MafI I: Logik & Diskrete Mathematik

3. 2 Würfel (3 Punkte)
Zeigen Sie, dass es keine 2 Würfel mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen (p 1 , . . . , p 6 )
bzw. (q 1 , . . . , q 6 ) geben kann, so dass beim Wurf als Summe der Augen die Werte 2 bis
12 gleichverteilt mit Wahrscheinlichkeit 1/11 angenommen werden. Tipp: Nehmen Sie
an, es ginge doch und diskutieren Sie die Augensummen 2, 12 und 7.
Lösung: Wir nehmen an, die Summenwerte 2 bis 12 werden gleichverteilt mit
einer Wahrscheinlichkeit von 1
11
angenommen. Die Augensumme 2 wird nur dann
erreicht, wenn mit beiden Würfeln eine 1 gewürfelt wird. Die Augensumme 12 wird nur
dann erreicht, wenn mit beiden Würfeln eine 6 gewürfelt wird.
p 1 q 1 = 1 11
p 6 q 6 = 1 11
Da die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 7 ebenfalls 1
11
beträgt, gilt weiterhin
p 1 q 6 +p 6 q 1 +p 3 q 4 +p 4 q 3 +p 2 q 5 +p 5 q 2 = 1
11 , wobei p 3q 4 +p 4 q 3 +p 2 q 5 +p 5 q 2 > 0. Das heißt:
p 1 q 6 + p 6 q 1 < 1 11
Durch umformen der ersten beiden Gleichungen nach p 1 und p 6 , einsetzen in die
Ungleichung und Äquivalenzumformungen erhält man folgende Aussage:
q 6
q 1
+ q 1
q 6
< 1
WIDERSPRUCH
Begründung:
Da q 1 und q 6 größer als Null sind, nehmen beide Summanden positive Werte an. Da
q 1 ≤ q 6 oder q 1 > q 6 , folgt: q 6
q 1
≥ 1 oder q 1
q 6
≥ 1.
Die Summe der Augen wird nicht gleichverteilt mit einer Wahrscheinlichkeit von
1
11 angenommen.
4. Rekursion I (4 Punkte)
Lösen Sie die folgende homogene Rekursionsgleichung vom Grad 3:
a n = 7a n−2 + 6a n−3
mit den Randbedingungen a 0 = 9, a 1 = 10, a 2 = 32.
5. Rekursion II (4 Punkte)
Sei f(n) die Anzahl der Wörter der Länge n > 0 über dem Alphabet Σ = {0, 1, 2}, in
denen keine zwei Nullen hintereinander stehen.
Geben Sie die Rekursionsgleichung an und lösen Sie sie.
Tipp: Man kann bestimmt jedes zulässige Wort der Länge n − 1 mit 1 bzw. 2 fortsetzen
und bekommt eines der Länge n. Wieviele kann man mit 0 fortsetzen?