3. Übung zur Vorlesung Codierungstheorie - Institut für ...

Theoretische
Nachrichtentechnik
Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik – Institut für Nachrichtentechnik – Lehrstuhl Theoretische Nachrichtentechnik
Prof. Eduard A. Jorswieck, Anne Wolf 23.11.2010
3. Übung zur Vorlesung Codierungstheorie
Aufgabe 5: (Überhang aus 2. Übung)
Existieren die binären Codes (20, 8, 4), (15, 12, 3), (2530, 1450, 1090)?
Aufgabe 6:
Gegeben sei ein (3, 2) 3 -Code durch seine Generatormatrix
( )
1 0 1
G = .
0 1 2
a) Bestimmen Sie alle Nebenklassen des Codes.
b) Geben Sie die zugehörigen Syndrome an.
c) Geben Sie die Nebenklassengewichtsverteilung des Codes an.
d) Ist der Code fehlerkorrigierend?
Aufgabe 7:
Ein binärer Code der Länge 31 und ungerader Minimaldistanz aus der Familie der BCH-Codes hat
folgende Nebenklassengewichtsverteilung
und N i = 0 für i > 5.
N 0 = 1, N 1 = 31, N 2 = 465, N 3 = 4495, N 4 = 26412, N 5 = 1364
a) Wie groß ist die Dimension k des Codes?
b) Welche Fehlermuster können korrigiert werden?
c) Wie groß ist die Minimaldistanz des Codes?
d) Bestimmen Sie die Wortfehlerwahrscheinlichkeit nach der Übertragung über einen symmetrischen
Binärkanal mit Fehlerwahrscheinlichkeit ǫ = 0.01 und Maximum-Likelihood-Decodierung.
Geben Sie zum Vergleich die Fehlerwahrscheinlichkeit für eine uncodierte Übertragung eines Blocks
von k Bit an.
Aufgabe 8:
a) Wieviele verschiedene Vektoren h enthält F m 2 ?
b) Mit allen Vektoren aus F m 2 , die ungleich dem Nullvektor sind, kann eine Matrix gebildet werden,
in der die Vektoren h T die Spaltenvektoren darstellen. Diese Matrix ist die Prüfmatrix des binären
Hamming-Codes H m . Bestimmen Sie die Länge n, die Dimension k und die Coderate R des
Hamming-Codes in Abhängigkeit von m.
c) Geben Sie für H 3 die systematische Form der Prüfmatrix an, und berechnen Sie die dazugehörige
Generatormatrix.

Aufgabe 9:
Hamming-Codes H m haben eine Minimaldistanz d = 3.
a) Zeigen Sie, dass binäre Hamming-Codes perfekt sind.
b) Erstellen Sie für den Code H 3 aus Aufgabe 8c) eine Tabelle aller korrigierbaren Fehlermuster und
der dazugehörigen Syndrome.
c) Begründen Sie anhand dieser Tabelle, warum der Code nur Fehler vom Gewicht 1 korrigieren (und
Fehler vom Gewicht 2 nur erkennen) kann.