MafI I: Logik & Diskrete Mathematik

Es gibt ( (
7
3)
Möglichkeiten, die Positionen für die Dreien auszusuchen, mal
4
)
2
Möglichkeiten, die Positionen für die a’s festzulegen. Wo die c’s stehen ist damit
schon klar. Das sind insgesamt 35 · 6 = 210 Möglichkeiten.
(d) Wieviele Strings der Länge 7 kann man bilden, wenn genau 3 Ziffern vorkommen
sollen und genau zwei der restlichen Zeichen ein c sind? Wiederholungen sind erlaubt.
Lösung:
Wir kodieren die möglichen Strings durch folgende Informationen: An welchen
Positionen stehen die 3 Ziffern? Das sind ( 7
3)
viele Möglichkeiten. Welche Ziffern
stehen dort? Das sind 4 3 Möglichkeiten. Es gibt weiterhin ( 4
2)
Möglichkeiten aus
den verbleibenden 4 Positionen die Zeichen c auszuwählen und an den zwei Restpositionen
stehen dann beliebige der verbleibenden 4 Buchstaben. Die Produktformel
liefert als Gesamtanzahl:
( ( 7 4
· 4
3)
3 · · 4
2)
2 = 215040
(e) Wieviele symmetrische binäre Relationen gibt es in A?
Lösung:
Eine symmetrische Relation entspricht eine Matrixdartellung, die bezüglich der
Hauptdiagonalen symmetrisch ist. Davon gibt es 2 45 viele, denn für jeden der 45
Einträge auf oder über der Hauptdiagonalen, kann man festlegen ob es eine 0
oder 1 sein soll. Die restlichen 36 Einträge unter der Hauptdiagonalen sind dann
determiniert.
(f) (Schwerer) Wieviele Äquivalenzrelationen gibt es in A, deren Äquivalenzklassen
die Größe 3, 3, 2 und 1 haben?
Lösung:
Äquivalenzrelationen korrespondieren zu Partitionen der Grundmenge, wir zählen
diese ab und zwar zunächst geordnete Partitionen, bei denen die Blöcke der Partition
der Größe nach geordnet sind. Wir wählen also die 3 Elemente vom ersten
Block (das sind ( 9
3)
Möglichkeiten), dann jeweils aus den restlichen 6 Elementen den
zweiten Block der Größe 3 ( also ( 6
3)
Möglichkeiten) und danach aus den 3 verbleibenden
Elementen den 2-er Block ( ( 3
2)
Möglichkeiten). Der Block der Größe 1 ist
dann determiniert. Die Produktformel liefert für die nach Blockgröße geordneten
Partitionen ( ( ( 9 6 3
· · = 5040
3)
3)
2)
viele Möglichkeiten. Bei dieser Abzählung wird jede ungeordnete Partition genau
zweimal aufgelistet, nämlich mit den 2 Möglichkeiten die 3er–Blöcke anzuordnen.
Damit gibt es 2520 Äquivalenzrelationen in A, deren Äquivalenzklassen die Größe
3, 3, 2 und 1 haben.
4. Identität I
Zeigen Sie die Identität für n ≥ 0:
( ) ( 2n n
= 2 + n
2 2)
2