Probabilistische Primzahlensuche - S T A F F

BFH Probabilistische Primzahlensuche Module 7311
BFH Module 7311 (Informatik Seminar)
Probabilistische Primzahlensuche
Florian Leuenberger
29. Mai 2013
29.05.2013 leuef1 Seite 1/15

BFH Probabilistische Primzahlensuche Module 7311
Inhaltsverzeichnis
Abstrakt................................................................................................................................................3
Primzahlen im Allgemeinen.................................................................................................................4
Definition.........................................................................................................................................4
Einsatzgebiet....................................................................................................................................4
Kryptographie.............................................................................................................................4
Pseudo-Zufallszahlengenerator...................................................................................................4
Getriebe.......................................................................................................................................4
Grösste bekannte Primzahl..............................................................................................................4
Primzahlensuche...................................................................................................................................5
Probedivision...................................................................................................................................5
Sieb des Eratosthenes.......................................................................................................................5
Sieb von Atkin.................................................................................................................................5
Algorithmus ...............................................................................................................................5
Probabilistische Primzahlensuche........................................................................................................6
Fermatscher Primzahltest.................................................................................................................6
Kleiner Satz von Fermat ............................................................................................................6
Fermatscher Primzahltest............................................................................................................6
Fermatsche Pseudoprimzahlen....................................................................................................6
Aussage vom Fermatschen Primzahltest.....................................................................................6
Lucas-Test........................................................................................................................................7
Lucas-Test...................................................................................................................................7
Beispiel...................................................................................................................................7
Verbesserter Lucas-Test..............................................................................................................8
Beispiel...................................................................................................................................8
Solovay-Strassen-Test......................................................................................................................9
Jacobi-Symbol.............................................................................................................................9
Solovay-Strassen-Test.................................................................................................................9
Aussage vom Solovay-Strassen-Test..........................................................................................9
Miller-Rabin-Test...........................................................................................................................10
Miller-Rabin-Test......................................................................................................................10
Algorithmus..............................................................................................................................10
Aussage vom Miller-Rabin-Test...............................................................................................10
Beispiel......................................................................................................................................11
Zusammenfassung..............................................................................................................................12
Referenzen..........................................................................................................................................13
Anhang...............................................................................................................................................14
Umsetzung in Java.........................................................................................................................14
Fermat-Test...............................................................................................................................14
Miller-Rabin-Test......................................................................................................................15
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Abstrakt
Primzahlen sind im Laufe der Zeit immer grösser und wichtiger geworden. Dies führte auch zu
neuen Algorithmen, die grosse Zahlen schneller als prim oder zusammengesetzt erkennen können.
Im Bereich der Kryptographie reicht es aus, zusammengesetzte Zahlen mit grossen Faktoren zu
benutzen. Dies führt zu der probabilistischen Primzahlensuche, welche mit enormer Effizienz
grosse Zahlen als prim, resp. Pseudoprimzahlen erkennen kann.
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BFH Probabilistische Primzahlensuche Module 7311
Primzahlen im Allgemeinen
Definition
„Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat.“ [1]
Eine Primzahl ist also nur durch eins und durch sich selbst ganzzahlig teilbar. Eine Primzahl heisst
prim, alle anderen natürlichen Zahlen heissen zusammengesetzt. Die Zahlen null und eins sind
weder prim noch zusammengesetzt.
Einsatzgebiet
Wo werden Primzahlen eingesetzt?
Kryptographie
Primzahlen spielen in der Kryptographie eine grosse Rolle. Zwei Primzahlen zu multiplizieren ist
einfach, jedoch die resultierende Zahl zu Faktorisieren ist schwierig. Mit diesem wissen und einigen
mathematischen Verfahren kann man ein gutes asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren bauen,
wobei man die multiplizierte Zahl (öffentlicher Schlüssel) herausgibt und die Primzahlen (geheimer
Schlüssel) geheim hält. Mit dem öffentlichen Schlüssel kann man nun Texte verschlüsseln und nur
der Inhaber des geheimen Schlüssel kann sie wieder entschlüsseln.
Pseudo-Zufallszahlengenerator
Einfache Zufallszahlengeneratoren benutzen Primzahlen zur Erzeugung von zufällig aussehenden
Zahlenfolgen. Die generierten Zahlen sind nicht wirklich zufällig, da sie deterministisch erzeugt
wurden, sind aber besser Verteilt als wenn man die Zufallsgeneratoren ohne Beachtung auf die
Primzahlen machen würde.
Getriebe
Um der Verstärkung des Verschleisses zwischen Ketten und Zahnräder zu vermeiden, sollten die
Anzahl von Zähnen an den Zahnräder prim sein. So greifen nicht regelmässig dieselben Bolzen in
eine Zahnlücke.
Grösste bekannte Primzahl
Grösste bekannte Primzahl: 2 57885161 – 1
Dezimalstellen: 17425170
Entdeckungsjahr: 2013
Entdecker:
Cooper, Woltman, Kurowski et al.
Genutzter Computer: GIMPS
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Primzahlensuche
Probedivision
Der einfachste Primzahltest ist die Probedivision. Dabei probiert man nacheinander, ob die Zahl n
durch eine der Primzahlen zwischen 2 und der Wurzel von n teilbar ist. Ist sie das nicht, dann ist n
eine Primzahl. Die Probedivision ist jedoch viel zu aufwendig, sodass sie in der Praxis als
Primzahltest nicht zum Einsatz kommt.
Sieb des Eratosthenes
Das Sieb des Eratosthenes ist ein Algorithmus, der eine Liste von Primzahlen erzeugt. Da diese
Liste bis zu einer frei wählbaren Grenze alle Primzahlen enthält, kann sie für einen Primzahltest
verwendet werden. Man überprüft dazu, ob die übergebene Zahl in der Liste ist. Auch dieses
Verfahren ist für große Zahlen zu aufwendig und kann daher nicht als Primzahltest verwendet
werden.
Sieb von Atkin
Das Sieb von Atkin ist ein schneller, moderner Algorithmus zur Bestimmung aller Primzahlen bis
zu einer vorgegebenen Grenze. Es ist eine optimierte Version des antiken Sieb des Eratosthenes. Die
Performance ist bei einem kleinen Limit von z.B. 100 noch etwas langsamer als bei dem Sieb des
Eratosthenes, aber je größer das Limit, desto größer ist der Zeitvorteil gegenüber der alten
Siebmethode.
Algorithmus
Beim Sieb von Atkin wird mit einer Ergebnisliste und einer Siebliste gearbeitet. Am Anfang wird
die Ergebnisliste mit 2, 3 und 5 gefüllt, die Siebliste mit jeder positiven Zahl bis zur vorgegebenen
Grenze. Alle Einträge in der Siebliste werden initial als nicht-prim markiert.
Danach wird für jeden Eintrag n in der Siebliste folgendes durchgeführt (invertieren bedeutet von
prim zu nicht-prim oder umgekehrt wechseln):
• Falls n modulo 60 den Rest 1, 13, 17, 29, 37, 41, 49, oder 53 ergibt, invertiere n für jede
mögliche Lösung der Gleichung: 4x 2 + y 2 =n
• Falls n modulo 60 den Rest 7, 19, 31, oder 43 ergibt, invertiere n für jede mögliche Lösung
der Gleichung: 3x 2 + y 2 =n
• Falls n modulo 60 den Rest 11, 23, 47, oder 59 ergibt, invertiere n für jede mögliche Lösung
der Gleichung: 3x 2 − y 2 =n , wobei x> y
Als letztes wird für jeden Eintrag n in der Siebliste, beginnend mit der niedrigsten, folgendes
durchgeführt:
• Fall n nicht als prim markiert ist, fahre mit dem nächsten Eintrag fort.
• Füge n in die Ergebnisliste ein.
• Quadriere n und markiere alle Vielfachen von diesem Quadrat als nicht-prim.
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Probabilistische Primzahlensuche
Fermatscher Primzahltest
„Der fermatsche Primzahltest ist ein Primzahltest, der auf dem kleinen fermatschen Satz beruht. Er
dient dazu, Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen zu unterscheiden“ [2]
Kleiner Satz von Fermat
Falls p eine Primzahl ist und a eine ganze Zahl, dann gilt
a p ≡ a(mod p)
Insbesondere gilt: Wenn p kein Teiler von a ist, dann ist
a ( p−1) ≡1(mod p)
Euler war der Erste, der den kleinen Satz von Fermat bewiesen hatte. [3]
Fermatscher Primzahltest
Für den fermatschen Primzahltest wird nun die Umkehrung des kleinen Satz von Fermat genutzt.
Setzt man die zu testende Zahl n und eine teilerfremde Basis a in die Formel so erhalten wir
a (n − 1) ≡ 1(mod n)
Falls dies nicht zutrifft kann n keine Primzahl sein. Falls dies jedoch zutrifft, hat die Zahl eine
gewisse Wahrscheinlichkeit, dass sie prim ist. Um die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen wird der Test
mit verschiedenen Basen durchgeführt. Wenn der Test nun überall zutrifft ist die Zahl vermutlich
prim.
Fermatsche Pseudoprimzahlen
Fermatsche Pseudoprimzahlen nennt man diese Zahlen, die den Fermatschen Primzahlentest
bestehen, jedoch keine Primzahlen sind. Für n

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Lucas-Test
Der Lucas-Test ist eine Weiterentwicklung des Fermatschen Primzahltests durch den Mathematiker
Édouard Lucas. Der Test wurde in den 50er Jahren von Derrick Lehmer und später nochmals von
John Brillhart und John L. Selfridge verbessert. [4]
Lucas-Test
Eine natürliche Zahl n ist genau dann eine Primzahl, wenn es ein a mit 1

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Verbesserter Lucas-Test
Eine natürliche Zahl n ist genau dann eine Primzahl, wenn es ein a mit 1

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Solovay-Strassen-Test
Der Solovay-Strassen-Test (nach Robert M. Solovay und Volker Strassen) ist ein probabilistischer
Primzahltest und beruht auf dem Monte-Carlo-Algorithmus.[5]
Jacobi-Symbol
Das Jacobi-Symbol J(a,p) liefert drei Unterschiedliche Resultate:
0 wenn a≡0(mod p)
1 wenn a ≠ 0(mod p) und ein x existiert, dass a≡ x 2 (mod p)
-1 wenn keines zutrifft
Solovay-Strassen-Test
Für eine zu prüfende Zahl n wird zufällig eine natürliche Zahl a mit 1

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Miller-Rabin-Test
„Er ist ein probabilistischer Primzahltest, für den aber für Zahlen unter 10 16 eine deterministische
Verwendung möglich ist“ [6]
Miller-Rabin-Test
Der Miller-Rabin-Test funktioniert ähnlich die der Solovay-Strassen-Test. Er ist jedoch schneller
und genauer, dass heisst der Miller-Rabin-Test erkennt mehr zusammengesetzten Zahlen als der
Solovay-Strassen-Test und in jedem Fall alle zusammengesetzte Zahlen die auch der Solovay-
Strassen-Test erkennt.
Algorithmus
Die zu testende Zahle n.
Zuerst berechnet man die Variablen d und j nach folgendem Prinzip
n – 1=d∗2 j
oder anders ausgedrückt, wird n mit 1 subtrahiert. Die resultierende Zahl wird solange durch 2
geteilt wie es eine ganzzahlige Lösung ergibt. Für d setzen wir das Schlussresultat dieser Prozedur.
Für j setzen wir die Anzahl der Teilungen durch 2.
Danach testen man die Zahl mit einer zufällig gewählten Basis a (1 < a < n). Trifft die Aussage
a d ≡1(mod n)
oder
a (d ∗2r) ≡−1(mod n)
mit 1≤r≤ j zu, so ist die zu testende Zahl wahrscheinlich prim. Um eine höhere
Wahrscheinlichkeit zu erreichen müsste der Test mit einer anderen Basis a wiederholt werden.
Aussage vom Miller-Rabin-Test
Für die Basen a 1

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Beispiel
Wir prüfen die Zahl 317 und testen mit der Basis 2
n – 1=d∗2 j
316=d∗2 j
316=79∗2 2
Die Zahl 316 kann man 2 mal durch 2 teilen (316/2 = 158, 158/2 = 79, 79 ist nicht durch 2 teilbar),
daraus folgt d = 79 und j = 2.
Nun überprüfen wir ob
oder
stimmt.
a d ≡ 1(mod n)
2 79 ≡ 203(mod 317)
a (d∗2r) ≡−1(mod n)
2 (79∗21) ≡−1(mod 317)
Da die zweite Formel stimmt ist die Zahl 317 wahrscheinlich prim.
Machen wir dasselbe für die Zahl 319.
n –1=d ∗2 j
318=d∗2 j
318=159∗2 1
Die Zahl 318 kann man 1 mal durch 2 teilen (318/2 = 159, 159 ist nicht durch 2 teilbar), daraus
folgt d = 159 und j = 1.
Wir testen ob
oder
stimmt.
a d ≡ 1(mod n)
2 159 ≡ 171(mod 319)
a (d∗2r) ≡−1(mod n)
2 (159∗21) ≡ 212(mod 319)
Da keine der Formel zutrifft wissen wir, dass die Zahl 319 keine Primzahl ist. (319 = 11 * 29)
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Zusammenfassung
Um grosse Zahlen als prim resp. als starke Pseudoprimzahlen zu erkennen ist der Miller-Rabin-Test
die beste Wahl. Er bestimmt die Zahlen mit der höchsten Wahrscheinlichkeit und ist sehr effizient.
Um jedoch eine deterministische Aussage über eine Zahl zu erlangen muss ein deterministischer
Algorithmus, der dadurch länger braucht, verwendet werden. In der Kryptographie genügt es mit
starken Pseudoprimzahlen zu rechnen. Deshalb wird dort hauptsächlich der Miller-Rabin-Test
eingesetzt, da er der effizienteste ist.
29.05.2013 leuef1 Seite 12/15

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Referenzen
[1] Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer, 1996
[2] http://de.wikipedia.org/wiki/Fermatscher_Primzahltest
[3] Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen, Springer Verlag, 2004
[4] http://de.wikipedia.org/wiki/Lucas-Test_(Mathematik)
[5] http://de.wikipedia.org/wiki/Solovay-Strassen-Test
[6] http://de.wikipedia.org/wiki/Miller-Rabin-Test
29.05.2013 leuef1 Seite 13/15

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Anhang
Umsetzung in Java
Fermat-Test
// die zu überprüfende Zahl number
public boolean checkFermat(BigInteger number){
// die Zahl '1' als BigInteger inizialisieren (einfacher zum rechnen mit BigInteger)
BigInteger one = BigInteger.valueOf(1);
// der Exponent berechnen (number - 1)
BigInteger exponent = number.subtract(one);
// mit jeder basis durchtesten
for (int i : basen){
// aktuelle Basis als BigInteger
BigInteger base = BigInteger.valueOf(i);
// überprüfen ob number = Basis (korrekterweise müsste überprüft werden, ob Basis und
number teilerfremd sind)
if (base.compareTo(number) == 0)
return true;
// kleiner Fermatscher Test ( a^(n-1) = 1 mod n )
BigInteger checkone = base.modPow(exponent, number);
}
// überprüfen ob das Resultat 1 ist, falls nicht => number ist nicht prim
if (checkone.compareTo(one) != 0)
return false;
}
// alle Tests mit den Basen bestanden, number ist prim
return true;
29.05.2013 leuef1 Seite 14/15

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Miller-Rabin-Test
// die zu überprüfende Zahl number
public boolean checkMiller(BigInteger number){
// die Zahl '1' und '2' als BigInteger inizialisieren (einfacher zum rechnen mit BigInteger)
BigInteger one = BigInteger.valueOf(1);
BigInteger two = BigInteger.valueOf(2);
// false zurückgeben, falls number kleiner als 2 ist
if (number.compareTo(BigInteger.valueOf(1)) < 1)
return false;
// true zurückgeben fall number = 2 oder 3
if (number.compareTo(BigInteger.valueOf(3)) < 1)
return true;
// d berechnen (number - 1)
BigInteger d = number.subtract(one);
// d ist das selbe wie '-1' mod number, speichern als minusone zum späteren überprüfen
BigInteger minusone = d;
int j = 0;
// d durch 2 teilen solange es geht, d merken und anzahl teilungen als j abspeichern
while(!d.testBit(0)){
d = d.divide(two);
j++;
}
// mit jeder basis durchtesten
for (int i : basen){
// aktuelle Basis als BigInteger
BigInteger base = BigInteger.valueOf(i);
// überprüfen ob number = Basis (korrekterweise müsste überprüft werden, ob Basis und
number teilerfremd sind)
if (number.compareTo(base) < 1)
continue;
// überprüfen ob a^(n-1) = 1 mod n
BigInteger checkone = base.modPow(d, number);
nächsten Test
// falls das Resultat 1 oder -1 ist => Test bestanden, falls nicht => weiter zum
if (checkone.compareTo(one) == 0 || checkone.compareTo(minusone) == 0)
continue;
// überprüfen ob a^(d * 2r) = -1 mod n
boolean checkBreak = false;
for (int r=1; r keine primzahl
if (checkone.compareTo(one) == 0){
return false;
}
// überprüfen ob Resultat = -1
if (checkone.compareTo(minusone) == 0){
checkBreak = true;
break;
}
}
if (checkBreak)
continue;
}
// Test nicht bestanden, number ist nicht prim
return false;
}
// alle Tests mit den Basen bestanden, number ist prim (wahrscheinlichkeit 1 / 4^10)
return true;
29.05.2013 leuef1 Seite 15/15