Tensorformalismus - Klassische Tensoranalysis - Kintzel.net

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Tensorformalismus - Klassische
Tensoranalysis
Olaf Kintzel
Lehrstuhl für Statik und Dynamik
Ruhr-Universität Bochum
Numerische Strukturdynamik, 7. Dezember 2006
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
1 Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
2 Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
3 Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
4 Invertierung eines vierstufigen Tensors
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor ?
Ein Tensor 0. Stufe ist ein Skalar T ∈ R
Ein Tensor 1. Stufe ist ein Vektor t ∈ V = R 3
Ein Tensor 2. Stufe T ∈ Lin(V → V) transformiert einen Vektor auf
einen anderen Vektor
Ein Tensor 4. Stufe T ∈ Lin(T → T) transformiert einen Tensor
zweiter Stufe auf einen anderen Tensor zweiter Stufe
Olaf Kintzel
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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor ?
Ein Tensor 0. Stufe ist ein Skalar T ∈ R
Ein Tensor 1. Stufe ist ein Vektor t ∈ V = R 3
Ein Tensor 2. Stufe T ∈ Lin(V → V) transformiert einen Vektor auf
einen anderen Vektor
Ein Tensor 4. Stufe T ∈ Lin(T → T) transformiert einen Tensor
zweiter Stufe auf einen anderen Tensor zweiter Stufe
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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor ?
Ein Tensor 0. Stufe ist ein Skalar T ∈ R
Ein Tensor 1. Stufe ist ein Vektor t ∈ V = R 3
Ein Tensor 2. Stufe T ∈ Lin(V → V) transformiert einen Vektor auf
einen anderen Vektor
Ein Tensor 4. Stufe T ∈ Lin(T → T) transformiert einen Tensor
zweiter Stufe auf einen anderen Tensor zweiter Stufe
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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor ?
Ein Tensor 0. Stufe ist ein Skalar T ∈ R
Ein Tensor 1. Stufe ist ein Vektor t ∈ V = R 3
Ein Tensor 2. Stufe T ∈ Lin(V → V) transformiert einen Vektor auf
einen anderen Vektor
Ein Tensor 4. Stufe T ∈ Lin(T → T) transformiert einen Tensor
zweiter Stufe auf einen anderen Tensor zweiter Stufe
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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
E
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
9 E H D = > A A E A 6 A I H I 5 F = K C I J A I H
/ A C A > A I A E A E > A E A > E C A H - E D A E J I L A J H . ? D A H = A
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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
9 E H D = > A A E A 6 A I H I 5 F = K C I J A I H
/ A C A > A I A E A E > A E A > E C A H - E D A E J I L A J H . ? D A H = A
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Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
9 E H D = > A @ E A B C A @ A 6 H = I B H = J E J I
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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
9 E H D = > A @ E A B C A @ A 6 H = I B H = J E J I
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
9 E H D = > A @ E A B C A @ A 6 H = I B H = J E J I
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
9 E H D = > A @ E A B C A @ A 6 H = I B H = J E J I
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
9 E H D = > A @ E A B C A @ A 6 H = I B H = J E J I
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Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
9 E H D = > A @ E A B C A @ A 6 H = I B H = J E J I
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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Invertierung eines vierstufigen Tensors
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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Invertierung eines vierstufigen Tensors
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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Invertierung eines vierstufigen Tensors
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
, E A A E B = ? D I J A , = H I J A K C L I
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Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
E
I
I
I
I
I
I
!
I
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
, E A = C A A E I J A , = H I J A K C L = K J A J 5 J
E
E
M > A E @ = I 5 F = J F H @ K J
!
K @ J
J J
!
E A = H K = > D C E C
, = M H A @ E A 5 F K H L J H
!
!
J
J
J J J
!
J
!
1
, E A 5 F K H A E A I 6 A I H I 5 K A @ A H 0 = K F J @ E = C = A E I J A E A 1 L = H E = J A @ D
K = > D C E C L @ A H 9 = D A E A I H @ E = J A I O I J A I
E
!
E
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
A
3
E
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
A
!
E
!
A
E
A
E
3
E
E
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A A
E A E
!
K @ A
!
E
9 E A I A D A @ = 3 = K I
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A A
E A E
!
K @ A
!
E
9 E A I A D A @ = 3 = K I
) J M H J 3 A
E
E
E
A
E
A E A
!
E
!
3 > C A
E
E
3 > C E
E
E
E E
E
!
E E
E
!
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/
E
E
E
E
/
E
A
/
E
A
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/
E
E
E
E
/
E
A
/
E
A
9 E A I A D A @ = 3 = K I
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/
E
E
E
E
/
E
A
/
E
A
9 E A I A D A @ = 3 = K I ) J M H J 3 /
E
E
E
E
/
E
A
E
A
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/
E
E
E
E
/
E
A
/
E
A
9 E A I A D A @ = 3 = K I ) J M H J 3 /
E
E
E
E
/
E
A
E
A
9 A ? D A - E C A I ? D = B J D = J / E
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
A
E
4
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/
E
E
E
E
/
E
A
/
E
A
9 E A I A D A @ = 3 = K I ) J M H J 3 /
E
E
E
E
/
E
A
E
A
) C A A M E H D J J A B C A @ A H @ E = J A J H = I B H = J E
4
A
E
E
!
A
!
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
A
E
M
4
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/
E
E
E
E
/
E
A
/
E
A
9 E A I A D A @ = 3 = K I ) J M H J 3 /
E
E
E
E
/
E
A
E
A
) C A A M E H D J J A B C A @ A H @ E = J A J H = I B H = J E
4
A
E
E
!
A
!
A
E
4 M E
E
E E 4
M A E
Olaf Kintzel
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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
A
E
M
4
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/
E
E
E
E
/
E
A
/
E
A
9 E A I A D A @ = 3 = K I ) J M H J 3 /
E
E
E
E
/
E
A
E
A
) C A A M E H D J J A B C A @ A H @ E = J A J H = I B H = J E
4
A
E
E
!
A
!
A
E
4 M E
E
E E 4
M A E 4 M A E
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/
E
E
E
E
/
E
A
/
E
A
9 E A I A D A @ = 3 = K I ) J M H J 3 /
E
E
E
E
/
E
E
E
E
/
E
A
E
A
) C A A M E H D J J A B C A @ A H @ E = J A J H = I B H = J E
A
E
4 M E
E
E E 4
M A E 4 M A E
, = M M A
!
M E
!
A M A E I @ E A = A E E C A * A I J E K C I C H A
B H 4 K @ 4
E I J I I A @ E A = J H E A / E
K @ / E
E @ A A M A E E C A H @ E = J A I O I J A A > A H A E I J E A
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
6
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/ E
E
E
E
/ E
A
/ E A
9 E A I A D A @ = 3 = K I ) J M H J 3 / E
E
E
E
/ E
E
E
E
/ E
A
E
A
) C A A M E H D J J A B C A @ A H @ E = J A J H = I B H = J E
A
E
4 M E
E
E
E
4
M A
E
4 M A
E
, = M M A
!
M E
!
A M A E I @ E A = A E E C A * A I J E K C I C H A
B H 4 K @ 4
E I J I I A @ E A = J H E A /
E
K @ /
E
E @ A A M A E E C A H @ E = J A I O I J A A > A H A E I J E A
) I / E
/
E
@ A H /
E
/
E
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
6
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/
E
E
E
E
/ E
A
/ E A
9 E A I A D A @ = 3 = K I ) J M H J 3 /
E
E
E
E
/ E
E
E
E
/
E
A
E
A
) C A A M E H D J J A B C A @ A H @ E = J A J H = I B H = J E
A
E
4 M E
E
E
E
4
M A
E
4 M A
E
, = M M A
!
M E
!
A M A E I @ E A = A E E C A * A I J E K C I C H A
B H 4 K @ 4
E I J I I A @ E A = J H E A / E
K @ / E
E @ A A M A E E C A H @ E = J A I O I J A A > A H A E I J E A
) I /
E
/
E
@ A H /
E
/
E
@ A H 3
6
3
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/
E
E
E
E
/ E
A
/ E A
9 E A B E @ A J = @ E A = J H E N /
E
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/ E
E
E
E
/ E
A
/ E A
9 E A B E @ A J = @ E A = J H E N /
E
) J M H J A
E
/ E
E
E
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
9 = I E I J A E A H @ E = J A J H = I B H = J E
) C A A @ E A H @ E = J A J H = I B H = J E I A E
A
E
/ E
E
E
E
/ E
A
/ E A
9 E A B E @ A J = @ E A = J H E N /
E
) J M H J A
E
/ E
E
E
A
E
E
/ E
E
E
/ E @
/ E
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
K I = A B = I I K C
1 I J 3 A E A H A E A 5 J = H H H F A H H J = J E I C E J A
E
3 E
E
3 H J D E J 3
6
3
K @ @ A J 3
@ = 3 M E J M 4
!
D = J 3 ! K = > D C E C A F A J A
. H A E A > A E A > E C A 6 H = I B H = J E C E J *
C
E
. /
E
E J . 1 I . D = J ' K = > D C E C A F A J A
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
K I = A B = I I K C
1 I J 3 A E A H A E A 5 J = H H H F A H H J = J E I C E J A
E
3 E
E
3 H J D E J 3
6
3
K @ @ A J 3
@ = 3 M E J M 4
!
D = J 3 ! K = > D C E C A F A J A
. H A E A > A E A > E C A 6 H = I B H = J E C E J *
C
E
. /
E
E J . 1 I . D = J ' K = > D C E C A F A J A
9 = I > A @ A K J A J 1 I 1 I 1 I H F D E I K I - E I K - E I ) > > E @ K C > E A J E L A ) > > E @ K C
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Wir führen drei Tensorprodukte ein :
E ijkl = (A ⊗ B) ijkl
E ijkl = (A □× B) ijkl
E ijkl = (A × B) ijkl
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Wir führen drei Tensorprodukte ein :
E ijkl = (A ⊗ B) ijkl
E ijkl = (A □× B) ijkl
E ijkl = (A × B) ijkl
Wir führen drei verschiedene Regeln zur doppelten Kontraktion ein :
(E : F) ijkl = E ijmn F mnkl
(E ❛F) ijkl = E imnl F mjkn
(E ❛ F) ijkl = E mjkn F imnl
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Wir führen drei Tensorprodukte ein :
E ijkl = (A ⊗ B) ijkl
E ijkl = (A □× B) ijkl
E ijkl = (A × B) ijkl
Wir führen drei verschiedene Regeln zur doppelten Kontraktion ein :
(E : F) ijkl = E ijmn F mnkl
(E ❛F) ijkl = E imnl F mjkn
(E ❛ F) ijkl = E mjkn F imnl
(E ❛F) R = E R : F R (E : F) L = E L ❛F L
Olaf Kintzel Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Symmetrie-Operationen :
(E ijkl ) T = E jilk (E ijkl ) D = E klij
(E ijkl ) ti = E ikjl (E ijkl ) dl = E jikl
(E ijkl ) to = E ljki (E ijkl ) dr = E ijlk
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Symmetrie-Operationen :
(E ijkl ) T = E jilk (E ijkl ) D = E klij
(E ijkl ) ti = E ikjl (E ijkl ) dl = E jikl
(E ijkl ) to = E ljki (E ijkl ) dr = E ijlk
Ein Tensor 4. Stufe erfüllt kleine Symmetrie, wenn :
E = E ti = E to oder E = E dl = E dr
Ein Tensor 4. Stufe erfüllt große Symmetrie, wenn :
E = E T oder E = E D
Ein Tensor 4. Stufe ist supersymmetrisch, wenn :
E = E ti = E to = E T oder E = E dl = E dr = E D
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
(A ⊗ B) : (C ⊗ D) = (B : C) A ⊗ D
(A ⊗ B) ❜(C ⊗ D) = (A C) ⊗ (D B)
(A ⊗ B) ❜ (C ⊗ D) = (C A) ⊗ (B D)
(A ⊗ B) : (C × D) = A ⊗ (D T B T C) (A × B) : (C ⊗ D) = (A C T B T ) ⊗ D
(A ⊗ B) ❜(C × D) = (A C B) × D (A × B) ❜(C ⊗ D) = A × (C T B D T )
(A ⊗ B) ❜ (C × D) = C × (A T D B T ) (A × B) ❜ (C ⊗ D) = (C AD) × B
(A × B) : (C × D) = (A D) ✷× (B C)
(A × B) ❜(C × D) = (B : C) A × D
(A × B) ❜ (C × D) = (A : D) C × B
(A ⊗ B) : (C ✷× D) = A ⊗ (C T B D) (A ✷× B) : (C ⊗ D) = (A C B T ) ⊗ D
(A ⊗ B) ❜(C ✷× D) = (A C) ✷× (D B) (A ✷× B) ❜(C ⊗ D) = (A D T ) ✷× (C T B)
(A ⊗ B) ❜ (C ✷× D) = (C B T ) ✷× (A T D) (A ✷× B) ❜ (C ⊗ D) = (C A) ✷× (B D)
(A ✷× B) : (C ✷× D) = (A C) ✷× (B D)
(A ✷× B) ❜(C ✷× D) = (A D T ) ⊗ (C T B)
(A ✷× B) ❜ (C ✷× D) = (C B T ) ⊗ (A T D)
(A × B) : (C ✷× D) = (A D) × (B C) (A ✷× B) : (C × D) = (A C) × (B D)
(A × B) ❜(C ✷× D) = A × (D B T C) (A ✷× B) ❜(C × D) = (A C T B) × D
(A × B) ❜ (C ✷× D) = (C A T D) × B (A ✷× B) ❜ (C × D) = C × (B D T A)
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
(A ⊗ B) T = A T ⊗ B T (A ⊗ B) D = B ⊗ A
(A × B) T = B × A (A × B) D = B T × A T
(A ✷× B) T = B ✷× A (A ✷× B) D = A T ✷× B T
(A ⊗ B) ti = A ✷× B (A ⊗ B) dl = A T ⊗ B
(A × B) ti = A × B T (A × B) dl = B ✷× A
(A ✷× B) ti = A ⊗ B (A ✷× B) dl = B × A
(A ⊗ B) to = B T ✷× A T (A ⊗ B) dr = A ⊗ B T
(A × B) to = A T × B (A × B) dr = A ✷× B
(A ✷× B) to = B T ⊗ A T (A ✷× B) dr = A × B
(A ⊗ B) t = B T ⊗ A T (A ⊗ B) d = A T ⊗ B T
(A × B) t = A T × B T (A × B) d = B × A
(A ✷× B) t = B T ✷× A T (A ✷× B) d = B ✷× A
Tabelle 1: Transpositionsoperationen angewendet auf Tensoren vierter Stufe.
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
- E D A E J I J A I H A " 5 J K B A
1 1 1 1 1 1
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Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
- E D A E J I J A I H A " 5 J K B A
1 1 1 1 1 1
1 1 ) )
1 1 ) )
1 1 ) )
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Tensorformalismus

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Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
- E D A E J I J A I H A " 5 J K B A
1 1 1 1 1 1
1 1 ) )
1 1 ) )
6
1 1 ) )
1 1 ) )
1 1 ) )
6
1 1 ) )
6
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Tensorformalismus

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Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
- E D A E J I J A I H A " 5 J K B A
1 1 1 1 1 1
1 1 ) )
1 1 ) )
6
1 1 ) J H )
1 1 ) )
1 1 ) )
6
1 1 ) J H )
1 1 ) )
1 1 ) )
6
1 1 ) J H )
Olaf Kintzel
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Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)
Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438
"On the theory of fourth-order tensors and their application in
computational mechanics"
Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544
"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspects
and applications"
(A ⊗ B) : (C ⊗ D) = (AC) ⊗ (DB)
(A × B) : (C × D) = (B : C)A × D
(A ⊗ B) : (C × D) = (ACB) × D
(A × B) : (C ⊗ D) = A × (C T BD T )
(A × B) R = A ⊗ B
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)
Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438
"On the theory of fourth-order tensors and their application in
computational mechanics"
Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544
"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspects
and applications"
(A ⊗ B) : (C ⊗ D) = (AC) ⊗ (DB) → (A ⊗ B) ❛(C ⊗ D)
(A × B) : (C × D) = (B : C)A × D → (A × B) ❛(C × D)
(A ⊗ B) : (C × D) = (ACB) × D → (A ⊗ B) ❛(C × D)
(A × B) : (C ⊗ D) = A × (C T BD T ) → (A × B) ❛(C ⊗ D)
(A × B) R = A ⊗ B → (A × B) R = A ⊗ B, (A ⊗ B) L = A × B
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Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)
Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438
"On the theory of fourth-order tensors and their application in
computational mechanics"
Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544
"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspects
and applications"
nur zwei Tensorprodukte (⊗, ×)
keine Unterscheidung von doppelten Kontraktionsregeln (die
Regel (:) bekommt praktisch eine neue Bedeutung, was verwirrt)
neben (· · · ) R fehlt die inverse Operation (· · · ) L
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Rosati (2000)
Rosati 2000, IJSS 37, S. 3457-3477
"A novel approach to the solution of the tensor equation
AX + XA = H"
(A ⊗ B)C = (B · C)A
(A □× B)C = ACB T
(A □× B)(C □× D) = (AC) □× (BD)
(A □× B)(C ⊗ D) = (ACB T ) ⊗ D
(A ⊗ B)(C □× D) = A ⊗ (C T BD)
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Rosati (2000)
Rosati 2000, IJSS 37, S. 3457-3477
"A novel approach to the solution of the tensor equation
AX + XA = H"
(A ⊗ B)C = (B · C)A → (A ⊗ B) : C
(A □× B)C = ACB T → (A □× B) : C
(A □× B)(C □× D) = (AC) □× (BD) → (A □× B) : (C □× D)
(A □× B)(C ⊗ D) = (ACB T ) ⊗ D → (A □× B) : (C ⊗ D)
(A ⊗ B)(C □× D) = A ⊗ (C T BD) → (A ⊗ B) : (C □× D)
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Ableitungsregeln
Die Ableitung nach einem zweistufigen Tensor nach dem
Differentiationskalkül lautet in Komponentenschreibweise :
∂A ij
∂A kl
= δ ik δ jl
Überführt in die Absolutschreibweise gilt :
∂A ij
∂A kl
= I iklj
oder
∂A
∂A = ∂AT
∂A
= I ⊗ I T
∂A T ∂A
= ∂A
∂A T
= I □× I
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Ableitungsregeln
In Verbindung mit dem neuen Tensorprodukt ( ❛) gilt die Produktregel:
Bsp.: F(D) = AB(D)
∆F = (A, D B + AB, D ) ❛∆D
Früher galt üblicherweise :
∂A ij
∂A kl
= I ijkl
Dann ist die Produktregel nicht erfüllt :
∆F = (A, D B + AB, D ) : ∆D ist falsch !
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Ableitungsregeln
In Verbindung mit dem neuen Tensorprodukt ( ❛) gilt die Produktregel:
Bsp.: F(D) = AB(D)
∆F = (A, D B + AB, D ) ❛∆D
Bei Spuren gilt :
tr(F) = tr(AB) = AB : I = AB ❛I = AB ❛ I = I ❛AB
∂tr(F)
∂D
= (A, D B + AB, D ) ❛ I
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Ableitung nach der Inversen
Sonderfälle der Tensorableitung
A −1 A = I ⇒ A −1
,A A + A−1 A, A = 0
⇔ A −1
,A = −A−1 (I ⊗ I)A −1 = −A −1 ⊗ A −1
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Ableitung nach der Inversen
Sonderfälle der Tensorableitung
A −1 A = I ⇒ A −1
,A A + A−1 A, A = 0
analog für A, A −1 :
A, A −1 = −A ⊗ A
⇔ A −1
,A = −A−1 (I ⊗ I)A −1 = −A −1 ⊗ A −1
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Sonderfälle der Tensorableitung
Ableitung nach einem symmetrischen Tensor (A = A T ) :
∂F(A)
∂A = F(A), A ❛ 1 2 (A, A +A, A T )
∂F(A)
∂A
= F(A), A ❛ 1 2 (I ⊗ I + I □× I) = F(A), A ❛ S
S : Symmetrietransformationstensor 4. Stufe !!
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Sonderfälle der Tensorableitung
Ableitung nach einem symmetrischen Tensor (A = A T ) :
∂F(A)
∂A = F(A), A ❛ 1 2 (A, A +A, A T )
∂F(A)
∂A
= F(A), A ❛ 1 2 (I ⊗ I + I □× I) = F(A), A ❛ S
S : Symmetrietransformationstensor 4. Stufe !!
analog für einen schiefsymmetrischen Tensor (A = −A T ) :
∂F(A)
∂A
= F(A), A ❛ 1 2 (I ⊗ I − I □× I) = F(A), A ❛ A
A : Antimetrietransformationstensor 4. Stufe !!
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
F(A) = ψ(A) ¯F(A)
Sonderfälle der Tensorableitung
F(A), A = ψ(A) ¯F, A + ¯F(A) × ψ(A), A
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
F(A) = ψ(A) ¯F(A)
Sonderfälle der Tensorableitung
F(A), A = ψ(A) ¯F, A + ¯F(A) × ψ(A), A
F (A) = A : B
F (A), A = A, A
❛ B + A ❛B, A
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
F(A) = ψ(A) ¯F(A)
Sonderfälle der Tensorableitung
F(A), A = ψ(A) ¯F, A + ¯F(A) × ψ(A), A
F (A) = A : B
F (A), A = A, A
❛ B + A ❛B, A
Bei der doppelten Kontraktion gilt die Produktregel nicht !
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F (A) = tr(A 3 ) :
F (A), A = I ❛((I ⊗ I)A 2 + A(I ⊗ I)A + A 2 (I ⊗ I))
= I ❛(I ⊗ A 2 + A ⊗ A + A 2 ⊗ I)
= 3 A 2 T Olaf Kintzel Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F (A) = tr(A 3 ) :
F (A), A = I ❛((I ⊗ I)A 2 + A(I ⊗ I)A + A 2 (I ⊗ I))
= I ❛(I ⊗ A 2 + A ⊗ A + A 2 ⊗ I)
= 3 A 2 T Regel : tr(A n ), A = n (A n−1 ) T
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F (A) = tr(A 3 ) :
F (A), A = I ❛((I ⊗ I)A 2 + A(I ⊗ I)A + A 2 (I ⊗ I))
= I ❛(I ⊗ A 2 + A ⊗ A + A 2 ⊗ I)
= 3 A 2 T Regel : tr(A n ), A = n (A n−1 ) T
F (A) = tr(A 3 )tr(A 2 )
F (A), A = 3 A 2 T tr(A 2 ) + tr(A 3 ) 2 A T
F (A), (A×A) = 6 (A 2 T × A T + A T × A 2 T )
+3 tr(A 2 ) (A T □× I + I □× A T ) + 2 tr(A 3 ) I □× I
Es gilt : F (A), (A×A) = (F (A), (A×A) ) T (große Symmetrie !!)
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F(A) = A tr(A 2 ) + A T tr(A 3 ) :
F(A), A = tr(A 2 ) I ⊗ I + tr(A 3 ) I □× I + 2 A × A T + 3 A T × A 2 T
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F(A) = A tr(A 2 ) + A T tr(A 3 ) :
F(A), A = tr(A 2 ) I ⊗ I + tr(A 3 ) I □× I + 2 A × A T + 3 A T × A 2 T
F(A) = dev(A)
F(A) = A − 1 3 tr(A) I
F(A), A = I ⊗ I − 1 3 I × I
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F(A) = A tr(A 2 ) + A T tr(A 3 ) :
F(A), A = tr(A 2 ) I ⊗ I + tr(A 3 ) I □× I + 2 A × A T + 3 A T × A 2 T
F(A) = dev(A)
F(A) = A − 1 3 tr(A) I
F(A), A = I ⊗ I − 1 3 I × I
A = A T
: F(A), A = S − 1 3 I × I
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
F(A) = (dev(A)) 3 :
Beispiele
F(A), A =
((dev(A)) 2 ⊗ I + dev(A) ⊗ dev(A) + I ⊗ (dev(A)) 2 ) ❛dev(A), A
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
F(A) = (dev(A)) 3 :
Beispiele
F(A), A =
((dev(A)) 2 ⊗ I + dev(A) ⊗ dev(A) + I ⊗ (dev(A)) 2 ) ❛dev(A), A
F(A), A =
((dev(A)) 2 ⊗I+dev(A)⊗dev(A)+I⊗(dev(A)) 2 ) ❛(I⊗I− 1 3 I×I)
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
F(A) = (dev(A)) 3 :
Beispiele
F(A), A =
((dev(A)) 2 ⊗ I + dev(A) ⊗ dev(A) + I ⊗ (dev(A)) 2 ) ❛dev(A), A
F(A), A =
((dev(A)) 2 ⊗I+dev(A)⊗dev(A)+I⊗(dev(A)) 2 ) ❛(I⊗I− 1 3 I×I)
F(A), A =
(dev(A)) 2 ⊗ I + dev(A) ⊗ dev(A) + I ⊗ (dev(A)) 2 − (dev(A)) 2 × I
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)
Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438
"On the theory of fourth-order tensors and their application in
computational mechanics"
Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544
"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspects
and applications"
A, A = I
A Ț A = A, A T = I t = T
sym(A), A = 1 2 (I + T) = I s Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)
Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438
"On the theory of fourth-order tensors and their application in
computational mechanics"
Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544
"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspects
and applications"
A, A = I → A, A = I ⊗ I
A Ț A = A, A T = I t = T → A Ț A = A, A T = I □× I
sym(A), A = 1 s
2
(I + T) = I → sym(A), A = 1 2
(I ⊗ I + I □× I) = S
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)
Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438
"On the theory of fourth-order tensors and their application in
computational mechanics"
Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544
"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspects
and applications"
durch Beschränkung auf zwei Tensorprodukte kann T nicht
explizit dargestellt werden
keine Behandlung der Ableitung nach einem
schiefsymmetrischen zweistufigen Tensor, obwohl eigentlich
vollkommen analog
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Oftmals muss ein Tensor vierter Stufe invertiert werden !
Wie geht das ?
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Oftmals muss ein Tensor vierter Stufe invertiert werden !
Wie geht das ?
Ein sehr einfaches Beispiel ist : (A ⊗ B)
Hier muss die Inverse lauten : (A ⊗ B) −1 = A −1 ⊗ B −1
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Oftmals muss ein Tensor vierter Stufe invertiert werden !
Wie geht das ?
Ein sehr einfaches Beispiel ist : (A ⊗ B)
Hier muss die Inverse lauten : (A ⊗ B) −1 = A −1 ⊗ B −1
denn (A −1 ⊗ B −1 ) ❛(A ⊗ B) = A −1 A ⊗ BB −1 = I ⊗ I
bzw. (A ⊗ B) ❛(A −1 ⊗ B −1 ) = AA −1 ⊗ B −1 B = I ⊗ I
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Nicht immer ist das so offensichtlich !
Kann man auf Anhieb (durch Nachdenken !!) keine Inverse finden, so
hilft oftmals nur die Holzhammer-Methode !!
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die wenig elegante Lösung
Y = A ❛X ⇒ y = Ax
als Matrizen
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die wenig elegante Lösung
Y = A ❛X ⇒ y = Ax
als Matrizen
y = ( Y 11 Y 22 Y 33 Y 12 Y 21 Y 13 Y 31 Y 23 Y 32
) T
x = ( ) T
X 11 X 22 X 33 X 12 X 21 X 13 X 31 X 23 X
⎛
32
⎞
A 1111 A 1221 A 1331 A 1121 A 1211 A 1131 A 1311 A 1231 A 1321
A 2112 A 2222 A 2332 A 2122 A 2212 A 2132 A 2312 A 2232 A 2322
A 3113 A 3223 A 3333 A 3123 A 3213 A 3133 A 3313 A 3233 A 3323
A 1112 A 1222 A 1332 A 1122 A 1212 A 1132 A 1312 A 1232 A 1322
A 2111 A 2221 A 2331 A 2121 A 2211 A 2131 A 2311 A 2231 A 2321
A 1113 A 1223 A 1333 A 1123 A 1213 A 1133 A 1313 A 1233 A 1323
⎜ A 3111 A 3221 A 3331 A 3121 A 3211 A 3131 A 3311 A 3231 A 3321
⎟
⎝ A 2113 A 2223 A 2333 A 2123 A 2213 A 2133 A 2313 A 2233 A 2323
⎠
A 3112 A 3222 A 3332 A 3122 A 3212 A 3132 A 3312 A 3232 A 3322
} {{ }
= A (reguläre 9 × 9-Matrix)
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die wenig elegante Lösung
Y = A ❛X ⇒ y = Ax
als Matrizen
y = ( Y 11 Y 22 Y 33 Y 12 Y 21 Y 13 Y 31 Y 23 Y 32
) T
x = ( ) T
X 11 X 22 X 33 X 12 X 21 X 13 X 31 X 23 X
⎛
32
⎞
A 1111 A 1221 A 1331 A 1121 A 1211 A 1131 A 1311 A 1231 A 1321
A 2112 A 2222 A 2332 A 2122 A 2212 A 2132 A 2312 A 2232 A 2322
A 3113 A 3223 A 3333 A 3123 A 3213 A 3133 A 3313 A 3233 A 3323
A 1112 A 1222 A 1332 A 1122 A 1212 A 1132 A 1312 A 1232 A 1322
A 2111 A 2221 A 2331 A 2121 A 2211 A 2131 A 2311 A 2231 A 2321
A 1113 A 1223 A 1333 A 1123 A 1213 A 1133 A 1313 A 1233 A 1323
⎜ A 3111 A 3221 A 3331 A 3121 A 3211 A 3131 A 3311 A 3231 A 3321
⎟
⎝ A 2113 A 2223 A 2333 A 2123 A 2213 A 2133 A 2313 A 2233 A 2323
⎠
A 3112 A 3222 A 3332 A 3122 A 3212 A 3132 A 3312 A 3232 A 3322
} {{ }
= A (reguläre 9 × 9-Matrix)
Aus A −1 folgt wiederum A −1 !!
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die wenig elegante Lösung
Y = A ❛X ⇒ y = Ax als Matrizen
Y = Y T und X = X T sind symmetrisch, A ist supersymmetrisch !!
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die wenig elegante Lösung
Y = A ❛X ⇒ y = Ax als Matrizen
Y = Y T und X = X T sind symmetrisch, A ist supersymmetrisch !!
y = ( Y 11 Y 22 Y 33
√
2 Y12
√
2 Y13
√
2 Y23
) T
x = ( √ √ √ ) T
X 11 X 22 X 33 2 X12 2 X13 2 X23
⎛
√ √ √ ⎞
A 1111 A 1221 A 1331
√ 2 A1121
√ 2 A1131
√ 2 A1231
A 2112 A 2222 A 2332 2 A2122 2 A2132 2 A2232
√ √ √ √2 A 3113 A 3223 A 3333 2 A3123 2 A3133 2 A3233
√ √ ⎜ A1112 2 A1222 2 A1332 2 A 1122 2 A 1132 2 A 1232
⎝ √2 √ √ ⎟
√2
A1113
√ 2 A1223
√ 2 A1333 2 A 1123 2 A 1133 2 A 1233
⎠
A2113 2 A2223 2 A2333 2 A 2123 2 A 2133 2 A 2233
} {{ }
= A (reguläre 6 × 6-Matrix)
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die wenig elegante Lösung
Y = A ❛X ⇒ y = Ax als Matrizen
Y = Y T und X = X T sind symmetrisch, A ist supersymmetrisch !!
y = ( Y 11 Y 22 Y 33
√
2 Y12
√
2 Y13
√
2 Y23
) T
x = ( √ √ √ ) T
X 11 X 22 X 33 2 X12 2 X13 2 X23
⎛
√ √ √ ⎞
A 1111 A 1221 A 1331
√ 2 A1121
√ 2 A1131
√ 2 A1231
A 2112 A 2222 A 2332 2 A2122 2 A2132 2 A2232
√ √ √ √2 A 3113 A 3223 A 3333 2 A3123 2 A3133 2 A3233
√ √ ⎜ A1112 2 A1222 2 A1332 2 A 1122 2 A 1132 2 A 1232
⎝ √2 √ √ ⎟
√2
A1113
√ 2 A1223
√ 2 A1333 2 A 1123 2 A 1133 2 A 1233
⎠
A2113 2 A2223 2 A2333 2 A 2123 2 A 2133 2 A 2233
} {{ }
= A (reguläre 6 × 6-Matrix)
Aus A −1 folgt wiederum A −1 !!
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Dass es auch anders geht, zeigt folgendes Beispiel :
Angenommen, wir haben die Gleichung :
σ n+1 = σ n + ∆γ(c n − b (δ σ n+1 + (1 − δ) (σ n+1 : n) n))
Kann man hier nach σ n+1 auflösen?
Die Gleichung sieht irgendwie kompliziert aus !!
Wie geht das ?
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Dass es auch anders geht, zeigt folgendes Beispiel :
Angenommen, wir haben die Gleichung :
σ n+1 = σ n + ∆γ(c n − b (δ σ n+1 + (1 − δ) (σ n+1 : n) n))
Kann man hier nach σ n+1 auflösen?
Die Gleichung sieht irgendwie kompliziert aus !!
Antwort :
S ❛σ n+1 = σ n + ∆γ c n − (b δ ∆γ S + b (1 − δ) ∆γ n × n) ❛σ n+1
Wir nehmen außerdem mal an, σ und n seien symmetrisch !!
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Dass es auch anders geht, zeigt folgendes Beispiel :
Angenommen, wir haben die Gleichung :
σ n+1 = σ n + ∆γ(c n − b (δ σ n+1 + (1 − δ) (σ n+1 : n) n))
Daraus folgt :
((1 + b δ ∆γ) S + b (1 − δ) ∆γ n × n) ❛σ n+1 = σ n + ∆γ c n
Das hat schon einmal geklappt !!
Wie findet man aber jetzt die Inverse ??
Geht das überhaupt ?
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Dazu schreiben wir erstmal :
E = a 0 S + a 1 n × n
Für die Inverse von E muss gelten :
E ❛E −1 = S oder auch E −1 ❛E = S
Für E −1 machen wir den Ansatz :
E −1 = c 0 A ⊗ B + c 1 C □× D + c 2 E × F
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Das führt auf das Gleichungssystem :
1
a 0 c 0 2 (A ⊗ B + A □× B) + a 1
0 c 1 2
(C ⊗ D + C □× D)
+(a 0 c 2 E×F+a 1 c 0 n×A T nB T +a 1 c 1 n×Dn T C+a 1 c 2 n×F (n : E)
= 1 2 (I ⊗ I + I □× I) Olaf Kintzel Tensorformalismus

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Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Das führt auf das Gleichungssystem :
1
a 0 c 0 2 (A ⊗ B + A □× B) + a 1
0 c 1 2
(C ⊗ D + C □× D)
+(a 0 c 2 E×F+a 1 c 0 n×A T nB T +a 1 c 1 n×Dn T C+a 1 c 2 n×F (n : E)
= 1 2
(I ⊗ I + I □× I)
Wir nehmen nun an :
c 0 = c 1 und A = B = C = D = I sowie E = F = n !!
Das führt auf die folgenden zwei Gleichungen :
2 a 0 c 0 = 1
2 a 1 c 0 + c 2 (a 0 + a 1 (n : n)) = 0
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

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Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Das führt auf das Gleichungssystem :
1
a 0 c 0 2 (A ⊗ B + A □× B) + a 1
0 c 1 2
(C ⊗ D + C □× D)
+(a 0 c 2 E×F+a 1 c 0 n×A T nB T +a 1 c 1 n×Dn T C+a 1 c 2 n×F (n : E)
= 1 2
(I ⊗ I + I □× I)
Folglich lautet die Lösung für E −1 :
E −1 = 1 a 0
S −
oder :
a 2 0
a 1
+a1 a0 (n : n)
n × n
E −1 =
1
1+b δ∆γ S − b (1−δ)∆γ
(1+b δ ∆γ) 2 +(1+b δ ∆γ)(b (1−δ)∆γ) (n : n) n × n
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Damit lautet die Lösung :
Die elegante Lösung
σ n+1 = σ n +∆γ c n
1+b δ ∆γ
− b (1−δ) ∆γ ((σ n : n) n+c ∆γ (n : n) n)
(1+b δ ∆γ) 2 +(1+b δ ∆γ)(b(1−δ)∆γ) (n : n)
Für n : n = 1 gilt darüber hinaus :
σ n+1 = σ n +∆γ c n
1+b δ ∆γ
− b (1−δ) ∆γ ((σ n : n) n+c ∆γ n)
(1+b δ ∆γ)(1+b ∆γ)
Geht doch !!
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil des vorliegenden Tensorformalismus :
Durch Einführung von drei Tensorprodukten ist jeder vierstufiger
Tensor darstellbar
Entgegen einer anderen Notation A ⊗ B, A ⊗ B, A ⊗ B (nach
Steinmann & Co.) sind die Produkte A ⊗ B, A □× B, A × B leicht
auseinanderzuhalten. Die gewählten Notationen sind konsistent
(siehe z.B. ROSATI 2000, ITSKOV 2000,2002)
Einführung von zwei neuen doppelten Kontraktionsregeln, wobei
(:) klassisch ist, ( ❛) der doppelten Kontraktionsregel nach
ITSKOV entspricht (dort mit (:) bezeichnet) und ( ❛ ) tatsächlich
neu ist
Dies erlaubt mehr gegenseitige Kombinationen. Z.B. :
A ❛B = B ❛ A
Olaf Kintzel
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Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil des vorliegenden Tensorformalismus :
Durch Einführung von drei Tensorprodukten ist jeder vierstufiger
Tensor darstellbar
Entgegen einer anderen Notation A ⊗ B, A ⊗ B, A ⊗ B (nach
Steinmann & Co.) sind die Produkte A ⊗ B, A □× B, A × B leicht
auseinanderzuhalten. Die gewählten Notationen sind konsistent
(siehe z.B. ROSATI 2000, ITSKOV 2000,2002)
Einführung von zwei neuen doppelten Kontraktionsregeln, wobei
(:) klassisch ist, ( ❛) der doppelten Kontraktionsregel nach
ITSKOV entspricht (dort mit (:) bezeichnet) und ( ❛ ) tatsächlich
neu ist
Dies erlaubt mehr gegenseitige Kombinationen. Z.B. :
A ❛B = B ❛ A
Olaf Kintzel
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Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil des vorliegenden Tensorformalismus :
Durch Einführung von drei Tensorprodukten ist jeder vierstufiger
Tensor darstellbar
Entgegen einer anderen Notation A ⊗ B, A ⊗ B, A ⊗ B (nach
Steinmann & Co.) sind die Produkte A ⊗ B, A □× B, A × B leicht
auseinanderzuhalten. Die gewählten Notationen sind konsistent
(siehe z.B. ROSATI 2000, ITSKOV 2000,2002)
Einführung von zwei neuen doppelten Kontraktionsregeln, wobei
(:) klassisch ist, ( ❛) der doppelten Kontraktionsregel nach
ITSKOV entspricht (dort mit (:) bezeichnet) und ( ❛ ) tatsächlich
neu ist
Dies erlaubt mehr gegenseitige Kombinationen. Z.B. :
A ❛B = B ❛ A
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil des vorliegenden Tensorformalismus :
Durch Einführung von drei Tensorprodukten ist jeder vierstufiger
Tensor darstellbar
Entgegen einer anderen Notation A ⊗ B, A ⊗ B, A ⊗ B (nach
Steinmann & Co.) sind die Produkte A ⊗ B, A □× B, A × B leicht
auseinanderzuhalten. Die gewählten Notationen sind konsistent
(siehe z.B. ROSATI 2000, ITSKOV 2000,2002)
Einführung von zwei neuen doppelten Kontraktionsregeln, wobei
(:) klassisch ist, ( ❛) der doppelten Kontraktionsregel nach
ITSKOV entspricht (dort mit (:) bezeichnet) und ( ❛ ) tatsächlich
neu ist
Dies erlaubt mehr gegenseitige Kombinationen. Z.B. :
A ❛B = B ❛ A
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil der neu eingeführten Operationen für die
Tensorableitung:
Behandlung aller Sonderfälle der Tensorableitung (Ableitung
nach einem symmetrischen, schiefsymmetrischen oder inversen
zweistufigen Tensor) klar und mit einfacher Notation
Die alte (:) und neue Konvention ( ❛, ❛ ) wird simultan behandelt.
Die Operationen (· · · ) R und (· · · ) L führen eine Darstellung in die
andere über
Literatur
O.Kintzel & Y. Başar 2006, ZAMM 86, No. 4, S. 291-311
"Fourth-order tensors - tensor differentiation with applications to
continuum mechanics. Part I: Classical tensor analysis"
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
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Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil der neu eingeführten Operationen für die
Tensorableitung:
Behandlung aller Sonderfälle der Tensorableitung (Ableitung
nach einem symmetrischen, schiefsymmetrischen oder inversen
zweistufigen Tensor) klar und mit einfacher Notation
Die alte (:) und neue Konvention ( ❛, ❛ ) wird simultan behandelt.
Die Operationen (· · · ) R und (· · · ) L führen eine Darstellung in die
andere über
Literatur
O.Kintzel & Y. Başar 2006, ZAMM 86, No. 4, S. 291-311
"Fourth-order tensors - tensor differentiation with applications to
continuum mechanics. Part I: Classical tensor analysis"
Olaf Kintzel
Tensorformalismus

Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
Invertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil der neu eingeführten Operationen für die
Tensorableitung:
Behandlung aller Sonderfälle der Tensorableitung (Ableitung
nach einem symmetrischen, schiefsymmetrischen oder inversen
zweistufigen Tensor) klar und mit einfacher Notation
Die alte (:) und neue Konvention ( ❛, ❛ ) wird simultan behandelt.
Die Operationen (· · · ) R und (· · · ) L führen eine Darstellung in die
andere über
Literatur
O.Kintzel & Y. Başar 2006, ZAMM 86, No. 4, S. 291-311
"Fourth-order tensors - tensor differentiation with applications to
continuum mechanics. Part I: Classical tensor analysis"
Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit !!
Olaf Kintzel
Tensorformalismus