Approximation von Funktionen

Ab P 2 sind die Legendre-Polynome also rekursiv definiert. Für k ≠ l erfüllen diese Polynome
nun gerade die gewünschte Eigenschaft
(P k ,P l ) [−1,1] =
∫ 1
−1
P k (x)P l (x) dx = 0.
Für k = l, also für Skalarprodukte der Form (P k ,P k ) [−1,1] , gilt
(P k ,P k ) [−1,1] =
∫ 1
−1
(P k (x)) 2 dx = 2
2k +1 .
Diese Werte stehen letztlich auf der Hauptdiagonalen der Matrix A. Zu berechnen sind dann
lediglich noch die Skalarprodukte (P k ,f) [−1,1] für die rechte Seite des Normalgleichungssystems.
Mehr Aufwand hat man bei Verwendung der Legendre-Polynome praktisch nicht.
Nun sind die Legendre-Polynome nur auf dem Intervall [−1,1] orthogonal zueinander. Im Allgemeinen
ist [a,b] aber ein anderes Intervall. Dann verwendet man nicht die Legendre-Polynome
selbst, sondern verallgemeinerte Legendre-Polynome, die wir mit Q 0 ,Q 1 ,Q 2 ,... bezeichnen.
Definiert sind sie durch die Vorschrift
Q k (x) = P k
( 2x−b−a
b−a
Das heißt, die verallgemeinerten Legendre-Polynomen erhält man aus den ursprünglichen Legendre-
Polynomen, indem man anstelle von x den Ausdruck 2x−b−a als Argument einsetzt. Wir wollen
b−a
nachweisen, dass die auf diese Weise definierten Polynome Q k wirklich paarweise orthogonal
im Funktionenraum L 2 [a,b] sind. Dazu berechnen wir für zwei beliebige Polynome Q k ,Q l das
Skalarprodukt (Q k ,Q l ) [a,b] :
∫ b ∫ b
( ) ( )
2x−b−a 2x−b−a
(Q k ,Q l ) [a,b] = Q k (x)Q l (x) dx = P k ·P l dx.
b−a b−a
Wir substituieren:
a
z = 2x−b−a ⇒ dz
b−a dx = 2 b−a
⇒ dx =
b−a 2 dz.
Auch die Integrationsgrenzen substituieren wir mit. Als neue Grenzen ergeben sich
z(a) = 2a−b−a
b−a
−1
a
)
.
= −1 und z(b) = 2b−b−a
b−a
Das alles in das ursprüngliche Integral eingesetzt liefert:
(Q k ,Q l ) [a,b] = b−a ∫ 1
{
· P k (z)·P l (z) dz =
2
= 1.
0 , falls k ≠ l,
b−a
2k+1
, falls k = l.
Dabei wurde benutzt, was wir über die Legendre-Polynome P k im Intervall [−1,1] wissen. Die
Polynome Q k sind also tatsächlich paarweise orthogonal zueinander bzgl. des Skalarprodukts
im Raum L 2 [a,b]. Wir haben außerdem gleich die Ausdrücke (Q k ,Q k ) [a,b] mit berechnet, sodass
wir auch wissen, welche Werte anschließend auf der Hauptdiagonalen von A im Normalgleichungssystem
stehen.
Wir wollen nun noch einmal die Schritte zusammentragen, die durchzuführen sind, wenn folgende
Aufgabenstellung vorliegt: Eine gegebene Funktion f(x) ist auf dem Intervall [a,b] durch
ein Polynom n-ten Grades zu approximieren. Dabei sind orthogonale Ansatzpolynome zu verwenden.
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