1.6.3 Schaltvorgänge an einer Kapazität

Institut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik I Version 3.0, 02/2002 

1 Gleichstromkreise 

1.1 Kirchhoff’sche Gesetze 

Laborunterlagen 

Die Berechnung von verzweigten Stromkreisen erfolgt im einfachsten Fall durch Anwendung 

der beiden Kirchhoff’schen Gesetze. Für die Erläuterung der beiden Gesetze betrachten wir 

folgendes beispielhafte Schaltbild. 

U B 

U 1 

R 1 

U 2 

Abb. 1.1 

I 1 

Seite 1.1 (von 22) 

(1) 

I 2 I 3 I 4 

R 2 R 3 R 4 

1.1.1 1. Kirchhoff´sches Gesetz (Knotenregel) 

∑ I 0 

(1.1) 

i = 

Die Summe aller an einem Stromverzweigungspunkt („Knotenpunkt“) zufließenden 

und aller wegfließenden Ströme ist gleich Null. 

Hierbei werden zur Festlegung einer Bezugsrichtung die zufließenden Ströme mit positivem 

Vorzeichen („+“), und die wegfließenden Ströme mit negativem Vorzeichen 

(“-“) eingesetzt. 

Für den in Abb. 1.1 dargestellten Knoten (1) gilt folgende Gleichung:


I1 2 3 4 


− I − I − I = 0 

(1.2) 

1.1.2 2. Kirchhoff´sches Gesetz (Maschenregel) 

Für dieses Gesetz werden die Maschen eines elektrischen Netzwerkes betrachtet, womit ein 

beliebiger, über die Zweige des Netzwerkes geschlossener Weg bezeichnet wird. 

∑ U 0 

(1.3) 

i = 

Die Summe aller in einer Masche wirkenden Spannungen ist gleich Null. 

Vorgehen bei der Festlegung einer Zählpfeilrichtung: 

1. Alle Spannungsquellen der betreffenden Masche erhalten einen vom positiven Anschluss 

(+) zum negativen Anschluss (-) weisenden Spannungszählpfeil. 

2. Die Ströme in den einzelnen Zweigen der Masche erhalten willkürlich gewählte Zählpfeile. 

3. Alle passiven Verbraucher erhalten Spannungszählpfeile in der selben Richtung wie der 

durch den betreffenden Verbraucher fließende Strom („Verbraucher-Zählpfeilsystem“). 

4. Es wird ein beliebiger Umlaufsinn als positive Umlaufrichtung festgelegt. 

5. Gemäß obiger Maschenregel wird nun die Summe aller Spannungen dieser Masche 

gebildet, wobei alle Spannungen in Richtung der gewählten Umlaufrichtung positiv, und 

alle entgegengesetzt gerichteten Spannungen negativ einzusetzen sind. 

Für die in Abb. 1.1 strichliert eingezeichnete Masche gilt folgende Gleichung: 

− + U + U = 0 

(1.4) 

UB 2 1 

Wenn sich aufgrund der rechnerischen Auswertung der Kirchhoff´schen Gesetze eines 

Netzwerkes negative Werte für Ströme oder Spannungen ergeben, bedeutet dies nicht 

zwangsläufig einen Rechenfehler, sondern lediglich, dass die betreffende Zählpfeilrichtung 

eben in „falscher“ Richtung angenommen wurde, und daher die tatsächliche Richtung 

entgegen der angenommenen ist. 

1.2 Ohm’sches Gesetz 

U 

I = (1.5) 

R 

Der durch einen Verbraucherwiderstand R fließende Strom I ist umso größer, je 

größer die treibende Spannung U und je kleiner der - den Stromfluss bremsende - 

Widerstand R eines Verbrauchers ist. 

Seite 1.2 (von 22)



1.3 Serienschaltung von Widerständen 

U B 

I 

R 1 R 2 R 3 

U 1 U 2 U 3 

Abb. 1.2 

Ausgehend von Gleichung (1.3) folgt als Maschengleichung für Abb.1.2: 

− + U + U + U = 0 

(1.6) 

UB 2 1 3 

UB 1 

2 

3 

= ( I ⋅R 

) + ( I ⋅R 

) + ( I⋅ 

R ) 

(1.7) 

Mit UB I ⋅R 

Ges 

= folgt: ⋅ R = ( I ⋅R 

) + ( I ⋅R 

) + ( I ⋅R 

) 

I Ges 1 

2 

3 

Die Division durch I liefert den Gesamtwiderstand der Serienschaltung: 

R = R + R + R 

(1.8) 

Ges 

1 

2 

Spannungsteiler - Regel 

3 

Es ist offensichtlich, dass bei einer Serienschaltung von Elementen durch jedes Element 

derselbe Strom I fließt. 

I = I = I = I 

(1.9) 

R1 

R2 

R3 

Daraus folgt unmittelbar die Aufteilung der Gesamtspannung gemäß folgender 

„Spannungsteiler-Regel“: 

Seite 1.3 (von 22)


U 

R 

B 

ges 

U 

3 


1 2 3 

= = = 

(1.10) 

R 

1 

U 

R 

2 

U 

R 

„Gesamtspannung durch Gesamtwiderstand ist gleich der Teilspannung durch den 

Teilwiderstand“. 

Daraus erhält man z.B. für die Teilspannung U 2 : 

R 

= U 

(1.11) 

2 

U2 ⋅ 

RGes 

B 

• Unbelasteter Spannungsteiler: 

Die Abb. 1.3 zeigt nochmals das Schaltbild eines unbelasteten Spannungsteilers und die 

zugehörige Formel zur Berechnung der Ausgangsspannung U2 des Spannungsteilers (z.B. 

die Teilspannung am Widerstand R2). 

2 

2 

U2 ⋅UB 

= ⋅ 

Rges 

R1 

+ R2 

B 

U 1 

R 1 

R 2 

Abb. 1.3 

R 

R 

= U 

(1.12) 

• Belasteter Spannungsteiler: 

In Abb. 1.4 ist an den Anschlüssen der Ausgangsspannung U2 eine Last (in diesem Beispiel 

ein Ohm’scher Widerstand R3) angeschlossen. Nun gilt nicht mehr die oben angeführte, 

einfache Formel des unbelasteten Spannungsteilers, vielmehr muss auch der 

Ausgangsstrom I2 durch den Widerstand R3 berücksichtigt werden. 

In dem in Abb. 1.4 gezeigten Beispiel ist folglich für die Teilspannung U2 der Teilwiderstand 

R23 bestehend aus der Parallelschaltung von R2 und R3 zu berücksichtigen, wodurch sich die 

Gleichung (1.13) ergibt. 


U 2


U 1 

R 1 


R 2 

Abb. 1.4 

23 

23 

2 3 

U2 ⋅UB 

= ⋅UB 

= 

⋅ 

Rges 

R 

R 

23 + R1 

2 ⋅R 

3 

+ R1 

R2 

+ R3 

R 

2 

⋅R 

3 

R 

R 

R + R 

= U 

(1.13) 

B 


I 2 

U 2 

1.4 Parallelschaltung von Widerständen 

U B 

I ges I1 I 2 I 3 

U1 U2 U3 R1 R2 R3 U B 

R 3 

Abb. 1.5 Abb. 1.6 

I ges I1 I 2 I 3 

U1 U2 U3 R1 R2 R3 Die Schaltung in Abb. 1.6 ist identisch zur Schaltung in Abb. 1.5, lediglich mit einer 

veränderten Zeichnungsweise für die Knoten, um die später angeführte Knoten-gleichung 

klar zu erkennen. 

Ausgangspunkt sind die drei Maschengleichungen: 

UB - U1 = 0 � UB = U1 (1.14) 

UB - U2 = 0 � UB = U2 (1.15) 

UB - U3 = 0 � UB = U3 (1.16)


Mit dem Ohmschen Gesetz folgt: 

U = I ⋅R 

1 

2 

1 

2 

1 

U = I ⋅R 

U = I ⋅R 

3 

B 

3 

Ges 

2 

3 

U = I ⋅R 

Ges 

Durch Einsetzen in die Knotengleichung 

Ges 

1 

2 

3 


U 

I = (1.17) 

B 

1 

R1 

U 

I = (1.18) 

B 

2 

R 2 

U 

I = (1.19) 

B 

3 

R3 

U 

I = (1.20) 

B 

Ges 

RGes 

I = I + I + I 

(1.21) 

folgt: 

R 

U 

B 

Ges 

U 

B B B 

= + + 

(1.22) 

R 

1 

U 

R 

2 

U 

R 

3 

� Gesamtwiderstand der Parallelschaltung: 

R 

Ges 

1 

2 

3 

1 

R 

Ges 

1 

= 

1 1 1 

(1.23) 

+ + 

R R R 

Vereinfachung für zwei parallele Widerstände: 

R 

R 

⋅R 

1 2 

Ges = (1.24) 

R1 

+ R 2 

Daraus ergibt sich bei Parallelschaltung von Widerständen ein Gesamtwiderstand 

RGes, welcher kleiner ist als der kleinste der parallel geschaltenen Einzelwiderstände. 

Beispiel: Parallelschaltung von zwei gleichen Widerständen (R1 = R2 = R) 

R 

RGes = 

2 

= 

1 

R 


1 

+ 

1 

R 

2 

+ 

1 

R 

3


Stromteiler - Regel 


Aus Abb. 1.5 ist ersichtlich, dass bei einer Parallelschaltung von Elementen an jedem 

Element dieselbe Spannung U anliegt. 

U = U = U = U 

(1.25) 

B 

R1 

R2 

R3 

Daraus folgt unmittelbar die Aufteilung des Gesamtstromes gemäß folgender „Stromteiler- 

Regel“: 

I ⋅ R = I ⋅R 

= I ⋅R 

= I ⋅R 

(1.26) 

Ges 

Ges 

1 

1 

2 

2 

3 

3 

„Gesamtstrom mal Gesamtwiderstand ist gleich dem Teilstrom mal Teilwiderstand“. 

Daraus erhält man z.B. für den Teilstrom I2: 

R ges 

I2 = ⋅Iges 

(1.27) 

R 

2 

Rechnung mit Leitwerten 

Der Leitwert G eines ohmschen Elements ist der Kehrwert des Widerstandes R: 

1 I 

G = 

R U 

= ... Einheit: Siemens [S] = [Ω -1 ] (1.28) 

Je kleiner der Widerstand ist, desto größer ist dessen Leitwert, bzw. Strom-Leitfähigkeit und 

der Strom durch diesen Widerstand (bei gegebener Spannung). 

� Gesamtleitwert der Parallelschaltung: 

1 

GGes 

= G1 

+ G2 

+ G3 

= 

(1.29) 

R 

Ges 

Bei Parallelschaltung von Widerständen addieren sich die Leitwerte. 

Seite 1.7 (von 22)


1.5 Spannungsquellen 


Eine ideale Spannungsquelle stellt eine konstante, vom fließenden Laststrom unabhängige 

Spannung Uq zur Verfügung. 

U q 

R i 

U Ri 

Abb. 1.8 

Jede reale Spannungsquelle (z.B. Batterie) weist jedoch durch ihren nicht idealen inneren 

Aufbau einen Innenwiderstand Ri auf, welcher als Serienwiderstand dargestellt wird (siehe 

Abb. 1.8). Die von der Spannungsquelle an ihren Anschlüssen („Klemmen“) dem 

Lastwiderstand RL (z.B. Glühbirne) zur Verfügung gestellte „Klemmenspannung“ Ukl ist also 

um den Spannungsabfall URi, welcher durch den Strom I an Ri hervorgerufen wird, kleiner 

als die nominelle „Quellenspannung“ Uq der Spannungsquelle. 

U = U − U 

(1.30) 

kl 

q 

Ri 

Die Größe dieser - die abgegebene Klemmenspannung Ukl vermindernden - Spannung URi 

ist über das ohmsche Gesetz 

URi = I⋅ 

R 

(1.31) 

i 

direkt proportional zum fließenden Laststrom I. 

U = U − I ⋅ R 

(1.32) 

kl 

q 

i 

Je größer der vom Verbraucher RL aufgenommene Strom I ist, desto kleiner wird die von der 

Spannungsquelle abgegebene Klemmenspannung Ukl an ihren äußeren Klemmen k und l 

(„die Spannung geht bei Belastung in die Knie“). 

k 


l 

U kl 

I 

R L


1.6 Schaltvorgänge 

1.6.1 Allgemeines 


Schaltvorgänge sind Einschwingvorgänge beim Ein- oder Ausschalten von Verbrauchern an 

einer Gleichspannungsquelle. Es muss hier mit - zeitabhängigen - Differenzialgleichungen 

gerechnet werden, da die komplexe Wechselstromrechnung nur für sinusförmige Vorgänge 

angewendet werden kann (siehe Kap. 2.1). 

Die Anzahl der unabhängigen Speicherelemente (L, C) in der Schaltung entspricht der 

Ordnung der entstehenden Differenzialgleichung - in unseren Fällen handelt es sich um ein 

Element (L oder C), so dass sich Differenzialgleichungen 1. Ordnung ergeben. 

Regeln für das Aufstellen der Differenzialgleichungen 

Bei Schaltvorgängen an Induktivitäten wird die Differenzialgleichung für den Strom i(t) durch 

die Schaltung aufgestellt, da bei Induktivitäten der Strom i(t) keine Unstetigkeiten aufweist 

(siehe Abb. 1.12 zum Umschaltzeitpunkt t1). Dadurch ergeben sich definierte 

Randbedingungen (Anfangs- und Endbedingungen) zur Lösung der Differenzialgleichung 

(siehe Kap. 1.6.2). 

Bei Schaltvorgängen an Kapazitäten wird die Differenzialgleichung für die Spannung uC(t) an 

der Kapazität aufgestellt, da bei Kapazitäten die Spannung uC(t) keine Unstetigkeiten 

aufweist (siehe Abb. 1.16 zum Umschaltzeitpunkt t1). Dadurch ergeben sich definierte 

Randbedingungen (Anfangs- und Endbedingungen) zur Lösung der Differenzialgleichung 

(siehe Kap.). 

Die nachfolgend beschriebenen Schaltvorgänge stellen den allgemeinen Fall von 

unterschiedlichen Widerständen (R1, R2) und somit unterschiedlichen Zeitkonstanten (τ1, τ2) 

im Lade- und im Entladekreis dar. 

Vorbemerkungen: 

Der Zählpfeil für i(t) wurde für das Laden (siehe Abb. 1.10, bzw. Abb. 1.14) und für das 

Entladen (siehe Abb. 1.11, bzw. Abb. 1.15) jeweils in der selben Richtung durch L, bzw. C 

gewählt, so dass ein unmittelbarer Vergleich der Stromrichtung durch L, bzw. C vor und 

nach dem Umschalten (Zeitpunkt t1) in der Darstellung des zeitlichen Verlaufs von i(t), bzw. 

uC(t) in der Übersicht der Abb. 1.12 und Abb. 1.16 möglich ist. 

Der Zählpfeil für uR2(t) im Entladekreis von L, bzw. C (siehe Abb. 1.11 und Abb.1.15) wurde 

so gewählt, dass er in die selbe Richtung wie der durch R2 fließende Strom i(t) während des 

Entladens zeigt (übliches Zählpfeilsystem für Verbraucher: gleiche Richtung von 

Spannungszählpfeil und Stromzählpfeil). 

Seite 1.9 (von 22)



1.6.2 Schaltvorgänge an einer Induktivität („Spule“) 

+ 

U E 

_ 

R 1 

u R1 (t) 

+ 

U E 

_ 

i(t) 

u L (t) 

R 1 0 

1 

u R1 (t) 

L 

S 

L 

i(t) 

Abb. 1.9 

2 


u L (t) 

L 

i(t) 

R 2 

u R2 (t) 

u L (t) 

Abb. 1.10 Abb. 1.11 

R 2 

u R2 (t) 

In Abb. 1.9 ist der komplette Schaltkreis für das Laden und Entladen der Induktivität L 

gezeigt. 

Der Schalter S wird zu Beginn des Ladens (Zeitpunkt t0) von der Ausgangsposition „0“ in 

Position „1“ bewegt, wodurch sich der in Abb. 1.10 dargestellte Schaltkreis ergibt. 

Bei Beginn des Entladens (Zeitpunkt t1) wird der Schalter S von Position „1“ unmittelbar in 

Position „2“ bewegt, womit sich der Stromkreis gemäß Abb. 1.11 ergibt. 

Einschalten einer Induktivität (Aufladen) 

• Die Maschengleichung lautet: 

u 

L 

( t) 

+ u ( t) 

= U 

(1.33) 

R 

1 

E



mit dem Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an der Induktivität 

uL ( t) 

di( 

t) 

= L ⋅ 

(1.34) 

dt 

und am Ohm’schen Widerstand 

uR1 1 

( t) 

= R ⋅i( 

t) 

(1.35) 

• Daraus ergibt sich für i(t) eine inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung: 

di( 

t) 

L ⋅ + R1 

⋅ i( 

t) 

= UE 

(1.36) 

dt 

mit der Randbedingung: 

U∞ 

UE 

i ( t = ∞) 

= I∞ 

= = 

(1.37) 

R R 

1 

1 

• Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ergibt: 

t ⎛ − U ⎞ 

E ⎜ τ1 

i ( t) 

= ⋅ 1− 

e 

⎟ 

R ⎜ ⎟ 

(1.38) 

1 ⎝ ⎠ 

wobei die Zeitkonstante mit 

L 

τ := 

(1.39) 

1 

R1 

errechnet wird. 

• Bestimmung der Spannung uL(t) an der Induktivität 

u 

L 

u 

( t) 

L 

( t) 

di( 

t) 

U 

= L ⋅ = L ⋅ 

dt R 

U 

t 

− 

τ 

E 

1 

⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ 

⋅ ⎜− 

⎟ ⋅ e 

⎜ ⎜ 

⎜− 

⎟ 

⎟ 

⎝ ⎝ τ1 

⎠⎠ 

t 

− 

τ 

1 

U 

= L ⋅ 

R 


E 

1 

R1 

⋅ ⋅ e 

L 

1 = ⋅ 

(1.40) 

E 

e 

• Bestimmung der Spannung uR1(t) am Widerstand R1: 

t 

− 

τ 

1



t ⎛ − ⎞ 

⎜ τ1 

u = ⋅ = ⋅ − 

⎟ 

R ( t) 

R 

1 1 i( 

t) 

UE 

1 e 

⎜ ⎟ 

(1.41) 

⎝ ⎠ 

u ( t) 

+ u ( t) 

= U , bzw. ( t) 

= U − u ( t) 

Probe: L R 

E 

1 

u E L 

R 1 

... die Summe der Spannungen uR1(t) und uL(t) ergibt UE (konstant). 

Ausschalten einer Induktivität (Entladen) 


u 

L 

( t) 

u 

R 

2 

( t) 

= 0 

+ (1.42) 

mit Gleichung (1.34) sowie 

uR2 2 

( t) 

= R ⋅ i( 

t) 

(1.43) 

• Daraus ergibt sich für i(t) eine homogene Differenzialgleichung 1. Ordnung: 

di( 

t) 

L ⋅ + R2 

⋅i( 

t) 

= 0 

(1.44) 

dt 

Randbedingung: 1 1 

i ( t = t ) = I aktueller Strom durch L beim Beginn des Entladens. 


) t ( i 

t 

1 e 

− 

τ 

2 I = ⋅ 

(1.45) 

wobei die Zeitkonstante 

L 

τ := 

(1.46) 

2 

R2 

beträgt. 

• Bestimmung der Spannung uL(t) an der Induktivität: 

u 

u 

L 

L 

( t) 

( t) 

t 

− 

τ 

di( 

t) 

⎛ 1 ⎞ 

= L ⋅ = L ⋅I1 

⋅ ⋅ e 

dt ⎜ 

⎜− 

⎟ 

⎝ τ2 

⎠ 

t 

− 

τ 

t 

− 

τ 

2 

R2 

= −L 

⋅I1 

⋅ ⋅ e 

L 

2 

2 

= − I ⋅R 

⋅ e = U ⋅ e 

(1.47) 

1 

2 

1, 

n 

t 

− 

τ 


2


(Index: U1,n ... U1 unmittelbar nach dem Umschalten) 



u 

R 

2 

( t) 

Probe: 

t 

− 

τ 

2 

= R ⋅i( 

t) 

= I ⋅R 

⋅ e 

(1.48) 

u 

L 

2 

( t) 

1 

2 

+ u ( t) 

= 0 , bzw. ( t) 

= −u 

( t) 

R 

2 

u L 

... die Summe der Spannungen uR2(t) und uL(t) ergibt Null. 

U E 

U 1,v 

U 1,n = 

U E /R 1 

I 1 

τ 1 

R 2 

u L (t), u R1 (t), u R2 (t) 

Einschalten Ausschalten 

= - (I 1 x R 2 ) 

i(t) 

τ 1 

u R1 (t) u R2 (t) 

t 1 

Abb. 1.12 

t 1 

τ 2 


τ 2 

u L (t) 

i(t) 

t 

t



Prinzipiell sei darauf hingewiesen, dass auf Grund unterschiedlicher Widerstände im 

Ladekreis (R1) und im Entladekreis (R2) die Lade-Zeitkonstante (τ1) im allgemeinen Fall 

ungleich zu jener während des Entladens (τ2) ist. 

Verlauf von uL(t): 

Bei Induktivitäten zeigt der Verlauf von uL(t) beim Umschalten vom Aufladen zum Entladen 

(= Zeitpunkt t1) eine Unstetigkeit. Die Spannung springt von dem unmittelbar vor dem 

Umschalten vorhandenen Wert U1,v auf den negativen Wert U1,n unmittelbar nach dem 

Umschalten. 

Indizes 1,v, bzw. 1,n bedeuten: U1 unmittelbar vor, bzw. nach dem Umschalten. 

Die Spannung uL(t) an der Induktivität startet also beim Beginn des Entladens von einem 

negativen Startwert U1,n , welcher durch den Wert des zum Umschaltzeitpunkt fließenden 

Stromes I1 und durch den im Entladekreis vorliegenden Widerstand R2 bestimmt wird (siehe 

Gleichung 1.47). 

Vorsicht beim Entladen mit offenem Entladekreis (R2 = ∞): 

Das Entladen von Induktivitäten muss über einen Widerstand R2 < ∞ erfolgen, der die 

Spannung uL(t) auf einen tolerierbaren Wert begrenzt. Beim Abschalten eines induktiven 

Verbrauchers mit offenen Klemmen ohne parallelem R2 (R2 = ∞) entsteht kurzzeitig eine 

unendlich hohe Spannung an der Induktivität ( uL ( t) 

= −I 

⋅ ∞ nach Gleichung (1.47)), welche 

als Überschlag sichtbar sein und zur Beschädigung des Verbrauchers und der Schaltorgane 

führen kann. 

Erkennbar ist dies z.B. im Haushalt beim Ausschalten induktiver Verbraucher (Heizlüfter, ...) 

durch kurzzeitige Funken am Schalter. 

Ebenso kann durch Spannungsmessung an induktiven Verbrauchern mit digitalen 

Messgeräten beim Ausschalten der induktiven Verbraucher ein Schaden des Messgerätes 

oder ein Auslösen der internen Sicherung durch die kurzzeitig hohe Ausschaltspannung 

verursacht werden. 

Verlauf von uR1(t), uR2(t): 

Die Spannung uR1(t) ist ja nur während des Ladens vorhanden, die Spannung uR2(t) nur 

während des Entladens. Es muss jeweils immer die Bedingung der Maschengleichung erfüllt 

sein, dass die Summe aus uL(t) und uR1(t) den konstanten Wert UE, bzw. die Summe aus 

uL(t) und uR2(t) den Wert Null ergibt. 

Verlauf von i(t): 

Der Strom i(t) verläuft während des gesamten Umschaltvorganges stetig ohne Sprungstelle. 

Darin zeigt sich die Begründung für die oben empfohlene Vorgangsweise, bei 

Schaltvorgängen an Induktivitäten die Differenzialgleichung für i(t) zu lösen. 

Seite 1.14 (von 22)



1.6.3 Schaltvorgänge an einer Kapazität („Kondensator“) 

+ 

U E 

_ 

R 1 

u R1 (t) 

+ 

U E 

_ 

R 1 0 

1 

u R1 (t) 

i(t) 

u C (t) 

C 

S 

C 

i(t) 

Abb. 1.13 

2 

u C (t) 


C 

i(t) 

R 2 

u R2 (t) 

u C (t) 

Abb. 1.14 Abb. 1.15 

R 2 

u R2 (t) 

In Abb. 1.13 ist der komplette Schaltkreis für das Laden und Entladen der Induktivität L 

gezeigt. 

Der Schalter S wird zu Beginn des Ladens (Zeitpunkt t0) von der Ausgangsposition „0“ in 

Position „1“ bewegt, wodurch sich der in Abb. 1.14 dargestellte Schaltkreis ergibt. 

Bei Beginn des Entladens (Zeitpunkt t1) wird der Schalter S von Position „1“ unmittelbar in 

Position „2“ bewegt, womit sich der Stromkreis gemäß Abb. 1.15 ergibt. 

Einschalten einer Kapazität (Aufladen) 


u 

C 

( t) 

+ u ( t) 

= U 

(1.49) 

R1 

E 

mit dem Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an der Kapazität


i( 

t) 


duC 

( t) 

= C ⋅ 

(1.50) 

dt 

und am Ohm’schen Widerstand 

u 

R1 

( t) 

duC 

( t) 

= R1 

⋅ i( 

t) 

= R1 

⋅ C ⋅ 

(1.51) 

dt 

• Daraus ergibt sich für uC(t) eine inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung: 

du ( t) 

+ UE 

(1.52) 

dt 

C 

u C( 

t) 

R1 

⋅ C ⋅ = 

mit der Randbedingung: ( t = 0) 

= 0 

u C 

• Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ergibt 

t ⎛ − ⎞ 

⎜ τ1 

u = ⋅ − 

⎟ 

C( 

t) 

UE 

1 e 

⎜ ⎟ 

(1.53) 

⎝ ⎠ 

wobei die Zeitkonstante mit 

τ = R ⋅ C 

(1.54) 

1 : 1 

• Bestimmung des Stromes i(t): 

i( 

t) 

i( 

t) 

duC 

( t) 

= C ⋅ = C ⋅ U 

dt 

t 

− 

E τ1 

⋅ e 

1 

E 

⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ 

⋅ ⎜ ⎟ 

⎜ 

− 

⎜ 

⎜− 

⎟ 

⎟ 

⋅ e 

⎝ ⎝ τ1 

⎠⎠ 

t 

− 

τ 


1 

= C ⋅ U 

E 

⎛ 1 ⎞ 

⋅ 

⎜ ⋅ e 

R1 

C ⎟ 

⎝ ⋅ ⎠ 

U 

= (1.55) 

R 


u 

R 

1 

( t) 

t 

− 

τ 

1 

= R ⋅i( 

t) 

= U ⋅ e 

(1.56) 

1 

Probe: C R1 

E 

E 

u ( t) 

+ u ( t) 

= U , bzw. ( t) 

= U − u ( t) 

uR1 E C 

... die Summe der Spannungen uR1(t) und uC(t) ergibt UE (konstant). 

t 

− 

τ 

1



Ausschalten einer Kapazität (Entladen) 


uC R2 

( t) 

+ u ( t) 

= 0 

(1.57) 

mit Gleichung (1.50) und 

u 

R 2 

( t) 

duC 

( t) 

= R2 

⋅ i( 

t) 

= R 2 ⋅ C ⋅ 

(1.58) 

dt 

• Daraus ergibt sich für uC(t) eine homogene Differenzialgleichung 1. Ordnung: 

u 

C 

( t) 

duC 

( t) 

+ R 2 ⋅ C ⋅ = 0 

(1.59) 

dt 

Randbedingung.: C 1 1 

u ( t = t ) = U aktuelle Spannung an C bei Beginn des Entladens 


u 

C 

( t) 

t 

− 

τ 

2 = U ⋅ e 

(1.60) 

1 

wobei die Zeitkonstante 

τ = C ⋅ R 

(1.61) 

2 

beträgt. 

2 

• Bestimmung des Stromes i(t): 

i( 

t) 

i( 

t) 

duC 

( t) 

⎛ 1 ⎞ 

= C ⋅ = C ⋅U1 

⋅ ⋅ e 

dt 

⎜ 

⎜− 

⎟ 

⎝ τ2 

⎠ 

t 

− 

τ 

2 

= C ⋅U 

1 

⎛ 1 ⎞ 

⋅ 

⎜ 

⎜− 

⋅ e 

R 2 C ⎟ 

⎝ × ⎠ 

t 

t 

U − 

− 

1 τ2 

τ2 

= − ⋅ e = I1, 

n ⋅ e 

(1.62) 

R 2 

(Index: I1,n ... I1 unmittelbar nach dem Umschalten) 


u 

R 

2 

( t) 

R 

t 

− 

τ 

2 

= ⋅ = − ⋅ 

(1.63) 

2 

i( 

t) 

U 

0, 

1 

Probe: ( t) 

+ u ( t) 

= 0 ( t) 

= −u 

( t) 

u C 

R 2 

e 

u C 

R 2 

... die Summe der Spannungen uR2(t) und uC(t) ergibt Null. 


t 

− 

τ 

2


U E 

U 1 

U E /R 1 = 

I 1,v 

I 1,n = 

u C (t), u R1 (t), u R2 (t) 

i(t) 

=I 0 

τ 1 


Einschalten Ausschalten 

τ 1 

= - U 1 /R 2 

i(t) 

u R1 (t) 

t 1 

Abb. 1.16 

τ 2 

t 1 

τ 2 


u R2 (t) 

u C (t) 

Prinzipiell sei darauf hingewiesen, dass aufgrund unterschiedlicher Widerstände im 

Ladekreis (R1) und im Entladekreis (R2) die Lade-Zeitkonstante (τ1) im allgemeinen Fall 

ungleich zu jener während des Entladens (τ2) ist. 

t 

t


Verlauf von i(t): 


Bei Kapazitäten zeigt der Verlauf von i(t) beim Umschalten vom Aufladen zum Entladen (= 

Zeitpunkt t1) eine Unstetigkeit. Der Strom springt von dem unmittelbar vor dem Umschalten 

vorhandenen Wert I1,v auf den negativen Wert I1,n unmittelbar nach dem Umschalten. 

Indizes 1,v, bzw. 1,n bedeuten: I1 unmittelbar vor, bzw. nach dem Umschalten. 

Der Strom i(t) im Entladekreis startet also beim Beginn des Entladens mit einem negativen 

Startwert I1,n , welcher durch den Wert der zum Umschaltzeitpunkt an der Kapazität 

anliegenden Spannung U1 und durch den im Entladekreis vorliegenden Widerstand R2 

bestimmt wird (siehe Gleichung 1.62). 

Vorsicht beim Entladen mit kurzgeschlossenem Entladekreis (R2 = 0): 

Das Entladen von Kapazitäten muss unbedingt über einen Widerstand R2 > 0 erfolgen, der 

den Strom i(t) auf einen tolerierbaren Wert begrenzt. Beim Entladen eines Kondensators 

über einen Kurzschluss (R2 =0) würde kurzzeitig ein unendlich hoher Strom im Entladekreis 

entstehen ( i(t)= -U1/0, siehe Gleichung (1.56)), welcher zu Beschädigungen führen kann. 

Vorsicht beim Berühren von kapazitiven Verbrauchern kurz nach dem Abschalten: 

Weiters erkennt man, dass das Absinken der Spannung uC(t) am Kondensator bei einer 

großen Zeitkonstante (abhängig von τ2 = C R2) entsprechend langsam - der e-Funktion 

folgend - abläuft. Es kann also durchaus der Fall sein, dass ein Kondensator, der z.B. auf 

eine Spannung von 230 V aufgeladen wurde, nach Abschalten der Versorgungsspannung 

noch für einige Zeit (τ2 - abhängig) eine gefährlich hohe Spannung aufweist. 

Nach Abschalten der Versorgungsspannung ist vor Berühren von Schaltungen, bzw. 

Verbrauchern mit kapazitiven Elementen eine entsprechende Entladezeit abzuwarten, bzw. 

ist eine Entlade-Einrichtung vorzusehen! 

Verlauf von uC(t): 

Die Spannung uC(t) verläuft während des gesamten Umschaltvorganges stetig ohne 

Sprungstellen. Darin zeigt sich die Begründung für die oben empfohlene Vorgangsweise, bei 

Schaltvorgängen an Kapazitäten die Differenzialgleichung für uC(t) zu lösen. 

Verlauf von uR1(t), uR2(t): 

Die Spannung uR1(t) ist ja nur während des Ladens vorhanden, die Spannung uR2(t) nur 

während des Entladens. Es muss jeweils immer die Bedingung der Maschengleichung erfüllt 

sein, dass die Summe aus uC(t) und uR1(t) den konstanten Wert UE, bzw. die Summe aus 

uC(t) und uR2(t) Null ergibt. 

Seite 1.19 (von 22)



1.6.4 Allgemeine Erklärungen 

Das Einschalten, bzw. das Ausschalten einer Gleichspannung entspricht unmittelbar nach 

dem Schaltbeginn einer sehr steilen, hochfrequenten (da rechteckförmigen) 

Spannungsänderung (f -> ∞). Diese Frequenz- Wirkung ist bei Überlegungen zum 

frequenzabhängigen Impedanzverhalten von L und C zu berücksichtigen. 

Induktivität L 

Die Impedanz einer Induktivität L ist proportional zur Frequenz f, 

siehe komplexe Impedanz (bei Sinus-Spannung) = j ⋅ ω ⋅ L = j ⋅ 2π 

⋅ f ⋅ L 

Dadurch wirkt L für den ersten - hochfrequenten - Schaltaugenblick als unendlich hohe 

Impedanz, womit kein Strom fließt und die gesamte Spannung UE an L abfällt. 

i(t=0) = 0 

uL(t=0) = UE 

uR(t=0) = 0 

Mit zunehmender Zeitdauer verliert der Rechtecksprung immer mehr an Frequenz-Wirkung, 

d.h. die Impedanzwirkung von L wird immer geringer, und für t = ∞ wirkt UE nur noch als 

Gleichspannung (f=0), bei der die Impedanz von L gleich Null ist und die gesamte Spannung 

UE an R1 abfällt, bzw. der Strom nur durch R1 begrenzt wird. 

uL(t=∞) = 0 

uR(t=∞) = UE 

UE 

i ( t = ∞) 

= 

R 

1 

Die Zeitverläufe zwischen t=0 und t=∞ folgen einer e-Funktion gemäß der Lösung der 

Differenzialgleichung. 

Kapazität C 

Die Impedanz einer Kapazität C ist umgekehrt proportional zur Frequenz f . 

1 1 

siehe komplexe Impedanz (bei Sinus-Spannung) ZC = = 

j ⋅ ω ⋅ C j ⋅ 2π 

⋅ f ⋅ C 

Dadurch wirkt C für den ersten - hochfrequenten - Schaltaugenblick als unendlich kleine 

Impedanz, d.h. die Spannung UE fällt zur Gänze an R1 ab, bzw. der Strom wird nur noch 

durch R1 begrenzt. 

uC ( t 

( t 

= 

0) 

= 0 

u R = 0) 

= U 

UE 

i ( t = 

0) 

= 

R 

1 

E 

Z L 

Seite 1.20 (von 22)



Mit zunehmender Zeitdauer verliert der Rechtecksprung immer mehr an Frequenz-Wirkung, 

d.h. die Impedanzwirkung von C wird immer größer, und für t=∞ wirkt UE nur noch als 

Gleichspannung (f=0), bei der die Impedanz von C unendlich hoch ist, wodurch kein Strom 

fließt und die gesamte Spannung UE an C abfällt: 

u ( t = ∞) 

= U 

C 

uR ( t = ∞) 

= 0 

i ( t = ∞) 

= 0 

E 

Die Zeitverläufe zwischen t=0 und t=∞ folgen einer e-Funktion gemäß der Lösung der 

Differenzialgleichung. 

Zeitkonstante 

Die Zeitkonstante τ stellt eine Verkürzung der mathematischen Schreibweise dar, indem der 

Nenner des e-Exponenten mit τ abgekürzt wird. Daraus ergeben sich die verschiedenen 

Definitionen für τ bei Schaltvorgänge an L und an C. 

Durch diese Definition erkennt man, dass τ die Zeitdauer angibt, nach welcher der 

Zeitverlauf auf den e-ten Teil (= 36.8 %) des Startwertes abgesunken ist (bei fallender e- 

Funktion), bzw. auf den e-ten Teil (63.2 %) des Endwertes angestiegen ist (bei steigender 

e-Funktion). 

Bei steigender e-Funktion: 

1− 

e 

t= 

τ 

− 

τ 

= 1− 

e 

−1 

= 

0. 

632 

Bei fallender e-Funktion: 

e 

t= 

τ 

− 

τ 

1 

= e 

− 

= 

0. 

368 

= 

= 

36. 

8 % 

63. 

2 % 

Die Zeitkonstante τ kann auf folgende Weise graphisch ermittelt werden: 

1. Tangente an den Zeitverlauf im Startzeitpunkt legen. 

2. Den Schnittpunkt der Tangente mit dem Endwert bilden. 

3. Dieser Schnittpunkt ergibt auf der Zeitachse die Zeitdauer τ. 


(1.64) 

(1.65)


1.6.5 Mess - Schaltung 


In Abb. 1.17 ist beispielsweise die Mess- Schaltung zur Darstellung des zeitlichen Verlaufs 

der Kondensatorspannung uc(t) auf einem Oszilloskop gezeigt. 

Ein Funktionsgenerator erzeugt einen rechteckförmigen Spannungsverlauf, welcher die 

Serienschaltung aus R und C speist. Die Rechteckflanken entsprechen dabei dem 

Einschalten einer Gleichspannung (bei der positiven Flanke) bzw. dem Ausschalten einer 

Gleichspannung (bei der negativen Flanke). Dadurch erspart man sich den Aufwand eines 

mechanischen Schalters, welcher in den vorangegangenen Abbildungen für das Ein- und 

Ausschalten verwendet wurde, und der Verlauf der Ein- und Ausschaltvorgänge kann als 

periodisches Signal dargestellt und die Zeitkonstante τ gemessen werden (siehe für die 

Messpraxis mit Oszilloskope – Erdungsproblematik Kap. 4.4). 

FG 

R 

C 

u C (t) 


Koaxial-Kabel 

FG ... Funktionsgenerator (Rechtecksignal) 

Abb. 1.17 

Ch1 

Oszilloskop

1.6.3 Schaltvorgänge an einer Kapazität

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