Bäume und Wälder

Bäume und Wälder
Definition und Eigenschaften
Definition: Ein (ungerichteter) Graph ist ein Baum, wenn er zusammenhängend ist und
keinen Kreis enthält. Ein (ungerichteter) Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume
sind, wird ein Wald genannt, d.h. jeder kreisfreie Graph ist ein Wald.
Beispiel 1: Die folgende Abbildung zeigt einen aus vier Bäumen bestehenden Wald.
Beispiel 2: Die folgende Abbildung zeigt die Liste aller Bäume mit 6 Knoten.
Übung: Man mache sich klar, warum diese Bäume paarweise nichtisomorph sind!
Definition: Sei G = (V, E) ungerichtet und zusammenhängend mit |V | = n. Ein Untergraph
T auf allen n Knoten, der ein Baum ist, heißt aufspannender Baum von G.
Analog definiert man einen aufspannenden Wald als Vereinigung von aufspannenden Bäumen
von allen Zusammenhangskomponenten eines nichtzusammenhängenden Graphen.
Beobachtung: Jeder zusammenhängende Graph G hat einen aufspannenden Baum, dieser
ist aber nur eindeutig, wenn der Graph selbst ein Baum ist, denn dann ist T der Graph selbst.
Ist G kein Baum, dann gibt es einen Kreis in G und wenn man eine Kante dieses Kreises aus
E entfernt, bleibt der Graph zusammenhängend. Somit kann man einen aufspannden Baum
von G erzeugen, indem man schrittweise Kanten von Kreisen entfernt bis keine Kreise mehr
existieren.
Lemma:
Grad 1.
Jeder Baum mit zumindest zwei Knoten besitzt mindestens zwei Knoten vom
1

Beweis: Angenommen G = (V, E) ist ein Baum und hat keinen Knoten vom Grad 1, dann
haben alle Knoten einen Grad ≥ 2. Wir beginnen mit einer beliebigen Kante {v 1 , v 2 } ∈ E.
Wegen deg(v 2 ) ≥ 2 gibt es einen von v 1 verschiedenen Nachbarn v 3 von v 2 , wegen deg(v 3 ) ≥ 2
gibt es einen von v 2 verschiedenen Nachbarn v 4 von v 3 usw. Man beachte, dass jeder Knoten
v k aus dieser Konstruktion nicht in der Menge {v 1 , v 2 , . . . , v k−1 } liegen kann, denn dann hätte
G einen Kreis. Damit müsste V unendlich viele Knoten enthalten - ein Widerspruch.
Alternativer Beweis: Weniger intuitiv, aber dafür kürzer und eleganter ist das folgende Argument.
Seien u 1 , u 2 , . . . , u i die Knoten eines längsten Weges in G. Dann liegen alle Nachbarn
von u 1 auf diesem Weg, denn sonst wäre er nicht ein längster Weg. Aber nur u 2 kann ein
Nachbar von u 1 sein, sonst gäbe es einen Kreis. Folglich ist deg(u 1 ) = 1.
Definition: Ist G ein Baum, dann nennt man alle Knoten vom Grad 1 Blätter des Baums,
alle anderen Knoten nennt man innere Knoten von G.
Charakterisierung von Bäumen
Satz: Folgende Aussagen sind äquivalent für G = (V, E).
(1) G = (V, E) ist ein Baum.
(2) Je zwei Knoten sind durch genau einen Weg verbunden.
(3) G ist zusammenhängend und es gilt: |E| = |V | − 1.
Beweis: (1) ⇒ (2) und (2) ⇒ (1) sind einfache indirekte Schlüsse. Die erste Implikation
sieht man z.B. wie folgt. Angenommen es gibt zwei Knoten u, v, zwischen denen nicht genau
ein Weg verläuft. Dann gibt es entweder gar keinen Weg von u nach v oder mindestens zwei
verschiedene Wege. Im ersten Fall wäre der Graph nicht zusammenhängend, im zweiten Fall
würde er einen Kreis enthalten. In jedem Fall ist aber G kein Baum.
Die Gegenrichtung kann mit ähnlichen Argumenten begründet werden: Angenommen G ist
kein Baum, dann ist G nicht zusammenhängend oder G enthält einen Kreis. Im ersten Fall
wählt man u und v aus verschiedenen Zusammenhangskomponenten von G und es gibt keinen
Weg von u nach v, im zweiten Fall wählt man aus einem Kreis zwei Knoten u und v für
die es dann zwei verschiedene Verbindungswege gibt. In beiden Fällen komen wir auf einen
Widerspruch zu (2).
Wir zeigen (1) ⇒ (3):
Für Bäume der Ordnung a ist das offensichtlich. Sonst hat jeder Baum Knoten vom Grad 1,
sei u 1 einer von ihnen und u 2 der einzige Nachbar von u 1 in G. Wir entfernen u 1 und die
Kante {u 1 , u 2 } aus G und erhalten einen zusammenhängenden Restgraphen G ′ . Dieser hat
genau einen Knoten und eine Kante weniger als G. Wenn wir dies iterieren, bleibt zum Schluss
genau ein Knoten ohne Kanten übrig. Also |E| = |V |−1. Auf das Iterieren kann man natürlich
verzichten, wenn man den Beweis mit vollständiger Induktion führt.
Wir zeigen (3) ⇒ (1):
Sei T = (V, E ′ ) aufspannender Baum von G, damit |V | − |E ′ | = 1. Aber nach Vorraussetzung
gilt auch |V | − |E| = 1. Allerdings ist E ′ ⊆ E und die einzige Möglichkeit hierfür ist E = E ′ .
2

Folgerung 1: Ist G ein Graph der Ordnung n mit genau k Zusammenhangskomponenten,
dann hat jeder aufspannende Wald von G die Größe n − k.
Folgerung 2: Ist G = (V, E) ein Graph, T = (V, E ′ ) ein aufspannender Wald von G und
e ∈ E \ E ′ eine Kante aus G, die nicht in T liegt, dann enthält der Graph H = (v, E ′ ∪ {e})
genau einen Kreis.
Grundidee von Breiten- und Tiefensuche
Zur Konstruktion von aufspannenden Bäumen mit speziellen Eigenschaften gibt zwei Standardverfahren,
die Breitensuche (BFS - Breadth-first search) und die Tiefensuche (DFS -Depth-first
search).
Beide Algorithmen starten von einem vorher (beliebig) festgelegten Knoten r ∈ V , der sogenannten
Wurzel, und besuchen in jedem Schritt von einem bereits erreichten Knoten aus einen
benachbarten, aber noch nicht besuchten Knoten. Die Kanten, über die diese Besuche erfolgen,
bilden den aufspannenden Baum.
Die beiden Verfahren unterscheiden sich dadurch, von welchem der jeweils erreichten Knoten
die Suche fortgesetzt wird. Dazu betrachten wir die aktuelle Reihenfolge in der die Knoten
besucht wurden. Bei der Breitenssuche wählt man als aktuellen Ausgangspunkt den ersten
Knoten in dieser Folge, der einen unbesuchten Nachbarn besitzt, bei der Tiefensuche den
letzten. Falls dieser Ausgangspunkt mehrere unbesuchte Nachbarn besitzt, kann man einen
beliebigen auswählen oder sich bei nummerierten Knoten auf den kleinsten festlegen.
Es ist klar, dass beide Verfahren in einem (möglicherweise unzusammenhängenden) Graphen
G einen aufspannenden Baum für die Zusammenhangskomponente der Wurzel liefern. Durch
Wiederholung auf allen Zusammenhangskomponenten (jeweils mit einer neuen Wurzel) erhält
man einen aufspannenden Wald.
3