1 laplace-transformation

Differenzenbildung im Zeitbereich
Vorwärtsdifferenz f 1 (k + 1) − f 1 (k) (z − 1) · F 1 (z) − z · f 1 (0)
Rückwärtsdifferenz f 1 (k) − f 1 (k − 1)
z−1
z
· F 1 (z)
Differenziation im Bildbereich (n > 0) 394041 k n · f 1 (k) −z · d
dz F 2(z)
insbesondere n = 1 k · f 1 (k) −z · d
dz F 1(z)
Summation im Zeitbereich
Integration im Bildbereich 42
k∑
f 1 (j)
j=0
1
k · f 1(k)
mit F 2 (z) = Z { k n−1 · f 1 (k) }
z
z−1 · F 1(z)
Dämpfung (a ∈ C, a ≠ 0) a k · f 1 (k) F 1 ( z a )
Zeitdehnung (n > 0) 43 f 1 ( k n ) F 1(z n )
Tabelle 2.1: Operationstabelle der z-Transformation.
∞∫
z
F 1 (τ)
τ
dτ
2.2.2 Funktionen
Bei der hier betrachteten einseitigen z-Transformation verschwinden Folgen f(k) im Zeitbereich
ebenfalls für Zeiten kleiner null (f(k < 0) = 0), was sich durch zwei gleichwertige Schreibweisen
ausgedrücken lässt:
• f(k) · σ(k) mit Einheitssprungfolge σ(k) =
{
0 k < 0
1 k ≥ 0
sowie
• f(k) (k ≥ 0).
Im Folgenden wird letztere bevorzugt und auf die zusätzliche Angabe von σ(k) verzichtet 44 .
39 Auch als Multiplikationssatz bezeichnet.
40 Beachte, dass die z-Transformierte hier rekursiv definiert ist. Die Angabe mit dn
dz n in manch anderer Literaturstelle ist
falsch!
41 Beachte, dass f(kT) hier für k n · f 1 (kT ) und nicht für k n · T n · f 1 (kT ) steht. T n kann jedoch zusätzlich als konstanter
Faktor ( Linearität) aufgenommen werden: T n · f(kT ) = k n · T n · f 1 (kT ).
42 Auch als Divisionssatz bezeichnet.
43 Beachte: f(n · k + 1) = f(n · k + 2) = . . . = f(n · k + n − 1) = 0.
44 Die Einheitssprungfolge wird folglich durch f(k) = 1 (k ≥ 0) beschrieben.
2.2 Ausgewählte Korrespondenzen 13