MafI I: Logik & Diskrete Mathematik

Musterlösungen zum 8. Aufgabenblatt zur Vorlesung
MafI I: Logik & Diskrete Mathematik
(F. Hoffmann)
1. Abzählen I
Eine Gruppe von n Frauen und n Männern sollen sich für ein Gruppenfoto in einer Reihe
aufstellen und zwar keine 2 Frauen bzw 2 Männer nebeneinander. Wieviele verschiedene
Fotos sind möglich?
Lösung:
Es gibt n! Möglichkeiten, die Frauen linear hinzustellen, ebenso n! Möglichkeiten für
die Männer. Nehmen wir eine konkrete Anordnung der Frauen und eine konkrete für
die Männer, so gibt es 2 Möglichkeiten, daraus ein Gesamtbild zu machen, entweder
steht die erste Frau ganz links oder der erste Mann. Die Gesamtanzahl verschiedener
möglicher Bilder ist also 2(n!) 2 .
2. Abzählen II
Wieviele dreistellige positive ganze Zahlen sind durch 3, aber nicht durch 4 teilbar? Und
wieviele dreistellige positive ganze Zahlen sind durch 3 oder durch 4 teilbar?
Lösung:
Seien N i die Menge der durch i ohne Rest teilbaren dreistelligen positiven ganzen Zahlen.
Es gibt |N 3 \ N 12 | = 300 − 75 = 225 dreistellige Zahlen, die durch 3 aber nicht durch 4
teilbar sind.
Und mit dem Inklusions-Exklusions-Prinzip sind |N 3 ∪ N 4 | = |N 3 | + |N 4 | − |N 12 | =
300 + 225 − 75 = 450 dreistellige Zahlen durch 3 oder 4 teilbar.
3. Abzählen III
Sei A die 9–elementige Menge bestehend aus den 5 Buchstaben {a, b, c, d, e} und den
4 Ziffern {0, 1, 2, 3}. Beantworten Sie die folgenden Fragen und geben Sie kurze Begründungen!
(a) Wieviele Strings der Länge 7 kann man aus Elementen von A bilden, wenn Wiederholungen
erlaubt sind?
Lösung:
Das sind 9 7 = 4782969 viele, entspricht der Anzahl der Abbildungen der 7 Positionen
im String in die 9–elementige Menge.
(b) Wieviele Strings der Länge 7 kann man aus Elementen von A bilden, wenn Wiederholungen
nicht erlaubt sind?
Lösung:
Das sind 9 7 = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 181440 viele, entspricht der Anzahl der injektiven
Abbildungen der 7 Positionen im String in die 9–elementige Menge.
(c) Wieviele Strings der Länge 7 kann man aus genau drei 3en, zweimal Buchstabe a
und zwei Buchstaben c bilden?
Lösung:

Es gibt ( (
7
3)
Möglichkeiten, die Positionen für die Dreien auszusuchen, mal
4
)
2
Möglichkeiten, die Positionen für die a’s festzulegen. Wo die c’s stehen ist damit
schon klar. Das sind insgesamt 35 · 6 = 210 Möglichkeiten.
(d) Wieviele Strings der Länge 7 kann man bilden, wenn genau 3 Ziffern vorkommen
sollen und genau zwei der restlichen Zeichen ein c sind? Wiederholungen sind erlaubt.
Lösung:
Wir kodieren die möglichen Strings durch folgende Informationen: An welchen
Positionen stehen die 3 Ziffern? Das sind ( 7
3)
viele Möglichkeiten. Welche Ziffern
stehen dort? Das sind 4 3 Möglichkeiten. Es gibt weiterhin ( 4
2)
Möglichkeiten aus
den verbleibenden 4 Positionen die Zeichen c auszuwählen und an den zwei Restpositionen
stehen dann beliebige der verbleibenden 4 Buchstaben. Die Produktformel
liefert als Gesamtanzahl:
( ( 7 4
· 4
3)
3 · · 4
2)
2 = 215040
(e) Wieviele symmetrische binäre Relationen gibt es in A?
Lösung:
Eine symmetrische Relation entspricht eine Matrixdartellung, die bezüglich der
Hauptdiagonalen symmetrisch ist. Davon gibt es 2 45 viele, denn für jeden der 45
Einträge auf oder über der Hauptdiagonalen, kann man festlegen ob es eine 0
oder 1 sein soll. Die restlichen 36 Einträge unter der Hauptdiagonalen sind dann
determiniert.
(f) (Schwerer) Wieviele Äquivalenzrelationen gibt es in A, deren Äquivalenzklassen
die Größe 3, 3, 2 und 1 haben?
Lösung:
Äquivalenzrelationen korrespondieren zu Partitionen der Grundmenge, wir zählen
diese ab und zwar zunächst geordnete Partitionen, bei denen die Blöcke der Partition
der Größe nach geordnet sind. Wir wählen also die 3 Elemente vom ersten
Block (das sind ( 9
3)
Möglichkeiten), dann jeweils aus den restlichen 6 Elementen den
zweiten Block der Größe 3 ( also ( 6
3)
Möglichkeiten) und danach aus den 3 verbleibenden
Elementen den 2-er Block ( ( 3
2)
Möglichkeiten). Der Block der Größe 1 ist
dann determiniert. Die Produktformel liefert für die nach Blockgröße geordneten
Partitionen ( ( ( 9 6 3
· · = 5040
3)
3)
2)
viele Möglichkeiten. Bei dieser Abzählung wird jede ungeordnete Partition genau
zweimal aufgelistet, nämlich mit den 2 Möglichkeiten die 3er–Blöcke anzuordnen.
Damit gibt es 2520 Äquivalenzrelationen in A, deren Äquivalenzklassen die Größe
3, 3, 2 und 1 haben.
4. Identität I
Zeigen Sie die Identität für n ≥ 0:
( ) ( 2n n
= 2 + n
2 2)
2

einmal mittels eines kombintorischen Arguments und einmal mit algebraischen Umformungen.
Lösung:
Kombinatorisch: Wir betrachten eine Menge aus n roten und n blauen Elementen. Die
linke Seite zählt die Anzahl der 2–elementigen Teilmengen. Das tut auch die rechte
Seite. Denn es gibt ( n
2)
Möglichkeiten einer 2–elementigen roten Teilmenge, ebensoviele
blaue und dann gibt es noch die n 2 Möglichkeiten einer 2–elementigen Teilmenge, die
aus einem roten und einem blauen Element bestehen.
Algebraisch:
( )
( 2n 2n(2n − 1)
n
= = 2n 2 − n = n(n − 1) + n 2 = 2 + n
2 2
2)
2
5. Identität II
Zeigen Sie mit einem kombinatorischen Argument, dass gilt:
n∑
k=1
( n
k = n2
k)
n−1
Lösung:
Wir betrachten eine Menge S mit n ≥ 1 Spielern und wollen daraus Mannschaften mit
einem Kapitän bilden. Die Mannschaften haben mindestens einen Spieler (und der ist
dann auch Kapitän) und höchstens n Spieler. Die linke Seite der Identität benutzt die
Summenformel und zerlegt dazu die Menge aller Mannschaften mit Kapitän nach ihrer
Größe. Bei Mannschaftsgröße k gibt es ( n
k)
Möglichkeiten zur Auswahl der Spieler und
das muss man kombinieren (Produktformel) mit den k Möglichkeiten einen Kapitän
auszuwählen.
Die rechte Seite der Identität kann man wie folgt interpretieren. Wir wählen zunächt
den Kapitän (n Möglichkeiten) und kombinieren das mit den Möglichkeiten, die anderen
Mannschaftsmitglieder hinzu zu wählen. Für einen Kapitän a sind das 2 n−1 viele, denn
die restliche Mannschaft entspricht einer Teilmenge von S \ {a}.
Hinweis: Bitte die Übungszettel immer mit den Namen aller Bearbeiter und (!) dem Namen
des Tutors versehen.Bitte beachten Sie den Abgabetermin!