Wie funktioniert ein Rechner?

Wie funktioniert ein Rechner?
1. Polyadische Zahlensysteme:
Stellenwertsystem zur Darstellung von natürlichen Zahlen.
Basis B
Stellenwert b
Index i = Stelle
B ∈N
, B ≥ 2
∈N
0 ≤ ≤ B −1
b , ( )
i
b i
Ein nicht polyadisches Zahlensystem ist die Zeitskala.
Zuerst betrachten wir das...
Dezimalsystem:
Wird auch Zehnersystem oder dekadisches Zahlensystem genannt.
Die Zahlen werden gebildet aus der Potenzzahl 10. Also ist die Basis 10.
Hier gibt es nur die Zahlen 0 bis 9. Also den Zeichenvorrat {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9}.
Dualsystem:
(lat. Dualis = zwei enthaltend)
Wird auch Binärsystem, Zweiersystem oder Dyadik genannt.
Leibniz erfand am Anfang des 18. Jahrhunderts die Dyadik, wusste jedoch
nicht, wo er sie benutzen konnte. Er empfand aber das Dualsystem als etwas
göttliches. Die Zahl 710 kann im Dualsystem als 1112 aufgeschrieben werden und
darin sah er die heilige Dreifaltigkeit, da die Erde auch am 7. Tage von Gott
fertiggestellt wurde.
George Stibitz baute 1937 einen Rechner, der Dualzahlen addieren konnte.
Konrad Zuse verwendete 1941 zum ersten Mal einen Binärrechner.
Die Zahlen werden gebildet aus der Potenzzahl 2. Also ist die Basis 2.
Hier gibt es nur die Zahlen 0 und 1. Also den Zeichenvorrat {0, 1}.
Es gilt die Formel:
Z
= ∑
m
z i
i=
0
* 2
i
Die höchstwertige Stelle mit dem Wert z
m
steht ganz links und die
niederwertigste Stelle mit dem Wert z
0
steht ganz rechts.

Bei elektronischen Maschinen werden die Ziffern durch eine Folge von
Spannungspegeln angegeben. Das kann man am Besten mit 2 Zuständen
unterschieden, anstatt wie beim Dezimalsystem mit 10 verschiedenen
„Zuständen“.
Die Zustände werden 0 (=Aus) und 1 (=Ein) oder H (=High) und L (=Low)
genannt.
Die kleinste Einheit einer binären Zahl ist das Bit (= Binary Digit).
Eine Binärzahl mit 8 Stellen hat 8 Bit und wird als Byte bezeichnet. Dadurch
können wir die Zahlen von 0 bis 255 darstellen.
Also können wir mit k-stelligen Binärzahlen 2 k Dezimalzahlen darstellen.
Damit wir die Dualzahl von der Dezimalzahl unterscheiden können, schreiben
wir nach der Dualzahl eine tiefgestellte 2 und bei der Dezimalzahl eine
tiefgestellte 10.
Manchmal wird bei Binärzahlen auch ein B nach der Zahl geschrieben.
Mit diesem System arbeiten die meisten Rechner, weil es bei elektronischen
Geräten einfacher ist nur zwei Zustände zu unterscheiden: 1 (=Ein) und 0
(=Aus)
Umrechnungen:
• Dezimalsystem – Dualsystem:
Diese Umrechnung geht am einfachsten mit der Restdivision. (Modulo-
Operation) Man dividiert eine beliebige Zahl durch 2 und der Rest ergibt
entweder 0 oder 1.
Beispiel:
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
Daraus resultiert die Binärzahl 10111 für die Dezimalzahl 23.

• Dualsystem – Dezimalsystem:
Wir betrachten den Stellenwert im Binärsystem als Potenz der Zahl 2.
Beispiel:
Wir haben die Binärzahl 10111.
Das bedeutet:
4
3
2
1
1⋅
2 + 0 ⋅ 2 + 1⋅
2 + 1⋅
2 + 1⋅
16 + 0 + 4 + 2 + 1
Ergibt also die Dezimalzahl 23.
2
0
2. Aufbau
Wir sind gewohnt mit den Ziffern von 0 bis 9 zu arbeiten. Ein Rechner arbeitet
jedoch aus elektrischen Gründen nur mit 2 Werten – Ein und Aus bzw. 0 und 1.
Also wird jede eingegebene Dezimalzahl ins Binäre
Zahlensystem mittels eines „Coder“ - Bauelement
umgewandelt.
Nach einer Berechnung wird das Ergebnis wieder
mittels eines „Decoder“ – Bauelements von der
Binärzahl in eine Dezimalzahl umgewandelt.
So erscheint das Ergebnis dann am
Display.
Das Display besteht meist aus einer
Siebensegmentanzeige. 7 Balken
können die Zahlen 0 bis 9 darstellen.
Die Segmente werden durch Flüssig-
Kristallanzeigen (LCD = liquid
crystal display) gebildet. Die Ausrichtung von
Flüssigkeitskristallen wird dabei gesteuert durch
die elektrische Spannung in jedem Element. Dies wird dem Display wieder mit
dem Binärenzahlencode angegeben.
Der Taktgenerator ist für die zeitliche Reihenfolge verantwortlich.
Der Speicher speichert Zwischenergebnisse, eingegebene Zahlen und das
Endergebnis.
Das Rechenwerk führt die gewünschte Berechnung aus.

In der Zentraleinheit des Rechners (CPU) passieren die ganzen Schritte.
Ein Steuerwerk 1 gibt die Eingabedaten in den Arbeitsspeicher.
Ein Steuerwerk 2 gibt die Daten in ein Rechenwerk, damit sie dort die
Ausführung der nötigen Operation stattfindet.
Das Steuerwerk 3 gibt das Ergebnis an den Bildschirm oder wieder an den
Arbeitsspeicher weiter.
Auch Zwischenergebnisse landen im Arbeitsspeicher.
Beispiel:
25 * 24
Zuerst wird die Zahl 25 eingegeben und gleich codiert. Danach wird sie dem
Arbeitsspeicher eingeschrieben und erscheint am Display.
Nun wählen wir die Funktion „*“.
Die gespeicherte Zahl im Arbeitsspeicher wird auf einen anderen Speicherplatz
geschrieben und das Programm (Multiplikation) wird aufgerufen.
Dann tippt man die Zahl 24 ein, welche wieder codiert wird und auf dem
Display erscheint.
Beim Drücken der „=“ – Taste wird die Operation ausgeführt.
Nun wird die Zahl „24“ 25-mal addiert. Das Ergebnis wird wieder decodiert
und erscheint als Ergebnis „600“ am Display.
Dieser Vorgang läuft sehr schnell ab. In dem Bruchteil einer Sekunde werden
Tausende Additionen durchgeführt.
Das Prinzip ist immer das gleiche:
Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe
All diese wichtigen Funktionsblöcke eines Taschenrechners sind auf einem Chip
einer Größe von 10 mm² zusammengefasst.
Ein Rechner kann nur addieren und subtrahieren. Die anderen
Rechenoperationen müssen auf die vorhandenen Operationen, Addition und
Subtraktion, zurückgreifen.

Halbaddierer:
Ein Halbaddierer („half adder“) ist ein Schaltnetz mit 2 Eingängen und 2
Ausgängen. Man kann damit 2 einstellige Binärzahlen addieren. Der eine
Ausgang s (sum – Summe) liefert das rechte Ergebnis und der Ausgang c (carry
– Übertrag) die linke Stelle des Ergebnisses.
Wahrheitstabelle:
x y Übertrag c Summe s
0 0 0 0
1 0 0 1
0 1 0 1
1 1 1 0
Volladdierer:
Ein Volladdierer ist ein Schaltnetz, mit 3 Eingängen und 2 Ausgängen. Man
kann damit 3 einstellige Binärzahlen addieren.
Ein Volladdierer besteht aus 2 Halbaddierern.
Der Ausgang s (sum – Summe) liefert die niederwertige Stelle des Ergebnisses
und der Ausgang cout (carry – Übertrag) die höherwertige Stelle des Ergebnisses.
Die Eingänge werden mit x, y und cin bezeichnet. cin ist auch für den Übergang
zuständig.
Wahrheitstabelle:
x y cin cout s
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1

1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
3-Bit-Volladdierer:
Man kann 2 dreistellige Binärzahlen miteinander addieren.

Der Rechner besteht aus:
• 13 Relais
• 10 LEDS
• 6 Schiebeschalter
• 1 Stecker
• 10 Widerstände (Damit uns die LEDS nicht zerreißen)
• 6 Dioden (Damit der Strom nur in eine Richtung fließt)
• 1 Leiterplatte

3. Funktionen:
Addition:
Wertetabelle:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0 (Übertrag 1)
Wir addieren wie bei der normalen Addition im Dezimalsystem.
Subtraktion:
Wertetabelle:
- 0 1
0 0 1 (Übertrag 1)
1 1 0
Wir subtrahieren wie bei der normalen Subtraktion im Dezimalsystem.
Andere Möglichkeit:
Wir führen die Subtraktion mit Hilfe der Zweierkomplementdarstellung
durch. Dies hat den Vorteil, dass sie auf die Addition rückgeführt werden
kann.
Das Kennzeichen der Zweierkomplementdarstellung ist, dass das
höchstwertige Bit das Vorzeichen darstellt (1 = Negativ).
Die Zweierkomplementdarstellung erreicht man so:
1. Bildung des 1. Komplementes
2. Addition von 1
3. Das Ergebnis ist das 2. Komplement der Ausgangszahl. = negative Zahl
der Ausgangszahl
Zum Beispiel:
So können wir auch in den negativen Zahlenbereich rechnen.

• Umgekehrte Polnische Notation:
Der Operator wird nach dem Operanden eingegeben. Um die Operanden
zu trennen, wird die „Enter“ - Taste benutzt. Diese Rechner besitzen meist
keine „=“ – Taste.
• zweidimensionale Eingabe-Editor:
Die Eingabe und die Ausgabe erfolgt, so wie man es schreibt.
b.)Unterscheidung aufgrund verfügbarer Funktionen:
• Einfach oder 4-Funktionen Rechner:
Grundrechnungsarten, Prozentrechnung
• Finanz oder Wirtschaftsrechner
Zinsrechnung
• Boolesche Rechnungen
Rechnen mit Dual-, Oktal- und Hexadezimalzahlen
• Wissenschaftlicher Rechner:
Winkelfunktionen, Logarithmus
• Programmierbarer Taschenrechner:
• Grafikfähiger Taschenrechner:
Funktions- und Kurvendarstellung
• Computeralgebra-Rechner:
Grafikfähiger Taschenrechner mit eingebautem Computeralgebrakern
Die meisten aktuellen Taschenrechnermodelle enthalten mehrer der oben
genannten Funktionen.

5. Quellen:
• Wikipedia:
o Volladdierer
o Halbaddierer
o Dualsystem
o Taschenrechner
http://www.elmar-baumann.de/fotografie/ebv/binaerzahlen.html
http://www.ulthryvasse.de/db1.html
http://www.dualzahlen.de/index.html
http://www.elektronik-kompendium.de
http://www.nibis.ni.schule.de