Ungleichungen Skript - Schweizer Mathematik-Olympiade

Aus dieser und den analogen Ungleichungen folgt
A ≥ 1
2x + 1
2y + 1
2z − 3 + x + y + z = 1 ( 1
2 2 x + 1 y + 1 )
− 5 z 2
≥ 1 9
2 x + y + z − 5 2 = 2.
wenn man noch AM-HM benützt.
6. Die Folgen (x 2 + y 2 , y 2 + z 2 , z 2 + x 2 ) und (1/z, 1/x, 1/y) sind gleich geordnet, also folgt
mit Tschebyschef
A ≥ 1 ( 1
3 (x2 + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 )
x + 1 y + 1 )
z
= 2 3 (x2 + y 2 + z 2 + 2(x 2 + y 2 + z 2 )) · 1 ( 1
3 x + 1 y + 1 )
z
≥
2 3 (x2 + y 2 + z 2 3
+ 2xy + 2yz + 2zx)
x + y + z
= 2 3 (x + y + 3
z)2 x + y + z = 2,
wobei der erste Faktor in der zweiten Zeile mit AM-GM oder dem Hauptsatz oder CS
und der zweite Faktor mit AM-HM abgeschätzt wird.
7. Die Folgen (x 2 + y 2 , y 2 + z 2 , z 2 + x 2 ) und (1/z, 1/x, 1/y) sind gleich geordnet, also folgt
mit dem Hauptsatz
sowie analog
A ≥ x2 + y 2
x
+ y2 + z 2
y
= 1 + y2
x + z2
y + x2
z ,
A ≥ x2 + y 2
y
+ y2 + z 2
z
= 1 + x2
y + y2
z + z2
x .
Addieren ergibt 2A ≥ 2 + A, also A ≥ 2.
+ z2 + x 2
z
+ z2 + x 2
x
8. Anwenden von AM-GM auf jeden Summanden ergibt
A ≥ 2xy
z
+ 2yz
x
= x + y + z + y2
x + z2
y + x2
z
= x + y + z + x2
y + y2
z + z2
x
+ 2zx
y .
Die Folgen (2xy, 2yz, 2zx) und (1/z, 1/x, 1/y) sind gleich geordnet, also folgt mit dem
Hauptsatz
A ≥ 2xy
x
9. Setze s = x 2 + y 2 + z 2 , dann ist
A = s − z2
z
+ 2yz
y
+ 2zx
z
+ s − x2
+ s − y2
x y
( 1
= (x 2 + y 2 + z 2 )
x + 1 y + 1 )
− 1.
z
= 2(x + y + z) = 2.
( 1
= s
x + 1 y + 1 )
z
− (x + y + z)
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