1 laplace-transformation

1 LAPLACE-TRANSFORMATION
1.1 DEFINITIONEN
• (einseitige) Laplace-Transformation 2 :
– Transformation von Funktionen im Zeitbereich in Funktionen im Bildbereich 3
– F(s) = L { f(t) } ∞∫
:= f(t) · e −s·t dt
mit
∗ f(t < 0) = 0 4
∗ s = σ + j · ω, s ∈ C:
0
· Realteil von s: Re{s} = σ ∈ R
· Imaginärteil von s: Im{s} = ω ∈ R
∗ Eulersche Formel: e ±j·ϕ = cos(ϕ) ± j · sin(ϕ)
• Laplace-Rücktransformation (auch inverse Laplace-Transformation) 56 :
– Transformation vom Bildbereich zurück in den Zeitbereich
⎧
– f(t) = L −1{ F(s) } c+j·∞
⎪⎨
∫
1
2·π·j
· F(s) · e t·s ds t ≥ 0
:=
c−j·∞
⎪⎩
0 t < 0
• Notation: f(t) ❝ F(s)
• Hin- und Rücktransformation werden oft – gegebenenfalls nach Partialbruchzerlegung
(siehe Abschnitt 1.4.1) – mithilfe sogenannter Korrespondenzen (Zusammenhänge von
Operationen sowie Funktionen im Zeit- und Bildbereich; siehe Abschnitt 1.2) gelöst.
2 Der Konvergenzbereich ist zu beachten.
Der Begriff „Bildbereich“ steht hier für „Bildbereich der Laplace-Transformation“.
Insbesondere gilt für den linksseitigen Grenzwert von f an der Stelle t = 0, das heißt bei Annäherung an t = 0
von −∞ kommend: f(0−) = lim f(t) = 0. Bei Annäherung an t = 0 von „rechts“, f(0+) = lim f(t), ergeben sich die
t→0− t→0+
n Anfangswerte dk
dt k f(t)| t=0+ (0 ≤ k ≤ n − 1; rechtsseitige Grenzwerte) von f und dessen erster bis (n − 1)-ter Ableitung
nach t an der Stelle t = 0+. n ist dabei die Ordnung der Differenzialgleichung („höchste Potenz“).
5 Der Konvergenzbereich ist zu beachten.
6 Siehe auch Abschnitt 1.4.
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