1 laplace-transformation

1
Ähnlichkeit (a > 0) f 1 (a · t)
a · F s
)
1(
a
Dämpfung (a ∈ C) e −a·t · f 1 (t) F 1 (s + a)
Tabelle 1.1: Operationstabelle der Laplace-Transformation.
1.2.2 Funktionen
Bei der hier betrachteten einseitigen Laplace-Transformation verschwinden Funktionen f(t) im
Zeitbereich bekanntermaßen für Zeiten kleiner null (f(t < 0) = 0), was sich durch zwei
gleichwertige Schreibweisen ausgedrücken lässt:
• f(t) · σ(t) mit Einheitssprung σ(t) =
{
0 t < 0
1 t ≥ 0
sowie
• f(t) (t ≥ 0).
Im Folgenden wird letztere bevorzugt und auf die zusätzliche Angabe von σ(t) verzichtet 15 .
Tabelle 1.2 enthält die wichtigsten Korrespondenzen für Funktionen 16 . Sofern nicht anders
angegeben handelt es sich darin bei a um eine beliebige reellwertige Konstante und bei n um
eine natürliche Zahl. Die Konvergenzbereiche von Hin- und Rücktransformation sind zu beachten.
Bezeichnung (Bedingungen) f(t) 17 F(s)
{
Einheitsimpuls 18 0 t ≠ 0
δ(t) =
1
∞ t = 0
Potenzfunktion 19 1 n! · tn 1
s n+1
insbesondere n = 0 (Einheitssprung) 1
1
s
insbesondere n = 1 (Einheitsrampe) t
1
s 2
gedämpfte Potenzfunktion 19 1 n! · ea·t · t n 1
(s−a) n+1
insbesondere n = 0 e a·t 1
s−a
insbesondere n = 1 e a·t · t
1
(s−a) 2
15 Der Einheitssprung wird folglich durch f(t) = 1 (t ≥ 0) beschrieben.
16 Weitere Korrespondenzen siehe beispielsweise [Nix64, S. 128ff.], [Doe89, S. 225ff.], [LW10, S. 81ff.], [BSMM01,
S. 1093ff.], [Ase58, S. 287ff.], [Gro91, S. 103ff.], [Föl07, S. 106ff.], [Lun10a, S. 697f.], [WS06, S. 276], [Mer04, S. 117] oder
[MSF09, S. 396].
17 f(t < 0) = 0.
18 Dass die Theorie des Einheitsimpulses – eines bekanntermaßen nicht realisierbaren Signals – komplizierter ist, als
d
angenommen, zeigt folgendes Beispiel: dt σ(t) ❜ s · 1 − σ(0+) = 1 − 1 = 0 (δ(t) wurde erwartet). Für weitere
s
Ausführungen siehe bspw. [Ase58, S. 22ff.] oder DIN 5487.
19 ∏
k! = k i mit 0! = 1.
i=1
1.2 Ausgewählte Korrespondenzen 7