Um Details der Arbeit (pdf-Datei) - Steinbart-Gymnasium

Schüler-experimentieren 2011, Luca Simon,
Steinbart-Gymnasium Duisburg:
Lucas-Folgen
Inhaltsverzeichnis:
1) Einleitung:
2) Allgemeine Überlegungen
3) Die Fibonacci-Folge
4) Der goldene Schnitt
5) Papierfalten
6) Pell-Folge
7) spezielle Lucas-Folge
8) Zahlentheorie
9) Rückblick
10) Quellenangaben
1) Einleitung:
In der Mathematik-Arbeitsgemeinschaft unserer Schule haben wir über den goldenen
Schnitt und die Fibonacci-Folge gesprochen. Das Thema hat mich sehr interessiert.
Ich habe mich damit beschäftigt, was es wohl für Auswirkungen hat, wenn man in
einer Fibonacci-Folge die Startwerte verändert. Aber das allein war nicht so
interessant. Der Quotient aufeinander folgender Glieder näherte sich weiterhin dem
goldenen Schnitt ϕ =1,618an.
Mein Beratungslehrer machte mir den Vorschlag, auch eine leichte Änderung der
Rekursionsformel zu gestatten. An die Stelle von f(n+2)=f(n+1)+f(n) wird daher
x(n+2)=P∗x(n+1)+Q∗x(n) treten. Das führt auf den Begriff der allgemeinen Lucas-
Folge. Die Möglichkeit zur Abänderung der beiden Startwerte wollte ich auch
beibehalten. Die von mir untersuchten Zahlenfolgen sind also bestimmt durch die
Zahlen a und b für die beiden ersten Folgenglieder und durch P und Q, die Faktoren
aus der Rekursionsformel.
Man kann zu allen von mir betrachteten Zahlenfolgen neben der rekursiven Definition
auch eine direkte Definition finden. Mein Beratungslehrer hat mir einige davon
vorgerechnet, ich habe sie aber nicht in die Arbeit aufgenommen, da sie für mich
doch noch recht kompliziert waren.
Allein über den goldenen Schnitt und die Fibonacci-Folge sind etliche Bücher und
noch mehr Aufsätze geschrieben worden. Es ist deshalb klar, dass ich in meiner
Arbeit nur einige wichtige Aspekte aus diesem Zusammenhang ansprechen kann.
Auch aus den anderen Lucas-Folgen musste ich eine Auswahl treffen. Im zweiten
Kapitel werde ich nach einer Definition der Lucas-Folgen einige vorstellen, auf deren
nähere Untersuchung ich mich beschränkt habe.
Die Vorgabe von P und Q ermöglicht auch andere Werte als ϕ, an die sich die
Quotientenfolge annähert. Hierbei habe ich mich hauptsächlich auf die Wurzel aus 2
konzentriert.
Zur Erleichterung meiner Nachforschungen hat mir mein Betreuungslehrer zwei
Programme geschrieben, eines zur Berechnung von Lucas-Folgen und eines, mit
dem man in vorgegebenen Bildern nach bestimmten Maßverhältnissen wie etwa dem
goldenen Schnitt suchen kann.
1

2) Allgemeine Überlegungen:
In der Literatur findet man unterschiedliche Begriffsdefinitionen zu Lucas-Folgen.
Ich wähle hier eine ziemlich allgemeine Definition:
Unter einer allgemeinen Lucas-Folge versteht man eine Zahlenfolge a(n), die einer
Rekursionsformel der Art a(n+2)=P∗a(n+1)+Q∗a(n) mit ganzen Zahlen P und Q
genügt.
Dabei müssen neben P und Q auch die beiden ersten Folgenglieder a(1)=a und
a(2)=b aus den ganzen Zahlen vorgegeben werden.
Ich notiere diese Folgen unter der Bezeichnung L(a,b,P,Q).
Der Folgentyp ist benannt nach dem französischen Mathematiker Edouard Lucas,
der auch das Spiel „Turm von Hanoi“ erfunden hat.
Die folgenden konkreten Lucas-Folgen werden in meiner Arbeit näher untersucht:
Folge Name 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f(n)=L(1,1,1,1)(n) Fibonacci- 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Folge
l(n)=L(1,3,1,1)(n) spezielle 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322
Lucas-Folge
p(n)=L(1,2,2,1)(n) Pell-Folge 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378 5741 13860
c(n)=L(2,6,2,1)(n) Companion- 2 6 14 34 82 198 478 1154 2786 6726 16238 39202
Pell-
Folge
h(n)=L(1,3,2,1)(n) Half-
1 3 7 17 41 99 239 577 1393 3363 8119 19601
Companion-
Pell-Folge
m(n)=
Mersenne- 1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095
L(1,3,3,-2)(n) Folge
2 n -1
n =L(1,2,2,-1)(n) natürliche
Zahlen
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3) Fibonacci-Folge:
Vor mehr als 700 Jahren stellte der Mathematiker Leonardo von Pisa, der Sohn des
Bonacci, also der filius Bonacci, verkürzt „Fibonacci“ genannt, in seinem Buch „Liber
abaci“ die folgende Aufgabe:
Ein Mann setzt ein neugeborenes Kaninchenpaar auf einem ringsum von Mauern
umgebenen Platz aus. Wie viele Kaninchenpaare können von diesem in einem Jahr
hervorgebracht werden, vorausgesetzt, dass jeden Monat ein Paar ein neues Paar in
die Welt setzt, wobei alle Paare vom zweiten Monat an zeugungsfähig sind?
Jedes Folgenglied f(n) ab dem dritten ist hier die Summe der beiden vorangehenden.
f(1) und f(2) kann man hierdurch nicht bestimmen. Diese beiden Startwerte werden
definiert durch f(1)=f(2)=1. Wir haben also f(n)=L(1,1,1,1)(n) vor uns:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 51 89 144
Nach 12 Monaten sind also insgesamt 144 Kaninchenpaare vorhanden, womit die
Lösung der Aufgabe des Fibonacci gefunden ist.
2

Die Fibonaccifolge begegnet einem an vielen Stellen. Es folgen nun Beispiele:
Man steht vor eine Treppe auf dem Niveau 1 und möchte
hinauf. Man kann dabei um eine Stufe nach oben steigen oder
zwei Stufen auf einmal nehmen. (Es geht immer nach oben.)
Um auf Niveau 1 zu gelangen, gibt es nur eine Möglichkeit:
stehen bleiben. Niveau 1 erreicht man nur, indem man um
eine Stufe nach oben geht (ebenfalls nur eine Möglichkeit).
Um auf Niveau n+2 zu gelangen, muss man entweder von
Niveau n+1 aus eine Stufe nehmen oder von Niveau n aus
einen großen Schritt von zwei Stufen machen. Man erkennt
hier die Rekursion der Fibonacci-Folge für die Anzahl der
Möglichkeiten, auf das Niveau n zu gelangen.
Eine bekannte Eigenschaft der
Fibonacci-Folge ist die Beziehung
f(n+1) 2 -f(n+2) ∗f(n)=(-1) n+1 .
Für n=5 haben wir: 8 2 -13∗5 = -1
Darauf basiert der rechts zu
sehende Trugschluss, wonach
angeblich 64 = 65 sein soll.
Tatsächlich ist die „Diagonale“ im linken Rechteck ein lang gezogenes, sehr
schlankes Parallelogramm mit dem Flächeninhalt 1, das in der Strichdicke versteckt
wird. Durch Verwendung höherer Fibonacci-Zahlen als Seitenlängen kann man den
„Betrug“ noch besser vertuschen.
3

Nicht uninteressant ist, dass sich die Fibonacci-Folge
auch im Pascalschen Dreieck
finden lässt (siehe Bild rechts). Ihre Glieder
sind die Summen der Binomialkoeffizienten in
den rot markierten Schrägspalten. Die
Zeilensummen (grün markiert) sind die
Zweierpotenzen L(1,2,3,-2)(n)
Im Pascaldreieck kann man eine weitere
interessante Folge finden:
1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,
Sie ist zwar keine Lucas-Folge, aber für sie
gibt es doch eine ähnliche Rekursionsformel,
nämlich
a(n+3) = a(n+1) + a(n), wobei die drei ersten
Glieder alle den Wert 1 haben.
In der „On-Line Encyclopedia of Integer
Sequences (OEIS)” wird diese Folge unter
der Bezeichnung A000931 als Padovan-
Folge geführt. [
Bekanntlich kann man jede natürliche Zahl im Zweiersystem nur unter Verwendung
von Nullen und Einsen eindeutig darstellen. Die einzelnen Stellen haben dabei den
jeweils den Wert einer Zweierpotenz. Kann man so etwas auch mit Fibonacci-Zahlen
anstelle der Zweierpotenzen machen?
Wegen f(1)= f(2)=1 müsste man, wenn man Eindeutigkeit erreichen will, die erste 1
ausschließen. Wegen der Rekursionsformel kann man jede Fibonacci-Zahl (ab der
dritten) schreiben als 1∗f(n+2), aber auch als 1∗f(n+1)+1∗f(n). Will man eine
eindeutige Darstellung, so muss man eine dieser beiden Darstellungen verbieten. Ich
verbiete hier, dass zwei Einsen unmittelbar nebeneinander stehen. Dann geht es
(siehe auch [i2]):
n 34 21 13 8 5 3 2 1
1 1
2 1 0
3 1 0 0
4 1 0 1
5 1 0 0 0
6 1 0 0 1
7 1 0 1 0
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 0 1
10 1 0 0 1 0
11 1 0 1 0 0
12 1 0 1 0 1
13 1 0 0 0 0 0
14 1 0 0 0 0 1
15 1 0 0 0 1 0
16 1 0 0 1 0 0
17 1 0 0 1 0 1
18 1 0 1 0 0 0
19 1 0 1 0 0 1
20 1 0 1 0 1 0
21 1 0 0 0 0 0 0
4

Die Glieder der Fibonacci-Folge finden sich an vielen Stellen in
der Natur.
So treten sie etwa in der Botanik bei der Phyllotaxis
(Blattanordnung) in Erscheinung. Bei gewissen Bäumen, wie bei
der Ulme und der Linde, stehen die Blätter eines Zweiges
abwechselnd auf entgegengesetzter Seite. Man spricht von
(1/2)-Phyllotaxis. Bei anderen, wie der Buche und dem
Haselstrauch, besteht der Übergang von einem Blatt zum
nächsten in einer Schraubung, die eine Dritteldrehung enthält.
Wir sprechen von einer (1/3)-Phyllotaxis. Eiche und Aprikose
weisen (2/5)-Phyllotaxis auf (siehe nebenstehendes Bild),
Pappel und Birke(3/8)-Phyllotaxis, Weide und Mandel (5/(13))-
Phyllotaxis, usw. Die auftretenden Brüche enthalten in allen
diesen Fällen Fibonacci-Zahlen.
Ferner tritt „Fibonacci - Phyllotaxis" in der
Anordnung.der Scheinblüten einer
Sonnenblume auf oder im Blütenboden
einer Margeritte oder aber auch bei den
Schuppen eines Tannenzapfens, die
spiralig oder wendelförmig angeordnet
sind. Solche Wendel sieht man besonders
deutlich bei der Ananas, deren mehr oder
weniger sechseckige Schuppen
reihenförmig nach verschiedenen
Richtungen angeordnet sind: 5 parallele
Reihen, die leicht aufwärts nach rechts
führen, 8 Reihen, die etwas steiler nach
links oben führen und 13 Reihen steil nach
rechts ansteigend.
Auch hier haben wir wieder Zahlen aus der
Fibonacci-Folge.
Ein weiteres Auftreten der Fibonacci-Folge in der Natur ergibt sich im Stammbaum
einer Drohne:
Eine männliche Biene, eine
Drohne, schlüpft bekanntlich
aus einem unbefruchteten
Ei. Sie hat also nur eine
Mutter (die Königin) aber
keinen Vater. Die nebenstehende
Skizze zeigt den
Stammbaum einer solchen
Drohne. Die Summe der
Vorfahren in den einzelnen
Stufen liefert die Fibonacci-
Folge. [i5]
5

4) Der goldene Schnitt:
Im zweiten Buch der Elemente von Euklid [L3] erscheint als 11. Satz die Aufgabe
vom goldenen Schnitt:
Eine gerade Linie so zu teilen, dass das aus der ganzen Linie und der kleineren
Strecke konstruierte Rechteck gleich ist dem über der größeren Strecke
konstruierten Quadrat.
Gesucht wird also eine Unterteilung, die bei Bezeichnung nach der Skizze die
Bedingung a∗c=b² mit c=a+b erfüllt. Eine heute oft übliche geometrische Konstruktion
ist wurde nicht von Euklid sondern von Heron angegeben:
Man zeichnet einen Kreis mit Durchmesser AB, der (AB)
in B als Tangente hat. Die Verbindungsstrecke des Kreismittelpunktes
mit A schneidet den Kreis in C. Die Strecke
AC wird auf AB abgetragen. Der so erhaltene Punkt X teilt
AB im Verhältnis des goldenen Schnitts.
Geht man algebraisch an die Ermittlung des goldenen Schnitts und setzt dabei zur
Abkürzung ((b+c)/b)=(b/c)=ϕ, so erhält man: ϕ=((b+c)/b)=1+(c/b)=1+(1/ϕ) oder
ϕ²=ϕ+1, woraus man (nach der p/q-Formel) auf ϕ=((1+√5)/2)=1.61803... bzw. auf
ϕ’=((1-√5)/2)=-0.61803... geführt wird. Das entspricht genau den oben hergeleiteten
Werten zu L(a,b,P,Q) von x 1 und x 2 mit a=b=P=Q=1.
Die Zahl ϕ’ kann, da sie negativ ist, nicht das gesuchte Längenverhältnis sein,
dennoch steht sie mit der Lösung ϕ in engem Zusammenhang, wie sich ja auch in
der Dezimaldarstellung andeutet.
Dass der goldene Schnitt in den Elementen des Euklid behandelt wird, hängt damit
zusammen, dass sich das Werk in seinem letzten, dem 13. Buch, mit den
Platonischen Körpern beschäftigt. Die Elemente finden ihren Abschluss in dem
Lehrsatz, dass es genau 5 reguläre Vielflächner gibt, nämlich:
das Tetraeder, das Hexaeder (Würfel), das Oktaeder, das Ikosaeder (regulärer
Zwanzigflächner) und schließlich das Pentagon-Dodekaeder (regulärer
Zwölfflächner).
[i11]
Das regelmäßige Pentagramm mit seinen Diagonalen steht als die
Begrenzungsfläche des Dodekaeders mit dem goldenen Schnitt in enger
Verbindung, und in dieser Verbindung hat seine Behandlung in den Elementen des
Euklid wohl ihre Ursache. Die Zahl ϕ ist nämlich das Längenverhältnis von Diagonale
und Seite im Pentagramm, und die Diagonalen unterteilen sich untereinander
ebenfalls in diesem Verhältnis.
6

Das Pentagramm mit seinen Diagonalen war das Zeichen der Bruderschaft der
Pythagoreer. Pythagoras (ca. 582-497 v. Chr.) und seine Anhänger waren nicht nur
Wissenschaftler, sie hingen auch einem religiösen Kult an. So glaubten sie an
Seelenwanderung und Reinkarnation.
Besonders ausgeprägt war ihre Überzeugung von der
alles beherrschenden Macht der ganzen Zahlen. Für
sie ließ sich alles in ganzen Zahlen oder als Verhältnis
ganzer Zahlen ausdrücken. Aber schon in ihrem einen
Bundeszeichen ließ sich diese Annahme nicht aufrechterhalten.
Die Zahl ϕ, das Längenverhältnis von Diagonale
zur Seite im regelmäßigen Fünfeck ist nämlich
nicht als Quotient ganzer Zahlen darstellbar, sie ist
irrational. Diagonale und Seite im Pentagramm haben
kein gemeinsames Maß, sie sind inkommensurabel.
Gäbe es nämlich ein gemeinsames Maß von Seitenlänge b und Diagonalenlänge
a+b, so wäre dieses auch ein gemeinsames Maß von |JK|=(a+b)-2a und von
|KG| = a = (a + b) - b (Anwendung des Algorithmus’ von Euklid). Das gemeinsame
Maß von Seite und Diagonale im großen Fünfeck wäre demnach auch ein
gemeinsames Maß von Seite und Diagonale im kleinen Fünfeck. Durch wiederholte
Anwendung dieses Schlusses gelangt man zu beliebig kleinen Fünfecken, deren
Seiten und Diagonalen alle dasselbe gemeinsame Maß haben müssten. Das ist aber
nicht möglich, denn jedes denkbare Maß würde ja schließlich von der Seitenlänge
eines sehr kleinen Fünfecks unterschritten.
Die Zahl ϕ ist also kein Bruch. So mussten die Pythagoreer im regulären
Pentagramm, ihrem eigenen Bundeszeichen, den Irrtum ihrer Bemühungen
erkennen, alles auf das Verhältnis ganzer Zahlen zurückzuführen. Es wird berichtet,
der Meeresgott Poseidon selbst habe den Entdecker der Irrationalität von ϕ durch
eine Meereswoge mit seinem Schiff untergehen lassen. Auch Hippasos, der Finder
der Irrationalität von √2, wurde aus der Gemeinschaft ausgeschlossen.
Eine Konsequenz der Irrationalität von ϕ ist, dass die Kettenbruchentwicklung diese
Zahl nicht abbrechend sein kann.
Aus ϕ²=ϕ+1 erhält man ϕ=1+1/ϕ und hieraus durch wiederholtes Einsetzen:
ϕ=1+(1/(1+1/ϕ))=1+(1/(1+(1/(1+(1/ϕ)))))=1+(1/(1+(1/(1+(1/(1+(1/ϕ)))))))
=1+(1/(1+(1/(1+(1/(1+(1/(...))))))))
Das ist der einfachste unendliche Kettenbruch, den es gibt.
Berechnet man mit Hilfe der soeben hergeleiteten Kettenbruchentwicklung
Näherungswerte für ϕ, indem man jeweils einfach den Term 1/ϕ vernachlässigt, so
erhält man:
1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; ..., eine Folge, bei der die Zähler stets um eine
Position gegenüber dem Nenner versetzt sind.
Die Folge der hier auftretenden Nenner, also 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ...ist unsere
bekannte Folge f(n)
7

Obwohl die Elemente des Euklid das älteste
bekannte mathematische Werk sind, in dem uns
der goldene Schnitt mit Lösung überliefert ist,
kann man wohl doch davon ausgehen werden,
dass er bereits früher bekannt war. Der goldene
Schnitt spielte etwa in der Baukunst zur Zeit des
Perikles eine wichtige Rolle, und schon die
Pythagoreer dürften ihn gekannt haben.
Es gibt durch alle Jahrhunderte hindurch
Gebäude, die vom goldenen Schnitt Gebrauch
machen. Der Architekt Le Corbusier hat sogar
vorgeschlagen, ϕ zur Grundlage eines
allgemeinen Bauprinzips in der Architektur zu
machen (Modulor [i3]).
Hier noch zwei
Beispiele aus
England:
(links
Schloss Windsor
und
rechts
St. Pauls-Cathedral
in London): [i10]
Wir kommen nun in den Bereich der Musik und beginnen mit einem kurzen Exkurs in
die Musiktheorie der Pythagoreer. Pythagoras machte seine diesbezüglichen
physikalischen Versuche an einem Monochord. Das ist ein langer Holzkasten, auf
dem eine (in der Grundform einzige) Saite aufgespannt
ist. Dazu gehört ein Steg, mit dem sich der schwingende
Teil der Saite beliebig verkürzen lässt [i4]. Die
Saite liefert bei gleich bleibender Spannung folgende
Beobachtungen zur so genannten reinen Stimmung:
Tonintervall
Schwingungsverhältnis
Anteil an der
Gesamtsaite
Prime 1:1 1/1
Sekunde 9:8 8/9
kleine Terz 6:5 5/6
Große Terz 5:4 4/5
Quart 4:3 3/4
Tonintervall
Schwingungsverhältnis
Anteil an der
Gesamtsaite
Quint 3:2 2/3
kleine Sext 8:5 5/8
große Sext 5:3 3/5
Oktave 2:1 1/2
Der Physiker Helmholtz sagte in seiner „Lehre
von den Tonempfindungen“, dass es innerhalb
des Tonumfangs einer Oktave nur sechs
wohlklingende Akkorde gebe. Diese sind rechts
am Beispiel der Oktave C – c aufgeführt:
C, Es, G, c C-Moll
C, Es, As, As-Dur
c
C, E, G, c C-Dur
C, E, A, c A-Moll
C, F, As, c F-Moll
C, F, A, c F-Dur
8

Verteilt man die Töne gleichmäßig
auf zwei Oktaven, so
erhält man die nebenstehende
Tabelle:
Hier haben wir nur Frequenzverhältnisse,
die sich
durch Fibonacci-Zahlen beschreiben
lassen.
C, G, es, c’ C→(3/2)→G →(8/5)→es→(5/3)→c’
Quint kleine Sext große Sext
C, As, es, c’ C→(8/5)→As→(3/2)→es→(5/3)→c’
kleine Sext Quint große Sext
C, G, e, c’ C→(3/2)→G→(5/3)→e→(8/5)→c’
Quint große Sext kleine Sext
C, A, e, c’ C→(5/3)→A→(3/2)→e→(8/5)→c’
große Sext Quint kleine Sext
C, As, f, c’ C→(8/5)→As→(5/3)→f→(3/2)→c’
kleine Sext große Sext Quint
C, A, f, c’ C→(5/3)→A→(8/5)→f→(3/2)→c’
große Sext kleine Sext Quint
Interessant ist auch der Bezug des schon
besprochenen Stammbaums einer Drohne
zu einer Klaviertastatur. Das Bild rechts
erklärt sich wohl selbst:
[i5]
Wir begeben uns noch kurz in die Astronomie:
Schon Kepler hat bemerkt, dass sich die Umlaufzeiten
von Erde und Venus wie die Fibonacci-Zahlen 13 und 8
verhalten, und er nannte dieses Verhältnis proportio
proxime divina:
Umlaufzeit der Erde: 365 Tage; Umlaufzeit der Venus:
225 Tage; 365/225=1,622.., 13/8=1,625, ϕ=1.61803...
Einem Schulatlas [L2] entnimmt man für die Entfernungen unserer 8 sonnennächsten
Planeten von der Sonne in Millionen km:
Innere Planeten: Merkur: 57,91; Venus: 108,21; Erde: 149,60; Mars: 227,94;
(Venus+Mars)/(Merkur+Erde)=( 108,21+227,94)/( 57,91+149,60) =1,619
Äußere Planeten: Jupiter:778,34; Saturn:1427,01; Uranus:2869,67; Neptun:4496,54;
(Saturn+Neptun)/(Jupiter+Uranus)=(1427,01+4496,54)/(778,34+2869,67)=1,624...
Ob er hierin mehr als einen Zufall sehen möchte, mag jeder für sich selbst
entscheiden.
Der regelmäßige Fünfstern hat seine Funktion als Unionszeichen bis auf den
heutigen Tag bewahrt, wie u. a. die Flagge der USA und die der EU zeigen, aber
auch eine magische Bedeutung wird ihm manchmal selbst heute noch nachgesagt.
Seine angeblich teufelsbannende Wirkung kommt bei Goethe in der
Studierzimmerszene aus Faust I vor:
Das Pentagramma macht dir Pein?
Ei, sage mir du Fürst der Hölle:
Wenn das Dich bannt, wie kamst du dann herein?
J. W. von Goethe, Faust I, Studierzimmer [L5]
9

5) Papierfalten:
Wenn man von einem Papierbogen mit dem
Längenverhältnis ϕ:1 (wie in der Skizze zu
sehen) zwei Quadrate abteilt, so stehen die
Seiten des verbleibenden Rechtecks wieder im
gleichen Längenverhältnis. Man kann diesen
Abteilungsprozess immer weiter wiederholen.
Allerdings wird man schon nach wenigen
Faltungen feststellen, dass das auftretende
Verhältnis vom theoretischen Wert recht stark
abweicht.
Wenn die Werte beim Kleiner-Falten schnell
schlecht werden, so müssten sie umgekehrt
beim Auffalten schnell besser werden, auch
dann, wenn man mit ungenauen Werten b(1)
und a(1) startet. Ich wähle als Startfigur ein
Quadrat der Seitenlänge 1 und gelange (wie in
der Skizze zu sehen) von den Seitenlängen
b(n) und a(n) durch Auffalten zu
a(n+1)=a(n)+b(n) und b(n+1)= 2a(n)+b(n).
Alle auftretenden Folgenglieder entstammen
der Fibonacci-Serie.
n a(n) b(n) b(n) / a(n)
1 1 1 1
2 2 3 1,5
3 5 8 1,6
4 13 21 1,61538
5 34 55 1,617647
6 89 144 1,61797752
Heute benutzen wir meist DIN A-Papier mit
dem Längenverhältnis √2/1. Machen wir dort
einen entsprechenden Auffaltungsprozess, so
erhalten wir:
a(n+1) = a(n)+b(n) und
b(n+1) = a(n+1)+b(n) = 2∗a(n)+b(n).
Die hierbei auftretenden Folgen a(n) und b(n)
werden in der Literatur als Pell-Folge
p(n) (=a(n)) und als half-companion-Pell-Folge
h(n) (=b(n)) bezeichnet (vergleiche Kapitel 2).
Der Quotient h(n)/p(n) nähert sich mit
zunehmendem n hier immer mehr der Wurzel
aus 2 an. [i6]
n a(n) b(n) b(n) / a(n)
1 1 1 1
2 2 3 1,5
3 5 7 1,4
4 12 17 1,4666
5 29 41 1,413793
6 70 99 1,41442857
10

Eine viel bessere Annäherung an √2 als h(n)/p(n) erhält man durch das so genannte
Heron-Verfahren:
Ist x größer als √2, so ist 2/x kleiner und umgekehrt. Dem tatsächlichen Wert kommt
man im Allgemeinen vermutlich näher, wenn man die Mitte betrachtet,
also 0,5∗ (x+2/x).
Das führt auf die Rekursionsformel: x(n+1)=0,5∗ (x(n)+2/x(n)). [i7]
Spaltet man in Zähler b’(n) und Nenner a’(n) auf, so ergibt sich:
b’(n+1)/a’(n+1)=0,5∗(b’(n)/a’(n)+2∗a’(n)/b’(n)=((b’(n)) 2 +2∗(a(n)) 2 ) / (2∗a’(n) ∗b’(n)).
Wählt man a’(1)=b’(1)=1, b’(n+1)= (b’(n)) 2 +2∗(a’(n)) 2 und a’(n+1)= 2∗a’(n) ∗b’(n),
dann bekommt man
n a’(n) b’(n) b’(n) / a’(n)
1 1 1 1
2 2 3 1,5
3 12 17 1,416666
4 408 577 1,414215686
5 470832 665857 1,414213562
An dieser Stelle konnte ich das Programm meines Betreuungslehrers zur
Berechnung von Lucas-Folgen gut gebrauchen. Die Zahlen a’(n) und b’(n) tauchen
dort nämlich auf, allerdings nicht direkt hintereinander sondern bei den
Zweierpotenzen im Index!
Es ergibt sich die interessante Entdeckung:
a’(n)=L(1,2,2,1)(2 n-1 )=h(2 n-1 ) und b’(n)=L(1,3,2,1)(2 n-1 )=p(2 n-1 )
als Bezug der Heron-Folge für √2 zur Pell-Folge und zur Half-Companion-Pell-Folge.
11

7) spezielle Lucas-Folge:
Die Folge l(n) = L(1,3,1,1)(n) hat mit f(n) viele Gemeinsamkeiten. Diese sind im
Internet an vielen Stellen, besonders in [L4] und in [i12] breit beschrieben. Wie ich
schon in der Einleitung erläutert habe, waren diese Gemeinsamkeiten ein Grund
dafür, dass ich neben einem Wechsel in den beiden Startwerten letztlich auch
Abänderungen in den Rekursionsformeln zugelassen habe. Deshalb möchte ich sie
an dieser Stelle doch kurz erwähnen.
8) Zahlentheorie:
Genau dann, wenn ein Glied der Folge m(n) eine (Mersennesche) Primzahl ist, dann
ist 2ⁿ−¹*m(n) = 2ⁿ−¹* (2ⁿ-1) eine gerade vollkommene Zahl, also eine Zahl, die gleich
der Summe ihrer echten Teiler ist. Dieser Satz liefert ein Bildungsgesetz für alle
geraden vollkommenen Zahlen.
Die ersten Beispiele sind:
6=2*3=2 2-1 *m(2), 28=4*7=2 3-1 *m(3), 496=16*31=2 5-1 *m(5), 8128=64*127=2 7-1 *m(7).
Ungerade vollkommene Zahlen kennt man nicht.
Es fällt weiter auf dass sich aus der Primzahleigenschaft von m(n) die von n ergibt.
Dieser Sachverhalt ist bekannt. Die Umkehrung gilt nicht. Die Primzahl n=11 ist das
erste Gegenbeispiel: 2 11 -1=2047=23*89 [i8].
Die Zahlen 2* (p(n)) 2 und (h(n)) 2 bilden die n-ten Paare unmittelbar aufeinander
folgender natürlicher Zahlen, die beide eine ungerade Teilersumme haben [L6]:
n p(n) 2* (p(n)) 2 h(n) (h(n)) 2 Teilersumme
von 2* (p(n)) 2
1 1 2 1 1 3 1
2 2 8 3 9 15 13
3 5 50 7 49 93 57
4 12 288 17 289 819 307
5 29 1682 41 1681 2613 1723
Teilersumme
von (h(n)) 2
Man beachte auch hier die schon oben erwähnte Beziehung von
h(n)/p(n) zur Wurzel aus 2.
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9) Rückblick:
Bei der Anfertigung meiner Arbeit habe ich während einer Bearbeitungszeit von etwa
einem halben Jahr viel Neues über Mathematik erfahren. Mich hat erstaunt, in wie
vielen Bereichen auch außerhalb der Mathematik die Fibonacci-Folge vorkommt.
Dass es auch eine Verbindung zur Musiktheorie gibt, hätte ich vorher nicht gedacht.
Die Verbindungen zwischen der Tastenfolge einer c-Dur-Tonleiter und dem
Stammbaum einer Drohne sind verblüffend. Aber auch die Vielfalt der anderen
Lucas-Folgen hat mich fasziniert. Hier habe ich mich auf Berechnungsverfahren für
die Wurzel aus zwei konzentriert. Vermutlich gibt es hier auch zu anderen
interessanten Zahlen noch vielfältiges zu entdecken.
10) Quellenangaben:
Literatur:
[L1] Beutelspacher / Petri: Der Goldene Schnitt/ Spektrum-Verlag/ Heidelberg / 1996
[L2] Diercke Weltatlas./. Westermann-Schulbuchverlag / Braunschweig
[L3] Euklid: Die Elemente /Wissenschaftliche Buchgesellschaft/ Darmstadt/ 1975
[L4] Gardner: Mathematischer Zirkus, Kapitel13 / Ullstein / Berlin / 1979
[L5] von Goethe: Faust-Dichtungen / Philipp Reclam jun. / Stuttgart /1992
[L6] Holze: Teilersummen / Arbeit zum Wettbewerb Schüler-experimentieren / 2007
[L7] Huntley: The Divine Proportion/ Dover Publications/ Inc/ New York/ 1970
Internet:
[i1] On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)
[i2] http://www.mathe-seiten.de/fibonacci.pdf
[i3] http://www.horusmedia.de/1997-bauen/goldenerschnitt.jpg
[i4] http://www.deutsches-museum.de/uploads/pics/Monochord
[i5] http://home.schule.at/teacher/gwengler/bilder/design/drohne.jpg
[i6] http://de.wikipedia.org/wiki/Pell-Folge
[i7] http://www.physik-im-unterricht.de.../M9-Heron-Verfahren.pdf
[i8] http://de.wikipedia.org/wiki/Mersenne-Primzahl
[i9] http://de.wikipedia.org/wiki/Pellsche_Gleichung
[i10] http://www.khg.bamberg.de/comenius/gold/gauge/windsor.jpg
[i11] http://www.brefeld.homepage.t-online.de/Mathematik%2520Dateien/polyeder.gif
[i12] http://mathworld.wolfram.com/LucasNumber.html
Software:
Euklid / Dynageo, Interaktives Geometrieprogramm
Programm zur Berechnung von Lucas-Folgen
Programm zur Suche nach bestimmten Maßverhältnissen in vorgegebenen Bildern
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