MafI I: Logik & Diskrete Mathematik

Musterlösung zum 11. Aufgabenblatt zur Vorlesung
MafI I: Logik & Diskrete Mathematik
(Autor: Jenny Elsbach)
1. Kommunikation
Drei Knoten A, B, C sind in einem Netzwerk miteinander verbunden. Der Link AB
funktioniert mit Wahrscheinlichkeit 0.8, der zwischen B und C mit 0.7 sowie der
zwischen C und A mit 0.4. Die Verbindungen sind unabhängig voneinander.
Entwerfen Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,
dass A mit C kommunizieren kann, direkt oder über B.
Lösung:
Ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum ist Ω = {0, 1} 3 , mit folgender Interpretation:
x 1 = 1 falls Verbindung AC benutzt wird, x 2 = 1 falls Verbindung
AB benutzt wird und x 3 = 1 falls Verbindung BC benutzt wird. Das Ereignis
X=“A kommuniziert direkt oder über B mit C“ entspricht der Menge X =
{(x 1 , x 2 , x 3 )|x 1 = 1 ∨ (x 2 = 1 ∧ x 3 = 1) ≡ 1} = {100, 101, 110, 111, 011} . Man berechnet:
P r(X) = 0.4(0.2 · 0.3 + 0.2 · 0.7 + 0.8 · 0.3 + 0.8 · 0.7) + 0.6 · 0.8 · 0.7
= 0.4 + 0.6 · 0.8 · 0.7 = 0.736.
2. Täterwahrscheinlichkeit
Drei Großhändler X,Y,Z haben die Stadt B. unter sich aufgeteilt und liefern 20%, 30%
bzw. 50% der Bevölkerungsbedarfs an einer bestimmten Ware. Durch scharfe Kontrollen
wurde festgestellt, dass 8%, 4% bzw. 2% der Lieferungen von X, Y bzw. Z zu
beanstanden sind.
Gestern wurde wieder bei einer Stichprobe fehlerhafte Ware gefunden. Was ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sie von Y stammt?
Lösung:
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P r(Y |F ), wobei F für das Ereignis F =“Die geprüfte
Ware ist fehlerhaft“ steht. Laut Definition ist diese Wahrscheinlichkeit gerade
P r(Y |F ) = P r(Y ∩ F ) .
P r(F )
Hier ist P r(Y ∩ F ) = 0.3 · 0.04. Nach dem Satz über die totale Wahrscheinlichkeit ist
P r(F ) = P r(F |X)P r(X) + (F |Y )P r(Y ) + (F |Z)P r(Z)
also P r(Y |F ) = 0.3·0.04
0.038
≈ 0.32.
= 0.2 · 0.08 + 0.3 · 0.04 + 0.5 · 0.02 = 0.038,

3. Unabhängigkeit
Zwei faire Würfel werden gleichzeitg geworfen. Wir betrachten die 3 Ereignisse:
A 1 = Der erste Würfel zeigt eine gerade Augenzahl.
A 2 = Der zweite Würfel zeigt eine gerade Augenzahl.
A 3 = Die Augensumme der zwei Würfel ist gerade.
Untersuchen Sie diese Ereignisse auf paarweise bzw. auf totale Unabhängigkeit!
4. Erwartungswert I
Eine MafI-Klausur besteht aus 40 Ja/Nein-Fragen, jede richtige Antwort ist 2 Punkte
wert, und 20 Multiple-Choice-Fragen zu je 4 Punkten. Student XYZ beantwortet
eine Ja/Nein-Frage mit Wahrscheinlichkeit 0.9 richtig, die Multiple-Choice-Fragen mit
Wahrscheinlichkeit 0.8 richtig. Was ist der Erwartungswert für die von ihm erreichte
Punktzahl? Begründung!
Lösung:
Die geeignete Zufallsvariable ist
X : Ω = {Klausurfragen} → {0, 2, 4} ,
mit ⎧
⎨ 2 ω = J/N-Frage und richtig beantwortet
X(ω) = 4 ω = MC-Frage und richtig beantwortet
⎩
0 ω = falsch beantwortet
Hiermit kann nun der Erwartungswert berechnet werden:
E(X) = 2P r(X = 2) + 4P r(X = 4) + 0P r(X = 0)
= 2 · 0.9 · 2/3 + 4 · 0.8 · 1/3 + 0(0.1 · 1/3 + 0.2 · 2/3) ≈ 2.27.
5. Geschenke verpacken
Otto hatte für seine 10 Gäste jeweils ein spezielles Geschenk. Nach dem Einpacken hat
er aber die Namensschilder einfach zufällig auf die Geschenke verteilt, pro Geschenk
ein Schild. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 7 Gäste ihr richtiges Geschenk
bekommen, bzw. dies genau für 9 Gäste stimmt?
Lösung:
Es gibt genau 10! Möglichkeiten die Geschenke auf alle Gäste zu verteilen. Wenn genau
7 Gäste das richtige Geschenk bekommen sollen, dann gibt es ( )
10
7 Möglichkeiten diese
Gäste auszuwählen. Da die übrigen drei Gäste das falsche Geschenk bekommen sollen,
gibt es für den ersten dieser drei genau 2 mögliche Geschenke. Für die übrigen zwei
Gäste gibt es nur noch eine Möglichkeit die Geschenke so zu verteilen, dass sie das jeweils
falsche Geschenk bekommen. Insgesamt gibt es also ( 10
7
)·2·1 Möglichkeiten die Geschenke
wie gewünscht zu verteilen. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A=“Genau 7 Gäste
erhalten das richtige Geschenk“ ist:
( 10
)
|günstige Ereignisse|
P r(A) =
|mögliche Ereignisse| = 7 · 2
.
10!

Wenn genau 9 Gäste das richtige Geschenk erhalten sollen, dann ist die Anzahl der
günstigen Ereinisse gleich 0. Denn auch die zehnte Person müsste das richtige Geschenk
bekommen. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ebenfalls 0.
6. Gewinn
Ein Experiment E: In einer Schachtel liegen 4 grüne, 3 blaue und 1 rote Kugel. Wir
ziehen nacheinander 3 Kugeln, ohne sie zurückzulegen. Dabei sei die Wahrscheinlichkeit,
eine bestimmte unter den vorhandenen Kugeln zu ziehen, immer gleich groß.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis: A =“Erste Kugel blau, zweite
Kugel rot und dritte gezogene Kugel grün.”
Das Experiment E wird ständig wiederholt. Jedesmal kostet es 2 Euro. Sie gewinnen
x Euro, falls die drei gezogenen Kugeln gleiche Farbe haben. Wie groß muss x
sein, damit Sie keinen Verlust machen?
7. Noch ein Spiel
Bei einer Nach–Klausur–Party spielen 6 Leute folgendes Spiel. Jeder hat eine faire
Münze, die er wirft. Ist das Ergebnis bei jemandem verschieden von allen 5 anderen
Ergebnissen, so muss er eine Runde bezahlen.
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim einmaligen Werfen der Münzen einer die
nächste Runde übernimmt?
Im richtigen Leben wird das Experiment natürlich wiederholt. Wie oft muss das Experiment
durchgeführt werden, damit mit Wahrscheinlichkeit mindestens 3/4 zum ersten
Mal eine Runde spendiert werden muss.
Was sind die Chancen, dass es bei 5–maligem Münzwerfen mindestens zweimal was zu
trinken gibt?