1 laplace-transformation

Fakultät Informatik Institut für Angewandte Informatik, Professur Technische Informationssysteme
KOMMENTIERTE FORMELSAMMLUNG
ZUR LEHRVERANSTALTUNG
„METHODEN DER
QUALITÄTSSTEUERUNG IN
TECHNISCHEN PROZESSEN“
Dipl.-Inf. Denis Stein 1
25. Januar 2011
1 E-Mail: vorname.nachname@tu-dresden.de

INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis 3
1 Laplace-Transformation 5
1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Ausgewählte Korrespondenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Pol-Nullstellen-Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Alternative Wege für die Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 z-Transformation 11
2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Ausgewählte Korrespondenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Pol-Nullstellen-Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Alternative Wege für die Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3

2.4.1 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.3 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Literaturverzeichnis 19
4 INHALTSVERZEICHNIS

1 LAPLACE-TRANSFORMATION
1.1 DEFINITIONEN
• (einseitige) Laplace-Transformation 2 :
– Transformation von Funktionen im Zeitbereich in Funktionen im Bildbereich 3
– F(s) = L { f(t) } ∞∫
:= f(t) · e −s·t dt
mit
∗ f(t < 0) = 0 4
∗ s = σ + j · ω, s ∈ C:
0
· Realteil von s: Re{s} = σ ∈ R
· Imaginärteil von s: Im{s} = ω ∈ R
∗ Eulersche Formel: e ±j·ϕ = cos(ϕ) ± j · sin(ϕ)
• Laplace-Rücktransformation (auch inverse Laplace-Transformation) 56 :
– Transformation vom Bildbereich zurück in den Zeitbereich
⎧
– f(t) = L −1{ F(s) } c+j·∞
⎪⎨
∫
1
2·π·j
· F(s) · e t·s ds t ≥ 0
:=
c−j·∞
⎪⎩
0 t < 0
• Notation: f(t) ❝ F(s)
• Hin- und Rücktransformation werden oft – gegebenenfalls nach Partialbruchzerlegung
(siehe Abschnitt 1.4.1) – mithilfe sogenannter Korrespondenzen (Zusammenhänge von
Operationen sowie Funktionen im Zeit- und Bildbereich; siehe Abschnitt 1.2) gelöst.
2 Der Konvergenzbereich ist zu beachten.
Der Begriff „Bildbereich“ steht hier für „Bildbereich der Laplace-Transformation“.
Insbesondere gilt für den linksseitigen Grenzwert von f an der Stelle t = 0, das heißt bei Annäherung an t = 0
von −∞ kommend: f(0−) = lim f(t) = 0. Bei Annäherung an t = 0 von „rechts“, f(0+) = lim f(t), ergeben sich die
t→0− t→0+
n Anfangswerte dk
dt k f(t)| t=0+ (0 ≤ k ≤ n − 1; rechtsseitige Grenzwerte) von f und dessen erster bis (n − 1)-ter Ableitung
nach t an der Stelle t = 0+. n ist dabei die Ordnung der Differenzialgleichung („höchste Potenz“).
5 Der Konvergenzbereich ist zu beachten.
6 Siehe auch Abschnitt 1.4.
5

( )
• Anfangswertsatz 7 : f(0+) = lim f(t) = lim s · F(s)
t→0+ s→∞
( )
• Endwertsatz 8 : f(∞) = lim f(t) = lim s · F(s)
t→∞ s→0
1.2 AUSGEWÄHLTE KORRESPONDENZEN
1.2.1 Operationen
Sofern nicht anders angegeben handelt es sich in Tabelle 1.1 bei a und a j (1 ≤ j ≤ n) um
beliebige reellwertige Konstanten und bei j und n um natürliche Zahlen. Die Konvergenzbereiche
von Hin- und Rücktransformation sind zu beachten.
Bezeichnung (Bedingungen) f(t) 9 F(s)
Linearität
n∑
a j · f j (t)
j=1
n∑
a j · F j (s)
j=1
insbesondere n = 2 a 1 · f 1 (t) + a 2 · f 2 (t) a 1 · F 1 (s) + a 2 · F 2 (s)
Faltung im Zeitbereich 10 f 1 (t) ∗ f 2 (t) F 1 (s) · F 2 (s)
=
∫ t
0
f 1 (t − τ) · f 2 (τ) dτ
Rechtsverschiebung (a > 0) f 1 (t − a) e −a·s · F 1 (s)
(
Linksverschiebung (a > 0) f 1 (t + a) e a·s · F 1 (s) −
∫ a
0
)
f 1 (t) · e −s·t dt
Differenziation im Zeitbereich 1112
dn
dt
f n 1 (t)
s n · F 1 (s)
− n−1 ∑
j=0
( (
d j
dt j f 1 (t) ∣ ∣
t=0+
)
· s n−j−1 )
insbesondere n = 1
d
dt f 1(t) s · F 1 (s) − f 1 (0+)
Differenziation im Bildbereich t n · f 1 (t) (−1) n · dn
ds n F 1 (s)
Integration im Zeitbereich 13
Integration im Bildbereich 1314
∫t
0
f 1 (τ) dτ
1
s · F 1(s)
1
t · f 1(t)
∞∫
F 1 (τ) dτ
s
7 f(0+) ist der rechtsseitige Grenzwert von f bei t = 0.
8 f(∞) muss existieren. Bei gebrochenrationalen Funktion F(s) (siehe auch Gleichung 1.1 auf Seite 8) ist diese Bedingung
erfüllt, wenn für alle Polstellen s Re{s} ≤ 0 gilt und dabei höchstens eine – folglich reelle – Polstelle mit Re{s} = 0
existiert.
9 Beachte Anfangsbedingungen f(t < 0) = 0 und f j (t < 0) = 0 (1 ≤ j ≤ n).
10 Faltung im Bildbereich siehe beispielsweise [BSMM01, S. 735].
11 f 1 (0+) ist der rechtsseitige Grenzwert von f 1 bei t = 0.
12 f 1 muss n-mal differenzierbar sein (für t = 0 zumindest rechtsseitig).
13 Mehrfachintegrale siehe beispielsweise [BSMM01, S. 733f.].
14 f
Der rechtsseitige Grenzwert lim 1 (t)
muss existieren.
t→0+
t
6 Kapitel 1 Laplace-Transformation

1
Ähnlichkeit (a > 0) f 1 (a · t)
a · F s
)
1(
a
Dämpfung (a ∈ C) e −a·t · f 1 (t) F 1 (s + a)
Tabelle 1.1: Operationstabelle der Laplace-Transformation.
1.2.2 Funktionen
Bei der hier betrachteten einseitigen Laplace-Transformation verschwinden Funktionen f(t) im
Zeitbereich bekanntermaßen für Zeiten kleiner null (f(t < 0) = 0), was sich durch zwei
gleichwertige Schreibweisen ausgedrücken lässt:
• f(t) · σ(t) mit Einheitssprung σ(t) =
{
0 t < 0
1 t ≥ 0
sowie
• f(t) (t ≥ 0).
Im Folgenden wird letztere bevorzugt und auf die zusätzliche Angabe von σ(t) verzichtet 15 .
Tabelle 1.2 enthält die wichtigsten Korrespondenzen für Funktionen 16 . Sofern nicht anders
angegeben handelt es sich darin bei a um eine beliebige reellwertige Konstante und bei n um
eine natürliche Zahl. Die Konvergenzbereiche von Hin- und Rücktransformation sind zu beachten.
Bezeichnung (Bedingungen) f(t) 17 F(s)
{
Einheitsimpuls 18 0 t ≠ 0
δ(t) =
1
∞ t = 0
Potenzfunktion 19 1 n! · tn 1
s n+1
insbesondere n = 0 (Einheitssprung) 1
1
s
insbesondere n = 1 (Einheitsrampe) t
1
s 2
gedämpfte Potenzfunktion 19 1 n! · ea·t · t n 1
(s−a) n+1
insbesondere n = 0 e a·t 1
s−a
insbesondere n = 1 e a·t · t
1
(s−a) 2
15 Der Einheitssprung wird folglich durch f(t) = 1 (t ≥ 0) beschrieben.
16 Weitere Korrespondenzen siehe beispielsweise [Nix64, S. 128ff.], [Doe89, S. 225ff.], [LW10, S. 81ff.], [BSMM01,
S. 1093ff.], [Ase58, S. 287ff.], [Gro91, S. 103ff.], [Föl07, S. 106ff.], [Lun10a, S. 697f.], [WS06, S. 276], [Mer04, S. 117] oder
[MSF09, S. 396].
17 f(t < 0) = 0.
18 Dass die Theorie des Einheitsimpulses – eines bekanntermaßen nicht realisierbaren Signals – komplizierter ist, als
d
angenommen, zeigt folgendes Beispiel: dt σ(t) ❜ s · 1 − σ(0+) = 1 − 1 = 0 (δ(t) wurde erwartet). Für weitere
s
Ausführungen siehe bspw. [Ase58, S. 22ff.] oder DIN 5487.
19 ∏
k! = k i mit 0! = 1.
i=1
1.2 Ausgewählte Korrespondenzen 7

Sinusfunktion sin(a · t)
a
s 2 +a 2
(
sin(a · t)
) 2 2·a 2
s·(s 2 +4·a 2 )
Kosinusfunktion cos(a · t)
s
s 2 +a 2
(
cos(a · t)
) 2 s 2 +2·a 2
s·(s 2 +4·a 2 )
Hyperbelsinusfunktion sinh(a · t)
a
s 2 −a 2
Hyperbelkosinusfunktion cosh(a · t)
s
s 2 −a 2
Tabelle 1.2: Funktionstabelle der Laplace-Transformation.
1.3 POL-NULLSTELLEN-PLAN
Eine lineare, gebrochenrationale Funktion F(s) 20 mit konstanten Koeffizienten
F(s) = Z(s)
N(s)
= b m · s m + b m−1 · s m−1 + . . . + b 1 · s + b 0
a n · s n + a n−1 · s n−1 + . . . + a 1 · s + a 0
(1.1)
mit b i ∈ R, 0 ≤ i ≤ m, m ∈ N, a j ∈ R, 0 ≤ j ≤ n und n ∈ N besitzt
• m Nullstellen des Zählers Z(s) s o,i – „Nullstellen“ genannt – sowie
• n Nullstellen des Nenners N(s) s x,j – „Polstellen“ oder kurz „Pole“ genannt.
Nach Bestimmung der Pol- und Nullstellen ergibt sich daraus die faktorisierte Form von F(s):
F fakt (s) = K · (s − s o,1) · (s − s o,2 ) · . . . · (s − s o,m−1 ) · (s − s o,m )
(s − s x,1 ) · (s − s x,2 ) · . . . · (s − s x,n−1 ) · (s − s x,n )
(1.2)
mit K ∈ R. Die Pol- und Nullstellen können jeweils
• reell (z.B. s x,1 = σ x ) oder
• Paare konjugiert komplexer Zahlen (z.B. s x,2/ 3 = σ x + j · ω x )
sein, die wiederum jeweils
• einfach oder
• mehrfach
auftreten.
20 Meist ist die Übertragungsfunktion G(s) = Y (s) eines Systems mit Eingangssignal X (s) und Ausgangssignal Y (s)
X (s)
die zu untersuchende Funktion F(s).
8 Kapitel 1 Laplace-Transformation

Im Hinblick auf die weitere Verwendung wird empfohlen, durch Kürzen teilerfremde Zähler und
Nenner von F fakt (s) herzustellen.
Der Pol-Nullstellen-Plan (P-N-Plan) ist ein kartesisches Koordinatensystem mit Abszisse Re{s}
und Ordinate Im{s}, stellt also die komplexe s-Ebene dar. In dieses werden alle Nullstellen
von F(s) mit o und alle Polstellen mit x eingetragen. Zudem wird die Verstärkung K angegeben.
Wird zusätzlich die Vielfachheit der Pol- und Nullstellen notiert, ist der P-N-Plan zu den
Gleichungen 1.1 sowie 1.2 äquivalent. Diese grafische Beschreibungsform ist später
beispielsweise bei der Stabilitätsbetrachtung (siehe auch Abschnitt 1.5) von Vorteil.
1.4 ALTERNATIVE WEGE FÜR DIE RÜCKTRANSFORMATION
1.4.1 Partialbruchzerlegung
Die Funktion F PBZ (s) ergibt sich aus einer beliebigen gebrochenrationalen und teilerfremden
Funktion F(s) nach Gleichung 1.1 mit n Polstellen (siehe auch Abschnitt 1.3) durch
Partialbruchzerlegung (PBZ; siehe auch [BSMM01, S. 15ff.]). Dabei werden die Ansätze aus
Tabelle 1.3 für alle Polstellen s x,j (1 ≤ j ≤ n) von F(s) addiert.
Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad (m ≥ n), so ist zuerst eine
Polynomdivision durchzuführen. Die dabei entstehende echt gebrochene Funktion F 1 (s)
(Zählergrad kleiner Nennergrad (m 1 < n 1 )) kann anschließend in Partialbrüche zerlegt werden.
Nach Bestimmung 21 der n Konstanten c j (1 ≤ j ≤ n) 22 kann jeder Summand einzeln mithilfe der
Korrespondenzen aus Abschnitt 1.2 in den Zeitbereich zurücktransformiert werden.
Art der Polstelle (Vielfachheit v)
reell s x,1 = . . . = s x,v
v∑
i=1
insbesondere v = 1 s x,1 = σ x
c 1
s−σ x
konjugiert komplexes Paar 23 s x,1/ 2 = . . . = s x,2·v−1/ 2·v
= σ x ± j · ω x
v∑
Ansatz für diese Polstelle
i=1
c i
(s−σ x) i
( c 2·i−1·s+c 2·i
) i
(s−σ x) 2 +ωx
2
insbesondere v = 1 s x,1/ 2 = σ x ± j · ω x
c 1·s+c 2
(s−σ x) 2 +ω 2 x
Tabelle 1.3: Ansätze für die Partialbruchzerlegung bei der Laplace-Rücktransformation.
21 Eine Möglichkeit besteht darin, die Gleichung F(s) = F PBZ (s) mit dem Nenner N(s) zu multiplizieren und anschließend
einen Koeffizientenvergleich durchzuführen.
22 Die Indices der Konstanten c j sind so zu wählen, dass zwischen unterschiedlichen Partialbrüchen keine Doppelungen
auftreten.
23 Die zugehörigen Korrespondenzen für v > 1 bleibt die automatisierungs- und regelungstechnische Literatur meist
schuldig. Für v ≤ 2 empfiehlt sich [BSMM01, S. 1093ff.]. Für allgemeinere Ausführungen siehe [Gra04, S. 35ff.].
1.4 Alternative Wege für die Rücktransformation 9

1.4.2 Residuensatz
Statt der Lösung des Integrals der Laplace-Rücktransformation oder anstelle der
Partialbruchzerlegung kann auch der Residuensatz zur Gewinnung der Funktion f(t) aus F(s)
nach Gleichung 1.1 mit m < n angewendet werden:
⎧
⎪⎨
l∑
Res(F(s), s x,j , v j ) t ≥ 0
f(t) = j=1
.
⎪⎩
0 t < 0
Die Anzahl der verschiedenen Polstellen s x,j von F(s) ist l (1 ≤ j ≤ l, l ≤ n), die Vielfachheit der
j-ten Polstelle ist v j . Die Residuen ergeben sich zu:
Res ( (
)
) 1
F(s), s x,j , v j =
(v j − 1)! · lim · dv j −1
s→s x,j ds v F(s) · e t·s · (s − s
j −1
x,j ) v j
. 24
1.5 STABILITÄT
Ein System ist BIBO 25 -stabil, wenn es auf begrenzte Signale am Eingang nur mit ebenfalls
begrenzten Signalen am Ausgang reagiert. Um Stabilität nachzuweisen, müssten jedoch alle
möglichen Signale angelegt werden. Existiert ein Signal, auf das das System mit keiner
endlichen Antwort reagiert, ist hingegen Instabilität nachgewiesen.
Da es nicht möglich ist, alle Signale zu testen, wurden algebraische Kriterien eingeführt. So sind
Systeme mit einer gebrochenrationalen und teilerfremden Übertragungsfunktion G(s) nach
Gleichung 1.1 genau dann stabil, wenn alle Polstellen s x,j von G(s) in der linken halboffenen
s-Ebene liegen:
Re{s x,j } < 0 für alle j mit 1 ≤ j ≤ n,
sonst instabil. Alternativ kann im Zeitbereich geprüft werden, ob die Gewichtsfunktion g(t) eines
Systems absolut integrierbar ist:
∫ ∞
0
∣
∣ g(t) dt = c < ∞ mit c ∈ R. (1.3)
Ist Gleichung 1.3 erfüllt, so ist das durch g(t) beschriebene System stabil, andernfalls nicht.
Stabilität kann aber auch ohne explizite Bestimmung der Polstellen von G(s) nachgewiesen
werden, beispielsweise durch Anwendung des Hurwitz-Kriteriums (siehe beispielsweise [Rei06,
S. 118ff.] oder [MSF09, S. 98f.]).
24 (s − s x,j ) v j ist herauszukürzen.
25 Bounded input – bounded output.
10 Kapitel 1 Laplace-Transformation

2 Z-TRANSFORMATION
2.1 DEFINITIONEN
• (einseitige) z-Transformation 26 :
– Transformation von Folgen im Zeitbereich 2728 in Funktionen im Bildbereich 29
– F(z) = Z { f(k) } ∑
:= ∞ f(k) · z −k ((unendliche) Laurent-Reihe)
mit
∗ f(k < 0) = 0 30
∗ k ∈ Z
k=0
∗ Abtastperiode T ∈ R +
∗ z = e T ·s , z ∈ C
· Realteil von z: Re{z} = e σ·T · cos(ω · T ) ∈ R
· Imaginärteil von z: Im{z} = e σ·T · sin(ω · T ) ∈ R
∗ Eulersche Formel: e ±j·ϕ = cos(ϕ) ± j · sin(ϕ)
∞∑
∗ geometrische Reihe: z −k =
z
z−1
(|z| > 1)
k=0
• z-Rücktransformation (auch inverse z-Transformation) 3132 :
– Transformation vom Bildbereich zurück in den Zeitbereich
– f(k) = Z −1{ F(z) } {
1
2·π·j
· ∮ z k−1 · F(z) dz k ≥ 0
:=
0 k < 0
• Notation: f(k) ❝ F(z)
26 Der Konvergenzbereich ist zu beachten.
27 Oft wird bei äquidistanter Abtastung statt f(kT ) nur f(k) oder f k geschrieben. Hier wird erstere Kurzschreibweise
verwendet.
28 Beachte: Das zeitdiskrete Signal f(k), das aus dem zeitkontinuierlichen Signal f(t) durch rechtsseitige Grenzwertbildung
f(k) = f(t = kT +), also bei Annäherung an t = kT von ∞ kommend, entsteht, ist zwischen den Abtastzeitpunkten
nicht definiert.
29 Der Begriff „Bildbereich“ steht hier für „Bildbereich der z-Transformation“.
30 Es existieren zudem n Anfangswerte f(i) (0 ≤ i ≤ n − 1), wobei n die Ordnung der Differenzengleichung (größte
Linksverschiebung) ist.
31 Der Konvergenzbereich ist zu beachten.
32 Siehe auch Abschnitt 2.4.
11

• Hin- und Rücktransformation werden oft – gegebenenfalls nach Partialbruchzerlegung
(siehe Abschnitt 2.4.1) – mithilfe sogenannter Korrespondenzen (Zusammenhänge von
Operationen sowie Funktionen im Zeit- und Bildbereich; siehe Abschnitt 2.2) gelöst.
• Anfangswertsatz 33 : f(0) = lim
k→0
f(k) = lim
z→∞ F(z)
• Endwertsatz 3435 : f(∞) = lim f(k) = lim
k→∞ z→1+
(
(z − 1) · F(z)
)
2.2 AUSGEWÄHLTE KORRESPONDENZEN
2.2.1 Operationen
Sofern nicht anders angegeben handelt es sich in Tabelle 2.1 bei a und a j (1 ≤ j ≤ n) um
beliebige reellwertige Konstanten und bei j und n um natürliche Zahlen. Die Konvergenzbereiche
von Hin- und Rücktransformation sind zu beachten.
Bezeichnung (Bedingungen) f(k) 36 F(z)
Linearität
n∑
a j · f j (k)
j=1
n∑
a j · F j (z)
j=1
insbesondere n = 2 a 1 · f 1 (k) + a 2 · f 2 (k) a 1 · F 1 (z) + a 2 · F 2 (z)
Faltung im Zeitbereich f 1 (k) ∗ f 2 (k) F 1 (z) · F 2 (z)
∑
= k f 1 (k − j) · f 2 (j)
Rechtsverschiebung 37 1
f 1 (k − n)
z
· F n 1 (z)
1
insbesondere n = 1 f 1 (k − 1)
z · F 1(z)
(
)
Linksverschiebung 38 f 1 (k + n) z n · F 1 (z) − n−1 ∑
f 1 (j) · 1
z j j=0
(
)
insbesondere n = 1 f 1 (k + 1) z · F 1 (z) − f 1 (0)
j=0
33 Es handelt es sich hierbei streng genommen um den rechtsseitigen Grenzwert f(0+), vgl. die Entstehung von f(k)
aus f(t). Da f nur für ganzzahlige k definiert ist, ist eine Unterscheidung von links- und rechtsseitigem Grenzwert nicht
notwendig.
34 f(∞) muss existieren. Bei gebrochenrationalen Funktionen F(z) (siehe auch Gleichung 2.1 auf Seite 15) ist diese
Bedingung erfüllt, wenn alle Polstellen z nicht außerhalb des Einheitskreises liegen (|z| ≤ 1) und dabei höchstens eine –
folglich reelle – Polstelle auf dem Einheitskreis (|z| = 1) existiert.
35 z = 1+ bezeichnet die Stelle des rechtsseitigen Grenzwertes bei z = 1.
36 Beachte Anfangsbedingungen f(k < 0) = 0 und f j (k < 0) = 0 (1 ≤ j ≤ n).
37 Für k < n wird f 1 (k − n) mit Nullen „aufgefüllt“.
38 Um die Anfangsbedingung f 1 (k < 0) = 0 einzuhalten, gilt f 1 (k + n < 0) = 0.
12 Kapitel 2 z-Transformation

Differenzenbildung im Zeitbereich
Vorwärtsdifferenz f 1 (k + 1) − f 1 (k) (z − 1) · F 1 (z) − z · f 1 (0)
Rückwärtsdifferenz f 1 (k) − f 1 (k − 1)
z−1
z
· F 1 (z)
Differenziation im Bildbereich (n > 0) 394041 k n · f 1 (k) −z · d
dz F 2(z)
insbesondere n = 1 k · f 1 (k) −z · d
dz F 1(z)
Summation im Zeitbereich
Integration im Bildbereich 42
k∑
f 1 (j)
j=0
1
k · f 1(k)
mit F 2 (z) = Z { k n−1 · f 1 (k) }
z
z−1 · F 1(z)
Dämpfung (a ∈ C, a ≠ 0) a k · f 1 (k) F 1 ( z a )
Zeitdehnung (n > 0) 43 f 1 ( k n ) F 1(z n )
Tabelle 2.1: Operationstabelle der z-Transformation.
∞∫
z
F 1 (τ)
τ
dτ
2.2.2 Funktionen
Bei der hier betrachteten einseitigen z-Transformation verschwinden Folgen f(k) im Zeitbereich
ebenfalls für Zeiten kleiner null (f(k < 0) = 0), was sich durch zwei gleichwertige Schreibweisen
ausgedrücken lässt:
• f(k) · σ(k) mit Einheitssprungfolge σ(k) =
{
0 k < 0
1 k ≥ 0
sowie
• f(k) (k ≥ 0).
Im Folgenden wird letztere bevorzugt und auf die zusätzliche Angabe von σ(k) verzichtet 44 .
39 Auch als Multiplikationssatz bezeichnet.
40 Beachte, dass die z-Transformierte hier rekursiv definiert ist. Die Angabe mit dn
dz n in manch anderer Literaturstelle ist
falsch!
41 Beachte, dass f(kT) hier für k n · f 1 (kT ) und nicht für k n · T n · f 1 (kT ) steht. T n kann jedoch zusätzlich als konstanter
Faktor ( Linearität) aufgenommen werden: T n · f(kT ) = k n · T n · f 1 (kT ).
42 Auch als Divisionssatz bezeichnet.
43 Beachte: f(n · k + 1) = f(n · k + 2) = . . . = f(n · k + n − 1) = 0.
44 Die Einheitssprungfolge wird folglich durch f(k) = 1 (k ≥ 0) beschrieben.
2.2 Ausgewählte Korrespondenzen 13

Tabelle 2.2 enthält die wichtigsten Korrespondenzen für Folgen und Funktionen 45 . Sofern nicht
anders angegeben handelt es sich darin bei a um eine beliebige reellwertige Konstante und bei n
um eine natürliche Zahl. Die Konvergenzbereiche von Hin- und Rücktransformation sind zu
beachten.
Bezeichnung (Bedingungen) f(k) 46 F(z)
{
0 k ≠ 0
Einheitsimpulsfolge δ(k) =
1
1 k = 0
Potenzfolge 47
k n
insbesondere n = 0 (Einheitssprungfolge) 1
z
z−1
insbesondere n = 1 (Einheitsrampenfolge) k
z
(z−1) 2
insbesondere n = 2 k 2 z·(z+1)
(z−1) 3
gedämpfte Potenzfolge 48
e a·k · k n
insbesondere n = 0 e a·k z
z−e a
insbesondere n = 1 e a·k · k
e a·z
(z−e a ) 2
Exponenzialfolge 48
a k · k n
insbesondere n = 0 a k z
z−a
insbesondere n = 1 a k · k
a·z
(z−a) 2
alternierende Folge (−1) k z
z+1
Sinusfolge sin(a · k)
Kosinusfolge cos(a · k)
Hyperbelsinusfolge sinh(a · k)
Hyperbelkosinusfolge cosh(a · k)
z·sin(a)
z 2 −2·z·cos(a)+1
(
)
z· z−cos(a)
z 2 −2·z·cos(a)+1
z·sinh(a)
z 2 −2·z·cosh(a)+1
(
)
z· z−cosh(a)
z 2 −2·z·cosh(a)+1
Tabelle 2.2: Funktionstabelle der z-Transformation.
45 Weitere Korrespondenzen siehe beispielsweise [LW10, S. 531ff.], [Jur64, S. 278ff.], [BSMM01, S. 1113ff.], [Föl07,
S. 300f.], [Gro91, S.111ff.], [WS06, S. 278], [Lun10b, S. 659f.] oder [MSF09, S. 403].
46 f(k < 0) = 0.
47 Aus Platzgründen keine allgemeine Angabe im Bildbereich. Verwendung der Korrespondenzen für die Differenziation
im Bildbereich und die Einheitssprungfolge liefert das gewünschte Resultat.
48 Aus Platzgründen keine allgemeine Angabe im Bildbereich. Verwendung der Korrespondenzen für die Differenziation
im Bildbereich, die Dämpfung und die Einheitssprungfolge liefert das gewünschte Resultat.
14 Kapitel 2 z-Transformation

2.3 POL-NULLSTELLEN-PLAN
Eine lineare, gebrochenrationale Funktion F(z) 49 mit konstanten Koeffizienten
F(z) = Z(z)
N(z)
= b m · z m + b m−1 · z m−1 + . . . + b 1 · z + b 0
a n · z n + a n−1 · z n−1 + . . . + a 1 · z + a 0
(2.1)
mit b i ∈ R, 0 ≤ i ≤ m, m ∈ N, a j ∈ R, 0 ≤ j ≤ n und n ∈ N besitzt
• m Nullstellen des Zählers Z(z) z o,i – „Nullstellen“ genannt – sowie
• n Nullstellen des Nenners N(z) z x,j – „Polstellen“ oder kurz „Pole“ genannt.
Nach Bestimmung der Pol- und Nullstellen ergibt sich daraus die faktorisierte Form von F(z):
F fakt (z) = K · (z − z o,1) · (z − z o,2 ) · . . . · (z − z o,m−1 ) · (z − z o,m )
(z − z x,1 ) · (z − z x,2 ) · . . . · (z − z x,n−1 ) · (z − z x,n )
(2.2)
mit K ∈ R. Die Pol- und Nullstellen können jeweils
• reell (z.B. z x,1 = σ x ) oder
• Paare konjugiert komplexer Zahlen (z.B. z x,2/ 3 = σ x + j · ω x )
sein, die wiederum jeweils
• einfach oder
• mehrfach
auftreten.
Im Hinblick auf die weitere Verwendung wird empfohlen, durch Kürzen teilerfremde Zähler und
Nenner von F fakt (z) herzustellen.
Der Pol-Nullstellen-Plan (P-N-Plan) ist ein kartesisches Koordinatensystem mit Abszisse Re{z}
und Ordinate Im{z}, stellt also die komplexe z-Ebene dar. In dieses werden alle Nullstellen
von F(z) mit o und alle Polstellen mit x eingetragen. Zudem wird die Verstärkung K angegeben.
Wird zusätzlich die Vielfachheit der Pol- und Nullstellen notiert, ist der P-N-Plan zu den
Gleichungen 2.1 sowie 2.2 äquivalent. Diese grafische Beschreibungsform ist später
beispielsweise bei der Stabilitätsbetrachtung (siehe auch Abschnitt 2.5) von Vorteil.
49 Meist ist die Übertragungsfunktion G(z) = Y (z) eines Systems mit Eingangssignal X (z) und Ausgangssignal Y (z)
X (z)
die zu untersuchende Funktion F(z).
2.3 Pol-Nullstellen-Plan 15

2.4 ALTERNATIVE WEGE FÜR DIE RÜCKTRANSFORMATION
2.4.1 Partialbruchzerlegung
Die Funktion F PBZ (z) ergibt sich aus einer beliebigen gebrochenrationalen und teilerfremden
Funktion F(z) nach Gleichung 2.1 mit n Polstellen (siehe auch Abschnitt 2.3) durch
Partialbruchzerlegung (PBZ; siehe auch [BSMM01, S. 15ff.]). Hier wird jedoch
F 1 (z) = F(z)
z
= N 1(z)
Z 1 (z)
als Ausgangspunkt gewählt und wiederum die Ansätze aus Tabelle 2.3 für alle Polstellen z x,j
(1 ≤ j ≤ n) von F(z) addiert.
Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad (m ≥ n), so ist zuerst eine
Polynomdivision durchzuführen. Die dabei entstehende echt gebrochene Funktion F 2 (z)
(Zählergrad kleiner Nennergrad (m 2 < n 2 )) kann anschließend in Partialbrüche zerlegt werden.
Nach Bestimmung 50 der n Konstanten c j (1 ≤ j ≤ n) 51 kann jeder Summand – mit z multipliziert,
um aus F PBZ,1 (z) wieder F PBZ (z) zu erhalten – einzeln mithilfe der Korrespondenzen aus
Abschnitt 2.2 in den Zeitbereich zurücktransformiert werden.
Art der Polstelle (Vielfachheit v)
reell z x,1 = . . . = z x,v
v∑
i=1
insbesondere v = 1 z x,1 = σ x
c 1
z−σ x
konjugiert komplexes Paar 52 z x,1/ 2 = . . . = z x,2·v−1/ 2·v
= σ x ± j · ω x
v∑
Ansatz für diese Polstelle
i=1
c i
(z−σ x) i
( c 2·i−1·z+c 2·i
) i
(z−σ x) 2 +ωx
2
insbesondere v = 1 z x,1/ 2 = σ x ± j · ω x
c 1·z+c 2
(z−σ x) 2 +ω 2 x
Tabelle 2.3: Ansätze für die Partialbruchzerlegung bei der z-Rücktransformation.
2.4.2 Polynomdivision
Aus einer beliebigen gebrochenrationalen F(z) mit Zählergrad kleiner oder gleich
Nennergrad (m ≤ n) nach Gleichung 2.1 kann durch Polynomdivision ebenfalls die zugehörige
Folge f(k) im Zeitbereich gewonnen werden. Für die dabei entstehende Funktion
∞∑
F PDiv (z) = c k · z −k
gilt – nach Definition der z-Transformation – c k = f(k). Folglich lassen sich die Werte von f(k) für
k ≥ 0 direkt ablesen.
k=0
50 Eine Möglichkeit besteht darin, die Gleichung F 1 (z) = F PBZ,1 (z) mit dem Nenner N 1 (z) zu multiplizieren und anschließend
einen Koeffizientenvergleich durchzuführen.
51 Die Indices der Konstanten c j sind so zu wählen, dass zwischen unterschiedlichen Partialbrüchen keine Doppelungen
auftreten.
52 Die zugehörigen Korrespondenzen für v > 1 bleibt die Literatur meist schuldig. Für weitere Ausführungen siehe
[Gra04, S. 102ff.].
16 Kapitel 2 z-Transformation

2.4.3 Residuensatz
Statt der Lösung des Integrals der z-Rücktransformation, der Partialbruchzerlegung oder der
Polynomdivision kann auch der Residuensatz zur Gewinnung der Folge f(k) aus der Funktion
F(z) nach Gleichung 2.1 mit m < n angewendet werden:
⎧
⎪⎨
l∑
Res(z k−1 · F(z), z x,j , v j ) k ≥ 0
f(k) = j=1
.
⎪⎩
0 k < 0
Die Anzahl der verschiedenen Polstellen z x,j von F(z) ist l (1 ≤ j ≤ l, l ≤ n), die Vielfachheit der
j-ten Polstelle ist v j . Die Residuen ergeben sich zu:
Res ( (
)
z k−1 ) 1
· F(z), z x,j , v j =
(v j − 1)! · lim · dv j −1
z→z x,j dz v z k−1 · F(z) · (z − z
j −1
x,j ) v j
. 53
2.5 STABILITÄT
Ein System ist BIBO 54 -stabil, wenn es auf begrenzte Signale am Eingang nur mit ebenfalls
begrenzten Signalen am Ausgang reagiert. Um Stabilität nachzuweisen, müssten jedoch alle
möglichen Signale angelegt werden. Existiert ein Signal, auf das das System mit keiner
endlichen Antwort reagiert, ist hingegen Instabilität nachgewiesen.
Da es nicht möglich ist, alle Signale zu testen, wurden algebraische Kriterien eingeführt. So sind
Systeme mit einer gebrochenrationalen und teilerfremden Übertragungsfunktion G(z) nach
Gleichung 2.1 genau dann stabil, wenn alle Polstellen z x,j von G(z) im Inneren des
Einheitskreises der z-Ebene liegen:
|z x,j | < 1 für alle j mit 1 ≤ j ≤ n,
sonst instabil. Alternativ kann im Zeitbereich geprüft werden, ob die Gewichtsfolge g(k) eines
Systems absolut summierbar ist:
∞∑
∣
∣ g(k) = c < ∞ mit c ∈ R. (2.3)
k=0
Ist Gleichung 2.3 erfüllt, so ist das durch g(k) beschriebene System stabil, andernfalls nicht.
Stabilität kann aber auch ohne explizite Bestimmung der Polstellen von G(z) nachgewiesen
werden, beispielsweise durch Anwendung des Jury-Kriteriums (siehe auch [Lun10b, S. 477f.]).
53 (z − z x,j ) v j ist herauszukürzen.
54 Bounded input – bounded output.
2.5 Stabilität 17

18 Kapitel 2 z-Transformation

LITERATURVERZEICHNIS
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LUTZ, H. ; WENDT, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik : mit MATLAB und
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20 LITERATURVERZEICHNIS