Ungleichungen Skript - Schweizer Mathematik-Olympiade

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

2.3 Geordnete Folgen In diesem Abschnitt stellen wir zwei weitere wichtige Ungleichungen vor, die mannigfach Anwendung finden. Im Gegensatz zu den bisherigen Resultaten geht hier eine Ordnung der involvierten Grössen mit in die Betrachtungen ein, was zusätzliche Möglichkeiten (aber auch Probleme) schafft. Die erste der beiden Ungleichungen ist intuitiv klar. Mal angenommen, wir hätten je einen Haufen 10er, 20er und 50er Noten und könnten von einem Haufen eine, von einem anderen vier und vom dritten Haufen sechs Noten auswählen und behalten. Wieviele Noten würden wir von welchem Haufen nehmen? Na...? Hier stehts mathematisch: Satz 2.3 (Hauptsatz). Sei a 1 , a 2 , . . . , a n und b 1 , b 2 , . . . , b n zwei Folgen reeller Zahlen, und sei c 1 , c 2 , . . . , c n eine Umordnung der Folge b k . Dann ist die Summe S = n∑ a k c k k=1 am grössten, wenn a k und c k gleich geordnet sind und sie ist am kleinsten, wenn a k und c k entgegengesetzt geordnet sind. Beweis. Nehme an, es gibt zwei Indizes i und j, sodass a i > a j , aber c i < c j . Durch vertauschen der beiden Folgeglieder c i und c j ändert sich der Wert der Summe um (a i c j + a j c i ) − (a i c i + a j c j ) = (a i − a j )(c j − c i ) > 0. Indem wir endlich viele solche Vertauschungen vornehmen, können wir die Folge c k stets gleich wie die Folge a k ordnen. Dabei erhöht sich der Wert der Summe bei jeder Vertauschung. Dies beweist die erste Behauptung (vgl. Beweis AM-GM). Analog zeigt man, dass die Summe am kleinsten ist, wenn a k und c k entgegengesetzt geordnet sind. Bevor wir zu den Beispielen kommen, führen wir eine praktische Notation ein: [ ] a1 a 2 · · · a n = a b 1 b 2 · · · b 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n . n Beispiel 12. Zeige, dass für alle a, b, c ≥ 0 gilt a 3 + b 3 + c 3 ≥ a 2 b + b 2 c + c 2 a. Lösung. Die Folgen a, b, c und a 2 , b 2 , c 2 sind gleich geordnet, also folgt aus dem Hauptsatz [ ] [ ] a b c a b c a 3 + b 3 + c 3 = a 2 b 2 c 2 ≥ c 2 a 2 b 2 = a 2 b + b 2 c + c 2 a. Dies ist genau die zu beweisende Ungleichung. Beispiel 13. Sei a 1 , . . . , a n > 0 und reelle Zahlen mit Summe s. Zeige, dass gilt a 1 s − a 1 + a 2 s − a 2 + . . . + a n s − a n ≥ n n − 1 . 10
Lösung. Wir bezeichnen die linke Seite mit A. Die Folgen a 1 , . . . , a n und 1/(s−a 1 ), . . . , 1/(s− a n ) sind gleich geordnet, also folgt aus dem Hauptsatz für 2 ≤ k ≤ n ⎡ A = ⎣ a 1 · · · a n 1 1 · · · s − a 1 s − a n Aufsummieren dieser n − 1 Ungleichungen ergibt nun dies ist die gewünschte Ungleichung. ⎤ ⎡ a k a k+1 . . . a k−1 ⎦ ≥ ⎣ 1 1 1 . . . s − a 1 s − a 2 s − a n (n − 1)A = s − a 1 s − a 1 + . . . + s − a n s − a n = n, ⎤ ⎦ . Manchmal ist es nützlich, mehr als nur zwei Folgen zu betrachten. Wir dehnen die Definition der grossen Klammer auf mehr als zwei Folgen aus: ⎡ ⎤ a 1 a 2 · · · a n b 1 b 2 · · · b n n∑ S = ⎢ ⎣ . . . .. ⎥ . ⎦ = a k b k · · · r k . k=1 r 1 r 2 · · · r n Aus dem Hauptsatz folgt leicht mit vollständiger Induktion nach der Anzahl Folgen das allgemeinere Resultat Satz 2.4 (Hauptsatz, verallgemeinert). Die oben definierte Summe S nimmt den grösstmöglichen Wert an, wenn die Folgen a k , b k , . . . , r k alle gleich geordnet sind. Beispiel 14. Seien x 1 , . . . , x n positive reelle Zahlen. Zeige, dass gilt x n+1 1 + x n+1 2 + . . . + x n+1 n ≥ x 1 x 2 · · · x n (x 1 + x 2 + . . . + x n ). Lösung. Es gilt ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ x 1 · · · x n x 1 · · · x n x 1 · · · x n . .. . . ⎥ x 1 · · · x n ⎦ x 1 · · · x n ⎡ ≥ ⎢ ⎣ ⎤ x 1 x 2 · · · x n x 2 x 3 · · · x 1 x 3 x 4 · · · x 2 . . .. . . ⎥ x n x 1 · · · x n−1 ⎦ x 1 x 2 · · · x n . Als nächstes beweisen wir die zweite wichtige Ungleichung, in der es um geordnete Folgen geht, die Ungleichung von Chebychef. Satz 2.5 (Chebychef). Sind a 1 , . . . , a n und b 1 , . . . , b n gleich geordnete Folgen, dann gilt a 1 b 1 + . . . + a n b n n ≥ a 1 + . . . + a n n · b1 + . . . + b n . n Sind die beiden Folgen entgegengesetzt geordnet, dann gilt dieselbe Ungleichung mit umgedrehten Ungleichheitszeichen. 11
Seite 1 und 2: Schweizer Mathematik-Olympiade Ungl
Seite 3 und 4: 2. Seien a, b, c positive reelle Za
Seite 5 und 6: 2 Das Standardrepertoire 2.1 HM-GM-
Seite 7 und 8: Lösung. Nach AM-GM ist a 3 + a 3 +
Seite 9: Also wissen wir A ≥ (a + b + c) 2
Seite 13 und 14: 4. (IMO 75) Seien x k und y k , 1
Seite 15 und 16: Lösung. Wenn wir alle a k und b k
Seite 17 und 18: mehr, in der Regel lassen sich Ungl
Seite 19 und 20: 3.4 Das Ungleichheitszeichen drehen
Seite 21 und 22: ist. Dies impliziert wegen x + y +
Seite 23 und 24: 1. Zuerst CS, dann AM-QM: 2. A = A
Seite 25: Die Folgen (x 2 , y 2 , z 2 ) und (

Ungleichungen Skript - Schweizer Mathematik-Olympiade

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?