1 laplace-transformation

2.3 POL-NULLSTELLEN-PLAN
Eine lineare, gebrochenrationale Funktion F(z) 49 mit konstanten Koeffizienten
F(z) = Z(z)
N(z)
= b m · z m + b m−1 · z m−1 + . . . + b 1 · z + b 0
a n · z n + a n−1 · z n−1 + . . . + a 1 · z + a 0
(2.1)
mit b i ∈ R, 0 ≤ i ≤ m, m ∈ N, a j ∈ R, 0 ≤ j ≤ n und n ∈ N besitzt
• m Nullstellen des Zählers Z(z) z o,i – „Nullstellen“ genannt – sowie
• n Nullstellen des Nenners N(z) z x,j – „Polstellen“ oder kurz „Pole“ genannt.
Nach Bestimmung der Pol- und Nullstellen ergibt sich daraus die faktorisierte Form von F(z):
F fakt (z) = K · (z − z o,1) · (z − z o,2 ) · . . . · (z − z o,m−1 ) · (z − z o,m )
(z − z x,1 ) · (z − z x,2 ) · . . . · (z − z x,n−1 ) · (z − z x,n )
(2.2)
mit K ∈ R. Die Pol- und Nullstellen können jeweils
• reell (z.B. z x,1 = σ x ) oder
• Paare konjugiert komplexer Zahlen (z.B. z x,2/ 3 = σ x + j · ω x )
sein, die wiederum jeweils
• einfach oder
• mehrfach
auftreten.
Im Hinblick auf die weitere Verwendung wird empfohlen, durch Kürzen teilerfremde Zähler und
Nenner von F fakt (z) herzustellen.
Der Pol-Nullstellen-Plan (P-N-Plan) ist ein kartesisches Koordinatensystem mit Abszisse Re{z}
und Ordinate Im{z}, stellt also die komplexe z-Ebene dar. In dieses werden alle Nullstellen
von F(z) mit o und alle Polstellen mit x eingetragen. Zudem wird die Verstärkung K angegeben.
Wird zusätzlich die Vielfachheit der Pol- und Nullstellen notiert, ist der P-N-Plan zu den
Gleichungen 2.1 sowie 2.2 äquivalent. Diese grafische Beschreibungsform ist später
beispielsweise bei der Stabilitätsbetrachtung (siehe auch Abschnitt 2.5) von Vorteil.
49 Meist ist die Übertragungsfunktion G(z) = Y (z) eines Systems mit Eingangssignal X (z) und Ausgangssignal Y (z)
X (z)
die zu untersuchende Funktion F(z).
2.3 Pol-Nullstellen-Plan 15