Randomisiert inkrementelle Konstruktion der Trapez- zerlegung ...

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Problemstellung 

Randomisiert inkrementelle 

Konstruktion der Trapezzerlegung 

einer Menge von 

Strecken in der Ebene 

• Gegeben: Eine Menge von n 

Strecken S in der Ebene 

• Berechne: Die von S induzierte 

ebene Unterteilung (unterteile 

die Strecken aus S bei den 

Schnittpunkten) 

(Literatur: deBerg et al., Kapitel 6) 

Christian Knauer 

Randomisiert inkrementelle Konstruktion der Trapezzerlegung in der Ebene - Christian Knauer 

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Trapezzerlegung einer Menge von Strecken 

Beispiel Trapezzerlegung … 

• S: Menge von n Strecken in der Ebene mit k Schnittpunkten 

• Trapezzerlegung von S 

• Verfeinerungder von S induzierten ebene Unterteilung 

• zeichne durch jeden der End- und Schnittpunkte der 

Strecken in S eine vertikale Strecke nach oben und unten bis 

eine Strecke aus S getroffen wird 

• unterteile die Strecken aus S bei den Punkten an denen eine 

vertikale Erweiterung auftrifft 


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… Beispiel Trapezzerlegung … 

… Beispiel Trapezzerlegung … 


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… Beispiel Trapezzerlegung 

Eigenschaften der Trapezzerlegung 

• Facetten sind Trapeze oder Dreiecke (mit evtl. unterteilten 

Seiten) 

• Komplexität: O(n+k) 



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Problemstellung 

Inkrementeller Aufbau 

• Gegeben: Eine Menge von n 

Strecken S in der Ebene (mit k 

Schnittpunkten) 

• Berechne: Die Trapezzerlegung 

von S 

• Annahme: Die Strecken aus S 

sind in allgemeiner Lage, d.h. in 

einem Punkt schneiden sich 

höchstens zwei Strecken und die 

x-Koordinaten aller End- und 

Schnittpunkte sind verschieden 

• S = (s 1 ,…,s n ) 

• T i ist die Trapezzerlegung zu S i := {s 1 ,…,s i } 

• konstruiere T i aus T i-1 durch Einfügen von s i (für i>1) 

• finde das Trapez t von T i-1 , das einen Endpunkt p von s i 

enthält („Konfliktlokalisierung“) 

• finde von t aus alle Trapeze und Kanten von T i-1 , die von s i 

geschnitten werden („Durchfädeln“) 

• füge neue vertikale Kanten von den Endpunkten von s i und 

den Schnittpunkten von s i mit Strecken aus S i-1 ein 

(„Unterteilen“) 

• schneide vorhandene vertikale Kanten die s i schneiden bei 

den Schnittpunkten ab und verschmelze die zu den 

entfernten Kanten adjazenten Trapeze („Verkürzen“) 


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Beispiel: Konstruktion von T i 

aus T i-1 

… 

… Beispiel: Durchfädeln von s i 

… 

s i 


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… Beispiel: Unterteilen … 

… Beispiel: Verkürzen… 

s i s i 

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… Beispiel: Verkürzen … 

… Beispiel: Die Zerlegung T i 

s i 

s i 

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Lokalisierung von Streckenendpunkten in T i 

G i 

: Geschichte der Konstruktion von T i 

• Verwendung einer zusätzlichen Datenstruktur G i 

• speichert die Geschichte der Konstruktion von T i 

• ermöglicht Punktlokalisierung in T i 

• Konfliktlokalisierung für einen Endpunkt p von s i durch 

Punktlokalisierung von p in T i 

• Anpassen der Datenstruktur beim Einfügen neuer Strecken 

• erwartete Suchzeit Õ(log n) pro Anfrage, erwartete 

Grösse Õ(n+k) 

• gerichteter azyklischer Graph 

• Blätter sind beschriftet mit einem Trapez t?T i 

• innere Knoten v 

• haben Ausgrad2 

• sind beschriftet mit 

• einem Endpunkt p(v)einer der Strecken aus S i 

oder 

• einer Strecke s(v)?S i 

• repräsentieren eine Region r(v) der Ebene 

• wenn v die Wurzel ist, dann ist r(v)= R 2 

• wenn v das Kind eines Knotens u ist, der mit einem Endpunktp(u) 

einer der Strecken aus S i 

beschriftet ist, dann ist 

• r(v)={p?r(u) | p ist links von p(u)}, falls v linkes Kind von u ist 

• r(v)={p?r(u) | p ist rechts von p(u)}, falls v rechtes Kind von u ist 

• wenn v das Kind eines Knotens u ist, der mit einer Strecke s(u)?S i 

beschriftet ist, dann ist 

• r(v)={p?r(u) | p ist oberhalb von s(u)}, falls v linkes Kind von u ist 

• r(v)={p?r(u) | p ist unterhalb von s(u)}, falls v rechtes Kind von u ist 


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Aufbau von G 1 

p 2 

Konstruktion von G i 

aus G i-1 

• im Unterteilungsschritt wird ein Trapez aus T i-1 in höchstens 4 

Trapeze unterteilt 

p 2 

U 

p 1 

1 

W 

T 

p 1 

s 

s 

T 

V 

W 

r 

r 

U 

V 

s 

l 

s 

s 

l 

l 

s 

l 



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aus G i-1 


aus G i-1 

• erzeuge für jedes Trapez das im Unterteilungsschritt entsteht 

ein neues Blatt und passe die Suchstruktur an den 

Blättern von G i-1 entsprechend an 




G i-1 


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aus G i-1 


aus G i-1 







r 

G i-1 

s 

G i-1 

l 

l 

s 

r 


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aus G i-1 





aus G i-1 




s 

G i-1 

l 

G i-1 

l 

s 



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aus G i-1 


aus G i-1 







r 

G i-1 

l 

s 

G i-1 

l 

r 

s 


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aus G i-1 


aus G i-1 




• Identifiziere Blätter von G i deren korrespondierende Trapeze 

beim Verkürzen miteinander verschmelzen 

G i-1 

l 

s 

l 

s 


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31 

Beispiel: Konstruktion von G i 

aus G i-1 

… 

… Beispiel: Konstruktion von G i 

aus G i-1 

… 

G i-1 

T U V W 

T U V W 

G i-1 

T U V W 

p 

s 

q 



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aus G i-1 

… 


aus G i-1 

G i-1 

q 

p 

t 

t 1 

u 1 

v 1 

w 1 

3 

T p U s V s W q 

t2 u 2 

s v 2 

w 2 w 3 

s 

s 

t 3 

u 1 u 2 v 2 v 1 

w 3 

t 2 t 1 

w 2 w 1 

G i-1 

q 

p t 1 

v 1 

w 1 

t 3 

T p U s V s W q 

t s w 

w 3 

2 

2 

s 

s 

t v 3 1 w 3 

t 2 t 1 

w 2 w 1 


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Punktlokalisierung in T i 

mit Hilfe von G i 

Beispiel: Suchen in T 1 

mit Hilfe von G 1 

q 1 

• suche, ausgehend von der Wurzel von G i , rekursiv das Trapez 

von T i (= Blatt von G i ), in dem der Anfragepunkt qliegt 

• sei vein innerer Knoten von G i mit q?r(v) 

• wenn v mit einem Endpunkt p(v) einer Strecke aus S i 

beschriftet ist, dann 

• fahre mit der Suche im linken Kind von v fort, falls q links 

von p(v) liegt 

• fahre mit der Suche im rechten Kind von v fort, falls q 

rechts von p(v) liegt 

• wenn v mit einer Strecke s(v)?S i beschriftet ist, dann 

• fahre mit der Suche im linken Kind von v fort, falls q über 

s(v) liegt 

• fahre mit der Suche im rechten Kind von v fort, falls q 

unter s(v) liegt 

q 1 

q 

p 

p 1 

1 

W 

T s 1 

s 1 

V 

T 

U V 

U 

W 


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36

37 

Beispiel: Suchen in G i 

mit Hilfe von G i 

Algorithmus 

Insert(s i ) 

G i-1 

V 

T p i U 

s 

s i V s i W q i 

s 

q i 

p i t 1 

v 1 

w 1 

t 3 

t si w 2 

q w 3 

2 

i i 

t v 3 1 w 3 

t 2 t 1 

w 2 w 1 

suche in G i-1 das Trapez t von T i-1 das einen Endpunkt von s i enthält 

finde von t aus alle Trapeze und Kanten von T i-1 , die von s i geschnitten 

werden 

füge neue vertikale Kanten von den Endpunkten von s i und den 

Schnittpunkten von s i mit Strecken aus S i-1 ein 

erzeuge für jedes Trapez das entsteht ein neues Blatt in G i und passe 

die Suchstruktur an den Blättern von G i-1 entsprechend an 

schneide vorhandene vertikale Kanten die s i schneiden bei den 

Schnittpunkten ab und verschmelze die zu den entfernten Kanten 

adjazenten Trapeze 

identifiziere Blätter von G i deren korrespondierende Trapeze miteinander 

verschmelzen 



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Bemerkungen 

Laufzeitanalyse 

• halbdynamischer Algorithmus zur Berechnung der Trapezzerlegung 

• liefert Datenstruktur zur Punktlokalisierung in der Trapezzerlegung 

• der Algorithmus ist deterministisch, er trifft keine Zufallsentscheidungen 

beim Einfügen von S in einer festen 

Reihenfolge ? 

• wir nehmen an, dass alle Einfügereihenfolgen gleich wahrscheinlich 

sind 

• die Anzahl der von dem Algorithmus durchgeführten 

Schritte ist eine Zufallsvariable 

• wir betrachten den Erwartungswert dieser Zufallsvariable 

als Maß für die Effizienz des Algorithmus 

• wir nennen diesen Erwartungswert die erwartete Laufzeit 

des Algorithmus bei zufälliger Einfügereihenfolge 

• es werden keine Annahmen über die statistische Verteilung 

der Eingabe gemacht 


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Übersicht Laufzeitanalyse 

Kosten für die strukturellen Änderungen … 

• Gesamtkosten setzen sich zusammen aus 

• Kosten für die strukturellen Änderungen der ebenen 

Unterteilung und die Konstruktion der Geschichte 

• O(n log n + k) erwartet 

• Bem.:Die Kosten für die Konstruktion der Geschichte 

sind asymptotisch genauso gross, wie die Kosten für die 

strukturellen Änderungen der ebenen Unterteilung 

• Kosten für die Lokalisierungvon Streckenendpunkten in der 

Geschickte 

• Õ(logn) pro Punktlokalisierungsanfrage 

• sei S`? S fest mit |S‘|=i 

• im folgenden sei ausserdem T:=T i-1 , T‘:=T i 

• betrachte den i-ten Einfügeschritt mit S i =S‘ und die 

Zufallsvariable 

T St (? ) := Kosten für die strukturellen Änderungen im i-ten 

Schritt beim Ablauf des Algorithmus auf der Eingabe S mit 

der Einfügereihenfolge ? 

• erwartete Kosten (unter der Bedingung S i =S‘) 

E St := E[T St |S i =S‘ ] = 

? s?S‘ Pr(s wurde im i-ten Schritt eingefügt|S i =S‘)· 

(Kosten für das Einfügen von s) 

= (1/i) ? s?S‘ (Kosten für das Einfügen von s) 


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… Kosten für die strukturellen Änderungen … 

• für t?T bezeichnet f(t) die Anzahl der Kanten von t 

• Komplexität des Einfügens von s ist O(? t?T, t schneidet s f(t)) 


E St = ? s?S‘ Pr(s wurde im i-ten Schritt eingefügt|S i =S‘)· 



= (1/i) ? s?S‘ ? t?T, t schneidet s f(t) 

s 



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• ? t?T, t schneidet s f(t) = ? t?T‘, s inzident zu t f(t) 





= (1/i) ? s?S‘ ? t?T‘, s inzident zu t f(t) 

s 

s 


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• ? s?S‘ ? t?T‘, s inzident zu t f(t) = 4? t?T‘ f(t) 

• jedes Trapez t?T‘ ist zu höchstens 4 Strecken s?S‘ adjazent 






= (1/i) 4? t?T‘ f(t) 


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= (1/i) 4? t?T‘ f(t) 

= O((1/i) (n+K)) wobei K = # Schnittpunkte in S‘ 


• sei Y eine Zufallsvariable mit der Eigenschaft, dass die 

Ereignisse (Y=y i ):={? ?O| Y(?)=y i } für y 1 ,…,y k eine Partition 

von O bilden dann ist E[X] = ? i Pr(Y=y i ) E[X|Y=y i ] 

• Beweis: 

? i Pr(Y=y i ) E[X|Y=y i ] = ? i Pr(Y=y i )? ? X(? ) Pr(? |Y=y i ) = 

? i ? ? Pr(Y=y i ) X(? ) Pr(? |Y=y i ) = 

? ? ? i Pr(Y=y i ) X(? ) Pr(? |Y=y i ) = 

? ? X(? ) ? i Pr(Y=y i ) Pr(? |Y=y i ) = 

? ? X(? ) Pr(? ) = 

E[X] 



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• erwartete Kosten unter der Bedingung S i =S‘ 

E[T St |S i =S‘ ] = O((1/i) (n+#Schnittpunkte in S‘ )) 

• betrachte die Zufallsvariable 

K(? ) := Anzahl der Schnittpunkte in S i 

• erwartete Kosten 

E[T St ] = ? S‘?S, |S‘|=i Pr(S i =S‘)E[T St |S i =S‘ ] 

= ? S‘?S, |S‘|=i Pr(S i =S‘)O((1/i) (n+#Schnittpunkte in S‘ )) 

= O((1/i) (n+E[K])) 

• sei q 1 ,…,q k die Menge der Schnittpunkte der Strecken aus S 

• definiere für j=1,…,k die 0-1-Zufallsvariablen 

K j =1 gdw. der Schnittpunkt q j liegt in T‘ 

• dann ist 

K = ? j=1...k K j und E[K] = ? j=1...k E[K j ] = ? j=1...k Prob(q j liegt in T‘) 

• angenommen, q j ist der Schnittpunkt der Strecken u,v?S 

⎛n 

−2⎞ 

⎛n 

⎞ 

Prob(q j liegt in T‘) = Prob({u,v}?S‘) = ⎜ 

⎟ / 

⎜ 

⎟ 

⎝i 

−2⎠ 

⎝i 

⎠ 

• damit ist 

E[K] = ki(i-1)/(n(n-1)) und 

E[T St ] = O((1/i) (n+ki(i-1)/(n(n-1)))) 


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… Kosten für die strukturellen Änderungen 

Suchzeit in G i 

… 

• die erwarteten Gesamtkosten für die strukturellen Änderungen 

der ebenen Unterteilung und die Konstruktion der Geschichte 

erhält man durch Summation über E[T St ] 

? i=1,...,n O((1/i) (n+ki(i-1)/(n(n-1)))) = O(nh n +k/2) = O(n log n+k) 

• sei p? IR 2 ein fester Punkt 

• betrachte Zufallsvariable L : O àIR, 

wobei für ? ?O 

L(? ) := Länge des Suchpfades von p in G i beim Ablauf des 

Algorithmus auf der Eingabe S mit der Einfügereihenfolge ? 

• für 4 = k = i bezeichnet b k das Blatt von G k , das p enthält 

• definiere die 0-1-Zufallsvariable 

L k =1 gdw. b k-1 ? b k 

• L =O(? k=4...i L k ) 

• wenn b k-1 ? b k dann wird b k-1 bei der Konstruktion von G k zu einem 

inneren Knoten v 

• auf dem Suchpfad von p in G k ist v O(1) Knoten vor b k 

• E[L] =O(? k=4...i E[L k ]) 

• Linearität des Erwartungswertes 


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… Suchzeit in G i 

… 

• Pr(b k-1 ?b k ) = 4/k 

• Rückwärtsanalyse: sei T k ? S fest mit |T k |=k 

• Pr(b k-1 ? b k | S k =T k ) = 

Pr(r(b k ) wird durch s k begrenzt | S k =Q k ) = 

Pr(s k ? {Strecken von S k die r(b k ) definieren} | S k =Q k ) = 4/k 

• Pr(b k-1 ? b k ) = ? |T|=k Pr(S k =T) Pr(b k ? b k-1 | S k =T) = 4/k 

• E[L] = O(log i) 

• E[L] =O(? k=4...i E[L k ]) = O(? k=4...i Pr(b k-1 ? b k )) = O(? k=4...i 4/k)=O(h i ) 

• L = Õ(log i) 

• Chernoff-Schranke für harmonische Zufallsvariablen 

… Suchzeit in G i 

• T i := von den Stützgeraden der Strecken aus T i induzierte Unterteilung 

• T i ist eine Verfeinerung von T i 

• alle Punkte in einer Facette von T i haben in G i den gleichen Suchpfad 

• #{Suchpfade in G i } = #{Facetten von T i } = O(i 2 ) 

• aus jeder Facette von T i wählen wir einen Punkt {q 1 ,…,q j } mit j=O(i 2 ) 

• Tiefe von G i = max { L p | p? {q 1 ,…,q j }} = Õ(log i) 

• Pr(Tiefe von G i > c log i) = 

Pr (Länge des Suchpfades von q 1 in G i > c log i oder … 

… oder Länge des Suchpfades von q j in G i > c log i ) = 

Pr (Länge des Suchpfades von q 1 in G i > c log i) + … 

… + Pr(Längedes Suchpfades von q j in G i > c log i ) = 

#{Suchpfade in G i } · 

Pr(Länge des Suchpfades eines festen Punktes in G i > c log i ) 

= O(i 2 )·(1/p(c,i)) für alle c>c 0 >0 mit lim cà8 deg n (p(c,i))à8 



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Zusammenfassung 

• Satz: Zu einer Menge S von n Strecken in der Ebene mit k 

Schnittpunkten kann in O(n log n + k) erwarteter Zeit die 

Trapezzerlegung T(S) von S konstruiert werden. Dabei wird 

eine Datenstruktur der Grösse Õ(n+k) aufgebaut, mit der 

man in Õ(log n) Zeit Punktlokalisierungsanfragen in T(S) beantworten 

kann. 


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