ}
f(Λp) =
=1
d 4 p f(Λp). (1.139)
Das Integral über die dreidimensionale Submannigfaltigkeit
∫
d 4 p δ(p 2 − mc 2 ) f(p) (1.140)
zerfällt in zwei ebenfalls Lorentz-invariante Anteile. Der Anteil mit positiver
Energie p 0 ist 3
∫
∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
d 4 p δ(p 2 − mc 2 )Θ(p 0 ) f(p)
d 4 p δ ( (p 0 ) 2 − (⃗p 2 + mc 2 ) ) Θ(p 0 ) f(p 0 , ⃗p )
(
d 4 p δ (p 0 ) 2 − 1 )
c 2E2 p Θ(p 0 ) f(p 0 , ⃗p )
d 4 p
c (
δ(p 0 − E p
2E p c ) + δ(p0 + E )
p
c ) Θ(p 0 ) f(p 0 (1.143)
, ⃗p )
∫
dp 0 d 3 p
c δ(p 0 − E p
2E p c ) f(p0 , ⃗p )
d 3 p
c f( E p
2E p c , ⃗p )
Da das Integral Lorentz-invariant ist, ist
∫
d 3 p
2E p
c (1.144)
ein Lorentz-invariantes Maß auf der dreidimensionalen Hyperfläche positiver
Energie.
3 g(x) habe n einfache Nullstellen x i und dort die Ableitungen g ′ (x i ) ≠ 0. Dann ist
δ(g(x)) =
n∑
i=1
1
|g ′ (x i )| δ(x − x i). (1.141)
Also für a > 0
δ(x 2 − a 2 ) = 1 (δ(x − a) + δ(x + a)) (1.142)
2a

1.3 Diracgleichung 25
p 0
⃗p
Zurück zu den Lösungen der Diracgleichung, die sich als Superpositionen
ebener Wellen mit jeweils positiven oder negativen Energien angeben lassen.
Wellenpakete mit positiver Energie sind
∫
ψ (+) (x) =
d 3 p
(2π) 3 2E p
{
b1 ( ⃗ k)u (1) ( ⃗ k) + b 2 ( ⃗ k)u (2) ( ⃗ k) } e −ik·x , (1.145)
wobei k 0 = E p /c > 0 ist, und die b i ( ⃗ k) i. A. komplexwertige Funktionen
sind.
Wellenpakete mit negativer Energie schreiben wir als Überlagerung von ebenen
Wellen der Form
∫
ψ (−) (x) =
v( ⃗ k)e ik·x mit k 0 = E p
c
> 0. (1.146)
d 3 p
(2π) 3 2E p
{
d
∗
1 ( ⃗ k)v (1) ( ⃗ k) + d ∗ 2 (⃗ k)v (2) ( ⃗ k) } e ik·x . (1.147)
Die Notation d ∗ für die komplexwertigen Funktionen garantiert später etwas
bequemere Ausdrücke.
Beide Lösungstypen superponieren zur allgemeinen Lösung der freien Dirac
Gleichung
∫
ψ(x) =
d 3 p
(2π) 3 2E p
2∑ {
br ( ⃗ k)u (r) ( ⃗ k)e −ik·x + d ∗ r (⃗ k)v (r) ( ⃗ k)e ik·x} . (1.148)
r=1
Wahrscheinlichkeiten bei Dirac-Wellenpaketen
Die Wahrscheinlichkeitsdichte war allgemein (siehe Seite 18)
ψ + ψ = ψγ 0 ψ (1.149)

26 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
und die Gesamtwahrscheinlichkeit ist
∫
d 3 r ψ + (⃗r, t)ψ(⃗r, t). (1.150)
Wir berechnen die Gesamtwahrscheinlichkeit für ein Wellenpaket. Benutzung
der Relationen
liefert
u (r)† ( ⃗ k)u (s) ( ⃗ k) = 2E p δ r,s , (1.151)
v (r)† ( ⃗ k)v (s) ( ⃗ k) = 2E p δ r,s , (1.152)
u (r)† ( ⃗ k)v (s) (− ⃗ k) = v (r)† (− ⃗ k)u (s) ( ⃗ k) = 0 (1.153)
∫
∫
d 3 r ψ + (⃗r, t)ψ(⃗r, t) =
d 3 p
(2π) 3 2E p
2∑ {
b
∗
r ( ⃗ k)b r ( ⃗ k) + d r ( ⃗ k)d ∗ r (⃗ k) } . (1.154)
r=1
Alle Anteile hierin sind manifest positiv.
Die Dirac’sche Löchertheorie
Zwar scheint das Problem der negativen Wahrscheinlichkeitsdichte gelöst zu
sein, jedoch bleibt das Problem negativer Energie bestehen, denn die Lösungen
mit negativen Energien treten i. A. wieder auf, wenn äußere Felder – wie
beim Coulomb-Potenzial – vorhanden sind.
Dirac entwickelte um 1930 die Idee, dass die Zustände möglicher negativer
Energien – etwa in einem Atom – bereits mit Elektronen besetzt sein könnten.
Eine Atom, dessen innere Schalen besetzt sind, lässt ja auch keinen Übergang
eines Elektrons in diese bereits besetzten Zustände zu. Das Pauli-Verbot war
zu dieser Zeit formuliert worden.
Der Vakuumzustand ist dadurch charakterisiert, dass alle negativen Energiezustände
besetzt sind.
mc 2
−mc 2
Dirac-See
verboten

1.3 Diracgleichung 27
Die Idee wurde kontrovers diskutiert, z. B. brachten Heisenberg und Pauli
Einwände vor. Eine Ladungsdichte des Vakuums war wenig überzeugend.
Eine Theorie, welche die negativen Elektronenladungen wie in einem Metall
durch positive Ladungen neutralisieren würde, war nicht in Sicht. Es sei angemerkt,
dass Diracs Vorstellungen ihren Niederschlag in der Festkörpertheorie
der Metalle (Pauli, Bloch, Wannier) und später in der Halbleiterphysik fanden.
Außerdem löst diese Idee nicht das Problem der negativen Energien im Falle
der Klein-Gordon-Gleichung, da das Pauli-Prinzip nicht für Spin 0 Teilchen
gilt, welche ja durch die Klein-Gordon-Gleichung beschrieben werden.
Ausgehend von der Vorstellung der besetzten negativen Energiezustände entwickelte
Dirac seine Löchertheorie. Ein Photon kann ein Elektron aus den
besetzten negativen Energieniveaus – dem „See“ in einen Zustand positiver
Energie überführen. In dem „See“ entsteht ein Loch mit der Ladung +e,
welches sich wie ein Teilchen bewegen kann.
Das einzige positiv geladene Teilchen, das zu dieser Zeit bekannt war, war
das Proton. Konnte dieses mit seiner 1836-fachen Elektronenmasse das Lochteilchen
sein? Hermann Weyl zeigte, dass die Masse des Lochteilchens gleich
der Elektronenmasse sein muss. Im Jahr 1930 entdeckte schließlich Carl D.
Anderson in der Höhenstrahlung das Positron, dessen Nebelkammerspur in
einem Magnetfeld eine positive Ladung und eine Masse von der Größenordnung
des Elektrons zeigte.
Damit konnte man die Erzeugung eines Lochs im Dirac-See als einen Paar-
Erzeugungsprozess deuten. Der umgekehrte Prozess der Paarvernichtung unter
Aussendung eines Gammaquants existiert ebenfalls.
Vakuum
Elektron
E > 0
−mc 2
Dirac-See
−mc 2
Loch
Im Rahmen der Dirac’schen Löchertheorie ist es grundsätzlich möglich, die
Rolle von Elektronen und Positronen zu vertauschen und einen See von besetzten
negativen Positronenzuständen mit Elektronen als Löchern zu deu-

28 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
ten. 4
Die Quantenfeldtheorie verzichtet auf das Bild vom Dirac’schen See und behandelt
Elektronen und Positronen symmetrisch, wie wir noch sehen werden.
Zurück zu den Lösungen der Diracgleichung, die zu jeder der positiven und
negativen Energien noch zwei Komponenten hat. Der Spin des Elektrons als
Observable in einem zweidimensionalen Hilbertraum lässt vermuten, dass die
doppelten Lösungen etwas mit dem Spin zu tun haben. Da der Drehimpulsoperator
ein Generator für Rotationen ist, erwarten wir, dass Bahndrehimpuls
und Spin in Zusammenhang stehen mit dem Transformationsverhalten
der Lösungen der Diracgleichung unter Rotationen.
1.3.2 Kovarianz der Diracgleichung
Transformationsverhalten
Betrachte eine Lorentz-Transformation x −→ x ′ , die als passive Transformation
den Übergang zu einem neuen Bezugssystem beschreibt,
x ′µ = Λ µ νx ν . (1.155)
Hier bezeichnen x und x ′ die in verschiedenen Bezugssystemen unterschiedlichen
Koordinaten desselben Punktes bzw. Ereignisses.
Das Transformationsverhalten von Feldern unterscheidet sich für skalare Felder,
Vektor- oder Tensorfelder.
x 2
skalare Felder
x ′ 2
x 2
Vektorfelder
⃗A
A ′ 2
x ′ 2 x 1
x ′ 1
A ′ 1
x ′ 1
x 1
Bei einem skalaren Feld ϕ(x) gilt
ϕ ′ (x ′ ) = ϕ(x). (1.156)
Bei Vektorfeldern A µ (x) hat man zu berücksichtigen, dass außerdem die Vektorkomponenten
A µ in verschiedenen Bezugssystemen unterschiedlich sind,
A ′µ (x ′ ) = Λ µ ν Aν (x). (1.157)
4 Zur Dirac’schen Löchertheorie siehe auch: W. Greiner, J. Reinhardt, Theoretische
Physik, Bd. 7, Quantenelektrodynamik, Harri Deutsch, 1994, S. 408 f.

1.3 Diracgleichung 29
Wir interessieren uns für das Transformationsverhalten der Lösungen der Diracgleichung
unter einer Lorentz-Transformation, d. h., wie sich die vierkomponentige
Lösung beim Übergang zu einem anderen Bezugssystem ändern
muss, damit die Diracgleichung beim Übergang forminvariant ist. Ist etwa
⎛ ⎞
ψ 1 (x)
ψ
ψ(x) = 2 (x)
⎜ ⎟
⎝ψ 3 (x) ⎠
ψ 4 (x)
(1.158)
ein Vierervektor, oder sind die Komponenten ψ k (x) skalare Funktionen? Wir
werden sehen, dass beides nicht zutrifft.
Betrachten wir die Diracgleichungen in beiden Bezugssystemen
(iγ µ ∂ µ − mc)ψ(x) = 0,
(iγ µ ∂ ′ µ − mc)ψ′ (x ′ ) = 0,
(1.159)
wobei
∂ µ = ∂x′ν ∂
∂x µ ∂x = ′ν Λν µ ∂ ν ′ . (1.160)
Die Transformation ψ(x) −→ ψ ′ (x ′ ) soll, so postulieren wir, linear sein und
natürlich von Λ abhängen. Wir schreiben also
ψ ′ (x ′ ) = S(Λ) ψ(x) (1.161)
mit einer noch zu bestimmenden 4 × 4-Matrix S(Λ). Die Umkehrung der
Transformation erfordert, dass
S(Λ −1 ) = (S(Λ)) −1 (1.162)
gilt. Mit diesen Festlegungen schreiben wir die ursprüngliche Diracgleichung
um als
(iΛ ν µ γµ ∂ ν ′ − mc)S−1 (Λ)ψ ′ (x ′ ) = 0 (1.163)
und nach Multiplikation mit S(Λ) ergibt sich
(
iΛ
ν
µ S(Λ)γ µ S −1 (Λ)∂ ′
ν − mc ) ψ ′ (x ′ ) = 0, (1.164)
wobei die Ableitung ∂ ′ µ mit S −1 (Λ) vertauscht, weil Λ nicht von den Koordinaten
abhängt. S(Λ) vertauscht mit den Koeffizienten Λ ν µ .
Damit die Diracgleichung forminvariant beim Wechsel des Bezugssystem ist,
muss also gelten
Λ ν µ S(Λ)γµ S −1 (Λ) = γ ν (1.165)

30 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
oder
Λ ν µ γµ = S −1 (Λ)γ ν S(Λ). (1.166)
Wir wollen jetzt S(Λ) konstruieren. Weil S(Λ), ebenso wie Λ, eine Transformationsmatrix
ist, die kontinuierlich an die Identität anschließt, reicht es,
wenn wir infinitesimale Transformationen betrachten. Wir werden uns also
zunächst die infinitesimalen Versionen von Λ und danach von S(Λ) verschaffen,
und für diese die Bestimmungsgleichung (1.166) auswerten.
Einschub: Infinitesimale Transformationen
Eine infinitesimale Lorentz-Transformation notieren wir als
Λ ν µ = δ ν µ + ǫ ω ν µ + O(ǫ 2 )
Λ = 1 + ǫ ω + . . . .
Aus der definierenden Gleichung der Lorentz-Transformationen
(1.167)
g µν Λ µ ρ Λν σ = g ρσ (1.168)
folgt durch kurze Rechnung die Antisymmetrie der Matrix (ω µν ), wobei ein
Index hochgezogen wurde,
ω µν = −ω νµ . (1.169)
Das zeigt, dass ω – und damit die Lorentz-Transformationen – durch sechs
reelle Parameter bestimmt sind.
⎛ ⎞
0 · · ·
0 · ·
ω = ⎜ ⎟
(1.170)
⎝ 0 · ⎠
0
Die sechs Parameter entsprechen drei Freiheitsgraden für Lorentz-Boosts und
drei Freiheitsgraden für die Rotation. Ein Lorentz-Boost gehört zu einer
gleichförmig geradlinigen Bewegung des Bezugssystems, wie sie zum Beispiel
durch die Standard-Transformation (1.10) gegeben ist. In der Matrixdarstellung
lautet diese Transformation
⎛
⎞
γ −γβ 0 0
(Λ µ ν ) = −γβ γ 0 0
⎜
⎟
⎝ 0 0 1 0⎠ . (1.171)
0 0 0 1
Für eine infinitesimale Geschwindigkeit β ist die ω-Matrix dazu gegeben
durch
⎛
⎞
0 −β 0 0
(ω µ ν ) = −β 0 0 0
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 0⎠ . (1.172)
0 0 0 0

1.3 Diracgleichung 31
Durch das Heraufziehen eines Index wird (ω µν ) antisymmetrisch.
Ein infinitesimaler Lorentz-Boost in einer beliebigen Richtung ist gegeben
durch
ω 0 j = −ω j 0 , (j = 1, 2, 3), (1.173)
dabei sind c ω 0 j (j = 1, 2, 3) die drei Komponenten der Geschwindigkeit.
Räumliche Rotationen sind charakterisiert durch
t ′ = t, ⃗r ′ = R · ⃗r (1.174)
mit einer 3 × 3 Rotationsmatrix R.
⎛
(Λ µ ν) = ⎜
⎝
1 0 0 0
0
0 R
0
⎞
⎟
⎠ . (1.175)
Die infinitesimalen Transformationen der räumlichen Drehungen mit Drehwinkel
ǫ sind
R = 1 3×3 + ǫ ˜ω. (1.176)
˜ω ist eine antisymmetrische 3 × 3-Matrix, die als Parameter die drei Komponenten
der Drehachse ⃗n enthält,
⎛
⎞
0 −n 3 n 2
⎜
⎟
˜ω = ⎝ n 3 0 −n 1 ⎠ , ˜ω ij = −ǫ ijk n k . (1.177)
−n 2 n 1 0
—
Nach diesem Einschub über infinitesimale Transformationen kommen wir zurück
zu unserem Ziel, S(Λ) zu bestimmen. Die infinitesimale Transformation
zur 4 × 4-Matrix S(Λ) ist der Anfang einer Entwicklung
S(Λ) = 1 − i 4 ǫ ωµν σ µν + O(ǫ 2 ). (1.178)
Der Faktor 1 4 ist Konvention und die sechs Parameter ωµν geben die Lorentz-
Transformation Λ an. Die 4 × 4-Matrizen σ µν sind zu bestimmen. Wegen der
Antisymmetrie der ω µν können wir verlangen, dass
σ µν = −σ νµ . (1.179)
Damit gibt es genau sechs verschiedene Matrizen σ µν unter den 16 Indexkombinationen
µ, ν.

32 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Entwickelt man die Bestimmungsgleichung für S(Λ), Gl.(1.166), mit Hilfe
der linearen Näherung für S(Λ), Gleichung (1.178), bis zur ersten Ordnung
in ǫ, so folgt für den linearen Term
ω ν µ γµ = − i 4 ωα β [γ ν , σ αβ ]. (1.180)
Behauptung:
σ αβ = i 2 [γ α, γ β ] (1.181)
löst diese Gleichung.
Beweis:
Da die Antikommutatoren der γ µ einfach auswertbar sind, benutzen wir zunächst
eine allgemein gültige Identität, die Kommutatoren durch Antikommutatoren
ersetzt, und danach die Antikommutatorregel für die Dirac-Matrizen
γ µ .
[γ ν , [γ α , γ β ]]
=[[γ ν , γ α ] + , γ β ] + − [[γ ν , γ β ] + , γ α ] +
=2g να γ β + 2γ β g να − 2g νβ γ α − 2γ α g νβ
=4g να γ β − 4g νβ γ α .
(1.182)
Es folgt, wenn man die Behauptung Gl. (1.181) in Gleichung (1.180) einsetzt
− i 4 ωα β [γ ν , σ αβ ] = 1 8 ωαβ [γ ν , [γ α , γ β ]]
= 1 2 ωαβ (δ ν αγ β − δ ν βγ α ) = 1 2 (ωνβ γ β − ω αν γ α )
(1.183)
=ω ν µ γµ .
Damit ist die infinitesimale Transformation zu S(Λ), Gl. (1.178) gefunden.
Die Transformationen S(Λ) der Dirac-Wellenfunktionen bilden eine Darstellung
der Lorentz-Gruppe: S(ΛΛ ′ ) = S(Λ)S(Λ ′ ), S(Λ −1 ) = (S(Λ)) −1 ,
S(1) = 1. Ihre Generatoren sind die sechs σ µν . Die Lorentz-Gruppe ist eine
Liegruppe, und für Liegruppen lassen sich die endlichen Transformationen
durch Exponenzierung der Generatoren finden. Für eine endliche Transformation
S(Λ) bedeutet das
S(Λ) = exp
(− i )
4 ωµν σ µν . (1.184)

1.3 Diracgleichung 33
Wir notieren noch die Generatoren.
σ 0j = i 2 [γ 0, γ j ] = −iα j = −i
σ 1 2 =
( )
σ3 0
0 σ 3
(
0 σj
σ j 0
)
und zyklisch vertauscht, d. h.
, (j = 1, 2, 3), (1.185)
( )
σl 0
σ jk = ǫ jkl . (1.186)
0 σ l
Raumspiegelungen
Eine Transformation, die das Vorzeichen aller räumlichen Koordinaten ändert,
also
t ′ = t, ⃗r ′ = −⃗r (1.187)
heißt Raumspiegelung. Ihre Matrixdarstellung ist
⎛
⎞
1 0 0 0
0 −1 0 0
Λ P = ⎜
⎟
⎝0 0 −1 0 ⎠ . (1.188)
0 0 0 −1
Ihre Determinante ist det Λ = −1, und sie gehört nicht zur eigentlichen
orthochronen Lorentz-Gruppe L ↑ +. Wir suchen eine Matrix P , mit ψ ′ (x ′ ) =
P ψ(x), welche die Diracgleichung invariant lässt, d. h. Gleichung (1.166) soll
gelten mit P an Stelle von S.
(Λ P ) ν µ γµ = P −1 γ ν P (1.189)
Wir verlangen 5 P 2 = 1, also P −1 = P , und sehen, dass die Dirac-Invarianz
erfordert
γ 0 = P γ 0 P, −γ j = P γ j P (j = 1, 2, 3). (1.190)
Eine Lösung ist offenbar P = γ 0 .
Bei einer Raumspiegelung transformiert sich eine Lösung der Dirac Gleichung
also gemäß
ψ(x) −→ ψ ′ (x ′ ) = γ 0 ψ(x). (1.191)
Bilineare Kovarianten
Es ist nützlich, einige Größen mit bestimmtem Transformationsverhalten bereitzustellen.
Dazu benutzen wir die Identität
5 Physikalisch genügt P 4 = 1 (Wigner, Bargmann).
S −1 (Λ) = γ 0 S † (Λ)γ 0 , (1.192)

34 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
die wir zunächst für die infinitesimale Transformation beweisen:
Aus Gleichung (1.190) folgt nach Transposition
und mit σ µν = i 2 [γ µ, γ ν ] erhält man
γ µ = γ 0 (γ µ ) † γ 0 , γ µ = γ 0 γ † µ γ0 , (1.193)
und
γ 0 σ µν † γ0 = −i
2 γ0[ γ ν † , µ] γ† γ 0 = i [
γ 0 γ µ † 2
γ0 , γ 0 γ ν † γ0] = σ µν (1.194)
γ 0 (− i 4 ωµν σ µν
) †
γ 0 = i 4 ωµν σ µν . (1.195)
Das überträgt sich durch Einfügen von 1 = γ 0 γ 0 auf die gesamte Exponentialreihe
für S(Λ)
γ 0 S † (Λ)γ 0 = exp
(+ i )
4 ωµν σ µν = S −1 (Λ), (1.196)
was zu zeigen war. Ebenso ist
γ 0 P † γ 0 = P = P −1 . (1.197)
Mit der Hilfe dieser Identitäten finden wir, wie sich ψ(x) = ψ + (x)γ 0 unter
Lorentz-Transformationen verhält:
ψ ′ (x ′ ) = ψ ′+ (x ′ )γ 0 = ψ + (x)S † (Λ)γ 0
= ψ(x)γ 0 S † (Λ)γ 0 = ψ(x)S −1 (Λ)
Also gilt
ψ ′ (x ′ ) = S(Λ)ψ(x)
ψ ′ (x ′ ) = ψ(x)S −1 (Λ)
(1.198)
Hiermit lässt sich das Transformationsverhalten einiger häufig auftretender
Ausdrücke bestimmen
a) ψψ ist eine skalare Größe.
ψ ′ (x ′ )ψ ′ (x ′ ) = ψ(x)ψ(x). (1.199)
b) ψγ µ ψ ist ein Vektor.
Mit der Ausgangsbedingung an S(Λ), Gleichung (1.166), folgt
ψ ′ γ ν ψ ′ = ψS −1 (Λ)γ ν S(Λ)ψ = Λ ν µ ψγµ ψ. (1.200)

1.3 Diracgleichung 35
c) ψσ µν ψ ist ein antisymmetrischer Tensor zweiter Stufe.
Weil σ µν ein Kommutator der γ’s ist, σ µν = i 2 [γ µ, γ ν ], folgt die Behauptung
wieder mit Gleichung (1.166) aus
S −1 (Λ)γ µ γ ν S(Λ) = S −1 (Λ)γ µ S(Λ)S −1 (Λ)γ ν S(Λ) = Λ α
µ Λ β
ν γ α γ β . (1.201)
Sogenannte Pseudoskalare oder Pseudovektoren transformieren sich nur unter
den eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformationen wie Skalare oder
Vektoren. Bei Raumspiegelung ändern sie ihr Vorzeichen. Für eine ökonomische
und suggestive Bezeichnung dieser Größen definieren wir eine fünfte
Gamma-Matrix
γ 5 = γ 5 := i ( )
0 1
4! ǫ µνρσγ µ γ ν γ ρ γ σ = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = . (1.202)
1 0
Die Summe ǫ µνρσ γ µ γ ν γ ρ γ σ enthält 4!=24 nichtverschwindende Terme, bei
denen (µ, ν, ρ, σ) eine Permutation π der 4 Zahlen (0, 1, 2, 3) ist,
(µ, ν, ρ, σ) = (π(0), π(1), π(2), π(3)). (1.203)
Da alle Gamma-Matrizen mit verschiedenen Indizes antikommutieren, kann
man das Produkt der γ’s nach aufsteigenden Indizes umordnen
γ π(0) γ π(1) γ π(2) γ π(3) = sign(π) γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . (1.204)
Für die Elemente der total antisymmetrischen Matrix gilt
ǫ π(0)π(1)π(2)π(3) = sign(π), (1.205)
so dass folgt
Es gilt
ǫ µνρσ γ µ γ ν γ ρ γ σ = 4! γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . (1.206)
S −1 (Λ)γ 5 S(Λ) = i 4! ǫ µνρσ Λ µ µ ′Λν ν ′Λρ ρ ′Λσ σ ′ γµ′ γ ν′ γ ρ′ γ σ′
d) ψγ 5 ψ ist ein Pseudoskalar.
= (det Λ) γ 5
(1.207)
ψ ′ γ 5 ψ ′ = ψS −1 (Λ)γ 5 S(Λ)ψ = (det Λ) ψγ 5 ψ . (1.208)
Da det(Λ) = −1 bei Raumspiegelungen und det(Λ) = +1 für eine eigentliche
orthochrone Lorentz-Transformation ist, ist ψγ 5 ψ ein Pseudoskalar.
Entsprechend gilt
e) ψγ µ γ 5 ψ ist ein Pseudovektor.

36 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
1.3.3 Spin
Die Generatoren der Rotationsgruppe in der Quantentheorie
Wir betrachten eine Schrödinger-Wellenfunktion ψ(⃗r, t) und wollen die Transformation
dieser Wellenfunktion unter einer räumlichen Rotation bestimmen.
Die Wirkung der Rotation auf die Koordinaten von ⃗r wird durch eine orthogonale
Matrix R dargestellt
R : ⃗r −→ ⃗r ′ , R † R = 1. (1.209)
Hier bezeichnet ⃗r nicht einen Koordinaten-unabhängigen Vektor, sondern die
drei Komponenten des Ortsvektors in dem jeweils betrachteten Bezugssystem.
R beschreibt eine passive Transformation. Die Matrix R kann durch
einen Drehwinkel α und einen Einheitsvektor ⃗n für die Drehachse bestimmt
sein. Man definiert
⃗α = α ⃗n. (1.210)
Eine Wellenfunktion sollte ihren Wert an einem Ort ⃗r beibehalten, wenn man
zu anderen Koordinaten ⃗r ′ übergeht,
ψ ′ (⃗r ′ ) = ψ(⃗r) bzw. ψ ′ (⃗r ) = ψ(R −1 ⃗r ). (1.211)
Wir betrachten eine infinitesimale Rotation mit infinitesimalem Drehwinkel
α
⃗r ′ = ⃗r + ⃗α × ⃗r + O(|α| 2 ) (1.212)
und erhalten in linearer Näherung
ψ ′ (⃗r ) = ψ(⃗r − ⃗α × ⃗r )
= ψ(⃗r ) − ⃗α · (⃗r × ∇)ψ(⃗r )
= (1 − i ⃗α · ⃗L) ψ(⃗r ).
(1.213)
Die Komponenten des Drehimpulses L ⃗ sind also die Generatoren der Rotationen
der Wellenfunktion.
Eine analoge Überlegung für die zweikomponentigen Pauli-Spinorwellenfunktionen
( )
ψ1 (⃗r )
ψ(⃗r ) =
(1.214)
ψ 2 (⃗r )
führt zur Aussage, dass die Rotationen im dreidimensionalen Raum durch
die sechs Generatoren
⃗J = L ⃗ + S ⃗ mit S ⃗
= ⃗σ (1.215)
2

1.3 Diracgleichung 37
erzeugt werden. (Hier ist ⃗ S Generator für die Drehung der Spinoren.)
Spin in der Dirac-Theorie
Wir betrachten räumliche Drehungen um die durch ⃗n, |⃗n| = 1 gegebene
Achse mit einem Winkel α. Die Lorentz-Transformation dazu lautet
⎛
Λ = ⎜
⎝
⃗r ′ = R(⃗α)⃗r.
1 0 0 0
0
0 R
0
Die infinitesimale Transformation dazu ist
⎞
⎟
⎠ , RT R = 1 3×3 ,
(1.216)
in Komponenten
⃗r ′ = ⃗r + δ⃗α × ⃗r, (1.217)
x ′ j = x j + ǫ jkl δα k x l . (1.218)
Vergleicht man dies mit Gleichung (1.167)
so findet man
Λ ν µ = δν µ + ǫ ων µ
ǫω jl = −ǫ jkl δα k . (1.219)
Damit erhält man für eine infinitesimale Rotation (ω 0j = ω j0 = 0)
S(Λ) = 1 − i 4 ǫω µνσ µν (1.220)
= 1 + i 4 ǫ jklδα k σ jl . (1.221)
Mit
( )
( )
σ jl σk 0
= ǫ jlk , ǫ
0 σ jkl σ jl σk 0
= −2
k 0 σ k
erhält man für die infinitesimale Rotation
S = 1 − i ( )
⃗σ 0
2 δ⃗α · 0 ⃗σ
= 1 − i δ⃗α · ⃗Σ
2
(1.222)
(1.223)
und für endlichen Drehungen
S = exp(− i 2 ⃗α · ⃗Σ). (1.224)

38 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Für eine volle Drehung um 360 ◦ (α = 2π) ist S = −1, so dass erst zwei volle
Drehungen wieder zur ursprünglichen Dirac-Wellenfunktion zurück führen.
Vergleicht man dies mit der unitären Transformation für Pauli-Spinoren in
der Quantenmechanik
U S (⃗α) = exp(− i ⃗α · ⃗σ), (1.225)
2
so sieht man, dass in der Zerlegung
ψ =
(
ϕ
χ)
(1.226)
die Komponenten ϕ und χ sich unter rein räumlichen Drehungen wie Pauli-
Spinoren transformieren.
Transformation der Dirac-Wellenfunktion unter Drehungen
ψ ′ (x ′ ) = exp(− i 2 ⃗α · ⃗Σ)ψ(x 0 , R −1 (⃗α) · ⃗r )
= exp(− i 2 ⃗α · ⃗Σ) exp(− i ⃗α · ⃗L) ψ(x 0 ,⃗r)
= exp
(− i (
⃗α · ⃗L + ))
Σ
2 ⃗ ψ(x).
(1.227)
Es folgt, dass räumliche Drehungen wie in der Quantenmechanik erzeugt
werden von den Generatoren
⃗J = ⃗ L + 2 ⃗ Σ = ⃗ L + ⃗ S. (1.228)
Dabei wurde der Spin ⃗ S definiert als
⃗S := Σ
2 ⃗ = ( )
⃗σ 0
. (1.229)
2 0 ⃗σ
Wir notieren noch einige Eigenschaften der Generatoren ⃗ S und ⃗ L
[L i , S j ] = 0, (1.230)
[S i , S j ] = iǫ ijk S k , (1.231)
( ) 2
( S ⃗
) 2 = (σ1 2 + σ2 3 + σ 2
2
3) 1
= 3 4 2 1 = s(s + 1) 2 1. (1.232)

1.3 Diracgleichung 39
Man sieht hieraus, dass der Spin s = 1 2 ist.
Vertauschungsrelationen zwischen Hamiltonoperator und Drehimpulsoperatoren
sind in der Quantenmechanik von besonderem Interesse. Für den Dirac-
Hamiltonoperator eines freien Teilchens, Gleichung (1.75)
ergeben sich nach etwas Rechnung
H = c⃗α · ⃗P + βmc 2
[ ⃗ L, H] = ic ⃗α × ⃗ P , (1.233)
[ ⃗ S, H] = −ic ⃗α × ⃗ P , (1.234)
[ ⃗ J, H] = 0. (1.235)
Während also sowohl der Bahndrehimpuls als auch der Spin keine Erhaltungsgrößen
sind, ist der Gesamtdrehimpuls ⃗ J erhalten.
Wir notieren noch die Wirkung der dritten Spinkomponente S 3 auf die überschaubaren
Lösungen der Diracgleichung eines ruhenden Teilchens (⃗p = ⃗0):
S 3 u (1) = 2 u(1) , S 3 u (2) = − 2 u(2) . (1.236)
Die ersten beiden Lösungen u (r) beschreiben somit die Spinzustände
Entsprechend ist
u (1) ̂= spin up, (1.237)
u (2) ̂= spin down. (1.238)
S 3 v (1) = 2 v(1) , S 3 v (2) = − 2 v(2) . (1.239)
1.3.4 Äußere elektromagnetische Felder
Die Eichkovarianz des Maxwellfeldes erlaubt die Ankopplung an das Dirac-
Feld über die Ersetzung
P µ −→ P µ − eA µ . (1.240)
Der Dirac-Hamiltonoperator, Gleichung (1.75), wird dadurch zu
H = c⃗α · ( ⃗ P − e ⃗ A) + eΦ + βmc 2 (1.241)
und die Wellengleichung lautet in kovarianter Schreibweise
(iγ µ ∂ µ − eγ µ A µ − mc)ψ = 0. (1.242)

40 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Mit
folgt
ψ =
(
ϕ
χ)
(1.243)
(i ∂ ∂t − eΦ − mc2 ) ϕ = c( ⃗ P − e ⃗ A) · ⃗σ χ, (1.244)
(i ∂ ∂t − eΦ + mc2 ) χ = c( ⃗ P − e ⃗ A) · ⃗σ ϕ. (1.245)
1.3.5 Nichtrelativistischer Grenzfall
Wir beschränken uns hier auf die spezielle Situation stationärer Lösungen, betrachten
also Energie-Eigenzustände. Phänomene wie Spin-Präzession klammern
wir aus. Die Eigenwertgleichung zum Hamiltonoperator ergibt sich mit
zu
i ∂ ψ = Eψ (1.246)
∂t
(E − eΦ − mc 2 ) ϕ = c( ⃗ P − e ⃗ A) · ⃗σ χ, (1.247)
(E − eΦ + mc 2 ) χ = c( ⃗ P − e ⃗ A) · ⃗σ ϕ. (1.248)
Wir können jetzt durch E − eΦ − mc 2 teilen und die Differentialgleichungen
entkoppeln.
(E − eΦ − mc 2 ) ϕ
= c 2 ( ⃗ P − e ⃗ A) · ⃗σ (E − eΦ + mc 2 ) −1 ( ⃗ P − e ⃗ A) · ⃗σ ϕ
(1.249)
Nun betrachten wir den nicht-relativistischen Grenzfall. Wir definieren
und verlangen, dass
E = mc 2 + E ′ , (1.250)
E ′ ≪ mc 2 und eΦ = V ≪ mc 2 . (1.251)
a) In führender Ordnung vernachlässigen wir Terme der Größe E′ und V
mc 2
Wir nähern somit (E − eΦ + mc 2 ) ≈ 2mc 2 und erhalten
mc 2 . 6
(E ′ − eΦ) ϕ = 1 [ ]
( P ⃗ − eA) ⃗ 2
· ⃗σ ϕ. (1.252)
2m
6 Im Rahmen der klassischen Mechanik (E = 1 2 mv2 ) entspräche dies einer Vernachlässigung
von Termen der Ordnung v2
c 2 .

1.3 Diracgleichung 41
Da die Komponenten P i , A j nicht vertauschen, betrachten wir die einzelnen
Beiträge in der Summe
∑
(P i − eA i )σ i (P j − eA j )σ j , (1.253)
i,j
Die Diagonalterme mit i = j liefern wegen (σ i ) 2 = 1
∑
(P i − eA i )σ i (P i − eA i )σ i = ( )
P ⃗ − eA ⃗ 2. (1.254)
i
Bei den nichtdiagonalen Elementen hat man wegen σ 1 σ 2 = iσ 3 zwei Beiträge
(P 1 − eA 1 )(P 2 − eA 2 )iσ 3 − (P 2 − eA 2 )(P 1 − eA 1 )iσ 3 (1.255)
Hier heben sich die nicht gemischten Terme gegenseitig auf. Übrig bleiben
− e ( A 1 P 2 + P 1 A 2 − (A 2 P 1 + P 2 A 1 ) ) iσ 3
= − e (
A 1 ∂ 2 + ∂ 1 A 2 − A 2 ∂ 1 − ∂ 2 A 1) iσ 3
i
= − e ( (∂ 1 A 2 ) − (∂ 2 A 1 ) ) σ 3
= − e ( ∇ × A ⃗ ) σ 3 .
3
(1.256)
Entsprechende Beiträge kommen von den zyklisch vertauschten Geschwistern
dieser Terme. Insgesamt folgt
(E ′ − eΦ)ϕ =
Dies ist die Pauli-Gleichung. Der Pauli-Term
hat den gyromagnetischen Faktor
{ }
1 ( ) ⃗P − eA ⃗ 2 e − B
2m
2m ⃗ · ⃗σ ϕ. (1.257)
− g e
2m ⃗ S · ⃗B = −g e
4m ⃗σ · ⃗B (1.258)
g = 2, (1.259)
der sich als nichtrelativistische Näherung aus der Diracgleichung ergibt.
b) Entwicklung einschließlich der Terme der Ordnung E′
und V .
mc 2 mc 2
Jetzt lassen wir zur Vereinfachung der Rechnung das Magnetfeld fort:
⃗A = ⃗0. (1.260)

42 1 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Die Gleichung (1.249) vereinfacht sich zu
(E ′ − eΦ) ϕ = c 2 ⃗ P · ⃗σ (E ′ − eΦ + 2mc 2 ) −1 ⃗ P · ⃗σ ϕ. (1.261)
Hier wird die Näherung
(2mc 2 + E ′ − eΦ) −1 = 1
2mc 2 (1 − E′ − eΦ
2mc 2 + . . . ) (1.262)
und ( P ⃗ · ⃗σ) 2 = P ⃗ 2 benutzt und wir erhalten
⎛
(E ′ − eΦ) ϕ =
⃗ ⎞
P
⎝ 2
2m − 1 P
4m 2 c ⃗ · ⃗σ(E ′ − eΦ) P ⃗ · ⃗σ ⎠ ϕ. (1.263)
2
Eine längere Umformung führt schließlich zu
mit
E ′ ϕ = H (2) ϕ (1.264)
H (2) = ⃗ P 2
2m + eΦ + H 1 + H 2 + H 3 . (1.265)
Die Terme H 1 , H 2 , H 3 sind
H 1 = − ( P ⃗ 2 ) 2
8m 3 c2, (1.266)
H 2 = 1 1 dV
S
2m 2 c 2 r dr ⃗ · ⃗L, (1.267)
H 3 =
2
8m 2 c2∆V. (1.268)
H 1 stammt von der Entwicklung der kinetischen Energie:
√m 2 c 4 + ⃗p 2 c 2 = mc 2 + ⃗p 2
− (⃗p 2 ) 2
.
2m 8m 3 c 2
H 2 ist die Spin-Bahn-Kopplung.
H 3 heißt Darwin-Term. Im Coulomb-Potenzial gibt ∆V (r) nur bei r = 0
einen wesentlichen Beitrag, d. h. für s-Wellenfunktionen.
Das relativistische Coulomb-Problem ist exakt lösbar. Das Ergebnis für die
Energie-Eigenwerte ist ähnlich zu Gleichung (1.58). Energiekorrekturen, die
in dieser Theorie nicht enthalten sind, sind Lamb-Shift und Hyperfeinstruktur.
Die Lamb-Shift hebt die Energie des 2s-Zustandes um ca. 1 GHz an.
Die Ursache hierfür sind Vakuumfluktuationen des elektromagnetischen Feldes,
wodurch das Elektron im Coulomb-Potenzial etwas schwächer gebunden
wird.

2 Feldoperatoren in der nichtrelativistischen
QM
2.1 Viel-Teilchen-Quantenmechanik
Eine Wellenfunktion für ein System von N Teilchen ist, wenn wir vom Spin
absehen, eine quadratintegrable Funktion von N Ortsvariablen. Z. B.
N = 1 ψ 1 (⃗r ), ψ 1 ∈ H ′ 1 = L 2 (R 3 )
N = 2 ψ 2 (⃗r 1 ,⃗r 2 ), ψ 2 ∈ H ′ 2 = L 2(R 6 )
. . .
ψ N (⃗r 1 ,⃗r 2 , . . . ,⃗r N ), ψ N ∈ H ′ N = L 2(R 3N )
Die Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer gleicher Teilchen erfordert,
dass eine Wellenfunktion entweder total symmetrisch oder total antisymmetrisch
unter Vertauschung ihrer Argumente ist. Symmetrische Wellenfunktionen
gehören zu Bosonen, antisymmetrische zu Fermionen. Bezeichnen wir
den Projektionsoperator auf den Unterhilbertraum der symmetrischen Wellenfunktionen
mit P S und die Projektion auf die antisymmetrischen Wellenfunktionen
mit P A , so formalisieren wir
43
Bosonen : ψ N = P S ψ N = 1 ∑
ψ N (⃗r π(1) , . . . ,⃗r π(N) ),
N!
π∈S N
Fermionen : ψ N = P A ψ N = 1 ∑
sign(π)ψ N (⃗r π(1) , . . . ,⃗r π(N) ).
N!
π∈S N
(2.1)
Beispiel:
P S ψ 2 (⃗r 1 ,⃗r 2 ) = 1 2(
ψ2 (⃗r 1 ,⃗r 2 ) + ψ 2 (⃗r 2 ,⃗r 1 ) ) ,
P A ψ 2 (⃗r 1 ,⃗r 2 ) = 1 2(
ψ2 (⃗r 1 ,⃗r 2 ) − ψ 2 (⃗r 2 ,⃗r 1 ) ) .
(2.2)
Diese Zustände sind noch nicht normiert. Für die Projektionsoperatoren hat
man
P 2 S = P S , P 2 A = P A , P S P A = P A P S = 0. (2.3)
Wir schreiben auch P σ für σ = S bzw. σ = A.
Eine diskrete orthonormierte Basis des Hilbertraums, wie es z. B. die Eigenfunktionen
eines harmonischen Oszillators sind, sei gegeben durch
{ϕ j | j = 1, 2 . . . } Basis von H 1 , (2.4)

44 2 FELDOPERATOREN IN DER NICHTRELATIVISTISCHEN QM
= δ jk . (2.5)
Wir können Produktzustände mit den Wellenfunktionen
ψ j1 ,...,j N
(⃗r 1 , . . . ,⃗r N ) = ϕ j1 (⃗r 1 )ϕ j2 (⃗r 2 ) · · · ϕ jN (⃗r jN ) (2.6)
bilden. In der Schreibweise als Tensorprodukt lautet das
ψ j1 ,...,j N
= ϕ j1 ⊗ ϕ j2 ⊗ · · · ⊗ ϕ jN . (2.7)
Zur Erinnerung: das Tensorprodukt von Zuständen ist definiert durch
(ϕ j1 ⊗ · · · ⊗ ϕ jN )(⃗r 1 , . . . ,⃗r N ) = ϕ j1 (⃗r 1 ) · · · ϕ jN (⃗r jN ). (2.8)
Die Produktzustände sind i. A. weder symmetrisch noch antisymmetrisch.
Daher werden sie bzw. die Produktwellenfunktionen (anti-)symmetrisiert:
ψ (σ)
j 1 ,...,j N
= 1 N!
ψ (σ)
j 1 ,...,j N
(⃗r 1 , . . . ,⃗r N ) = 1 N!
∑
[ ]
sign(π) ϕπ(j1 ) ⊗ · · · ⊗ ϕ π(jN ),
π∈S N
(2.9)
∑ [ ]
sign(π) ϕπ(j1 )(⃗r 1 ) · · · ϕ π(jN )(⃗r N ).
π∈S N
(2.10)
Diese – in dieser Form noch nicht normierten – Wellenfunktionen bilden eine
Basis von H N . Der Gesamt-Hilbertraum ist die direkte Summe
H = H 0 ⊕ H 1 ⊕ . . . , ⊕H N ⊕ . . . (2.11)
Ein Vektor ψ ∈ H wird repräsentiert durch eine unendliche Folge
wobei ψ N eine Funktion von N Orten ist:
Das Skalarprodukt in H ist
ψ = (ψ 0 , ψ 1 , ψ 2 , . . . ), (2.12)
ψ 0 ∈ C, ψ 1 (⃗r 1 ), ψ 2 (⃗r 1 ,⃗r 2 ), . . . . (2.13)
= ∑ N
, (2.14)
speziell ist die Norm von ψ gegeben durch
‖ψ‖ 2 == ‖ψ 0 ‖ 2 + ‖ψ 1 ‖ 2 + . . . . (2.15)
Nach Normierung ‖ψ‖ = 1 gibt
P n := (2.16)

2.1 Viel-Teilchen-Quantenmechanik 45
die Wahrscheinlichkeit an, n Teilchen zu finden.
Der Vakuumzustand |0>∈ H ist gegeben durch (1, 0, 0, . . .).
Besetzungszahldarstellung
Wir bleiben bei einer diskreten Hilbertraumbasis für die Ein-Teilchen-Zustände
und betrachten einen Zustand aus H, bei dem n 1 Teilchen sich im Zustand
1 befinden, n 2 Teilchen im Zustand 2, usw. Die Zahlen n 1 , n 2 , etc. heißen
Besetzungszahlen. Dann ist die gesamte Teilchenzahl
N = n 1 + n 2 + n 3 + . . . (2.17)
und eine orthonormierte Basis von H wird gebildet von den Zuständen
⎧ ⎫
⎨ 1 ∏ ⎬
|N; n 1 , n 2 , n 3 , . . . >= n
⎩ j !
N! ⎭
j
− 1 2
ψ 1,...,1,2,...,2,3,...,3,... , (2.18)
wobei der Indexsatz 1, . . . , 1, 2, . . . , 2, 3, . . . , 3, . . . andeutet, dass es n 1 Indizes
1 gibt, n 2 Indizes 2, n 3 Indizes 3, usw. Diese Zustände bilden die Besetzungszahldarstellung.
Im Falle von Fermionen können die Besetzungszahlen nur
die Werte n i = 0 oder n i = 1 annehmen.
Operatoren
Betrachten wir Operatoren auf diesen Viel-Teilchen-Hilberträumen. Wir beginnen
mit einem Ein-Teilchen-Operator
a : H 1 −→ H 1 . (2.19)
wie z. B. die Operatoren Q i , P i oder ein Hamiltonoperator h. Wir erweitern
a zu einem Operator a (N)
i auf dem N-Teilchen-Hilbertraum folgendermaßen.
Seine Wirkung auf die reinen Produktzustände in H N ′ wird dadurch definiert,
dass es auf den i-ten (tensoriellen) Faktor wirkt:
a (N)
i (ϕ j1 ⊗ · · · ⊗ ϕ ji ⊗ · · · ⊗ ϕ jN ) = ϕ j1 ⊗ · · · ⊗ aϕ ji ⊗ · · · ⊗ ϕ jN . (2.20)
Auf die gleiche Weise wirkt a (N)
i auf Linearkombinationen der Produktzustände,
indem es bei jedem Summanden so wirkt, wie eben definiert. Wir
lassen ab jetzt den oberen Index (N) bei a (N)
i fort.
Ein symmetrisch definierter Operator ist
N∑
A = a i : H N ′ −→ H′ N . (2.21)
i=1

46 2 FELDOPERATOREN IN DER NICHTRELATIVISTISCHEN QM
Dieser respektiert symmetrische und antisymmetrische Zustände, d. h. er
vertauscht mit P σ . Somit operiert er auf den Hilberträumen H N .
A : H N −→ H N . (2.22)
Ein Beispiel für solch einen Operator A ist der Hamiltonoperator für N Teilchen,
die untereinander nicht wechselwirken:
N∑
H = h i , mit h i = − 2
i=1
2m ∆ ⃗r i
+ V (⃗r i ),
(
)
N∑
(Hψ N ) (⃗r 1 , . . . ,⃗r N ) = − 2
i=1
2m ∆ ⃗r i
+ V (⃗r i ) ψ N (⃗r 1 , . . . ,⃗r N ).
(2.23)
Für Teilchen, die untereinander wechselwirken, braucht man Zwei-Teilchen-
Operatoren
v : H 2 −→ H 2 . (2.24)
Ein Beispiel ist das Wechselwirkungspotenzial für zwei geladene Teilchen
Allgemeiner betrachtet man Operatoren
(v ψ 2 )(⃗r 1 ,⃗r 2 ) = v(⃗r 1 ,⃗r 2 ) ψ 2 (⃗r 1 ,⃗r 2 ). (2.25)
v ij : H ′ N −→ H ′ N, (N ≥ 2), (2.26)
die sich auf die zwei Teilchen mit den Nummern i und j beziehen, z. B.
und Zwei-Teilchen-Operatoren
(v ij ψ)(⃗r 1 , . . . ,⃗r N ) = v(⃗r i ,⃗r j ) ψ(⃗r 1 , . . . ,⃗r N ), (2.27)
V = ∑ v ij = 1
i

2.2 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren 47
erzeugt ein weiteres Teilchen in einem gewissen Zustand. Sei ϕ ∈ H 1 , so
definiert man a † ϕ durch seine Wirkung auf Zustände (ψ 0, ψ 1 , ψ 2 , . . . ), wobei
die Symmetrieeigenschaften der Teilchenzustände respektiert werden sollen:
a † ϕ (ψ 0, ψ 1 , ψ 2 , . . . ) = (ψ ′ 0 , ψ′ 1 , ψ′ 2 , . . . )
mit ψ ′ N (⃗r 1, . . . ,⃗r N ) = √ N P σ (ψ N−1 ⊗ ϕ)(⃗r 1 , . . . ,⃗r N ).
(2.30)
Man sagt, a † ϕ erzeugt ein Teilchen im Zustand ϕ. Zur Verdeutlichung dieser
Definition betrachte
ψ ′ 0 =0,
ψ ′ 1(⃗r ) =ψ 0 ϕ(⃗r ),
ψ ′ 2 (⃗r 1,⃗r 2 ) = √ 2 1 2!(
ψ1 (⃗r 1 ) ϕ(⃗r 2 ) ± ϕ(⃗r 1 ) ψ 1 (⃗r 2 ) ) ,
ψ ′ 3 (⃗r 1,⃗r 2 ,⃗r 3 ) = √ 3 1 3!(
ψ1 ⊗ ψ 2 ⊗ ϕ ± ψ 1 ⊗ ϕ ⊗ ψ 2 ± ψ 2 ⊗ ψ 1 ⊗ ϕ
+ ψ 2 ⊗ ϕ ⊗ ψ 1 + ϕ ⊗ ψ 1 ⊗ ψ 2 ± ϕ ⊗ ψ 2 ⊗ ψ 1
)
(⃗r1 ,⃗r 2 ,⃗r 3 ).
(2.31)
Für Linearkombinationen ϕ = λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 gilt
a † ϕ = λ 1a † ϕ 1
+ λ 2 a † ϕ 2
. (2.32)
Bei einer diskreten Basis ϕ j von H 1 schreibt man kurz
a † j := a † ϕ j
a † j|j 1 , . . . , j N−1 > σ = √ N|j 1 , . . . , j N−1 , j> σ .
(2.33)
In der Besetzungszahldarstellung ist die Wirkung von a † j
a † j |N −1; n 1 , . . . , n j , . . .> = √ n j + 1 |N; n 1 , . . . , n j−1 , n j + 1, n j+1 , . . . >
(2.34)
Erzeugungsoperatoren im Orts- und Impulsraum
Die Erzeugung eines Teilchens mit dem scharfen Impuls ⃗ k bewirkt der Operator
a † ⃗ k
= a † ϕ ⃗k
, mit ϕ ⃗k (⃗r ) = e i⃗ k·⃗r . (2.35)
Schreiben wir einen Ein-Teilchen-Zustand ϕ(⃗r ) als Überlagerung solcher Impulseigenzustände
ϕ ⃗k ,
∫
ϕ(⃗r ) =
d 3 k
(2π) 3 ˜ϕ(⃗ k )e ik·⃗r , (2.36)

= 1 √
2
δ j j2 ± |j 2 > δ j j1
)
,
(2.45)
48 2 FELDOPERATOREN IN DER NICHTRELATIVISTISCHEN QM
so kann der Erzeugungsoperator für ein Teilchen mit ϕ(⃗r ) geschrieben werden
als
∫
a † ϕ = d 3 k
(2π) ˜ϕ(⃗ k )a † 3 ⃗ k
. (2.37)
Ein Teilchen am scharf bestimmten Ort ⃗x hat die Wellenfunktion
ϕ(⃗r ) = δ (3) (⃗r − ⃗x ) (2.38)
und der Erzeugungsoperator dazu wird bezeichnet mit
Ψ † (⃗x ) := a † ϕ . (2.39)
Ψ † (⃗x ) heißt „Feldoperator“, er erzeugt ein Teilchen genau am Orte ⃗x,
Ψ † (⃗x ) |⃗r 1 , . . . ,⃗r n−1 > σ = √ N |⃗r 1 , . . . ,⃗r n−1 , ⃗x> σ . (2.40)
Eine allgemeine Wellenfunktion können wir als Überlagerung von lokalisierten
Wellenfunktionen schreiben,
∫
ϕ(⃗r ) = d 3 x ϕ(⃗x )δ (3) (⃗r − ⃗x ), (2.41)
und es folgt wieder
a † ϕ = ∫
d 3 x ϕ(⃗x )Ψ † (⃗x ). (2.42)
So hat man auch für Erzeugungsoperatoren eine Fourier-Hin- und Rücktransformation
∫
a † ⃗ k
= d 3 x e i⃗k·⃗x Ψ † (⃗x ) ,
∫
Ψ † d 3 k
(2.43)
(⃗x ) =
(2π) 3 e−i⃗ k·⃗x a † ⃗ k
.
Vernichtungsoperatoren
Der zu einem Erzeugungsoperator a † ϕ adjungierte Operator a ϕ
a ϕ : H N+1 −→ H N , a ϕ : H 0 −→ {0} (2.44)
verringert die Anzahl der vorhandenen Teilchen um 1 und heißt darum Vernichtungsoperator.
Für N = 1 zum Beispiel rechnet man mit Gleichung (2.2)
σ σ = σ ∗ σ = σ ∗ σ
= √ 2 1 ( )(
)
4
= √ 2 1 ( )
δ j j2 ± δ j j1 ± δ j j1 + δ j j2
4

2.3 Vertauschungsregeln 49
woraus folgt
a j |j 1 j 2 > σ = 1 √
2
(
|j1 > δ j j2 ± |j 2 > δ j j1
)
. (2.46)
Für Bosonen ist allgemein
a j |j 1 , . . . , j N+1 > σ :=
N+1
1 ∑
√ δ j ji |j 1 , . . . , j i−1 , j i+1 , . . . , j N+1 > σ . (2.47)
N + 1
i=1
In der Besetzungszahldarstellung lautet dies
a j |N +1; n 1 , . . . , n j , . . . >= √ n j |N; n 1 , . . . , n j −1, . . . > . (2.48)
Vernichtungsoperatoren für Fermionen werden analog gebildet. In der (2.47)
entsprechenden Gleichung treten zusätzliche Vorzeichen auf.
2.3 Vertauschungsregeln
a) Bosonen beschreiben wir hier in der Besetzungszahldarstellung bezogen
auf eine diskrete Basis. Wie bei harmonischen Oszillatoren in der Quantenmechanik
gilt
a † ia † j |N; n 1 , . . . , n i , . . . , n j , . . . >
√
= (n i +1)(n j +1) |N +2; n 1 , . . . , n i +1, . . . , n j +1, . . . >
= a † ja † i |N; n 1 , . . . , n i , . . . , n j , . . . > (i ≠ j).
(2.49)
Analog rechnet man bei den Vernichtungsoperatoren. Man erhält
[a † i, a † j] = [a i , a j ] = 0. (2.50)
Für die gemischten Kommutatoren findet man
a i a † j |N; n 1 , . . . , n i , . . . , n j , . . . >
√
= n i (n j +1) |N; n 1 , . . . , n i −1, . . . , n j +1, . . . > , (2.51)
= a † ja i |N; n 1 , . . . , n i , . . . , n j , . . . > (i ≠ j).
also
Übrig bleibt noch
[a i , a † j] = 0, (i ≠ j). (2.52)
a i a † i |N; n 1 , . . . , n i , . . . > = (n i +1) |N; n 1 , . . . , n i , . . . >,
a † ia i |N; n 1 , . . . , n i , . . . > = n i |N; n 1 , . . . , n i , . . . >,
(2.53)

50 2 FELDOPERATOREN IN DER NICHTRELATIVISTISCHEN QM
so dass wie beim harmonischen Oszillator gilt
[a i , a † i] = 1. (2.54)
Insgesamt hat man die bosonischen Vertauschungsregeln
[a i , a † j] = δ ij . (2.55)
In den kontinuierlichen Darstellungen gilt 7
[
a⃗k , a † ⃗ k ′
]
= (2π) 3 δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ ), (2.56)
b) Fermionen
[Ψ(⃗x), Ψ † (⃗x ′ )] = δ (3) (⃗x − ⃗x ′ ). (2.57)
Nach dem Pauliprinzip kann jeder Zustand höchstens mit einem Teilchen besetzt
sein, die Besetzungszahlen bezüglich einer diskreten Basis sind deshalb
n i ∈ {0, 1}. Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren erfüllen daher
a †2
i = 0, a 2 i
= 0. (2.58)
Auf die antisymmetrisierten Viel-Teilchen-Zustände angewandt erhält man
bei Vertauschung verschiedener Operatoren, i ≠ j,
√
a † ia † j|j 1 , . . . , j N > A = (N + 1)(N + 2)|j 1 , . . . , j N , j, i> A
√
a † ja † i|j 1 , . . . , j N > A = (N + 1)(N + 2)|j 1 , . . . , j N , i, j> A
= −a † ia † j|j 1 , . . . , j N > A .
Daraus folgt die Antikommutatorregel
(2.59)
[a † i, a † j] + = 0, (i ≠ j). (2.60)
Durch Übergang zu adjungierten Operatoren hat man
[a i , a j ] + = 0, (i ≠ j). (2.61)
Weiterhin ist
a i a † j|j 1 , . . . , j N > A = −a † ja i |j 1 , . . . , j N > A , (2.62)
so dass gilt [
ai , a † j]
+
= 0, (i ≠ j). (2.63)
7 In späteren Abschnitten wird für die Entwicklung der Felder ein Lorentz-invariantes
Maß verwendet. Dadurch werden auch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren umdefiniert,
so dass dann [ a ⃗k , a † ⃗ k ′]
= (2π) 3 2ω k δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ ) wird.

2.4 Fock-Raum 51
Schließlich betrachten wir
{
a i a † 0, falls i ∈ {j
i|j 1 , . . . , j N > A =
1 , . . . , j N }
|j 1 . . . , j N > A , falls i /∈ {j 1 , . . . , j N }
a † ia i |j 1 , . . . , j N > A =
Damit hat man
{
|j1 . . . , j N > A , falls i ∈ {j 1 , . . . , j N }
0, falls i /∈ {j 1 , . . . , j N }
(2.64)
(2.65)
(
ai a † i + a † ia i
)
|j1 . . . , j N > A = |j 1 . . . , j N > A . (2.66)
Zusammenfassend gelten also die Antikommutatorregel für Fermiteilchen
[
ai , a † j]
+ = δ ij 1. (2.67)
Für die Feldoperatoren der Fermionen gilt entsprechend
[
Ψ(⃗x ), Ψ † (⃗y ) ] + = δ(3) (⃗x − ⃗y ). (2.68)
2.4 Fock-Raum
Iteriert man
so findet man
a † j|j 1 , . . . , j N−1 > σ = √ N |j 1 , . . . , j N−1 , j> σ , (2.69)
|j 1 . . . , j N > σ = 1 √
N!
a † j N
a † j N−1 · · · a † j 1
|0> . (2.70)
Der von diesen Vektoren aufgespannte Raum heißt Fock-Raum. Er ist charakterisiert
durch
a) einen Vakuumzustand |0>, für den a j |0>= 0 gilt, und
b) Operatoren a † , für welche die Vertauschungsregeln des vorigen Abschnitts
gelten.
Die Symmetrieeigenschaften der Zustände sind durch diese Schreibweise automatisch
berücksichtigt. Wegen der Vertauschungsregeln für die Feldoperatoren
Ψ † (⃗r ) hat man
|⃗r 1 , . . . ,⃗r N > σ = 1 √
N!
Ψ † (⃗r N )Ψ † (⃗r N−1 ) · · · Ψ † (⃗r 1 ) |0> . (2.71)
Den in der Quantenmechanik verwendeten uneigentlichen Ortszustand erhält
man mit N = 1
|⃗r >= Ψ † (⃗r )|0> . (2.72)

52 2 FELDOPERATOREN IN DER NICHTRELATIVISTISCHEN QM
2.5 Operatoren
Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren erlauben es, Operatoren auf
eine einfache Weise aufzuschreiben, die unabhängig von der Teilchenzahl ist.
Im folgenden betrachten wir teilchenzahl-erhaltende Operatoren, d. h. sie
wirken von H N nach H N .
Ein-Teilchen-Operatoren
Der Einfachheit halber beschränken wir uns zunächst auf Bosonen. Es sei
H = ∑ i,j
h ij a † ia j : H −→ H. (2.73)
H ist offenbar teilchenzahl-erhaltend. Wie wirkt H auf Zustände? Dazu wählen
wir eine Fock-Raum-Basis und fragen also nach
H a † j N · · · a † j 1
|0>= ? (2.74)
Um die Wirkung von H auf einen Fock-Zustand zu bestimmen, benutzt man
eine Technik, bei der alle Vernichtungsoperatoren mit Hilfe der Kommutatorregel
[
ai , a † ]
j = δij (2.75)
nach rechts verschoben werden. Dort wirken die Vernichter auf den Vakuumzustand,
wo sie keinen Beitrag mehr liefern.
Beispielsweise erhält man mit dem Operator H
H a † k |0> = ∑ i,j
= ∑ i,j
= ∑ i,j
= ∑ i
h ij a † ia j a † k |0>
h ij a † i
(
a
†
k a j + [a j , a † k ]) |0>
h ij a † iδ jk |0>
h ik a † i|0>
(2.76)
eine Linearkombination von Ein-Teilchen-Zuständen. Dieses Ergebnis drückt
in Matrixschreibweise aus, wie ein Operator auf Basiszustände wirkt.
H|k>= ∑ i
h ik |i> . (2.77)
Vergleichen wir dies mit
H|k>= ∑ i
|i>, (2.78)

2.5 Operatoren 53
so sehen wir, dass
h ik = (2.79)
gilt. Eingeschränkt auf den Ein-Teilchen-Hilbertraum wirkt H wie ein Ein-
Teilchen-Operator h := H| H1 , nämlich gemäß
h |k>= ∑ i
h ik |i> . (2.80)
Die Technik, um die Wirkung eines Operators zu bestimmen, der in Erzeugern
und Vernichtern ausgedrückt ist, wollen wir nun erweitern auf den
Vielteilchen-Hilbertraum. Untersuchen wir also
H a † j N
. . . , a † j 1
|0>= ∑ i,j
h ij a † ia j a † j N · · · a † j 1
|0> . (2.81)
Den Vernichter tauschen wir nach rechts durch. Für Bosonen gilt
a j a † j N · · · a † j 1
|0> = δ j,jN a † j N−1 · · · a † j 1
|0> + a † j N
a j a † j N−1 · · · a † j 1
|0>
= . . .
N∑
= δ j,jk a † j N · · · a † j k+1
a † j k−1 · · · a † j 1
|0>,
k=1
dies schreibt man gelegentlich auch
=
N∑
k=1
δ j,jk a † j N · · · a \ † j k
· · · a † j 1
|0> .
Die Wirkung des Hamiltonoperators auf den N-Teilchen-Zustand ist dann
H a † j N · · · a † j 1
|0> = ∑ N∑
h ij a † i δ j,jk a † j N · · · a \ † j k
· · · a † j 1
|0>
i,j k=1
( )
N∑
∑
= a † j N · · · a † j k+1
h i,jk a † i a † j k−1 · · · a † j 1
|0>
k=1 i
N∑
= h k a † j N · · · a † j 1
|0> .
k=1
(2.82)
Hierbei haben wir wie früher wir Operatoren h k eingeführt, die auf den Zustand
des k-ten Teilchens wie obiger Operator h wirken. Wir sehen, dass
N∑
H = h k (2.83)
k=1

54 2 FELDOPERATOREN IN DER NICHTRELATIVISTISCHEN QM
gilt. Das Gleiche findet man im Falle von Fermionen. Als Ergebnis halten wir
fest:
Ein Ein-Teilchen-Operator H = ∑ N
k=1 h k kann geschrieben werden als
H = ∑ i,j
h ij a † ia j (2.84)
mit h ij = . (2.85)
Dieser Ausdruck hängt nicht von N ab und H kann auf natürliche Weise als
Operator auf dem ganzen Hilbertraum H angesehen werden.
Die Notation h für einen Operator auf einem Ein-Teilchen-Hilbertraum und
H für einen Operator auf dem ganzen Viel-Teilchen-Hilbertraum verwenden
wir generell.
Ist speziell h diagonal, also h|j>= ǫ j |j>, so ist
H = ∑ i
ǫ i a † ia i . (2.86)
Beispiel 1: Hamiltonoperator
h = ⃗p 2
2m + V,
H = ∑ E i a † ia i .
i
(2.87)
In der Ortsdarstellung mit h = − 2 ∆ + V (⃗r ) ist
2m
{
}
= − 2
2m ∆ y + V (⃗y ) δ (3) (⃗x − ⃗y ),
∫
H = d 3 x d 3 y Ψ † (⃗x) Ψ(⃗y )
∫ {
}
= d 3 x Ψ † (⃗x) − 2
2m ∆ + V (⃗x ) Ψ(⃗x ).
(2.88)
Dieser Ausdruck, der wie ein Erwartungswert von H aussieht, ist jedoch ein
Operator auf dem gesamten Hilbertraum der Viel-Teilchen-Zustände.

2.5 Operatoren 55
Beispiel 2: Impulsoperator
Beispiel 3: Teilchenzahloperator
Für diesen Operator gilt
∑
a † ia i |j 1 , . . . , j N >= ∑ i
i
⃗p = i ∇ (2.89)
= i ∇ x δ (3) (⃗x−⃗y ) (2.90)
∫
⃗P = d 3 x d 3 y Ψ † (⃗x ) i ∇ x δ (3) (⃗x−⃗y )Ψ(⃗y ) (2.91)
∫
= d 3 x Ψ † (x) ∇Ψ(⃗x) (2.92)
i
∫
d 3 k
=
(2π) ⃗ k a † 3 ⃗ k
a ⃗k . (2.93)
ˆN = ∑ a † ia i (2.94)
i
∫
= d 3 x Ψ † (⃗x )Ψ(⃗x ) (2.95)
∫
=
d 3 k
(2π) 3 a† ⃗ k
a ⃗k . (2.96)
n i |j 1 , . . . , j N >= N |j 1 , . . . , j N >, (2.97)
wobei n i die Anzahl der Teilchen im Zustand |i> angibt. Diese Gleichungen
erhält man auch mit der Rechnung zum Operator H, Gleichung (2.82), mit
h ij = δ ij . Der zur Quantenzahl n i gehörende Operator heißt Besetzungszahl-
Operator ˆn j
ˆn j = a † ja j ,
ˆn j |N; n 1 , n 2 , . . . >= n j |N; n 1 , n 2 , . . . > .
(2.98)
Zwei-Teilchen-Operatoren
Es sei nun
V = 1 2
N∑
α,β=1
α̸=β
v αβ (2.99)
ein Zwei-Teilchen-Operator, wie weiter oben eingeführt. In einer diskreten
Basis lauten seine Matrixelemente
≡ . (2.100)

56 2 FELDOPERATOREN IN DER NICHTRELATIVISTISCHEN QM
Nun definieren wir
V = 1 ∑
a † k
2
2
a † k 1
a l1 a l2 . (2.101)
k 1 ,k 2 ,l 1 ,l 2
Wenden wir V auf den N-Teilchen-Zustand |j 1 , . . . , j n >= a † j N
. . . a † j N
|0> an,
so finden wir mit einer Rechnung ähnlich zu Gleichung (2.82)
V a † j N · · · a † j 1
|0> = 1 2
N∑
α,β=1
α̸=β
= Va † j N · · · a † j 1
|0> .
v αβ a † j N · · · a † j α · · · a † j β · · · a † j 1
|0>
(2.102)
Also ist V = V. Halten wir fest: Zwei-Teilchen-Operatoren können unabhängig
von N geschrieben werden als
V = 1 ∑
a † k
2
2
a † k 1
a l1 a l2 . (2.103)
k 1 ,k 2 ,l 1 ,l 2
Dies gilt ebenso für Fermionen.
Als Anwendung betrachten wir das Wechselwirkungs-Potential in der Ortsdarstellung.
Die Wirkung von V auf die N-Teilchen-Wellenfunktion ist
(V ψ N ) (⃗r 1 , . . . , ⃗r N ) = 1 2
N∑
α,β=1
α̸=β
und das Zwei-Teilchen-Matrixelement ist
v(⃗r α ,⃗r β )ψ N (⃗r 1 , . . . ,⃗r N ) (2.104)
= v(⃗x 1 , ⃗x 2 )δ (3) (⃗x 1 −⃗y 1 )δ (3) (⃗x 2 −⃗y 2 ). (2.105)
Hiermit berechnen wir V in der Ortsdarstellung
∫
V = d 3 x 1 d 3 x 2 d 3 y 1 d 3 y 2 Ψ † (⃗x 2 )Ψ † (⃗x 1 )Ψ(⃗y 1 )Ψ(⃗y 2 )
= 1 ∫
d 3 x 1 d 3 x 2 v(⃗x 1 , ⃗x 2 ) Ψ † (⃗x 2 )Ψ † (⃗x 1 )Ψ(⃗x 1 )Ψ(⃗x 2 ). (2.106)
2
Das Ergebnis erinnert an die durch Wellenfunktionen ausgedrückte Wechselwirkungsenergie
in der Quantenmechanik
∫
1
2
d 3 x 1 d 3 x 2 v(⃗x 1 , ⃗x 2 ) |ψ(⃗x 1 )| 2 |ψ(⃗x 2 )| 2 , (2.107)
ist aber ein Operator auf dem gesamten Viel-Teilchen-Hilbertraum.

2.5 Operatoren 57
Bemerkung: die Reihenfolge der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ist
von Bedeutung. Eine andere Reihenfolge, z. B.
V ′ = 1 ∫
d 3 x 1 d 3 x 2 v(⃗x 1 , ⃗x 2 ) Ψ † (⃗x 2 )Ψ(⃗x 2 )Ψ † (⃗x 1 )Ψ(⃗x 1 ) (2.108)
2
würde bedeuten, dass man bei der Anwendung V ′ ψ N (⃗x 1 , . . . , ⃗x N ) den Faktor
Ψ(⃗x 2 ) zusätzlich nach rechts über den Faktor Ψ † (⃗x 1 ) hinweg tauschen muss.
Das ergibt zusätzliche Terme mit dem Faktor δ (3) (⃗x 2 −⃗x 1 ), die in der Summe
V ′ ψ N (⃗r 1 , . . . , ⃗r N ) = 1 2
N∑
α,β=1
v(⃗r α ,⃗r β )ψ N (⃗r 1 , . . . ,⃗r N )
zu Diagonaltermen führen. Diese würden einen Selbstenergiebeitrag der Gestalt
1 2
∑ Ni=1
v(⃗r i ,⃗r i ) darstellen, der für das Coulomb-Potenzial nicht definiert
werden kann. Das Problem der Wahl einer korrekten Reihenfolge haben bereits
Jordan und Klein im Jahre 1927 erkannt.
Hinweis auf die BCS-Theorie
In der Theorie der Elektronen in Metallen setzt sich der Hamiltonoperator
zusammen aus dem freien Anteil und der Wechselwirkung zwischen je zwei
Elektronen. Einschließlich des Spins τ ist der freie Anteil
H 0 = ∑ τ
∫
d 3 k
(2π) 3ǫ(⃗ k) a † ⃗ k,τ
a ⃗k,τ ,
2
(2.109)
ǫ( ⃗ k) = 2 ⃗ k
2m .
Mit dem fouriertransformierten Coulomb-Potenzial
Ṽ C (⃗q ) = e2
ǫ 0
1
⃗q 2 (2.110)
ist der Wechselwirkungsterm
H WW = 1 ∫
d 3 k d 3 k ′ d 3 q ∑
2 (2π) 3 (2π) 3 (2π) ṼC(⃗q ) a † 3 ⃗ k+⃗q,τ ′ a† ⃗ a k ′ −⃗q,τ
⃗ k ′ ,τ
a ′ ⃗k,τ . (2.111)
τ,τ ′
Bei Berücksichtigung von Phononen-Austausch ist der Wechselwirkungsterm
durch ein effektives Potential zu ergänzen, V ee = ṼC + V eff , wobei V eff in der
Nähe der Fermi-Fläche anziehend ist.
In der BCS-Theorie stellt sich der dominante Teil des Hamilton-Operators
heraus als
H BCS = H 0 + H 1
H 1 = 1 ∫
d 3 k d 3 q
L 3 (2π) 3 (2π) 3V ee( ⃗ k, − ⃗ k, ⃗q ) a † ⃗ k+⃗q,↑
a † − ⃗ a k−⃗q,↓ − ⃗ k,↓ a ⃗ k,↑
.
(2.112)

58 3 FELDQUANTISIERUNG
In H 1 treten Paarungs-Terme auf, für die ⃗ k 1 + ⃗ k 2 = 0 ist und der Gesamtspin
ebenfalls verschwindet. Der Grundzustand, also der Zustand niedrigster
Energie, ist
|Ω>= ∏ (
)
1
u ⃗k + v ⃗k
L
⃗ 3a† ⃗ k,↑
a † − ⃗ |0>, (2.113)
k,↓
k
mitKoeffizienten, für die gilt
|u ⃗k | 2 + |v ⃗k | 2 = 1. (2.114)
Hierin stellt a † ⃗ k,↑
a † − ⃗ k,↓
einen Erzeuger für die Cooper-Paare dar.
3 Feldquantisierung
3.1 Lagrange-Formalismus für Felder
Ein klassisches Feld, z. B. das elektromagnetische Feld, besitzt unendlich
viele Freiheitsgrade, die sich in den unendlich vielen Variablen der Lagrangefunktion
spiegeln. Im Hamilton-Formalismus gehören dazu die kanonisch
konjugierten Variablen. Diese sind für die kanonische Quantisierung erforderlich.
Wir demonstrieren die Quantisierung am System einer linearen Kette,
in der Massenpunkte durch Federelemente verbunden in gerader Linie angeordnet
sind. Die Massen können longitudinale Schwingungen ausführen. Der
Übergang zum Feld geschieht anschließend, indem die Massenkette durch ein
elastisches Gummiband ersetzt wird.
i − 1 i i + 1
q i−1
q i q i+1
Wenn nun q i (t) die Auslenkung des i-ten Massenpunktes aus seiner Ruhelage
beschreibt, so ist die Wirkung S für die lineare Kette gegeben durch
∫
S = dt L(q i , ˙q i ) mit (3.1)
L = m 2
∑
˙q i 2 − k ∑
(q i+1 − q i ) 2 . (3.2)
i
2
i
Das Hamiltonprinzip fordert, dass unter einer Variation
q i (t) −→ q i (t) + δq i (t) (3.3)

3.1 Lagrange-Formalismus für Felder 59
die Wirkung S stationär ist, d. h.
δS = 0. (3.4)
Das führt auf die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen
d ∂L
− ∂L = 0. (3.5)
dt ∂ ˙q i ∂q i
Hier liefern diese Gleichungen die Newton’schen Bewegungsgleichungen
m¨q i − k(q i+1 − q i ) + k(q i − q i−1 ) = 0. (3.6)
mit den beiden Hooke’schen Kräften, die von links und rechts auf die i-te
Masse einwirken.
Die Hamiltonfunktion H(p i , q i ) mit den kanonisch konjugierten Impulsen
erhält man aus der Lagrangefunktion
p i = ∂L
∂ ˙q i
= m ˙q i (3.7)
H(p i , q i ) = ∑ i
p i ˙q i − L, (3.8)
wenn man die Variablen ˙q i in L ersetzt. In unserm Beispiel der linearen Kette
geschieht das durch
H = ∑ i
m
2 ˙q2 i + k 2
∑
(q i+1 − q i ) 2 = ∑
i
i
p 2 i
2m + k 2
∑
(q i+1 − q i ) 2 . (3.9)
i
Wir gehen jetzt zu einem kontinuierlichen Feld über. Die Nummer i des
Massenpunktes wird zur Ortskoodinate x und die Auslenkung q i (t) des i-ten
Massenpunktes wird zum Wert des Feldes ϕ(x, t).
i −→ x (3.10)
q i (t) −→ ϕ(x, t) (3.11)
In dem oben angesprochenen Bild eines Gummibandes bedeutet ϕ(x, t) die
Auslenkung eines kleinen Gummielements aus seiner Ruhelage x. Wenn a der
Abstand der Ruhelagen in der Kette ist, geht die Differenz der benachbarten
Auslenkungen über in
q i+1 − q i −→ a ∂ϕ
∂x . (3.12)

60 3 FELDQUANTISIERUNG
Für die Lagrangefunktion bedeutet das
L = ∑ i
a
{ m
2a ˙q2 i − ka (q i+1 − q i ) 2 } ∫
−→
2 a 2
{ µ
dx
2 ˙ϕ2 − κ 2
( }
∂ϕ) 2
. (3.13)
∂x
Hier haben wir die Massenbelegung µ und die Konstante κ eingeführt durch
µ := m , κ := ka. (3.14)
a
Die Lagrangefunktion zum elastischen Gummiband ist also eine Funktion der
Feldgröße ϕ(x, t) und ihrer Ableitungen
∫
L =
Die Wirkung ist dann
S =
dx L (ϕ, ∂ϕ
∂x , ∂ϕ
∂t ) = ∫
{ µ
dx
2 ˙ϕ2 − κ 2
( }
∂ϕ) 2
. (3.15)
∂x
∫
dt L(ϕ, ∂ϕ
∂x , ∂ϕ ∫ ∫
∂t ) = dt dx L (ϕ, ∂ϕ
∂x , ∂ϕ
∂t ) (3.16)
und der Integrand L heißt Lagrangedichte.
In der Verallgemeinerung auf mehrere Dimensionen lautet dies
∫ ∫
S = dt d 3 x L (ϕ, ∇ϕ, ∂ϕ
∂t )
∫
= d 4 x L (ϕ, ∂ µ ϕ).
(3.17)
Die Stationarität der Wirkung unter einer Variation von ϕ und ∂ µ ϕ führt
wie in der klassischen Mechanik auf Euler-Lagrange-Gleichungen, hier sind
dies die Feldgleichungen. In der Mechanik gehört zur Variation die Vorschrift,
dass die Endpunkte der klassischen Bahn, x(t 1 ) und x(t 2 ), festzuhalten sind.
Dies hat folgende Entsprechung in der Feldtheorie.
Man betrachte ein Gebiet G ∈ R 4 , auf dem ϕ(x) definiert ist, mit seinem
Rand ∂G, der nicht ganz im Endlichen liegen muss. (G ist nicht notwendig
kompakt.) Die zulässigen Variationen von ϕ auf dem Gebiet G sind dann
ϕ(x) −→ ϕ ′ (x) = ϕ(x) + δϕ(x)
δϕ = 0 auf ∂G.
mit
(3.18)
Ein Spezialfall ist bei einem gegebenen Koordinatensystem x = (x 0 ,⃗r) das
scheibenförmige Gebiet
G = {x ∈ R 4 |ct 1 ≤ x 0 ≤ ct 2 }. (3.19)

3.1 Lagrange-Formalismus für Felder 61
In diesem Fall betrachten wir Felder, die im räumlich Unendlichen verschwinden:
|⃗x|→∞
ϕ(x), ∂ µ ϕ(x) −→ 0. (3.20)
Ganz wie in der Mechanik wenden wir das Hamilton-Prinzip an:
∫
0 = δS = δ d 4 x L (ϕ, ∂ µ ϕ)
G
∫ { }
∂L
= d 4 x
G ∂ϕ(x) δϕ(x) + ∂L
∂(∂ µ ϕ(x)) ∂ µδϕ(x)
∫ { [
] (
∂L
= d 4 x
G ∂ϕ(x) δϕ(x) + ∂ ∂L
µ
∂(∂ µ ϕ(x)) δϕ(x) −
∂ µ
) }
∂L
δϕ(x) .
∂(∂ µ ϕ(x))
(3.21)
Hier wurde die Leibniz’sche Produktregel angewendet. Nach dem Gauß’schen
Satz ist
∫ [
] ∫ [
]
d 4 ∂L
x ∂ µ
G ∂(∂ µ ϕ(x)) δϕ(x) ∂L
=
∂G ∂(∂ µ ϕ(x)) δϕ(x) df µ = 0, (3.22)
weil δϕ(x) auf dem Rand ∂G verschwindet. Für beliebige zulässige Variationen
δϕ haben wir also
∫
0 =
G
{ ∂L
d 4 x
∂ϕ(x) − ∂ µ
∂L
∂(∂ µ ϕ(x))
}
δϕ(x). (3.23)
Daher muss im Gebiet G die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichung
( )
∂L
∂ µ
∂(∂ µ ϕ(x))
als Feldgleichung für ϕ(x) gelten.
Beispiel:
− ∂L
∂ϕ(x) = 0 (3.24)
Im Zusammenhang mit der linearen Kette hatten wir die Lagrangedichte für
ein freies Feld
L = µ 2 ˙ϕ2 − κ( ∂ϕ) 2
(3.25)
2 ∂x
entwickelt. „Frei“ bedeutet hier dass L quadratisch in seinen Variablen ist,
darum sind die Ableitungen linear in den Variablen
∂L
∂ϕ = 0,
∂L
∂( ˙ϕ(x)) = µ ˙ϕ(x), ∂L
∂(∂ 1 ϕ(x)) = −κ∂ϕ ∂x . (3.26)

62 3 FELDQUANTISIERUNG
Die Euler-Lagrange-Gleichung dazu lautet
µ ¨ϕ(x) − κ ∂ 2 ϕ
∂x 2 , (3.27)
dies ist die Feldgleichung für die longitudinalen Schwingungen eines elastischen
Gummibandes.
Die kanonisch konjugierten Impulse bei der linearen Kette werden beim Übergang
zum Kontinuum
1
a p i = 1 a m ˙q i = µ ˙q i −→ µ ˙ϕ(x, t) =: π(x, t). (3.28)
Der kanonische Feldimpuls ∂L = µ ˙ϕ korrespondiert also zu einer „Impulsbelegung“
in der linearen Kette.
∂ ˙ϕ
Allgemein definiert man den konjugierten Impuls für Felder
π(x) = π(⃗r, t) =
∂L
∂( ˙ϕ(x)) = δL
δ ˙ϕ(x) , (3.29)
um für die Quantisierung zu einem Hamilton-Formalismus überzugehen. Dadurch
erhält die Zeit eine ausgezeichnete Rolle gegenüber den Ortsvariablen.
Während die Lagrangefunktion Ort und Zeit kovariant behandelt, ist im
Hamilton-Formalismus die manifeste Kovarianz gebrochen. Man hat daher
die – manchmal schwierige – Aufgabe, die Lorentz-Invarianz bei den Ergebnisse
der Hamilton-Theorie nachzuweisen. In einer Pfadintegralformulierung
der Quantenfeldtheorie kann dagegen alles manifest kovariant formuliert werden.
Die Hamilton Funktion ist
∫
H = d 3 r π(⃗r, t) ˙ϕ(⃗r, t) − L
∫
= d 3 r { π(⃗r, t) ˙ϕ(⃗r, t) − L } (3.30)
,
wobei H als Funktional des Feldes ϕ(x) und Impulses π(x) aufgefasst wird.
Insbesondere ist ˙ϕ(x) durch π(x) auszudrücken. Es gelten die kanonischen
Gleichungen mit Funktionalableitungen
˙ϕ(⃗r, t) =
δH
δπ(⃗r, t) , (3.31)
˙π(⃗r, t) = −
δH
δϕ(⃗r, t) . (3.32)

3.2 Quantisierung, Bosonen 63
Eine triviale Verallgemeinerung auf Felder mit mehreren Komponenten ϕ α (x)
notieren wir als
(
)
∂L
∂ µ −
∂L = 0, (3.33)
∂(∂ µ ϕ α (x)) ∂ϕ α (x)
π α (x) =
∂L
∂ ˙ϕ α (x) , (3.34)
∫ { ∑
}
H = d 3 r π α (⃗r, t) ˙ϕ α (⃗r, t) − L . (3.35)
α
3.2 Quantisierung, Bosonen
In der Quantenmechanik fordert man die Vertauschungsregeln
[p j (t), q k (t)] = i δ j,k. (3.36)
Die Vertauschungsregeln – hier im Heisenberg Bild – sind die Grundlage für
die Quantisierung. Beim Übergang von der klassischen Mechanik auf einem
d-dimensionalen räumlichen Gitter mit der Gitterkonstanten a zu einer kontinuierlichen
Feldtheorie tritt an die Stelle von δ i,i ′
1
a d δ i,i ′ −→ δ(d) (⃗r − ⃗r ′ ). (3.37)
Für die Quantenfeldtheorie mit d = 3 räumlichen Koordinaten bekommt man
so die zeitgleichen Vertauschungsregeln für die die kanonisch konjugierten
Feldoperatoren
[
π(⃗r, t), ϕ(⃗r ′ , t) ] = i δ(3) (⃗r − ⃗r ′ ), (3.38)
[
ϕ(⃗r, t), ϕ(⃗r ′ , t) ] = 0, (3.39)
[
π(⃗r, t), π(⃗r ′ , t) ] = 0. (3.40)
ϕ(x) und π(x) sind nun kanonisch konjugierte Operatoren, oder besser gesagt
Operator-Felder.
3.3 Quantisierung des Schrödingerfeldes
Wir betrachten die Schrödinger-Wellenfunktion ψ(⃗r, t) ∈ C als ein klassisches
komplexwertiges Feld. Seine Lagrangedichte sei gegeben durch
L = iψ ∗ ˙ψ − 2
2m ∇ψ∗ · ∇ψ − V (⃗r )ψ ∗ ψ. (3.41)

64 3 FELDQUANTISIERUNG
Bemerkung: diese Lagrangedichte ist nicht symmetrisch in ψ und ψ ∗ und ist
nicht reell. Es ist aber
iψ ∗ ˙ψ = i 1 2 ψ∗ ˙ψ − i 1 2 ˙ψ ∗ ψ + 1 2 i d dt (ψ∗ ψ). (3.42)
Die totale Zeitableitung im letzten Term wirkt sich nicht auf die Feldgleichungen
aus und kann fortgelassen werden. Statt iψ ∗ ˙ψ kann also auch der reelle
Ausdruck i 1 2 (ψ∗ ˙ψ− ˙ψ ∗ ψ) verwendet werden. Allerdings sind die Rechnungen
mit dem anderen Term etwas kürzer.
Das komplexwertige Feld kann man auch als ein zweikomponentiges reelles
Feld ψ α , α = 1, 2 mit
ψ = 1 √
2
(ψ 1 + iψ 2 ), ψ ∗ = 1 √
2
(ψ 1 − iψ 2 ),
ψ 1 = 1 √
2
(ψ + ψ ∗ ), ψ 2 = 1
i √ 2 (ψ − ψ∗ )
(3.43)
ansehen. Die Variation des komplexen Feldes ist äquivalent zur Variation der
Komponenten ψ 1 und ψ 2 und liefert zwei Feldgleichungen. Mit der Einführung
der komplexen Ableitungen
∂
∂ψ = √ 1 ( ∂ ∂
− i ),
2 ∂ψ 1 ∂ψ 2
∂
∂ψ = √ 1 ( ∂ ∂
+ i ) (3.44)
∗ 2 ∂ψ 1 ∂ψ 2
können die beiden Feldgleichungen wieder zu einer komplexen Feldgleichung
für ψ und der dazu komplex-konjugierten Feldgleichung zusammengefügt
werden. Verschwindet die Variation eines Funktionals F[ψ 1 , ψ 2 , ∂ µ ψ 1 , ∂ µ ψ 2 ],
wenn man die ψ α (α = 1, 2) unabhängig voneinander variiert, so ist das äquivalent
dazu, dass die Variation von F, ausgedrückt als Funktional von ψ, ψ ∗ ,
∂ µ ψ, ∂ µ ψ ∗ , verschwindet, wenn man ψ, ψ ∗ unabhängig voneinander variiert.
Es folgt, dass die Euler-Lagrange-Feldgleichungen für die Felder ψ und ψ ∗ in
der Gestalt
(
)
∂L
∂ µ −
∂(∂ µ ψ ∗ (x))
∂L
(
∂ψ ∗ (x) = 0, ∂ µ
∂L
∂(∂ µ ψ(x))
)
− ∂L
∂ψ(x)
= 0. (3.45)
gelten. Mit obiger Lagrangedichte für das Schrödingerfeld erhalten wir
Variable ψ ∗ :
Variable ψ :
i ˙ψ = − 2
∆ψ + V ψ, (3.46)
2m
−i ˙ψ ∗ = − 2
2m ∆ψ∗ + V ψ ∗ . (3.47)

3.3 Quantisierung des Schrödingerfeldes 65
Man erhält also die Schrödingergleichung als klassische Feldgleichung gemeinsam
mit ihrer komplex-konjugierten Gleichung.
Die zu den Feldern ψ und ψ ∗ kanonisch konjugierten Impulse sind allgemein
Für das Schrödingerfeld ergibt sich
π = √ 1 (π 1 − iπ 2 ) = ∂L
2 ∂ψ ˙ ,
π ∗ = 1 √
2
(π 1 + iπ 2 ) = ∂L
∂ ˙ ψ ∗ . (3.48)
π = iψ ∗ , π ∗ = 0. (3.49)
Aufgrund dieser Gleichungen sind im Hamilton-Formalismus ψ ∗ und π ∗ zu
eliminieren. Für die Hamilton-Funktion erhalten wir
∫
H = d 3 r { π ˙ψ + π ∗ ˙ψ ∗ − L }
∫
=
∫
=
∫
=
d 3 r { 2
2m ∇ψ∗ · ∇ψ + V (⃗r )ψ ∗ ψ }
d 3 r { − 2
2m ψ∗ ∆ψ + V (⃗r )ψ ∗ ψ }
d 3 r 1
i π{ − 2
2m ∆ψ + V (⃗r )ψ} .
(3.50)
Wir wenden jetzt die Quantisierungsvorschrift an: Die Felder werden zu Feldoperatoren
ψ(⃗r, t) −→ Ψ(⃗r, t),
ψ ∗ (⃗r, t) −→ Ψ † (⃗r, t),
Π(⃗r, t) = iΨ † (⃗r, t),
(3.51)
für welche die Vertauschungsregeln gelten
[
Ψ(⃗r, t), Ψ(⃗r ′ , t) ] = 0, (3.52)
[
Ψ † (⃗r, t), Ψ † (⃗r ′ , t) ] = 0, (3.53)
[
Π(⃗r, t), Ψ † (⃗r ′ , t) ] = i δ(3) (⃗r − ⃗r ′ ). (3.54)
Die letzte Relation wird zu
[
Ψ(⃗r, t), Ψ † (⃗r ′ , t) ] = δ (3) (⃗r − ⃗r ′ ). (3.55)

66 3 FELDQUANTISIERUNG
Die Vertauschungsregeln sind identisch mit den im Abschnitt 3.2 eingeführten
Vertauschungsregeln für Feldoperatoren.
Die Hamiltonfunktion wird jetzt zum Operator
∫
d 3 r Ψ † (⃗r, t) { − 2
2m ∆ + V (⃗r)} Ψ(⃗r, t). (3.56)
Dies ist das gleiche Ergebnis wie die Gleichung (2.88) auf Seite 54.
Die Heisenberg’sche Bewegungsgleichung in der Gestalt
i ˙Ψ(⃗r, t) = [ Ψ(⃗r, t), H ] (3.57)
gilt ebenfalls, wie man sich durch Ausrechnen des Kommutators
leicht überzeugt:
[
Ψ(⃗r, t), H
]
=
(− 2
2m ∆ + V (⃗r) )
Ψ(⃗r, t) (3.58)
[
Ψ(⃗r, t), H
]
=
∫
∫
=
=
d 3 r ′[ Ψ(⃗r, t), Ψ † (⃗r ′ , t) { − 2
2m ∆′ + V (⃗r ′ ) } Ψ(⃗r ′ , t) ]
d 3 r ′ [ Ψ(⃗r, t), Ψ † (⃗r ′ , t) ]
} {{ }
=δ (3) (⃗r−⃗r ′ )
(− 2
2m ∆ + V (⃗r) )
Ψ(⃗r, t).
{
−
2
2m ∆′ + V (⃗r ′ ) } Ψ(⃗r ′ , t)
(3.59)
3.4 Fermionen
Wirkung, Lagrangefunktion und Hamiltonfunktion für fermionische Felder
haben die gleiche Gestalt wie für Bosonen
∫
S = d 3 r L (ψ, ∂ µ ψ), (3.60)
( ) ∂L
∂ µ − ∂L = 0, (3.61)
∂(∂ µ ψ) ∂ψ
π(x) = ∂L , (3.62)
∂ ˙ψ
∫
H = d 3 r ( π(⃗r, t) ˙ψ(⃗r, t) − L ) . (3.63)

3.4 Fermionen 67
Dagegen verlangt die Quantisierungsvorschrift für Fermionen, dass alle Kommutatoren
durch Antikommutatoren ersetzt werden.
[
π(⃗r, t), ψ(⃗r ′ , t) ] + = i δ(3) (⃗r − ⃗r ′ ), (3.64)
[
ψ(⃗r, t), ψ(⃗r ′ , t) ] = 0,
+
(3.65)
[
π(⃗r, t), π(⃗r ′ , t) ] = 0.
+
(3.66)

68 3 FELDQUANTISIERUNG
3.5 Zusammenfassung
Die Quantenmechanik eines Teilchens mit der Wellenfunktion ψ(x) ist im
Hinblick auf die Schrödingergleichung formal identisch ist mit einer klassischen
Feldtheorie für das Feld ψ(x). Ebenso, wie die klassische Mechanik
durch die Quantisierung auf die Quantenmechanik führt, wird aus der klassischen
Feldtheorie durch Quantisierung die Quantenfeldtheorie. Erweitert
man die Quantenmechanik eines Teilchens zur Viel-Teilchen-Quantenmechanik,
so ist diese ebenfalls formal und inhaltlich identisch mit der Quantenfeldtheorie,
wie es zum Beispiel in Gleichung (2.88) zum Ausdruck kommt.
Auch aus der klassischen Mechanik vieler Teilchen gelangt man durch Quantisierung
zur Quantenfeldtheorie.
klassische Mechanik
eines Teilchens
klassische Mechanik
vieler Teilchen
Q
Q
Quantenmechanik
eines Teilchens
formal gleich
klassische Feldtheorie
ψ(x)
N
Q „2. Quantisierung“
Quantenmechanik
vieler Teilchen
formal und
inhaltlich gleich
Quantenfeldtheorie
[π, ψ] = i

4 Quantisierung freier relativistischer Felder
In diesem Abschnitt wird die Quantisierung von Feldtheorien, wie wir sie
zuvor für die nichtrelativistische Feldtheorie eingeführt haben, auf relativistische
freie Felder angewandt. Quantisierte relativistische Felder bilden die
Grundlage für die theoretische Beschreibung von Elementarteilchen und ihren
Wechselwirkungen. In der quantisierten relativistischen Feldtheorie treten
neue Aspekte auf, z. B. die Existenz von Antiteilchen.
Konvention: Von nun an werden Einheiten verwendet, in denen = 1 und
c = 1 ist.
4.1 Komplexes Skalarfeld
Zu einem komplexwertigen Feld ϕ(x) ∈ C, das der Klein-Gordon-Gleichung
69
(
□ − m
2 ) ϕ(x) = 0 (4.1)
genügt, gehört die Lagrangedichte
L = (∂ µ ϕ ∗ )(∂ µ ϕ) − m 2 ϕ ∗ ϕ. (4.2)
Die Euler-Lagrange-Gleichungen liefern für die unabhängig variierten Feldkomponenten
ϕ und ϕ ∗
( ) ∂L
∂ µ − ∂L
∂(∂ µ ϕ) ∂ϕ = 0 −→ ∂ µ∂ µ ϕ ∗ + m 2 ϕ ∗ = 0, (4.3)
( ) ∂L
∂ µ − ∂L
∂(∂ µ ϕ ∗ ) ∂ϕ = 0 −→ ∂ µ∂ µ ϕ + m 2 ϕ = 0, (4.4)
∗
also wie angekündigt, die Klein-Gordon-Gleichung und ihr konjugiert-komplexes
Gegenstück. Die allgemeine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung ist eine räumliche
Superposition von ebenen Wellen,
wobei
∫
ϕ(x) =
d 3 {
}∣
k
a(k)e −ik·x + b ∗ (k)e ik·x ∣∣∣k0
, (4.5)
(2π) 3 2ω k =ω k
ω k = +
√⃗ k
2
+ m
2
(4.6)
ist. In diesem Abschnitt wird die Einschränkung auf Wellenfunktionen mit
k 0 = ω k stets beibehalten, darum werden wir dies hier nicht mehr explizit
vermerken. Weiterhin wird zur Vereinfachung der Schreibweise nicht mehr

70 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
a( ⃗ k ), b( ⃗ k ) sonder nur noch a(k), b(k) geschrieben. Die kanonisch konjugierten
Felder sind
π(x) = ∂L
∂ ˙ϕ(x) = ˙ϕ∗ (x), (4.7)
π ∗ (x) =
∂L = ˙ϕ(x).
∂ ˙ϕ ∗ (x)
(4.8)
Damit wird die Hamiltonfunktion
∫
H = d 3 r { π ˙ϕ + π ∗ ˙ϕ ∗ − L }
∫
= d 3 r { π ∗ π + ˙ϕ ˙ϕ ∗ − ( ˙ϕ ∗ ˙ϕ − ∇ϕ ∗ · ∇ϕ − m 2 ϕ ∗ ϕ) }
∫
= d 3 r { π ∗ π + ∇ϕ ∗ · ∇ϕ + m 2 ϕ ∗ ϕ } .
(4.9)
Die kanonischen Gleichungen liefern wiederum die Klein-Gordon-Gleichung:
Nach partieller Integration mit verschwindenden Randtermen ergibt sich
¨ϕ = ˙π ∗ = − ∂H
∂ϕ = −(−∇ · ∇)ϕ + ∗ m2 ϕ, (4.10)
¨ϕ ∗ = ˙π = − ∂H
∂ϕ = −(−∇ · ∇)ϕ∗ + m 2 ϕ ∗ . (4.11)
Das ist die Klein-Gordon-Gleichung und ihre komplex Konjugierte.
Wir führen jetzt die Quantisierung durch
∫
ϕ(x) =
ϕ(x) −→ ϕ(x) (Feldoperator), (4.12)
ϕ ∗ (x) −→ ϕ † (x), (4.13)
d 3 {
}∣
k
a(k)e −ik·x + b † (k)e ik·x ∣∣∣k0
. (4.14)
(2π) 3 2ω k =ω k
a(k) und b † (k) sind jetzt Operatoren. Hinsichtlich einer Darstellung im Fock-
Raum ist es geschickter ϕ(x) wie hier im Impulsraum zu entwickeln, statt im
Ortsraum zu bleiben. Der adjungierte Feldoperator ist
∫
ϕ † (x) =
d 3 {
}∣
k
b(k)e −ik·x + a † (k)e ik·x ∣∣∣k0
. (4.15)
(2π) 3 2ω k =ω k
Es gilt nun
π(x) = ˙ϕ † (x), π † (x) = ˙ϕ(x). (4.16)

4.1 Komplexes Skalarfeld 71
Die kanonischen Vertauschungsrelationen für gleiche Zeiten werden so postuliert,
wie es im vorigen Abschnitt eingeführt wurde. Die von Null verschiedenen
Kommutatoren sind
[
π(⃗r, t), ϕ(⃗r ′ , t) ] = −iδ (3) (⃗r − ⃗r ′ ),
[
π † (⃗r, t), ϕ † (⃗r ′ , t) ] = −iδ (3) (⃗r − ⃗r ′ ).
(4.17)
Alle anderen Kommutatoren der Operatoren ϕ, ϕ † , π, π † verschwinden.
Um die Kommutatoren der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren im Impulsraum
zu bekommen, können wir die Darstellungen von ϕ und ϕ † nach a,
b und ihren Adjungierten auflösen. Die Umkehrung der Gleichungen (4.14)
und (4.15) hat Ähnlichkeit mit der Fourier-Umkehrung, es entstehen aber
Frequenzanteile, die bei der Fouriertransformation so nicht auftreten würden.
Wir notieren zunächst eine Hilfsformel. Es ist
∫
d 3 r e ik·x e −ik′·x = (2π) 3 δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ ). (4.18)
Wie oben vereinbart, betrachten wir stets ebene Wellenfunktionen mit k 0 =
ω k , ohne dass dies explizit vermerkt wird. Die Frequenzfaktoren mit k 0 = k ′ 0
heben sich hier auf. Mit dieser Hilfe folgt
∫
∫
d 3 r e ik·x ϕ(x) = 1 [
a(k) + b † (−k)e ] 2iω kt
,
2ω k
(4.19)
d 3 r e ik·x ˙ϕ(x) = −i [
a(k) − b † (−k)e ] 2iω kt
.
2
(4.20)
Daraus erhalten wir den gewünschten Ausdruck für den Operator
∫
a(k) = d 3 r e ik·x{ ω k ϕ(x) + i ˙ϕ(x) }
∫
= i d 3 r { e ik·x ˙ϕ(x) − (∂ 0 e ik·x )ϕ(x) }
∫
= i d 3 r { e ik·x←→ ∂ 0 ϕ(x) } .
(4.21)
Das Symbol ←→ ∂ ist definiert durch f ←→ ∂ g := f∂g − (∂f)g. Der Ausdruck für
a(k) ist unabhängig von der Zeit t, wie es sein sollte. Auf die gleiche Weise

72 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
rechnet man (mit ω k = ω −k )
∫
b † (−k)e 2iωkt = d 3 r e ik·x{ ω k ϕ(x) − i ˙ϕ(x) } ,
∫
b † (k) = d 3 r e −ik·x{ ω k ϕ(x) − i ˙ϕ(x) }
∫
= d 3 r { i(∂ 0 e −ik·x )ϕ(x) − e −ik·x i ˙ϕ(x) }
∫
= −i d 3 r { e −ik·x←→ ∂ 0 ϕ(x) } , (4.22)
∫
b(k) = i d 3 r { e ik·x←→ ∂ 0 ϕ † (x) } . (4.23)
Jetzt rechnen wir die Vertauschungsrelationen für die a(k) und b(k) aus:
[
a(k), a † (k ′ ) ] ∫
= d 3 r d 3 r [ ′ e ik·x←→ ∂ 0 ϕ(x), e −ik′·x ′←→ ∂ 0 ϕ † (x ′ ) ]
∫
= d 3 r d 3 r {[ ′ (−∂ 0 e ik·x )ϕ(x) + e ik·x ˙ϕ(x),
(−∂ 0 e −ik′·x ′ )ϕ † (x ′ ) + e −ik′·x ′ ˙ϕ † (x ′ ) ]}
∫
= d 3 r d 3 r { ′ (−∂ 0 e ik·x )e −ik′·x ′[ ϕ(⃗r, t), ˙ϕ † (⃗r ′ , t) ]
+ e ik·x (−∂ 0 e −ik′·x ′ ) [ ˙ϕ(⃗r, t), ϕ † (⃗r ′ , t) ]}
∫
= i d 3 r e ik·x←→ ∂ 0 e −ik′·x
∣
= (2π) 3 2ω k δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ ).
∣ t=t ′
(4.24)
Hierbei wurde benutzt, dass nur Kommutatoren der Form [ϕ, π] und [ϕ † , π † ]
nicht verschwinden, und wegen ˙ϕ † =π, ˙ϕ=π † überleben nur Kommutatoren
der Form [ ϕ, ˙ϕ †] oder [ ˙ϕ, ϕ †] .
Analog zeigt man
[
b(k), b † (k ′ ) ] = (2π) 3 2ω k δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ ). (4.25)
Alle übrigen Kommutatoren verschwinden. Bis auf den Faktor 2ω k sind dies
die Kommutatoren für zwei Sorten von Bosonen im Impulsraum.
Fock-Raum
Mit einem – als Postulat eingeführten – Vakuumzustand |0>
a(k)|0>= 0, b(k)|0>= 0 (4.26)
und den Erzeugungsoperatoren bildet man N-Teilchen-Zustände, die den
Fock-Raum aufspannen.

4.1 Komplexes Skalarfeld 73
Ein-Teilchen-Zustände sind
a † (k)|0>, b † (k)|0> (stets ist k 0 = ω k ). (4.27)
Der Fock-Raum enthält also Zustände mit zwei verschiedenen Teilchensorten.
Zwei-Teilchen-Zustände sind
a † (k 1 )a † (k 2 )|0>, b † (k 1 )b † (k 2 )|0>,
a † (k 1 )b † (k 2 )|0>, b † (k 1 )a † (k 2 )|0> .
(4.28)
Die letzten beiden Zustände sind verschieden! Zwar kommutieren a † und b † ,
aber ⃗ k 1 und ⃗ k 2 sind i. A. verschieden.
Die Normierung der Fock-Zustände ergibt sich aus dem Vakuum-Erwartungswert
von aa † =
= (2π) 3 2ω k δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ ).
(4.29)
Um einen Hamiltonoperator in der quantisierten Theorie zu finden, setzen
wir zunächst an
H ′ = d 3 r { π † π + ∇ϕ † · ∇ϕ + m 2 ϕ † ϕ } . (4.30)
Wir ersetzen gemäß Gl. (4.14)
∫
π = ˙ϕ † = i
∫
∇ϕ = i
d 3 {
}
k
ω
(2π) 3 k a † (k)e ik·x − b(k)e −ik·x
2ω k
d 3 {
k
⃗ k a(k)e −ik·x − b † (k)e
}.
ik·x
(2π) 3 2ω k
(4.31)
Benutzen wir wieder die Hilfsformel (4.18), so erhalten wir nach etwas Algebra
H ′ = 1 2
∫
d 3 k
(2π) 3 2ω k
ω k
{
a † (k)a(k)+a(k)a † (k)+b † (k)b(k)+b(k)b † (k) } . (4.32)
Hier ist H ′ nicht normalgeordnet. Anwendung von H ′ auf den Vakuumzustand
ergibt
H ′ |0> = 1 ∫
d 3 k {[
ω
2 (2π) 3 k a(k), a † (k) ] + [ b(k), b † (k) ]} |0>
2ω k
∫
= d 3 k ω k δ (3) (0)|0>= ∞.
(4.33)

74 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
Dieser Ausdruck divergiert zweifach, δ (3) (0) = ∞ und ∫ d 3 k ω k = ∞. In einer
Lorentz-invarianten Theorie muss aber die Energie des Vakuumzustandes
verschwinden. Der auf diese Weise aus der Hamiltonfunktion bei der Quantisierung
gewonnene Hamiltonoperator ist also unbrauchbar. Daher schreiben
wir die Hamiltonfunktion gleich so auf, dass nach dem Quantisierungsprozess
– der Ersetzung der Feldfunktionen durch Operatoren –, die Vernichter
rechts von den Erzeugern stehen. Mit anderen Worten, wir definieren H in
normalgeordneter Form.
Für einen Operator A ist die Normalordnung von A, mit :A: bezeichnet,
dadurch definiert, dass alle Venichtungsoperatoren rechts von allen Erzeugungsoperatoren
stehen.
Seien die positiven und die negativen Frequenzanteile von ϕ
so dass
Dann ist beispielsweise
∫
ϕ (+) =
∫
ϕ (−) =
d 3 k
(2π) 3 2ω k
a(k)e −ik·x ∣ ∣∣∣k0
=ω k
,
d 3 k
(2π) 3 2ω k
b † (k)e ik·x ∣ ∣∣∣k0
=ω k
,
(4.34)
ϕ(x) = ϕ (+) (x) + ϕ (−) (x). (4.35)
: ϕ(x)ϕ(y): = : ( ϕ (+) (x) + ϕ (−) (x) )( ϕ (+) (y) + ϕ (−) (y) ) :
= ϕ (+) (x)ϕ (+) (y) + ϕ (−) (x)ϕ (−) (y)
+ ϕ (−) (y)ϕ (+) (x) + ϕ (−) (x)ϕ (+) (y).
Der Hamiltonoperator wird zu
∫
H = d 3 r : { π † π + ∇ϕ † · ∇ϕ + m 2 ϕ † ϕ } :
Hieraus folgt sofort
∫
=
d 3 k
(2π) 3 2ω k
ω k
{
a † (k)a(k) + b † (k)b(k) } .
(4.36)
(4.37)
H|0>= 0. (4.38)
Berechnen wir nun die Energie eines Ein-Teilchen-Zustandes a † (k)|0>. Dazu
berechnen wir zunächst
[
H, a † (k) ] ∫
d 3 k ′ [
=
ω
(2π) 3 k ′ a † (k ′ )a(k ′ ), a † (k) ]
2ω k ′
∫
d 3 k ′
=
ω
(2π) 3 k ′ a † (k ′ ) [ a(k ′ ), a † (k) ]
(4.39)
2ω k ′
} {{ }
= ω k a † (k).
(2π) 3 2ω k δ (3) ( ⃗ k ′ − ⃗ k)

4.1 Komplexes Skalarfeld 75
Damit ergibt sich
Ebenso hat man
Ha † (k)|0> = [ H, a † (k) ] |0> = ω k a † (k)|0> . (4.40)
Hb † (k)|0> = ω k b † (k)|0> . (4.41)
H beschreibt Teilchen, die im Impulseigenzustand a † (k)|0> bzw. b † (k)|0>
die Energie ω k =
√
⃗k2 + m 2 haben. Alle Zustände besitzen positive Energie!
Betrachten wir noch einmal die Zerlegung von ϕ(x):
ϕ(x) = ϕ (+) (x) + ϕ (−) (x).
ϕ enthält einen Anteil ϕ (−) (x) mit negativen Frequenzen. In der relativistischen
Quantenmechanik wurde dieser den negativen Energien zugeordnet. In
der quantisierten Feldtheorie ist seine Bedeutung nun anders.
a. ϕ (+) (x) ist der Operator für den positiven Frequenzanteil von ϕ(x). Er
enthält die Vernichtungsoperatoren a(k).
(ϕ (+) (x)) † erzeugt im Fock-Raum Teilchen der Sorte a mit positiver
Energie.
b. ϕ (−) (x) ist der Operator für den negativen Frequenzanteil von ϕ(x). Er
enthält die Erzeugungsoperatoren b † (k).
(ϕ (−) (x)) † erzeugt im Fock-Raum aber nicht Teilchen mit negativer
Energie, sondern vernichtet Teilchen der Sorte b mit positiver Energie.
Das Problem der negativen Energien der Klein-Gordon-Gleichung in der relativistischen
Quantenmechanik ist somit in der Quantenfeldtheorie gelöst. Das
zweite Problem betraf die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x) = i(ϕ ∗ (x) ˙ϕ(x) −
ϕ(x) ˙ϕ ∗ (x)), die negativ werden konnte. Welche Bedeutung hat jetzt
ρ(x) = i(ϕ † (x) ˙ϕ(x) − ϕ(x) ˙ϕ † (x)) ? (4.42)
Wir stellen fest, dass die darin enthaltenen Operatoren bereits normalgeordnet
auftreten. Betrachten wir das gesamte Integral
∫
Q := d 3 rρ(⃗r, t). (4.43)
Analog zu den Rechnungen zum Hamiltonoperator, Gleichung (4.37), erhalten
wir
∫
d 3 k {
Q =
a † (k)a(k) − b † (k)b(k) } =: N
(2π) 3 + − N − . (4.44)
2ω k

76 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
N + ist der Teilchenzahloperator für die Teilchensorte a und N − ist der Teilchenzahloperator
für die Teilchensorte b. Beispielsweise gilt
N + |0>= N − |0>= 0,
N + a † |0>= 1 a † |0>,
N − b † |0>= 1 b † |0> .
(4.45)
Man erhält dies, indem man z. B. [ N + , a † (k 1 ) ] = a † (k 1 ) benutzt. Weitere
Beispiele sind
N + b † |0>= 0,
N − a † |0>= 0,
N + a † (k 1 )b † (k 2 )a † (k 3 )b † (k 4 )b † (k 5 )|0>
= 2 a † (k 1 )b † (k 2 )a † (k 3 )b † (k 4 )b † (k 5 )|0> .
(4.46)
Die Eigenwerte zu N + und N − sind also 0, 1, 2, . . . .
Wir können Q als Ladungsoperator interpretieren, indem wir den Teilchen
der Sorte a die Ladung +1 und den Teilchen der Sorte b die Ladung -1
zuordnen, z. B.
Qa † (k 1 )a † (k 2 )b † (k 3 )|0>= (2 − 1)a † (k 1 )a † (k 2 )b † (k 3 )|0> . (4.47)
Da Q mit H vertauscht, [Q, H] = 0, ist Q erhalten, d. h. ˙Q = 0.
Die Rechtfertigung der Interpretation von Q als Ladung besteht darin, dass
die Kopplung an das elektromagnetische Feld über den Strom j µ (x) erfolgt,
siehe Abschnitt 1.2 und später.
Man kann die Teilchen mit Ladung Q = 1 als „Teilchen“ bezeichnen, und
diejenigen mit Ladung Q = −1 als „Antiteilchen“.
Fassen wir zusammen: das komplexe Klein-Gordon-Feld beschreibt geladene,
skalare Teilchen und die zugehörigen Antiteilchen in symmetrischer Weise.
Ein Beispiel für skalare (spinlose) Teilchen sind die beiden geladenen Pionen
π + und π − .
Die Frage nach dem neutralen Pion π 0 leitet über zum nächsten Abschnitt.
4.2 Reelles Skalarfeld
Für ein klassisches, reelles, skalares Feld gilt ϕ(x) = ϕ ∗ (x). Das überträgt
sich auf das quantisierte Feld als
ϕ(x) = ϕ † (x). (4.48)

4.2 Reelles Skalarfeld 77
Das operatorwertige Feld ist also selbstadjungiert. Nach Gleichung (4.14) hat
man
∫
d 3 {
}
k
ϕ(x) =
a(k)e −ik·x + b † (k)e ik·x = ϕ † (x). (4.49)
(2π) 3 2ω k
Es muss daher
a(k) = b(k) (4.50)
sein, und folglich gibt es beim reellen Skalarfeld nur eine Teilchensorte (ohne
Antiteilchen).
Die Lagrangedichte ist
L = 1 2{
(∂µ ϕ)(∂ µ ϕ) − m 2 ϕ 2} . (4.51)
Mit
π(x) = ˙ϕ(x) (4.52)
findet man den Hamiltonoperator
∫
H =
d 3 r 1 2 :{ π 2 + (∇ϕ) 2 + m 2 ϕ 2} : . (4.53)
Die nicht verschwindenden Kommutatoren sind, mit ω k = k 0 =
√
( ⃗ k) 2 + m 2 ,
[
a(k), a † (k ′ ) ] = (2π) 3 2ω k δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ ). (4.54)
Ausgedrückt durch Teilchenerzeuger und -vernichter lautet der Hamiltonoperator
∫
d 3 k
H = ω
(2π) 3 k a † (k)a(k). (4.55)
2ω k
Die im vorigen Abschnitt definierte Gesamtladung verschwindet:
∫
Q = i d 3 r (ϕ † ˙ϕ − ϕ ˙ϕ † )
∫
=
d 3 k
(2π) 3 2ω k
{
a † (k)a(k) − a † (k)a(k) } = 0.
(4.56)
Wir haben also gefunden, dass das reelle Klein-Gordon-Feld neutrale, skalare
Teilchen beschreibt.

78 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
4.3 Kommutator und Propagator
Das reelle Skalarfeld mit ϕ(x) = ϕ † (x) ist selbstadjungiert und somit observabel.
Wir stellen uns die Frage, wann ϕ(x) und ϕ(y) simultan messbar
sind. Diese Frage betrifft den kausalen Zusammenhang zwischen dem Feld
an verschiedenen Orten. Simultane Messbarkeit bedeutet, dass [ϕ(x), ϕ(y)]
verschwinden muss.
Berechnen wir also den Kommutator.
[ ] ∫
d 3 k d 3 k ′
ϕ(x), ϕ(y) =
(2π) 3 2ω k (2π) 3 2ω k ′
{[
a(k), a † (k ′ ) ] e −ik·x+ik′·y + [ a † (k), a(k ′ ) ] e } ik·x−ik′·y
∫
=
∫
=
∫
=
d 3 k {
e −ik·(x−y) − e ik·(x−y)}
(2π) 3 2ω k
d 4 k
− m 2 )Θ(k 0 ) { e −ik·(x−y) − e ik·(x−y)}
(2π) 3δ(k2
d 4 k
− m 2 ) sign(k 0 )e −ik·(x−y)
(2π) 3δ(k2
= : i∆(x − y)
(4.57)
Diese Funktion ∆(x) heißt Kommutatorfunktion oder Pauli-Jordan-Funktion.
Es gilt
∆(x 0 = 0, ⃗x) = 0, (4.58)
weil [ ϕ(0, ⃗x), ϕ(0, ⃗y) ] aufgrund der zeitgleichen Vertauschungsrelationen verschwindet.
∆(x) ist Lorentz-invariant gemäß der Darstellung (4.57). Es folgt,
dass
∆(x) = 0, (x 2 < 0) (4.59)
ist für alle raumartigen x, da jedes raumartige x durch eine Lorentz-Transformation
zu (x 0 = 0, ⃗x) transformiert werden kann. Damit können wir festhalten:
[ϕ(x), ϕ(y)] = 0, wenn x und y raumartig zueinander liegen. (4.60)
Diese Tatsache entspricht der geforderten kausalen Unabhängigkeit raumartiger
Bereiche in der speziellen Relativitätstheorie und wird „Mikrokausalität“
genannt.
Vakuumfluktuationen
Der Erwartungswert des Feldes im Vakuum verschwindet,
= 0. (4.61)

4.3 Kommutator und Propagator 79
Das Feld verschwindet aber nicht identisch. Untersuchen wir dazu die Varianz
des Feldes. Zunächst betrachten wir die Korrelationsfunktion, die mit ∆ +
bezeichnet wird:
=: ∆ + (x − y). (4.62)
Man erhält mit der Normierung der Fock-Zustände, Gl. (4.29),
∫
d 3 k d 3 k ′
∆ + (x − y) =
e −ik·x+ik′·y
(2π) 3 2ω k (2π) 3 2ω k ′
∫
d 3 k
= e −ik·(x−y)
(2π) 3 2ω k
∫ d 4 k
= − m 2 )Θ(k 0 )e −ik·(x−y) ≠ 0.
(2π) 3δ(k2
(4.63)
Dieser Ausdruck wird für x = y singulär. Deshalb betrachten wir stattdessen
das über ein Gebiet ausgeschmierte Feld
∫
F(x) := d 4 xf(x)ϕ(x), (4.64)
wobei f(x) in dem betrachteten Gebiet von Null verschieden ist und außerhalb
verschwindet. Für die Varianz von F findet man
> 0. (4.65)
Dieser Sachverhalt wird mit dem Begriff „Vakuumfluktuationen“ bezeichnet.
Der Feynman-Propagator
In störungstheoretischen Rechnungen benötigt man eine zeitgeordnete Zweipunkt-
Funktion, den Feynman-Propagator ∆ F . Er wird definiert durch
Wir formen um
i∆ F (x − y)
i∆ F (x − y) :=
{
, wenn x
=
0 > y 0 ,
, wenn y 0 > x 0 .
= Θ(x 0 − y 0 ) +Θ(y 0 − x 0 )
(4.66)
= Θ(x 0 − y 0 )∆ + (x − y) + Θ(y 0 − x 0 )∆ + (y − x)
∫
d 3 k {
=
Θ(x 0 − y 0 )e −ik·(x−y) + Θ(y 0 − x 0 )e −ik·(y−x)}
(2π) 3 2ω k
∫
d 3 k
= e { i⃗ k·(⃗x−⃗y)
Θ(x 0 − y 0 )e −iω k(x 0 −y 0) + Θ(y 0 − x 0 )e } iω k(x 0 −y 0 )
.
(2π) 3 2ω k
(4.67)

80 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
Wir betrachten jetzt das Integral
I = 1 ∫
2πi
dk 0 exp(−ik0 x 0 )
k 2 − m 2 + iǫ = 1 ∫
2πi
dk 0 exp(−ik 0 x 0 )
(k 0 ) 2 − (ω 2 k − iǫ) (4.68)
mit einem winzigen positiven ǫ, und planen eine Residuumsauswertung für
dieses Integral.
Pol
k 0
−ω k +ω k
Pol
Die Polstellen liegen bei k 0 ≈ ±(ω k − iǫ/2ω k ). Falls x 0 > 0 ist, kann man
den Integrationsweg für k 0 im Unendlichen so schließen, dass der Realteil von
−ik 0 gleich −∞ wird, das heißt, dass k 0 in der unteren komplexen Halbebene
liegen muss. Für x 0 < 0 schließt man den Integrationsweg in der oberen
Halbebene.
Für x 0 < 0 liefert der Residuensatz im Grenzwert ǫ → 0
{
}
e −ikx0
Res −ω = eiωx0
(k − ω)(k + ω) −2ω . (4.69)
Für x 0 > 0 wird das Kontourintegral im Uhrzeigersinn durchlaufen, darum
hat das Integral den Wert
{
}
e −ikx0
− Res +ω = − e−iωx0
(k − ω)(k + ω) 2ω . (4.70)
Zusammengefasst hat man
I = −Θ(x 0 ) e−iω kx 0
2ω k
− Θ(−x 0 ) eiω kx 0
2ω k
. (4.71)
Zurück zum Feynman-Propagator, Gleichung (4.67), wo wir für die zeitabhängigen
Faktoren das k 0 -Integral I einsetzen. Das gibt
∫
∆ F (x) =
d 4 k
(2π) 4
e −ik·x
k 2 − m 2 + iǫ . (4.72)
Wegen −∂ µ ∂ µ exp(−ik µ x µ ) = k µ k µ exp(−ik µ x µ ) folgt für ∆ F
(□ − m 2 )∆ F (x) = δ (4) (x). (4.73)

4.4 Yukawa-Potenzial 81
Damit ist
∆ F (x) eine „Green’sche Funktion “ zu (□ − m 2 ),
mit welcher Lösungen der inhomogenen Dgl. aufgebaut werden können. Man
kann das auch so ausdrücken:
∆ F ist der Operatorkern von (□ − m 2 ) −1 .
4.4 Yukawa-Potenzial
Die Yukawa-Theorie ist eine effektive Theorie, welche die Wechselwirkung
zwischen Nukleonen näherungsweise gut beschreibt. Sie wurde von Hideki
Yukawa 1935 formuliert. In der Yukawa-Theorie fungieren Mesonen als Austauschteilchen,
analog zu den Photonen in der Quantenelektrodynamik.
Wir wollen das Potenzial zwischen zwei statischen Quellen berechnen. In
Analogie zur Elektrodynamik, in der die Wellengleichung für das Vierer-Potenzial
□A µ = −µ 0 j µ lautet, gehen wir aus von einer Wellengleichung mit
Quelle −j(x),
(□ − m 2 )ϕ(x) = −j(x). (4.74)
Im Unterschied zur Elektrodynamik mit ihren masselosen Photonen tritt hier
die Masse m der Mesonen auf. Weiterhin werden die Mesonen als spinlos
angenommen und daher durch ein Skalarfeld ϕ(x) beschrieben.
Die Lagrangedichte zu dieser Feldgleichung ist
L = 1 2
(
(∂µ ϕ)(∂ µ ϕ) − m 2 ϕ 2) + jϕ (4.75)
oder auch
L = 1 2 ϕ ( □ − m 2) ϕ + jϕ, (4.76)
bis auf eine totale Ableitung. Mit dem kanonischen Impuls π = ˙ϕ gelangt
man zum Hamiltonoperator
∫
H =
( )
1
d 3 r :
2 (π2 + (∇ϕ) 2 + m 2 ϕ 2 ) − jϕ : (4.77)
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Feldgleichung (4.74) setzt sich zusammen
aus der allgemeinen Lösung ϕ 0 der homogenen Gleichung plus einer
partikulären Lösung ϕ c der inhomogenen Gleichung:
ϕ(x) = ϕ 0 (x) + ϕ c (x). (4.78)

82 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
Die homogene Gleichung (Klein-Gordon-Gleichung) führt auf die Felder der
freien (quantisierten) Theorie
∫
ϕ 0 (x) =
d 3 k
(2π) 3 2ω k
(
a(k)e −ik·x + a † (k)e ik·x) . (4.79)
Die Quelle j(x) sei statisch, d. h. ∂ 0 j(x) = 0. Die partikuläre Lösung ϕ c hängt
dann ebenfalls nicht von der Zeit ab und genügt der Helmholtz-Gleichung
(∆ − m 2 )ϕ c (⃗r ) = −j(⃗r ). (4.80)
Ihre Lösung kann geschrieben werden als
∫
ϕ c (⃗r ) = d 3 r ′ G(⃗r − ⃗r ′ )j(⃗r ′ ) (4.81)
mit der Green’schen Funktion G(⃗r ), die Lösung von
(
∆ − m
2 ) G(⃗r ) = −δ (3) (⃗r ) (4.82)
ist. Diese Green’sche Funktion ist bekannt:
∫
G(⃗r ) =
d 3 k exp(i ⃗ k · ⃗r)
(2π) 3 ⃗ k2 + m 2
= e−mr
4πr . (4.83)
Berechnen wir nun die Energie des betrachteten Zustandes. Wir teilen den
Hamiltonoperator (4.77) auf in den Beitrag vom freien Feld ϕ 0 und den Rest:
∫ ( 1
H = d 3 r :
2 π2 − 1 )
2 ϕ(∆ − m2 )ϕ − jϕ :
∫ ( 1
= d 3 r :
2 π2 − 1 2 ϕ 0(∆ − m 2 )ϕ 0 − jϕ 0
− 1 2 ϕ c(∆ − m 2 )ϕ 0 − 1 (4.84)
2 ϕ 0(∆ − m 2 )ϕ c
− 1 2 ϕ c(∆ − m 2 )ϕ c − jϕ c
): .
Zur Energie liefern die Terme, die das freie Feld ϕ 0 enthalten, keinen
Beitrag. Übrig bleibt ein Beitrag zur Energie, der sich durch das statische
Potenzial ergibt.
∫
E = = − d 3 r ( 1
2 ϕ )
c(∆ − m 2 )ϕ c + jϕ c
= − 1 ∫
d 3 r j(⃗r ) ϕ c (⃗r )
(4.85)
2
= − 1 ∫
d 3 r d 3 r ′ j(⃗r ) G(⃗r − ⃗r ′ )j(⃗r ′ ).
2

4.5 Symmetrien und Erhaltungssätze 83
Wählt man jetzt j(⃗r ) speziell für zwei punktförmige Quellen bei ⃗r 1 und ⃗r 2
als
j(⃗r ) = q 1 δ (3) (⃗r − ⃗r 1 ) + q 2 δ (3) (⃗r − ⃗r 2 ) = j 1 (⃗r ) − j 2 (⃗r ), (4.86)
so erhält man für die Energie
E = − 1 ∫
d 3 r d 3 r ′ j 1 (⃗r ) G(⃗r − ⃗r ′ )j 1 (⃗r ′ )
2
− 1 ∫
d 3 r d 3 r ′ j 2 (⃗r ) G(⃗r − ⃗r ′ )j 2 (⃗r ′ )
∫2
− d 3 r d 3 r ′ j 1 (⃗r ) G(⃗r − ⃗r ′ )j 2 (⃗r ′ ).
(4.87)
Die ersten beiden Zeilen enthalten die Selbstenergien der Quellen. Sie divergieren
zwar für Punktquellen, können aber ignoriert werden, da wir uns
nur für die Wechselwirkung zwischen den beiden Quellen interessieren. Der
dritte Beitrag liefert das Potenzial zwischen den beiden Quellen. Mit der
Green’schen Funktion, Gl. (4.83), ergibt sich das Yukawa-Potenzial
V (⃗r 1 − ⃗r 2 ) = − q 1q 2
4π
= − q 1q 2
4π
∫
d 3 r d 3 r ′ δ (3) (⃗r − ⃗r 1 ) e−m|⃗r−⃗r ′ |
|⃗r − ⃗r ′ | δ(3) (⃗r ′ − ⃗r 2 )
(4.88)
e −m|⃗r 1−⃗r 2 |
|⃗r 1 − ⃗r 2 | .
Das negative Vorzeichen bedeutet, dass das Potenzial anziehend wirkt. Die
Masse m bestimmt die Reichweite r 0 = 1/m der Yukawa-Kraft.
V (r)
r 0 = 1 m
∼ exp(−mr)
r
∼ 1 r
4.5 Symmetrien und Erhaltungssätze
Unter Symmetrien versteht man Abbildungen, welche „die Physik unverändert
lassen“. Was darunter genau zu verstehen ist, muss natürlich spezifiziert

84 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
werden. In unserem Kontext definieren wir Symmetrien als Abbildungen oder
Transformationen in der Theorie, welche die physikalischen Gesetzmäßigkeiten,
wie die Bewegungsgleichungen oder Feldgleichungen, unverändert lassen.
Symmetrien spielen eine große Rolle in der Physik. Die Berücksichtigung
von Symmetrien ist sehr vorteilhaft für die Formulierung und das Lösen von
Bewegungsgleichungen. In der Physik der Elementarteilchen hat sich gezeigt,
dass deren Wechselwirkungen durch starke Symmetrieprinzipien bestimmt
sind.
Die Noether’sche Theorie verbindet infinitesimale Symmetrietransformationen
mit zugehörigen Erhaltungssätzen. Ihre Gegenstände sind somit kontinuierliche
Symmetrien. Diskrete Symmetrien, wie Parität, Zeitumkehr und
Ladungskonjugation, werden wir später betrachten. Die Noether’sche Theorie
werden wir zunächst im Rahmen der klassischen Feldtheorien diskutieren,
sie gilt aber auch im quantentheoretischen Kontext. Allerdings gibt es auch
so genannte Anomalien, das sind klassische Symmetrien, die in der Quantentheorie
gebrochen sind.
Ein Beispiel
Wir betrachten ein System von zwei reellen, skalaren Feldern ϕ 1 und ϕ 2 , das
durch folgende Lagrangefunktion beschrieben wird.
L = 1 2 (∂ µϕ 1 )(∂ µ ϕ 1 ) − m2 1
2 ϕ2 1 − λ 1 ϕ 4 1
+ 1 2 (∂ µϕ 2 )(∂ µ ϕ 2 ) − m2 2
2 ϕ2 2 − λ 2 ϕ 4 1
− λ 3 ϕ 2 1ϕ 2 2.
(4.89)
Die ϕ 4 -Terme beschreiben die Selbstwechselwirkung der Felder, der Term
−λ 3 ϕ 2 1 ϕ2 2 die Kopplung der beiden Felder untereinander. Die zugehörigen
Feldgleichungen sind dann
(□ − m 2 1 )ϕ 1 = 4λ 1 ϕ 3 1 + 2λ 3ϕ 1 ϕ 2 2 ,
(□ − m 2 2 )ϕ 2 = 4λ 2 ϕ 3 2 + 2λ 3ϕ 2 1 ϕ 2 .
(4.90)
Wir werden nun eine Symmetrie der Lagrangefunktion untersuchen, um daran
die Noether’sche Theorie beispielhaft zu illustrieren.
Die beiden Felder ϕ 1 und ϕ 2 können als Komponenten in einem zweidimensionalen
„inneren Raum“ aufgefasst werden. In diesem inneren Raum können
wir Drehungen durch
ϕ ′ 1 = ϕ 1 cos α − ϕ 2 sin α
ϕ ′ 2 = ϕ 2 cos α + ϕ 1 sin α
(4.91)

4.5 Symmetrien und Erhaltungssätze 85
definieren. Dabei soll der Drehwinkel α unabhängig vom Ort x sein.
Unter diesen Drehungen sind folgende
Ausdrücke invariant:
ϕ 2 (x)
ϕ ′ 12 + ϕ ′ 2 2 = ϕ 2 2
1 + ϕ 2
(4.92)
(∂ µ ϕ ′ 1 )(∂µ ϕ ′ 1 ) + (∂ µϕ ′ 2 )(∂µ ϕ ′ 2 )
=(∂ µ ϕ 1 )(∂ µ ϕ 1 ) + (∂ µ ϕ 2 )(∂ µ ϕ 2 ).
(4.93)
Daraus sehen wir, dass die Lagrangedichte
(4.89) invariant unter diesen Drehungen
ist, wenn
ϕ 1 (x)
m 1 = m 2 =: m (4.94)
und
λ 1 = λ 2 = 1 2 λ 3 =: λ (4.95)
ist. In diesem Fall vereinfacht sich die Lagrangedichte zu
L = 1 2 (∂ µϕ 1 )(∂ µ ϕ 1 ) + 1 2 (∂ µϕ 2 )(∂ µ ϕ 2 )
− m2
2 (ϕ2 1 + ϕ2 2 ) − λ(ϕ2 1 + ϕ2 2 )2 .
(4.96)
Nach der Ankündigung zu Beginn dieses Abschnitts erwarten wir einen Erhaltungssatz
zu der betrachteten kontinuierlichen Symmetrietransformation.
Wir definieren
a µ := ϕ 1 ∂ µ ϕ 2 − ϕ 2 ∂ µ ϕ 1 (4.97)
und bilden die Divergenz:
∂ µ a µ = (∂ µ ϕ 1 )(∂ µ ϕ 2 ) + ϕ 1 ∂ µ ∂ µ ϕ 2 − (∂ µ ϕ 2 )(∂ µ ϕ 1 ) − ϕ 2 ∂ µ ∂ µ ϕ 1 .
Zwei Terme heben sich direkt auf, für die übrigen setzen wir die Feldgleichungen
(4.90) in der Form
− ∂ µ ∂ µ ϕ 1 = m 2 1 ϕ 1 + 4λ 1 ϕ 3 1 + 2λ 3ϕ 1 ϕ 2 2
− ∂ µ ∂ µ ϕ 2 = m 2 2 ϕ 2 + 4λ 2 ϕ 3 2 + 2λ 3ϕ 2 ϕ 2 1
(4.98)
ein und erhalten unter der Bedingung, dass m 1 = m 2 und λ 1 = λ 2 = 1 2 λ 3 ist
∂ µ a µ = (m 2 1 − m 2 2)ϕ 1 ϕ 2
+ (4λ 1 − 2λ 3 )ϕ 3 1ϕ 2 − (4λ 2 − 2λ 3 )ϕ 1 ϕ 3 2 = 0.
(4.99)

86 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
Die Größe a µ (x) stellt also einen Strom dar, der dann erhalten ist, wenn die
Symmetrie der Lagrangedichte vorliegt. In diesem Fall ist
∫
A = d 3 x a 0 (4.100)
eine Erhaltungsgröße, wie mit dem Gauß’schen Satz aus der Kontinuitätsgleichung
folgt:
∫
∫
∫
∂ 0 A = d 3 x ∂ 0 a 0 = −
R 3 d 3 x ∇ · ⃗a =
R 3 d 2 f ⃗ · ⃗a = 0.
∂R 3 (4.101)
4.5.1 Symmetrie-Transformationen
Die Feldtheorie, die wir betrachten, wird im Allgemeinen eine Menge von
Feldern ϕ α (x), α = 1, . . . , n, enthalten. α kann einfach eine Nummerierung
der Felder oder der Index eines Vektorfeldes, Tensorfeldes oder Spinors sein.
Wir wollen nun Transformationen des physikalischen Systems untersuchen.
Darunter fallen zunächst raum-zeitliche Transformationen
x µ −→ x ′µ . (4.102)
Konkret werden das in den nachfolgenden Abschnitten inhomogene Lorentz-
Transformationen
x ′µ = Λ µ νx ν + a µ (4.103)
sein. Im Falle einer infinitesimalen Translation schreiben wir
x ′µ = x µ + δx µ . (4.104)
Die Transformationen werden als aktive Transformationen aufgefasst, d. h.
das physikalische System wird entsprechend bewegt.
Die Transformation der Felder
ϕ α (x) −→ ϕ ′ α (x) (4.105)
hat generell verschiedene Quellen. Einerseits transformieren sich die Felder
unter den obigen raum-zeitlichen Transformationen gemäß einem charakteristischen
Transformationsgesetz, je nachdem, ob es sich um Skalare, Vektoren,
Tensoren oder Spinoren handelt. Andererseits können noch weitere „innere
Transformationen“, wie im obigen Beispiel, hinzukommen. Die infinitesimalen
Transformationen der Felder schreiben wir als
ϕ ′ α (x) = ϕ α(x) + δϕ α (x). (4.106)

4.5 Symmetrien und Erhaltungssätze 87
Weil physikalische Gesetzmäßigkeiten sich aus der Stationarität der Wirkung
ergeben, fragen wir, wie sich die Wirkung S unter der Transformation ändert.
Es sei G ein Gebiet der Raum-Zeit und
∫
S = L (ϕ α , ∂ µ ϕ α )d 4 x (4.107)
G
die zugehörige Wirkung. Unter einer aktiven Transformation wird G auf ein
anderes Gebiet G ′ abgebildet und gleichzeitig ändern sich die Felder ϕ α (x)
zu ϕ ′ α(x). Die Wirkung ändert sich dabei gemäß
∫
∫
S = L (ϕ α , ∂ µ ϕ α )d 4 x −→ S ′ = L (ϕ ′
G
G ′ α , ∂ µϕ ′ α )d4 x. (4.108)
Die infinitesimale Änderung der Wirkung ist die Summe von zwei Integralen,
eines enthält die Änderung der Lagrangedichte und das zweite berücksichtigt,
dass bei der Transformation des Gebietes ein Volumenstreifen dazukommt
und ein anderer weggenommen wird.
∫
δS =
∫
=
G
G
∫
δL d 4 x +
∫
δL d 4 x +
G ′ −G
∂G
L d 4 x
L δx µ dσ µ .
(4.109)
δx · dσ
Hier ist dσ µ das Flächenelement der Hyperfläche
∂G (siehe Abbildung.)
δx
Die Änderung von L setzt sich aus den partiellen Ableitungen zusammen.
δL = ∂L δϕ α +
∂ϕ α
=
{ ∂L
∂ϕ α
− ∂ µ
( ∂L
∂L
∂(∂ µ ϕ α ) ∂ µδϕ α
) } (
) ∂L
δϕ α + ∂ µ
∂ µ ϕ α ∂(∂ µ ϕ α ) δϕ α .
dσ
(4.110)
Mit Benutzung des Gauß’schen Satzes erhalten wir für die gesamte Änderung
der Wirkung
∫ { ( ) } ∂L ∂L
δS = − ∂ µ δϕ α d 4 x
G ∂ϕ α ∂ µ ϕ α
∫ {
}
(4.111)
∂L
+ ∂ µ
G ∂(∂ µ ϕ α ) δϕ α + L δx µ d 4 x.
Nun nehmen wir folgende Voraussetzungen an:
1. Die Feldgleichungen seien erfüllt. Dann verschwindet das erste Integral.

88 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
2. Es liegt eine Symmetrietransformation vor, d. h. die Wirkung bleibt
unter der Transformation invariant, also δS = 0. (Die Lagrangedichte
muss aber nicht notwendig invariant unter der Transformation sein.)
Dann ist
∫
δS =
{
∂ µ
G
}
∂L
∂(∂ µ ϕ α ) δϕ α + L δx µ d 4 x = 0. (4.112)
Da das Gebiet G beliebig ist, muss der Integrand verschwinden:
{
}
∂L
∂ µ
∂(∂ µ ϕ α ) δϕ α + L δx µ = 0. (4.113)
Dies ist die Master-Formel der Noether-Theorie. Im Folgenden werden wir
sie auf mehrere Spezialfälle anwenden.
4.5.2 Raumzeit-Symmetrien
Wir beginnen mit rein raum-zeitlichen Transformationen.
a) Translationen
Wir betrachten eine Translation
x µ −→ x ′µ = x µ + a µ . (4.114)
Im Falle einer infinitesimalen Translation schreiben wir a µ
Translationen transformieren sich die Felder gemäß
= δx µ . Unter
ϕ ′ α (x′ ) = ϕ α (x) bzw. ϕ ′ α (x) = ϕ α(x − a). (4.115)
Bei einer infinitesimalen Translation haben wir
δϕ α (x) = ϕ ′ α(x) − ϕ α (x) = −∂ µ ϕ α (x)δx µ . (4.116)
Dies setzen wir in unsere Master-Formel (4.113) ein und erhalten
{
}
∂L
∂ µ
∂(∂ µ ϕ α ) ∂ν ϕ α − g µν L δx ν = 0. (4.117)
Der Ausdruck in der geschweiften Klammer
Θ µν :=
ist ein Tensor. Da δx ν konstant ist, gilt für ihn
∂L
∂(∂ µ ϕ α ) ∂ν ϕ α − g µν L (4.118)
∂ µ Θ µν = 0. (4.119)

4.5 Symmetrien und Erhaltungssätze 89
Für jeden Index ν liefert Θ µν einen erhaltenen Strom. Die zugehörigen Größen
sind Erhaltungsgrößen,
∫
P ν =
x 0 fest
d 3 x Θ 0ν (4.120)
d
dt P ν = 0. (4.121)
Θ µν heißt kanonischer Energie-Impuls-Tensor. 8
P ν heißt Energie-Impuls-(Vierer-)Vektor.
Θ 0ν =: P ν nennt man Energie-Impuls-Dichte.
Beispiel: relles Skalarfeld
Für das reelle Skalarfeld mit
L = 1 2 (∂ µϕ)(∂ µ ϕ) − m2
2 ϕ2 (4.122)
ist
Θ µν = (∂ µ ϕ)(∂ ν ϕ) − 1 2 gµν (∂ ρ ϕ)(∂ ρ ϕ) + 1 2 gµν m 2 ϕ 2 . (4.123)
Prüfen wir Θ auf Divergenzfreiheit:
∂ µ Θ µν = (∂ µ ∂ µ ϕ)(∂ ν ϕ) + (∂ µ ϕ)(∂ µ ∂ ν ϕ) − (∂ ν ∂ ρ ϕ)(∂ ρ ϕ) + 1 2 m2 ∂ ν ϕ 2
= (∂ µ ∂ µ ϕ + m 2 ϕ)(∂ ν ϕ) + (∂ µ ϕ)(∂ µ ∂ ν ϕ) − (∂ ρ ϕ)(∂ ν ∂ ρ ϕ)
= 0.
In diesem Fall ist Θ µν symmetrisch. Weiter finden wir für die räumlichen
Indizes j = 1, 2, 3 wegen g 0j = 0
∫
∫
P j = d 3 x Θ 0j = d 3 x (∂ 0 ϕ)(∂ j ϕ) + g 0j {. . . }
= −
∫
d 3 x π∂ j ϕ.
Also ist der räumliche Impuls 9 gegeben durch
∫
⃗P = − d 3 x π∇ϕ. (4.124)
8 Θ µν muss nicht notwendig symmetrisch sein, wie es der symmetrisierte Tensor T µν in
der allgemeinen Relativitätstheorie ist.
9 Der erhaltene Impuls ⃗ P ist zu unterscheiden vom kanonischen Impuls π.

90 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
Die zeitliche Komponente des Energie-Impulsvektors ist
∫
H = P 0 =
∫
=
∫
=
d 3 x Θ 00
d 3 x { (∂ 0 ϕ)(∂ 0 ϕ) − 1 2 (∂ ρϕ)(∂ ρ ϕ) + 1 2 m2 ϕ 2}
d 3 x { π∂ 0 ϕ − L } .
(4.125)
Das stimmt mit der früheren Definition der Hamiltonfunktion überein.
b) Lorentz-Transformationen
Die infinitesimalen Transformationen zur Lorentz-Transformation
x µ −→ x ′µ = Λ µ ν xν (4.126)
notieren wir mit einem infinitesimal kleinen ǫ als
Λ µ ν = δµ ν + ǫ ωµ ν ,
δx µ = ǫ ω µ ν xν mit ω µν = −ω νµ .
(4.127)
Die Transformation ist jetzt nicht mehr unabhängig von x, wie es bei den
Translationen war, und das Transformationsverhalten von skalaren Feldern,
Vektorfeldern und Spinorfeldern unterscheidet sich.
Für skalare Felder verlangt die Lorentz-Invarianz
ϕ ′ (x ′ ) = ϕ(x)
ϕ ′ (x) = ϕ(Λ −1 x)
δϕ = −(∂ µ ϕ)δx µ
= −ǫ ω µν (∂ µ ϕ)x ν .
(4.128)
Vektorfelder transformieren sich wie
A ′µ (x ′ ) = Λ µ νA ν (x)
A ′µ (x) = Λ µ νA ν (Λ −1 x)
δA ρ = −(∂ µ A ρ )δx µ + ǫ ω ρ ν Aν
(4.129)
= −ǫ ω µν
[
(∂ µ A ρ )x ν − g ρµ A ν] .
Die Transformationseigenschaft eines Spinorfeldes haben wir im Abschnitt
1.3.2 zum Dirac-Feld ψ(x) untersucht. Mit der dortigen Bezeichnung haben

4.5 Symmetrien und Erhaltungssätze 91
wir
ψ ′ (x ′ ) = S(Λ)ψ(x)
ψ ′ (x) = S(Λ)ψ(Λ −1 x)
S(Λ) = 1 − i 4 ǫ ω µνσ µν + . . .
ψ(Λ −1 x) = ψ(x) − (∂ µ ψ)ǫ ω µ ν xν + . . .
(4.130)
δψ(x) = −ǫ ω µν
[
(∂ µ ψ)x ν + i 4 σµν ψ ] .
Die Verallgemeinerung auf beliebige Systeme von Feldern ϕ α (beliebige Darstellungen
der Lorentz-Gruppe) schreiben wir in der Gestalt
δϕ α = −(∂ µ ϕ α )δx µ + ǫ Σ αβ ϕ β
{
= −ǫ ω µν (∂ µ ϕ α )x ν − Σ µν
αβ ϕ } (4.131)
β .
Wie bisher bezeichnet der erste Summand in der Klammer die Änderung einer
Feldfunktion auf Grund der Transformation ihres Argumentes x, und der
zweite Term liefert die Änderung der Feldkomponenten (ϕ α ) bei festgehaltenem
x. ω µν gibt die sechs Parameter der Lorentz-Transformation an. Weil die
Matrix (ω µν ) schiefsymmetrisch ist, kann auch Σ µν
αβ = −Σνµ αβ gewählt werden.
Setzt man δϕ α und δx µ = ǫω µ ρx ρ = ǫg µν ω νρ x ρ in die Master-Formel (4.113)
ein und benutzt die Definiton des Energie-Impuls-Tensors, so erhält man
und folglich
0 = ∂ µ
{ ∂L
∂(∂ µ ϕ α ) δϕ α + L δx µ }
{ ∂L
= −ǫω νρ ∂ µ
∂(∂ µ ϕ α ) (∂ν ϕ α )x ρ −
∂L
}
∂(∂ µ ϕ α ) Σνρ αβ ϕ β − g µν L x ρ
{
= −ǫω νρ ∂ µ Θ µν x ρ −
∂L }
∂(∂ µ ϕ α ) Σνρ αβ ϕ β
{
0 = ∂ µ −Θ µν x ρ +
∂L }
∂(∂ µ ϕ α ) Σνρ αβ ϕ β ω νρ . (4.132)
Nun ist aber ω νρ antisymmetrisch. Wir schließen daraus, dass nur der antisymmetrische
Teil der geschweiften Klammer,
M µνρ = −Θ µν x ρ + Θ µρ x ν +
eine verschwindende Divergenz besitzt:
∂L
∂(∂ µ ϕ α ) Σνρ αβ ϕ β, (4.133)
∂ µ M µνρ = 0. (4.134)

92 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
M µνρ ist ein in (νρ) antisymmetrischer Tensor dritter Stufe und heißt Drehimpulsdichte.
Der letzte Term ist bereits aufgrund der Antisymmetrie von
Σ νρ
αβ antisymmetrisch. Die zu M gehörende Erhaltungsgröße ist der Drehimpulstensor
∫
J νρ = d 3 x M 0νρ = const. (4.135)
x 0 fest
Betrachten wir wieder den Spezialfall des Skalarfeldes. Dort ist Σ = 0 und
der Drehimpulstensor wird
∫
J νρ = d 3 x { −Θ 0ν x ρ + Θ 0ρ x ν} . (4.136)
Der räumliche Anteil des Drehimpulstensors J jk für j, k ∈ {1, 2, 3} gehört
zu den räumlichen Drehungen. Der gewohnte Drehimpuls-Vektor hängt mit
ihm durch das Vektorprodukt
J i = 1 ∫
2 ǫ ijkJ jk = d 3 x (⃗r × P) ⃗ i , i ∈ {1, 2, 3}, (4.137)
zusammen, wobei wir die Impulsdichte ⃗ P im Abschnitt über die Translationsinvarianz
schon kennengelernt haben,
Bemerkung
Durch geeignete Umdefinitionen
⃗P = ( Θ 01 , θ 02 , θ 03) . (4.138)
Θ µν −→ T µν M µνρ −→ ˜M µνρ (4.139)
kann man vom Noether’schen Energie-Impulstensor Θ µν zu einem symmetrischen
Energie-Impulstensor T µν und vom Tensor M einem modifizierten
Tensor ˜M übergehen, für die gilt
4.5.3 Innere Symmetrien
T µν = T νµ und
˜M µνρ = −T µν x ρ + T µρ x ν .
(4.140)
Bisher haben wir Symmetrien unter Transformationen der Raumzeit-Koordinaten
x µ betrachtet. In diesem Abschnitt interessieren uns Transformationen
der mehrkomponentigen Feldfunktion ϕ α (x), bei denen man ihre Komponenten
ϕ α einer linearen Transformation unterwirft, die raum-zeitlichen Koordinaten
aber ungeändert lässt. Die zugehörigen Symmetrien heißen innere
Symmetrien. Es soll also gelten
δx µ = 0, (4.141)
ϕ ′ α (x) = R αβ ϕ β (x). (4.142)

4.5 Symmetrien und Erhaltungssätze 93
Dabei ist R = (R αβ ) Element einer kontinuierlichen Symmetriegruppe, in der
Regel einer Lie-Gruppe mit Elementen R(ω 1 , . . . , ω k ) = R(ω a ), die durch die
reellwertigen ω a parametrisiert werden. Die infinitesimalen Transformationen
der Symmetriegruppe sind
R = 1 − i T a δω a + . . . (4.143)
Die Matrizen T a sind die Generatoren der Gruppe, sie bilden die Basis einer
Lie-Algebra. Ihre Kommutatoren sind
[
T a , T b] = if abc T c . (4.144)
Die Strukturkonstanten f abc können reell oder komplex sein.
Die infinitesimalen Transformationen der Felder lauten damit
Beispiel: komplexes Skalarfeld
δϕ α (x) = −iT a αβ ϕ β(x)δω α . (4.145)
Wir wählen ein einkomponentiges komplexwertiges Feld ϕ(x) ∈ C und als
Symmetrietransformation die Multiplikation mit einem Phasenfaktor e −iα .
α ist damit Parameter der unitären Transformationen, die eine mit U(1)
bezeichnete Lie-Gruppe bilden.
ϕ ′ (x) := e −iα ϕ(x),
e −iα ∈ U(1), k = 1.
(4.146)
Den Generator T dieser einparametrigen Lie-Gruppe findet man aus
e −iδα = 1−i Tδα+. . . , also T = 1 ∈ R. Die infinitesimalen Transformationen
des komplexen Skalarfeldes sind
δϕ(x) = −iϕ(x)δα,
δϕ ∗ (x) = iϕ ∗ (x)δα.
(4.147)
Die infinitesimalen Symmetrietransformationen, Gl. (4.131), sind für interne
Symmetrien einfacher, weil Terme mit δx µ wegfallen. Die Bedingung für die
Invarianz von S unter diesen Transformationen, Gl. (4.113), lautet jetzt
{ } { }
∂L
∂L
0 = ∂ µ
∂(∂ µ ϕ α ) δϕ α = −i∂ µ
∂(∂ µ ϕ α ) T αβ a ϕ β . (4.148)
Definieren wir den Noether-Strom als
j µ,a ∂L
:= −i
∂(∂ µ ϕ α ) T αβ a ϕ β , (4.149)

94 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
so erhalten wir die Kontinuitätsgleichung
Die Erhaltungsgröße dazu ist
∫
Q a =
∂ µ j µ,a = 0. (4.150)
x 0 =fest
d 3 x j 0,a (x). (4.151)
Für jede Dimension a ∈ {1, . . . , k} der Lie-Gruppe gibt es eine erhaltene
Ladung Q a .
Beispiel: komplexes Skalarfeld
j µ (x) =
∂L (−i ϕ) +
∂L
∂(∂ µ ϕ) ∂(∂ µ ϕ ∗ ) (i ϕ∗ )
= i (ϕ ∗ ∂ µ ϕ − ϕ∂ µ ϕ ∗ ) .
(4.152)
Dies entspricht dem Ansatz (4.97) für den Noether-Strom von zwei reellen
Feldern aus dem einführenden Beispiel zu diesem Kapitel. Wenn man noch
einen Faktor anfügt und
j µ (x) =
i
2m (ϕ∗ ∂ µ ϕ − ϕ∂ µ ϕ ∗ ) (4.153)
definiert, so ist dies genau der Ausdruck für den erhaltenen Strom in (1.64).
Die erhaltene Gesamtladung im Fall des komplexen Skalarfeldes ist
∫
∫
Q = d 3 x j 0 (x) = i d 3 x (ϕ ∗ ˙ϕ − ϕ ˙ϕ ∗ ) . (4.154)
4.5.4 Symmetrien in der Quantentheorie
Wir übertragen die zu einer Symmetrie gehörende Erhaltungsgröße in die
Quantentheorie. Zum Beispiel wird der Impulsvektor der klassischen Feldtheorie
∫
⃗P = − d 3 x π · ∇ϕ (4.155)
jetzt zu einem Operator. Für das komplexe Skalarfeld lautet er
∫
⃗P =
d 3 k
(2π) 3 2ω k
⃗ k
{
a † (k)a(k) + b † (k)b(k) } . (4.156)
Die Darstellung ist bereits normalgeordnet. Genauso ist die zeitliche Komponente
des Energie-Impulsvektors
∫
P 0 = H =
d 3 ⃗ k
(2π) 3 2ω k
ω k
{
a † (k)a(k) + b † (k)b(k) } (4.157)

4.5 Symmetrien und Erhaltungssätze 95
jetzt ein Operator. H und ⃗ P sind Erhaltungsgrößen in der Quantentheorie.
d
dt ⃗ P = 0,
d
H = 0. (4.158)
dt
In der Quantentheorie tritt ein neuer interessanter Aspekt der Erhaltungsgrößen
zutage, wenn man ihre Kommutatoren mit den Feldern untersucht.
Beginnen wir mit dem Hamilton-Operator H. Es gelten die Vertauschungsrelationen
[
H, a † (k) ] = ω k a † (k), (4.159)
[
H, a(k)
]
= −ωk a(k). (4.160)
Drückt man ϕ mit Erzeugern und Vernichtern aus, so folgt aus den Vertauschungsrelationen
[
H, ϕ(x)
]
= −i ˙ϕ(x). (4.161)
Dasselbe kann man auch direkt in der Ortsdarstellung herleiten. Mit
∫
d 3 x : ( π † π + ∇ϕ † · ∇ϕ + m 2 ϕ † ϕ ) : (4.162)
und den kanonischen Vertauschungsregeln findet man
[ ]
H, ϕ(x) = −iπ † (x) = −i ˙ϕ(x). (4.163)
Die für die Felder angenommenen Vertauschungsrelationen sind also konsistent
mit den Heisenberg’schen Bewegungsgleichungen.
Entsprechend findet man für die anderen Erhaltungsgrößen Vertauschungsrelationen.
Aus
[ ⃗P, a † (k) ] = ⃗ k a † (k),
[ ⃗P, a(k)
]
= − ⃗ k a(k) (4.164)
folgt [ ⃗P , ϕ(x)
]
= i ∇ϕ(x). (4.165)
Zusammengefasst hat man
[
P µ , ϕ(x) ] = −i ∂ µ ϕ(x). (4.166)
Erinnern wir uns an die zugehörige Symmetrie-Transformation, nämlich die
infinitesimale raum-zeitliche Translation
δϕ(x) = (∂ µ ϕ(x)) δx µ , (4.167)

96 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
so erkennen wir, dass die Beziehung
δϕ(x) = −i [ P µ δx µ , ϕ(x) ] (4.168)
besteht. Diese Gleichung besagt, dass Translationen in der Quantentheorie
durch die Operatoren P µ erzeugt werden. Wir führen das im Folgenden noch
ein wenig aus.
In der Quantentheorie werden Translationen durch die unitären Operatoren
U(a) = exp(−iP µ a µ ) (4.169)
dargestellt, wie bereits aus der Quantenmechanik bekannt ist. Zustände im
Hilbertraum werden gemäß
|ψ ′ >= U(a)|ψ> (4.170)
transformiert. Für Observablen A folgt aus der Bedingung
die Transformationsregel
im Falle der Translationen also
und infinitesimal
A ′ |ψ ′ >= UA|ψ> (4.171)
A −→ A ′ = UAU −1 , (4.172)
A ′ = e −iP µ a µ
A e iP µ a µ
(4.173)
A ′ = A − i [ P µ δx µ , A], δA = −i [ P µ δx µ , A]. (4.174)
Das Feld ϕ(x), das in der Quantenfeldtheorie ein Operator ist, transformiert
sich genauso:
ϕ ′ (x) = ϕ(x − a) = U(a)ϕ(x)U(a) −1 (4.175)
oder in infinitesimaler Schreibweise
δϕ(x) = −∂ µ ϕ(x) δx µ = −i [ P µ δx µ , ϕ(x) ] . (4.176)
Wir halten die generelle Regel fest:
Die Generatoren von Symmetrietransformationen in der Quantentheorie sind
die zugehörigen Erhaltungsgrößen.

4.5 Symmetrien und Erhaltungssätze 97
Als weiteres Beispiel betrachten wir noch die Ladung Q beim komplexen
Skalarfeld. Übertragen wir den gefundenen Ausdruck (4.154) in die Quantentheorie,
so ist
∫
Q = i d 3 r (ϕ † ˙ϕ − ϕ ˙ϕ † ). (4.177)
Setzt man die Entwicklung des Feldes nach ebenen Wellen ein, so gibt das
∫
Q =
d 3 k
(2π) 3 2ω k
(
a † (k)a(k) − b † (k)b(k) ) . (4.178)
Mit jedem der beiden Ausdrücke für die Ladung Q findet man, wenn man
die kanonischen Vertauschungsregeln bzw. die Vertauschungsrelationen für
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren benutzt,
[
Q, ϕ(x)
]
= −ϕ(x), (4.179)
[
Q, ϕ † (x) ] = ϕ † (x). (4.180)
Entsprechend der obigen Diskussion erkennen wir, dass Q Generator einer
Symmetriegruppe ist, wobei die Transformationen
lauten, und infinitesimal
ϕ ′ (x) = e −iα ϕ(x) = e iαQ ϕ(x)e −iαQ , (4.181)
ϕ †′ (x) = e iα ϕ † (x) = e iαQ ϕ † (x)e −iαQ (4.182)
δϕ(x) = −i δα ϕ(x) = i [ δα Q, ϕ(x) ] , (4.183)
δϕ † (x) = i δα ϕ † (x) = i [ δα Q, ϕ † (x) ] . (4.184)
Bemerkung:
In speziellen Fällen kann es vorkommen, dass die klassische Theorie eine
Symmetrie und einen zugehörigen erhaltenen Strom aufweist, dass jedoch
Stromerhaltung ∂ µ j µ = 0 und die Tatsache, dass die Ladung Generator einer
Symmetriegruppe ist, in der Quantentheorie nicht mehr gegeben ist. In
diesem Fall spricht man von einer Anomalie. Dies kann in einer Theorie
wechselwirkender Feldern auftreten. Es betrifft z. B. axiale Ströme im Standardmodell.
Der Zerfall der neutralen pseudoskalaren Mesonen π 0 , η und
η ′ in zwei Photonen und die Masse des η ′ sind mit der axialen Anomalie
verknüpft.
In der quantisierten Superstringtheorie gibt es eine Anomalie der Lorentz-
Symmetrie. Dazu gehört ein Vorfaktor (d−10) mit der Raum-Zeit-Dimension
d, so dass man mit Superstringtheorien in 10 Raum-Zeit-Dimensionen arbeitet.
In der bosonischen Stringtheorie ist dieser Vorfaktor d − 26, was dazu
führt, dass die Theorie erst in 26 Dimensionen konsistent ist.

98 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
4.6 Dirac-Feld
4.6.1 Felder und Erhaltungsgrößen
Die Lagrangedichte des Dirac-Feldes war
L = ψ(x)(iγ µ ∂ µ − m)ψ(x). (4.185)
Zur Herleitung der Feldgleichungen in Form der Euler-Lagrange-Gleichungen
können wir unabhängige Variationen nach den Feldern ψ und ψ durchführen,
analog zum Vorgehen beim nichtrelativistischen Schrödinger-Feld, und
erhalten
∂ µ
∂ µ
∂L
∂(∂ µ ψ(x)) − ∂L
∂ψ(x) = 0 −→ (iγµ ∂ µ − m)ψ(x) = 0, (4.186)
∂L
∂(∂ µ ψ(x)) − ∂L
∂ψ(x) = 0 −→ ∂ µ(ψ(x)iγ µ ) + mψ(x) = 0. (4.187)
Die Gleichung (4.187) ist die Dirac-konjugierte Gleichung zu (4.186), wie
man mit
iγ µ ∂ µ ψ = (iγ µ ∂ µ ψ) † γ 0 = −i∂ µ ψ † γ µ+ γ 0 = −i∂ µ ψ † γ 0 γ µ = −i∂ µ ψγ µ (4.188)
leicht nachrechnet. Die kanonisch konjugierten Impulse sind
∂L
π(x) =
∂(∂ 0 ψ(x)) = i ψ(x)γ0 = iψ † (x), (4.189)
∂L
π(x) = = 0.
∂(∂ 0 ψ(x))
(4.190)
Das ist analog zum Schrödingerfeld, Gleichung (3.49). Nun zur Hamiltonfunktion:
∫
H = d 3 r {π(x)∂ 0 ψ(x) − L }
∫
= d 3 r { iψ † (x)∂ 0 ψ(x) − L }
∫
= d 3 r { iψ(x)γ 0 ∂ 0 ψ(x) − L }
(4.191)
∫
= d 3 r { ψ(x) ( −i⃗γ · ∇ + m ) ψ(x) }
∫
= d 3 r { ψ † (x) ( −i ⃗α · ∇ + mβ ) ψ(x) } .
Diese Ergebnis sieht aus wie der Erwartungswert des Hamiltonoperators in
der quantenmechanischen Dirac-Theorie (1.75). Die gleiche Situation war uns
bei der Quantisierung des Schrödingerfeldes begegnet.

4.6 Dirac-Feld 99
Den Impulsvektor entnehmen wir der Noether-Theorie als räumliche Komponente
des Energie-Impuls-Vektors, Gleichung (4.124).
∫
⃗P = −
∫
d 3 r π(x)∇ψ(x) = − d 3 r iψ(x)γ 0 ∇ψ(x). (4.192)
Für den erhaltenen Drehimpuls ergibt sich durch eine ähnliche Rechnung, die
den Drehimpulstensor aus der Noether-Theorie und die Lagrangefunktion der
Dirac-Theorie zugrunde legt
∫
⃗J =
d 3 r ψ
{⃗r † × 1 i ∇ + 1 Σ
2 ⃗ }
ψ = L ⃗ + S. ⃗ (4.193)
Dabei ist ⃗ Σ die Blockmatrix mit den Pauli-Spin-Matrizen σ j
( )
⃗σ 0 ⃗Σ = . (4.194)
0 ⃗σ
Die Lagrangedichte besitzt als innere Symmetrie die Phasentransformationen
ψ −→ e −iα ψ, ψ −→ e +iα ψ. (4.195)
Ganz analog zur entsprechenden Rechnung beim komplexen Skalarfeld, Gleichung
(4.152), gehört dazu der erhaltene Strom
j µ ∂L
(x) = −i
∂ µ (ψ(x)) ψ(x) + i ∂L
( ) ψ(x) = ψ(x)γ µ ψ(x). (4.196)
∂ µ ψ(x)
Die erhaltene Ladung ergibt sich daraus zu
∫
Q = d 3 r ψ † (x)ψ(x). (4.197)
ψ † (x)ψ(x) haben wir bereits früher in Gleichung (1.91) als positiv definite
Dichte bei der Diracgleichung gefunden.
4.6.2 Quantisierung
Das Quantisierungspostulat bei Fermionen ist eine Antikommutatorregel
[
ψα (⃗r, t), π β (⃗r ′ , t) ] + = iδ(3) (⃗r − ⃗r ′ )δ α,β (4.198)
oder äquivalent, wegen π = iψ † ,
[
ψα (⃗r, t), ψ † β (⃗r ′ , t) ] + = δ(3) (⃗r − ⃗r ′ )δ α,β . (4.199)

100 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
Wir nennen dies den kanonischen Antikommutator. Alle übrigen zeitgleichen
Antikommutatoren von ψ und ψ † verschwinden.
[
ψα (⃗r, t), ψ β (⃗r ′ , t) ] + = 0
[
ψ
†
α (⃗r, t), ψ † β (⃗r ′ , t) ] + = 0 (4.200)
In der Entwicklung von ψ(⃗r, t) nach ebenen Wellen,
∫
d 3 k
ψ(x) =
(2π) 3 2ω k
2∑ {
br (k)u (r) (k)e −ik·x + d † r (k)v(r) (k)e ik·x}∣ ∣ ∣∣k0 , (4.201)
=ω k
r=1
findet man für die Operatoren b r und d r die Antikommutatorregeln
[
br (k), b † r ′(k′ ) ] + = [ d r (k), d † r ′(k′ ) ] + = (2π)3 2ω k δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ )δ r,r ′ . (4.202)
Alle anderen Antikommutatoren verschwinden
[ ]
b, b = [ b † , b †] = [ d, d ] = [ b, d ] = [ b, d †] · · · = 0. (4.203)
+ + + + +
Die Interpretation der Operatoren b r , b † r , d r, d † r ist analog zu derjenigen beim
Schrödinger-Feld, b † r(k), d † r(k) sind Erzeugungsoperatoren für Teilchen mit
dem Viererimpuls k, und b r (k), d r (k) sind die zugehörigen Vernichtungsoperatoren.
Der Vakuumzustand |0> im Fock-Raum ist charakterisiert durch
b r (k)|0>= d r (k)|0>= 0, für alle r = 1, 2 und k ∈ R 4 . (4.204)
Viel-Teilchen-Zustände sind gegeben durch
1
√
m!n!
b † r 1
(k 1 ) . . . b † r m
(k m )d † r ′ 1(k ′ 1) . . . d † r ′ n (k′ n)|0> . (4.205)
Zur Vermeidung unendlicher Größen verwenden wir die Normalordnung, allerdings
müssen wir bei Fermionen ein Minuszeichen beim Vertauschen von
zwei Ein-Teilchen-Operatoren berücksichtigen, damit die Normalordnung nur
eine Konstante subtrahiert. Zum Beispiel definieren wir
:b r (k)d † r ′(k′ ): = −d † r ′(k′ )b r (k)
:b r (k)b † r ′(k′ ): = −b † r ′(k′ )b r (k).
(4.206)
In der quantisierten Feldtheorie lautet der normalgeordnete Ausdruck für den
Energie-Impuls-Vektor
∫
P µ = i d 3 r :ψ † γ µ ψ :
∫
=
d 3 k
(2π) 3 2ω k
k µ
2 ∑
r=1
{
b
†
r (k)b r (k) + d † r (k)d r(k) } .
(4.207)

4.6 Dirac-Feld 101
Im Gegensatz zur quantenmechanischen Dirac-Theorie steht im Ausdruck
b † r (k)b r(k) + d † r (k)d r(k) ein + Zeichen, das wegen der Antikommutatorregel
der Fermi-Statistik auftritt. Der Hamiltonoperator H = P 0 ist daher jetzt
positiv definit; die Energie ist für alle Zustände des Fock-Raums positiv.
Betrachten wir weitere Eigenschaften der Teilchen-Zustände. Aus den Antikommutatorregeln
für Fermionen folgen die Kommutatoren
[
b
†
r (k)b r (k), b † s (k′ ) ] = b † r (k) (2π)3 2ω k δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ )δ r,s ,
[
b
†
r (k)b r (k), b s (k ′ ) ] = b r (k) (2π) 3 2ω k δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ )δ r,s .
(4.208)
Der zweite Kommutator hat kein Minuszeichen, wie es bei Bosonen der Fall
wäre. Aus diesen Kommutaoren folgt
[
P µ , b † r (k)] = k µ b † r (k),
[
P µ , d † r(k) ] = k µ d † r(k),
(4.209)
und damit für die die Ein-Teilchen-Zustände b † r (k)|0> und d† r (k)|0>
P µ b † r(k)|0>= k µ b † r|0>,
P µ d † r (k)|0>= kµ d † r |0> . (4.210)
Diese Eigenwertgleichungen besagen, dass b † r (k)|0> und d† r (k)|0> Ein-Teilchen-
Zustände mit dem Viererimpuls k sind. Entsprechend besitzen die Zwei-
Teilchen-Zustände b † r(k)b † s(k ′ )|0 >, d † r(k)d † s(k ′ )|0 > und b † r(k)d † s(k ′ )|0 > den
Viererimpuls k + k ′ , etc.
P µ b † r(k)b † s(k ′ )|0>= (k µ + k ′µ )b † r(k)b † s(k ′ )|0> . (4.211)
Wenden wir uns nun der oben eingeführten Ladung zu. In der quantisierten
Feldtheorie wird sie über die normalgeordnete Ladungsdichte definiert:
∫
Q = d 3 r : ψ † (⃗r )ψ(⃗r ) :
∫
d 3 k
=
(2π) 3 2ω k
2∑ {
b
†
r (k)b r (k) − d † r(k)d r (k) } .
r=1
(4.212)
Das Minuszeichen zwischen den beiden Teilchenzahloperatoren stammt, wie
oben beim Energie-Impulsvektor erwähnt, von der Fermi-Statistik (Antikommutatorregel).
Aus der positiv definiten Größe der quantenmechanischen
Dirac-Theorie, die dort als Wahrscheinlichkeitsdichte gedeutet wurde, ist nun
aufgrund des anderen Vorzeichens eine Größe geworden, die nicht mehr positiv
definit ist. Wir lesen ab:

102 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
b † r
d † r
(k) erzeugt ein Teilchen mit der Ladung Q = +1,
(k) erzeugt ein Teilchen mit der Ladung Q = −1.
Die Teilchen mit der Ladung Q = +1 werden als Elektronen und diejenigen
mit Q = −1 als Positronen interpretiert. Das ungewohnte Vorzeichen liegt
daran, dass die elektrische Ladung Q e mit der obigen Noether-Ladung durch
Q e = eQ (4.213)
zusammenhängt, und die elektrische Ladung des Elektrons negativ ist, nämlich
e = −e 0 .
Halten wir fest, dass das Problem der negativen Energien der Dirac-Theorie
in der quantisierten Feldtheorie gelöst ist. Andererseits ist aus der Wahrscheinlichkeitsdichte
eine Ladungsdichte geworden. Dabei hat das aus der
Antikommutatorregel stammende Minuszeichen eine entscheidende Rolle gespielt.
Wir wollen noch den Drehimpuls der Ein-Teilchen-Zustände bestimmen. Dazu
betrachten wir ein ruhendes Teilchen, dessen Bahndrehimpuls verschwindet.
Dann ist die räumliche Komponente nach Gleichung (4.194) mit
⃗J b † r( ⃗ k = ⃗0)|0>=
Speziell gilt für die z-Komponente
2∑
s=1
1
2 b† s(⃗0) ⃗σ sr |0> . (4.214)
J 3 b † 1(⃗0)|0>= + 1 2 b† 1(⃗0)|0>,
J 3 b † 2(⃗0)|0>= − 1 2 b† 2(⃗0)|0>,
„spin up“
„spin down“.
(4.215)
Ebenso gilt
J 3 d † 1(⃗0)|0>= − 1 2 d† 1(⃗0)|0>,
J 3 d † 2(⃗0)|0>= + 1 2 d† 2(⃗0)|0>,
„spin down“
„spin up“.
(4.216)
Der Index r = 1 kennzeichnet bei Elektronen den Zustand „spin up“ und
r = 2 den Zustand „spin down“. Bei den Positronen ist es umgekehrt. Woran
liegt das? Positronen verhalten sich wie Löcher im Dirac-See, und zu einem
fehlenden Elektron gehört ein umgekehrter Spin.

4.6 Dirac-Feld 103
4.6.3 Propagator und Antikommutator
In störungstheoretische Rechnungen wird der Feynman-Propagator benötigt.
Er ist als Vakuum-Erwartungswert des zeitgeordneten Produktes von Feldern
definiert. Bei der Zeitordnung von Dirac-Feldern tritt wie bei der Normalordnung
ein zusätzliches Minuszeichen auf:
Tψ α (x)ψ β (y) := Θ(x 0 − y 0 )ψ α (x)ψ β (y) − Θ(y 0 − x 0 )ψ β (y)ψ α (x). (4.217)
Der Feynman-Propagator S F des Dirac-Feldes ist definiert durch
Mit Hilfe von
iS F,αβ (x − y) = . (4.218)
2∑
r=1
2∑
r=1
u (r)
α (k)ū(r) β (k) = (γµ k µ + m) αβ
v α (r) β (k) = (γµ k µ − m) αβ
(4.219)
erhält man
∫
iS F (x) =
d 3 k
(2π) 3 2ω k
{
Θ(x 0 )(γ µ k µ + m)e −ik·x
−Θ(−x 0 )(γ µ k µ − m)e +ik·x}∣ ∣ ∣k 0 =ω k
.
(4.220)
Wie im Abschnitt 4.3 lassen sich die Integrale mittels des Residuensatzes in
eine manifest kovariante Gestalt bringen:
∫
iS F (x) =
d 4 k
eik·x i(γµ k µ + m)
(2π) 4 k 2 − m 2 + iǫ
(4.221)
= i(iγ µ ∂ µ + m)∆ F (x). (4.222)
∆ F (x) ist der früher in Abschnitt 4.3 eingeführte skalare Feynman-Propagator.
Die Fouriertransformierte von S F (x) ist
˜S F (k) =
γµ k µ + m
k 2 − m 2 + iǫ = 1
γ µ k µ − m + iǫ . (4.223)
S F (x) ist Green’sche Funktion zum Dirac-Operator:
(iγ µ ∂ µ − m)S F (x) = δ (4) (x). (4.224)

104 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
Mikrokausalität
Beim Skalarfeld haben wir bereits die Mikrokausalität betrachtet. Mikrokausalität
verlangt, dass beobachtbare Größen, die in zueinander raumartigen
Gebieten lokalisiert sind, miteinander kommutieren. Diesen Sachverhalt
wollen wir nun beim Diracfeld untersuchen.
Die Größen P µ , ⃗ J und Q sollen messbare Größen sein. Sie sind in der Theorie
durch bilineare Terme repräsentiert. Beispielsweise ist Q = ∫ d 3 r ψ † (⃗r )ψ(⃗r ).
Die zugehörigen Dichten Θ µν (x), M µνρ , j µ (x) sind bilinear in den Feldoperatoren.
Wir betrachten die Dichten als Observable und stellen jetzt die Frage,
ob Mikrokausalität erfüllt ist.
Mikrokausalität verlangt, dass Observable O 1 (x) und O 2 (y) an zueinander
raumartigen Punkten x und y simultan messbar sind, d. h.
[
O1 (x), O 2 (y) ] = 0, falls (x − y) 2 < 0. (4.225)
Für bilineare Ausdrücke gilt dies tatsächlich, wenn
[
ψα (x), ψ β (y) ] + = [ ψ α (x), ψ β (y) ] + =[ ψ α (x), ψ β (y) ] + = 0
für (x − y) 2 < 0, (4.226)
denn die Antikommutatorregel gibt für jede Vertauschung von Feldoperatoren
ein Minuszeichen, und je zwei Vertauschungen ändern ein Produkt nicht,
ψ α ψ β ψ γ ψ δ = ψ γ ψ α ψ β ψ δ = ψ γ ψ δ ψ α ψ β . (4.227)
Die Gleichung (4.226) folgt aus den zeitgleichen Antikommutationsregeln und
der Kovarianz der Antikommutatoren. Man findet nämlich
[
ψα (x), ψ β (y) ] + = i(iγµ ∂ µ + m) αβ ∆(x − y), (4.228)
und die Kommutatorfunktion ∆(x) verschwindet außerhalb des Lichtkegels,
siehe Gl. (4.59).
Das Dirac-Feld ψ(x) selbst ist keine Observable, denn es ist z. B.
[
ψ(x), ψ(y)
]
≠ 0 für (x − y) 2 < 0. (4.229)
Spin-Statistik-Theorem
Bosonische Felder werden mit Kommutatoren und fermionische mit Antikommutatoren
quantisiert. Pauli zeigte als Erster den Zusammenhang zwischen
dem Spin und der Statistik von Feldern in der relativistischen Quantenfeldtheorie
für freie Felder. Andere haben den Sachverhalt später verallgemeinert.
10
10 Siehe z. B. R. F. Streater, A. S. Wightman: Die Prinzipien der Quantenfeldtheorie,
Bibliographisches Institut, Mannheim, 1969.

4.6 Dirac-Feld 105
Das Spin-Statistik-Theorem besagt:
Mikrokausalität verlangt, dass Felder mit ganzzahligem Spin bosonisch und
Felder mit halbzahligem Spin fermionisch sind.
4.6.4 Diskrete Transformationen
Diskrete Transformationen wie Raumspiegelung (Parität), Ladungskonjugation
und Bewegungsumkehr (Zeitumkehr) gehen nicht stetig aus der Identität
hervor. Sie werden im Hilbertraum durch unitäre Transformationen dargestellt.
Felder transformieren sich gemäß
Die Parität
Die Transformation P der Dirac-Spinoren
φ −→ φ ′ = UφU −1 . (4.230)
ψ(x 0 , ⃗x ) −→ ψ ′ (x 0 , ⃗x ) = γ 0 ψ(x 0 , −⃗x ) (4.231)
erfüllt die Diracgleichung mit gespiegelten drei Raumkoordinaten
(
iγ 0 ∂ 0 + iγ k (−∂ k ) − m ) γ 0 ψ(x 0 , −⃗x ) = 0. (4.232)
Die Transformation lässt die Lagrangedichte invariant, sie ist eine Symmetrietransformation.
In der Quantenfeldtheorie gehört dazu eine Transformation im Fock-Raum
mit dem unitären Operator P
Pψ(x 0 , ⃗x )P −1 = γ 0 ψ(x 0 , −⃗x ). (4.233)
Stellen wir jetzt ψ im Fock-Raum dar als Entwicklung
so folgt
∫
d 3 k
ψ(x) =
(2π) 3 2ω k
2∑ {
br (k)u (r) (k)e −ik·x + d † r (k)v(r) (k)e ik·x} ,
r=1
Pb † r (⃗ k)P −1 = b † r (−⃗ k), (4.234)
Pd † r( ⃗ k)P −1 = −d † r(− ⃗ k). (4.235)
Hier haben wir in den Argumenten die Vektorpfeile wieder explizit geschrieben,
um deutlich zu machen, dass nur die räumlichen Komponenten ⃗ k ihr
Vorzeichen wechseln. (Das Minuszeichen in der zweiten Gleichung stammt
von γ 0 d † = −d † .) Diese Gleichungen legen zusammen mit der Bedingung
P|0>= |0> den Paritätsoperators im Fock-Raum eindeutig fest. Die Gleichungen
besagen Folgendes für die Raumspiegelung P:

106 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
• P kehrt die Impulse um, ⃗ k → − ⃗ k.
• P lässt die Spins ungeändert, denn der Index r bleibt unverändert.
Dies passt zum Verhalten von Drehimpulsen, denn ein Drehimpuls der
Form ⃗r × ⃗p bleibt ja bei Raumspiegelung erhalten.
• P liefert einen Faktor −1 für Positronen.
Elektronen und Positronen haben negative Parität relativ zueinander.
Die absolute Parität des Positrons ist per Konvention durch Gleichung
(4.233) so festgelegt. Sie heißt auch „innere Parität“. Die äußere Parität
berücksichtigt auch den Bahndrehimpuls.
Ein Standardbeispiel für die absolute Parität stellt das Positronium dar: Ein
Elektron und ein Positron im s-Zustand bilden ein System, dessen Zustand
bei der Raumspiegelung sein Vorzeichen wechselt. Das Positronium hat somit
eine messbare absolute Parität −1.
Für die schwache Wechselwirkung ist P keine Symmetrie. Bei Prozessen der
schwachen Wechselwirkung tritt Paritätsverletzung auf, z. B. beim β-Zerfall
von 60 Co.
Die Ladungskonjugation
Die Ladungskonjugation ist eine Transformation, die Teilchen und Antiteilchen
miteinander vertauscht. Dabei wechselt auch das Vorzeichen des Stroms,
j µ (x) → −j µ (x). Die Entwicklung des Dirac-Feldes ψ nach ebenen Wellen
enthält Vernichtungsoperatoren b r (k) für Elektronen und Erzeugungsoperatoren
d r (k) für Positronen. ψ enthält dagegen Elektronenerzeuger und Positronenvernichter.
Wir suchen eine Symmetrietransformation, die Elektronen und Positronen
austauscht. Dabei müssen also ψ und ψ vertauscht werden. Die Abbildung
ψ → ψ bewirkt das, aber wir müssen aus ψ noch eine Spalte ψ T machen.
Um die Diracgleichung zu erfüllen, machen wir den Ansatz
ψ(x) −→ ψ C (x) = C ψ T (x), (4.236)
wobei C eine 4 × 4 Matrix ist, die auf die Spinorkomponenten wirkt. Die
Symmetrie erfordert, dass Cψ T (x) die Diracgleichung erfüllt,
0 = (iγ µ ∂ µ − m)C ψ T (x). (4.237)
Nun schreiben wir die ursprüngliche Diracgleichung so um, dass darin ψ T
vorkommt. Mit ψ ∗ = γ 0 ψ T und (γ µ ) ∗ γ 0 = γ 0 (γ µ ) T lautet die konjugiertkomplexe
Diracgleichung
((iγ µ ∂ µ − m)ψ) ∗ = (−iγ µ∗ ∂ µ − m)γ 0 ψ T = γ 0 (i(−γ µ ) T ∂ µ − m)ψ T = 0.
(4.238)

4.6 Dirac-Feld 107
Den Faktor γ 0 kürzen wir und erhalten
(i(−γ µ ) T ∂ µ − m)ψ T = 0. (4.239)
Die Diracgleichung in dieser Form zusammen mit der Symmetriebedingung
(4.237) erfordern, dass die Matric C die Beziehung
erfüllt Eine Lösung hiervon ist
(σ 2 ist die 2. Pauli-Matrix.) Es gilt
Auch die Forderung, dass
C −1 γ µ C = (−γ µ ) T (4.240)
( )
0 σ
C = iγ 2 γ 0 2
= −i
σ 2 . (4.241)
0
C † = −C = C −1 . (4.242)
j µ (x) −→ (j µ (x)) C = −j µ (x) (4.243)
gilt, ist erfüllt.
Wir gehen jetzt von der Dirac-Theorie über zur Quantenfeldtheorie, in der die
Ladungskonjugation von einer unitären Transformation C repräsentiert wird.
Der Ladungskonjugationsoperator C ist ein Operator auf dem Fock-Raum,
der die Transformation des Dirac-Feldes
Cψ(x)C −1 = ψ C (x) (4.244)
bewirkt und C|0>= |0> erfüllt. Er ist dadurch eindeutig festgelegt. Für die
Erzeuger und Vernichter findet man
Cb † r (k)C−1 = d † r (k),
Cd † r(k)C −1 = b † r(k).
(4.245)
Wir sehen, dass C tatsächlich Teilchen und Antiteilchen vertauscht. Für einen
Ein-Teilchen-Zustand gilt z. B.
Cb † r(k)|0>= d † r(k)|0> . (4.246)
Auch C wird durch die schwache Wechselwirkung verletzt.

108 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
Die Zeitumkehr
Die Bezeichnung „Zeitumkehr“ ist etwas irreführend. Naiv würde man sich
eine Transformation (x 0 , ⃗x) → (−x 0 , ⃗x) vorstellen, bei welcher die Zeitkoordinate
ihr Vorzeichen wechselt. So etwas kommt in der Natur aber nicht vor.
Genauer gesagt handelt es sich bei der Transformation, die gemeint ist, um
eine Bewegungsumkehr, bei der die Richtung aller Bewegungen sich umkehrt.
Wenn die zeitliche Entwicklung eines Zustandes durch
|χ(0)> Zeitentwicklung
−→ |χ(t)>= e −iHt |χ(0)> (4.247)
gegeben ist, so ist die Bewegungsumkehr eine Transformation
|χ>→ |χ ′ >= T |χ>, (4.248)
die so beschaffen ist, dass |χ ′ > der umgekehrten Zeitentwicklung genügt:
das heißt
Ausgeschrieben lautet dies
|χ ′ (t)> Zeitentwicklung
−→ |χ ′ (0)>, (4.249)
|χ ′ (0)>= e −iHt |χ ′ (t)> . (4.250)
T |χ(0)> = e −iHt T |χ(t)>
T |χ(0)> = e −iHt T e −iHt |χ(0)> .
Da der Anfangszustand beliebig ist, gilt
T = e −iHt T e −iHt ,
T e iHt T −1 = e −iHt .
(4.251)
Dies impliziert
T (iH)T −1 = −iH. (4.252)
Gibt eine solche Transformation T , die unitär ist? In diesem Fall wäre
T HT −1 = −H. (4.253)
H besitzt nur positive Eigenwerte, und T HT −1 muss ebenfalls positive Eigenwerte
besitzen. Das würde der Gleichung (4.253) widersprechen. Also
kann T nicht unitär sein.
Wigner hat bewiesen, dass Symmetrietransformationen entweder durch unitäre
oder durch antiunitäre Operatoren dargestellt werden. In diesem Fall
bleibt also nur die Möglichkeit, dass T ein antiunitärer Operator ist. Ein

4.6 Dirac-Feld 109
antiunitärer Operator ist ein Operator, der antilinear ist und eine Art „Unitarität“
besitzt.
Ein Operator T heißt antilinear, wenn gilt
T (αχ 1 + βχ 2 ) = α ∗ T (χ 1 ) + β ∗ T (χ 2 ) (4.254)
mit komplexen Koeffizienten α und β.
Beispiel: auf C n sei ( n
)
∑
n∑
T c k |k> = c ∗ k|k> . (4.255)
k=1
k=1
Die Definition von T ist in diesem Beispiel basisabhängig.
Um die der Unitarität entsprechende Eigenschaft festzulegen, definieren wir
den zu einem antilinearen Operator T adjungierten antilinearen Operator
T † . Er ist definiert durch
= . (4.256)
Zum Vergleich sei an = ∗ bei einem linearen Operator
A erinnert. Mit T ist auch T † antilinear.
Ein antilinearer Operator T heißt antiunitär, wenn gilt
Für einen antiunitären Operator T gilt
Für beliebige lineare Operatoren A gilt
insbesondere ist
T † T = T T † = 1. (4.257)
= ∗ . (4.258)
T (αA)T −1 = α ∗ T AT −1 , (4.259)
T (i 1)T −1 = −i 1. (4.260)
Wie oben bereits festgestellt, wird die Zeitumkehr durch einen antiunitären
Operator dargestellt. Dieser erfüllt
T HT −1 = H und T |0>= |0> . (4.261)
Die Operatoren der Quantenfeldtheorie transformieren sich unter Zeitumkehr
gemäß
A −→ T AT −1 . (4.262)
Beim Dirac-Feld soll die Zeitumkehrtransformation vom Feld ψ(⃗r, t) zu ψ(⃗r, −t)
führen. Für das transformierte Feld soll wieder die Diracgleichung gelten. Das

110 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
ist garantiert, wenn unter der Transformation die Lagrangedichte L invariant
bleibt. Setzen wir die Transformation mit Hilfe einer 4 × 4 Matrix T
als
T ψ(⃗r, t)T −1 = Tψ(⃗r, −t), (4.263)
an und fordern wir, dass
T L (⃗r, t)T −1 = L (⃗r, −t) (4.264)
gilt, so lässt sich leicht nachrechnen, dass dies für
T = iγ 1 γ 3 = −iγ 5 C =
( )
−σ
2
0
0 −σ 2
(4.265)
erfüllt ist. Für die Vernichtungsoperatoren gilt dann
T b 1 ( ⃗ k )T −1 = b 2 (− ⃗ k ),
T b 2 ( ⃗ k )T −1 = −b 1 (− ⃗ k ),
T d 1 ( ⃗ k )T −1 = d 2 (− ⃗ k ),
T d 2 ( ⃗ k )T −1 = −d 1 (− ⃗ k ).
(4.266)
Wir sehen, dass Impulsumkehr und Spinumkehr erfüllt sind.
Durch diese Abbildung und T |0>= |0> ist die Bewegungsumkehr auf dem
Fock-Raum eindeutig festgelegt.
Für die Komponenen des Stroms gilt unter Zeitumkehr
T j 0 (⃗r, t)T −1 = j 0 (⃗r, −t),
T j k (⃗r, t)T −1 = −j k (⃗r, −t), k = 1, 2, 3.
(4.267)
Kombinationen der diskreten Symmetrien sind
• PT ,
totale Spiegelung der Raumzeit,
• CP, wird verletzt von der schwachen Wechselwirkung, z. B. beim
Kaonen-Zerfall,
• PCT .
PCT-Theorem (Pauli, Lüders, Zumino, Schwinger):
PCT ist unter sehr allgemeinen Voraussetzungen eine Symmetrie.

4.7 Elektromagnetisches Feld 111
Bemerkung
Im Unterschied zur relativistischen Quantenfeldtheorie ist die Zeitumkehr
bzw. Bewegungsumkehr in der relativistischen Quantenmechanik anders dargestellt.
Die zeitgespiegelte Wellenfunktion ist dort gegeben durch
ψ ′ (⃗r, t) = Tψ ∗ (⃗r, −t)
= Tγ 0 ψ T (⃗r, −t) = −γ 2 γ 5 ψ T (⃗r, −t).
(4.268)
Sie erfüllt wiederum die Diracgleichung.
4.7 Elektromagnetisches Feld
Objekt der Quantenelektrodynamik ist das an das Dirac-Feld gekoppelte elektromagnetische
Feld. Das führt auf eine nichtlinearen Theorie. In diesem Kapitel
befassen wir uns zunächst mit dem freien quantisierten Maxwellfeld.
Beginnen wir mit den Maxwell-Gleichungen 11
∇ · ⃗E = 1 ǫ 0
ρ, (4.269)
c 2 ∇ × ⃗ B = 1 ǫ 0
⃗j + ∂ ⃗ E
∂t , (
c 2 = 1
ǫ 0 µ 0
)
(4.270)
∇ · ⃗B = 0, (4.271)
∇ × ⃗ E + ∂ ⃗ B
∂t
= 0. (4.272)
Das divergenzfreie Magnetfeld kann man als Rotation eines Vektorpotenzials
⃗A schreiben und das rotationsfreie Feld ⃗ E + ˙⃗ A als Gradient eines skalaren
Potenzials Φ,
⃗B = ∇ × ⃗ A, (4.273)
⃗E = −∇Φ − ∂ ⃗ A
∂t . (4.274)
Die beiden homogenen Maxwell-Gleichungen sind dann automatisch erfüllt.
11 In der Quantenfeldtheorie werden meistens natürliche Einheiten verwendet. In diesen
Einheiten ist ǫ 0 = µ 0 = c = 1. Darum lassen wir diese Faktoren später in den meisten
Fällen weg.

112 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
Die kovariante Formulierung der Potenziale und Feldstärken ist
(A µ (x)) := ( 1
c Φ(x), A(x) ⃗ ) , (4.275)
F µν :=∂ µ A ν (x) − ∂ ν A µ (x) (4.276)
⎛
0 − 1E c x − 1E c y − 1E ⎞
c z
(F µν 1
) = ⎜
c x 0 −B z B y
⎝ 1
⎟
c y B z 0 −B x ⎠ .
1
c z −B y B x 0
(4.277)
Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen lauten jetzt
∂ µ F µν = µ 0 j ν . (4.278)
Die homogenen Maxwell-Gleichungen sind durch die Einführung der Potenziale
erfüllt, sie lauten
∂ µ F νρ + ∂ ν F ρµ + ∂ ρ F µν = 0. (4.279)
Die Potenziale werden durch die Feldstärken nicht eindeutig festgelegt. Eichtransformationen
der Potenziale von der Form
lassen die Feldstärken unverändert,
A ′µ (x) = A µ (x) + ∂ µ Λ(x) (4.280)
F ′µν (x) = F µν (x). (4.281)
Durch geeignete Eichtransformationen kann man erreichen, dass die Potenziale
gewisse Bedingungen erfüllen. Häufig verwendete Fälle sind
Lorenz-Eichung ∂ µ A µ = 0,
Coulomb-Eichung ∇ · ⃗A = 0,
Strahlungseichung ∇ · ⃗A = 0, Φ = 0, für j µ = 0,
Die Wechselwirkung des Maxwellfeldes mit Ladungsträgern oder anderen Feldern
erfolgt über die Potenziale. In der Lagrangefunktion, dem Hamiltonoperator
und den Feldgleichungen tritt sie in Kombination mit den Ableitungen
in der Gestalt
∂ µ + i e A µ(x) (4.282)
auf. Während in der Mechanik die Kopplung des elektromagnetischen Feldes
an Ladungsträger über die Lorentz-Kraft ⃗ F = e( ⃗ E + ⃗v × ⃗ B) erfolgt, welche
die Feldstärken enthält, treten in der Quantenfeldtheorie die Potenziale auf,

4.7 Elektromagnetisches Feld 113
solange man nur eine lokale Theorie zulässt. (Eine Feldtheorie, die nur die
Feldstärken enthält, ist nur für freie Felder möglich.)
Wir haben es mit der Feldtheorie des 4-komponentigen Feldes A µ (x) zu tun.
Allerdings entspricht das nicht der Zahl der Freiheitsgrade. Die 6 Komponenten
F µν des Maxwellfeldes erfüllen 4 homogene MaxwellGleichungen. Daher
werden durch sie 2 Freiheitsgrade beschrieben. Diese Freiheitsgrade entsprechen
den beiden Polarisationen der elektromagnetischen Wellen. Folglich
müssen in den Potenzialen, aus denen man die Felder durch Ableiten gewinnt,
2 unphysikalische Freiheitsgrade enthalten sein. Diese können durch
Eichtransformationen fixiert werden, z. B. eliminiert die Strahlungseichung
die unphysikalischen Freiheitsgrade völlig.
Für die kanonische Quantisierung gibt es zwei Vorgehensweisen:
a) Die Eichfreiheit wird vollständig fixiert, z. B. durch die Strahlungseichung.
Dann ist die Lorentz-Kovarianz in den Gleichungen nicht offensichtlich
(nicht manifest).
b) Man wählt eine Lorentz-kovariante Eichung, insbesondere die Lorenz-
Eichung ∂ µ A µ = 0, so dass die Lorentz-Kovarianz manifest ist. In diesem
Fall sind aber die unphysikalischen Freiheitsgrade nicht vollständig
eliminiert. In der kovarianten Quantisierung führt dies dazu, dass ein
Zustandsraum mit indefiniter Metrik eingeführt wird (Gupta-Bleuler-
Formalismus).
Beide Vorgehensweisen sind in Textbüchern beschrieben. Wir wollen hier den
Formalismus a) betrachten, der die physikalischen Freiheitsgrade hervorhebt.
Beginnen wir mit einer klassischen Lagrangefunktion für das Maxwellfeld in
Anwesenheit äußerer Quellen j µ , die erhalten sind, ∂ µ j µ = 0. Die einfachste
eichinvariante Wahl ist
L = − 1 4 F µνF µν − µ 0 j µ A µ
= − 1 4 (∂ µA ν − ∂ ν A µ )(∂ µ A ν − ∂ ν A µ ) − µ 0 j µ A µ
(4.283)
= 1 2 Aµ (g µν ∂ ρ ∂ ρ − ∂ µ ∂ ν )A ν − µ 0 j µ A µ + ∂ µ (· · · ).
Der Divergenz-Term ∂ µ (· · · ) kann fortgelassen werden und wir verbleiben
mit
L = 1 2 Aµ (g µν ∂ ρ ∂ ρ − ∂ µ ∂ ν )A ν − µ 0 j µ A µ . (4.284)

114 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
Die Feldgleichungen
liefern
( )
∂L ∂L
− ∂ ν = 0 (4.285)
∂A µ ∂(∂ ν A µ )
∂ ν F µν + µ 0 j µ = 0. (4.286)
Dies sind die inhomogenen Maxwell-Gleichungen, wodurch die Richtigkeit
der Lagrangefunktion bestätigt wird.
Im Folgenden betrachten wir den Fall ohne äußere Quellen, also j µ = 0.
Außerdem setzen wir c = 1.
Die kanonischen Impulse zu den 4 Feldkomponenten sind
Π k = ∂L
∂A ˙ = −A ˙ k + ∂ k A 0 = E k
k
(k = 1, 2, 3), (4.287)
Π 0 = ∂L
∂A ˙ = 0.
0
(4.288)
Da wir nur 2 physikalische Freiheitsgrade haben, ist ein kanonischer Impuls
zuviel. Die Hamiltondichte wird zu
3∑
H = Π k Ȧ k − L = 1 (
ǫ0E ⃗ 2 + µ 0
⃗ ) B
2
+ ǫ 0E ⃗ · ∇Φ. (4.289)
k=1
2
Wir fixieren nun die Eichung vollständig durch
∇ · ⃗A = 0, Φ = 0. (4.290)
Dies ist die Strahlungseichung. Die Feldgleichungen reduzieren sich auf die
Wellengleichungen
□A µ = 0, (µ = 0, . . . , 3). (4.291)
Ihre Lösungen sind die ebenen Wellen
A µ (x) = ǫ (λ)
µ (k) e−ik·x , (λ = 0, . . . , 3) (4.292)
und deren Überlagerungen. Die Wellengleichung □A µ = 0 impliziert k 0 =
±| ⃗ k| = ±ω k . Die Polarisationsvektoren ǫ (λ) (k) sollen linear unabhängige Vektoren
im Minkowski-Raum sein. In der Strahlungseichung gelten für sie gewisse
Einschränkungen.
(1) Wegen A 0 (x) = 0 gilt ǫ (λ)
0 (k) = 0, die Vektoren ǫ (λ) (k) sind also rein
räumlich. Es gibt 3 linear unabhängige ⃗ǫ (λ) (k), λ = 1, 2, 3.
(2) Wegen ∇ · ⃗A = 0 ist ⃗ k · ⃗ǫ (λ) (k) = 0, d. h. ⃗ǫ (λ) (k) steht senkrecht auf ⃗ k.
Somit haben wir es nur noch mit 2 linear unabhängigen Vektoren zu tun.

4.7 Elektromagnetisches Feld 115
Wir wählen ⃗ǫ (1) (k) und ⃗ǫ (2) (k) senkrecht zu ⃗ k, senkrecht aufeinander, und
von Länge 1, so dass also gilt
⃗ǫ (λ) · ⃗ǫ (λ′) = δ λ,λ ′, λ, λ ′ ∈ {1, 2}. (4.293)
Die beiden Vektoren ⃗ǫ (1) (k) und ⃗ǫ (2) (k) bilden eine Orthonormalbasis in der
Ebene senkrecht zu ⃗ k. Der Projektor auf diese Ebene hat die Matrixdarstellung
Er erfüllt
P ij (k) =
2∑
λ=1
ǫ (λ)
i
= δ i,j − k ik j
⃗ k
2
(k)ǫ (λ)
j (k)
(i, j ∈ {1, 2, 3}).
(4.294)
P (k) · ⃗k = 0, P (k) · ⃗ǫ (λ) (k) = ⃗ǫ (λ) (k), P 2 (k) = P (k). (4.295)
Zusatz:
Man kann die beiden Vektoren ⃗ǫ (λ) (k), λ = 1, 2, zu einer Basis des Minkowski-
Raumes ǫ (λ) (k), λ = 0, 1, 2, 3, erweitern. Man wähle den ersten, normierten
Vektor als
ǫ (0) = (1, 0, 0, 0) =: η, ǫ (0) · ǫ (0) = 1. (4.296)
Der vierte Vektor ǫ (3) (k) soll in der η-k Ebene liegen mit
ǫ (3) (k) · ǫ (0) = 0 und ǫ (3) (k) · ǫ (3) (k) = −1. (4.297)
ǫ (3) (k) ist also ein raumartiger Vektor und ist gegeben durch
ǫ (3) (k) = 1
| ⃗ k| (k − ηk0 ). (4.298)
Zusammengefasst gilt für diese Basis im Minkowski-Raum
ǫ (λ) (k) · ǫ (λ′) (k) = g λλ′ , (4.299)
3∑
ǫ (0)
µ ǫ (0)
ν − ǫ µ (λ) (k) ǫ ν (λ) (k) = g µν . (4.300)
λ=1
Mit Hilfe der Polarisationsvektoren schreiben wir die Entwicklung der allgemeinen,
reellen Lösung der Wellengleichung nach ebenen Wellen in der Form
∫
d
⃗A(x) 3 k
=
(2π) 3 2ω k
2∑
⃗ǫ (λ) (k) { a (λ) (k) e −ikx + (a (λ) (k)) ∗ e ikx}∣ ∣ ∣∣∣k
.
λ=1
0 =ω k
(4.301)

116 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
Der erste Term in der geschweiften Klammer enthält die positiven, der zweite
die negativen Frequenzen. Die Koeffizienten sind komplex konjugiert zueinander,
wodurch garantiert wird, dass das Feld reell ist.
Quantisierung des Maxwellfeldes
Die Quantisierung im Operator-Formalismus kann auf verschiedenen Wegen
durchgeführt werden. Eine Möglichkeit ist es, für die Felder und die kanonisch
konjugierten Impulse geeignete kanonische Vertauschungsregeln bei gleichen
Zeiten zu fordern, wie wir es beim Skalarfeld gemacht haben. Dort zeigte
sich, dass dadurch die Koeffizienten in der Entwicklung nach ebenen Wellen
zu Operatoren werden, welche die Kommutatoren von Erzeugern und Vernichtern
besitzen. Die zweite Möglichkeit ist, in Analogie zur Quantisierung
des reellen Skalarfeldes die Entwicklungskoeffizienten a (λ) (k) und a (λ) (k) ∗
in Gleichung (4.301) direkt zu Vernichtungs- und Erzeugungs-Operatoren
a (λ) (k) und a (λ) (k) † zu befördern, welche die Kommutatoren
[
a (λ) (k), a (λ′) (k ′ ) †] = (2π) 3 2ω k δ λ,λ ′ δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ ) (4.302)
besitzen. Alle übrigen Kommutatoren verschwinden,
[
a (λ) (k), a (λ′) (k ′ ) ] = [ a (λ) (k) † , a (λ′) (k ′ ) †] = 0. (4.303)
a (λ) (k) † und a (λ) (k) sind Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren für Teilchen,
den „Photonen“, mit dem Impuls ⃗ k, wie unten gezeigt wird, und
Polarisation λ,
Der Vakuumzustand |0> im Fock-Raum ist charakterisiert durch
a (λ) (k)|0>= 0 für alle k undλ. (4.304)
Die niedrigsten Teilchenzustände im Fock-Raum sind
Ein-Photon Zustand a (λ) (k) † |0>.
Zwei-Photonen-Zustand a (λ) (k) † a (λ′) (k ′ ) † |0>.
Betrachten wir einige wichtige Observablen. Dazu ersetzen wir in den Ausdrücken
der klassischen Feldtheorie das Maxwell-Feld durch das operatorwertige
Feld ⃗ A(x). Dabei ist wie beim Skalarfeld die Normalordnung zu beachten.
Der Hamiltonoperator ergibt sich auf diese Weise zu
H = 1 ∫
d 3 r : ( E
2
⃗ 2 + B ⃗ 2 ) :
= 1 ∫
d 3 k
2∑
ω
2 (2π) 3 k a (λ) (k) † a (λ) (k).
2ω k
λ=1
(4.305)

4.7 Elektromagnetisches Feld 117
Entsprechend findet man den Impuls des Feldes aus der Impulsstromdichte
(Poyntingvektor),
∫
⃗P = d 3 r : ( E ⃗ × B) ⃗ :
Es gilt
∫
d 3 k
=
(2π) 3 2ω k
2∑
⃗ k a (λ) (k) † a (λ) (k).
λ=1
(4.306)
H|0>= 0 und ⃗ P|0>= ⃗0. (4.307)
Dass Energie und Impuls des Vakuumzustandes Null sein müssen, erfordert
schon die relativistische Invarianz: der Impuls des Vakuumzustandes bleibt
bei Wechsel des Bezugssystems nur dann invariant, wenn er verschwindet.
Für die niedrigsten Teilchenzustände im Fock-Raum gilt
Ha (λ) (k) † |0> = ω k a (λ) (k) † |0>,
Ha (λ) (k) † a (λ′) (k ′ ) † |0> = (ω k + ω k ′) a (λ) (k) † a (λ′) (k ′ ) † |0>
(4.308)
und
⃗Pa (λ) (k) † |0> = ⃗ k a (λ) (k) † |0>, etc. (4.309)
Das Feld A µ (x) ist reell bzw. selbstadjungiert, so dass es keine U(1)-Symmetrie
gibt. Entsprechend gibt es keine zugehörige erhaltene Ladung Q. Photonen
tragen keine Ladung.
Spin der Photonen
Nach der Noether-Theorie ist der Drehimpuls des elektromagnetischen Feldes
eine Erhaltungsgröße. Für die beiden 1-Photon-Zustände
| ⃗ k, R>= 1 √
2
(a (1) (k) † + ia (2) (k)) † |0>,
| ⃗ k, L>= 1 √
2
(a (1) (k) † − ia (2) (k)) † |0>
(4.310)
mit Impuls in z-Richtung, ⃗ k = (0, 0, k), findet man für die dritte Drehimpulskomponente
J 3 | ⃗ k, R>= +| ⃗ k, R>,
J 3 | ⃗ k, L>= −| ⃗ k, L> .
(4.311)
Die beiden Zustände sind also Eigenzustände zur z-Komponente des Drehimpulses
zu den Eigenwerten +1 und −1. Es handelt sich um zirkular polarisierte
1-Photon-Zustände. Photonen tragen den Spin 1. Es gibt allerdings nur

118 4 QUANTISIERUNG FREIER RELATIVISTISCHER FELDER
zwei Eigenwerte für J 3 , einen Eigenzustand zum Eigenwert 0 gibt es nicht.
Im Rahmen der kovarianten Quantisierung (Gupta-Bleuler-Formalismus) erhält
man unphysikalische Zustände a (3) (k) † |0> mit dem J 3 – Eigenwert Null;
diese gehören aber nicht zum physikalischen Hilbertraum.
Allgemein gilt für den Spin masseloser Teilchen, dass nur die beiden extremen
Drehimpulseigenwerte sich einstellen. Gravitonen, die einen Spin 2 haben
sollten, würden zum Beispiel nur mit Drehimpulswerten ±2 auftreten.
Vertauschungsregeln im Ortsraum
Wir wollen noch die Vertauschungsregeln der kanonisch konjugierten Impulse
Π i und der Feldkomponenten A j bestimmen. Die gleichzeitigen Kommutatoren
sind
[
Π i (⃗r, t), A j (⃗r ′ , t) ] = − [ E i (⃗r, t), A j (⃗r ′ , t) ] = [ ∂ 0 A i (⃗r, t), A j (⃗r ′ , t) ]
∫
= −i
∫
= −i
d 3 k
(2π) 3 2ω k
e i⃗ k·(⃗r−⃗r ′ )
d 3 k
(2π) 3 ei⃗ k·(⃗r−⃗r ′ )
=: −i δ (t)
i,j (⃗r − ⃗r ′ ).
(
2∑
λ=1
ǫ (λ)
i
δ i,j − k ik j
⃗ k
2
(k)ǫ (λ)
j (k) 2ω k
)
(4.312)
Hier wurde die transversale Deltafunktion δ (t)
i,j definiert. Man erwartet beim
Kommutator vielleicht eine gewöhnliche Deltafunktion ohne den Term − k ik j
k 2 ,
Aber der Ansatz
δ i,j δ (3) (⃗r − ⃗r ′ ) = δ i,j
∫
d 3 k
(2π) 3 ei⃗ k·(⃗r−⃗r ′) .
[
Π i (⃗r, t), A j (⃗r ′ , t) ] = −i δ i,j δ (3) (⃗r − ⃗r ′ )
würde einen Widerspruch zur Transversalität, ∇ · ⃗A = 0 → ∇ · ⃗E = 0,
ergeben. Denn wenn wir die Divergenz mit ∂ j bilden, finden wir einerseits
auf der linken Seite [
Π i (⃗r, t), ∂ j A j (⃗r ′ , t) ] = 0
und andererseits auf der rechten Seite
− i ∂ i δ (3) (⃗r − ⃗r ′ ) ≠ 0.
Hingegen gilt für die transversale δ-Funktion
∫
− i ∂ j δ (t)
i,j (⃗r ) = −i
d 3 (
k
(2π) 3 ei⃗ k·⃗r ik j δ i,j − k ik j
⃗ k
2
)
= 0, (4.313)

119
wegen
(
k j δ i,j − k )
ik j
= 0. (4.314)
⃗ k
2
Im Ortsraum kann man die transversale δ-Funktion in der Form
(
)
δ (t)
1
i,j (⃗r ) = δ i,j − ∂ i ∂ j δ (3) (⃗r ) = δ i,j δ (3) (⃗r ) + 1
∆
4π ∂ 1
i∂ j
r
darstellen.
5 Wechselwirkende Felder
(4.315)
Bisher haben wir freie Felder betrachtet. Bei freien Feldern sind die Feldgleichungen
lineare Differentialgleichungen. Ihre Lösungen sind Superpositionen
von Wellen, deren Zeitentwicklung trivial ist, nämlich ∼ exp(±iωt). Die quantisierten
freien Feldtheorien sind exakt lösbar, sie haben uns die Lösung von
fundamentalen Problemen der relativistischen Quantentheorie aufgezeigt, sie
haben uns interessante Einblicke in die die Dualität von Welle und Teilchen
und die Struktur des physikalischen Zustandsraumes gegeben, aber sie beschreiben
keine interessanten physikalischen Vorgänge, bei denen Teilchen
miteinnder wechselwirken.
5.1 Wechselwirkungen
Wechselwirkungen bedeuten, dass die Feldgleichungen einen nichtlinearen
Kopplungsterm aufweisen, der verschiedene Felder miteinander verknüpft
oder die Linearität der Feldgleichung eines einzelnen Feldes stört.
Die Gleichungen von Feldtheorien mit Wechselwirkungen lassen sich i. A.
nicht exakt lösen und man ist auf Näherungsverfahren angewiesen. Neben
einer störungstheoretischen Behandlung der Kopplung gibt es auch nichtstörungstheoretische
Methoden, z. B. Diskretisierung der Feldgleichungen auf
einem Gitter oder Sattelpunktsmethoden beim Pfadintegralformalismus.
Die Quantenelektrodynamik (QED)
hat die Wechselwirkung zwischen dem Dirac-Feld und dem Photonenfeld zum
Gegenstand. Die Lagrangedichte der QED enthält die Lagrangedichte des
freien Dirac-Feldes, bei der die Ableitung durch eine kovarianten Ableitung
ersetzt wird (∂ µ −→ ∂ µ + ie ′ A µ (x) und die Lagrangedichte des freien elektromagnetischen
Feldes:
L = ψ(x) ( iγ µ (∂ µ + ie ′ A µ (x)) − m ) ψ(x) − 1 4 F µνF µν
= ψ(x)(iγ µ ∂ µ − m)ψ(x) − 1 4 F µνF µν − e ′ ( ψ(x)γ µ ψ(x) ) A µ .
(5.1)

120 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Der letzte Term bestimmt die Wechselwirkung. Er enthält das Produkt aus
dem erhaltenen Strom der Dirac-Theorie ψγ µ ψ und dem Viererpotential A µ
und stellt eine Quelle für das Maxwellfeld
µ 0 j µ (x) A µ (x),
dar, wie sie im vorigen Kapitel vorkam. Die Kopplungskonstante ist proportional
zur Ladung e des Elektrons und ist mit e ′ bezeichnet, da sie noch
weitere konventionelle Faktoren enthält.
L ist invariant unter Eichtransformationen
ψ(x) −→ e −ie′ Λ(x) ψ(x),
A µ (x) −→ A µ (x) + ∂ µ Λ(x).
(5.2)
Aus der Lagrangefunktion folgen die Feldgleichungen
(
iγ µ (∂ µ + ie ′ A µ ) − m ) ψ(x) = 0,
∂ µ F µν (x) = e ′ ψ(x)γ µ ψ(x).
(5.3)
Dies sind zwei gekoppelte nichtlineare Differentialgleichungen. Fügt man die
Kommutatorregeln für das Photonenfeld und die Antikommutatorregeln für
das Diracfeld hinzu, so bekommt man die gesamte Quantenelektrodynamik.
Die ϕ 4 -Theorie
beschreibt ein selbstwechselwirkendes, skalares, reelles Feld. Wir betrachten
es als einfaches didaktisches Modellsystem. Die Theorie beschreibt aber auch
z. B. neutrale Spin-0-Teilchen und sie ist äquivalent zur Landau-Theorie in
der Statistischen Physik. Wir werden sie benutzen, um daran Feynmangraphen
und Reduktionsformeln zu demonstrieren.
Die Lagrangedichte eines reellen skalaren Feldes ϕ(x) wird um einen ϕ 4 -Term
erweitert:
L = 1 2 (∂ µϕ)(∂ µ ϕ) − m2
2 ϕ2 − g 4! ϕ4 . (5.4)
L ist invariant unter ϕ(x) −→ −ϕ(x), was den ϕ 4 -Term dieser Theorie
favorisiert. Die Feldgleichung lautet
(□ − m 2 )ϕ(x) = g 6 ϕ(x)3 . (5.5)
Die Yukawa Kopplung
eines Skalarfeldes an das Fermion-Feld beschreibt z. B. die Wechselwirkung
zwischen einem Pion und einem Nukleon. Es ist eine vereinfachte effektive

5.1 Wechselwirkungen 121
Theorie, die darauf verzichtet, Nukleonen und Pionen als Drei- bzw. Zwei-
Teilchen-Zustände von Quarks zu behandeln. Die Lagrangedichte ist
L = ψ(x)(iγ µ ∂ µ −M)ψ(x)+ 1 2 (∂ µϕ)(∂ µ ϕ)− m2
2 ϕ2 −G ψ(x)ψ(x)ϕ(x). (5.6)
M und m sind die Nukleon- bzw. Pionmasse. Der Wechselwirkungsterm ist
die einfachste Möglichkeit, ein skalares Produkt aus dem Spinorfeld und dem
skalaren Feld zu bilden. Die Feldgleichungen lauten
(□ − m 2 )ϕ(x) = G ψ(x)ψ(x), (5.7)
(iγ µ ∂ µ − M)ψ(x) = Gψ(x)ϕ(x). (5.8)
Auf der rechten Seite stehen hier Terme, die wie äußere Quellen für die Felder
wirken. Durch sie werden die Felder nichtlinear miteinander gekoppelt.
Yukawa hatte zur Beschreibung der Kernkräfte durch den Austausch von
Mesonen eine statische punktförmige Nukleonen-Quelle betrachtet und die
entsprechende klassische stationäre Gleichung
betrachtet, deren Lösung
(∆ − m 2 )ϕ(x) = G δ (3) (⃗r ) (5.9)
ϕ(x) = − G 4π
e −mr
r
(5.10)
das Wechselwirkungspotential zwischen zwei Nukleonen beschreibt. Ein Potenzial
von dieser Gestalt heißt Yukawa-Potenzial, siehe Abschnitt 4.4.
Alle hier aufgeführten klassischen Feldgleichungen sind nichtlinear und gekoppelt.
Sie können im Allgemeinen nicht geschlossen gelöst werden. Daher
kann die Zeitentwicklung der quantisierten Feldtheorie (in 3+1 Dimensionen)
nicht explizit berechnet werden. (In d=2 und 3 Dimensionen gibt es lösbare
Feldtheorien mit Wechselwirkung.)
Die Wechselwirkungsterme führen zu Streuvorgängen, gebundenen Zuständen
(z. B. Positronium) und anderen Effekten. Für die Berechnung physikalischer
Größen, wie Streuquerschnitten oder Teilchenmassen gibt es Näherungsverfahren,
insbesondere die Störungstheorie, bei der eine Entwicklung
nach Potenzen der Kopplungskonstanten erfolgt. Die Kopplungskonstante ist
der Faktor vor dem Wechselwirkungsterm, hier waren dies die Ladung e ′ , der
Faktor g vor ϕ 4 oder das G beim Yukawa-Potenzial.

122 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
5.2 Green’sche Funktionen und S-Matrix
5.2.1 Green’sche Funktionen
In der Feldtheorie spielen die sogenannten Green’schen Funktionen eine zentrale
Rolle. Sie enthalten alle physikalischen Informationen, zum Beispiel
lassen sich die Massen von stabilen Teilchen und Streuquerschnitte aus den
Green’schen Funktionen gewinnen.
Die Bezeichnung „Green’sche Funktion“ in der Feldtheorie ist nicht identisch
mit derjenigen in der Theorie der Differentialgleichungen, sondern stellt
eine Verallgemeienrung dar. Im Abschnitt 4.3 hatten wir eine Zwei-Punkt-
Green’sche Funktion in Gleichung (4.66) als Erwartungswert eines zeitgeordneten
Produktes für ein skalares Feld bereits kennen gelernt, und wir haben
diesen Feynman-Propagator in Gleichung (4.73) als Lösung einer linearen
Differenzialgleichung mit einer Deltafunktion als Inhomogenität erkannt.
Wir verallgemeinern auf eine n-Punkt-Green’sche Funktion:
G (n) (x 1 , . . . , x n ) := . (5.11)
Außerdem definieren wir „verbundene“ Green’sche Funktionen G (n)
c , die sich
rekursiv aus den G (n) bestimmen:
G (n) (x 1 , . . . , x n ) =
G (k 2)
c
∑
Partitionen
G (k 1)
c (x 1 , . . . , x k1 )
(x k1 +1, · · · , x k1 +k 2
) . . . G c (km) (. . . , x n ).
(5.12)
Die Summe erstreckt sich über alle möglichen Zerlegungen (Partitionen) der
Menge {x 1 , . . . , x n }. Man kann diese rekursive Definition und andere Zusammenhänge
durch eine Symbolisierung der Green’schen Funktionen übersichtlich
machen. Zum Beispiel stellt man für n = 4 die beiden Typen der
Green’schen Funktionen so dar:
x 1
x 4
x 1
x 4
x 2 x 3
x 2 x 3
G (4) (x 1 , . . . , x 4 )
G (4)
c (x 1 , . . . , x 4 )
Wir wollen die rekursive Definition der verbundenen (connected) Green’schen
Funktionen verdeutlichen. Für n = 1 stimmen beide Typen überein,
G (1)
c (x) = G (1) (x) = . (5.13)

5.2 Green’sche Funktionen und S-Matrix 123
Für n=2 gilt
G (2) (x 1 , x 2 ) = G (2)
c (x 1 , x 2 ) + G (1)
c (x 1 ) G (1)
c (x 2 )
=⇒ G (2)
c (x 1 , x 2 ) = G (2) (x 1 , x 2 ) − G (1) (x 1 ) G (1) (x 2 ).
(5.14)
Betrachten wir den Fall, dass der Erwartungswert des Feldes im Vakuum
verschwindet. (Bei der ϕ 4 -Theorie ist dies auch durch die Symmetrie ϕ −→
−ϕ gegeben.) Dann haben wir die Symbolik
x 1 x 2 = x 1 x 2
Die Symbolik für die definierende Gleichung der verbundenen Green’schen
Funktionen ist im Fall n = 4:
x 1
x 4 x 1
x 4
x 1
= +
x 4
x 2 x 3
x 2 x 3
x 2 x 3
x 1
x 4 x 1
x 4
+
+
x 2 x 3
x 2 x 3
Generell gilt, dass die G c
(n) sich rekursiv durch die G (m) mit m ≤ n ausdrücken
lassen.
Für freie Felder gilt, dass für alle n > 2 die zusammenhängenden Green’schen
Funktionen verschwinden:
G (n)
c (x 1 , . . . , x n ) = 0 (n > 2). (5.15)
Diese Aussage erhält man auf leichte Weise mit dem Pfadintegralformalismus.
Wir werden sie später begründen. Der Sachverhalt bedeutet, dass die G (n)
c
für n > 2 die Effekte der Wechselwirkung beschreiben.
Die Fouriertransformierten Green’schen Funktionen
Annahme: Wir setzen voraus, dass die Green’schen Funktionen translationsinvariant
sind,
G c
(n) (x 1 + a, . . . , x n + a) = G (n)
c (x 1 , . . . , x n ). (5.16)

124 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Dies trifft wegen der Lorentz-Invarianz der Felder und des Vakuumzustandes
in der Regel zu. Durch ein äußeres Potential würde die Invarianz gebrochen.
Aus der Translationsinvarianz folgt, dass die Fouriertransformierte eine Deltafunktion
δ (4) (k 1 + · · · + k n ) als Faktor enthält.
Beweis:
∫
d 4 x 1 . . . d 4 x n e i(k 1·x 1 +...+k n·x n) G (n)
c (x 1 , . . . , x n )
∫
=
d 4 x 1 . . . d 4 x n e i(k 1·x 1 +...+k n·x n) G (n)
c (x 1 − x n , . . . , x n−1 − x n , 0).
(5.17)
Mit der Substitution y i = x i − x n , (i = 1, . . . , n − 1) wird dies zu
∫
∫
d 4 x n e i(k 1+...+k n)·x n
d 4 y 1 . . . d 4 y n−1 e i(k 1·y 1 +...+k n−1·y n−1 ) G (n)
c (y 1 , . . . , y n−1 , 0)
∫
= (2π) 4 δ (4) (k 1 + . . . + k n ) d 4 y 1 . . . d 4 y n−1 e i(k 1·y 1 +···+k n−1·y n−1 ) G (n)
c (y 1 , . . . , y n−1 , 0)
(
≡ (2π) 4 δ (4) (n)
(k 1 + . . . + k n ) ˜G c k1 , . . . , k n−1 , −(k 1 + . . . + k n−1 ) ) .
(5.18)
Für die Rücktransformation gilt
G (n)
c (x 1 , . . . , x n )
∫ d 4 k 1
=
(2π) · · · d4 k n
4 (2π) 4 e−i(k 1·x 1 +...+k n·x n) (2π) 4 δ (4) (k 1 + . . . + k n )
˜G
(n)
c (k 1 , . . . , k n ).
(5.19)
Im Spezialfall n = 2 nennt man
∫
˜G (2)
c (k, −k) =
d 4 x e ik·x G (2)
c (x, 0) =:
˜G
(2)
c (k) (5.20)
den Propagator im Impulsraum. Im Abschnitt 4.3, Gleichung (4.72), haben
wir G (2)
c (x, 0) = i∆ F (x) für ein freies Skalarfeld bereits kennengelernt. Dort
ist
˜G (2) i
c (k) =
k 2 − m . (5.21)
2
Massen
Für die Masse m eines stabilen Teilchens, das durch das Feld ϕ(x) beschrieben
wird, gilt
Anders ausgedrückt heißt das
˜G (2)
c (p) hat einen Pol bei p 2 = m 2 . (5.22)
lim
p 2 →m 2(p2 − m 2 ) ˜G
(2)
c (p) =: iZ 3 (5.23)

5.2 Green’sche Funktionen und S-Matrix 125
mit einer Konstanten Z 3 (oder Z ϕ ). Z 3 heißt Wellenfunktions-Renormierung
oder Feld-Renormierung.
Beweis der Behauptung:
Wir betrachten der Einfachheit halber den Fall, dass = 0, so dass
G (2)
c
(p) = G (2) (p) ist.
∫
˜G (2) (p) = d 4 x e ip·x
∫
= d 4 x e { ip·x Θ(x 0 ) +Θ(−x 0 ) }
(5.24)
Betrachten wir den ersten Teil der Summe, in dem wir die Korrelationsfunktion
mit einer Vollständigkeitsrelation aufspalten. Wir bezeichnen mit |n>
ein vollständiges Orthonormalsystem von Impulseigenzuständen,
P µ |n>= k µ |n>, (5.25)
und schreiben die Vollständigkeitsrelation vereinfacht als Summe, auch wenn
sie in Wahrheit Integrale enthält:
= ∑ n
. (5.26)
Es ist
== e −ik·x . (5.27)
Das Integral im ersten Teils der Summe lautet damit
∫
d 4 x e ip·x Θ(x 0 )e −ik·x
∫
∫
= d 3 x e −i(⃗p−⃗ k)·⃗x
dx 0 e i(p0 −k 0 )x 0 Θ(x 0 )
= (2π) 3 δ (3) (⃗p − ⃗ k )
∫ ∞
0
dx 0 e i(p0 −k 0 )x 0
= i(2π) 3 δ (3) (⃗p − ⃗ 1
k ) (Der Grenzwert bei x 0 → ∞ ist Null.)
p 0 − k 0
= i(2π) 3 δ (3) (⃗p − ⃗ p 0 + k 0
k )
(p 0 ) 2 − (k 0 ) 2
= i(2π) 3 δ (3) (⃗p − ⃗ k ) p0 + k 0
p 2 − k 2 (wegen (⃗p ) 2 = ( ⃗ k ) 2 ).
(5.28)
Wir sehen, dass die Ein-Teilchen-Zustände |n>= |k> mit k 2 = m 2 einen Pol
bei p 2 = m 2 produzieren.

126 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Der zweite Teil der Summe mit Θ(−x 0 ) liefert keinen Beitrag, denn er enthält
in der letzten Zeile anstelle von p 0 + k 0 die Differenz p 0 − k 0 und dies führt
zu ω k − ω k = 0.
Über das Massenspektrum wollen wir annehmen, dass keine anderen Zustände
einen solchen Pol liefern. Das ist in vielen Feldtheorien der Fall. Dann
folgt
∫
lim − m 2 (2) d
) ˜G 3 k
p 2 →m 2(p2 c (p) = || 2 i(2π) 3 δ (3) (⃗p −
(2π) 3 2ω ⃗ k )2ω k
k
= i || 2 =: iZ 3 ,
(5.29)
wobei wir nun die Summe ∑ n durch das Integral über die Impulse ersetzt
haben.
Damit ist der Zusammenhang der Green’schen Funktionen mit der Teilchenmasse
gezeigt. Wir wenden uns jetzt dem Zusammenhang mit der S-Matrix
zu.
5.2.2 S-Matrix
Die Streumatrix (S-Matrix) liefert Streuquerschnitte,
z. B. für die Streuung zweier
p 1
p 4
Teilchen aneinander. In der fernen Ver-
gangenheit und in der fernen Zukunft
(t → ±∞) sind die Abstände zwischen
den Teilchen groß und die Wechselwirkungen
zwischen ihnen vernachlässigbar gering.
p 2 p 3
Die entsprechenden Anfangs- bzw. End-Zustände werden durch die Impulse
der beiden Teilchen charakterisiert und mit |p 1 , p 2 , in>, |p 3 , p 4 , out>
bezeichnet, wobei p 2 i = m 2 .
Die Streuamplitude ist das Übergangsmatrixelement
. (5.30)
Wie können nun die asymptotischen Zustände |p 1 , p 2 , in>, |p 3 , p 4 , out> definiert
werden? Betrachten wir im Folgenden die Theorie eines skalaren Feldes
mit Selbstwechselwirkung. Für das wechselwirkende Feld φ(x) gibt es im Allgemeinen
keine geschlossenen Lösungen. Insbesondere ist eine Entwicklung
nach ebenen Wellen nicht sinnvoll und dementsprechend sind die Erzeugungsund
Vernichtungsoperatoren a(k) † und a(k) nicht definiert.

5.2 Green’sche Funktionen und S-Matrix 127
Die Idee, die der Definition der asymptotischen Zustände zugrunde liegt,
ist die Folgende. Im Wechselwirkungsbild besitzt das Feld ϕ W (x) die Zeitentwicklung
eines freien Feldes und genügt der freien Feldgleichung. Daher
wird es benutzt, um die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und den
Fock-Raum der asymptotischen Zustände zu konstruieren.
Das Wechselwirkungsbild
Die Lagrangedichte für das wechselwirkende Feld ist die Summe aus der Lagrangedichte
L 0 eines freien Feldes und der Lagrangedichte L I für die Wechselwirkung,
L = L 0 + L I . (5.31)
Entsprechendes gilt für den Hamiltonoperator
∫
H = H 0 + H I (t), mit H I = −
d 3 rL I . (5.32)
Im Schrödingerbild ist die Zeitentwichlung eines Zustandes durch die unitäre
Transformation mit dem Zeitentwicklungsoperator U(t, t 0 ) gegeben,
Für einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator ist
|χ(t)>= U(t, t 0 )|χ(t 0 )> . (5.33)
U(t, t 0 ) = e −iH(t−t 0) . (5.34)
Der Zeitentwicklungsoperator zum „ungestörten“ System ist
U 0 (t, t 0 ) = e −iH 0(t−t 0 ) . (5.35)
Im Wechselwirkungsbild (Dirac-Bild) wird die Zeitentwicklung auf Operatoren
und Zustände aufgeteilt:
Operatoren entwickeln sich gemäß U 0 (t, t 0 ).
Zustände entwickeln sich gemäß W(t, t 0 ) := U0 −1 (t, t 0 )U(t, t 0 ).
Zustände und Operatoren im Wechselwirkungsbild definiert man durch
|χ W (t)> := U0 −1 0)|χ(t)>= W(t, t 0 )|χ(t 0 )>, (5.36)
A W (t) := U0 −1 (t, t 0 )A(t 0 )U 0 (t, t 0 ). (5.37)
Für die Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild folgt für Zustände
i ∂ ∂t |χ W(t)> = −H 0 U −1
0 (t, t 0)|χ(t)> +U −1
0 (t, t 0)(H 0 + H I (t))χ(t)>
= U −1
0 (t, t 0 )H I (t)U 0 (t, t 0 )|χ W (t)>
=: H (W )
I (t)|χ W (t)>
(5.38)

128 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
und für Operatoren
i d dt A W (t) = [ A W (t), H 0
]
. (5.39)
Die Operatoren entwickeln sich also wie in einem Heisenberg-Bild mit dem
ungestörten (freien) Hamiltonoperator H 0 . Dies gilt auch für die Feldoperatoren
im Wechselwirkungsbild
ϕ W (x) = e iH 0(t−t 0 ) ϕ(t 0 ,⃗r )e −iH 0(t−t 0 ) . (5.40)
ϕ W (x) ist also ein freies Feld, das in unserem Beispiel die Klein-Gordon Gleichung
(□ + m 2 )ϕ W (x)) = 0 erfüllt. Als freies Feld lässt es eine Entwicklung
nach ebenen Wellen zu,
∫
ϕ W (x) =
d 3 k
(2π) 3 2ω k
{
a(k)e −ik·x + a † (k)e ik·x}∣ ∣ ∣∣∣k 0 =ω k
, (5.41)
und mittels der Operatoren a(k) und a † (k) kann ein Fock-Raum konstruiert
werden. Wir definieren durch
|p 1 , . . . , p n , in>= 1 √
n!
a † (p 1 ) · · · a † (p n )|0>≡ |p 1 , . . . , p n > (5.42)
den einlaufenden Zustand eines Streuvorgangs, z. B.
lim
t→−∞ |χ W(t)>= |p 1 , p 2 >= 1 √
2
a † (p 1 )a † (p 2 )|0> . (5.43)
Der auslaufende Zustand ist dann durch die Zeitentwicklung mit dem Operator
W(t, t 0 ) gegeben:
lim |χ W(t)>= W(+∞, −∞)|χ W (−∞)>=: S|χ W (−∞)> .
t→+∞
Der Operator
S =
lim
t 2 →+∞
t 1 →−∞
W(t 2 , t 1 ) (5.44)
(oder auch seine Matrixelemente) wird S-Matrix genannt. Die Matrixelemente
von S sind die Streuamplituden
= . (5.45)
Allgemein notiert man die S-Matrixelemente als
S fi = . (5.46)

5.2 Green’sche Funktionen und S-Matrix 129
Die Dyson-Formel
Der Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild W(t, t 0 ) genügt der
Differenzialgleichung und Anfangsbedingung
i ∂ ∂t W(t, t 0) = H (W )
I (t)W(t, t 0 ), (t > t 0 ),
W(t 0 , t 0 ) = 1.
(5.47)
Die Lösung dieser Differenzialgleichung lässt sich in Gestalt der Dyson-Formel
{ ∫ t
}
W(t, t 0 ) = T exp −i dt ′ H (W )
I (t ′ )
(5.48)
t 0
darstellen (siehe Quantenmechanik). H (W )
I (t) = U0 −1 (t, t 0 )H I (t)U 0 (t, t 0 ) hat
die gleiche Gestalt wie H I (t), wobei für das Feld ϕ W (x) einzusetzen ist. Z. B.
hat man in der ϕ 4 -Theorie
H I (t) = g ∫
d 3 r ϕ 4 (x),
4!
H (W )
I (t) = g ∫
(5.49)
d 3 r ϕ 4 W
4!
(x).
Halten wir fest:
Man arbeitet mit freien Feldern φ W (x) und die S-Matrix ist
{ ∫ +∞ }
S = T exp −i dt H (W )
I (t) . (5.50)
−∞
In der Born’sche Näherung wird die S-Matrix durch die ersten Terme der
Reihenentwicklung
∫ +∞
S = 1 − i dt H (W )
I (t) + . . . , (5.51)
approximiert. Beispiel:
= −i
|i> = |p 1 , p 2 >, |f>= |p 3 , p 4 >
=
−∞
∫ +∞
−∞
= 1 2
dt + . . . . (5.52)
= (2π) 6 1 {
2ω p1 2ω p2 δ (3) (⃗p 1 − ⃗p 3 )δ (3) (⃗p 2 − ⃗p 4 ) + δ (3) (⃗p 1 − ⃗p 4 )δ (3) (⃗p 2 − ⃗p 3 ) }
2
=
p 1
p 3 p 1
+
p 2 p 4 p 2 p 4
p 3
(5.53)

130 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Hier wurde das Produkt der Operatoren wieder mit
a 1 a 2 a † 3a † 4|0>= ([ a 1 , a † 3] [ a 2 , a † 4]
+
[
a1 , a † 4][
a2 , a † 3])
|0> (5.54)
in zahlenwertige Kommutatoren überführt, die aus den früheren Kapiteln bekannt
sind. Diese Kommutatoren werden von den beiden Graphen angezeigt.
Der nächste Term der Born’schen Näherung ist
∫ +∞
−∞
dt = g {∫
}
4!
(5.55)
Der Wechselwirkungsteil ϕ 4 W enthält Operatoren a(p), a † (p). Der Term a † a † aa
liefert Beiträge, die durch den Graphen
p 1
p 3
p 2 p 4
symbolisiert werden. Die allgemeine Systematik der Beiträge zur S-Matrix
führt auf Green’sche Funktionen und Feynman-Graphen, die wir im Folgenden
behandeln werden.
Bemerkung: Die Herleitung im Wechselwirkungsbild ist mathematisch nicht
sauber. Eine genaue Analyse zeigt: wenn das Wechselwirkungsbild in der
Feldtheorie existieren würde, könnte man zeigen
• Z 3 = 1,
• ϕ(x) ist ein freies Feld.
Haags Theorem sagt aus, dass das Wechselwirkungsbild in der QFT mit
Wechselwirkung nicht existiert. Die Herleitung des Streuformalismus muss
und kann durch eine mathematisch rigorose ersetzt werden. 12
Allgemeiner Streuprozess
Im obigen Beispiel wurde die Streuung zweier Teilchen betrachtet. Im Allgemeinen
kann es Streuprozesse mit n einlaufenden und m auslaufenden Teilchen
geben. Wir wollen annehmen, dass kein äußeres Potenzial vorhanden
ist.
12 Siehe z. B. J. D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistische Quantenfeldtheorie, Bibliographisches
Institut, Mannheim, 1967, und C. Itzykson, J.-B. Zuber, Quantum Field Theory,
McGraw-Hill, New York, 1980.

5.2 Green’sche Funktionen und S-Matrix 131
Einlaufende und auslaufende Zustände
werden bezeichnet mit
|i>= |p 1 , a 1 ; . . . ; p n , a n >,
|f>= |p ′ 1, b 1 ; . . . ; p ′ m, b m >,
(5.56)
p 1
p ′ 1
. . . . . . . . . . . .
wobei die a i und b j für Spin, Polarisation
oder andere Eigenschaften der Teilchen
stehen.
p n p ′ m
Die gesamten 4-Impulse der einlaufenden bzw. auslaufenden Teilchen seien
n∑
m∑
P i = p k , P f = p ′ k. (5.57)
k=1
k=1
Ähnlich wie in der Born’schen Näherung lässt sich die S-Matrix aufteilen in
die Identität, welche den Beitrag ohne Streuung enthält, und eine T-Matrix,
welche die Beiträge der Streuung enthält,
S fi == +i(2π) 4 δ (4) (P f − P i ) T fi . (5.58)
Dabei wird die aus der Erhaltung des Gesamtimpulses resultierende δ-Funktion
herausgezogen. Die T-Matrix repräsentiert die Streuamplitude. Der Streuquerschnitt
ist proportional zu |T fi | 2 . Der physikalisch wichtigste Fall ist
natürlich der mit n = 2, für den der Streuquerschnitt
dσ =
1
|⃗v 1 − ⃗v 2 |
1 1
(2π) 4 δ (4) (P f − P i ) |T fi | 2 d 3 p ′ 1
. . .
2ω p1 2ω p2 (2π) 3 2ω p ′
1
d 3 p ′ m
(2π) 3 2ω p ′ m
(5.59)
lautet. Für den Fall m = 2 erhält man daraus einen Ausdruck in Form des
Rutherfordschen Streuquerschnittes, indem man in das Schwerpunktsystem
geht und die Differentiale d 3 p ′ durch Winkel und Raumwinkel ausdrückt.
5.2.3 Reduktionsformeln
Die Reduktionsformeln von Lehmann, Symanzik und Zimmermann 13 stellen
den Zusammenhang zwischen der Streumatrix und den Green’schen Funktionen
her. Ausgangspunkt ist die Tatsache, dass
˜G (n)
c (p 1 , . . . , p n ) Pole besitzt von der Form ∼
1
p 2 j − m2. (5.60)
13 Harry Lehmann, Kurt Symanzik, Wolfhart Zimmermann, Nuovo Cimento 1, 205,
(1955)

132 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Die S-Matrix-Elemente sind durch die Residuen der Pole gegeben. Für den
Fall n = m = 2 lautet die Reduktionsformel
=
+ i 41 2 Z−2 3 lim
p 2 j →m2(p2 1 − m 2 )(p 2 2 − m 2 )(p 2 3 − m 2 )(p 2 4 − m 2 )
×
˜G
(4)
c (−p 1 , −p 2 , p 3 , p 4 )(2π) 4 δ (4) (p 1 + p 2 − p 3 − p 4 ).
Im Ortsraum lautet die Reduktionsformel
=
+ i 41 ∫
2 Z−2 3 d 4 x 1 . . . d 4 x 4 e i(−p 1x 1 −p 2 x 2 +p 3 x 3 +p 4 x 4 ) ×
(□ x1 − m 2 )(□ x2 − m 2 )(□ x3 − m 2 )(□ x4 − m 2 )G (4)
c (x 1 , . . . x 4 ).
(5.61)
(5.62)
Die Reduktion besteht darin, dass Streuamplituden zwischen ein- und auslaufenden
Zuständen durch Vakuum-Erwartungswerte ersetzt werden. Die
Multiplikation mit den Faktoren p 2 j − m2 ist gleichbedeutend mit einer Division
durch die entsprechenden Propagatoren. Dies bezeichnet man als eine
„Amputation der äußeren Beine“. Analoge Formeln gelten für allgemeine
Streuprozesse (n Teilchen → m Teilchen).
Eine Herleitung der LSZ-Reduktionsformeln im kanonischen Formalismus
findet man beispielweise bei Bjorken-Drell, Weinberg, Itzykson-Zuber oder
Muta. 14 Sie lassen sich auch störungstheoretisch begründen. Wir führen hier
lediglich eine Plausibilitätsbetrachtung oder Beweisskizze vor. 15 Im Fall, dass
keine zwei Impulse gleich sind, ist
Sei
Es ist
˜G
(4)
c
= ˜G (4) . Definitionsgemäß gilt
˜G (4) (p 1 , . . . , p 4 ) (2π) 4 δ (4) (p 1 + · · · + x 4 )
∫
= d 4 x 1 . . . d 4 x 4 e i(p 1x 1 +···+p 4 x 4 ) .
(5.63)
t = max{x 0 1 , x0 2 , x0 3 }. (5.64)
=Θ(x 0 4 − t)
+ weitere Terme mit x 0 4 < t. (5.65)
14 J. D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistische Quantenfeldtheorie, Bibliographisches Institut,
Mannheim, 1967; S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vol. 1, Cambridge
University Press, 1995; C. Itzykson, J.-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill,
New York, 1980; T. Muta, Foundation of Quantum Chromodynamics, World Scientific,
Singapur, 1998.
15 siehe S. Pokorski, Gauge Field Theories, Cambridge University Press, Cambridge,
2000; M. Le Bellac, Quantum and Statistical Field Theory, Clarendon Press, Oxford, 1992.

5.2 Green’sche Funktionen und S-Matrix 133
Betrachten wir den ersten Term, für den x 0 4 ≥ t ist, und fügen einen vollständigen
Satz von Ein-Teilchen-Zuständen ein, erhalten wir
∫
d 4 x 1 . . . d 4 x 4 e i(p 1x 1 +···+p 4 x 4 ) Θ(x 0 4 − t)
× ∑ n
.
(5.66)
Analog zur Rechnung beim Propagator in Gleichung (5.26) fahren wir mit
einer Zerlegung der Korrelationsfunktion fort. Für Ein-Teilchen-Zustände mit
Impuls k µ , also P µ |n>= k µ |n>, benutzen wir
Ebenfalls ersetzen wir wieder
= e −ikx 4
. (5.67)
Θ(x 0 4 − t) = i ∫ +∞
dω e−iω(x0 4 −t)
, ǫ → 0. (5.68)
2π −∞ ω + iǫ
Dann wird aus dem Integral über x 4
∫
d 4 x 4 e i(p 4−k)·x 4
Θ(x 0 4 − t)
= (2π) 3 δ (3) (⃗p 4 − ⃗ k)
i
2π
∫ +∞
−∞
e i(p0 4 −k0 )t
dω dx 0 4 ei(p0 4 −k0 )x 0 4 −iωx0 4
= i(2π) 3 δ (3) (⃗p 4 − ⃗ k)
p 0 4 − k 0 + iǫ
= i(2π) 3 δ (3) (⃗p 4 − ⃗ p 0 4
k)
+ k0
(p 4 ) 2 − k 2 + iǫ ei(p0 4 −k0 )t .
e iωt
ω + iǫ
(5.69)
Wir erkennen, dass die Ein-Teilchen-Zustände |n>= |k> mit k 2 = m 2 einen
Pol bei p 2 4 = m 2 produzieren. Andere Zustände können einen solchen Pol
nicht liefern (dies entspricht gewissen Annahmen über das Spektrum). Der
Pol entsteht durch die Integration über x 0 4 bis ∞. Die anderen Terme mit
anderen Zeitordnungen erstrecken sich nicht bis ∞ und können keinen solchen
Pol liefern. Ersetzen wir nun
∑
−→
n
∫ d 3 k
2ω k
(5.70)
und benutzen
=
√
Z 3 , (5.71)

134 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
erhalten wir
lim (p
p 2 4 2 − m 2 ) ˜G (4) (p 1 , . . . , p 4 )(2π) 4 δ (4) (Σp i )
4 →m2 ∫
=
∫
d 4 x 1 d 4 x 2 d 4 x 3 e i(p 1x 1 +p 2 x 2 +p 3 x 3 )
d 3 k
(2π) 3 2ω k
× i(2π) 3 δ (3) (⃗p 4 − ⃗ k) 2ω k
∫
= i
√Z 3 d 4 x 1 d 4 x 2 d 4 x 3 e i(p 1x 1 +p 2 x 2 +p 3 x 3 ) .
(5.72)
Damit wurde x 4 eliminiert und der erste Schritt zur Reduktionsformel ist
getan. Eine ähnliche Prozedur muss noch dreimal auf ϕ(x 1 ), ϕ(x 2 ) und
ϕ(x 3 ) angewandt werden und liefert letztendlich die oben angeführte Reduktionsformel.
(Der Faktor 1/2 kommt aus der Normierung der Zwei-Teilchen-
Zustände.)
5.3 Störungstheorie
S-Matrix-Elemente und Streuquerschnitte können mit störungstheoretischen
Methoden berechnet werden. Bevor wir den allgemeinen Formalismus besprechen,
der zu den Feynman-Diagrammen und Feynman-Regeln führt, wollen
wir ein spezielles Beispiel betrachten, nämlich die Mott-Streuung.
5.3.1 Beispiel: Mott-Streuung
Die Darstellung in diesem Abschnitt folgt Nachtmann 16 . Mott-Streuung bezeichnet
die elastische Streuung eines relativistischen Spin 1 -Teilchens an einem
äußeren statischen Potenzial Insbesondere ist damit die Streuung eines
2
Elektrons an einem Atomkern mit Kernladungszahl Z gemeint.
e −
(⃗p, s)
Ze 0 ρ(⃗r )
∫ d 3 r ρ(⃗r ) = 1
(⃗p ′ , s ′ )
16 O. Nachtmann, Phänomene und Konzepte der Elementarteilchenphysik, Vieweg,
Braunschweig, 1992.

5.3 Störungstheorie 135
Das statische Potential Φ(⃗r ) genügt der Poisson-Gleichung
∆Φ(⃗r ) = − Ze 0
ǫ 0 ρ(⃗r ) . (5.73)
Das Elektron wird durch das quantisierte Dirac-Feld beschrieben. Der Hamiltonoperator
des Dirac-Feldes ist die Summe des freien Anteils und der
Wechselwirkung,
H = H 0 + H I (t), (5.74)
∫
∫
H I = − d 3 r L I = −e 0 d 3 r ψ(x)γ 0 ψ(x) Φ(⃗r ). (5.75)
Ein- und auslaufende Zustände des Dirac-Feldes werden bezeichnet mit
|i>= |⃗p, s> = b † s(⃗p )|0>,
|f>= |⃗p ′ , s ′ >= b † s ′(⃗p ′ )|0>,
(5.76)
wobei die Erzeugungsoperatoren b † s(⃗p ) aus der Entwicklung von ψ W (x) im
Wechselwirkungsbild nach ebenen Wellen kommen, siehe (4.201). Im folgenden
schreiben wir an Stelle von b s (⃗p ) und b † s (⃗p ) auch einfach b s(p) und b † s (p)
und ebenso für die Zustände.
Wir werden die Streumatrixelemente in der Born’schen Näherung auswerten.
Dazu brechen wir
∫
S fi == −i
dt + . . . (5.77)
nach dem Glied erster Ordnung der Störungstheorie ab. Zunächst gilt für den
Überlapp-Term bei ⃗p ≠ ⃗p ′
==
= (2π) 3 2ω p δ (3) (⃗p − ⃗p ′ )δ s,s ′ =: δ fi .
(5.78)
Bis zur ersten nicht trivialen Ordnung hat man
∫ ∫
S fi = δ fi + ie 0 dt d 3 r
∫ ∫
= δ fi + ie 0 d 4 d 3 k 1 d 3 k 2
x Φ(⃗r )
(2π) 6 2ω k1 2ω k2
∑
.
(5.79)

136 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Jetzt werden die Vernichtungsoperatoren nach rechts und die Erzeugungsoperatoren
nach links getauscht. Dafür verwendet man die Antikommutatorregeln;
zum Beispiel ist
( [b1 ) ( [b3
=
=, +
weil die zahlenwertigen Antikommutatoren mit den Operatoren vertauschen.
Mit b|0>= d|0>= 0 folgt nach etwas Algebra
∫
S fi = δ fi + ie 0 d 4 x Φ(⃗r ) e i(p′ −p)·x u (s′) (p ′ )γ 0 u (s) (p) ∣
∣ p 0 =ω p
p ′0 =ω p ′
∫
= δ fi + ie 0 2πδ(p ′ 0 − p 0 ) d 3 r Φ(⃗r ) e −i(⃗p ′ −⃗p)·⃗r u (s′) (p ′ )γ 0 u (s) (p)
= δ fi + ie 0 2πδ(p ′ 0 − p 0 ) ˜Φ(⃗p ′ − ⃗p ) u (s′) (p ′ )γ 0 u (s) (p).
(5.81)
Der Faktor δ(p ′ 0 − p 0 ) garantiert die Energieerhaltung bei der Streuung.
⃗p − ⃗p ′ = ⃗q ist die Impulsänderung des Elektrons. Die auftretende Fouriertransformierte
des Streupotenzials,
∫
˜Φ(⃗q ) = d 3 r e i⃗q·⃗r Φ(⃗r ) (5.82)
hängt mit dem Formfaktor F(⃗q ) zusammen, der Fouriertransformierten der
Ladungsverteilung,
∫
F(⃗q ) := d 3 r e i⃗q·⃗r ρ(⃗r). (5.83)
Die Poissongleichung für das elektrostatische Potenzial liefert nämlich
− Ze ∫
0
ρ(⃗r ) = ∆Φ(⃗r) =
ǫ 0
und nach Rücktransformation
Die S-Matrixelemente sind also
d 3 q
(2π) 3 (−⃗q 2 ) e −i⃗q·⃗r ˜Φ(⃗q ) (5.84)
− ⃗q 2 ˜Φ(⃗q ) = − Ze 0
ǫ 0
F(⃗q ). (5.85)
S fi = δ fi + i 2πδ(p ′ 0 − p 0 ) Ze2 0
ǫ 0
1
⃗q 2 F(⃗q ) u(s′) (p ′ )γ 0 u (s) (p). (5.86)
Sie enthalten den Spinor des einlaufenden Elektrons u (s) (p), des auslaufenden
Elektrons u (s′) (p ′ ) und den Formfaktor F(⃗q ) als Funktion des Impulsübertrags
⃗q.

5.3 Störungstheorie 137
Wir können die Terme der S-Matrix mit den folgenden Bildelementen assoziieren.
u
ie 0 γ 0 2πδ(p ′ 0 − p 0 )
u
Faktor 1
⃗q 2
Kern
Ze 0
ǫ 0
F(⃗q )
Für einen punktförmigen Kern wäre die Ladungsverteilung eine δ-Funktion
Berechnung des Streuquerschnitts
Wir schreiben das S-Matrix-Element als
ρ(⃗r ) = δ (3) (⃗r ) ⇒ F(⃗q ) = 1. (5.87)
S fi = δ fi + i 2πδ(p ′ 0 − p 0 ) M fi . (5.88)
Wie groß ist die Übergangswahrscheinlichkeit w für den Übergang (p, s) −→
(p ′ , s ′ )? Sie ist zunächst einmal proportional zu |S fi | 2 . Falls |i>≠ |f>, wird
die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang in ein Volumenelement des Impulsraumes
|S fi | 2 −→ [2πδ(p ′ 0 − p 0 )] 2 |M fi | 2 d 3 p ′
. (5.89)
(2π) 3 2ω p ′
Das Quadrat der Deltafunktion ist aber keine Distribution mehr, so dass
dieser Ausdruck nicht sinnvoll ist. Betrachten wir einen der beiden Faktoren:
2πδ(p ′ 0 − p 0 ) = lim
T →∞
∫ T
−T
dt e i(p′ 0 −p 0 )t = lim
T →∞
∫ T
−T
dt für p ′ 0 − p 0 = 0.
(5.90)
Dieser unendliche Faktor repräsentiert das gesamte Zeitintervall. Eine genauere
Betrachtung des Streuvorgangs mit Hilfe von Wellenpaketen zeigt,
dass die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit, also die Übergangsrate ẇ,
sinnvoll definiert werden kann. Sie ist gegeben durch
Der Streuquerschnitt ist dann
∫
dσ =
ẇ = 2πδ(p ′ 0 − p 0 ) |M fi | 2 d 3 p ′
. (5.91)
(2π) 3 2ω p ′
ẇ
|j in | dp′ 0 , (5.92)

138 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
wobei j in die Stromdichte der einfallenden Teilchen ist. Sie lautet
j in = 2p 0 |⃗v | = 2|⃗p | = 2|⃗p ′ |. (5.93)
Weiterhin schreiben wir das Volumenelement im Impulsraum in Kugelkoordinaten,
d 3 p ′ = |⃗p ′ | d|⃗p ′ | dΩ, (5.94)
und benutzen
so dass
Es folgt
|⃗p ′ | d|⃗p ′ | = p ′ 0 dp ′ 0 , (5.95)
d 3 p ′
2ω p ′
= 1 2 |⃗p ′ |dp ′ 0 dΩ. (5.96)
dσ = 1
16π 2|M fi| 2 dΩ. (5.97)
Für den Fall, dass der einlaufende Strahl nicht polarisiert ist, muss man
über die Polarisationen im Anfangszustand mitteln, d.h. 1 ∑
2 s . . . bilden. Für
den Endzustand gilt: falls die Polarisation des auslaufenden Strahles nicht
detektiert wird, hat man eine Summation ∑ s ′ . . . über die Polarisationen im
Endzustand zu bilden. Es ist
1
2
2∑
s,s ′ =1
u (s′) (p ′ )γ 0 u (s) (p) u (s) (p)γ 0 u (s′) (p ′ )
= 1 2 Sp[ (γ µ p ′µ + m)γ 0 (γ ν p ν + m)γ 0]
= 2 ( (p 0 ) 2 + ⃗p ′ · ⃗p + m 2)
(⃗p 2 cos 2 θ )
2 + m2
= 4
.
(5.98)
Hier wurde
benutzt und der Streuwinkel durch
∑
u (s) (p) u (s) (p) = γ ν p ν + m (5.99)
s
cos θ = ⃗p ′ · ⃗p
|⃗p ′ | |⃗p|
(5.100)
eingeführt. Mit
|⃗q | 2 = (⃗p − ⃗p ′ ) 2 = 4|⃗p | 2 sin 2 θ 2
(5.101)

5.3 Störungstheorie 139
erhält man schließlich
[ ]
dσ Ze
2 2
dΩ = 0
4πǫ 0
cos 2( )
θ
2 +
m 2
|⃗p | 2
4|⃗p | 2 sin 4( θ
2
) |F(⃗q )| 2 . (5.102)
Der sin 4( )
θ
2 -Term im Nenner stammt vom Impulsübertrag ⃗q 2 .
Für einen punktförmigen Kern ergibt sich mit F(⃗q ) = 1 die nach Sir Melville
Mott benannte Mott-Formel.
Im nichtrelativistischen Grenzfall ist |⃗p |

140 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
falls H zeitunabhängig ist, oder generell
Es folgt
ϕ(x) = U −1 (t, t 0 )ϕ(t 0 ,⃗r )U(t, t 0 ). (5.107)
ϕ(x) = U −1 (t, t 0 )U 0 (t, t 0 )ϕ W (x)U −1
0 (t, t 0 )U(t, t 0 )
= W −1 (t, t 0 )ϕ W (x)W(t, t 0 ).
(5.108)
Dabei ist die unitäre Transformation W(t, t 0 ) durch die Dyson-Reihe gegeben
W(t 1 , t 2 ) erfüllt
W(t, t 0 ) = Te −i∫ t
t 0
H I (t ′ ) dt ′ . (5.109)
W(t 1 , t 2 ) = W −1 (t 2 , t 1 ),
W(t 3 , t 2 )W(t 2 , t 1 ) = W(t 3 , t 1 ), (t 3 > t 2 > t 1 ).
(5.110)
Beweis: Die erste Formel ist klar, die zweite Formel erhält man aus
W(t 3 , t 2 )W(t 2 , t 1 ) =
[Te ∫ −i t 3
H
t I (t ′ ) dt ′] [
2 Te −i∫ t 2
H
t I (t ′′ ) dt ′′]
1
hier ist t 3 ≥ t ′ ≥ t 2 und t 2 ≥ t ′′ ≥ t 1
=Te −i∫ t 3
t 2
H I (t ′ ) dt ′ −i ∫ t 2
t 1
H I (t ′′ ) dt ′′
=W(t 3 , t 1 ).
(5.111)
Das Ergebnis ist auch richtig, wenn t 1 < t 2 < t 3 nicht gilt. 17
Da wir uns für zeitgeordnete Produkte der Feldoperatoren ϕ(x 1 ) · · · ϕ(x n )
interessieren, nehmen wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit an, dass
x 0 1 > x 0 2 > . . . > x 0 n ist. Damit folgt
ϕ(x 1 ) · · · ϕ(x n ) = W −1 (t 1 , t 0 )ϕ W (x 1 ) ×
W(t 1 , t 0 )W −1 (t 2 , t 0 ) ϕ W (x 2 ) · · · W −1 (t n , t 0 )ϕ W (x n )W(t n , t 0 )
} {{ }
W (t 1 ,t 0 )W (t 0 ,t 2 )=W (t 1 ,t 2 )
= W −1 (t 1 , t 0 )ϕ W (x 1 )W(t 1 , t 2 )ϕ W (x 2 ) . . . W(t n−1 , t n )ϕ W (x n )W(t n , t 0 ).
17 Siehe: M. Maggiore, A Modern Introduction to Quantum Field Theory, Oxford Univ.
Press, New York, 2005, S.118.

5.3 Störungstheorie 141
−τ
ϕ W (x n )
t n
. . .
ϕ W (x 2 )
t 2
ϕ W (x 1 )
t 1
+τ
t
Seien τ > t 1 , t n > −τ, dann ist
ϕ(x 1 ) · · · ϕ(x n ) =
W −1 (τ, t 0 )
{
}
W(τ, t 1 )ϕ W (x 1 )W(t 1 , t 2 )ϕ W (x 2 ) . . . W(t n−1 , t n )ϕ W (x n )W(t n , −τ)
W(−τ, t 0 ).
Das Produkt in der großen geschweiften Klammer ist automatisch zeitgeordnet,
darum kann man die Faktoren W(∗, ∗) in der geschweiften Klammer
nach rechts verschieben, wenn man vor die Klammer den Zeitordnungsoperator
T setzt. Fasst man
zusammen, so erhält man
ϕ(x 1 ) · · · ϕ(x n )
W(τ, t 1 )W(t 1 , t 2 ) · · · W(t n , −τ) = W(τ, −τ),
=W −1 (τ, t 0 ) T { ϕ W (x 1 ) · · · ϕ W (x n ) e −i ∫ τ
−τ H I(t) dt } W(−τ, t 0 ).
Im Limes τ → ∞ gibt das
= .
Der Vakuumzustand im Wechselwirkungsbild ist bis auf einen Phasenfaktor
eindeutig, so dass wir
haben, und damit
W −1 (t 0 , −∞)|0>= e iα |0> W

142 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Der Phasenfaktor hängt nicht von der Anzahl n der Feldfaktoren ab, man
bekommt ihn daher mit n = 0 :
1 == e i(α+β) W W .
Insgesamt folgt aus dieser Rechnung die Gell-Mann-Low-Formel:
= W W
W W
(5.112)
Der Nutzen der Formel liegt darin, dass auf der rechten Seite nur Matrixelemente
vorkommen, die mit der freien Feldtheorie bestimmt werden können.
Da für wechselwirkende Felder kaum exakte Lösungen existieren, bietet die
Gell-Mann-Low-Formel die Möglichkeit, die S-Matrixelemente durch Reihenentwicklung
der Exponentialfunktion
e −i∫ ∫
H I (t) dt = 1 − i H I (t) dt − 1 ∫
H I (t)H I (t ′ ) dtdt ′ + . . . (5.113)
2
durch die Green’schen Funktionen auszudrücken. Dies liefert die Störungstheorie
in Form einer Entwicklung nach Potenzen von H I . Es treten letztendlich
Terme von der Gestalt
auf.
W W (5.114)
5.3.3 Wick’sches Theorem
Die nun noch verbleibende Aufgabe ist die Berechnung von
G (n) (x 1 , . . . , x n ) = (5.115)
in der freien Feldtheorie. Zur Erinnerung: das freie Feld wird zerlegt als
ϕ(x) = ϕ (+) (x) + ϕ (−) (x), wobei ϕ (+) Vernichtungsoperatoren a und ϕ (−) Erzeugungsoperatoren
a † enthält. Daher ist der Kommutator [ ϕ (+) (x), ϕ (−) (y) ]
eine gewöhnliche Funktion. Sie kann folgendermaßen bestimmt werden:
[
ϕ (+) (x), ϕ (−) (y) ] ==
== ∆ + (x − y).
(5.116)

5.3 Störungstheorie 143
Beginnen wir mit dem einfachsten Fall n = 2. Es sei x 0 > y 0 .
Tϕ(x)ϕ(y) = ϕ(x)ϕ(y)
= (ϕ (+) (x) + ϕ (−) (x)) (ϕ (+) (y) + ϕ (−) (y))
= ϕ (+) (x)ϕ (+) (y) + ϕ (−) (x)ϕ (+) (y)
+ ϕ (−) (x)ϕ (−) (y) + ϕ (+) (x)ϕ (−) (y)
= ϕ (+) (x)ϕ (+) (y) + ϕ (−) (x)ϕ (+) (y)
+ ϕ (−) (x)ϕ (+) (y) + ϕ (−) (x)ϕ (−) (y)
+ [ ϕ (+) (x), ϕ (−) (y) ]
= :ϕ(x)ϕ(y): + [ ϕ (+) (x), ϕ (−) (y) ]
= :ϕ(x)ϕ(y): +
= :ϕ(x)ϕ(y): + .
(5.117)
Falls umgekehrt y 0 > x 0 ist, erhält man bei dieser Rechnung
Tϕ(x)ϕ(y) = ϕ(y)ϕ(x) = :ϕ(y)ϕ(x): + ,
das ist aber das gleiche Ergebnis wie oben, weil Tϕ(x)ϕ(y) und : ϕ(x)ϕ(y) :
symmetrisch in x und y sind.
Der auftretende Erwartungswert ist der weiter oben eingeführte Feynman-
Propagator
= i∆ F (x − y). (5.118)
Mittels des Propagators wird der Begriff der Kontraktion definiert: für ein
normalgeordnetes Produkt von Feldern besteht eine Kontraktion in der Ersetzung
von zwei Feldern durch den Propagator. Für zwei Felder bedeutet
das
ϕ(x 1 )ϕ(x 2 ) = . (5.119)
Zwei Beispiele für vier Felder sind
:ϕ(x 1 )ϕ(x 2 )ϕ(x 3 )ϕ(x 4 ): = ϕ(x 1 )ϕ(x 2 ) :ϕ(x 3 )ϕ(x 4 ):
:ϕ(x 1 )ϕ(x 2 )ϕ(x 3 )ϕ(x 4 ): = ϕ(x 1 )ϕ(x 3 ) :ϕ(x 2 )ϕ(x 4 ): .
Es können auch mehrere Kontraktionen angebracht werden:
: ϕ(x 1 )ϕ(x 2 )ϕ(x 3 )ϕ(x 4 )ϕ(x 5 )ϕ(x 6 ): = ϕ(x 1 )ϕ(x 3 )ϕ(x 2 )ϕ(x 5 ) :ϕ(x 4 )ϕ(x 6 ): .
(5.120)

144 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Das Wick’sche Theorem besteht in der Verallgemeinerung von Gl. (5.117)
und lautet
Tϕ(x 1 ) · · · ϕ(x n )
= :ϕ(x 1 ) · · · ϕ(x n ): (0 Kontraktionen)
+ :ϕ(x 1 )ϕ(x 2 )ϕ(x 3 ) · · · ϕ(x n ): (1 Kontraktion)
+ . . . alle anderen Terme mit 1 Kontraktion
+ :ϕ(x 1 )ϕ(x 2 )ϕ(x 3 )ϕ(x 4 )ϕ(x 5 ) · · · ϕ(x n ):
+ . . . alle anderen Terme mit 2 Kontraktionen
+ . . .
⎧
⎨ :ϕ(x 1 )ϕ(x 2 ) · · · ϕ(x n−1 )ϕ(x n ):
+
⎩
:ϕ(x 1 )ϕ(x 2 ) · · · ϕ(x n−2 )ϕ(x n−1 )ϕ(x n ):
+ . . . alle anderen Terme dieserArt
=: K(ϕ(x 1 ) · · · ϕ(x n )).
( n 2
Kontraktionen, n gerade)
( n−1
2
Kontrakt., n ungerade)
(5.121)
Das Symbol K(ϕ(x 1 ) · · · ϕ(x n )) bezeichnet die Summe über alle möglichen
Kontraktionen. Mit dem Wick’schen Theorem erhält man also eine komplette
Zerlegung des zeitgeordneten Produktes in normalgeordnete Produkte und
Propagatoren. Den Beweis werden wir weiter unten skizzieren. Zunächst die
wichtigsten Folgerungen:
und
= 0, falls n ungerade (5.122)
=i n ∑
2 ∆ F (x i1 − x i2 ) · · · ∆ F (x in−1 − x in ), falls n gerade. (5.123)
Paarungen
Die Summationsvorschrift „alle Paarungen“ bedeutet, dass über alle Zerlegungen
der Menge {1, 2, . . . , n} in 2-elementige Teilmengen (ungeordnete
„Paare“) summiert wird 18 . Diese Formeln folgen daraus, dass die Erwartungswerte
von normalgeordneten Produkten von Feldoperatoren verschwinden,
= 0, und deshalb im Wick’schen Theorem nur die Terme beitragen,
in denen alle Felder kontrahiert sind.
Weil G (n) (x 1 , . . . , x n ) aus einer Summe über alle ΠG (k)
c mit allen möglichen
Zerlegungen (Partitionen) von {1, 2, . . . , n} besteht, folgt hieraus, dass für
18 Die Zahl der Summanden ist der Multinomialkoeffizient
n!
(2!) n/2 .

5.3 Störungstheorie 145
die freie Feldtheorie alle G (k)
c
mit k > 2 keine Beiträge liefern dürfen, also
G (n)
c = 0 für n > 2. (5.124)
Die Gültigkeit des Wick’schen Theorems soll jetzt für n = 3 explizit gezeigt
werden. Sei x 0 1 > x 0 2 und x 0 1 > x 0 3. Dann ist nach dem Wick’schen Theorem
für n = 2
Tϕ(x 1 )ϕ(x 2 )ϕ(x 3 ) = ϕ(x 1 )Tϕ(x 2 )ϕ(x 3 )
= ( ϕ (+) (x 1 ) + ϕ (−) (x 1 ) ) ( :ϕ(x 2 )ϕ(x 3 ): + ϕ(x 2 )ϕ(x 3 ) )
= ϕ (+) (x 1 ) :ϕ(x 2 )ϕ(x 3 ): + ϕ (−) (x 1 ) :ϕ(x 2 )ϕ(x 3 ): + ϕ(x 1 )ϕ(x 2 )ϕ(x 3 ).
(5.125)
Wir verkürzen die Notation mit ϕ k := ϕ(x k ), und gehen stückweise vor:
ϕ (+)
1 :ϕ 2 ϕ 3 : = ϕ (+)
1 : (ϕ (+)
2 + ϕ (−)
2 )(ϕ (+)
3 + ϕ (−)
3 ) :
= ϕ (+)
1 (ϕ (+)
2 ϕ (+)
3 + ϕ (−)
3 ϕ (+)
2 + ϕ (−)
= ϕ (+)
1 ϕ (+)
2 ϕ (+)
3 + [ ϕ (+)
1 , ϕ (−)
+ [ ϕ (+)
1 , ϕ (−)
2
+ [ ϕ (+)
1 , ϕ (−)
2
= ϕ (+)
1 ϕ (+)
2 ϕ (+)
3 + ϕ (−)
+ [ ϕ (+)
1 , ϕ (−)
3
3
]
(+) ϕ
3 ϕ (+)
1 ϕ (+)
]
(+) ϕ 2 + [ ϕ (+)
2
= :ϕ (+)
1 ϕ 2 ϕ 3 : + [ ϕ (+)
1 , ϕ (−)
3
2 ϕ (+)
]
(+) ϕ
3 + ϕ (−)
2 ϕ (−)
3 )
2 + ϕ (−)
3 ϕ (+)
1 ϕ (+)
2
3 + ϕ (−)
2 ϕ (+)
1 ϕ (+)
3
]
(−) ϕ 3 + ϕ (−)
2 ϕ (+)
1 ϕ (−)
3
} {{ }
[ ]
ϕ (−)
2
ϕ (+)
1 ,ϕ (−)
3
+ϕ (−)
2 ϕ (−)
3 ϕ (+)
1
2 + ϕ (−)
2 ϕ (+)
1 ϕ (+)
3 + ϕ (−)
1 , ϕ (−) ]
(+) ϕ 3 + [ ϕ (+)
1 , ϕ (−)
2
]
ϕ2 + [ ϕ (+)
1 , ϕ (−) ]
2 ϕ3 .
2 ϕ (−)
3 ϕ (+)
1
]
(−) ϕ 3 + ϕ (−)
2
Diese Terme sind jetzt normalgeordnet.
Der zweite Term in (5.125), ϕ (−)
1 :ϕ 2 ϕ 3 :, ist bereits normalgeordnet, so dass
[
(+) ϕ 1 , ϕ (−) ]
3
ϕ 1 :ϕ 2 ϕ 3 : = (ϕ (+)
1 + ϕ (−)
1 ) :ϕ 2 ϕ 3 :
= :ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 : + [ ϕ (+)
1 , ϕ (−)
3
]
ϕ2 + [ ϕ (+)
= :ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 : +ϕ 1 ϕ 3 ϕ 2 + ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 .
1 , ϕ (−)
2
]
ϕ3
(5.126)
Insgesamt erhält man
Tϕ(x 1 )ϕ(x 2 )ϕ(x 3 ) = :ϕ(x 1 )ϕ(x 2 )ϕ(x 3 ):
+ ϕ(x 1 )ϕ(x 2 )ϕ(x 3 ) + ϕ(x 1 )ϕ(x 3 )ϕ(x 2 ) + ϕ(x 2 )ϕ(x 3 )ϕ(x 1 ).
(5.127)

146 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Skizze des Beweises für beliebige n: 19
Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion. Für n = 1, 2, 3 ist das
Wick’sche Theorem bereits bewiesen. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit
sei x (0)
1 > x (0)
k für k = 2, . . . , n. Die Behauptung gelte für alle m < n. Es ist
Tϕ(x 1 ) · · · ϕ(x n ) = ϕ(x 1 )Tϕ(x 2 ) · · · ϕ(x n )
= ( ϕ (+) (x 1 ) + ϕ (−) (x 1 ) ) K(ϕ(x 2 ) · · · ϕ(x n ))
= ϕ (−) (x 1 )K(ϕ(x 2 ) · · · ϕ(x n ))
+ K(ϕ(x 2 ) · · · ϕ(x n )) ϕ (+) (x 1 )
+ [ ϕ (+) (x 1 ), K(ϕ(x 2 ) · · · ϕ(x n )) ] .
(5.128)
Die ersten beiden Summanden enthalten alle Kontraktionen, die nicht ϕ(x 1 )
beinhalten. Sie sind normalgeordnet. Der dritte Summand enthält alle Kontraktionen
vom Typ
[
ϕ (+) (x 1 ), ϕ (−) (x k ) ] = ϕ(x 1 )ϕ(x k ), (5.129)
die ϕ(x 1 ) beinhalten. Die Terme sind normalgeordnet. Insgesamt sind es alle
möglichen Kontraktionen.
5.3.4 Feynman-Diagramme für die ϕ 4 -Theorie
Mit der Gell-Mann-Low-Formel und dem Wick’schen Theorem stehen jetzt
die Mittel bereit, um die Terme in der Störungstheorie zu beliebigen Ordnungen
systematisch zu erzeugen und in Form von Feynman-Diagrammen
graphisch zu symbolisieren. Anhand der ϕ 4 -Theorie soll exemplarisch das
grundsätzliche Vorgehen bei der Berechnung der Störungsreihe für ein wechselwirkendes
Feld vorgeführt werden. Es sei also
∫
∫
H I (t)dt = − L I d 4 x = g ∫
ϕ 4 (x) d 4 x. (5.130)
4!
Betrachten wir die Gell-Mann-Low-Formel für die Zweipunkt-Green’sche Funktion
G (2) (x 1 , x 2 ) =
. (5.131)
Nenner
Den Nenner behandeln wir später. Im Zähler steht als Faktor in einem zeitgeordneten
Produkt die Dyson-Reihe,
1 − ig ∫
d 4 x(ϕ(x)) 4 + 1 ( ) −ig 2 ∫
d 4 xd 4 y(ϕ(x)) 4 (ϕ(y)) 4 + . . . . (5.132)
4!
2 4!
19 Siehe: J. D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistische Quantenfeldtheorie, Bibliographisches
Institut, Mannheim, 1967, und W. Greiner, J. Reinhardt, Theoretische Physik, Bd. 7A,
Feldquantisierung, Harri Deutsch, 1993, S. 260.

5.3 Störungstheorie 147
Der erste Term, die Näherung nullter Ordnung, liefert
= i∆ F (x 1 − x 2 ), (5.133)
also den freien Propagator. Er wird symbolisiert durch
Der zweite Term ist
− i g 4!
x 1 x 2
= i∆ F (x 1 − x 2 ). (5.134)
∫
d 4 x. (5.135)
Es gibt 15 Möglichkeiten, Kontraktionen zu bilden. (Der erste Faktor kann
sich mit 5 freien ϕ(x ⋆ ) paaren, der zweite dann nur noch mit 3 freien, der
dritte hat nur eine Möglichkeit.) Von diesen 15 Möglichkeiten gibt es zwei
Typen
3 mal ϕ(x 1 )ϕ(x 2 )ϕ(x)ϕ(x)ϕ(x)ϕ(x). (5.136)
Hierbei können die vier hinteren Feldoperatoren auf drei Weisen verpaart
werden. Der zweite Typ von möglichen Kontraktionen wird vertreten durch
12 mal ϕ(x 1 )ϕ(x 2 )ϕ(x)ϕ(x)ϕ(x)ϕ(x). (5.137)
Hierbei kann ϕ(x 1 ) auf 4 Weisen verpaart werden und anschließend kann
ϕ(x 2 ) noch unter 3 Partnern wählen. Die dritte Kontraktion ist danach festgelegt.
Der erste Typ von Kontraktionen wird symbolisiert durch
und der zweite Typ wird symbolisiert durch
x
x 1 x 2
(5.138)
(5.139)
x 1 x x 2
In diesen Graphen lässt sich ein Symbol für den Wechselwirkungsterm ausmachen,
nämlich
∫
= −ig
d 4 x (5.140)

148 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Nun bleibt noch der Faktor 1 . Man verrechnet ihn mit dem Faktor, der das
4!
vielfache Auftreten des Graphen berücksichtigt und schreibt das Ergebnis als
so genannten Symmetriefaktor an den Graphen.
Symmetriefaktoren sind hier:
3
4! = 1 8 , 12
4! = 1 2 .
Damit ist der Feynman-Graph für den zweiten Term der Reihe, also die
Näherung erster Ordnung für die Wechselwirkung fertig:
1
8
x
+ 1 (5.141)
x 1 x 2 2 x 1 x x 2
Der dritte Term der Reihe wird durch die folgenden 7 Graphen ausgedrückt
1
128 x 1 x 2
+ 1 16 x 1 x 2
+ 1
48 x 1 x 2
+ 1 16 x 1 x 2
+ 1 4 x 1 x 2
+ 1 4 x 1 x 2
+ 1 6 x 1 x 2
(5.142)
Jetzt zum Nenner in der Gell-Mann-Low-Formel. Er besteht nur aus der
Exponentialreihe. Die Felder ϕ(x 1 ) und ϕ(x 2 ) kommen darin nicht vor. Darum
stehen für diese Reihe nur die Graphen, die nicht mit äußeren Punkten
verbunden sind. Solche Graphen heißen Vakuumgraphen.
+ 1
128
+ 1 16
+ 1 48
+ . . .
(5.143)
Die Vakuumgraphen treten auch als Faktoren im Zähler auf; er lautet

5.3 Störungstheorie 149
+ 1 4
+ 1 2
+ 1 4
+ 1 6
{
1 + 1 8
{
1 + 1 8
{
1 + 1 8
{
1 + 1 8
{
1 + 1 8
+ 1
128
}
+ . . .
}
+ . . .
}
+ . . .
}
+ . . . + . . .
+ 1
16
+ 1
48
}
+ . . .
(5.144)
Es gilt: Die Vakuumgraphen kürzen sich zwischen Zähler und Nenner heraus.
Den Beweis, der etwas Kombinatorik erfordert, lassen wir aus.
Damit haben wir die Green’sche Funktion im Ortsraum bis zur zweiten Ordnung
im ϕ 4 -Wechselwirkungsterm gefunden. Sie lautet
G (2) (x 1 , x 2 ) = + 1 2
+ 1 4
+ 1 4
+ 1 6
.
(5.145)
Die Feynman Regeln
Die Graphen enthalten Propagatoren, Vertices und Symmetriefaktoren:
Propagator :
x 1 x 2
= i∆ F (x 1 − x 2 )
∫
Vertex : = −ig
d 4 x . . .
(5.146)
Die Symmetriefaktoren, also die Vorfaktoren der einzelnen Graphen, sind
gegeben durch die Anzahl der beitragenden Kontraktionen:
Symmetriefaktor = Anzahl der Kontraktionen × 1 n! . (5.147)
Der Symmetriefaktor ist auch gegeben durch die Mächtigkeit S der Symmetriegruppe
des Graphen, wobei die äußeren Beine festgehalten werden:
Symmetriefaktor = 1 S = 1
|Symmetriegruppe| . (5.148)

150 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Die Symmetriegruppe eines Graphen besteht aus allen Abbildungen des Graphen
auf sich selbst, bei denen die äußeren Beine festgehalten werden. Bildlich
kann man kann sich vorstellen, dass die Linien des Graphen Gummibänder
sind, die an den Vertices und an den festen äußeren Punkten angeknüpft
sind. Alle Bewegungen, bei denen die Vertices und Gummibänder untereinander
vertauscht werden ohne dass die Verknüpfungen gelöst werden, und die
wieder den gleichen Graphen ergeben, bilden die Symmetriegruppe. Zur Symmetriegruppe
gehören unter Anderem: Umklappen von Schleifen, Permutationen
gleicher Untergraphen und Permutationen der Verbindungen zwischen
zwei Vertices. Eine Warnung ist am Platz: sicherer als die Bestimmung der
Symmetriegruppe ist das aufwändigere, aber eventuell weniger fehleranfällige
Abzählen der Kontraktionen.
Beispiele für Symmetriefaktoren:
Propagator-Graphen
S = 2
S = 2 · 2
S = 3! = 6
(Permutationen)
Vakuumgraphen
S = 2 · 2 · 2 = 8
S = 2 · 8 · 8 = 128
S = 4! · 2 = 48
(Permutationen und Rechts-Links-Spiegelung)

5.3 Störungstheorie 151
Als weiteres Beispiel betrachten wir die 4-Punkt-Green’sche Funktion.
G (4) (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )
=
x 1
x 2 x 3
⎧
+ 1 ⎨
2⎩
x 4
+ + +
+ + + + +
+ + + + + . . .
(5.149)
⎫
⎬
⎭ .
Unter diesen Graphen gibt es zusammenhängende und nicht zusammenhängende
Exemplare. Es gilt (ohne Beweis):
Die zusammenhängenden Graphen gehören zu den zusammenhängenden Green-
Funktionen.
G c (x 1 , . . . , x n ) = ∑ (zusammenhängende Diagramme). (5.150)
In diesem Beispiel ist
G (4)
c (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )
(5.151)
= + 1 2
+ 1 2
+ 1 2
+ 1 2
+ . . .
Der führende Term dieser Reihe ist
∫
= −ig
d 4 x ∆ F (x 1 − x)∆ F (x 2 − x)∆ F (x 3 − x)∆ F (x 4 − x). (5.152)
Feynman-Regeln im Impulsraum
In der Praxis werden die Propagatoren im Impulsraum verwendet, weil die
Rechnungen dort einfacher sind. Der Feynman Propagator ist
∫
i∆ F (x) = i
d 4 k e −ikx ∫
(2π) 4 k 2 − m 2 + iǫ = i
d 4 k
(2π) 4e−ikx ˜∆ F (k). (5.153)

152 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Damit lässt sich das obige Diagramm schreiben als
∫
= −ig
∫
= −ig
d 4 x i∆ F (x 1 − x) · · · i∆ F (x 4 − x)
∫ d
d 4 4 ∫
k 1 d 4
x
(2π) . . . k 4 1+k 2 +k 3 +k 4 )x
4 (2π) 4ei(k
e −i(k 1x 1 +k 2 x 2 +k 3 x 3 +k 4 x 4 )
i
k1 2 − m 2 + iǫ . . .
i
k 2 4 − m 2 + iǫ
∫ d 4 ∫
k 1 d 4
= −ig
(2π) . . . k 4
δ(k 4 (2π) 4(2π)4 1 + k 2 + k 3 + k 4 )
(5.154)
e −i(k 1x 1 +k 2 x 2 +k 3 x 3 +k 4 x 4 ) i ˜∆ F (k 1 )i ˜∆ F (k 2 )i ˜∆ F (k 3 )i ˜∆ F (k 4 ).
Die Green’sche Funktion im Impulsraum ist definiert durch (siehe Gl. (5.19))
∫ d
G (4)
4 ∫
k 1 d 4
c (x 1 , . . . , x 4 ) =
(2π) . . . k 4
δ(k 4 (2π) 4(2π)4 1 + k 2 + k 3 + k 4 )
Daraus folgt
e −i(k 1x 1 +k 2 x 2 +k 3 x 3 +k 4 x 4 )
˜G
(4)
c (k 1 , . . . , k 4 ).
(5.155)
˜G (4)
c (k 1 , . . . , k 4 ) = −ig i ˜∆ F (k 1 )i ˜∆ F (k 2 )i ˜∆ F (k 3 )i ˜∆ F (k 4 ) + weitere Graphen.
(5.156)
Diesen Ausdruck repräsentiert man durch den Impulsraum-Graphen:
k 1
k 4
k 2 k 3
Das führt uns zu Feynman-Regeln für zusammenhängende Graphen im Impulsraum:
= i ˜∆ F (k) =
i
k 2 − m 2 + iǫ
= −ig

5.3 Störungstheorie 153
∫
Über jeden inneren Impuls wird integriert mit
d 4 k
(2π) 4.
Für jeden Vertex gibt es einen Faktor (2π) 4 δ (4) ( ∑ k), der die Impulserhaltung
darstellt. Die so berechneten Diagramme liefern die Beiträge zu
(2π) 4 δ (4) ( ∑ p i )
˜G
(n)
c (p 1 , . . . , p n ). (5.157)
Die Rechnung kann vereinfacht werden, indem man die Impuls-erhaltenden δ-
Funktionen dadurch berücksichtigt, dass nur über die unabhängigen Schleifen-
(n)
Impulse integriert wird. Dies liefert direkt die Beiträge zu ˜G c (p 1 , . . . , p n ).
Beispiel 1:
k
˜G (2) (p, −p) = + 1 2
+ . . .
= i ˜∆ F (p) + 1 2 (−ig) ( i ˜∆ F (p) ) 2 ∫ d 4 k i
(2π) 4 k 2 − m 2 + iǫ + . . .
Übung: Leite diesen Ausdruck her, ausgehend vom Graphen im Ortsraum,
Gleichung (5.145).
Beispiel 2:
soll die Reduktion der Impulsintegrationen auf die Schleifen-Impulse illustrieren.
Ein Beitrag zu (2π) 4 (4)
δ(p 1 +p 2 +p 3 +p 4 ) ˜G c (p 1 , . . . , . p 4 ) wird dargestellt
durch den Graphen
(2π) 4 δ(p 1 + p 2 + p 3 + p 4 ) ·
= (−ig) 2 i ˜∆ F (p 1 )i ˜∆ F (p 2 )i ˜∆ F (p 3 )i ˜∆ F (p 4 )
∫ d 4 ∫
k 1 d 4 k 2 i i
(2π) 4 (2π) 4 k1 2 − m 2 + iǫ k2 2 − m 2 + iǫ
(2π) 4 δ(p 1 + p 2 − k 1 − k 2 )(2π) 4 δ(p 3 + p 4 + k 1 + k 2 )
= (2π) 4 δ(p 1 + p 2 + p 3 + p 4 ) g 2 ∏ (p 2 j − m 2 ) −1
∫ d 4 k 1 1
1
(2π) 4 k1 2 − m 2 + iǫ (k 1 + p 3 + p 4 ) 2 − m 2 + iǫ .
Dies ergibt den Beitrag
˜G (4)
c (p 1 , . . . p 4 ) = . . . + 1 ∏ 2 g2 (p 2 j − m 2 ) −1
∫
d 4 k
(2π) 4 1
k 2 − m 2 + iǫ
k 1
k 2
1
(k + p 3 + p 4 ) 2 − m 2 + iǫ .

154 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Bei der Berechnung von S-Matrix-Elementen werden durch die Reduktionsformeln
noch die äußeren Faktoren entfernt.
Divergenzen
Betrachten wir den Term
k
∝
∫
d 4 k 1
(2π) 4 k 2 − m 2 + iǫ . (5.158)
Das Integral über den vierdimensionalen Raum divergiert für k → ∞ wegen
d 4 k ∼ d 3 |k| d(Winkelanteil). (5.159)
Schneidet man die k-Integration bei einer Grenze, dem sogenannten „Cutoff“
Λ ab, so divergiert das Integral für große Λ quadratisch,
∫ Λ
d 4 k i
(2π) 4 k 2 − m 2 + iǫ ∼ Λ2 , (5.160)
und im Limes Λ → ∞ erhalten wir einen unendlichen Beitrag.
Auch der im Unendlichen stärker abfallende Term zweiter Ordnung
k 1
k 2
∫
∝
d 4 k
(2π) 4 1
k 2 − m 2 + iǫ
1
(k + p 3 + p 4 ) 2 − m 2 + iǫ
divergiert noch logarithmisch ∝ ln(Λ) für große Λ.
Diese so genannten Ultraviolett(UV)-Divergenzen haben die Entwicklung der
QED lange behindert. Die Probleme werden gelöst durch
Renormierung.
Wir können das Verfahren der Renormierung hier nicht im Detail behandeln.
Lediglich die Grundideen sollen kurz angedeutet werden. Die wesentlichen
Schritte sind dabei:
a) Regularisierung.
Durch Abänderung der Integrale werden sie vorübergehend endlich gemacht.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten der Regularisierung:
– Einführung eines Cutoffs Λ
– Pauli-Villars-Regularisierung
– Einführung eines Gitters

5.3 Störungstheorie 155
– Dimensionelle Regularisierung. Hierbei wird die Integration ersetzt
gemäß
∫ ∫
d 4 k −→ d D k mit D = 4 − ǫ.
Das Ergebnis ist eine analytische Funktion in D mit einem Pol bei
D = 4.
b) Eigentliche Renormierung.
Man unterscheidet die Masse m 0 , die Kopplungskonstante g 0 und das
Feld ϕ 0 (x), die in der Wirkung S stehen, von der renormierten Masse
m R , der renormierten Kopplungskonstanten g R und dem renormierten
Feld ϕ R (x). Die renormierten Parameter sollen physikalische Größen
sein, die messbar sind, während die „nackten“ Größen m 0 , g 0 und ϕ 0 (x)
lediglich Parameter in der ursprünglichen Wirkung sind. Die renormierten
Größen sind Funktionen der nackten Größen und des Cuttoffs:
und es gilt
m R = m R (g 0 , m 0 , Λ), g R = g R (g 0 , m 0 , Λ), (5.161)
ϕ R (x) = Z −1/2
3 ϕ 0 (x) mit einem Faktor Z −1/2
3 (g 0 , m 0 , Λ). (5.162)
Es wird nun der Grenzwert
Λ −→ ∞ (5.163)
so gebildet, dass die physikalischen Größen m R , g R festgehalten werden,
während die nackten Größen m 0 und g 0 divergieren.
Illustration des Verfahrens an G (2)
k
˜G (2)
c (p) = + 1 + . . .
2
= i ˜∆ F (p) − 1 ( ˜∆ F (p) ) 2
g0 I(m 0 , Λ) + . . .
2
= i ˜∆
{
F (p) 1 + 1 2 i ˜∆
}
F (p)g 0 I(m 0 , Λ) + . . .
( ˜G (2)
c (p) ) −1
= −i(p 2 − m 2 0)
= −i
{
1 − i }
˜∆ F (p)g 0 I(m 0 , Λ) + . . .
2
}
{
p 2 − m 2 0 − i 2 g 0I(m 0 , Λ) + . . .
(5.164)
(5.165)
=: −i(p 2 − m 2 R).

156 5 WECHSELWIRKENDE FELDER
Hier wurde die renormierte Masse eingeführt, welche in dieser Ordnung der
Störungstheorie durch
m 2 R = m 2 0 + i 2 g 0I(m 0 , Λ) (5.166)
gegeben ist. Im gleichen Maße, wie Λ anwächst, muss sich m 0 ändern, damit
die physikalische Masse m R endlich bleibt. Theorien, bei denen dieses Verfahren
endliche Ausdrücke für die Green’schen Funktionen des renormierten
Feldes liefert, heißen renormierbar. Dazu gehören die φ 4 -Theorie, die QED,
die QCD und die Weinberg-Salam-Theorie der schwachen Wechselwirkung.
5.3.5 Feynman-Regeln für die QED
Zum Abschluss sollen noch kurz die Feynman-Regeln für die Quantenelektrodynamik
genannt werden. Wir betrachten ein kovariantes Quantisierungsverfahren
(Gupta-Bleuler). Eine kovariante Eichfixierung für die Potenziale des
Maxwellfeldes kann durch den zusätzlichen Eichfixierungsterm (gauge fixing
term)
L gf = − 1 2ξ (∂ µA µ ) 2 (5.167)
in der Lagrangefunktion realisiert werden. Damit wird die Lagrangefunktion
der QED
L = ( ψ(iγ µ ∂ µ − m)ψ ) − 1 4 F µνF µν − 1 2ξ (∂ µA µ ) 2 − e(ψγ µ ψ)A µ . (5.168)
Die ersten drei Terme sind quadratisch in den Feldern und bestimmen die
freien Propagatoren. Der Propagator für das Dirac-Feld war
iS F,αβ (x − y) =, (5.169)
wobei α, β die Dirac-Indizes sind. Im Impulsraum lautet der Propagator nach
Gleichung (4.221)
˜S F (k) =
γµ k µ + m
k 2 − m 2 + iǫ . (5.170)
Den Photon-Propagator in der kovarianten Eichung haben wir noch nicht
eingeführt. Aus der obigen Lagrangefunktion folgt er rasch zu
iD F,µν (k) =
−i (
g
k 2 µν − (1 − ξ) k )
µk ν
. (5.171)
+ iǫ
k 2
Zwei häufig verwandte Wahlen für den Parameter ξ sind

5.3 Störungstheorie 157
1. die Landau Eichung: ξ = 0, der Propagator ist transversal,
2. die Feynman Eichung: ξ = 1, der Propagator ist einfach.
Feynman Regeln für die QED im Impulsraum
α
β
= i ˜S F,αβ
µ ν = i˜D F,µν (k)
µ
Vertex
= −ieγ µ
Zusätzlich gilt noch die Regel: für jede geschlossene Fermion-Schleife ist ein
Faktor (−1) anzubringen. Ein solcher Graph ist zum Beispiel
Faktor (-1)
Bei der Berechnung von S-Matrix-Elementen sind weiterhin Faktoren für die
äußeren Linien anzubringen:
u s (p) :
¯v s (p) :
ū s (p) :
v s (p) :
ǫ µ (p) :
ǫ ∗ µ (p) :
Elektron, einlaufend
Positron, einlaufend
Elektron, auslaufend
Positron, auslaufend
Photon, einlaufend
Photon, auslaufend