Modellierung von Pflanzen

Computergraphik II 

Modellierung von Pflanzen 

Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 1


zwei unterschiedliche Herangehensweisen: 

1. Prozedurale Methoden (Algorithmen) 

intuitiv, einfache Parameter, Speziallösung für einzelne Pflanzen 

2. Regelbasierte Systeme (formale Grammatiken) 

lokale Regeln, schwierig aufzubauen, generell einsetzbar 

→ Verbindung beider Paradigmen durch regelbasierte Objekterzeugung 

→ Versuch, Stärken beider Ansätze zu verbinden 

→ andere Unterteilungen möglich 


¤ 

¦ £ 

§ 

§ ¤ 

© 

§ ¤ 

¢ 

£ ¢ 

£ ¦ ¢ 

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¦ £ 

¥ ¨ 

¥ 


Verzweigungsmuster aus zellulären Automaten 

→ Ulam 1966: zelluläre Automaten (v. Neumann) für Verzweigungen 

→ Zellen werden nach bestimmten Regeln angeschaltet 

5 4 

5 

43 

5 4 3 

43 

5 

54 

4 3 

53 

4¤ 

2 

1 2 

 

2 

4 3 

54 

3 

54 

 

5 

4 3 

2 

4 3 

43 

5 4 3 

43 

5 4 

5 

Verzweigungsmuster nach Ulam 



Erstes kontiunierliches Modell 

→ 1967, Biologe E. Cohen: Erzeugung von Verzweigungsstrukturen 

→ für jedes Verzweigungsmuster Fortran-Programm mit Wachstumsregeln 

Verzweigungsstrukturen nach Cohen 



Beschreibung des Modells: 

• Wachstum findet nur an den Spitzen der Äste statt 

• Stärke und Winkel des Wuchses werden durch die aktuelle Richtung, ein 

lokales Dichtefeld, dessen Gradienten sowie die Resistenz der Struktur 

gegen Winkelveränderungen bestimmt. 

• Die Verzweigungstendenz wird durch ein probabilistisches Maß bestimmt, 

das neben einem generellen Wert von der Entfernung zur letzten 

Verzweigung und vom lokalen Dichtefeld abhängt. 



Verfahren von Honda und Fischer 

→ weiteres prozedurales Modell 

• Die Internodien sind gerade, ihre Dicke wird nicht beachtet 

• Verzweigung geschieht binär, die Länge der verzweigenden Segmente 

(Kindsegmente) ist über zwei Verhältniswerte r 1 und r 2 auf die Länge 

des Vatersegments bezogen. 

• Vatersegment und die beiden Kindsegmente liegen in einer Ebene (Ausnahme 

Abzweigungen vom Hauptstamm, hier ist Divergenz zugelassen), 

die Kindsegmente haben einen konstanten Verzweigungswinkel. 

• Die Verzweigung nimmt in diskreten Schritten mit jeder Verzweigungsordnung 

zu. 



⇒ es wird untersucht, wie Regulationsmechanismen die Verzweigung 

steuern, d.h. keine Überlappung zwischen Ästen 

→ betrachteten Modelle sind zweidimansional und es werden zwei Arten 

von Regelungen untersucht: 

1. Verzweigung wird nur ausgeführt, wenn in einem um den Verzweigungspunkt 

gezogenen Kreis keine anderen Äste hineinragen 

→ Kreis hat konstante Größe 

Verzweigungsbildung nach Honda 



2. wie ändert sich Verzweigungcharakteristik ändert, Nachfolgeäste unterschiedliche 

Wachstumsraten erhalten 

Verzweigunsbildung nach Honda 



Erweiterte Vielfalt 

→ effiziente Modellierung von Verzweigungstrukturen 

→ welche Vielfalt kann damit erzeugt werden 

→ aufbauend auf Grundverfahren von Aono und Kunii: 

1. Verzweigung geschieht durch Bifurkation, die damit modellierten Bäume 

haben monopodiale oder sympodiale Form. 

2. Länge und Durchmesser der verzweigenden Äste nehmen mit konstantem 

Faktor ab, die Verzweigungswinkel bleiben konstant über alle Verzweigungsstufen. 

3. Die beiden verzweigenden Äste liegen in der Ebene, die durch den Vater 

und seinen maximalen Gradienten aufgespannt wird. 

4. Die Verzweigung geschieht simultan an allen Enden der Zweige. 



(a) 

(b) 

a) Parametrisierung von Ästen; b) Divergenzwinkel. 

Parameter im Modell nach Aono und Kunii 

→ Koordinaten von P 1 und P 2 ergeben sich über die Winkelfunktionen 

x i = x B + R i ∗ (u ∗ cos(h i ) − S ∗ T ∗ v ∗ sin(h i )) 

y i = y B + R i ∗ (v ∗ cos(h i ) + S ∗ T ∗ u ∗ sin(h i )) 

z i = z B + R i ∗ w ∗ cos(h i ) 



→ mit den folgenden Parametern 

(R i konstanter Reduktionsfaktor für den Radius): 

u = x B − x A , v = y B − y A , w = z B − z A 

S = 1/ √ u 2 + v 2 

T = √ u 2 + v 2 + w 2 

⇒ später Ansätze verwenden meistens Elemente dieses 

Verzweigungmodells 

→ Nachteile: 

→ Blätter werden aber nur rudimentär angedeutet 

→ Geomatrie von Stamm und Ästen ist nur durch 

Liniensegmenten unterschiedlicher Dicke dargestellt 



Ergebnisse: 

Verzweigungsstrukturen nach Aono und Kunii 



Darstellung von Bäumen über Partikelsysteme 

→ visuelle Modelle, für Film 

→ primitives rekursives Verzweigungmodell 

Postprocessing: Zufälligkeiten werden eingebaut 

Blätter: kleine Kugel mit Farbe und Ausrichtung 

→ wichtig: korrekte Farben sowie Licht/Schatten 

→ Ergebnis trotz botanischer Inkorrektheit brauchbar 



Ergebnisbilder: 

Strukturierte Partikelsysteme nach Reeves und Blau 



Fraktale Baummodelle nach Oppenheimer 

→ inspiriert durch Arbeiten von Mandelbrot 

→ rekursive Prozedur zur Erzeugung von Selbstähnlichkeit 

⇒ Verwendete Parameter sind: 

→ Verzweigungswinkel 

→ Verhältnis der Größe von Vater- und Kindzweigen 

→ Grad der Verjüngung entlang Stamm und Ästen 

→ Anzahl Zweige pro Stamm-Segment 

→ Deviationswinkel 



Ergebnisbild: 

Fraktales Baummodell nach Oppenheimer 



Algorithmus nach Oppenheimer: 

procedure fractaltree() 

begin 

Zeichne aktuelles Astsegment 

if (klein genug) 

then Zeichne Blatt 

else 

begin 

Transformiere für aktuellen Ast 

fractaltree() 

repeat 

begin 

Transformiere für Verzweigung 

fractaltree() 

end 

end end 



→ Stamm und Äste: generalisierte Zylinder durch Verbindung 

von Segmenten 

→ realistisch aussehende Rinde: 

horizental verlaufende Sägezahnfunktion + Brownsches Rauschen 

Rinde(x, y) = Sägezahn(N ∗ (x + R ∗ noise(x, y))) 

noise(x, y): periodisch in x− und y−Richtung verlaufendes Rauschen 



Geometrisches Modellieren in Bäumen (Bloomthal 

→ Kontrollpunkte über rekursiven Algorithmus erzeugt 

→ Punkte werden über Spline-Interpolation C2 stetig verbunden 

→ Oberfläche wird erzeugt, indem senkrecht zum Spline kreisförmige 

Scheiben angeordnet und verbunden werden 

→ Schwierigkeit: natürliche Verzweigungen 

→ Lösung: sattelförmige Flächen zwischen verzweigenden Strängen 

→ Rinde wird durch Bump- Mapping mit einer aus echter Rinde 

gewonnenen Textur dargestellt 



Ergebnisgeometrien nach Bloomthal: 

Prozedurales Modell nach Bloomthal 



Knospung: ein botanischer Ansatz 

→ Simulation des Wachstums der Spossachsen in diskreten 

Zeitabschnitten von Knoten zu Knoten 

→ entlang eines Sprosses wird so Internodium an Intermodium 

gesetzt, nach definierter Länge Blätter/Verzweigungen 

→ Spross kann ruhen oder absterben 

→ Knospe trägte Wahrscheinlichkeiten für Zustände in sich: 

1. Wahrscheinlichkeit abzusterben 

2. Wahrscheinlichkeit einen Zeitabschnitt auszusetzen 

3. Wahrscheinlichkeit sich zu verzweigen 



Wachstumsvorgang nach deReffye 

verwendete Parameter: 

• Alter des Baums, 

• Wachstumsgeschwindigkeiten der Äste verschiedener Ordnungen, 

• Anzahl möglicher Knospen pro Knoten in Abhängigkeit der Ordnung, 

• Wahrscheinlichkeiten für Absterben, Aussetzen, Verzweigen 



→ Der Algorithmus procedure budtree() 

begin 

for jedes Zeitsignal do 

begin 

for jede noch lebende Knsope do 

begin 

if Knospe stirbt nicht und setzt nicht aus 

then 

begin 

generiere Internodium 

generiere apikales Blatt 

end 

for jede in Frage kommende Knospe do 

begin 



if Knospe verzweigt 

then 

bilde Vezweigung 

end 

end 

end 

end 



Ergebnissgeometrien nach deReffye et al.: 

Ergebnisse botanisch motivierter Wachstumsmodelle nach deReffye 



Eine Kombinatorische Methode (Vienot et al.) 

→ Strahleranalyse weißt jedem Knoten/jeder Kante eine Zahl zu 

→ Erweiterung zu Biordnung: Zahlenpaar (c, d) pro Knoten 

ist k die Horton-Strahler-Ordnung des Vaters und i und j die 

der Söhne, so ist: 

c = k, d = i 

wenn j = k und i < k 

c = d = k − 1 sonst (i = j = k − 1) 

→ Biordnung beschreibt Charakteristikum des Knotens im Sinne der 

Ordnungsverteilung der Söhne 



→ für alle Knoten mit Strahler- Zahl wird Wahrscheinlichkeit für 

bestimmte Biordnung festgelegt 

→ Werte werden in Verzweigungsmatrix P gespeichert: 

→ a k Anzahl Knoten mit Horton-Strahler-Ordnung k k ≥ 2 

→ b k,i Anzahl Knoten mit Biordnung (k, i) 

1 ≤ i < k 

→ b k,k Anzahl Knoten mit Biordnung (k − 1, k − 1) k ≥ 2 

→ p kj = b k,j /a k 

1 ≤ i ≤ k 

→ entstandene Matrizen haben charakteristische Form für 

verschiedene Arten von Bäumen 



P perfekt = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

0 1 

0 0 1 

0 0 0 1 

. . . . ... 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Matrix für einen perfekt verzweigten binären Baum 

P zufall = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1/2 1/2 

1/2 1/4 1/4 

1/2 1/4 1/8 1/8 

1/2 1/4 1/8 1/16 1/16 

. . . . . ... 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Matrix für zufällige Binärbäume mit n Knoten 



→ topologisch selbstähnliche Verzweigungsstrukturen besitzen gleiche 

Zeilen, die um jeweils eine Spalte nach rechts verschoben sind 

P F arn = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 − 1/p 1/p 

0 1 − 1/p 1/p 

0 0 1 − 1/p 1/p 

. . . . ... 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Matrix für Farne 

→ zur Herstellung eines Baumes wird aus gegebener dreiecksförmiger 

(s − 1) × s Verzweigungsmatrix R und gegebenen 

S ≤ s zufällig ein Binärbaum T n mit Horton-Strahler 

Zahl S erzeugt, dessen Verzweigungmatrix ähnlich R ist 



procedure kombitree() 

begin 

erzeuge T 1 

n = 1 

repeat 

Wähle terminale Kante aus T n mit Horton-Strahler-Ordnung k > 1 

Verzweige von dieser Kante und gebe den Kindkanten die 

Ordnungen k und i entsprechend der 

Wahrscheinlichkeiten für die Biordnung der 

Kanten dieser Ordnung in der Verzweigungsmatrix 

T n+1 = T n 

until alle terminalen Kanten von T n+1 haben 

Horton-Strahler-Ordnung k = 1 

end 



Ergebnisgeometrien nach Vienot et al.: 

Kombinatorischer Aufbau von Bäumen nach Vienot 



Bäume aus Strängen 

→ Idee: Leonardo da Vinci 

→ Baum wird durch Stränge von der Wurzel bis zu jeweils einem Blatt 

definiert 

→ in einer Gabelung werden die Stränge aufgeteilt und laufen 

als Kinder weiter 

→ dabei ist die Summe des Querschnitts des Vaters einer Astgabelung 

gleich die Summe der Querschnitte der Söhne 

→ Anzahl der Stränge bestimmt Dicke und Länge der Äste, Anzahl 

der Blätter und den Verzweigungswinkel 



→ gabelt sich ein Ast mit S 0 Strängen, wobei das Verhältniss 

der Strangzahlen mit P G,W in Abhängigkeit von der 

Gravelius- und Weibull- Ordnungszahl des Astes gegeben ist, 

so gilt für die Anzahl der Stränge S 1 , S 2 in den Kindern: 

S 1 = 1 + P G,W (S 0 − 2) 

S 2 = 1 + (1 − P G,W )(S 0 − 2) 

S 0 = S 1 + S 2 . 

Modell aus Strängen nach Holton 



→ Druchmesser der Äste: d i = T √ S i 

mit T eine Konstante daraus folgt: 

d 2 0 = d 2 1 + d 2 2. 

→ Länge der Zweige wird aus den Strängen berechnet, wobei Verhältniss 

der Wurzelfunktionen der Strangzahlen verwendet wird: 

a 1 = S 2 

S 0 

A G,W 

a 2 = A G,W − a 1 

→ charakteristische Längen L i und und aktive im Modell erscheinende 

Längen l i sind vom Benutzer vorgegebene Parameter 



Bäume nach Holton: 

Beispielbäume nach Holton 

→ Tannen aus jeweils 2500 Strängen 



Aproximatives Modellieren der Pflanzengestelt 

→ Ziel ist es aproximative Lösungen für Bäume im Hintergrund zu finden 

→ Baumprozedur benötigt 50 Parameter, wie Form des Baumes, Größe 

des untern Teils ohne Äste, Anzahl Verzweigungebenen und Form 

des Stammfußes (=generelle Parameter) 

Beispielpflanze nach Weber und Penn 



Wachstum mit Voxeln 

→ Betrachtung von Interaktion von Pflanzen mit ihrer Umgebeung 

und ihr effiziente Erzeugung 

→ Zerlegung der Szene in Voxel und Spezifizierung der Voxel, in denen 

die Winde wachsen kann 

→ ein parametrisierbarer probabilistischer Algorithmus läßt die Pflanze 

von manuelle spezifizierten Saatpunkt aus wachsen 

→ über Suchstrategien werden Internodien in den möglichen Voxeln 

platziert (dabei Betrachtung des direkt einfallenden Sonnenlichts und 

diffusen Beleuchtungen 



Voxelpflanzen nach Green: 



Voxelmodell nach Green 



Regelbasierte Modellierung von Planzen 

→ Verwendung einer formalen Regelbasis um einen Anfangszustand in 

einen Endzstand zu verwandeln 

→ ermöglicht eine äußerst kompakte Beschreibung für komplexe 

Endzustände 

→ Daten müssen in einem zeitaufwendigen Prozess aus 

Regelmenge generiert werden 

→ in einem Textersetzungssystem werden Zeichen in einem Text durch 

andere ersetzt mit Hilfe von Regeln 

→ zur Herstellung der Geometrien werden die Zeichen des Textes 

graphisch interpretiert 



Ersetzungssysteme 

klassisches Beispiel: Koch-Kurve 

→ jede Ersetzung geschieht graphisch, d.h. jede Kante wird durch 

eine Folge von Kanten ersetzt 

→ Ersetzungsvorgang wird durch den Generator realisiert 

→ sukzessive Anwenden des Genarators auf die Kanten des initialen 

Objektes (Initiator) ergibt eine Komplexe Figur 



mögliche Ersetzungssysteme: 

• Graphen 

Kanten oder Knoten werden durch Teilgraphen ersetzt 

• Felder 

Werte oder Wertekombinationen in einem Felde werden durch andere 

Werte ersetzt 

• Texte 

Es werden Zeichen in einem Text ersetzt 



Lindenmayer- Systeme 

→ Lindenmayer- System (L- System) ist ein Textersetzungssystem 

→ gegeben durch eine formale Grammatik G = (V, ω, P ) mit: 

V ...Alphabet 

ω... ein nichtleeres Wort (Axiom) 

P ... eine Menge von Produktionen 

→ die Menge V ∗ ist die Menge der Worte über V 

die Menge V + ist die Menge aller nichtleeren Worte 

→ eine Produktion p ∈ P wird beschrieben durch: 

φ ::= χ mit φ, χ ∈ V + 

→ in einem kontextfreien L- System (OL-System) hat φ die Länge 

Eins, d.h. die Regel ist immer anwendbar, wenn a = φ auftaucht 



Kontextsensitive L- Systeme 

→ in einem kontextsensitiven L- System wird die Anwendbarkeit einer 

Regel vom Umfeld des Buchstabens abhängig gemacht: 

φ = τaυ mit τ, υ ∈ V + und a ∈ V 

→ Hat τ die Länge k und υ die Länge l, so nennt man 

dies ein (k,l)-System 

Deterministische L- System 

→ in deterministischem L- System (DOL-Systeme) existiert zu einem 

φ höchstens eine Regel mit φ als linke Seite 



Stochastische L- Systeme 

→ stochastische L- Systeme werden beschrieben durch formale 

Grammatik: 

G = (V, ω, P, π) 

→ in Ergänzung zum deterministischem L- System wird der Produktions- 

Menge P eine Menge von Wahrscheinlichkeiten π : P → (0, 1] 

zugeordnet 



→ in L- Systemen erfolgt die Ersetzung parallel 

→ pro Schritt werden alle möglichen Ersetzungen vorgenommen 

→ daraus entstehen neue Mächtigkeiten in Bezug auf die 

Chomsky-Sprachen 

IL-Systeme 

Endliche Sprachen 

Reguläre Sprachen 

(k,l)-Systeme 

Kontextfreie Sprachen 

Kontextsensitive Sprachen 

Aufzählbare Sprachen 

Mächtigkeit von 0L- Systemen und (kl)-Systemen im Vergleich zu Chomsky-Sprachen 



Ein Beispiel: 

Alphabet: V = {f, F, +, −} 

Axiom: w = F − −F − −F 

Regelmenge: P = {F ::= F + F − −F + F } 

Entstehende Ableitungsfolge: 

F − −F − −F 

F + F − −F + F − −F + F − −F + F − −F + F − −F + F 

F + F − −F + F + F + F − −F + F − −F + F − −F + F + F + 

F − −F + F − −F + F − −F + F + F + F − −F + F − −F + 

F −−F +F +F +F −−F +F −−F +F −−F +F +F +F −−F +F 

→ Text muß im letzen Schritt graphisch interpretiert werden 



Graphische Interpretation 

→ häufig verwendet: Turtle-Metapher (Schildkröte) 

→ hierbei wird eine Turtle über die Zeichenebene oder durch 

den Raum geschoben 

→ Zustand der Turtle: Vektor (x, y, α) aus Position+Winkel 

der aktuellen Bewegungsrichtung (plus weiteres) 

→ ist Position und Richtung vorgegeben, so läuft Turtle immer 

geradeaus bis Richtungsänderung notwendig wird 



→ Fahrbefehle für die Turtle: 

F 

f 

Bewege Turtle um Länge d in aktueller Richtung, zeichne 

eine Linie: (x, y, α) → (x + d cos δ, y + d sin δ, α) 

Bewege Turtle um Länge d in aktueller Richtung, ohne zu 

zeichnen: (x, y, α) → (x + d cos δ, y + d sin δ, α) 

+ Erhöhe aktuellen Winkel um δ: 

(x, y, α) → (x, y, α + δ) 

- Erniedrige aktuellen Winkel um δ: 

(x, y, α) → (x, y, α + δ) 

→ was kommt bei Beispiel heraus (Winkel: 30 ◦ ) 



Raumfüllende Kurven 

→ weitere Kurven erhält man, wenn zwei zusätliche Zeichen L und R 

dem Alphabet hinzugefügt werden 

→ sie signalisieren den Zustande eines Kurvenstückes und werden 

bei der Expansion getrennt behandelt 

→ für Fahranweisung spielen sie jedoch keine Rolle 

→ man unterscheidet Kanten- und Knotenersetzungen: 



Beispiel für Knotenersetzung: 

Sei n = 3, δ = 90 ◦ und w = −L. Mit den Produktionen: 

L ::= LF + RF R + F L − F − LF LF L − F RF R+ 

R ::= −LF LF + RF RF R + F + RF − LF L − F R 

Ergebnis: 



werden die Produktionen auf folgende Weise verändert 

L ::= LF LF + RF R + F LF L − F RF − LF L − F R + F + RF − LF L − 

F RF RF R+ 

R ::= −LF LF LF + RF R + F L − F − LF + RF R + F LF + RF RF − 

LF L − F RF R, 

Ergebnis: 



Dreidimensionale Fahrbefehle 

→ allgemeine Rotationen werden durch Rotationen bzgl. der drei 

Koordinatenachsen beschrieben 

→ Differenzwinkel δ kann nun drei Winkel (α, β, γ) 

bezüglich der x-,y- und z-Achse verändern 

→ Zustand der Maschine wird über das Tupel (x, y, z, M) 

beschrieben, mit M als Rotationsmatrix 

zugehörige Fahrbefehle: 

F 

Bewege Turtle um Vektor ⃗ d in aktueller Richtung, zeichne 

eine Linie: (x, y, z, M) → (x + (M ⃗ d) 1 , y + (M ⃗ d) 2 , z + 

(M ⃗ d) 3 , M) 



f 

Bewege Turtle um Länge d in aktueller Richtung, ohne zu 

zeichnen: (x, y, z, M) → (x + (M ⃗ d) 1 , y + (M ⃗ d) 2 , z + 

(M ⃗ d) 3 , M) 

+ Erhöhe aktuellen Winkel γ um δ: (x, y, z, M) → 

(x, y, z, M · R γ (δ)) 

- Erniedrige aktuellen Winkel γ um δ: (x, y, z, M) → 

(x, y, z, M · R γ (−δ)) 

& Erhöhe aktuellen Winkel β um δ: (x, y, z, M) → 

(x, y, z, M · R β (δ)) 

∧ Erniedrige aktuellen Winkel β um δ: (x, y, z, M) → 

(x, y, z, M · R β (−δ)) 

\ Erhöhe aktuellen Winkel α um δ: (x, y, z, M) → 

(x, y, z, M · R α (δ)) 



/ Erniedrige aktuellen Winkel α um δ: (x, y, z, M) → 

(x, y, z, M · R α (−δ)) 

| Drehe um, hierbei verwende Matrix R γ (180 ◦ ): 

(x, y, z, M) → (x, y, z, M · R α (180 ◦ )) 



Verzweigungstrukturen 

→ zur Erzeugung von Verzweigungsstrukturen werden verwendete 

L- System erneut erweitert 

→ Abarbeitung geschieht als sogenannter Pushdown- Automat 

Pushdown- Automaten 

→ um bei Auswertung einen Pushdown- Automaten zu implementieren 

muss mittels eines Stacks der aktuelle Zustand des Systems 

gespeichert und auch wieder geladen werden können 

Zeichen: 

[ Speichere aktuellen Zustand (x, y, z, M) auf Stack 

] Lade Zustand (x, y, z, M) vom Stack 



(a) (b) (c) (d) 

Abbildung n δ w P 

(a) 5 25,7 ◦ F { F ::= F[+F]F[-F]F } 

(b) 4 22,5 ◦ F { F ::= FF-[-F+F+F]+[+F-F-F] } 

(c) 7 25,7 ◦ X { X ::= F[+X][-X]FX, F ::= FF } 

(d) 5 22,5 ◦ X { X ::= F[[X]+X]+F[+FX]-X, F ::= FF } 



Dreidimensionales Beispiel: 

A ::= [&F L!A]///// ′ [&F L!A]/////// ′ [&F L!A] 

F ::= S/////F 

S ::= F L 

L ::= [ ′′′ ∧ ∧ {−f + f + f − | − f + f + f}] 

→ geschweifte Klammern dienen zur Markierung eines grphischen Pfades 

in Form einer Folge von Punkten 

→ Punke werden bei Geometrieerzeugung über Triangulierung in 

eine Fläche umgewandelt 

→ ! und ’ dienen zur Vermiderung des Astdurchmessers und zur 

Steuerung der Farben 



Ein dreidimensionaler Busch 

aus Prusinkiewicz, Lindenmayer: The algorithmic beauty of plants 



Stochastische und parametrische Systeme 

→ bisher vorgestellte L- Systeme erzeugen immer dieselben 

Verzweigungsstrukturen 

→ nun: zufällige Ereignisse in die Strukturen einbauen 

→ Variation von Parametern 

→ zufällige Anwendung der Regeln (mehrer Regeln mit gleicher 

linker Seite, Auswahlmechanismus) 

→ außerdem: Einführung von Parametern 

→ diese werden während Expansion verändert 



F(w) 

f(w) 

Bewege Turtle um Vektor ⃗ d(w) in aktueller Richtung, 

zeichne eine Linie: (x, y, z, M) → (x + (M ⃗ d(w)) 1 , y + 

(M ⃗ d(w)) 2 , z + (M ⃗ d(w)) 3 , M) 

Bewege Turtle um Länge d in aktueller Richtung, ohne 

zu zeichnen: (x, y, z, M) → (x + (M ⃗ d(w)) 1 , y + 

(M ⃗ d(w)) 2 , z + (M ⃗ d(w)) 3 , M) 

+(w) Erhöhe aktuellen Winkel γ um a: (x, y, z, M) → 

(x, y, z, M · R γ (w)) 

&(w) Erhöhe aktuellen Winkel β um a: (x, y, z, M) → 

(x, y, z, M · R β (w)) 

/(w) Erhöhe aktuellen Winkel α um a: (x, y, z, M) → 

(x, y, z, M · R α (w)) 



Ein einfaches Beispiel: Binärbaum 

mit n = 10, δ = 85 ◦ , R = 1.456 und Axiom w = A(1)) 

Produktion: 

A(s) ::= F (s)[+A(s/R)][−A(s/R)] 



Weitere Beispiele mit parametrisierten L- Systemen: 



Phyllotaxis 

→ Beschreibung der Anordnung von Blättern und Blütenblättern in 

Pflanzen 

→ Beispiel: Arangements der Samen der Sonnenblume 

→ mathematische Beschreibung: goldener Schnitt 

r i = c · √i 

α i = i · φ (1) 

wobei c eine positive Konstante ist und φ genau den Wert von 137.5 ◦ 

einnehmen muß. Es gilt 

φ = 360◦ 

τ 2 = 137.5077.. ◦ mit τ = 

√ 

5 + 1 

. (2) 

2 



Divergenz φ 

21er Nachbarschaft 

34er Nachbarschaft 

249 

248 

247 

246 

245 

244 

243 

242 

241 

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239 

238 

237 

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54 

 

53 

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43 

42 

41 

 

40 

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32 

31 

30 

 

29 

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25 

 

24 

23 

22 

21 

20 

 

19 

18 

17 

16 

15 

14 

13 

12 

11 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

φ = 137.2 o 

φ = 137.5 o 

φ = 137.7 o 



→ erstaunlich: Nachbarschaften entsprechen Fibonaccizahlen 

f = 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 ... 

a) 8-Nachbarschaft wird zu 144-Nachbarschaft 

b) Parastichien: 21 rot, 34 grün, 55 blau, 89 magenta, 144 

c) Nicht-Fibonacci-Zahlen erzeugen keine reinen Parastichien (22-26) 



Phyllotaxis mit L-Systemen 

Produktion: A(n) ::= +(137.5)[f( √ n) ∼D]A(n + 1) 

→ D ist L-System zur Beschreibung eines kleine Kreises 

→ Kompletter Kopf einer Sonnenblume unter Zuhilfenahme von 

L-Systemen zur Erzeugung der Form von Samen S, von 

Blütenständen R und von Blütenblättern M, N, O, P 

A(n) ::= +(137.5)[f( √ n)C]A(n + 1) 

C(n) : n ≤ 440 ::= ∼S 

C(n) : 440 < n ≤ 565 ::= ∼R 

C(n) : 565 < n ≤ 580 ::= ∼M 

C(n) : 580 < n ≤ 595 ::= ∼N 

C(n) : 595 < n ≤ 610 ::= ∼O 

C(n) : 610 < n ::= ∼P 



Sonnenblume und Rosen, generiert über parametische L-Systeme 




Animation mit L-Systemen 

→ differential L- Systems 

→ L-Systemartige Produktionen beschreiben topologische Änderungen 

und Differentialgleichungen die kontinuierlichen Prozesse 

→ Produktionen bestehen auf der linken Seite aus: 

φ = τaυ mit τ, υ, a ∈ V 

→ diese parametrischen 2L -Systeme besitzen den Parametersatz: 

φ = τ(w τ )a(w)υ(w υ ) 

→ kontinuierliche Verhalten der a(w) wird durch gewöhnliche 

Differentilagleichungen beschrieben 



Wachstum von Lychnis coronaria 




Interaktion von Pflanzen und Umwelt 

→ umweltsensitive L-Systeme 

Interaktion von Pflanzen mit ihrer Umwelt 



Regelbasierte Objekterzeugung 

Regelbasierte Verfahren: 

• mächtig und flexibel, um Struktur herzustellen 

• nicht intuitiv, Erzeugungsregeln lokal 

Prozedurales Modellieren: 

• mächtige Methode, um Geometrie 

• und auch Struktur herzustellen (CAD-Systeme) 

• intuitiv, aber beschränkt 



Idee: 

Regelbasiertes und prozedurales Modellieren verbinden 

Umsetzung: 

Baum repräsentiert Modell 

Knoten: 

Komponenten (Daten + Algorithmen) 

Kanten: 

Erzeugungsabhängigkeiten bzw. -regeln 



Geometrieerzeugung 

Drei Arten von Komponenten: 

1. Geometrieerzeugung (Primitive, Blätter, Zweige etc.) 

2. Multiplikation anderer Komponenten 

3. Globale Modellierung 

Problem: 

Strukturinformation wird auf zwei Arten repräsentiert: 

→ Multiplikatorkomponenten 

→ Graphstruktur 



Daher: 

Dreistufiger Algorithmus 

1. erzeuge Graph aus Komponentenprototypen 

(p-graph) 

2. expandiere Graph zu Baum (i-tree) 

3. erzeuge Geometrie durch Traversierung des Baums 



Komponenten 

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) 

Geometrieerzeugung: a) Simple, b) Revo, c) Horn, d) Leaf 

Multiplikation: e) Tree, f) Hydra, g) Wreath, h) Phiball 

Globale Modellierung: i) FFD, j) Hyperpatch, k) World 



Horn/Tree-Geometrie (inspiriert von Todd/Latham): 

T 2 

T 1 



Multiplikation: 

a) Hydra, b) Wreath, c) Phiball 



Ein Beispiel 

A 

B 

C 

D 

Wurzel 

Geometrieerzeugende Komponente 

Multiplikator (Anzahl Kopien=3) 

Geometrieerzeugende Komponente (Rekursionstiefe=3) 



→ Multiplikatoren speichern Werte in Form von Wertebereichen 

→ Jede multiplizierte Komponente erhält individuellen Wert 



Pflanzenbeispiel Eins: Sonnenblume 



Pflanzenbeispiel Zwei: Rhododendron 



Pflanzenbeispiel Drei: Baum 



Erzeugung von Pflanzenpopulationen/ 

Ökosystemen 

• Verwendung parametrisierter Pflanzenmodelle 

→ xfrog, L-Systeme 

• Spezifikation von Terrain und Bodendaten 

→ interaktiv oder mit Geodaten 



• Spezifikation von Pflanzenpositionen 

und -parametern 

→ interaktiv, deklarativ oder simulativ 

• Reduktion von Geometriedaten 

→ Quantisierung, approximative Instanziierung 

• effiziente Bilderzeugung 

→ cache-koherentes Raytracing 

→ hardware-beschleunigtes Raycasting 



Spezifikation von Pflanzenpositionen und 

-parametern 

Möglichkeiten: 

a) Interaktive Spezifikation“Malprogramm” 

b) Prozedurale Generierung anhand explizit bekannter Verteilungen 

→ Interpretation von Satellitenbildern 

c) Prozedurale Generierung aufgrund 

von Simulationsverfahren 

→ Verdrängung, Kampf um Licht 



Interaktive Spezifikation 

Anwendungen: 

• Gärten, Parks, gestaltete Landschaften 

• menschliche Einflußnahme 

Vorgehensweise: 

• male Bilder, deren Grauwerte Parameter bestimmen 

→ Positionen, Größe/Prosperität, Orientierung, Auflösung 

• bestimme Positionen durch Halftoning Verfahren 

→ hierbei evtl. Relaxation 



• ordne Pflanzenpositionen Parameterwerte zu 

→ Funktionen spezifizieren, wie Bilder interpretiert werden 

• erzeuge Datei mit Pflanzenparametern 



Beispiel: Garten 

Parameterbilder, Positionen: 



Generiertes Bild: 



Grasmodell: 



Spezifikation durch Simulation 

→ Ausgangspositionen zufällig oder interaktiv spezifiziert 

→ Simulation von Selbstverdrängung (self-thinning) 

Yoda et al.: 

log(m) = − 3 log[d] + const 

2 

(m: Trockengewicht, d: Pflanzendichte) 

Population unter Selbstverdrängungskurve 

⇒ mehr Individuen 

Wachstum (Vergrößerung des Gewichts) 

⇒ Selektion 





→ Simulation verschiedener Pflanzenarten 

Komplexeres Modell: 

→ Verdrängung/Selbstverdrängung 

→ Umweltfaktoren (Wasser, Erdbeschaffenheit)

Modellierung von Pflanzen

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