1 laplace-transformation

Im Hinblick auf die weitere Verwendung wird empfohlen, durch Kürzen teilerfremde Zähler und
Nenner von F fakt (s) herzustellen.
Der Pol-Nullstellen-Plan (P-N-Plan) ist ein kartesisches Koordinatensystem mit Abszisse Re{s}
und Ordinate Im{s}, stellt also die komplexe s-Ebene dar. In dieses werden alle Nullstellen
von F(s) mit o und alle Polstellen mit x eingetragen. Zudem wird die Verstärkung K angegeben.
Wird zusätzlich die Vielfachheit der Pol- und Nullstellen notiert, ist der P-N-Plan zu den
Gleichungen 1.1 sowie 1.2 äquivalent. Diese grafische Beschreibungsform ist später
beispielsweise bei der Stabilitätsbetrachtung (siehe auch Abschnitt 1.5) von Vorteil.
1.4 ALTERNATIVE WEGE FÜR DIE RÜCKTRANSFORMATION
1.4.1 Partialbruchzerlegung
Die Funktion F PBZ (s) ergibt sich aus einer beliebigen gebrochenrationalen und teilerfremden
Funktion F(s) nach Gleichung 1.1 mit n Polstellen (siehe auch Abschnitt 1.3) durch
Partialbruchzerlegung (PBZ; siehe auch [BSMM01, S. 15ff.]). Dabei werden die Ansätze aus
Tabelle 1.3 für alle Polstellen s x,j (1 ≤ j ≤ n) von F(s) addiert.
Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad (m ≥ n), so ist zuerst eine
Polynomdivision durchzuführen. Die dabei entstehende echt gebrochene Funktion F 1 (s)
(Zählergrad kleiner Nennergrad (m 1 < n 1 )) kann anschließend in Partialbrüche zerlegt werden.
Nach Bestimmung 21 der n Konstanten c j (1 ≤ j ≤ n) 22 kann jeder Summand einzeln mithilfe der
Korrespondenzen aus Abschnitt 1.2 in den Zeitbereich zurücktransformiert werden.
Art der Polstelle (Vielfachheit v)
reell s x,1 = . . . = s x,v
v∑
i=1
insbesondere v = 1 s x,1 = σ x
c 1
s−σ x
konjugiert komplexes Paar 23 s x,1/ 2 = . . . = s x,2·v−1/ 2·v
= σ x ± j · ω x
v∑
Ansatz für diese Polstelle
i=1
c i
(s−σ x) i
( c 2·i−1·s+c 2·i
) i
(s−σ x) 2 +ωx
2
insbesondere v = 1 s x,1/ 2 = σ x ± j · ω x
c 1·s+c 2
(s−σ x) 2 +ω 2 x
Tabelle 1.3: Ansätze für die Partialbruchzerlegung bei der Laplace-Rücktransformation.
21 Eine Möglichkeit besteht darin, die Gleichung F(s) = F PBZ (s) mit dem Nenner N(s) zu multiplizieren und anschließend
einen Koeffizientenvergleich durchzuführen.
22 Die Indices der Konstanten c j sind so zu wählen, dass zwischen unterschiedlichen Partialbrüchen keine Doppelungen
auftreten.
23 Die zugehörigen Korrespondenzen für v > 1 bleibt die automatisierungs- und regelungstechnische Literatur meist
schuldig. Für v ≤ 2 empfiehlt sich [BSMM01, S. 1093ff.]. Für allgemeinere Ausführungen siehe [Gra04, S. 35ff.].
1.4 Alternative Wege für die Rücktransformation 9