Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

Theoretische Physik E
Gehört bei Prof. Dr. Steinhauser
KIT - Karlsruher Institut für Technologie
Wintersemester 2012/13
Mitschriebe ausgearbeitet von
Philipp Basler, Nils Braun, Larissa Bauer
Überprüft von Dennis Roy
15. Februar 2013

Inhaltsverzeichnis
1 Addition von Drehimpulsen 7
1.1 Drehimpuls in der klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Drehimpuls in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Addition von zwei Spin-1/2-Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Addition von zwei beliebigen Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Wigner-Eckart-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Wasserstoffatom: Feinstruktur 25
2.1 Wiederholungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Zeemann-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Relativistische Quantenmechanik 45
3.1 Elemente aus der speziellen Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Nicht-relativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Lorentzkovarianz der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6 Lösungen der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.7 Streuung von Elektronen am Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . 78
3.8 Dirac-Gleichung und Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.9 Klein’sches Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.10 Löcher-Theorie / Ladungskonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4 Zeitabhängige Phänomene 91
4.0 Wiederholung: Stationäre Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1 Heisenberg-Darstellung / Wechselwirkungsbild . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2 Plötzliche Veränderung des Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3

4.3 Formalismus der zeitabhängigen Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 Störungstheorie 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5 Alternative Formulierung: Entwicklung nach Energieeigenzuständen . . . 103
4.6 Anwendung: Wechselwirkung mit Strahlungsfeld, Auswahlregeln . . . . . 105
5 Systeme identischer Teilchen 119
5.1 Identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2 Austauschentartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3 Symmetrisierungspostulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6 Feldquantisierung 127
6.1 Euler-Lagrange-Gleichung für klassische Felder . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2 Feldquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3 CASIMIR-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.4 Ultraviolette Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7 Anhang 145
4

Literatur
• Cohen-Tannoudji: ”Quantenmechanik I/II”
• Messiah: ”Quantenmechanik I/II”
• Schwabl: ”Quantenmechanik”
• Bjorken/Drell: ”Relativistische Quantenmechanik”
Wiederholung
• Schrödingergleichung
i ∂ ψ(⃗r, t) = Hψ(⃗r, t)
∂t
Wenn der Hamiltonoperator nicht explizit von der Zeit abhängt, geht man zur stationären
Schrödingergleichung über. Die hier vorgestellte Darstellung ist die Ortsdarstellung.
• Wahrscheinlichkeitsdichte und -interpretation
ρ = |ψ| 2
mit dem Wahrscheinlichkeitsstrom und der Kontinuitätsgleichung
• Potentialtopf
• Postulate der Quantenmechanik
• Dirac-Notation
ψ n (⃗r) ↦→ |ψ n 〉 ↦→ |n〉
• Streutheorie
• Harmonischer Oszillator
• Drehimpuls
• Wasserstoffatom
• zeitunabhängige Störungstheorie
Ziel dieser Vorlesung ist die Vertiefung und Erweiterung der genannten Themengebiete.
5

Kapitel 1
Addition von Drehimpulsen
1.1 Drehimpuls in der klassischen Mechanik
System von N Teilchen mit Drehimpuls
⃗L i = ⃗r i × ⃗p i
i = 1, . . . , N
Der Gesamtdrehimpuls ist gegeben durch
⃗L = ∑ i
⃗L i
Der Drehimpuls ist erhalten, wenn
Dies ist der Fall, wenn ⃗ F = 0 oder ⃗r|| ⃗ F .
d ⃗ L
dt = ⃗ M = ⃗r × ⃗ F = 0
1.2 Drehimpuls in der Quantenmechanik
1.2.1 Ein Teilchen
Sei ⃗ J ein Drehimpulsoperator. Dann gilt
[ ⃗ J 2 , J a ] = 0 a ∈ {x, y, z} bzw. a ∈ {1, 2, 3}
[J a , J b ] = iε abc J c
7

Also haben J ⃗2 und J z
|j, m〉. Für sie gilt
eine gemeinsame Eigenbasis. Man bezeichnet die Vektoren mit
⃗J 2 |j, m〉 = j(j + 1) 2 |j, m〉 J z |j, m〉 = m |j, m〉
mit
j = 0, 1 2 , 1, 3 2 , . . .
m = −j, . . . , j
Eigenfunktionen
Bezeichnet ⃗ J einen Bahndrehimpuls ⃗ L, so ist
|l, m〉 = Y lm (θ, φ)
Ist J ⃗ stattdessen ein Spin S, ⃗ z.B. mit Spin 1/2, so ist
( ) ( )
1 0
|s, m〉 = ,
0 1
Auf- und Absteigeoperatoren
J ± = J x ± iJ y J ± |j, m〉 = √ j(j + 1) − m(m ± 1) |j, m ± 1〉
1.2.2 Zwei nicht wechselwirkende Teilchen
mit den zwei Drehimpulsen
H 1 = − 2
2m 1
∆ 1 + V (r 1 )
H 2 = − 2
2m 2
∆ 2 + V (r 2 )
⃗L 1 , ⃗ L 2
⃗ Li = ⃗r i × ⃗p i = i ⃗r i × ∇ i
Das gesamte System wird dargestellt durch
H = H 1 + H 2
Aus [ ⃗ L i , H j ] = 0 folgt [ ⃗ L i , H] = 0. Deshalb sind die Eigenfunktionen des Gesamtsystems
gegeben durch das Produkt der Eigenfunktionen der beiden Teilchen.
1.2.3 Zwei Teilchen mit Wechselwirkung
H = H 1 + H 2 + Ṽ (|⃗r 1 − ⃗r 2 |)
8

Nun ist
[ ⃗ L 1 , H] = [ ⃗ L 1 , Ṽ ] ≠ 0
denn es ist z.B.
(
[L 1z , Ṽ ] = i
)
∂Ṽ ∂Ṽ
x 1 − y 1 = ∂y 1 ∂x 1 i Ṽ ′ (|⃗r 1 − ⃗r 2 |)
(
x1 (y 1 − y 2 )
|⃗r 1 − ⃗r 2 |
− y )
1(x 1 − x 2 )
≠ 0
|⃗r 1 − ⃗r 2 |
analog für die anderen Komponenten. Wir definieren deshalb wie in der klassischen Mechanik
⃗ L = ⃗ L 1 + ⃗ L 2 als den Gesamtdrehimpuls, dann
[L z , H] = (
i Ṽ ′ x1 (y 1 − y 2 )
(|⃗r 1 − ⃗r 2 |)
− y 1(x 1 − x 2 )
+ x 2(y 2 − y 1 )
− y )
2(x 2 − x 1 )
= 0
|⃗r 1 − ⃗r 2 | |⃗r 1 − ⃗r 2 | |⃗r 1 − ⃗r 2 | |⃗r 1 − ⃗r 2 |
1.2.4 Eigenvektoren
Wir erhalten somit zwei Möglichkeiten für die Basis:
⃗L 2 1, ⃗ L 2 2, L 1z , L 2z
Der Nachteil dieser Methode ist, dass ⃗ L 1 und ⃗ L 2 keine Konstanten der Bewegung sind
und sich deshalb keine Basis zusammen mit dem Hamiltonoperator finden lässt.
⃗L 2 , L z , ⃗ L 2 1, ⃗ L 2 2
Die Operatoren vertauschen alle mit dem Hamiltonoperator und sind deshalb eine gute
Wahl. Die Frage bleibt nur nach den Eigenvektoren und dem Basiswechsel. Dies nennt
sich Addition von Drehimpulsen.
1.3 Addition von zwei Spin-1/2-Teilchen
System von zwei Spin-1/2-Teilchen mit ⃗ S 1 , ⃗ S 2 .
1.3.1 Zustandsraum
Mit dem Tensorprodukt der beiden Räume
{|++〉 , |−+〉 , |+−〉 , |−−〉} = {|ε 1 , ε 2 〉}
erhält man
⃗S 2 1 |ε 1 , ε 2 〉 = ⃗ S 2 2 |ε 1 , ε 2 〉 = 3 4 2 |ε 1 , ε 2 〉
9

S 1z |ε 1 , ε 2 〉 = ε 1
2 |ε 1, ε 2 〉 S 2z |ε 1 , ε 2 〉 = ε 2
2 |ε 1, ε 2 〉
1.3.2 Gesamtspin ⃗ S = ⃗ S 1 + ⃗ S 2
Die vier Operatoren
{ ⃗ S 2 , S z , ⃗ S 2 1, ⃗ S 2 2}
müssen jetzt mit der alten Basis in Verbindung gesetzt werden. Das Ziel ist die Konstruktion
von gemeinsamen Eigenbasisvektoren |S, M〉. Es gilt
⃗S 2 1 |S, M〉 = ⃗ S 2 2 |S, M〉 = 3 4 2 |S, M〉 ⃗ S 2 |S, M〉 = S(S+1) 2 |S, M〉 S z |S, M〉 = M |S, M〉
mit den schon bekannten Regeln
S ≥ 0
− S ≤ M ≤ S
Da S z mit allen Vektoren der alten Basis vertauscht, ist |ε 1 , ε 2 〉 auch ein Eigenvektor von
S z mit
mit den Eigenwerten
S z |ε 1 , ε 2 〉 = 1 2 (ε 1 + ε 2 ) |ε 1 , ε 2 〉
ε 1 + ε 2
2
= M
Somit kann M nur die Werte ±1, 0 annehmen und S nur die Werte 1 und 0.
M = 1 :
Hier ist nur der Zustand |++〉 möglich. Deshalb
|++〉 = |1, 1〉
M = −1 :
Hier ist nur der Zustand |−−〉 möglich. Deshalb
|−−〉 = |1, −1〉
M = 0 :
Hier sind die beiden Zustände |+−〉 , |−+〉 möglich.
10

1.3.3 Wende ⃗ S 2 auf |ε 1 , ε 2 〉 an
(
⃗S 2 = ⃗S1 + S ⃗ ) 2
2
= ⃗ S 2 1 + ⃗ S 2 2 + 2 ⃗ S 1 · ⃗S 2
= S ⃗ 1 2 + S ⃗ 2 2 + 2S 1z S 2z + S 1+ S 2− + S 1− S 2+
(
⃗S 2 |++〉 = 2 · 3
4 2 + 2 2 1 )
1
2 2 + 0 |++〉 = 2 2 |++〉
(
⃗S 2 |+−〉 = 2 · 3
4 2 + 2 2 1 (
− 1 ))
|+−〉 + ( 2) |−+〉 = 2 (|+−〉 + |−+〉)
2 2
⃗S 2 |−+〉 = 2 (|+−〉 + |−+〉)
⃗S 2 |−−〉 = 2 2 |−−〉
√ ( )
1 1
S 1− |+−〉 =
2 2 + 1 − 1 2
( 1
2 − 1 )
|−−〉 = |−−〉
Also insgesamt
⃗S 2 |S, M〉 = S(S + 1) 2 |S, M〉
1.3.4 Zusammenfassung
|1, 1〉 = |+, +〉
|1, −1〉 = |−, −〉
|1, 0〉 = 1 √
2
(|+, −〉 + |−, +〉)
Check:
⃗S 2 |1, 0〉 = 1 √
2
2 · 2 (|+, −〉 + |−, +〉)
S z |1, 0〉 = 0
= 2 2 |1, 0〉
Behauptung:
|0, 0〉 = 1 √
2
(|+, −〉 − |−, +〉)
Beweis durch einsetzen.
11

1.4 Addition von zwei beliebigen Drehimpulsen
1.4.1 Problemstellung
Zwei Teilchen, Drehimpulse J ⃗ 1 , J ⃗ 2 mit der Basis |j 1 , m 1 〉 , |j 2 , m 2 〉 von J ⃗ 1 2 , J 1z , J ⃗ 2 2 , J 2z mit
den Eigenwerten
⃗J 2 q |j q , m q 〉 = 2 j q (j q + 1) |j q , m q 〉 J qz |j q , m q 〉 = m q |j q , m q 〉 q ∈ {1, 2}
Zustandsraum
H = H 1 ⊗ H 2
mit der Basis
|j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 〉 = |j 1 , m 1 〉 ⊗ |j 2 , m 2 〉
Gesamtdrehimpuls
⃗J = ⃗ J 1 + ⃗ J 2
{ ⃗ J 2 , J z , ⃗ J 2 1 , ⃗ J 2 2 } vertauschen paarweise.
Aufgabenstellung
(1) Konstruiere gemeinsame Eigenzustände dieser Observablen.
|J, M; j 1 , j 2 〉 ≡ |J, M〉
(2) Mögliche Werte für J und M?
1.4.2 Eigenwerte von ⃗ J 2 und J z
Betrachte feste j 1 , j 2 . Zustandsraum
dim H = dim H 1 · dim H 2 = (2j 1 + 1) · (2j 2 + 1)
o.B.d.A. sei j 1 ≥ j 2
(a) J z = J 1z + J 2z , |j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 〉 ist EV von J z
J z |j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 〉 = (m 1 + m 2 ) |j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 〉 =⇒ M = m 1 + m 2
M kann folgende Werte annehmen
j 1 + j 2 , j 1 + j 2 − 1, . . . , −j 1 − j 2
12

ganzzahlig oder halbzahlig.
Entartungsgrad: Beispiel:
• j 1 = j 2 = 1 2 =⇒ M = 0, ±1 m 2
m 2
1/2
M = +1
1/2
M = −1
M = 0
• j 1 = 2, j 2 = 1 =⇒ M = 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3
m 2
m 2
1
M = +1
M = +3
1
M = −3
M = 0
M = +1
(b) M ganz oder halbzahlig =⇒ J ganz oder halbzahlig.
M max = j 1 + j 2 =⇒ J max = j 1 + j 2
Es gilt J ≥ M ≥ −J, also J min =?
J
M
j 1 + j 2 j 1 + j 2 , j 1 + j 2 − 1, . . . , −j 1 − j 2
j 1 + j 2 − 1 j 1 + j 2 − 1, . . . , − (j 1 + j 2 − 1)
.
J min = |j 1 − j 2 | |j 1 − j 2 |, . . . , −|j 1 − j 2 |
.
Begründung: Anzahl der M−Werte in der Tabelle. Wir verwenden als Substitution
13

J = j 1 − j 2 + i ⇐⇒ i = J − j 1 + j 2
j 1 +j
∑ 2
J=|j 1 −j 2 |
2j
∑ 2
(2J + 1) = 2 (j 1 − j 2 + i) + 1
i=0
= (2 (j 1 − j 2 ) + 1) (2j 1 + 1) + 2 2j 2 (2j 2 + 1)
2
= (2j 1 + 1) (2 (j 1 − j 2 ) + 1 + 2j 2 )
= (2j 1 + 1) (2j 2 + 1)
1.4.3 Eigenvektoren von ⃗ J 2 und J z
⃗J 2 |J, M〉 = 2 J(J + 1) |J, M〉
J z |J, M〉 = M |J, M〉
außerdem
⃗J 2 1,2 |J, M〉 = 2 j 1,2 (j 1,2 + 1) |J, M〉
Algorithmus zur Konstruktion von |J, M〉
(1) Setze J = j 1 + j 2 mit M = J =⇒ nur einen Zustand. |J, J〉 = |j 1 , j 2 ; j 1 , j 2 〉.
(2) Wende J − auf |J, J〉 an =⇒ |J, J − 1〉 mit J − = J 1− + J 2− . Also ist |J, J − 1〉
Linearkombination von |j 1 , j 2 ; j 1 − 1, j 2 〉 , |j 1 , j 2 ; j 1 , j 2 − 1〉
(3) Wende J − an bis M = −J.
(4) Erniedrige J : J → J − 1. Wähle den orthogonalen Zustand zu |J, J − 1〉 aus (2).
(5) Wende J − an (siehe (3)).
(6) Erniedrige J, wähle orthogonalen Zustand.
(7) Wende J − an
(8) Wiederhole das ganze bis J = |j 2 − j 1 |.
Beispiel: 2 Spin- 1 2 -Teilchen {| 1 2 , 1 2 ; m 1, m 2 〉}; {|S, M〉}, S = 0, 1, M = 0, ±1
(1)
S = 1 2 + 1 ∣ ∣∣∣
2 = 1 =⇒ |1, 1〉 = 1
2 , 1 2 ; 1 2 , 1 〉
, M = 1
2
14

(2)
S − |1, 1〉 = √ 1(1 + 1) − 1(1 − 1) |1, 0〉
} {{ }
√
2 !
= (S 1− + S 2− )
1
∣2 , 1 2 ; 1 2 , 1 〉
2
(∣ ∣∣∣ 1
=
2 , 1 2 ; −1 2 , 1 〉
+
1
2 ∣2 , 1 2 ; 1 〉)
2 , −1 2
=⇒ |1, 0〉 = √ 1 (∣ ∣∣∣ 1
2 2 , 1 2 ; −1 2 , 1 〉
+
1
2 ∣2 , 1 2 ; 1 〉)
2 , −1 2
(3)
S − |1, 0〉 = √ 2 |1, −1〉
!
= √ 1 (∣ ∣∣∣ 1
2 2 , 1 〉
2 ; −1 2 , −1 +
1
2 ∣2 , 1 〉)
2 ; −1 2 , −1 2
|1, −1〉 =
1
∣2 , 1 〉
2 ; −1 2 , −1 2
(4) S = 0 Ansatz :
a, b aus :
|0, 0〉 = a
1
∣2 , 1 2 ; −1 2 , 1 〉
+ b
1
2 ∣2 , 1 2 ; 1 〉
2 , −1 2
〈1, 0|0, 0〉 = ! 0 〈0, 0|0, 0〉 = ! 1
=⇒ a = −b = 1 √
2
1.4.4 Clebsch-Gordan-Koeffizienten
Wir wechseln von der neuen in die alte Basis durch Einfügen einer 1:
|J, M〉 = ∑ ∑
|j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 〉 〈j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 |J, M〉
m 1 m 2
Die Koeffizienten 〈j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 |J, M〉 nennt man die Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Sie
erfüllen folgende Eigenschaften, welche direkt aus ihrer Definition folgen. Die Berechnung
erfolgt wie in Abschnitt 3 erklärt. Eine allgemeine Formel gibt es nicht. Aufgrund ihrer
Definition gibt es bestimmte Freiheiten in ihrer Wahl. Man definiert deshalb (um den
Phasenfaktor festzulegen): Alle CGK sind reell. Oft wählt man auch:
〈j 1 , j 2 ; j 1 , J − j 1 |J, J〉 > 0
15

Weiterhin sind die CGK nicht Null, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
M = m 1 + m 2 |j 1 − j 2 | ≤ J ≤ j 1 + j 2
1.4.5 Beispiel: Addition von Bahndrehimpuls l und Spin 1/2
Bezeichne
⃗J = ⃗ L + ⃗ S
Dann gilt nach den vorigen Betrachtungen:
j = l − 1 2 , l + 1 2
Aufgrund der Dimensionen gibt es 2(2l + 1) mögliche Zustände. Sie sind auf die Unterräume
wie folgt aufgeteilt: (2l + 2) Zustände sind in H(j = l + 1/2) und 2l Zustände in
H(j = l − 1/2). Die alte Basis ist gegeben durch Vektoren der Form
∣ l, 1 〉
2 ; m l, m s
Gesucht ist dann eine Basis für ⃗ J 2 , J z , ⃗ L 2 , ⃗ S 2 .
(a) Im Raum H(l + 1/2) kann M die Werte von l + 1/2 bis −(l + 1/2) annehmen. Wir
arbeiten den Algorithmus ab:
Wir wenden J − an:
|J max , M max 〉 =
∣ l + 1 2 , l + 1 〉
=
2 ∣ l, 1 2 ; l, 1 〉
2
∣ ∣∣∣
J − l + 1 2 , l + 1 〉 √ (
= l + 1 (
l +
2
2) 3 )
−
2
= √ 2l + 1
∣ l + 1 2 , l − 1 〉
2
(
l + 1 ) (
l − 1 ) ∣ ∣∣∣
l + 1 2 2 2 , l − 1 2〉
16

und auf die rechte Seite:
(L − + S − )
∣ l + 1 2 , l + 1 〉
= (L − + S − )
2
∣ l, 1 2 ; l, 1 〉
2
= √ l(l + 1) − l(l − 1)
∣ l, 1 2 ; l − 1, 1 〉
2
√
1
+
2 (1 2 + 1) − 1 ∣ ∣∣∣
2 (1 2 − 1) l, 1 2 2〉
; l, −1
= √ 2l
∣ l, 1 2 ; l − 1, 1 〉
+
2 ∣ l, 1 〉
2 ; l, −1 2
Wir haben also erhalten:
∣ l + 1 2 , l − 1 〉 √
2l
=
2 2l + 1 ∣ l, 1 2 ; l − 1, 1 〉 ∣
1 ∣∣∣
+ √ l, 1 〉
2 2l + 1 2 ; l, −1 2
Würden wir J − wieder anwenden, so erhielten wir:
∣ l + 1 2 , l − 3 〉
=
2
√
2l − 1
2l + 1
∣ l, 1 2 ; l − 2, 1 〉
+
2
Wir schließen somit schon auf die allgemeine Form:
√
2
2l + 1
∣ l, 1 〉
2 ; l − 1, −1 2
∣ l + 1 〉 √ l + M + 1/2
2 , M =
2l + 1 ∣ l, 1 2 , M − 1 2 , 1 〉 √ l − M + 1/2
+
2 2l + 1 ∣ l, 1 2 , M + 1 〉
2 , −1 2
(b) Im Raum H(l − 1/2) kann M die Werte l − 1/2 bis −(l − 1/2) annehmen. Wieder
starten wir mit dem maximalen M. |l − 1, l − 1 〉 ist eine Linearkombination von
2 2
|l, 1; l − 1, 1〉 und |l, 1; l, − 1 〉. Der Zustand muss jedoch orthogonal zum schon gefun-
2 2 2 2
denen Zustand für |l + 1, l − 1 〉 sein und außerdem normiert. Man erhält:
2 2
∣ l − 1 2 , l − 1 〉 √
2l
=
2 2l + 1 ∣ l, 1 〉 ∣
2 ; l, −1 1 ∣∣∣
− √ l, 1 2 2l + 1 2 ; l − 1, 1 〉
2
Durch Anwenden von J − erhält man wieder eine allgemeine Abhängigkeit:
∣ l − 1 〉 √ l + M + 1/2
2 , M =
2l + 1 ∣ l, 1 2 ; M + 1 〉 √ l − M + 1/2
2 , −1 −
2 2l + 1 ∣ l, 1 2 ; M − 1 2 , 1 〉
2
(c) Eigenfunktionen im Ortsraum: In der alten Basis ist diese gegeben durch:
∣ l, 1 2 ; m l, 1 〉
( )
1
: R k,l (r)Y l,ml (θ, φ)
2
0
17

∣ l, 1 2 ; m l, − 1 〉
( )
0
: R k,l (r)Y l,ml (θ, φ)
2
1
Mit diesem Wissen kann jetzt die Ortsdarstellung der neuen Basis berechnet werden:
(√ )
1 l + M + 1/2 Yl,M−1/2 (θ, φ)
Φ l+1/2,M = R k,l (r) √ √
2l + 1 l − M + 1/2 Yl,M+1/2 (θ, φ)
(
1 − √ )
l − M + 1/2 Y l,M−1/2 (θ, φ)
Φ l−1/2,M = R k,l (r) √ √
2l + 1 l + M + 1/2 Yl,M+1/2 (θ, φ)
1.5 Wigner-Eckart-Theorem
1.5.1 Vorbereitung
Skalare Operatoren A ist ein skalarer Operator, wenn gilt
[A, ⃗ J] = 0
Es gilt
〈k, j, m| A |k ′ , j ′ , m ′ 〉 ∼ a j (k, k ′ )δ jj ′δ mm ′
was unmittelbar aus
[J z , A] = [ ⃗ J 2 , A] = 0
folgt.
Vektoroperatoren V ist Vektoroperator, wenn
[J a , V b ] = ∑ c
iε abc V c
Ein einfaches Beispiel ist der Drehimpulsoperator selbst. Wenn dieser nur durch den
Bahndrehimpulsoperator gegeben ist, dann sind auch R und P Vektoroperatoren.
1.5.2 Wigner-Eckart-Theorem für Vektoroperatoren - Vorbereitung
Ziel: Zeige, dass die Matrixelemente von V ⃗ proportional zu den Matrixelementen von J ⃗
sind.
18

(a) Matrix von ⃗ V : Wir definieren:
V ± = V x ± iV y
J ± = J x ± iJ y
Daraus folgt:
[J + , V + ] = [J − , V − ] = 0 [J + , V − ] = −[J − , V + ] = 2V z [J z , V ± ] = ±V ±
V z :
〈k, j, m| V z |k ′ , m ′ , l ′ 〉 ∝ δ mm ′
da [J z , V z ] = 0.
V ± :
J z V ± = [J z , V ± ] + V ± J z = V ± J z ± V ±
J z V ± |k ′ , j ′ , m ′ 〉 = (m ′ ± 1)V ± |k ′ , j ′ , m ′ 〉
Also ist V ± |k ′ , j ′ , m ′ 〉 ein Eigenvektor zu J z mit Eigenwert (m ′ ± 1). Da |k, j, m〉
und V ± |k ′ , j ′ , m ′ 〉 beides Eigenvektoren zu J z sind, ist
〈k, j, m| V ± |k ′ , j ′ , m ′ 〉 ∝ δ m,m ′ ±1
da die Eigenvektoren zueinander orthogonal sind.
(b) Proportionalität der Matrixelemente von ⃗ V und ⃗ J: Aus [J + , V + ] = 0 folgt:
〈k, j, m + 2| J + V + |k, j, m〉 = 〈k, j, m + 2| V + J + |k, j, m〉
Benutze
und beachte
1 = ∑
k ′ ,j ′ ,m ′ |k ′ , j ′ , m ′ 〉 〈k ′ , j ′ , m ′ |
〈k, j, m| J + |k ′ , j ′ , m ′ 〉 ∝ δ kk ′δ jj ′δ mm ′ ±1
Dann gilt:
〈k, j, m + 2| J + |k, j, m + 1〉 〈k, j, m + 1| V + |k, j, m〉
= 〈k, j, m + 2| V + |k, j, m + 1〉 〈k, j, m + 1| J + |k, j, m〉
Wir können auch umstellen auf:
〈k, j, m + 1| V + |k, j, m〉
〈k, j, m + 1| J + |k, j, m〉 = 〈k, j, m + 2| V + |k, j, m + 1〉
〈k, j, m + 2| J + |k, j, m + 1〉
19

Für j − 2 ≥ m ≥ −j ist der Nenner ungleich Null. Da m jedoch beliebig war ist das
Verhältnis unabhängig von m. Wir schreiben:
Insgesamt erhält man:
〈k, j, m + 2| V + |k, j, m + 1〉
〈k, j, m + 2| J + |k, j, m + 1〉
= α(k, j)
〈k, j, m| V + |k, j, m ′ 〉 = α + (k, j) 〈k, j, m| J + |k, j, m ′ 〉
und ebenso analog:
〈k, j, m| V − |k, j, m ′ 〉 = α − (k, j) 〈k, j, m| J − |k, j, m ′ 〉
Wir verwenden den schon bekannten Kommutator:
[J − , V + ] = −2V z
und erhalten
−2 〈k, j, m| V z |k, j, m〉 = 〈k, j, m| J − V + − V + J − |k, j, m〉
= √ j(j + 1) − m(m + 1) 〈k, j, m + 1| V + |k, j, m〉
− √ j(j + 1) − m(m − 1) 〈k, j, m| V + |k, j, m − 1〉
Benutzen wir die oben erhaltenen Beziehungen, erhalten wir (aufgrund der Orthogonalität
der Zustände):
= 2 α + (k, j) (j(j + 1) − m(m + 1) − j(j + 1) + m(m − 1)) = −2 2 mα + (k, j)
Insgesamt haben wir also erhalten:
〈k, j, m| V z |k, j, m〉 = mα + (k, j)
Analog erhält man durch Ausnutzung von
[J + , V − ] = 2V z
die Beziehung
〈k, j, m| V z |k, j, m〉 = mα − (k, j)
20

Also müssen α + und α − gleich sein. Wir schreiben deshalb:
〈k, j, m| V z |k, j, m ′ 〉 = α(k, j) 〈k, j, m| J z |k, j, m ′ 〉
} {{ }
=mδ mm ′
(c) Wigner-Eckart-Theorem für Vektoroperatoren
Für jeden Vektoroperator ⃗ V gilt:
〈k, j, m| ⃗ V |k, j, m ′ 〉 = α(k, j) 〈k, j, m| ⃗ J |k, j, m ′ 〉
Beschränkt man sich auf den Unterraum H(k, j) dann sind alle Matrixelemente von
⃗V proportional zu den Matrixelementen von ⃗ J. Die α(k, j) werden berechnet, indem
man m und m ′ so wählt, dass 〈 ⃗ V 〉 und 〈 ⃗ J〉 einfach ausgerechnet werden können.
1.5.3 Projektionstheorem
Betrachte Operator ⃗ J · ⃗V . Wir schränken uns auf den Unterraum H(k, j) ein. Definiere
P (k, j) ⃗ J · ⃗V P (k, j)
über
P (k, j) = ∑ m
|k, j, m〉 〈k, j, m|
Dann gilt:
(a) P (k, j) V ⃗ P (k, j) = ∑ ∑ ′
m m |k, j, m〉 〈k, j, m| V ⃗ |k, j, m ′ 〉 〈k, j, m ′ | = α(k, j)P (k, j) JP ⃗ (k, j)
(b) [ J, ⃗ P (k, j)] = 0
(c) P 2 (k, j) = P (k, j)
(d) P (k, j) JP ⃗ (k, j) = JP ⃗ (k, j)
(e) P (k, j) J ⃗ · ⃗V P (k, j) = α(k, j) JP ⃗ (k, j) JP ⃗ (k, j) = α(k, j) J ⃗2 P (k, j)
= α(k, j) 2 j(j + 1)P (k, j)
Im Unterraum H(k, j) ist der Erwartungswert von J ⃗ · ⃗V für jeden beliebigen normierten
Zustand |ψ k,j 〉 gleich. Denn:
〈ψ k,j | ⃗ J · ⃗V |ψ k,j 〉 = 〈 ⃗ J · ⃗V 〉 k,j = α(k, j) 2 j(j + 1) = α(k, j)〈 ⃗ J〉
21

Setzen wir das in die erste Beziehung ein, so erhalten wir das Projektionstheorem:
⃗V = 〈 ⃗ J · ⃗V 〉 k,j
〈 ⃗ J 2 〉 k,j
⃗ J
Alle Vektoroperatoren sind in H(k, j) proportional zum Drehimpulsoperator.
Die klassische Interpretation führt über ein isoliertes System. In diesem ist der gesamte
Drehimpuls ⃗ J erhalten. Alle anderen physikalischen Größen präzessieren um ⃗ J. Nach
Zeitmittelung bleibt nur die Projektion von ⃗ V auf ⃗ J übrig.
⃗V || = ⃗ J · ⃗V
| ⃗ J 2 |
⃗J
1.5.4 Wigner-Eckart-Theorem (allgemeiner Fall)
Sei T (r) ein irreduzibler Tensoroperator r-ter Stufe. Dann gilt:
〈k, j, m| T (r)
q |k ′ , j ′ , m ′ 〉 = 〈j ′ , r; m ′ , q|j, m〉 〈k, j| |T (r) | |k ′ , j ′ 〉
√ 2j + 1
Erläuterung:
(a) Das Element 〈j ′ , r; m ′ , q|j, m〉 ist ein CGK für die Addition von Drehimpulsen j ′ und
r zu j. Deshalb ist der Ausdruck für 〈k, j, m| T q
(r) |k ′ , j ′ , m ′ 〉 nur dann ungleich Null,
wenn
(b) Das sogenannte reduzierte Matrixelement
q = m − m ′ |j − j ′ | ≤ r ≤ j + j ′
〈k, j| |T (r) | |k ′ , j ′ 〉
hängt nicht von m und m ′ ab. In der Praxis kann es relativ leicht bestimmt werden,
indem man m und m ′ geschickt wählt.
(c) Der Faktor √ 2j + 1 ist dabei reine Konvention.
(d) Die T (r)
q
für q = −r, . . . , r heißen Standartkomponenten eines irreduziblen Tensors
r-ter Stufe falls gilt:
[J ± , T q
(r) ] = √ r(r + 1) − q(q ± 1)T (r)
q±1 [J z , T q
(r) ] = qT q
(r)
22

Beispiel:
(a) Skalare Operatoren sind irreduzible Tensoren nullter Stufe.
(b) Vektoroperatoren sind irreduzible Tensoren erster Stufe:
V (1)
1 = − 1 √
2
(V x + iV y ) V (1)
0 = V z
V (1)
−1 = 1 √
2
(V x − iV y )
Zu zeigen ist noch, dass die definierenden Bedingungen erfüllt sind, wenn gerade
[J a , V b ] = iε abc V c
erfüllt ist.
(c) Die Kugelfächenfunktionen
Y l,m l fest m = −l, . . . , l 2l + 1 Werte
sind Tensoren l-ter Stufe
T (l)
m
= Y l,m
Es muss gelten:
[L ± , Y l,m ] = √ l(l + 1) − m(m ± 1)Y l,m±1 [L z , Y l,m ] = mY l,m
(d) T (r) ist irreduzibler Tensor falls es keinen echten (nicht gleich dem Gesamtraum oder
dem Nullraum) unter Drehungen invarianten Unterraum gibt.
Beispiel: ⃗ V , ⃗ W Vektoroperator. Dann ist T ij = V i W j ein reduzibler Tensor 2. Stufe,
denn:
T ij = 1 3 Tr(T )δ ij + 1 2 (T ij − T ji ) + 1 2
Alle drei Komponenten sind invariant unter Drehungen.
(
T ij + T ji − 2 )
3 δ ijTr(T )
23

1.5.5 Spezialisierung des allgemeinen WE-Theorems auf Vektoroperationen
〈k, j, m|V q (1) |k ′ , j ′ , m ′ 〉 = 〈j ′ , 1; m ′ , q|j, m〉 〈k, j||V (1) ||k ′ , j ′ 〉
√ 2j + 1
〈k, j, m|J q (1) |k ′ , j ′ , m ′ 〉 = 〈j ′ , 1; m ′ , q|j, m〉 〈k, j||J (1) ||k ′ , j ′ 〉
√ 2j + 1
mit k = k ′ , j = j ′ folgt
〈k, j, m|V q (1) |k, j, m ′ 〉
〈k, j, m|J q (1) |k, j, m ′ 〉 = 〈k, j||V (1) ||k, j〉
〈k, j||J (1) ||k, j〉
= α (k, j)
Dies ist das WE-Theorem für Vektoroperationen.
24

Kapitel 2
Wasserstoffatom: Feinstruktur
Ziele
(1) Anwendung der Störungstheorie
(2) Fundamentale Konzepte der Atom und Teilchenphysik.
2.1 Wiederholungen
Lösung der Schrödinger-Gleichung mit Coulomb Potential
µ ist die reduzierte Masse des Systems mit
H 0 = ⃗p2
2µ + V (r)
V (r) = − Ze2 1
4πε 0 r
µ = m em p
m e + m p
≈ m e ≡ m
Fundamentaler Parameter
Energieeigenwerte
Bahnradius
Comptonwellenlänge
α =
e2
4πε 0 c ≈ 1
137.03
E n = − mc2
2
a 0 =
(Zα) 2
n 2
Zαmc
mc = λ c
25

Eigenfunktionen
ψ n,l,ml ,m s
(r, θ, ϕ) = R nl (r) · Y ml (θ, ϕ) · ξ ms
( ) √
3
2
2
1 (n − l − 1)!
(
R nl = −
a 0 n 2 2 ((n − l)!) 3 ρl exp − ρ )
L 2l+1
n+l
2
(ρ) ρ = 2r
a 0 n
ξ ms =
∣ s = 1 〉
( ) ( )
2 ; m 1 0
s ; = |↑〉 , |↓〉 ; = |+〉 , |−〉 ; = ,
0 1
Bemerkung
(i) H 0 ist nur ein Näherung, nicht berücksichtigt sind relative Effekte und magnetische
Effekte (Elektron bzw Protonenspin)
(ii) In der Praxis ist die Näherung gut da α

Weiterhin
Also
〈2T 〉 = 〈V 〉 =⇒ mv 2 ≈ e2
4πε 0 a 0
= αc
a 0
= α 2 mc 2 =⇒ β = v c ≈ α
Damit |H 0 | ≈ 10 eV → |H rel | ≈ 1 meV
( ) 2
|H rel |
1
|H el | ≈ α2 ≈
137
Spin-Bahn-Koppelung H LS heuristische Betrachtung :
V = − Ze
4πε 0 r
⃗E = −∇V = − ⃗r r
dV
dr
Elektron sieht in seinem Ruhesystem das ⃗ E−Feld und
⃗B = 1 c 2 (
⃗E × ⃗v
)
= − 1 1 dV
L
c 2 rm dr ⃗
mit ⃗v = ⃗p als Geschwindigkeit des Elektrons.
m
Wechselwirkung des magnetischen Moments des Elektrons mit Magnetfeld B ⃗
H LS = −⃗µ · ⃗B
= − e (
S
m ⃗ · − 1 ) 1 dV
L
c 2 mr dr ⃗
= 1 Ze 2 1
S
m 2 c 2 4πε 0 r ⃗ · ⃗L 3
exakte Behandlung (Thomas 1927) liefert
H LS = 1
2m 2 c 2 Ze 2
4πε 0
1
r 3 ⃗ L · ⃗S
Bemerkung: H LS beschreibt die Wechselwirkung des magnetischen Moments des
Elektronenspins mit dem durch die Elektronenbewegung ”gesehenen” Magnetfeld.
Größenordnung | ⃗ L|, | ⃗ S| ≈
|H LS |
|H 0 |
Z=1
=
2
m 2 c 2 r 3
1
r
≈
2
m 2 c 2 a 2 0
a 0 =
mcα
≈ α 2
27

Darwin-Term
mittleres Potential
Zitterbewegung des Elektrons um Kern : δr ≈ mc
. Elektron fühlt
〈V (⃗r + δ⃗r)〉 = 〈V (⃗r)〉 + 〈δ⃗r∇V 〉 + 1 〈(δ⃗r∇) (δ⃗r∇) V 〉 + . . .
2
isotrope Fluktuation
= V (⃗r) + 0 + 1 3∑
2 〈 (δx i ) 2 ∂x 2 i
V 〉 + . . .
Exakte Behandlung
i=1
(δx 1 ) 2 =(δx 2 ) 2 =(δx 3 ) 2 = 1 3 (δr)2
= V (⃗r) + 1 6 (δr)2 ∇ 2 V
H D = 1 8 (δr)2 ∇ 2 V =
2
8m 2 c 2
Ze
4πε 0
(4πδ(⃗r))
Größenordnung
〈ψ|H D |ψ〉 Z=1
=
2
8m 2 c 2 e 2
4πε 0
4π|ψ(0)| 2
Es gilt ∫ |ψ(r)| 2 dr 3 = 1 , weiterhin ist um den Ursprung das Volumen ca a 3 0 und
damit |ψ(0)| 2 ≈ 1 . Damit
a 3 0
〈ψ|H D |ψ〉 ≈
2 (αmc)3
cα4π ≈ mc 2 α 4 ≈ α 2 |H
8m 2 c2 3 0 |
2.2.2 Störungstheorie 1. Ordnung
Relativistische Korrektur Die korrekte Behandlung führt über die Störungstheorie für entartete
Zustände. Das ist sehr kompliziert und aufwändig auszuführen. Wir benutzen
deshalb einen Trick: Wir schreiben:
und mit H 0 = T + V folgt
Mit diesen Definitionen sehen wir:
H rel = − 1 ( ) ⃗p
2 2
= − 1
2mc 2 2m 2mc T 2
2
H rel = − 1
2mc 2 (
H
2
0 − H 0 V − V H 0 + V 2)
[H rel , L z ] = [H rel , ⃗ L 2 ] = [H rel , S z ] = [H rel , ⃗ S 2 ] = 0
28

Deshalb sind die Eigenzustände
ψ nlml m s
= R nl Y lml ξ ms
welche schon vorher für das ungestörte Problem gefunden wurden, auch Eigenzustände
von H rel . Die Diagonalisierung, welche beim Entwickeln der Störtheorie nötig
wäre, ist damit unnötig geworden. Man erhält:
E (1)
rel
= 〈ψ nlml m s
| H rel |ψ nlml m s
〉
und mit der Definition von H rel von oben und dem Wissen, wie H 0 auf die Zustände
wirkt, erhalten wir:
= − 1 (
〈 〉 〈 〉)
1 1
E 2
2mc 2 n − 2E n (−Zαc) + (Zαc) 2
r r 2
Durch analytische Rechnungen erhalten wir:
〈 1
r
〉
= 1
a 0 n 2 = Zαmc
n 2 〈 1
r 2 〉
=
1
a 2 0n 3 (l + 1/2) = (Zα)2 (mc) 2
2 n 3 (l + 1/2)
Setzen wir das ein und sortieren, so erhalten wir:
E (1)
rel
= − 1
2mc E 2 n
(− mc2 (Zα) 2
+ 2(Zαc) Zαmc
)
− (Zα) 2 (c) 2 2m
2 n 2
n 2 2 n(l + 1/2)
und nach Umsortieren erhalten wir:
(
E (1) (Zα) 2 3
rel
= −E n
n 2 4 − n )
l + 1/2
LS-Kopplung Hier ist jetzt die Diagonalisierung nicht mehr so einfach, denn
[ ⃗ L · ⃗S, L z ] ≠ 0 [ ⃗ L · ⃗S, S z ] ≠ 0
Das bedeutet, dass die Matrix 〈ψ nlml m s
| H LS |ψ nlml m s
〉 nicht mehr diagonal ist. Aber
auch hier können wir wieder einen Trick anwenden: Wir benutzen Drehimpulsaddition
und verwenden die neue Basis über den Gesamtdrehimpuls
⃗J = L ⃗ + S ⃗
29

Damit ist
⃗L · ⃗S = 1 2
(
⃗J 2 − ⃗ L 2 − ⃗ S 2 )
und wenn wir in die neue Basis mit den CGK c
|l, s; m l , m s 〉 ↦→ |j, m j ; l, s〉 = ∑ m l ,m s
c(l, m l , s, m s , j, m j ) |l, s; m l , m s 〉
wechseln, dann ist H LS in dieser neuen Basis diagonal und wir haben uns die Diagonalisierung
wieder gespart. Genauer:
⃗L · ⃗S |j, m j ; l, s〉 = 2
2 ((j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)) |j, m j; l, s〉
⎧
⎨
= ε j |j, m j ; l, s〉 = 2 l j = l + 1/2
|j, m j ; l, s〉
2 ⎩−l − 1 j = l − 1/2
Wir gehen vor wie oben:
E (1)
LS = 〈ψ njm j ls| H LS |ψ njmj ls〉 = 1
2m 2 c 2 Ze 2
4πε 0
ε j
〈 1
r 3 〉
mit den analytisch zu erhaltenden Ergebnis:
〈 〉 1
= 1 1
r 3 a 3 0 n 3 l(l + 1/2)(l + 1)
Deshalb betrachten wir erst einmal den Fall l ≠ 0. Man erhält nach Umsortieren
das Endergebnis:
E (1)
ε j
LS = −E (Zα) 2
n
2 nl(l + 1/2)(l + 1)
Wir betrachten jetzt den Fall l = 0. Dann ist j = 1/2 und
⃗L · ⃗S |j, m j , l, s〉 = 0
und die Energiekorrektur ist ebenfalls Null.
Darwin-Term Dieser ist aufgrund seiner Form sehr einfach zu Berechnen:
〈 〉
1
D = 2 Ze 2
4πδ (3) (⃗r)
8 m 2 c 2 4πε 0
E (1)
30

Es ist
〈4πδ (3) (⃗r)〉 = 4π √ 1
( ) 3 1
2 |R nl(0)| 2 δ l0 = 4 δ l0 = 4 ( ) 3 Zαmc
δ
4π na 0 n 3 l0
und damit insgesamt
E (1)
D
= −E (Zα) 2
n
n
δ l0
Alle Korrekturen Insgesamt erhält man für die Feinstruktur in erster Ordnung:
= −E n
(Zα) 2
n 2
E (1)
FS = E(1) rel
+ E (1)
LS + E(1) D
⎛
⎧
⎝ 3 4 − n ⎨
l + 1/2 + ⎩
n
2(l+1/2)(l+1)
−n
2l(l+1/2)
⎞
(1 − δ l0 ) + nδ l0
⎠
Bringen wir alles auf den Hauptnenner, so werden die beiden Fallunterscheidungen
unnötig und man erhält für alle Fälle das Ergebnis
mit j = l + 1/2 oder j = l − 1/2.
( )
E (1)
FS = −E (Zα) 2 3
n
n 2 4 − n
j + 1/2
Bemerkungen:
(1) Die Korrektur hängt nur vom Gesamtdrehimpuls ab.
(2) Die ”guten” Quantenzahlen sind jetzt n, j, m j , l und s.
(3) Die spektoskopische Notation für einen Zustand ist:
n 2s+1 l j
wobei
n = 1, 2, . . . l = {S, P, D, . . . }
(4) Auch für Quark-Quark-Systeme erhält man die selbe Rechnung und damit die selben
Ergebnisse.
(5) Die hier eingeführten relativistischen Korrekturen sind in der Dirac-Gleichung schon
enthalten. Sie ist eine relativistische Gleichung, welche den Spin des Elektrons schon
enthält. Sie löst auch die Schrödingergleichung, ist aber in der Praxis wesentlich
31

schwerer zu lösen. Für kompliziertere Atome gibt es jedoch keine äquivalente Dirac-
Gleichung (diese ist nicht zu verallgemeinern).
H 0
n = 1
H 0 + H FS
(
E (1)
FS = −
− 1 8 mc2 α 4
− mc2
2
)
(Zα) (− ) 2 1 (Zα) 2
n 2 4 n 2
2 S 1/2
n = 2
j=3/2, 4 Zustände
− 1
128 mc2 α 4
2 P 3/2
− 5
2 S 2 128
1/2 P mc2 α 4
j=1/2t, 4 Zustände 1/2
Abbildung 2.1: Anfang des Termschemas des Wasserstoffatoms
Energieniveaus, Termschema
2.3 Hyperfeinstruktur
Wir betrachten nur den Fall n = 1 und Z = 1, da alle anderen Fälle zu kompliziert sind.
2.3.1 Protonenspin
Bisher wurde der Spin des Protons vernachlässigt. Man definiert deshalb den Protonenspin
I. Der magnetische Moment ist dann gegeben durch
⃗µ I = g p µ p
⃗ I
µ p = g p
2M p
|µ p | ≪ |µ e |
Weil die Masse des Protons viel größer als die Masse des Elektrons ist. Mit der Beachtung
des Proton-Spins ist das n = 1-Niveau 4-fach entartet mit
n = 1, l = 0, m l = 0, m s = ± 1 2 , m I = ± 1 2
32

2.3.2 Hamiltonoperator
Der neue Hamiltonoperator für n = 1 ist dann definiert als:
H HFS = −µ 0
2
3 ⃗µ s⃗µ I δ (3 (⃗r)
Die Herleitung führt über eine Multipolentwicklung des Problems. Die gyromagnetischen
Vehältnisse sind definiert über
⃗µ S = g e
e
2m e
⃗ S ⃗µI = g P
−e
2M p
⃗ I
mit
g e ≈ 2 g p ≈ 5.585
2.3.3 Störungstheorie 1. Ordnung
Wir betrachten Matrixelemente der Form
〈n = 1, l = 0, m l = 0, m ′ s, m ′ I| H HFS |1, 0, 0, m s , m I 〉 = A 〈m ′ s, m ′ I| ⃗ I · ⃗S |m s , m I 〉
mit
A = − 2 3 µ 2e g p (−e)
0
〈1, 0, 0| δ (3) (⃗r) |1, 0, 0〉
2m e 2M p } {{ }
|R 10 (0)| 2 /4π
e 2
= 4 1 1 (αm e c) 3
3 4πε 0 c 2 m e M p 3
= 4 3 g m e
p m e c 2 α 4 1 M p 2
2.3.4 Berechnung des Matrixelementes
Wir betrachten wieder den Gesamtspin F ⃗ = I ⃗ + S. ⃗ Aus den Werten erhält man, dass F
nur die Werte 0 und 1 annehmen kann. Dann ist
⃗I · ⃗S = 1 (
⃗F 2 − I
2
⃗2 − S ⃗ )
2
und nach dem Basiswechsel von der |m s , m I 〉-Basis in die |F, m F 〉-Basis (über die CGK)
ist das Matrixelement jetzt diagonal. Es ist dann
⃗I · ⃗S |F, m F 〉 = 2
2 (F (F + 1) − I(I + 1) − S(S + 1)) |F, m F 〉
33

und schließlich
⎧
⎨ 1
HFS = F = 1 m A2 4 F = 0, ±1
⎩− 3 F = 0 m
4 F = 0
E (1)
Bemerkung
(i) Die 4-fache Entartung des n = 1-Niveaus wird (teilweise) aufgehoben.
(ii) Für n = 2 erhält man in der Feinstruktur die Zustände 2s 1/2 , 2p 1/2 (gleiche Energie)
und 2p 3/2 . In der Hyperfeinstruktur sind 2s 1/2 und 2p 1/2 genauso wie oben nach den
zwei F -Werten (0,1) aufgespalten. Beim Zustand 2p 3/2 ergeben sich für F die Werte
1 und 2.
34

2.3.5 Niveauaufspaltung für n = 1 und n = 2 im Wasserstoffatom
5
4
3
5/2
3/2
1/2
3
2, 3
1
0
+1/2
±1/2
−1/2
+1/2
1 2
2
1
1
0
1
0
2
3/2
1
+1/2
2
1
1
1/2
0
1
−1/2
−1/2
0
1
0
1
1
0 +1/2
1/2 0
Bohr Feinstruktur Lamb-Verschiebung Hyperfeinstruktur
Lösungen der
Schrödingergleichung
ohne Spin.
Entartung:
Spin-Bahn-Kopplung
und relativistische
Korrektur.
Strahlungskorrektur
(QED)
Spin-Spin-Kopplung
(Energieskala
100-mal gestreckt)
Abbildung 2.2: Schematisches Termschema des Wasserstoffatoms für die ersten beiden
Werte von n.
Bemerkung
(i) Bei der HFS für n = 1 ist die experimentelle Genauigkeit sehr groß. Es ist
A
2m
= 1 420 405 751, 768 ± 0.001 Hz
(ii) Mit diesem sehr genauen Messergebnis lässt sich die QED genau prüfen und dann
die Feinstrukturkonstante α sehr genau bestimmen. Da g p jedoch nicht genau bestimmbar
ist, benutzt man stattdessen ein Positronium (e − e + ) oder ein Myonium
(µ + e − ).
35

(iii) Wasserstoffmaser
(iv) Radioastronomie (aufspüren von Wasserstoffatomen im interstellaren Raum). Diese
liefert Informationen über die Dichte, die Temperatur und die Bewegung der Materie.
2.4 Zeemann-Effekt
2.4.1 Wiederholung
Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld. Das Teilchen habe die Masse m, die
Ladung Q und das elektrische Feld die Stärke E(⃗r, ⃗ t). Das magnetische Feld sei B(⃗r, ⃗ t).
Diese reellen Funktionen sind beschreibbar durch Potentiale φ(⃗r, t) und A(⃗r, ⃗ t) mit
⃗E = − ∂ ⃗ A
∂t − ⃗ ∇φ
⃗ B = ⃗ ∇ × ⃗ A
Bei der Wahl der Potentiale besitzt man eine gewisse Eichfreiheit unter der sich B ⃗ und
⃗E nicht ändern:
⃗A ′ = A ⃗ + ∇Λ(⃗r, ⃗ t) φ ′ = φ − ∂ Λ(⃗r, t)
∂t
Der Hamiltonoperator eines Teilchens im Feld lautet dann:
H = 1 ( ) 2
∇
2m i ⃗ − QA
⃗ + Qφ
Die Schrödingergleichung
i ∂ ∂t ψ = Hψ
bleibt invariant unter dem Wechsel der Eichfunktion.
Für den Hamiltonoperator ergibt sich weiterhin:
Verwenden wir die Coulombeichung
H = − 2
2m ∆ + iQ
2m ⃗ A ⃗ ∇ + iQ
2m ⃗ ∇ ⃗ A + Q2
2m ⃗ A 2 + Qφ
⃗∇ ⃗ A = 0
erhält man:
H = − 2
2m ∆ +
iQ
A
m ⃗ ∇ ⃗ +
} {{ }
paramagnetischer Term
Q 2
2m ⃗ A 2
} {{ }
diamagnetischer Term
+Qφ
36

Konstantes Magnetfeld
Wir wählen die z-Achse in ⃗ B-Richtung und erhalten dann
⃗A = − 1 2
(
⃗r × B ⃗ )
Paramagnetischer Beitrag
iQ
A
m ⃗ ∇ ⃗ = iQ
m
Diamagnetischer Beitrag
−1
2
Vergleich der beiden Beiträge
(
⃗r × B ⃗ )
⃗∇
iQ
(
= ⃗r × ∇
2m
⃗ )
⃗B
Q = − L
2m ⃗ · ⃗B
Q 2
A
2m ⃗2 =
(⃗r Q2 2 B ⃗ 2 − (⃗r ·
8m
⃗B)
) 2 = Q2
B
8m ⃗ 2 (x 2 + y 2 )
∣
Q 2
8m ⃗ B 2 (x 2 + y 2 )
− Q
2m ⃗ L · ⃗B
∣
Q=e
≈ |e|a2 0B
4
≈ 10 −6 B in Tesla
weswegen der diamagnetische Anteil so gut wie vernachlässigbar ist (wichtig aber z.B.
bei Neutronensternen oder Elektronen in Metallen)
Vergleich von paramagnetischem Anteil und Coulombenergie
∣
L ⃗ · ⃗B
∣ ∣∣∣∣
2m
≈
− Q
− mc2
2
(Zα) 2
n 2
|e|
B 2m
= |e|Ba2 0
2
2a 2 0 m
Auch hier ist der paramagnetische Anteil wieder klein und wir können Störungstheorie
anwenden.
Bemerkung
Eigentlich ist definiert
H = −⃗µ · ⃗B
Deswegen ist
|µ dia | ∝ B
und der Name ”Diamagnetisch” erklärt sich. µ des paramagnetischen Terms hängt dafür
nicht vom Magnetfeld ab.
37

Normaler Zeeman-Effekt
Betrachte Wasserstoffatom ohne Spin im Magnetfeld. Hamilton-Operator :
H = H 0 −
e
2m ⃗ L · ⃗B
|n, l, m l 〉 sind Eigenfunktionen zu H 0 und auch Eigenfunktonen von ⃗ L · ⃗B = BL z . Daraus
folgt
H |n, l, m l 〉 = (E n + ω L m l ) |n, l, m l 〉
ω L = − eB
2m
Aufspaltung in (2l+1) äquidistante Niveaus.
Lamor-Frequenz
Bemerkung
(1) Aufspaltung aufgrund von Bahndrehimpuls. Dies ist der ”normale” Zeeman-Effekt.
(2) Wasserstoffatom
• Aufspaltung in gerade Anzahl von Niveaus. → ”anomaler” Zeeman-Effekt.
2.4.2 Das Wasserstoffatom im Magnetfeld
Hamiltonoperator:
H = H 0 + H FS + H HFS + H z
Nun wieder B ⃗ = B⃗e z , B konstant.
Im Folgenden setzen wir voraus:
H z = − (⃗µ L + ⃗µ S + ⃗µ I ) ⃗ B
⃗µ L = e
2m ⃗ L
⃗µ S = g e
e
2m ⃗ S hier: g e = 2
⃗µ I = −g P
e
2m ⃗ I
|H z | >> |H HFS |, |⃗µ I
⃗ B|
38

H 0 H F S H z
j = l + 1 Aufspaltung in 2j + 1 Niveaus
2
2l + 2 Niveaus
j = l − 1 l − 1
2
2
2l Niveaus
−(l − 1)
2
und deshalb
H z = − e
2m (L z + 2S z ) B = − e
2m (J z + S z ) B
Wir entwickeln jetzt die Theorie in zwei Schritten:
(a) schwaches ⃗ B-Feld =⇒ |H FS | >> |H z |. Betrachte H z als Störung zu H FS
=⇒ Benutze Eigenzustände |n, j = l + 1 2 , m j, l, s = 1 2 〉 = |n, j, m j, l〉. Betrachte festes
n und j:
〈n, j, m j , l|J z |n, j, m j , l〉 = m j
〈n, j = l ± 1 2 , m j, l|S z |n, j = l ± 1 2 , m j, l〉 = ∗
Benutze
√
∣ j = l ± 1 〉
2 , m l ± m j + 1 2
j, l = ±
2l + 1
∣ l, m j − 1 2 , m s = 1 2
√
〉
l ∓ m j + 1 2
+
2l + 1
∣ l, m j + 1 2 , m s = − 1 〉
2
Daraus folgt für den Erwartungswert von S z (∗)
Man erhält also
∗ = ± m j
2l + 1
〈n, j = l ± 1 2 , m j, l|H z |n, j = l ± 1 2 , m j, l〉 = − e
2m Bm j
(
1 ± 1 )
2l + 1
Bemerkung
(1) Alle entarteten Niveaus spalten auf in 2j+1 Niveaus
(2) Annahme: 〈l|H z |l ′ 〉 = 0. Verwendung von nicht-entarteter Störungstheorie, da
〈l|H z |l ′ 〉 = 0 angenommen wird.
(b) Beliebiges Magnetfeld
Wende entartete Störungstheorie auf H FS + H z an.
39

Startpunkt: |n, j = l + 1 2 , m j, l〉 =⇒ H FS ist diagonal.
[ L ⃗ 2 , H z ] = 0
=⇒ 0 = ! 〈l|[ L ⃗ 2 , H z ]|l ′ 〉
= 2 (l(l + 1) − l ′ (l ′ + 1)) 〈l|H z |l ′ 〉
=⇒ l ≠ l ′ =⇒ 〈H z 〉 = 0
[H 0 , H z ] = 0 =⇒ 〈n|H z |n ′ 〉 = 0 für n ≠ n ′
[J z , H z ] = 0 =⇒ 〈m j |H z |m ′ j〉 = 0 für m j ≠ m ′ j
• n = 1, l = 0, j = 1, m 2 j = ± 1 . Matrix ist diagonal.
2
〈
E z (1) = 1, 1 2 , m j, 0
∣ H z ∣ 1, 1 〉
2 , m j, 0 = − e m Bm j
• n = 2
n = 2 l = 0 l = 1
j = 1 (S 2 1 ) j = 1 (P
2
2 1 ) j = 3 (P
2
2 3 )
2
m j − 1 2
+ 1 2
− 1 2
+ 1 2
− 3 2
− 1 2
+ 1 2
+ 3 2
l = 0 j = 1 2
j = 1 2
− 1 ∗
2 1
+ 1 ∗
2 1
− 1 ∗
2 2 ∗ 2
+ 1 ∗
2 3 ∗ 3
l = 1
j = 3 2
− 3 ∗
2 1
− 1 ∗
2 2 ∗ 2
+ 1 ∗
2 3 ∗ 3
+ 3 ∗
2 1
Wir diagonalisieren die beiden 2 × 2 Matrizen mit m j = − 1 2 und m j = + 1 2
(angedeutet durch ∗ 2 und ∗ 3 ) einzeln.
(1) für |n, j = l + 1 2 , m j = ±(l + 1 2 ), l〉 ist H FS + H z diagonal.
E (1)
z
= 〈H z 〉 = ∓ e B(l + 1)
2m
Negatives Vorzeichen bei m j = +(l + 1 2 ) und positives bei m j = −(l + 1 2 ).
40

(2) |m j | < l + 1 diagonalisierbare 2 × 2 Matrix.
2
(
)
〈n, j = l + 1, m 2 j, l|H FS + H z |n, j = l + 1, m 2 j, l〉 〈j = l + 1|H 2 z|j = l − 1〉
2
〈j = l − 1|H 2 z|j = l + 1〉 〈j = l − 1|H 2 2 FS + H z |j = l − 1〉 2
Sei µ B = − e . Dann lässt sich die Matrix umformen zu
2m
⎛
⎝ E(1)
F S (j = l + 1 2 ) + µ BBm j
2l+2
−µ B B
√
(l+
1
2 )2 −m 2 j
2l+1
E (1)
√
(l+
1
−µ
2l+1 B B
2 )2 −m 2 j
2l+1
F S (j = l − 1 2 ) + µ BBm j
2l
2l+1
⎞
⎠
Bemerkung zu den Nebendiagonalelementen: Es gilt
Eigenwerte der 2 × 2 Matrix:
〈j = l + 1 2 |J z|j = l − 1 2 〉 = 0
〈j = l + 1 2 |S z|j = l − 1 2 〉 = − √
(l + 1 2 )2 − m 2 j
2l + 1
E (1)
F S+Z = E(1) F S (j = l − 1 2 ) + µ BBm j + ∆ F S
2
∆ F S = E (1)
F S (j = l + 1 2 ) − E(1) F S (j = l − 1 2 )
±
√
∆ 2 F S
4
( ) 2
m j
+ µ B B∆ F S
2l + 1 + µB B
2
Wir prüfen die behaupteten Gleichungen in einigen Grenzfällen:
(1) Wie im vorigen Punkt setzen wir ∆ F S ≫ µ B B. Dann ist die Energiekorrektur
in erster Näherung
(
E (1)
F S+Z = E(1) F S
j = l − 1 )
+ µ B Bm j + ∆ F S
2
2
± ∆ F S
2
(
= E (1)
F S
j = l ± 1 ) (
+ µ B Bm j 1 ± 1 )
2
2l + 1
und damit das selbe Ergebnis wie davor.
41
(
1 + 1 )
4µ B B m j
2 ∆ F S 2l + 1

(2) Der s.g. Paschen-Back-Effekt: ∆ F S ≪ µ B B. Dann ist in erster Näherung
(
E (1)
F S+Z = E(1) F S
j = l − 1 )
+ µ B Bm j + ∆ F S
2
2
)
= E(1) F S
nachdem wir
und
( )
j = l +
1 (1)
2 − E
F S
2
= µ B B(m j + m s ) − E n
(Zα) 2
+ E n
(Zα) 2
n 2
(
j = l −
1
2
n
nm 2 s
l(l + 1)(l + 1/2)
= µ B B(m l + 2m s ) − E n
(Zα) 2
E (1)
F S (j = l + 1 2 ) + E(1) F S (j = l − 1 2 )
2
benutzt haben.
n
± µ BB
2
(
1 + 1 4∆ F S
2 µ B B
)
(
m j ± 1 2
)
m j
2l + 1
+ µ B B
± ∆ F Sm j
2l + 1
(
m j m s
l(l + 1)(l + 1/2) − E (Zα) 2 3
n
n 2 4 − n
l + 1/2
m l m s
l(l + 1)(l + 1/2) − E n
m j = m l + m s
(
(Zα) 2 3
= −E n
n 2 4 − n
l + 1/2
+ E n
(Zα) 2
n 2
)
(
(Zα) 2 3
n 2 4 − n )
l + 1/2
)
nm 2 s
l(l + 1)(l + 1/2)
Nehmen wir beide betrachteten Abhängigkeiten zusammen, so kommen wir auf folgendes
Termschema für n = 2:
5
4
3
+2
+1
0
-1
-2
5/2
3/2
1/2
+1 +1/2
2
+1
0
-1
3/2
1/2
+3/2
+1/2
−1/2
−3/2
+1/2
−1/2
0 +1/2
−1
+1
+1/2
−1/2
0 −1/2
−1 −1/2
1
0
+1/2
0
+1/2
1/2
−1/2
Bohr
Lösungen der
Schrödinger-
Gleichung ohne Spin.
Normaler
Zeeman-Effekt
Magnetfeld ohne
Berücksichtigung
des Spins.
Feinstruktur
Spin-Bahn-Kopplung
und relativistische
Korrektur.
Anomaler
Zeeman-Effekt
Magnetfeld mit
Berücksichtigung
des Spins.
B < ls-Kopplung
Paschen-
Back-Effekt
Magnetfeld mit
Berücksichtigung
des Spins.
B > ls-Kopplung
0
−1/2
Abbildung 2.3: Termschema für Wasserstoff im Magnetfeld für n = 2
42

Es ist also je nach Magnetfeld geschickter eine andere Basis zu verwenden:
Kein Magnetfeld oder kleines Magnetfeld Hier sind es die Feinstrukturvektoren,
die als Basis geschickt sind:
|j, m j , l, s〉
Großes Magnetfeld Das Magnetfeld entkoppelt den Bahndrehimpuls und den Spin.
Es ist besser wieder in die alte Basis
|l, m l , s, m s 〉
zu wechseln.
43

Kapitel 3
Relativistische Quantenmechanik
Dieses Kapitel ist neu in der Quantenmechanik II. Die vorher betrachtete Schrödingergleichung
lässt sich aus der Mechanik ableiten. Viele Dinge wie Impuls und Masse konnten
nach dem Korrespondenzprinzip übertragen werden. In diesem Kapitel suchen wir jetzt
eine Art Ersatz für die Schrödingergleichung für Teilchen, welche sich mit fast Lichtgeschwindigkeit
bewegen.
3.1 Elemente aus der speziellen Relativitätstheorie
3.1.1 Relativitätsprinzip von Einstein, Lorentztransformation
Das Relativitätsprinzip postuliert zwei Annahmen:
(i) Alle Inertialsysteme sind gleichwertig.
(ii) Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen gleich.
Aus diesen Postulaten folgt direkt die Lorentztransformation. Nehmen wir zwei Intertialsysteme
mit den Ortsvektoren x α und x ′α , dann besagt die Lorentztransformation die
Transformation zwischen den beiden Systemen:
x ′α = Λ α βx β + b α
wobei Folgendes gelten muss:
(Λ α γ ) T g αβ Λ β δ = g γδ ⇐⇒ Λ T gΛ = g
45

mit g µν dem metrischen Tensor (1,-1,-1,-1 auf der Diagonalen) und
x µ = (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) T =
einem kovarianten 4-Ortsvektor.
( )
ct
⃗x
3.1.2 Beispiel:
IS’ bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit v relativ zu IS. Zuerst müssen wir die
Gleichung Λ T gΛ = g lösen. Wir erhalten dann die Lösung für die Lorentztransformation
(Boost in x-Richtung) mit
⎛
⎞
γ −γβ 0 0
x ′ν =
−γβ γ 0 0
⎜
⎝ 0 0 1 0
⎟
⎠
0 0 0 1
νµ
⎛
⎞
cosh ψ − sinh ψ 0 0
x µ =
− sinh ψ cosh ψ 0 0
⎜
⎝ 0 0 1 0
⎟
⎠
0 0 0 1
Dabei ist tanh ψ gerade gegeben durch β. ψ nennt sich Rapidität. β und γ sind die wie
in der Relativitätstheorie üblich bezeichneten Variablen.
νµ
x µ
3.1.3 Tensor n-ter Stufe
Ein allgemeiner Tensor transformiert wie
T ′µ 1,...,µ n
= Λ µ 1
ν 1 · · · Λ µn
ν n
T ν 1,...,ν n
Dies lässt sich auf einzelne Beispiele übertragen:
Skalare Sie bleiben erhalten
φ ′ = φ
Vektoren Ein Beispiel ist der Ortsvektor von vorhin:
A ′µ = Λ µ νA ν
Tensoren 2. Stufe
F ′µν = Λ µ ρΛ ν σF ρσ
46

3.1.4 Eigentliche und uneigentliche Lorentztransformationen
Eigentliche LT sind gegeben durch alle Transformationen, bei denen die Determinante von
Λ gleich 1 ist. Beispiele sind Boosts oder Drehungen, die aus infinitesimalen Transformationen
zusammengesetzt werden können. Uneigentliche LT besitzen eine Determinante
von -1 und sind gegeben durch Raumspiegelungen und Zeitumkehr.
3.1.5 Notation
Ein 4-Vektor heißt kontravariant in Schreibweise A µ falls er transformiert wie ein Ortsvektor,
also
A ′µ = Λ µ νA ν
Ein 4-Vektor in der Schreibweise A µ
kontravarianten:
nennt sich kovariant und ist definiert über den
A µ = A ν g νµ
Das Längenquadrat eines Vektors ist gegeben durch
s 2 = x 2 0 − ⃗x 2 = g µν x µ x ν
Allgemein ist das Skalarprdukt zwischen zwei Vektoren gegeben durch
A · B = A µ B µ = A µ B µ = g µν A µ B ν
Daran sieht man auch, dass das Skalarprodkt invariant unter LT ist, denn es gilt
A ′ B ′ = g µν Λ µ ρΛ ν σA ρ B σ = AB
Es ist
die Einheitsmatrix.
g µν g νρ = g µ ρ = δ µ ρ
Möchte man Ableitungen betrachten, dann ist die Divergenz
∂ µ A µ = ∂ µ A µ = ∂A0
∂x 0 + ⃗ ∇ ⃗ A
denn es ist
∂ µ =
( )
∂ 1 ∂
∂x = c ∂t
µ ⃗∇
Obwohl es sich hier also um einen kovarianten Vektor handelt, steht ein Pluszeichen. Dies
47

kommt daher, dass natürlich weiterhin
∂ µ x ν = δ ν µ
gelten soll. Analog ist dann
∂
∂t
(
1
∂ µ c
=
−∇
⃗
Als letztes definieren wir hier noch den d’Alembert-Operator
)
□ = ∂ µ ∂ µ = 1 c 2 ∂ 2
∂t 2 − ∆
Alle hier auftretenden griechischen Buchstaben werden als Indizees von 0 bis 3 benutzt.
Die auftretenden lateinischen Buchstaben (als Indizees) starten bei 1.
3.1.6 Relativistische Mechanik in der speziellen Relativitätstheorie
Die Wirkung eines freien Teilchens (Lagrange-Mechanik) ist gegeben durch
∫
S = −mc
ds = −mc 2 ∫
√(dx0
) 2 + (d⃗x) 2 = −mc 2 ∫
dt √ 1 − β 2
Im klassischen Grenzfall erhalten wir wieder die bekannten Formeln. Die Bewegungsgleichung
lautet mit L = −mc 2√ 1 − β 2
∂L
∂x i = 0
∂L
∂ẋ i =
vi
mc2
c
√ 2
=
1 − β
2
mẋi √
1 − β
2 = pi
mit dem verallgemeinerten Impuls p. Die Bewegungsgleichung lautet dann insgesamt
d mẋ i
√
dt
= 0
1 − β
2
Die Hamiltonfunktion solch eines Systems ist gegeben durch
H = ∑ i
p i ˙q i − L =
m⃗v2 √
1 − β
2 + mc2√ 1 − β 2 =
mc2 √
1 − β
2 = γmc2 = E
Die Hamiltonfunktion ist zeitunabhängig. Durch weitere Rechnung erhält man die so genannte
Energie-Impuls-Beziehung (oder auch Dispersionsrelation) für ein relativistisches
48

Teilchen
E 2 − c 2 ⃗p 2 = m 2 c 4
Mit dieser Relation kommt man auf den 4-Impuls:
( )
p µ E/c
=
p 2 = p µ p µ = m 2 c 2
⃗p
Zerfall eines π − → µ − + ν (Pion in Myon und Antineutrino) Wir nehmen die
Masse des Antineutrinos als Null an. Dann benutzen wir die Energie-Impulserhaltung des
Vierervektors p (für jedes Teilchen einzeln definiert). Achtung: hier ist nur α ein Index.
p α π = p α µ + p α ν
Daraus folgt die Energie- und Impulserhaltung:
E α π = E α µ + E α ν
⃗p α π = ⃗p α µ + ⃗p α ν
Wir stellen uns jetzt zum Beispiel die Frage, wie groß die Impulse von Myon und Antineutrino
im Schwerpunktsystem des Pions sind. Wir erhalten mit
zuerst
E ν = |⃗p ν |c E µ =
√
m 2 µc 4 + |⃗p µ | 2 c 2 E π = m π c 2
⃗p ν = −⃗p µ
und dann
|⃗p ν | = |⃗p µ | = c m2 π − m 2 µ
2m π
3.1.7 Elektrodynamik in kovarianter Form
Das Ziel dieses Abschnittes ist die Formulierung der Maxwellgleichungen und der Wellengleichung
in einer Form, so dass sich diese unter LT nicht ändert. Wir versuchen also
die Gleichungen mit Tensoren umzuschreiben.
Wir definieren zuerst den 4-Strom:
( )
j µ cρ
=
⃗j
Die Kontinuitätsgleichung
0 = ∂ρ
∂t + ⃗ ∇j
49

lautet dann ganz einfach
∂ µ j µ = 0
Da die Kontinuitätsgleichung immer (in jedem IS) gilt, ist das Ergebnis 0 ein Skalar.
Damit dies der Fall ist, muss j also ein 4-Vektor sein.
Weiter betrachten wir die Wellengleichung in der Lorenzeichung. Sie lautet (in nicht
kovarianter Form)
Definieren wir jetzt das 4-Potential mit
□φ = ρ ε 0
( )
A µ φ/c
=
⃗A
Dann lautet die Wellengleichung ganz einfach
□A µ = µ 0 j µ
Die Lorenzeichung
in kovarianter Form lautet
1 ∂φ
c 2 ∂t + ∇ ⃗ A ⃗ = 0
∂ µ A µ = 0
Um die Maxwellgleichungen aufzuschreiben, definieren wir den Feldstärketensor
F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ
Er ist ein antisymmetrischer Tensor und besitzt dementsprechend 6 unabhängige Komponenten.
Dies sind gerade die elektrischen und magnetischen Felder. Sie sind in dieser
Eichung definiert über
⃗E = −∇φ ⃗ − ˙⃗ A B ⃗ = ∇ ⃗ × A ⃗
also
⎛
⎞
0 E x /c E y /c E z /c
F µν =
−E x /c 0 −B z B y
⎜
⎝−E y /c B z 0 −B
⎟
x ⎠
−E z /c −B y B x 0
oder in kontravarianter Form
50

⎛
⎞
0 −E x /c −E y /c −E z /c
F µν =
E x /c 0 −B z B y
⎜
⎝E y /c B z 0 −B
⎟
x ⎠
E z /c −B y B x 0
Die homogenen Maxwellgleichungen in kovarianter Form lauten dann
∂ ρ F µν + ∂ µ F νρ + ∂ ν F ρµ = 0
Dabei ist die Wahl der Indizes in der Reihenfolge egal. Die Relation ist jeweils identisch
erfüllt. Die Gleichung ist nur dann nicht-trivial, falls alle drei Indizees verschieden sind.
Deshalb ergeben sich aus dieser Gleichung 4 Differentialgleichungen (und zwar gerade die
bekannten homogenen Maxwellgleichugnen)
⃗∇ · ⃗B = 0
⃗ ∇ × ⃗ E = −
∂ ⃗ B
∂t
Die homogenen Maxwellgleichung kann in der kompakten Form
∂ ρ ˜F ρσ = 0
geschrieben werden mit dem dualen Feldstärketensor
˜F ρσ = 1 2 ερσµν F µν
und dem Pseudotensor i
⎧
1 (ρ, σ, µ, ν) ist gerade Permutation von (0, 1, 2, 3)
⎪⎨
ε ρσµν = −1 ungerade Permutation
⎪⎩ 0 sonst
Die inhomogenen Maxwellgleichungen lauten
∂ µ F νµ = µ 0 j ν
in kovarianter Form. Setzt man wieder die möglichen Werte für die Indizees ein, so erhält
i Ein Pseudotensor transformiert unter eigentlichen LT wie ein normaler Tensor, unter uneigentlichen
LT wie ein normaler Tensor mit einem Minuszeichen.
51

man die bekannten inhomogenen Maxwellgleichungen
⃗∇ · ⃗E = cµ 0 j 0 ⃗ ∇ × ⃗ B −
1
c 2 ∂ ⃗ E
∂t = µ 0 ⃗ j
3.1.8 Kovariante Formulierung der Lorentz-Kraft
Wir setzen die Lagrangefunktion eines Teilchens im Potential (wie oben erhalten) an
L = −mc 2√ 1 − β 2 + q ⃗ A · ⃗v − qφ
Sie führt auf die Bewegungsgleichung
ṗ i = qE i + q(⃗v × ⃗ B) i
Auch dies können wir wieder in kovarianter Form schreiben:
ṗ a = 1 γ qF p ν
iν
m
Nachtrag
A µ ist 4-Vektor, falls er transformiert wie x µ . Zum Beispiel ist ˜x µ = (2x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) T
kein 4-Vektor, da ˜x ′µ = (2x ′ 0, x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3) T ungleich Λ µ ν ˜x ν ist. Auch a = (1, 2, 3, 4) ist kein
4-Vektor.
3.2 Klein-Gordon-Gleichung
3.2.1 Motivation
Wir stellen einige Anforderungen an eine Wellengleichung, welche relativistisch invariant
ist:
• Sie muss dem Relativitätsprinzip gehorchen
• Sie muss eine Lorentz-invariante Form besitzen
• Sie soll die Postulate der Quantenmechanik weiterhin befolgen. φ wollen wir also
weiterhin als Wellenfunktion auffassen können und sein Normquadrat als Wahrscheinlichkeitsdichte.
Observablen sollen durch hermitesche Operatoren dargestellt
werden können, deren Eigenwerte die Messwerte repräsentieren. Eine beliebige Wel-
52

lenfunktion soll nach Eigenfunktionen einer Observablen entwickelbar sein. Schließlich
soll die zeitliche Entwicklung weiterhin gegeben sein durch
i ∂φ
∂t = Hφ
3.2.2 Freies nichtrelativistisches Teilchen
Für dieses Beispiel lautet die Hamiltonfunktion in der klassischen Mechanik einfach
H = ⃗p2
2m
Nach dem Korrespondenzprinzip folgern wir
H → i ∂ ∂t
⃗p → i ⃗ ∇
und erhalten somit die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen
i ∂φ
∂t = − 2
2m ∆φ
Diese Gleichung ist nicht Lorentzinvariant, da sie nicht symmetrisch in Orts- und Zeitableitung
ist. Trotzdem hat sie in vielen Experimenten ihre Richtigkeit bewiesen. Wir
versuchen deshalb ähnlich vorzugehen:
3.2.3 Freies relativistisches Teilchen
(a) Wir versuchen die bekannte Relation für die Energie zu benutzen:
H = √ m 2 c 4 + ⃗p 2 c 2
Dies führt auf die Gleichung
i ∂φ
∂t = √ m 2 c 4 − 2 c 2 ∆φ
Die Wurzel eines Operators ist nur definiert über eine Reihenentwicklung. Man erhält
also beliebig hohe Terme in ∆, was wiederum zu einer Asymmetrie führt. Wir
probieren deshalb weiter:
(b) Stattdessen verwenden wir jetzt das Quadrat:
H 2 = ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4
53

Außerdem quadrieren wir auch die Zeitabhängigkeit, also
− 2 ∂2
∂t 2 φ = ( − 2 c 2 ∆ + m 2 c 4) φ
Schreiben wir die Gleichung um, so erhalten wir die sogenannte Klein-Gordon-Gleichung
(□ + m2 c 2
2 )
φ = 0
Aus dieser KG-Gleichung wollen wir jetzt den Wahrscheinlichkeitsstrom ableiten.
Wir gehen dabei analog vor wie bei der Schrödingergleichung und multiplizieren die
KG-Gleichung mit der konjugierten Wellenfunktion. Man erhält dann:
Dies ist (mit Tensoren geschrieben)
( )
)
φ ∗ □ + m2 c 2
φ − φ
(□ + m2 c 2
φ ∗ = 0
2 2
∂ µ (φ ∗ ∂ µ φ − φ∂ µ φ ∗ ) = 0
Ausmultipliziert erhält man (erweitert mit
(
∂ i
φ ∗ ∂φ )
∂t 2mi 2 ∂t − φ∂φ∗ ∂t
) 2mi
+ ∇ ⃗ (
)
φ ∗ ∇φ ⃗ − φ∇φ ⃗ ∗
= 0
2mi
Wir definieren wie früher den Wahrscheinlichkeitsstrom als
⃗j =
(
)
φ ∗ ∇φ ⃗ − φ∇φ ⃗ ∗
2mi
Die Definition der Wahsrcheinlichkeitsdichte schlägt aber fehlt, da
ρ =
i (
φ ∗ ∂φ )
2mi 2 ∂t − φ∂φ∗ ∂t
nicht positiv definit ist. Der Grund liegt in den möglichen negativen Energien, da die
Wurzel in
H = ± √ ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4
auch negative Lösungen hat. Die negativen Energien werden dann (später in der
Dirac-Gleichung) als Antiteilchen definiert. Die KG-Gleichung bekommt vor allem in
der Quantenfeldtheorie eine große Bedeutung zu.
Insgesamt liefert die KG-Gleichung zwar gute Resultate, aber die gesamte Zeitent-
54

wicklung ist noch nicht alleine aufgrund der Anfangsbedingung gegeben. Auch können
wir ρ nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretieren.
3.3 Dirac-Gleichung
3.3.1 Gesucht: Gleichung der Form i∂ t ψ = Hψ
Bemerkung
• Hamiltonoperator muss lineare Ortsableitungen haben.
• Ansatz
H = c
i
( 3∑
j=1
α j ∂ xj
)
+ βmc 2
α j als normale Zahl ist nicht möglich, da H dann nicht invariant unter räumlichen
Drehungen wäre.
• Vorschlag: i∂ t ψ = Hψ ist Matrix-Gleichung mit
⎛ ⎞
ψ 1
ψ = ⎜
⎝ .
⎟
⎠
ψ N
und α j , β sind N × N-Matrizen.
3.3.2 Forderungen an Dirac-Gleichung
(1) Muss die Energie-Impuls-Beziehung E 2 = ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4 erfüllen.
(2) Muss Kontinuitätsgleichung erfüllen und Wahrscheinlichkeitsinterpretation für die
Wellenfunktion zulassen.
(3) Muss Lorentz-kovariant sein.
55

3.3.3 Zu 1.
Jede Komponente von ψ muss Klein-Gordon-Gleichung erfüllen.
− 2 ∂ 2 t Ψ j = ( − 2 c 2 ∇ 2 + m 2 c 4) ψ j
i∂ t ψ = Hψ
(
− 2 ∂t 2 c
ψ =
i
(
=
) (
3∑
α i ∂ xi + mc 2 c
β
i
i=1
− 2 c 2
3∑
i,j=1
!
= ( − 2 c 2 ∆ + m 2 c 4) ψ
)
3∑
α j ∂ xj + mc 2 β ψ
j=1
α i α j ∂ xi ∂ xj + mc3
i
)
3∑
(α i β + βα i ) ∂ xi + m 2 c 4 β 2 ψ
i=1
Mit α i α j = α iα j +α j α i
2
Daraus folgt
α i β + βα i = 0
β 2 = 1
α i α j + α j α i = 2δ ij 1
αi 2 = 1
3.3.4 Weitere Eigenschaften von α i und β
• α i , β müssen hermitesch sein, damit H hermitesch ist, d.h. α † i = α i, β † = β
• αi 2 = β 2 = 1 =⇒ Eigenwerte sind ±1
•
Tr(α i ) = −T r (βα i β)
= −Tr ( β 2 α i
)
= −Tr (α i )
=⇒ Tr (α i ) = 0
Analog
Tr(β) = 0
Allgemein gilt Tr(A) = ∑ λ i , wobei λ i die Eigenwerte von A sind. Daraus ergibt
sich, dass α i , β genauso viele Eigenwerte +1 wie -1 haben. Daraus folgt, dass Dimension
N gerade sein muss.
56

N = 2 nicht möglich, denn es gibt in 2 Dimensionen nur 3 miteinander anti-kommuntierende
Matritzen: Pauli-Matrizen
N = 4 ist möglich, z.b.
( )
0 σ i
α i =
σ i 0
β =
(
1 0
0 −1
)
Mit den Pauli Matrizen
( )
0 1
σ 1 =
1 0
( )
0 −i
σ 2 =
i 0
σ 3 =
(
1 0
0 −1
)
Bem: α i , β sind nicht eindeutig bestimmt.
3.3.5 zu 2. Stromerhaltung
Multipliziere i∂ t ψ = Hψ mit ψ † von links
iψ † ∂ t ψ = c
i
3∑
ψ † α i ∂ xi ψ + mc 2 ψ † βψ
i=1
Multipliziere −i∂ t ψ † = (Hψ) † mit ψ von rechts
−i ( ∂ t ψ †) ψ = − c
i
3∑
∂ xi ψ † α i ψ + mc 2 ψ † βψ
i=1
Differenz der beiden Gleichungen ergibt
i∂ t
(
ψ † ψ ) = c
i
3∑
∂ xi ψ † α i ψ ˆ= ∂ t ρ + ∇⃗j = 0
i=1
dies gibt uns
ρ = ‖ψ‖ 2 =
4∑
ψi ∗ ψ i
Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation ist somit möglich.
Noch zu zeigen :
i=1
( )
J µ cρ
=
⃗j
⃗j i = cψ † α i ψ
ist ein 4-Vektor ebenso wie die Kovarianz der Dirac-Gleichung.
57

3.3.6 Lösung für freies, ruhendes Elektron
Die Dirac-Gleichung lautet in diesem Fall
i ∂ ∂t ψ = βmc2 ψ
Da β in der Dirac-Darstellung Diagonalform hat, sind dies 4 entkoppelte Differenzialgleichungen
mit 4 linear unabhängigen Lösungen. Wir setzen die Lösungen
an.
ψ (1) mc2
−i
= e t (1, 0, 0, 0) T ψ (2) = e
mc2
−i
t (0, 1, 0, 0) T
ψ (3) = e i mc2
t (0, 0, 1, 0) T ψ (4) = e i mc2
t (0, 0, 0, 1) T
Betrachten wir die Lösungen, welche wir in der Schrödingergleichung erhalten haben,
dann würden die Lösungen 1 und 2 zu Energien E > 0 gehören und sehr gut dazu
passen. Die Lösungen 3 und 4 sind jedoch Lösungen mit negativer Energie - was wir
bisher noch nicht verstehen können.
3.4 Nicht-relativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung
3.4.1 Betrachte Wechselwirkung mit Elektromagnetischem-Feld
(
Φ
c
⃗A
)
Es sei wieder A µ = . Minimale Kopplung
⎛ ⎞
α 1
⎜ ⎟
Daraus folgt mit ⃗α = ⎝α 2 ⎠
α 3
p µ → p µ − eA µ
⎛
⎞
⎛ ⎞
( )
⎝i∂ }{{} t −eΦ⎠
ψ = ⎜
⎝ c⃗α i ∇ − e A ⃗ +βmc 2 ⎟
⎠ ψ (3.1)
=cp 0 } {{ }
⃗Π=⃗p−e A ⃗
Woher kommt minimalistische Substitution?
⃗A i , Φ = 0 . Es gilt, falls ψ Lösung ist =⇒ ψ ′ = exp ( i e ϕ) ψ, ϕ = const.
ϕ = ϕ(⃗x, t)? =⇒ ψ ′ ist keine Lösung der Dirac-Gleichung. Aber ψ ′ = exp ( i e ϕ(⃗x, t)) ψ
58

ist Lösung der Dirac-Gleichung , falls
ψ → ψ ′ = exp
(i e )
ϕ ψ
Φ → Φ ′ = Φ − ∂ t ϕ
⃗A → ⃗ A ′ = ⃗ A + ∇ϕ
3.4.2 Nicht-relativistischer Limes von 3.1
( ) ( ) ( )
0 σ i 1 0
˜ϕ
Verwende α i = , β = . Sei ψ = wobei ˜ϕ, ˜χ 2-komponentige
σ i 0 0 −1
˜χ
Spaltenvektoren sind. 3.1 liefert dann
( ) ( ) ( ) ( )
˜ϕ
i∂ t = c⃗σ Π ⃗ ˜χ
+ mc 2 ˜ϕ ˜ϕ
+ eΦ
˜χ ˜ϕ −˜χ ˜χ
Nicht-relativistischer Grenzfall : mc 2 ist größte Energie.
Ansatz
( )
˜ϕ
˜χ
− i )
mc2 τ
} {{ }
(
= exp
( )
ϕ
χ
} {{ }
dominante Zeitabhängigkeit
langsam veränderliche Funktionen
einsetzen:
( ) ( ) ( ) ( )
ϕ
i∂ t = c⃗σ Π ⃗ χ ϕ
+ eΦ + mc 2 0
χ ϕ χ −2χ
Betrachte die untere Gleichung mit der Näherung |i∂ t χ|, |eΦχ|

( )
Verwende (⃗σ · ⃗a) ⃗σ ·⃗b = ⃗a ⃗ (
b + i⃗σ ⃗a × ⃗ )
b . Daraus folgt
(
⃗Π) 2 ( )
⃗σ · = Π ⃗ 2 + i⃗σ ⃗Π × Π ⃗
(
= ⃗ Π 2 − i⃗σ
= ⃗ Π 2 − i⃗σ
= ⃗ Π 2 − e⃗σ ⃗ B
(
eA
⃗ )
⃗p ×
(
−eA ⃗ × ⃗p + e
i
+ eA ⃗ )
× ⃗p
Und damit insgesamt die so genannte Pauli-Gleichung
(
∇ × ⃗ A
[
i ∂ ∂t ϕ = (⃗p − eA) ⃗ ]
2
2m
− e
2m ⃗σ B ⃗ + eφ ϕ
)
)
+ eA ⃗ × ⃗p
Diese Gleichung hatten wir schon aus der Schrödingergleichung eines spinlosen Teilchens
erhalten. Verwende jetzt noch ⃗ B = ⃗ ∇ × ⃗ A bzw.
⃗A = 1 2
(
⃗r × B ⃗ )
Wir vernachlässigen die Terme in ⃗ B 2 , da wir ein schwaches homogenes Magnetfeld ansetzen.
Wir erhalten dann (
⃗p − e ⃗ A) 2
= ⃗p 2 − e ⃗ B ⃗ L
mit dem Bahndrehimpuls ⃗ L und der Coulombeichung ⃗ ∇ · ⃗A = 0. Die Pauligleichung
vereinfacht sich dann zu
wenn wir S ⃗ = ⃗σ einführen.
2
i ∂ ∂t ϕ = ( ⃗p
2
2m −
e ( ) )
⃗L + 2S ⃗ ⃗B + eφ ϕ
2m
Bemerkungen
(i) ϕ hat zwei Komponenten. Sie entsprechen den zwei Spinfreiheitsgraden eines Elektrons
(+ und -). Der Spin entstand also ganz natürlich aus der Dirac-Gleichung.
(ii) Das gyromagnetische Verhältnis g e = 2 entstand ganz einfach und richtig aus der
Dirac-Gleichung. Genauer ist der Zahlenwert nicht ganz richtig. In der QED erhält
man noch weitere Terme, die dann das richtige Ergebnis liefern:
g e = 2
(1 + α )
2π + . . . α2 + . . . α 3 + . . . α 4 + . . . α 5
60

Der experimentelle Wert im Moment ist
g e − 2
2
= 1159652180.73(0.28) · 10 −12
der theoretische Wert ist
g e − 2
2
= 1159652181.78(0.77) · 10 −12
Der Fehler in der Bestimmung von α ist also größer als der bei der Bestimmung von
g aus Experiment und Theorie.
(iii) Dieses Ergebnis ist eine starke Motivation, dass die Dirac-Gleichung ein relativistisches
Elektron beschreibt.
3.5 Lorentzkovarianz der Dirac-Gleichung
Das Ziel ist die Forminvarianz der Dirac- und der Kontinuitätsgleichung unter LT zu
zeigen.
3.5.1 Umschreiben der Dirac-Gleichung
Es ist sinnvoller, die Gleichung in einer anderen Form zu schreiben:
Wir definieren 4 neue Matrizen:
( )
1 ∂
i + ⃗α · ⃗∇ ψ − mcβψ = 0
c ∂t
γ 0 = β
γ i = β · α i
und erhalten damit die Gleichung
(
i
γ 0
∂ + γ 1 ∂ + γ 2 ∂ + γ 3 ∂ )
ψ − mcψ = 0
∂x 0 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
oder umgeschrieben:
(iγ µ ∂ µ − mc) ψ = 0
mit
γ µ =
(
γ 0
⃗γ
)
∂
∂t
(
1
∂ µ c
=
−∇
⃗
)
61

Bemerkungen
(i) Die γ µ sind nicht eindeutig festgelegt. Die γ µ müssen nur die Vertauschungsrelationen
der α und β erfüllen. Diese sind
{γ µ , γ ν } = 2g µν
(ii) Manchmal ist es aber bequem, eine bestimmte Darstellung zu wählen:
γ 0 =
(
1 0
0 −1
)
( )
γ i 0 σ i
=
−σ i 0
(iii) Wir definieren weiterhin für eine Größe a:
/a = γ µ a µ
die Feynmandagger- oder auch Slash-Notation. Die Diracgleichung lautet dann einfach
(
i /∂ − mc ) ψ = 0
(iv) Mit p µ = i∂ µ ergibt sich
(
/ p − mc ) ψ = 0
(v) Für eine Wechselwirkung mit einem elektromagnetischen Feld ersetzen wir einfach
p µ durch p µ − eA µ und erhalten damit die Gleichung
(
/ p − e /A − mc ) ψ = 0
(vi) Der Wahrscheinlichkeitsstrom ist
( ) ( )
j µ cρ cψ † ψ
= =
⃗j cψ † ⃗αψ
Mit der Definition
¯ψ = ψ † γ 0
erhält man
cψ † ψ = c ¯ψγ 0 ψ
cψ † ⃗αψ = c ¯ψ⃗γψ
und damit
j µ = c ¯ψγ µ ψ
62

(vii) Wir benutzen später natürliche Einheiten = 1, c = 1. Zu jeder Zeit kann jedoch die
Gleichung in SI-Einheiten rekonstruiert werden (wir verlieren also keine Information).
Damit wird die Diracgleichung zu
(
p / − m ) ψ = 0
3.5.2 Nachweis der Kovarianz
(a) Vorüberlegungen:
(i) Wir schreiben x statt x µ
(ii) Wir betrachten zwei IS O und O ′ . Λ µ ν
den beiden Systemen.
ist die Lorentztransformation zwischen
(iii) Wir wollen in diesem Kapitel folgendes zeigen: Wenn im IS O ein ψ(x) berechnet
wurde, dann muss die Lösung ψ ′ (x ′ ) der Dirac-Gleichung im anderen IS O ′ aus
ψ(x) mit Λ berechenbar sein. ψ ′ (x ′ ) muss also die Gleichung
(
iγ ′µ ∂ )
∂x − mc ψ ′ (x ′ ) = 0
′µ
erfüllen, wobei natürlich γ ′ = γ erfüllt ist.
(iv) Zusammenhang zwischen ψ(x) und ψ ′ (x ′ ) ist linear, da die Dirac-Gleichung und
die Lorentztransformation linear sind. Wir machen also den Ansatz
ψ ′ (x ′ ) = S(Λ)ψ(x)
mit einer 4x4-Matrix S(Λ).
(b) Bestimmungsgleichung für S(Λ): Es gilt
ψ ′ (x ′ ) = ψ ′ (Λx) = S(Λ)ψ(Λ −1 x ′ )
Oder anders
ψ(x) = S −1 (Λ)ψ ′ (x ′ ) = S −1 (Λ)ψ ′ (Λx) = S(Λ −1 )ψ ′ (x ′ )
Also muss also
S −1 (Λ) = S(Λ −1 )
gelten.
63

Die Diracgleichung in O lautet
(iγ µ ∂ µ − mc) ψ(x) = 0
mit ψ(x) = S −1 (Λ)ψ ′ (x ′ ) erhält man daraus
(
iS(Λ)γ µ S −1 (Λ)∂ µ − mc ) ψ ′ (x ′ ) = 0
Führen wir eine LT durch, dann müssen wir beachten:
∂ µ = Λ ν µ∂ ′ ν
und erhalten
(
iS(Λ)γ µ S −1 (Λ)Λ ν µ∂ ′ ν − mc ) ψ ′ (x ′ ) = 0
In O ′ lautet die Diracgleichung
(iγ ν δ ′ ν − mc) ψ ′ (x ′ ) = 0
Es muss also gelten:
S(Λ)γ µ S −1 (Λ)Λ ν µ = γ ν
Bzw.
Λ ν µγ µ = S −1 (Λ)γ ν S(Λ) (3.2)
Bemerkung :
(i) 3.2 ist Bestimmungsgleichung für S(Λ).
(ii) Wellenfunktionen, die sich unter ψ ′ (x ′ ) = S(Λ)ψ(x) und 3.2 transformieren heißen
4-komponentige Lorentz-Spinoren. Beachte: ψ hat 4 Komponenten, ist aber
kein 4-Vektor.
(iii) Konstruiere S(Λ) =⇒ Kovarianz der Dirac-Gleichung ist bewiesen.
Wir werden im Weiteren die möglichen Fälle für eine Lorentztranformation Λ betrachten
und für jeden Fall eine Matrix S konstruieren.
(c) Infinitesimale, eigentliche Lorentztransformationen
Wir setzen also eine Art Entwicklung für Λ an:
Λ ν µ = g ν µ + ∆ω ν µ
64

Aus Λ T gΛ = g folgt die Antisymmetrie von ∆ω
∆ω νµ = −∆ω µν
Bemerkung
(1) ∆ω µν hat 6 unabhängige Komponenten.
(2) Die Komponenten ∆ω 0i entsprechen einem Boost in x i -Richtung.
(3) Die Komponenten ∆ω 12 , ∆ω 13 , ∆ω 23 sind die Drehung um die z,y,x-Achse.
Wir entwickeln S nach Potenzen von ∆ω µν
S = 1 − i 4 σ µν∆ω µν + O ( (∆ω) 2)
S −1 = 1 + i 4 σ µν∆ω µν
Die Matrizen σ µν sind dabei die Entwicklungskoeffizienten und müssen noch bestimmt
werden. Für sie gilt
σ µν = −σ νµ
nach Wahl. Einsetzen in die Bestimmungsgleichung Λ ν µγ µ = S −1 (Λ)γ ν S(Λ) liefert:
( )
g
ν
µ + ∆ωµ
ν γ µ =
(1 + i )
4 σ ρσ∆ω ρσ γ
(1 ν − i )
4 σ αβ∆ω αβ
∆ωµγ ν µ = i 4 ∆ωρσ (σ ρσ γ ν − γ ν σ ρω )
= 1 2 (∆ωνµ γ µ − ∆ω µν γ µ )
= 1 ( )
2 ∆ρσ gρg ν σγ µ µ − g ρ µ gσγ ν µ
= 1 ( )
2 ∆ωρσ gργ ν σ − gσγ ν ρ
Es muss also gelten
2i ( g ν ργ σ − g ν σγ ρ
)
= γ ν σ ρσ − σ ρσ γ ν
= [γ ν , σ ρσ ]
Die Gleichung
2i ( g ν ργ σ − g ν σγ ρ
)
= [γ ν , σ ρσ ] (3.3)
65

schränkt jetzt die Wahl der Matrizen σ µν ein. Die Aufgabe ist die Konstruktion dieser
6 Matrizen, so dass 3.3 erfüllt ist. Die Lösung ist die Wahl
σ µν = i 2 [γ µ, γ ν ]
was man durch einfaches Einsetzen mithilfe von
{γ µ , γ ν } = 2g µν
zeigen kann. Damit ergibt sich für infinitesimale Lorentz-Transformationen
S = 1 + 1 8 [γ µ, γ ν ]∆ω µν + O ( (∆ω) 2)
= 1 − i 4 σ µν∆ω µν + O ( (∆ω) 2)
(d) Endliche L.T.
Eine endliche L.T. kann durch wiederholtes Anwenden der infinitesimalen L.T. konstruiert
werden. Wir betrachten einen Boost in x-Richtung als Beispiel. Dazu trennen
wir ∆ω auf in
mit für einen Boost in x-Richtung:
∆ω ν µ = ∆ωI ν µ
⎛
⎞
0 −1 0 0
Iµ ν =
−1 0 0 0
⎜
⎝ 0 0 0 0
⎟
⎠
0 0 0 0
Die komplette endliche L.T. kann dann aus Λ ν µ = δ ν µ + ∆ω ν µ konstruiert werden
x ′ν = lim
(g + ω ) ν (g
N→∞ N I + ω )
α 1 N I α1
. . .
(δ + ω )
α 2 N I αN
x µ
µ
= (exp (ωI)) µ ν xµ
= (cosh (ωI) + sinh (ωI)) ν µ xµ
= ( 1 − I 2 + I 2 cosh ω + I sinh ω ) ν
⎛
⎞ν
cosh ω − sinh ω 0 0
=
− sinh ω cosh ω 0 0
⎜
⎝ 0 0 1 0
⎟
⎠
0 0 0 1
66
µ
µ xµ
x µ

was genau der schon bekannten Matrix Λ ν µ für einen Boost in x-Richtung entspricht.
Dabei wurde benutzt, dass
⎛ ⎞
1 0 0 0
I 2 =
0 1 0 0
⎜
⎝0 0 0 0
⎟ I 3 = I
⎠
0 0 0 0
Für einen Boost in y−, z−Richtung oder für eine Drehung kann analog vorgegangen
werden (nur muss dann I anders gewählt werden).
(e) Endliche Spinortransformationen
Wir wollen jetzt ähnlich für eine endliche Spinortransformation vorgehen. Wir konstruieren
sie also als Aneinanderkettung infinitesimaler Spinortransformationen.
ψ ′ (x ′ ) = S(Λ)ψ(x)
(
= lim 1 − i
N→∞ 4 σ ω
µν
(
= exp − i 4 ωσ µνI n
µν
N Iµν n
)
ψ(x)
) N
ψ(x)
Mit n als ”Drehungen” um Achse in n−Richtung, ∆ω = ω N
vorher. Ein paar Beispiele zur Verdeutlichung:
und ∆ων µ = ∆ωI ν µ wie
(1) Für einen Boost in x-Richtung ist wie vorhin schon gesehen
und damit
⎛
⎞
0 −1 0 0
Iµ ν =
−1 0 0 0
⎜
⎝ 0 0 0 0
⎟
⎠
0 0 0 0
⎛
⎞
0 1 0 0
I µν = I ρ µ g ρν =
−1 0 0 0
⎜
⎝ 0 0 0 0
⎟
⎠
0 0 0 0
σ µν I µν = σ 01 − σ 10 = 2σ 01
Schließlich erhält man als Spinortransformation
(
ψ ′ (x ′ ) = exp − i )
2 ωσ 01 ψ(x)
67

(2) Bei einer Raumdrehung um den Winkel ϕ um die z−Achse ist
und damit
⎛
⎞
0 0 0 0
I ν µ =
0 0 1 0
⎜
⎝0 −1 0 0
⎟
⎠
0 0 0 0
Man erhält also die Transformation
⎛
⎞
0 0 0 0
I µν =
0 0 −1 0
⎜
⎝0 1 0 0
⎟
⎠
0 0 0 0
σ µν I µν = −σ 12 + σ 21 = −2σ 12
ψ ′ (x ′ ) = exp
( i
2 ϕσ 12
)
ψ(x)
Mit
σ 12 = i 2 [γ 1, γ 2 ] =
( )
σ 3 0
0 σ 3
Beachte: Der Drehwinkel ist ϕ . Erst nach einer Drehung um 4π hat ψ(x) wieder
2
seinen ursprünglichen Wert erhalten. Physikalische Größen müssen also immer
bilinear in ψ(x) sein um physikalisch sinnvolle Aussagen machen zu können.
(f) Zusammenhang zwischen S, S † , S −1
Wir benutzen
σ † ij = σ ij σ † 0i = −σ 0i γ † 0 = γ 0 γ † i = −γ i
(1) Betrachte zuerst räumliche Drehungen. Hier ist
S R = exp
(− i )
4 ω ijσ ij
(
S † R = exp + i )
4 ω ijσ ij = S −1
R
S R ist also unitär.
(2) Für einen Boost in x−Richtung z.B. ist
(
S L = exp − i )
2 ωσ 01
68

mit
Also ist
( )
0 σ 1
σ 01 = i
σ 1 0
( ( ))
ω 0 σ 1
S L = exp
= S † L
2 σ 1 0
S L ist nicht unitär. Es gilt jedoch
S −1
L
= γ0 S † L γ0
da {γ 0 , σ 0i } = 0. Außerdem gilt auch
S −1
R
= γ0 S † R γ0
da [γ 0 , σ ij ] = 0.
(3) Insgesamt gilt also für eigentliche LT:
S −1 = γ 0 S † γ 0
(g) Zusammenfassung: Eine LT überführt
ψ → ψ ′ (x ′ ) = S(Λ)ψ(x)
mit
Außerdem wird überführt:
(
S(Λ) = exp − i )
4 ωσ µνI n
µν
ψ † → ψ ′† = ψ † S † (Λ)
Da dies nicht symmetrisch ist, definieren wir ¯ψ = ψ † γ 0 und erhalten dann
¯ψ → ¯ψ ′ = ψ † S † γ 0 =
¯ψS
−1
Somit muss ¯ψψ ein lorentzinvarianter Skalar sein. Außerdem ist auch ¯ψγ µ ψ ein lorentzinvarianter
Vektor, da
¯ψ ′ γ µ ψ ′ = ¯ψS −1 γ µ Sψ = Λ µ ν ¯ψγ ν ψ
Insbesondere ist also
j µ = c ¯ψγ µ ψ
69

ein 4-Vektor. Die Kontinuitätsgleichung ∂ µ j µ = 0 ist also lorentzinvariant. Die Wahrscheinlichkeitsdichte
j 0 = cρ transformiert sich wie die Zeit-Komponente eines 4-
Vektors.
3.5.3 Raumspiegelungen
Wir betrachten also jetzt Transformationen
⃗x ′ = −⃗x
t ′ = t
Die Dirac-Gleichung ist kovariant, falls es eine Lösung von
Λ ν µγ µ = P −1 (Λ)γ ν P (Λ)
gibt. Zur besseren Unterscheiden bezeichnen wir die Transformationsmatrix nicht mehr
mit S, sondern mit P (für Parität). Dabei ist
Λ ν µ = diag (1, −1, −1, −1)
Man erhält also die Gleichungen
γ 0 = P −1 γ 0 P
−γ i = P −1 γ i P
Daraus schließen wir, dass
P = e iϕ γ 0
mit einem beliebigen Phasenfaktor ϕ. Zur Bestimmung fordern wir, dass 4 Raumspiegelungen
wieder den orginalen Zustand erhalten, also
e iϕ = ±1; ±i
Häufig wählt man ϕ = 0.
Es gilt weiterhin
P −1 = P † = γ 0 P † γ 0
Deshalb ist die Transformation ganz einfach
ψ(x) → ψ ′ (x ′ ) = ψ(t, −⃗x) = e iϕ γ 0 ψ(x)
70

Lösung der Dirac-Gleichung für p = 0
ψ (1) = (1, 0, 0, 0) T e −imc2 t/
ψ (3) = (0, 0, 1, 0) T e imc2 t/
Wir hatten die Lösungen
ψ (2) = (0, 1, 0, 0) T e −imc2 t/
ψ (4) = (0, 0, 0, 1) T e imc2 t/
erhalten. Diese sind Eigenfunktionen zum Paritätsoperator P mit verschiedenem Vorzeichen
der Eigenwerte für E > 0 und E < 0. Die oberen beiden Komponenten des Spinors -
so hatten wir schon ausgerechnet - beschreiben ein Elektron mit Spin. Die unteren beiden
Komponenten - das werden wir noch ausrechnen - stehen für das Antiteilchen des Elektrons
- das Positron. Das System aus Elektron und Positron (e + e − ) hat negative Parität,
falls der Bahndrehimpuls gerade ist.
3.5.4 Bilineare Kovarianten
Es gibt 16 linear unabhängige 4 × 4-Matrizen. Die Basis kann aus γ-Matrizen aufgebaut
werden.
(a) Wir definieren
γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = i
24 γµ γ ν γ ρ γ σ ε µνρσ
Die explizite Form in Dirac-Darstellung ist
( )
γ 5 0 1
=
1 0
Weiterhin ist
{γ µ , γ 5 } = 0 [σ µν , γ 5 ] = 0
Für eigentliche Lorentztransformationen ist also
[S, γ 5 ] = 0
und für Raumspiegelungen
{P, γ 5 } = 0
γ 5 ist also ein Pseudoskalar.
(b) Die Basis ist also gebildet durch
71
Wichtig
für die
Klausur

Basis Anzahl an Matrizen bilineare Kovariante ¯ψΓψ
Γ S = 1 1 ¯ψψ Skalar
Γ V µ = γ µ 4 ¯ψγµ ψ Vektor
Γ T µν = σ µν 6 ¯ψσµν ψ Tensor
Γ A µ = γ 5 γ µ 4 ¯ψγ 5 γ µ ψ Axialvektor / Pseudovektor
Γ P = γ 5 1 ¯ψγ 5 ψ Pseudoskalar
Alle diese auftretenden bilinearen Kovarianten sind physikalisch sinnvolle Größen
und können auch als solche interpretiert werden (z.B. den Skalar als Wahrscheinlichkeitsdichte
und den Vektor als Strom usw.).
3.6 Lösungen der Dirac-Gleichung
Bis hierher wissen wir:
• Die Dirac-Gleichung ist lorentzkovariant
• Der nicht-relativistische Grenzfall führt auf schon uns bekannte Gleichungen
• Wir haben schon Lösungen für p = 0 gefunden: ψ (r) (x) = ω (r) e −iεrmc2 t/
3.6.1 Lösungen für positive und negative Energien
Um jetzt für ein allgemeines p die Dirac-Gleichung zu lösen, können wir entweder eine
LT auf die schon gefundene Lösung für p = 0 anwenden oder die Gleichung direkt lösen.
Wir wählen die zweite Möglichkeit, lösen also
(i/∂ − m)ψ = 0
(a) Für eine positive Energie wählen wir den Ansatz einer ebenen Welle mit
ψ(x) = u(p)e −ipx
Die Lösung kann abhängig von p sein, da der Hamiltonoperator mit p vertauscht.
Nach Einsetzen erhalten wir dann
(/p − m)u(p) = 0
72

Wir schreiben
( )
ϕ
u =
χ
und erhalten mit der Definition von /p
( )
(−p 0 γ 0 ϕ
+ ⃗p⃗γ + m) = 0
χ
Wir wechseln in die Dirac-Darstellung der γ-Matrizen und erhalten zwei Teilgleichungen
−p 0 ϕ + ⃗p⃗σχ + mϕ = 0
p 0 χ − ⃗p⃗σϕ + mχ = 0
Es ist also
und mit (⃗p⃗σ) 2 = ⃗p 2 erhält man
χ =
⃗p⃗σ
p 0 + m ϕ
(
−p0 (p 0 + m) + ⃗p 2 + m(p 0 + m) ) ϕ = 0
Diese Gleichung ist aufgrund er Energieerhaltung immer erfüllt. Damit können zwei
linear unabhängige Lösungen folgendermaßen geschrieben werden:
⎛
u (1) (p) = N
⎜
⎝
( ) ⎞
1
0
( )
1
⎟
⎠
0
⃗p⃗σ
p 0 +m
⎛
u (2) (p) = N
⎜
⎝
( ) ⎞
0
1
( )
0
⎟
⎠
1
⃗p⃗σ
p 0 +m
wobei N eine Normierungskonstante ist. Sie erhält man aus der Forderung, dass
ūu = 1
und damit
N =
√
p0 + m
2m
(b) Für negative Energien geht man sehr analog vor. Wir wählen den Ansatz
ψ(x) = v(p)e ipx
73

Einsetzen in die Dirac-Gleichung (i/∂ − m)ψ = 0 liefert
(/p + m)v(p) = 0
Wieder setzen wir
und erhalten die zwei Teilgleichungen
( )
ϕ
v =
χ
[( ) ( ) ( )] ( )
p 0 0 0 ⃗p⃗σ m 0 ϕ
−
+
= 0
0 −p 0 −⃗p⃗σ 0 0 m χ
Diesmal lösen wir zuerst die erste Gleichung und erhalten
ϕ =
⃗p⃗σ
p 0 + m χ
Zur Überprüfung setzen wir das Ergebnis in die zweite Gleichung ein und erhalten
(−p 0 + (⃗p⃗σ)2
p 0 + m + m )
χ = 0
Da p 2 = m 2 ist diese Gleichung immer erfüllt. Wir erhalten also jetzt zwei ähnliche
linear unabhängige Lösungen
⎛
v (1) (p) = N
⎜
⎝
( ) ⎞
1
( )
0
1
⎟
⎠
0
⃗p⃗σ
p 0 +m
⎛
v (2) (p) = N
⎜
⎝
( ) ⎞
0
( )
1
0
⎟
⎠
1
⃗p⃗σ
p 0 +m
mit der selben Normierungskonstante wie oben
√
p0 + m
N =
2m
3.6.2 Orthogonalität und Vollständigkeit
Ein System {|n〉} ist ein orthonomiertes, vollständiges System falls gilt:
∑
〈n|n ′ 〉 = δ nn ′ |n〉 〈n| = 1
n
74

(a) Orthonormalität der Lösungen von oben: Man sieht recht schnell, dass
ū (i) u (j) = δ ij
durch Einsetzen der Lösungen von oben (oder man geht direkt in das Ruhesystem
mit p = 0 und sieht dort, dass das Skalarprodukt Null ist. Da es invariant ist, ist es
auch in jedem anderen System Null). Für v gilt
¯v (i) v (j) = −δ ij
(b) Vollständigkeit: Für u ist die Summe gegeben durch
u (1)
α ū (1)
β
+ u(2) α ū (2)
β
dabei bezeichnet α und β die Spinorindizes. Setzt man die Lösung von oben ein,
so erhält man
= p 0 + m
2m
⎛
+
⎜
⎝
⎡⎛
⎢⎜
⎣⎝
( ) ⎞
1
( (
0
( )
1
⎟ 1 0 −
⎠
0
⃗p⃗σ
p 0 +m
( ) ⎞
0
( (
1
( )
0
⎟ 0 1 −
⎠
1
⃗p⃗σ
p 0 +m
⃗p⃗σ
p 0 +m
⃗p⃗σ
p 0 +m
( )) †
)
1
0
⎤
( )) †
)
0
⎥
1 ⎦
Rechnet man das Matrixprodukt aus, so erhält man gerade
u (1)
α ū (1)
β
+ u(2) α ū (2)
β
= 1
2m ( /p + m) αβ
αβ
und analog
und damit insgesamt
v (1)
α ¯v (1)
β
+ v (2)
α ¯v (2)
β
= 1
2m ( /p − m) αβ
u (1)
α ū (1)
β
+ u(2) α ū (2)
β
− (v(1) α ¯v (1)
β
+ v α (2) ¯v (2)
β ) = 1
Das Minuszeichen zwischen den beiden Summen lässt sich jetzt noch nicht verstehen.
Es hängt mit der Tatsache zusammen, das v die Lösung des Antiteilchens vom
75

Elektron (das Positron) ist.
Es ist also
(/p − m)u(p) = 0
(/p + m)v(p) = 0
Wir können die Gleichung hermitesch konjugieren und erhalten (durch Multiplizieren
von γ 0 von links)
u † (/p † − m) = 0 =⇒ ū(γ 0 /p † γ 0 − m) = 0
Insgesamt erhält man
ū(p)(/p − m) = 0
¯v(p)(/p + m) = 0
3.6.3 Elektronspin
Um den Elektronenspin darstellen zu können, schreiben wir
(/p − m)u(p, s) = 0
u(p, s) ist dabei ein Spinor für die Lösung der Dirac-Gleichung mit positiver Energie
(wie oben) mit dem Impuls p µ und dem Spin s µ . Der Spin-4-Vektor s µ ist definiert im
Ruhesystem des Elektrons über den Polarisationsvektor ⃗s.
( )
ŝ µ 0
=
⃗s
Dabei bezeichnet der Hut die Größe im Ruhesystem. Im Ruhesystem gilt ebenfalls
( )
ˆp µ m
=
⃗0
Da ŝ ν ŝ ν = −⃗s 2 = −1 und ˆp ν ŝ ν = 0 gelten auch in jedem anderen System mit
s µ = Λ µ νŝ ν
p µ = Λ µ ν ˆp ν
die Beziehungen
s µ s µ = −1 p µ s µ = 0
76

Damit lässt sich die Vollständigkeitsbeziehungen schreiben als
∑
s
u(p, s)ū(p, s) = / p + m
2m
∑
s
v(p, s)¯v(p, s) = / p − m
2m
3.6.4 Projektoren für Energie und Spin
Gesucht sind Operatoren, die aus einer gegebenen Lösung die vier unabhängigen Lösungen
zu positiver oder negativer und zu Spin ↑ und Spin ↓ herausprojezieren. Sie sollen
kovariant formuliert sein.
(a) Projektor der Energie: Der Operator
Λ ± = ± /p + m
2m
projiziert auf Eigenzustände mit positiver (+) / negativer (-) Energie.
Beweis: Es ist
( ) ± /p + m 2
p
Λ 2 ± =
= / 2 + m 2 ± 2/pm
2m
4m 2
= 2m(m ± /p)
4m 2 = Λ ±
da /p 2 = p µ p µ = m 2 und weiterhin
Λ + Λ − = 0 Λ + + Λ − = 1
Also ist Λ ± ein Projektor, der die gewünschten Eigenschaften erfüllt.
(b) Projektor auf Spin: Der Operator
Σ(s) = 1 + γ 5/s
2
projiziert auf Eigenzustände mit Spin s. Um dies zu sehen, wechseln wir wieder ins
Ruhesystem (da wir nur dort eine Vorstellung vom Spin besitzen). Wir betrachten
einen Spin in z-Richtung:
ŝ µ = (0, 0, 0, 1) T =: u µ z
Diesen Vektor u z können wir jetzt benutzen, um die Operatoren Σ zu definieren, die
77

einen Zustand auf Spin nach oben oder Spin nach unten projizieren. Es ist
Σ(u z ) = 1 + γ 5(−γ 3 )
2
=
1 +
( )
σ 3 0
0 −σ 3
2
⎛
1
=
⎜
⎝
0
0
⎞
⎟
⎠
1
und analog
⎛
0
Σ(−u z ) =
⎜
⎝
1
1
⎞
⎟
⎠
0
Wir erhalten also
Σ(u z )(1, 0, 0, 0) T = (1, 0, 0, 0) T
Σ(u z )(0, 0, 0, 1) T = (0, 0, 0, 1) T
Σ(−u z )(0, 1, 0, 0) T = (0, 1, 0, 0) T
Σ(−u z )(0, 0, 1, 0) T = (0, 0, 1, 0) T
Bei den letzten beiden Spinoren scheint unsere Intuition verdreht.
Wieder können wir nachrechnen, dass Σ ein Projektor ist. Es ist
Σ(s) 2 = 1 + 2γ 5/s + γ 5 /sγ 5 /s
4
= 1 + γ 5/s
2
= Σ(s)
und
Σ(s)Σ(−s) = 0 Σ(s) + Σ(−s) = 1
3.7 Streuung von Elektronen am Coulomb-Potential
3.7.1 Differentieller Wirkungsquerschnitt in Born’scher Näherung
• Potential: V (r) = − Zα
r
• Streuamplitude
f(θ, ϕ) = A = − m 2π
∫
ψ † ⃗p ′ (⃗r) V (r) ψ ⃗p (⃗r) dV
elastische Streuung : p ′ 0 = p 0 = E, |⃗p| = |⃗p ′ |
78

• Dirac-Wellenfunktion:
ψ ⃗p (⃗r) = u(p, s) exp (−i (p 0 t − ⃗p⃗x))
•
Einsetzen von ψ ⃗p (x) in die Amplitude ergibt
dσ
dΩ = |A|2
A = − m ∫
u † (p ′ , s ′ ) exp (i (p ′
2π
0t − ⃗p ′ ⃗r)) V (r)u(p, s) exp (−i (p 0 t − ⃗p⃗r)) dV
(γ 0 ) 2 =1
= − m ∫
2π u (p′ , s ′ ) γ 0 u(p, s) V (r) exp (−i (⃗p ′ ⃗r − ⃗p⃗r)) dV
= − m 2π u (p′ , s ′ ) γ 0 u(p, s) Zα4π
|⃗p ′ − ⃗p| 2
⃗q=⃗p−⃗p ′
= − 2mZα
|⃗q| 2 u(p ′ , s ′ )γ 0 u(p, s)
=⇒ dσ
dΩ = 4Z2 m 2 α 2
|⃗q| 4 |u(p ′ , s ′ )γ 0 u(p, s)| 2
Bemerkung: I.A. wird der Spin des e − im einlaufenden Strahl nicht präpariert =⇒
Mittelung 50% Spin ↑, 50% Spin ↓. Spin des e − im Endzustand wird nicht gemessen
=⇒ Summation
dσ
dΩ = 4Z2 m 2 α 2 1 ∑
|u(p ′ , s ′ )γ 0 u(p, s)| 2
|⃗q| 4 2
s,s ′
3.7.2 Einschub: Berechnung von Spinormatrixelementen
(a) Betrachte: ∑ s,s ′ |u(p ′ , s ′ )Γu(p, s)| 2 mit Γ ∈ {1, γ µ , γ µ γ 5 , σ µν , γ 5 }. Also
∑
s,s ′ |u(p ′ , s ′ )Γu(p, s)| 2 = ∑ s,s ′ u(p ′ , s ′ )Γu(p, s) (u(p ′ , s ′ )Γu(p, s)) †
u † =γ 0 u
= ∑ s,s ′ u(p ′ , s ′ )Γu(p, s)u † (p, s)Γ † γ 0 u(p ′ , s ′ )
γ 0 γ 0 =1
= ∑ s,s ′ u α (p ′ , s ′ )Γ αβ u β (p, s)u γ (p, s)Γ γδ u δ (p ′ , s ′ )
(
Γ = γ 0 Γ † γ 0)
Vollständigkeit
=
(
p / ′ )
+ m
2m
(
p / ′ )
+ m
= Tr
2m
Γ/ p + m
2m Γ
79
(
p / + m
Γ αβ
δα
2m
)
Γ γδ
βγ

(b) Berechnung von Γ = γ 0 Γ † γ 0 . Verwende
{γ µ , γ ν } = 2g µν
γ 2 0 = 1
(
γ
0 ) †
= γ
0
(
γ
i ) †
= −γ
i
1 = 1
γ µ = γ µ
γ 5 = −γ 5
γ µ γ 5 = γ 5 γ µ = −γ 5 γ µ = γ µ γ 5
σ µν = − i 2 γ0 [γ µ , γ ν ] † γ 0
= − i 2 γ0 (
(γ ν ) † (γ µ ) † − (γ µ ) † (γ ν ) †) γ 0
= − i 2 [γν , γ µ ]
= i 2 [γµ , γ ν ]
= σ µν
/a/b . . . /p = /p . . . /b/a
= /p . . . /b/a
(c) Berechnung von Spuren
{γ µ , γ ν } = 2g µν =⇒ /a/b = −/b/a + 2ab
{γ 5 , γ ν } = 0 =⇒ γ 5 /a = −/aγ 5
Tr (AB . . . Z) = Tr (ZAB . . .)
Es gelten folgende Aussagen
(1) Die Spur über eine ungerade Anzahl von γ-Matrizen ist Null.
80

(2)
Tr(1) = 4
Tr ( /a/b ) = Tr ( /b/a )
= 1 2 Tr ( /a/b + /b/a )
= 1 Tr (2ab)
2
= 4ab
(3) Reduktion der Anzahl der γ−Matrizen um 2 mit n gerade
Tr ( )
/a 1
. . . /a n = a1 a 2 Tr ( )
/a 3
. . . /a n − a1 a 3 Tr ( )
/a 2
/a 4
. . . /a n
+ a 1 a 4 Tr ( )
/a 2
/a 3
/a 5
. . . /a n ∓ · · · + a1 a n Tr ( )
/a 2
. . . /a n−1
Tr ( )
/a 1
/a 2
/a 3
/a 4 = 4 [(a1 a 2 ) (a 3 a 4 ) − (a 1 a 3 )(a 2 a 4 ) + (a 1 a 4 )(a 2 a 3 )]
(4)
Tr (γ 5 ) = 0
Tr ( γ 5 /a/b ) = 0
Tr ( γ 5 /a/b/c/d ) = 4iε αβγδ a α b β c γ d δ
(5)
γ µ γ µ = 4
γ µ /aγ µ = −2/a
γ µ /a/bγ µ = 4ab
Also insgesamt
dσ
dΩ = 4Z2 m 2 α 2 1 ∑
|u(p ′ , s ′ )γ 0 u(p, s)| 2 = 4Z2 m 2 α 2 1
|⃗q| 4 2
|⃗q| 4 s,s ′
( /
2 Tr p ′ + m
2m
γ0 /p + m
2m γ0 )
3.7.3 Zurück zur Streuung am Coulomb-Potential
⎡
⎤
(
p / ′ )
+ m /p + m
Tr
2m
γ0 2m γ0 = 1
⎢
4m 2 ⎣ Tr ( /p ′ γ 0 /pγ 0) +m 2 Tr ( γ 0 γ 0)
⎥
} {{ } } {{ } ⎦
4(p ′ 0 p 0−p ′ p+p ′ 0 p =4
0)
81

Verwenden wir nun p ′ 0 = p 0 = E und
pp ′ = p 0 p ′ 0 − ⃗p⃗p ′ = p 2 0 − |⃗p| 2 cos θ
= m 2 + ⃗p 2 (1 − cos θ) = m 2 + ⃗p 2 · 2 sin 2 θ 2
Weiterhin sei ⃗p 2 = β 2 E 2 . Also
(
p / ′ )
+ m /p + m
Tr
2m
γ0 2m γ0 = 1 [
2E 2 − m 2 − 2β 2 E 2 sin 2 θ ]
m 2 2 + m2
=
(1 2E2 − β 2 sin 2 θ )
m 2 2
|⃗q| 2 = |⃗p| 2 (1 − cos θ) = 2|⃗p| 2 sin 2 θ 2
Damit ergibt sich für den Wirkungsquerschnitt
dσ
dΩ = 4Z2 α 2 m 2 1 2E
(1 2
− β 2 sin 2 θ )
16|⃗p| 4 sin 4 θ 2 m 2 2
2
(
Z 2 α 2
=
1 − β 2 sin 2 θ )
Mottscher Streuquerschnitt
4|⃗p| 2 β 2 sin 4 θ 2
2
β → 0 liefert den schon bekannten Rutherford-Streuquerschnitt.
3.8 Dirac-Gleichung und Wasserstoffatom
Die Energie ist proportional zu mα 2 , was sehr viel kleiner als m ist. Es sind in unserer
Dirac-Gleichung also nur die positiven Energien relevant. Wir haben jetzt zwei Möglichkeiten,
die Lösung dieses Problems zu finden.
3.8.1 Foldy-Wouthuysen-Transformation
Die genannte Transformation hat die Form ψ ′ = e iS ψ und der Hamiltonoperator H ′ =
e iS He −iS . S soll so konstruiert sein, dass die Dirac-Gleichung in zwei 2-komponentige
Gleichungen zerfällt. Damit soll eine systematische Entwicklung in v/c durchgeführt werden.
Der erste Term wird der Pauli-Gleichung entsprechen. Die folgenden Terme entsprechen
dann der Feinstruktur aus Kapitel 2 und noch höheren Ordnungen. Wir können die
Dirac-Gleichung außerdem so umschreiben, dass die Wechselwirkung zwischen Elektronen
und dem elektrischen Feld nicht-relativistische und anschauliche Gestalt hat. Wir wollen
alle diese Punkte hier jedoch nicht ausführen. Stattdessen betrachten wir die zweite
Möglichkeit:
82

3.8.2 Lösung der Dirac-Gleichung für das Potential V c = − Zα
r
Die Dirac-Gleichung lautet dann:
Hψ = [⃗α⃗p + βm + V c (R)] ψ = Eψ
Die Lösung geschieht analog zum Weg bei der Schrödingergleichung:
(a) Zuerst wird eine Variablenseparation (Winkelanteile) durchgeführt. Wir wissen, dass
( )
[H, J] ⃗ = 0 J ⃗ = L ⃗ + S ⃗ = L ⃗
1 ⃗σ 0 +
2 0 ⃗σ
Es können also gemeinsame Eigenfunktionen zu H, ⃗ J 2 und J z konstruiert werden
mit den Eigenwerten E, 2 j(j + 1) und m. Wir machen also den Ansatz für den
Lösungsspinor
( )
ϕ
ψ =
χ
und können dann die Winkelanteile wie in der Pauli-Gleichung durch die Wurzeln
ausgedrückt werden wie folgt:
j = l + 1 2
j = l − 1 2
⎛
j,m = ⎝√
ϕ (+)
⎛
ϕ (−)
j,m = ⎝
√
l+1/2+m
⎞
Y
2l+1 l,m−1/2
⎠
Y
2l+1 l,m+1/2
l+1/2−m
√
l+1/2−m
√
−
⎞
⎠
Y
2l+1 l,m+1/2
2l+1
Y l,m−1/2
l+1/2+m
hässlichen
(b) Danach muss nur noch der Radialanteil betrachtet werden. Wir machen also den
Ansatz
ψ(r) =
( ) ( )
A (+) (r)ϕ (+) A (−) (r)ϕ (−)
+
B (−) (r)ϕ (−) B (+) (r)ϕ (+)
Man erhält also zwei gekoppelte Differenzialgleichungen mit jeweils zwei Variablen.
Wie in der Schrödingergleichung erhält man über einen Potenzreihenansatz und die
Forderung der Normierbarkeit eine Lösung. Sie soll hier nur angegeben werden:
E n =
√
(
m
1 +
√
) 2
Zα
n−(j+1/2)+ (j+1/2) 2 −Z 2 α 2
83

(c) Da die Lösung so kompliziert ist, soll sie hier diskutiert werden. Wir entwickeln zuerst
bis zu 4. Ordnung in Zα und erhalten:
( ) )
E n ≈ m
(1 − (Zα)2 3
+
2n 2 8n − 1
(Zα) 4 + O((Zα) 6 )
4 (2j + 1)n 3
Dies stimmt ein mit der Lösung für die Schrödingergleichung und der Feinstruktur.
Für n = 1 enthält man sofort j = 1/2 und damit E 1 = m √ 1 − (Zα) 2 . Für n =
2 sind die Zustände S 1/2 und P 1/2 immer noch entartet (die Entartung wird erst
durch die Lamb-Verschiebung aufgehoben, die nicht Teil dieser Theorie sein kann.
Deswegen lohnt es sich nicht, weitere Ordnungen in Zα zu betrachten, da diese
Störung außerhalb der Theorie sogar noch größer ist).
3.9 Klein’sches Paradoxon
Wir betrachten im Folgenden eine Potentialstufe
⎧
⎨0 z < 0
V (z) =
⎩V 0 z ≥ 0
mit einem V 0 > 0. Das einlaufende Elektron (also besser gesagt die Welle als die wir es
behandeln) von links soll eine Energie zwischen 0 und V 0 besitzen. Der Spin soll nach
oben ausgerichtet sein. Wir lösen wieder wie früher in beiden Gebieten einzeln. Zuerst im
Gebiet ohne Potential. Nach der Lösung für ein freies Elektron von oben und mit
⃗p = p z σ z =
(
1 0
0 −1
)
⃗p = ⃗ k = ⃗ k
p 0 = E
erhält man für die einlaufende Welle
⎛ ⎞
1
ψ1 ein = Ae ik 1z
0
⎜ k 1 ⎟
⎝ ⎠
E+m
0
k 2 1 = E 2 − m 2 von p µ p µ = m 2
84

und für die auslaufende Welle:
ψ ref
1 = Be −ik 1z
⎛
⎜
⎝
1
0
− k 1
E+m
0
⎞
⎛
⎟
⎠ + B′ e −ik 1z
⎜
⎝
0
1
0
k 1
E+m
da sich auch der Spin ändern könnte. Für das zweite Gebiet erhalten wir die Lösung
analog, da das Potential V 0 zu einer nullten Komponente im Vektorpotenial führt (mit
eφ = V 0 ). Der Impuls muss also in der nullten Komponente um −V 0 verschoben werden.
Es ist dann
⎞
⎟
⎠
k 2 2 = (E − V 0 ) 2 − m 2 = (E − m − V 0 )(E + m − V 0 )
und die Lösung
ψ trans
2 = De ik 2z
⎛
⎜
⎝
1
0
k 2
E−V 0 +m
0
⎞
⎛
⎟
⎠ + D′ e ik 2z
⎜
⎝
0
1
0
− k 2
E−V 0 +m
⎞
⎟
⎠
Wieder fordern wir die Stetigkeit der Wellenfunktion bei z = 0. Man erhält dann vier
Gleichungen
A + B = D
k 1
B ′ = D ′
(A − B)
E + m = D k 2
E − V 0 + m
B ′ k 1
E + m = D′ −k 2
E − V 0 + m
Aus Gleichung 2 und 4 erhalten wir sofort, dass B ′ = D ′ = 0 gelten muss, dass es also
zu keiner Spinumklappung kommt. Wenn |E − V 0 | < m ist k 2 imaginär und es existiert
ein exponentiell gedämpfte Lösung im Gebiet mit Potential. Aber falls V 0 > E + m ist k 2
reell und es kommt zu einer Oszillation im Gebiet mit Potential!
Wir wollen weiterhin den transmittierten / reflektierten Strom betrachten. Er ist gegeben
durch ⃗j = ψ † α 3 ψ⃗e z . Man erhält
j trans
j ein
=
4r
(1 + r) 2 j ref
j ein
=
(1 − r)2
(1 + r) 2 = 1 − j trans
j ein
r = k 2
k 1
E + m
E − V 0 + m
und hat die Form wie in der Schrödingergleichung. Die Wahrscheinlichkeit ist erhalten.
85

Für V 0 > E + m ist r < 0. Dann ist j trans < 0 und damit j ref > j ein was ein Widerspruch
ist! Dies nennt sich das Klein’sche Paradoxon und kann nur durch das Verstehen der
Lösungen der Dirac-Gleichung zu negativen Energien gelöst werden.
3.10 Löcher-Theorie / Ladungskonjugation
3.10.1 Interpretation der Zustände mit E < 0
(a) Es existieren Lösungen der Diracgleichung für negative Energien. Prinzipiell würde
jedes Elektron mit E > 0 den Übergang zu einem Zustand E < 0 durchführen
können. Die Materie wäre also nicht stabil.
(b) Der Ausweg ist die s.g. Löchertheorie (Dirac 1930). Sie sagt aus, dass alle Zustände
mit E < 0 unter Beachtung des Pauli-Prinzips durch Elektronen besetzt sind. Der
Vakuum-Zustand hätte dann die Form
mc 2
E
unbesetzte Zustände
0
−mc 2
besetzte Zustände
DIRAC-See
Abbildung 3.1: Vakuumzustand in der Löchertheorie
Die Materie ist stabil, da bei E < 0 kein Elektron untergebracht werden kann (Pauli-
Prinzip).
(c) Aus diesem Modell folgern einige Vorhersagen, die experimentell überprüft werden
müssen. Wir könnten uns also vorstellen, dass ein Photon auf die schon besetzten
Zustände trifft und absorbiert wird. Dabei wird ein Elektron in den positiven Energiebereich
gehoben.
86

mc 2
E
e − γ
0
−mc 2
Abbildung 3.2: Vakuumzustand in der Löchertheorie
Es ist also ein Elektron mit der Energie −|e| und E < 0 freigeworden. Das Loch
im ”Dirac-See” entspricht also jetzt (relativ zum Vakuum) der Anwesenheit eines
Elektrons mit Ladung +|e| und E > 0 (nennt sich Positron). Dieser Vorgang nennt
sich Paarerzeugung von (e + e − ). Dies kann auch experimentell beobachtet werden!
• Die Vorhersage war die Existenz des Positrons, das zwei Jahre später (1932)
durch Anderson experimentell nachgewiesen wurde.
• Löchertheorie → Mehrteilchen-Theorie. Dirac-Gleichung ist keine Gleichung für
1-Teilchen-Wellenfunktion.
3.10.2 Ladungskonjugation
Ziel: Konstruktion der Wellenfunktion eines e + aus der Wellenfunktion von e − mit E < 0.
Dirac-Gleichung für e − gibt
(
i /∂ − e /A + m ) ψ = 0
für e + ergibt sich dann
(
i /∂ + e /A + m ) ψ C = 0
Im Prinzip hätten wir auch die Gleichung für e + als Startpunkt nehmen können.
Aufgabe: Konstruiere Operator, der die beiden Gleichung ineinander überführt. Ändern
wir das Vorzeichen der komplex konjugierten Dirac-Gleichung für e − , so erhalten wir
[(i∂ µ + eA µ ) (γ µ ) ∗ − m] ψ ∗ = 0
Suche Matrix C · γ 0 mit
( ) Cγ
0
(γ µ ) ∗ ( Cγ 0) −1
= −γ
µ
partielle
Ableitungen
sind
∂, nicht δ
87

Wir fügen vor dem ψ ∗ eine 1 = (Cγ 0 ) −1 (Cγ 0 ) ein und multiplizieren von links mit Cγ 0
und erhalten
(
i /∂ + e /A + m ) Cγ 0 ψ ∗ = 0
Mit
Behauptungen:
ψ C = Cγ 0 ψ ∗ = Cψ T
C = iγ 2 γ 0 = −C −1 = −C † = −C T
in Dirac-Darstellung.
Beweis:
CC −1 = iγ 2 γ 0 (−1)iγ 2 γ 0
= −γ 2 γ 2 γ 0 γ 0
= 1
C † = −i ( γ 0) † ( ) γ
2 †
= −iγ ( 0 −γ 2)
= −iγ 2 γ 0
= −C
C T = i ( γ 0) T ( ) γ
2 T
= iγ 0 γ 2
= −C
In den ersten beiden Aussagen haben wir keine spezielle Darstellung benutzt, diese wird
erst bei C T benutzt. In Dirac-Darstellung gilt (γ 0 ) T = γ 0 , (γ 2 ) T = γ 2 . Weiterhin gilt
( ) γ
0 ∗
= γ
0
( ) γ
2 ∗
= −γ
2
( ) γ
1 ∗
= γ
1
( ) γ
3 ∗
= γ
3
Damit folgt
(
Cγ
0 ) −1
=
(
γ
0 ) −1
C −1 = −γ 0 C
88

und daraus
Cγ ( 0 γ 0) ∗ ( ) Cγ
0 −1
= Cγ 0 γ 0 (−1)γ 0 C
= −iγ 2 γ 0 γ 0 iγ 2 γ 0
= −γ 0
Cγ 0 (γ χ ) ∗ ( Cγ 0) −1
= Cγ 0 γ χ (−1)γ 0 C χ ∈ {1, 3}
= γ 2 γ χ γ 0 γ 2 γ 0
= −γ χ
Cγ ( 0 γ 2) ∗ ( ) Cγ
0 −1
= iγ 2 γ 0 γ ( 0 −γ 2) (−1)γ 0 iγ 2 γ 0
= −γ 2 γ 2 γ 0 γ 2 γ 0
= −γ 2
Wende ψ C = Cγ 0 ψ ∗ auf freie e − (in Ruhe) Lösung an (mit E < 0).
⎛ ⎞
0
ψ (4) =
0
⎜
⎝0
⎟
⎠ eimt (3.4)
1
⎛ ⎞
1
ψ C = iγ ( 2 ψ (4)) ∗ = 0
⎜
⎝0
⎟
⎠ e−imt = ψ (1) (3.5)
0
(3.4) Loch im See = Abwesenheit von e − mit E < 0 und Spin ↓ ⇐⇒ Positron mit E > 0
und Spin ↑. ψ C = iγ 2 ψ ∗ für die Spinoren u und v
u C (p, s) = Cu T (p, s)
= v(p, s)
v C (p, s) = u(p, s)
Interpretation der Spinoren u und v:
u(p, s) ist ein einlaufendes e − und u(p, s) ist ein auslaufendes e − . Matrixelemente uΓu
v(p, s) ist ein auslaufendes e + und v(p, s) ist ein einlaufendes e + . Matrixelemente vΓv
Matrixelemente bei Paarerzeugung vΓu und bei Paarvernichtung uΓv.
89

Beispiel
e + e − → µ + µ −
A = e v E γ µ u E } {{ }
Elektron
g µν
q 2
}{{}
Propagator
e u M γ ν v M } {{ }
Myon
q = p 1 + p 2
90

Kapitel 4
Zeitabhängige Phänomene
4.0 Wiederholung: Stationäre Störungstheorie
Gegeben: H = H 0 + λH 1
• H 0 : Eigenwerte und Eigenfunktionen bekannt H 0 |n (0) 〉 = E (0)
n |n (0) 〉 mit 〈m (0) |n (0) 〉 =
δ mn und ∑ n
|n (0) 〉 〈n (0) | = 1
• λH 1 ist eine ” kleine ” Störung.
Ziel: näherungsweise Lösung von H |n〉 = (H 0 + λH 1 ) |n〉 = E n |n〉. Annahme: |n〉 und
E n lassen sich in Potenzreihen in λ entwickeln.
E n =
∞∑
j=0
E (j)
n λ j |n〉 =
∞∑
|n (0) 〉 λ j (4.1)
j=0
mit
〈n (0) |n (j) 〉 = 0 j ≥ 1
4.0.1 Nicht-entarteter Fall
• Setze (4.1) in H |n〉 = E n |n〉 ein, sortiere nach Potenzen von λ
• Man multipliziert mit 〈n (0) | und erhält daraus Terme für die Energie. Multiplikation
mit 〈m (0) | und Summierung über alle anderen Zustände außer n liefert die gestörten
Wellenfunktionen. Genauer erhält man also
E (r)
n = 〈n (0) |H 1 |n (r−1) 〉
91

oder für die ersten beiden Ordnungen:
4.0.2 Entarteter Fall
Diesmal ist wieder
E n (1) = 〈n (0) | H 1 |n (0) 〉 |n (1) 〉 = ∑ |m (0) 〉 〈m(0) | H 1 |n (0) 〉
m≠n
E n (0) − E m
(0)
H 0 |n, k〉 (0) = E (0)
n |n, k〉 (0) k = 1, . . . , r
jedoch diesmal mit einem Entartungsgrad r. Wir gehen folgendermaßen vor:
• Die Matrix M ij = (0) 〈n, i| H 1 |n, j〉 (0) muss diagonalisiert werden.
ergeben sich dann aus den Eigen-
• Die gestörten Energien in erster Ordnung E (1)
n,k
werten dieser Matrix M.
• Es müssen jedoch neue Eigenzustände nullter Ordnung gewählt werden, sodass diese
Eigenzustände zu H 0 (sind sie sowieso, da sie alle Eigenzustand zum selben
Eigenwert von H 0 sind) und zu H 1 sind. Also wählen wir
˜ |n, k〉 (0) =
r∑
i=1
c (k)
i |n, i〉 (0)
mit c (k)
i
aus
M · ⃗c (k) = E n,k ⃗c (k)
4.1 Heisenberg-Darstellung / Wechselwirkungsbild
Da es im Folgenden einfacher ist, wechseln wir ins Heisenbergbild.
4.1.1 Zeitentwicklungsoperator
Im bisherigen wurden vorwiegend zeitunabhängige Hamiltonoperatoren besprochen. Die
Lösung für |ψ, t = 0〉 war aus der zeitunabhängigen Schrödingergleichung errechenbar und
für eine allgemeine Zeit ergab sich die Lösung
|ψ, t〉 = e −iHt/ |ψ, 0〉 = ∑ n
|n〉 e −iEnt/ 〈n|ψ, 0〉
also als Linearkombination der Zeitentwicklung der einzelnen Energieeigenzustände.
92

Jetzt wollen wir jedoch einen zeitabhängigen Hamiltonoperator besprechen, also
H(t) = H 0 + V (t)
Die allgemeine Lösung |ψ, t〉 der Schrödingergleichung
i ∂ |ψ, t〉 = H |ψ, t〉
∂t
kann formal folgendermaßen mit einem Operator U geschrieben werden:
|ψ, t〉 = U(t, t 0 ) |ψ, t 0 〉
Der Operator U heißt auch Zeitentwicklungsoperator. Er muss U(t 0 , t 0 ) = 1 erfüllen und
außerdem unitär sein. Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein, so erhält man für
U die Differentialgleichung
i ∂U(t, t 0)
∂t
= H(t)U(t, t 0 )
(a) Wir betrachten zuerst noch einmal den einfachen Fall, indem H nicht von der Zeit
abhängt. In diesem Fall ist U gerade gegeben durch
U(t, t 0 ) = e −iH(t−t 0)/
wie wir oben schon erhalten hatten.
(b) Falls H von der Zeit abhängt, so kann die Bestimmungsgleichung für U oben in eine
Integralgleichung umgeschrieben werden:
U(t, t 0 ) = 1 − i
∫ t
t 0
H(t ′ )U(t ′ , t 0 ) dt ′
Diese Gleichung kann zwar immer noch nicht nach U aufgelöst werden, aber die
Gleichung kann iterativ durch Einsetzen der Lösung gelöst werden (wie in der Streutheorie
in Theo D):
∫ t
U(t, t 0 ) = 1 − i ( i
dt ′ H(t ′ ) +
t 0
) 2 ∫ t
∫ t ′
dt ′ dt ′′ H(t ′ )H(t ′′ ) ± . . .
t 0 t 0
Integrale der Form ∫ t
t 0
dt ∫ ′ t ′
t 0
dt ′′ integrieren über ein Dreieck. Stattdessen können
wir auch über ein Quadrat integrieren (also beide Indizes von t 0 nach t) und durch
93

2 teilen. Dabei müssen wir sicherstellen, dass die beiden Hamiltonfunktionen nicht
ihren Platz tauschen in der Form, dass der Hamiltonoperator mit der größeren Zeit
wieder vorne steht, also
∫ t
∫ t
t 0
dt ′ ∫ t ′
t 0
dt ′′ H(t ′ )H(t ′′ ) = 1 2
t 0
dt ′ ∫ t
t 0
⎧
⎨ H(t ′ )H(t ′′ ) für t ′ > t ′′
dt ′′ ⎩H(t ′′ )H(t ′ ) für t ′ ≤ t ′′
Wir definieren den Zeitordnungsoperator T mit
⎧
⎨H(t 1 )H(t 2 ) für t 1 > t 2
T (H(t 1 )H(t 2 )) =
⎩H(t 2 )H(t 1 ) für t 1 ≤ t 2
und induktiv auch für beliebig viele Argumente. Wir können also die iterative Lösung
für U(t, t 0 ) auch schreiben als
[
U(t, t 0 ) = T · exp − i ∫ t
]
dt ′ H(t ′ )
t 0
Benutzt man die Reihendarstellung der e-Funktion, so erkennt man die iterative
Lösung von oben.
4.1.2 Heisenbergdarstellung / -bild
Im Heisenbergbild ist jeder Operator im Schrödingerbild definiert über
O H = U † (t, t 0 )O S U(t, t 0 )
wenn O S der Operator im Schrödingerbild und O H der im Heisenbergbild ist. Auch wenn
O S also nicht explizit von der Zeit abhängt, ist dies im Heisenbergbild gegeben. Jeder
Zustand im Heisenbergbild ist gegeben durch
|ψ〉 H
= U † (t, t 0 ) |ψ, t〉 S
= |ψ, t 0 〉 S
Die Wellenfunktion ist jetzt also nicht mehr zeitabhängig, dafür aber jetzt die Operatoren.
Es gilt
da
d
dt O H(t) = i [H H(t), O H (t)] +
( ) ∂OS
∂t
H
d
dt O H(t) = dU †
dt O SU + U † O S
dU
dt + U † ∂O S
∂t U
94

und wenn wir die Bestimmungsgleichung von U oben einsetzen:
( ) † ( ) ( 1
1
i HU O S U+U † O S
i HU ∂OS
+
∂t
)
H
= i
(
U † HUU † O S U − U † O S UU † HU ) ) ∂OS
+(
∂t
H
und damit die Behauptung, wenn wir die Definition für H H und O H einsetzen.
Wie oben schon gesagt ist |ψ〉 H
zeitunabhängig. Die Observablen (Erwartungswerte) sind
damit gleich geblieben
S 〈ψ, t| O S |ψ, t〉 S
= H 〈ψ| O H |ψ〉 H
Bemerkungen
(a) |ψ〉 ist im Heisenbergbild zeitunabhängig, dafür im Schrödingerbild zeitabhängig.
(b) Ein Operator O kann im Schrödingerbild zeitabhängig sein, aber selbst wenn er im
Schrödingerbild nicht von der Zeit abhängt, hängt O H von t ab.
(c) Falls H S im Schrödingerbild zeitunabhängig ist und [O S , H S ] = 0, dann sind beide
Operatoren O S und O H gleich. Insbesondere ist dann H S = H H .
Beispiel
ist
Wir betrachten ein Teilchen der Masse m im Potential V . Im Schrödingerbild
und im Heisenbergbild
Nach der Formel von oben ist
H S = p2 S
2m + V (x S, t)
H H = p2 H
2m + V (x H, t)
dx H
dt
= i [H H, x H ] = p H
m
und
dp H
dt
= i [H H, p H ] = −
∂V (x, t)
∂x
∣
∣
x=xH
Diese Gleichung entsprechen den Bewegungsgleichungen aus der klassischen Physik. Sie
sind eine Art Verallgemeinerung des Ehrenfest-Theorems.
4.1.3 Wechselwirkungsbild
Ziel des gesamten Kapitels ist die Entwicklung einer Störungstheorie für einen Hamiltonoperator
der Form
H = H 0 + V (t)
95

Bequem ist es jetzt, die Zeitentwicklung bezüglich H 0 von |ψ, t〉 S
abzuspalten. Dies nennt
sich dann Wechselwirkungsbild oder auch Diracbild. Die Transformationen sind also die
selben wie vom Schrödingerbild ins Heisenbergbild, jetzt jedoch statt U benutzt man nur
noch e −iH0t/ . Man erhält dann für einen Zustand
|ψ, t〉 I
= e iH 0t/ |ψ, t〉 S
und für einen Operator
V I (t) = e iH 0t/ V S (t)e −iH 0t/
Wir wollen die Schrödingergleichung für dieses Bild lösen. Im Schrödingerbild ist einfach
i ∂ ∂t |ψ, t〉 S = H S |ψ, t〉
und im Heisenbergbild noch einfacher
i ∂ ∂t |ψ, t〉 H = 0
da die Zustände nicht direkt von der Zeit abhängen. Im Wechselwirkungsbild ist jetzt
i ∂ ∂t |ψ, t〉 I = i i H 0e iH 0t/ |ψ, t〉 S
+e iH 0t/ (H 0 + V (t)) |ψ, t〉 S
= e iH 0t/ V (t) |ψ, t〉 S
= V I (t) |ψ, t〉 I
Zusammenfassung
Heisenbergbild WW-Bild Schrödingerbild
Zustand konstant Zeitentwicklung
durch V I gegeben
Operatoren Zeitentwicklung Zeitentwicklung
durch den Hamiltonoperator
durch H 0 bestimmt
bestimmt
Zeitabhängigkeit durch
den gesamten Hamiltonoperator
gegeben.
konstant (abgesehen von
expliziter Zeitabhängigkeit)
Im Allgemeinen kann die Schrödingergleichung im Wechselwirkungsbild nicht exakt gelöst
werden. Es sind deshalb Näherungen nötig.
96

4.2 Plötzliche Veränderung des Potentials
Dieser Abschnitt soll ein erstes Beispiel für einen zeitabhängigen Hamiltonoperator sein.
Wir können diesen einfachen Fall direkt berechnen ohne die Methode der Störungstheorie
entwickeln zu müssen. Ein physikalisches Beispiel ist der α-Zerfall. Wir betrachten also
z.B. einen Atomkern, der ein α-Teilchen emittiert. Die Elektronen müssen sich an die
neue Kernladung anpassen. Die Zeitskala des Zerfalls t α-Zerfall ist sehr viel kleiner als die
der Elektronenanpassung t e − -Anpassung. Unmittelbar nach dem Zerfall befinden sich die
Elektronen also erst einmal im gleichen Zustand wie vorher.
Die Frage, die wir mit dieser Rechnung beantworten wollen, ist wie groß die Wahrscheinlichkeit
ist, dass sich die Elektronen im neuen Grundzustand befinden.
Das Potential ist durch eine unstetige Funktion gegeben:
⎧
⎨0 t ≤ 0
V (t) =
⎩V
t ≥ t s
Was zwischen den beiden Zeitpunkten 0 und t S passiert ist irrelevant (das Potential
steigt irgendwie an), da diese Zeit sehr viel kleiner als die charakteristische Zeitskala zur
Umordnung des Systems ist (dieser Umstand nennt sich plötzlich).
Ein ursprünglicher stationärer Zustand |n 0 〉 ist gegeben durch H 0 . Seine Zeitentwicklung
ist
|n 0 , t〉 = e −iEnt/ |n 0 〉
Ein stationärer Zustand im neuen System ist gegeben durch H 0 + V mit
|¯n, t〉 = e −iĒ¯nt/ |¯n〉
Das System sei am Anfang im Zustand |ψ〉. Da t S ≪ t char. ist das System auch unmittelbar
nach dem ”Einschalten” des Potentials im Zustand |ψ, t = 0〉. Die Zeitentwicklung ist jetzt
aber nicht mehr durch H 0 , sondern durch das neue H 0 + V (also |¯n〉) gegeben.
| ¯ψ, 0〉 = |ψ, 0〉
| ¯ψ, t〉 = ∑¯n
e −iĒ¯nt/ |¯n〉 〈¯n|ψ, 0〉
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der neue Zustand | ¯ψ〉 in einem Eigenzustand |¯n〉 befindet,
ist dann gegeben durch
P ¯ψ→¯n = | 〈¯n|ψ, 0〉 | 2
97

4.3 Formalismus der zeitabhängigen Störungstheorie
Wir betrachten im Folgenden einen Hamiltonoperator der Form
H(t) = H 0 + V (t)
Wir wollen annehmen, dass V (t) ”klein” gegenüber H 0 ist (also die Matrixelemente der
beiden Operatoren). Die Störung V (t) soll für Zeiten t < t 0 verschwinden.
Für t ≤ t 0 ist die Schrödingergleichung gegeben durch
i ∂ ∂t |ψ0 , t〉 = H 0 |ψ 0 , t〉
Für größere Zeiten kommt die Störung mit dazu
i ∂ ∂t |ψ, t〉 = (H 0 + V ) |ψ, t〉
Zum Zeitpunkt t = t 0 müssen die beiden Zustände zusammenfallen:
|ψ 0 , t 0 〉 = |ψ, t 0 〉
Wir wechseln zur Lösung des Problems ins Wechselwirkungsbild. Im neuen System mit
Störung lautet dann die Zustandsgleichung:
i ∂ ∂t |ψ, t〉 I = V I |ψ, t〉 I
mit den Definitionen von oben. Diese Gleichung lässt sich umschreiben in eine Integralgleichung:
|ψ, t〉 I
= |ψ, t 0 〉 I
+ 1 ∫ t
i t 0
dt ′ V I (t ′ ) |ψ, t〉 I
Wieder können wir diese Gleichung iterativ lösen und kommen auf eine ähnliche Lösung
wie in der Einleitung beschrieben:
|ψ, t〉 I
= |ψ, t 0 〉 I
+ 1 ∫ t
( ) 2 ∫ 1 t ∫ t ′
dt ′ V I (t ′ ) |ψ, t 0 〉
i
I
+ dt ′ V I (t ′ ) dt ′′ V I (t ′ )V I (t ′′ ) |ψ, t 0 〉
t 0
i
I
+. . .
t 0 t 0
Dies ist eine systematische Entwicklung der Lösung in V I und da V I als klein angenommen
wurde, können wir diese Rechnung nach einer gewissen Ordnung abbrechen. Diese
Entwicklung nennt sich Neumann- oder Dyson-Reihe.
98

4.4 Störungstheorie 1. Ordnung
4.4.1 Übergangsamplitude zwischen stationären Zuständen
Wir setzen t 0 zur Vereinfachung Null. Für t < 0 sei das System im Eigenzustand |m〉 von
H 0 . Die Zeitentwicklung ist dann
|m, t〉 = e −iEmt/ |m〉
Gesucht ist jetzt die Übergangsamplitude in den Eigenzustand |n〉 von H 0 nach dem
Wirken von V (t). In erster Ordnung Störungstheorie ist der neue Zustand im WW-Bild
gegeben durch
da
|ψ, t〉 I
= |m〉 + 1 ∫ t
i 0
dt ′ V I (t ′ ) |m〉
|ψ, 0〉 I
= e iH 0t/ |m, t〉 ∣ ∣
t=0
= |m, t = 0〉 = |m〉
Die Übergangswahrscheinlichkeit für eine Zeit t > 0 ist gegeben durch mit der Zeitentwicklung
des |n〉-Zustandes:
Die Störungstheorie eingesetzt ergibt sich:
〈n, t|ψ, t〉 = 〈n| e iH 0t/ |ψ, t〉
} {{ }
=|ψ,t〉 I
= 〈n|ψ, t〉
= δ nm + 1 ∫ t
i 0
dt ′ 〈n| V I (t ′ ) |m〉
Setzen wir die Definition des Potentials im Wechselwirkungsbild ein, so erhalten wir
Hamiltonoperatoren im Exponenten, welche wir wieder auf die beiden Eigenzustände n
und m wirken lassen können:
= δ nm + 1 ∫ t
i 0
dt ′ e i(En−Em)t′ / 〈n| V (t ′ ) |m〉
Die Übergangswahrscheinlichkeit P mn (t) für den Übergang des Zustandes m nach n (für
m ≠ n) ist dann gegeben durch
P mn (t) = 1 2 ∣ ∣∣∣
∫ t
0
dt ′ e i(En−Em)t′ / 〈n| V (t ′ ) |m〉
∣
99
2

4.4.2 Übergang in Kontinuum
(a) Wir versuchen P mn (t) auf Übergange in ein kontinuierliches Spektrum anzuwenden.
Physikalische Beispiele wären die Streuung einen Teilchens mit Impuls ⃗ k auf den Impuls
⃗ k ′ (die 1. Ordnung Störungstheorie entspricht gerade der Bornschen Näherung).
oder wiederum der α-Zerfall (bei ihm ist der Impuls des α-Teilchens kontinuierlich).
Ein weiteres Beispiel ist das Helium-Atom, indem sich beide Elektronen im
2S-Zustand befinden (man könnte dann berechnen wie groß die Wahrscheinlichkeit
ist, dass ein Elektron in den 1S-Zustand fällt und eines das Atom verlässt und frei
ist).
Wir betrachten zunächst ein stufenförmiges Potential mit V (t) = V ·Θ(t). Die Wahrscheinlichkeit
ist dann nach der Formel von oben gegeben. Die Zeitabhängigkeit im
Potential verschwindet und das Integral ist lösbar. Wir setzen ω mn = En−Em
erhalten:
P mn (t) = 1 ∣ ∣ ∣∣∣ e iωmnt − 1 ∣∣∣
2
2 ω mn
|〈n| V |m〉| 2 = 1 2 ∣ ∣∣∣ sin(ω nm t)
ω mn /2
∣
2
|〈n| V |m〉| 2
und
(b) Uns interessiert das Verhalten für große Zeiten (also t → ∞), weshalb wir einen
mathematischen Einschub machen. Wir betrachten die Funktion
δ t (α) = sin2 (αt)
πα 2 t
Abbildung 4.1: Ein Plot der Funktion δ t (α) für verschiedene t-Werte. Verdoppelt man t,
so wird das Maximum doppelt so hoch.
Wir erhalten einige Abschätzungen
δ t (0) = t π
δ t (α ≠ 0) ≤ 1
πα 2 t
∫ ∞
α=−∞
δ t (α) dα = 1
Man kann beweisen, dass δ t (α) für unendlich große t-Werte eine Darstellung der
δ-Funktion ist.
Wir erhalten also für unsere Wahrscheinlichkeit für große t:
P nm = 1 (
πtδ ωmn
)
|〈n| V |m〉| 2 = t 2π 2 2
δ(E n − E m ) |〈n| V |m〉| 2
100

Die Übergangsrate (also die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit) ist
Γ mn = P mn
t
= 2π δ(E n − E m ) |〈n| V |m〉| 2
Dies ist gerade Fermis Goldene Regel.
(c) Wir betrachten jetzt Übergange in eine ganze Gruppe von Zuständen. Dazu führen
wir die Zustandsdichte ρ ein:
ρ(E) = dN
dE
Sie beschreibt die Anzahl der Zustande im Intervall (E, E + dE). Die Zustandsdichte
muss als gegeben angenommen werden, weshalb wir unsere Teilchenzahl schreiben
können also
dN = ρ(E) dE
Außerdem nehmen wir an, dass das Übergangsmatrixelement 〈n| V |m〉 gleich für
alle Zustände im Intervall (E, E + dE) ist. Die totale Rate für den Übergang vom
Zustand m in eine ganze Gruppe n von Zuständen mit ungefähr der selben Energie
E ≈ E n ≈ E m ist dann
∫
∫
dN n Γ mn =
dE n ρ(E n )δ(E n − E m ) 2π |〈n| V |m〉|2 = ρ(E m ) 2π
|〈n| V |m〉|2
Wir haben gewisse Annahmen für die Energien gemacht. Das Intervall der betrachteten
Energien wurde größer als die Energieunterschiede ω mn angenommen und diese
wiederum größer als die einzelnen Energieunterschiede zwischen den E n in der kontinuierlichen
Gruppe. Dies wollen wir noch einmal genauer betrachten:
(d) Wir haben bei der Herleitung verwendet, dass
δ t (α) = sin2 αt
πα 2 t
→ δ(α)
mit
α = E n − E m
2
Die Funktion δ t hat Nullstellen, wenn der Sinus Null wird. Dies ist der Fall, wenn
αt = 2π =⇒ E n − E m = 4π
t
→ 0
für t → ∞
δ t hat also die Breite (die Entfernung zwischen den Nullstellen) von 4π . Viele der
t
betrachteten Zustände müssen zwischen diesen beiden Nullstellen (im ”Peak’) liegen
101

und die Zustandsdichte muss in diesem Bereich fast gleich sein, damit die Charakterisierung
durch die Zustandsdichte ρ(E) in Ordnung ist. Dies ist der Fall, wenn
die Breite der Zustandsdichte ∆E viel größer als die Breite von δ t ist. Außerdem
müssen die Zustände sehr dicht liegen - also die Separation der Zustände δɛ klein
sein. Insgesamt gilt die Regel also unter der Bedingung
∆E ≫ 4π
t
≫ δɛ
4.4.3 Periodische Störungen
Als Beispiel kann ein periodisches äußeres elektromagnetisches Feld dienen. Das Potential
hat also die Form (im Schrödingerbild)
V (t) = Θ(t) [ F e −iωt + F † e iωt]
wenn F ein bis jetzt noch nicht näher spezifizierter Operator ist. Wir gehen vor wie im
Abschnitt davor. Wieder sei für t = 0 nur der Zustand |m〉 besetzt. Wir betrachten nur
denn Fall n ≠ m. Wieder erhalten wir (diesmal nur mit einem anderen Potential) die
Übergangsamplitude
〈n, t|ψ, t〉 = 1 ∫ t
i 0
)
dt
(e ′ i(ωnm−ω)t′ 〈n| F |m〉 + e i(ωnm+ω)t′ 〈n| F † |m〉
mit
ω mn = E n − E m
Weiter ist dann analog wie oben (die Rechnung geht genauso)
|〈n, t|ψ, t〉| 2 = t 2π
2 (
δ(ωmn − ω)| 〈n| F |m〉 | 2 + δ(ω mn + ω)| 〈n| F † |m〉 | 2)
Der Interferenzterm wird Null, da die beiden Terme für t → ∞ auf zwei Delta-Funktionen
gehen welche einen verschiedenen Ort des Peaks haben. Die Übergangsrate ist dann (wenn
wir von ω noch zu E übergehen):
Γ mn = 2π
(
δ(En − E m − ω)| 〈n| F |m〉 | 2 + δ(E n − E m + ω)| 〈n| F † |m〉 | 2)
Analog kann man auch wieder die totale Rate berechnen:
∫
dN n Γ mn = 2π [
ρ(Em + ω)| 〈n| F |m〉 | 2 + ρ(E m − ω)| 〈n| F † |m〉 | 2]
102

Bemerkung: Es gilt weiterhin die Energieerhaltung - nur jetzt unter Einbeziehung des
Potentials. Der Term ρ(E m +ω) beschreibt dabei eine Absorption, der andere Term eine
Emission eines Photons mit ω.
4.5 Alternative Formulierung: Entwicklung nach Energieeigenzuständen
Wir wollen die Näherung noch alternativ herleiten.
4.5.1 Formalismus
Wieder starten wir mit der Schrödingergleichung im Wechselwirkungsbild
i ∂ ∂t |ψ, t〉 I = λV I(t) |ψ, t〉 I
mit dem Hamiltonoperator
H = H 0 + λV
Als Ansatz wählen wir jetzt (analog zur zeitunabhängigen Störungstheorie)
|ψ, t〉 I
= ∑ n
b n (t) |n〉
wobei die |n〉 Eigenzustände zum ungestörten Hamiltonoperator sind
H 0 |n〉 = E n |n〉
Die Entwicklungskoeffizienten beinhalten jetzt die gesamte Zeitabhängigkeit:
b n (t) = 〈n|ψ, t〉
Eingesetzt in die Schrödingergleichung im Wechselwirkungsbild ergibt sich:
i d dt b n(t) = 〈n| λV I (t) |ψ, t〉 I
= 〈n| λV I (t) ∑ k
b k (t) |k〉
= λ ∑ k
= λ ∑ k
b k (t) 〈n| V I |k〉
b k (t) exp [i(E n − E k )t/] 〈n| V |k〉
103

Jetzt benutzen wir Störungsrechnung und entwickeln nach Koeffizienten von λ:
b k = b (0)
k
+ λb (1)
k
+ λ 2 b (2)
k
+ . . .
Dies setzen wir ein und trennen nach verschiedenen Koeffizienten von λ:
0. Ordnung
Also hängen die b (0)
n
d
dt b(0) n = 0
nicht von der Zeit ab.
ν-te Ordnung
i d dt b(ν) n
= ∑ k
b (ν−1)
k
e i(En−Ek)t/ 〈n| V |k〉
Dies erlaubt uns also eine rekursive Berechnung der Koeffizienten.
4.5.2 Störungstheorie 1. Ordnung
Für t ≤ 0 befinde sich das System wie immer im Zustand |m〉. Gesucht ist wieder die
Übergangswahrscheinlichkeit in einen Zustand |n〉. Für die b i für t = 0 ergibt sich dann
direkt
b i (0) = δ im
für alle Ordnungen von λ. Also muss
b (0)
i (t = 0) = δ mi b (ν)
i (t = 0) = 0 ν ≠ 0
In der ersten Ordnung ergibt sich dann
i d dt b(1) j
= ∑ k
b (0)
k
ei(E j−E k )t/ 〈j| V |k〉 = e i(E j−E m)t/ 〈j| V |m〉
Diese Differentialgleichung ist recht einfach zu lösen. Man erhält:
b (1)
j = 1 ∫ t
i 0
dt ′ e i(E j−E m)t/ 〈j| V |m〉
Damit ergibt sich mit
|ψ, t〉 I
= ∑ n
b n |n〉 = |m〉 + λ ∑ k
b (1)
k
|k〉 + . . .
104

die Übergangsamplitude
〈n, t|ψ, t〉 = 〈n|ψ, t〉 I
= δ mn + λb (1)
n
= δ mn + λ i
∫ t
0
dt ′ e i(En−Em)t/ 〈n| V (t ′ ) |m〉
und damit die selbe Formel wie oben.
4.6 Anwendung: Wechselwirkung mit Strahlungsfeld,
Auswahlregeln
4.6.1 Emission und Absorption von Photonen
Wir wollen im Folgenden die Emission und Absorption von Photonen durch ein Atom besprechen.
Der Hamiltonoperator eines Elektrons im elektromagnetischen Feld ist gegeben
durch
H = 1 (
⃗p − eA(⃗r, 2m
⃗ 2
t))
+ eφ(⃗r, t) + V (⃗r) =: H0 + V (t)
für eine geeignete Wahl von H 0 und V (t) (siehe unten). V (⃗r) beschreibt dabei zum Beispiel
ein Coulomb-Potential. Für Atome mit mehreren Elektronen ist zum Beispiel
H 0 = ∑ i
⃗p 2 i
2m + V (⃗r i)
und
V (t) = ∑ i
− e {
⃗p i , A(⃗r
2m
⃗ }
i , t) + e2
A
2m ⃗2 + eΦ(⃗r i , t)
Im Weiteren benutzen wir die Coulomb-Eichung, also
[⃗p, ⃗ A] = 0
und führen die Ladungsdichte
ρ(⃗r) := ∑ i
δ(⃗r − ⃗r i )
und die Stromdichte
⃗j := 1 2
ein. Mit diesen Definitionen ergibt sich
∫
V (t) =
∑
i
{ }
⃗pi
m , δ(⃗r − ⃗r i)
−e⃗j(⃗r) ⃗ A(⃗r, t)d⃗r + . . .
105

Wir vernachlässigen die quadratischen Terme in A. Man kann zeigen, dass diese Terme
genau für 2-Photonen-Prozesse verantwortlich sind (welche wir hier nicht beachten wollen)
4.6.2 Hamiltonoperator des Strahlungsfelds
Elektromagnetische Strahlung beschreibt nichts anderes als Oszillationsvorgänge des elektromagnetischen
Feldes. Im Weiteren benötigen wir deshalb außer dem Hamiltonoperator
des Elektrons noch den des Strahlungsfeldes.
(a) Wir wollen V (t) als Summe über Eigenfrequenzen ausdrücken. Dazu betrachten wir
die beiden für uns wichtigen Maxwellgleichungen
⃗E = −∇Φ − ˙⃗ A
⃗B = ∇ × ⃗ A
und benutzen ein paar Vereinfachungen:
Abwesenheit von Quellen Damit ist zuerst einmal
Φ = 0
und außerdem
⃗A erfüllt also die freie Wellengleichung.
∇ · ⃗A = 0 =⇒ □ ⃗ A = 0,
Ansatz als Fourier-Reihe
⃗A(⃗r, t) = ∑ √
(
)
a ⃗k,λ ⃗ε ⃗k,λ e i(⃗ k·⃗r−ω ⃗k t) + a † ⃗
2kcV ε k,λ
⃗ε ⃗ ∗ k,λ
e −i(⃗ k·⃗r−ω ⃗k t)
0
⃗ k,λ
mit noch zu bestimmenden Koeffizienten a und ε.
(b) Bemerkungen:
• Es sei
ω ⃗k = c|k| = ck
Da ⃗ A die freie Wellengleichung erfüllt, muss auch gelten
□e i(⃗ k·⃗r−ω ⃗k t) = 0
106

Hierbei sind ⃗ε ⃗k,λ (mit λ = 1, 2) die so genannten Polarisationsvektoren mit
|⃗ε i | = 1 ⃗ε 1 · ⃗ε 2 = 0 ⃗ε 1 × ⃗ε 2 = ⃗ k
k
• Es besteht eine (gewünschte) Analogie zum harmonischen Oszillator. Für ihn
hat der Hamiltonoperator die Form
H HO = m ˙q2
2 + mω2
2 q2
mit
und
√
(
q = ae −iωt + a + e +iωt)
2mω
[a, a † ] = 1
Genauso sind auch die a in unserer Formel Aufsteige- und Absteigeoperatoren.
• Der Vorfaktor ist gegeben durch den Vergleich mit dem Harmonischen Oszillator.
Die einzelnen Energieniveaus ergeben sich zu
(
H HO = ω a † a + 1 )
2
und da für die Einheiten
[A] = Ns
C
[ ]
= N2 ms 2
kcV ε 0 mC 2
gilt, sind die Auf-und Absteigeoperatoren dimensionslos.
• Wir benutzen periodische Randbedingungen im Volumen V . Dies legt die möglichen
(diskreten) Werte für ⃗ k fest.
• Damit A reell wird, addieren wir noch den hermitesch konjugierten Anteil hinzu.
• a ⃗k,λ und a † ⃗ k,λ
sind die Vernichtungs- bzw. Erzeugungsoperatoren für Photonen
mit Wellenvektor ⃗ k und Polarisation λ. Es soll daher gelten
[a ⃗k,λ , a † ⃗ k ′ ,λ ′] = δ ⃗ k ⃗ k ′δ λλ ′
und [
a (†)
⃗ k,λ
, a (†)
⃗ k ′ ,λ ′ ]
= 0
wie für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren beim HO.
107

(c) Der Hamiltonoperator des freien Strahlungsfeldes ist also gegeben durch
H rad = ε 0
2
= V c2 ε 0
2
∫ (
⃗E 2 + c 2 ⃗ B
2)
d⃗r = c2 ε 0
2
∫ ⎛ ⎝ 1 c 2 ∣ ∣∣∣∣∣
∑
⃗ k,λ
∑
⃗ k,λ
(
| ˙⃗ A⃗k | 2 1 c 2 + |⃗ k × ⃗ A| 2 )
= ∑ ⃗ k,λ
ck
da wegen den periodischen Randbedingungen gilt
∫
e i⃗ k⃗r−i ⃗ k ′ ⃗r ′ d⃗r = V δ ⃗k ⃗ k ′
2
˙⃗A⃗k e i⃗ k⃗r
∣
(
a † ⃗ k,λ
a ⃗k,λ + 1 2
∑
2⎞
+
( ⃗ k × A ⃗ ⃗k )e i⃗ k⃗r
⎠ d⃗r
∣ ⃗ k,λ
∣
)
(d) Insgesamt ergibt sich für den Hamiltonoperator, der die Wechselwirkung von Materie
(Atomen) mit dem Strahlungsfeld beschreibt
H = H 0 + H rad + H 1
und H rad wie oben.
p 2 i
H 0 = ∑ 2m + V (⃗r i)
i
∫
H 1 = V (t) = (−e)⃗j · ⃗A d⃗r
4.6.3 Spontane Emission
Ein Elektron im Atom geht unter Aussendung eines Photons mit Wellenzahl ⃗ k und Polarisation
λ vom Zustand |m〉 in den Zustand |n〉 über. Also
|0〉 |m〉 → a † ⃗ k,λ
|0〉 |n〉
}{{}
Vakkuumzustand des Strahlenfeldes
(a) Zur Berechnung der Übergangsrate verwenden wir das schon berechnete Γ mn von
oben mit der Form
V (t) = Θ(t) ( F e −iωt + F † e iωt)
Dabei benutzen wir jetzt unser angesetztes Störpotential
∫
V (t) = Θ(t)
(−e)⃗j ⃗ Ad ⃗r
mit dem oben angesetzten ⃗ A, bei welchem der Term mit a ⃗k,λ aber gegen 0 geht, weil
108

a ⃗k,λ |0〉 = 0 ist. Dann gilt
∣ ∣∣∣∣∣ ∫
Γ m→n = | 〈0, n|a ⃗k,λ F † |0, m〉 | 2 = e 2 〈0, n|
√ 2 ∣ ∫ ∣∣∣
= e 2 〈n|
2kcV ε 0
⃗j ∑ √
a ⃗k,λ a † ⃗
2kcV ε k ′ ,λ ′⃗ε∗ ⃗ k,λ
e i⃗ k ′ ⃗r d⃗r |0, m〉
0 ⃗ k
∣
′ ,λ ′ 2
⃗j · ⃗ε ⃗ ∗ k,λ
e −i⃗k⃗r d⃗r |m〉
∣
2
und damit für die Übergangsrate
Γ m→n, ⃗ k,λ
= 2π ∫
e2 δ(E n − E m + ck)
2kcV ε 0
∣ 〈n|
d 3 r⃗j⃗ε ⃗ ∗ k,λ
e −i⃗k⃗r |m〉
∣
2
(b) Wir wollen die abgestrahlte Leistung betrachten. dP λ sei die Leistung, die in ein
Raumwinkelelement dΩ abgestrahlt wird. Es ist dann
dP λ = ∑
ω ⃗k
}{{}
⃗ k∈dΩ Energie eines Photons
Γ m→n, ⃗ k,λ
wobei Γ die Wahrscheinlichkeit pro Zeit ist, dass ein Photon mit der Wellenzahl ⃗ k
und Polarisation λ abgestrahlt wird. Wir betrachten eine Teilchen im Kasten mit
Volumen V . Die Abstände der möglichen ⃗ k-Werte ist proportional zu 1 (siehe QM
V
I). Für große Volumen können wir also von der Summe zum Integral übergehen:
∑
∫
→
⃗ k
d 3 k
V
(2π) 3
Außerdem benutzen wir Kugelkoordinanten, also
d 3 k = k 2 dk dΩ
Zur Abkürzung benutzen wir die Fouriertransformierte der Stromdichte (das ist genau
das auftretende Integral in unserer Formel):
∫
⃗j ⃗k = d 3 r⃗j(⃗r)e −i⃗ k⃗r
Wir setzen dies alles in die Formel ein und erhalten:
∫
dP λ = dΩ dk
k2 πe2
kc δ(E
(2π)
3 n −E m +ck)| 〈n|⃗j ⃗k ε⃗ ∗ kcε k,λ
|m〉 | 2 = dΩ k2 πe 2
| 〈n|⃗j
0 (2π) 3 ⃗k ε⃗ ∗ cε k,λ
|m〉 | 2
0
109

Dabei wurde die k-Integration ausgeführt, da dies mit der Delta-Funktion so einfach
ist (wenn man den Vorfaktor beachtet). Deswegen ist k festgelegt mit
k = E n − E m
c
(c) Wir betrachten die Formel für verschiedene Multipole. Für Atome gilt
⃗ k⃗r ≈ ka =
ω
c a = ∆E
c a
wenn a der Bohr-Radius ist. Die Energieunterschiede bei einem typischen Atom liegen
im Bereich mc 2 α 2 . Es ist dann
⃗
∆E k⃗r ≈
c a ≈ mc2 α 2
c mcα = α ≪ 1
Wir können also ⃗ k⃗r und die Exponentialfunktion entwickeln. Es ist dann vor allem
∫
〈n|⃗j ⃗k |m〉 =
(
)
d 3 r 〈n|⃗j(⃗r) 1 − i ⃗ k⃗r − (⃗ k⃗r) 2
+ . . . |m〉
2
∫
= 〈n|⃗j ⃗k=0 |m〉 − i 〈n|
d 3 r( ⃗ k⃗r)⃗j(⃗r) |m〉 + . . .
Der erste Term entspricht gerade den elektrischen Dipolübergängen. Der zweite Term
gibt uns Aufschluss über magnetische Dipole und elektrische Quadrupole.
4.6.4 Elektrische Dipolübergänge
(a) Wir definieren das Dipolmatrixelement:
∫
⃗j 0 =
∫
d 3 r⃗j(⃗r) =
d 3 r 1 2
∑
i
( ⃗pi
m δ(⃗r − ⃗r i) + δ(⃗r − ⃗r i ) ⃗p )
i
= ⃗p m m
wenn ⃗p der Impuls des Schwerpunktes ist. Wir kennen jedoch die Bewegungsgleichung
für den Schwerpunkt:
Damit ist
⃗p
m = i [
H 0 , R
⃗ ]
⃗R = ∑ i
⃗r i
〈n|⃗j 0 |m〉 = 〈n| ⃗p m |m〉 = i 〈n| [H 0, ⃗ R] |m〉 = i (E n − E m ) 〈n| ⃗ R |m〉
} {{ }
110
= ⃗ d nm

wobei ⃗ d nm das Dipol-Matrixelement definiert. Die abgestrahlte Leistung eines Photons
mit Wellenzahl ⃗ k und Polarisation λ ist dann
Bemerkungen:
dP λ
dΩ = e2 π 2
ω 2 ω 2 | d
(2π) 3 c 3 ε ⃗ nm ⃗ε ⃗ ∗ k,λ
| 2
} {{ 0
}
=F
• Die Leistung pro Raumelement ist proportional zur Frequenz hoch 4.
• Die Amplitude ist proportional zur Projektion von ⃗ d nm auf ⃗ε ∗ ⃗ k,λ
(also vor allem
auch von der Polarisation!)
• Das Matrixelement ⃗ d nm legt fest, ob Dipolübergänge möglich sind oder nicht
(Auswahlregeln).
(b) Im Folgenden wollen wir die Auswahlregeln für Dipolübergänge besprechen (also
Aussagen über das Verschwinden und Nicht-Verschwinden von ⃗ d nm ). Wir betrachten
dazu zuerst einige
Kommutatorrelationen
[L z , Z] = 0 [L z , X ± iY ] = (±X + iY )
Wir nehmen natürlich an, dass |n〉 und |m〉 Eigenzustände von L ⃗ 2 und L ⃗ z sind
und zwar mit den Eigenwerten l und m für |m〉 und l ′ , m ′ für |n〉. Für die
z-Komponente von d nm erhalten wir dann mit
0 = 〈n| [L z , Z] |m〉 = 〈n| L z Z |m〉 − 〈n| ZL z |m〉
das Ergebnis
〈l ′ , m ′ | Z |l, m〉 (m − m ′ ) = 0
und analog in den anderen beiden Komponenten
〈l ′ , m ′ | X+iY |l, m〉 (m ′ −(m+1)) = 0 〈l ′ , m ′ | X−iY |l, m〉 (m ′ −(m−1)) = 0
Damit jetzt Dipolübergänge möglich sind, muss für mindestens eine Komponente
d nm nicht verschwinden. Da die Gleichungen aber erfüllt sein müssen, muss
die jeweils andere Klammer verschwinden. Es muss also gelten
m = m ′ oder m = m ′ ± 1
111

Antikommutatorrelationen Es ist
[ ⃗ L 2 , [ ⃗ L 2 , ⃗ R]] = 2 2 { ⃗ R, ⃗ L 2 }
Wir benutzen den selben Trick wie oben. Zuerst für die linke Seite
〈l ′ , m ′ | [ ⃗ L 2 , [ ⃗ L 2 , ⃗ R]] |l, m〉 = 2 (l ′ (l ′ + 1) − l(l + 1)) 〈l ′ , m ′ | [ ⃗ L 2 , ⃗ R] |l, m〉
= 4 (l ′ (l ′ + 1) − l(l + 1)) 2 〈l ′ , m ′ | ⃗ R |l, m〉
und dann für die rechte:
〈l ′ , m ′ | 2 2 { ⃗ R, ⃗ L 2 } |l, m〉 = 2 4 (l(l + 1) + l ′ (l ′ + 1)) 〈l ′ , m ′ | ⃗ R |l, m〉
Insgesamt erhalten wir nach etwas ausklammern:
0 = 〈l ′ , m ′ | ⃗ R |l, m〉 (l + l ′ )(l + l ′ + 2)((l − l ′ ) 2 + 1)
Dabei ist (l + l ′ + 2) immer ungleich Null, da l, l ′ positiv sind. Weiterhin gilt
l + l ′ = 0 nur für l = l ′ = 0. Dann ist aber auch 〈0, 0| ⃗ R |0, 0〉 = 0 und damit
auch wieder ⃗ d nm . Der einzige mögliche Fall ist also
l = l ′ ± 1
(c) Polarisation der emittierten Strahlung
(1) Wenn m = m ′ , dann ist d ⃗ nm nur in ⃗e z ungleich Null. Damit erhalten wir linear
polarisiertes Licht in der ⃗e z - ⃗ k-Ebene (da in allen anderen Fällen das Skalarprodukt
zwischen d ⃗ nm und ⃗ε verschwindet). Insbesondere erhält man in z-Richtung
keine Strahlung.
(2) Falls jedoch m = m ′ ± 1, dann verschwindet nur die z-Komponente von d ⃗ nm .
Dann kann das Matrixelement 〈l ′ , m ′ | X ± iY |l, m〉 nicht verschwindet, dafür
muss das Matrixelement 〈l ′ , m ′ | X∓iY |l, m〉 und das Matrixelement 〈l ′ , m ′ | Z |l, m〉
verschwinden. Aus der Beziehung für das zweite Matrixelement folgt
〈l ′ , m ′ | Y |l, m〉 = ∓i 〈l ′ , m ′ | X |l, m〉
und damit ist das Dipolmatrixelement d ⃗ nm proportional zu (1, ∓i, 0) T . Zeigt ⃗ k
in z-Richtung, so liegen ⃗ε 1 und ⃗ε 2 beide in der x-y-Ebene. Dann ergibt sich
zirkular polarisiertes Licht. Wenn ⃗ k jetzt jedoch in x-Richtung zeigt, dann zeigt
112

zum Beispiel ⃗ε 1 in y-Richtung und ⃗ε 2 in z-Richtung und es ergibt sich linear
polarisiertes Licht. Bei allem Zwischenfällen kommt es zu elliptisch polarisiertem
Licht.
(d) Konsequenzen der Auswahlregeln
Es ergeben sich einige Konsequenzen aus den Auswahlregeln. Es gibt zum Beispiel
wesentliche Einschränkungen bei den optischen Übergängen. Betrachten wir zum
Beispiel ein Wasserstoffatom mit einem sehr großen n und l = n−1 (im so genannten
Rydberg-Zustand).
E
A
n = 2
B
∆l = 1
n = 1
0 1 2 3
l
Abbildung 4.2: Termschema mit mehreren Zuständen
Der Zerfall in den Grundzustand ist (aufgrund der Auswahlregeln) nur stufenweise
möglich. Der direkte Dipolübergang von A nach B ist nicht möglich.
4.6.5 Lebensdauer
Die Lebensdauer für Dipolübergänge lässt sich mithilfe der Übergangswahrscheinlichkeit
berechnen.
(1) Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass ein Photon mit Polarisation λ
in den Raumwinkel dΩ abgestrahlt wird, ist gegeben durch
dω λ = ∑
⃗ k∈dΩ
Γ m→n, ⃗ k,λ
Nach einer analogen Rechnung wie für die abgestrahlte Leistung pro Winkeleinheit
113

erhalten wir:
mit
und
erhält man
dω λ = F ω3
|⃗ d mn ⃗ε ∗ ⃗ k,λ
| 2 dΩ
F =
α =
e 2 π
(2π) 3 c 3 ε 0
e2
4πε 0 c
F = α
2πc 2
Wir führen Kugelkoordinaten im Koordinatensystem ⃗ε 1 , ⃗ε 2 , ⃗ k ein und schreiben damit
⃗d mn um.
⃗ k
z
θ
⃗d mn
θ 1
θ 2
ϕ
x
y
⃗ε 2
⃗ε 1
Abbildung 4.3: Kugelkoordinaten im neuen Koordinatensystem mit den eingeführten
Winkeln.
Wir können also für die Skalarprodukte schreiben:
⃗d mn · ⃗ε 1 = | ⃗ d mn ||ε 1 | cos(θ 1 ) = sin(θ) cos(ϕ)| ⃗ d mn |
und für das andere analog (nur mit sin(θ) sin(ϕ)). Also für beide Polarisationen
zusammen:
dω = F ω3
dΩ|⃗ d mn | 2 (cos 2 θ 1 + cos 2 θ 2 ) = F ω3
dΩ|⃗ d mn | 2 sin 2 θ
114

Damit ist die Übergangswahrscheinlichkeit für alle Raumwinkel:
∫
ω =
dΩ dω
dΩ = F ω3
|⃗ d mn | 2 ∫
dϕ dcos θ sin 2 θ = F ω3
|⃗ d mn | 2 8π 3 = 4 3 αω3 c 2 |⃗ d mn | 2
Dies ist die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit. Die Lebensdauer entspricht gerade
der inversen Übergangswahrscheinlichkeit.
(2) Bei der Berechnung der Lebensdauer muss noch berücksichtigt werden, dass über
alle verschiedene Übergangsmöglichkeiten summiert werden muss:
1
τ = ∑ n
ω
wobei die Summe über alle erlaubten Endzustände gehen muss. Betrachten wir beispielsweise
konkret ein Wasserstoffatom im Zustand |21m〉 und den Übergang in
|100〉, wobei m = 0, ±1 sein kann. Betrachten wir zuerst den Winkelanteil von
⃗d nm = 〈n| R ⃗ |m〉:
⎞
∫
sin θ cos ϕ
dΩ Y ∗ ⎜ ⎟
⎝sin θ sin ϕ⎠
00Y 1m
⎛
cos θ
was einfach lösbar ist, wenn man den Vektor mit Kugelflächenfunktionen umschreibt.
Das Resultat ist unabhängig von m:
∫
∣
dΩ Y ∗
⎛
⎜
00Y 1m ⎝
Betrachten wir jetzt noch den Radialanteil:
∣
∫ ∞
0
r 2 dr R10R ∗ 21r
∗ ∣
⎞
sin θ cos ϕ
⎟
sin θ sin ϕ⎠
cos θ ∣
2
= a 2 0
2
= 1 3
( ) 2 256 1
81 6
(3) Insgesamt erhält man (da es nur einen möglichen Endzustand |100〉 gibt, fällt die
Summe weg):
mit
ω = E 2 − E 1
1
τ = 4 3 αω3 c 2 | 〈1, 0, 0| ⃗ R |2, 1, m〉 | 2
= mc2 α 2
2
115
(− 1 4 + 1 )
a 0 =
mcα

also insgesamt:
und mit Zahlenwerten:
1
τ = 256 mc2
α5
6561
τ = 1.6 · 10 −9 s
4.6.6 Elektrische Quadrupol und magnetische Dipolübergänge
In Abschnitt 3 (c) war ⃗ k⃗r ≪ 1 und wir konnten die Exponentialfunktion nähern mit
∫
〈n|⃗j ⃗k |m〉 =
(
d 3 r 〈n| 1 − i ⃗ )
k⃗r + . . . ⃗ j(⃗r) |m〉
Wir wollen uns jetzt dem zweiten Term in der Näherung widmen. Er ist gegeben durch:
∫
= −i
∫
−i
d 3 r( ⃗ k⃗r)(⃗jε ∗ ⃗ k,λ
)
⎛
⎞
d 3 ⎜
r ⎝ 1 [
(
2
⃗ k⃗r)(⃗j⃗ε ⃗ ∗ k,λ
) − (⃗ε ⃗ ∗ k,λ
⃗r)(⃗j ⃗ ]
k) + 1 [
(
} {{ } 2
⃗ k⃗r)(⃗j⃗ε ⃗ ∗ k,λ
) + (⃗ε ⃗ ∗ k,λ
⃗r)(⃗j ⃗ ]
⎟
k) ⎠
} {{ }
=I
=II
Wir können umschreiben:
I = − i ∫ ( )
d 3 r ⃗k × ⃗ε
∗
2
⃗k,λ (⃗r × ⃗j) = − i ( )
⃗k × ⃗ε
∗ 1 ∑
∫
2 ⃗k,λ
2
i
= − i ( )
⃗k × ⃗ε
∗ 1 ∑
∫ { }
2 ⃗k,λ d 3 (⃗pi ) l
r ε jkl r k
j 2
m , δ(⃗r − ⃗r i)
i
d 3 r ⃗r ×
{ }
⃗pi
m , δ(⃗r − ⃗r i)
dabei wird die Summe über alle Teilchen I durchgeführt. Es ist das Integral gleich
1
m ε jkl{(p i ) l , (r i ) k } = 1 m ε jkl(2(p i ) l (r i ) k − δ lk ) = 2 m ε jkl(p i ) l (r i ) k = 2 m (L i) j
und damit insgesamt:
I = − i
2m (⃗ k × ⃗ε ∗ ⃗ k,λ
) ⃗ L
Der Term I ist also proportional zum Drehimpuls, also auch proportional zum magnetischen
Moment. Deshalb entspricht I gerade dem magnetischen Dipolübergang. Es ergeben
sich wiederum gewisse Auswahlregeln, damit das Matrixelement 〈l ′ , m ′ | ( ⃗ k × ⃗ε ∗ ⃗ k,λ
) ⃗ L |l, m〉
nicht verschwindet. Analog zu oben erhält man diesmal m = m ′ oder m = m ′ ± 1 und
diesmal l = l ′ .
116

Betrachten wir jetzt den Term II:
II = − i 2 k j(ε ∗ ⃗ k,λ
) l
∫
Es ist für ein r = r i :
= − i 2 k j(ε ∗ ⃗ k,λ
) l
1
2m
d 3 r(j l r j + r l j j )
∑
((p i ) l (r i ) j + (r i ) j (p i ) l + (r i ) l (p i ) j + (p i ) j (r i ) l )
i
[r j r l , H 0 ] = i m (r jp l + p j r l ) = [r l r j , H 0 ] = i m (r lp j + p l r j )
und damit
II = − i 2 k j(ε ∗ ⃗ k,λ
) l
1
2m
∑ ( m
i 2[(r i) j (r i ) l , H 0 ])
Betrachten wir jetzt das Matrixelement, so erhalten wir
i
〈n| II |m〉 = − 1
2 (E m − E n ) ∑ i
〈n| ( ⃗ k⃗r i )(⃗ε ∗ ⃗ k,λ
⃗r i ) |m〉
Bemerkungen Die Kombination (r i ) j (r i ) l entspricht gerade dem Quadrupolmoment.
Die magnetischen Dipol- und die elektrischen Quadrupolübergänge, welche wir hier berechnet
haben, sind um den Faktor α unwahrscheinlicher, als die elektrischen Dipolübergänge
(da ⃗ k⃗r ∈ O(α) liegt).
Bisher wurde der Spin nicht berücksichtigt. Für die bisherigen Ergebnisse gilt also zusätzlich
noch die Auswahlregel:
∆S = S − S ′ = 0
Um den Spin jetzt noch zu berücksichtigen, müssen wir einen Zusatzterm im Hamiltonoperator
aufnehmen:
mit
H Spin = − ge ∑
⃗S iB(⃗ri ⃗ , t)
2m
i
⃗B = ∇ × ⃗ A
und der Entwicklung von ⃗ A aus den Erzeuger- und Vernichteroperatoren. Wir müssten
auch diesen Term wieder mit zeitabhängiger Störungstheorie behandeln.
117

118

Kapitel 5
Systeme identischer Teilchen
5.1 Identische Teilchen
Zwei Teilchen nennen wir im Folgenden identisch, wenn alle ihre Eigenschaften übereinstimmen
(Masse, Ladung, Spin, ...). Sie können experimentell nicht unterschieden werden.
Beispiele dafür sind zwei Elektronen. Nicht-Beispiel wäre Elektron und Positron.
Klassische Physik Hier sind identische Teilchen nur ein Spezialfall. Es gibt keine
Besonderheiten für dieses System, da sich hier jedes Teilchen auf einer wohldefinierten
Bahn bewegt. Die Teilchen lassen sich sozusagen durchnummerieren.
Quantenmechanik Hier müssen wir die wohldefinierten Bahnen aufgeben. Stattdessen
können sich die Wellenfunktionen überlappen. Man verliert also die Nummerierung, da
sie nicht mehr eindeutig ist.
5.2 Austauschentartung
Wir betrachten dies am Beispiel eines Systems von 2 Spin- 1 -Teilchen. Die z-Komponenten
2
der Spins sind und - . Wir wechseln in die schon hinlänglich bekannte Basis {ε 2 2 1, ε 2 }.
Der physikalische Zustand kann dann beschrieben werden durch z.B. |+, −〉 oder |−, +〉
(welcher besser ist kann man nicht entscheiden, da man die beiden Teilchen ja nicht unterschieden
kann). Die Quantenmechanik erlaubt sogar, jeden Zustand α |+, −〉+β |−, +〉
als Beschreibung zu benutzen, solange α 2 + β 2 = 1 ist. Diese Unbestimmtheit in der Beschreibung
nennt man jetzt Austauschentartung. Die physikalischen Aussagen, welche wir
aus diesem System berechnen, hingen jetzt von α und β ab - und das kann nicht sein.
Betrachten wir beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass die x-Komponente des Spins
119

2
ist, dann erhalten wir:
P (S 1x = S 2x = 2 ) = ∣ ∣∣∣ 1
2 (〈+, +| + 〈+, −| + 〈−, +| + 〈−, −|) (α |+, −〉 + β |−, +〉) ∣ ∣∣∣
2
=
Wir benötigen also ein weiteres Postulat der Quantenmechanik, welches festlegt, welchen
der Zustände α |+, −〉 + β |−, +〉 wir verwenden müssen.
∣ 1 ∣∣∣
2
∣2 (α + β)
5.3 Symmetrisierungspostulat
Zusätzlich zu den Postulaten aus QM I führen wir noch ein weiteres ein:
Bei einem System aus mehreren identischen Teilchen können nur bestimmte Vektoren
(abhängig von der Natur der Teilchen) die physikalischen Zustände beschreiben.
Bei Bosonen müssen die physikalischen Vektoren symmetrisch unter Permutation der
Teilchen sein. Bei Fermionen gerade antisymmetrisch. Fermionen sind Teilchen mit halbzahligem
Spin (wie Elektron, Positron, Proton, Neutron,...) Bosonen hingegen haben
ganzzahligen Spin (wie γ, π, oder H).
Bemerkungen
(i) Es gibt mit diesem Postulat keine Austauschentartung mehr.
(ii) Konstruktionsvorschrift von symmetrischen / antisymmetrischen Zuständen:
(a) Nummeriere die Teilchen durch und konstruiere einen Ket mit
|u〉 = |ϕ α1 , ϕ α2 , ϕ α3 , . . .〉
(b) Ein symmetrischer Zustand wird gerade durch
|ψ S 〉 = 1 N!
und ein antisymmetrischer durch
∑
P α |u〉
|ψ A 〉 = 1 ∑
ε α P α |u〉
N!
gegeben. Dabei ist N die Anzahl an Teilchen und P α der Permutationsoperator.
Die Summe läuft deshalb über alle Permutationen. ε α ist 1 oder -1 für gerade
120
α
α

oder ungerade Permutationen (also die Anzahl an Vertauschungsoperationen,
um die Permutation darzustellen).
(c) Normiere den Zustand
(iii) Das Symmetriepostulat enthält das Pauli-Prinzip.
Beispiele
(i) Betrachte zwei identische Teilchen, welche sich in den Zustanden |ϕ α1 〉 und |ϕ α2 〉
befinden. Der Hamiltonoperator ist dann
H = H 1 + H 2
mit
H i ϕ αi = E αi ϕ αi
E = E α1 + E α2
Damit ist der Startket gegeben durch
|u〉 = |ϕ α1 , ϕ α2 〉
und die beiden Zustände (symmetrisch und antisymmetrisch) sind dann
|ψ S 〉 = 1 √
2
(|ϕ α1 , ϕ α2 〉 + |ϕ α2 , ϕ α1 〉)
|ψ A 〉 = 1 √
2
(|ϕ α1 , ϕ α2 〉 − |ϕ α2 , ϕ α1 〉)
(ii) Falls |ϕ α1 〉 = |ϕ α2 〉, dann ist
|ψ S 〉 = |ϕ α1 , ϕ α1 〉 |ψ A 〉 = 0
Das letzte Ergebnis hatten wir auch schon aufgrund des Pauliprinzips erwartet.
(iii) Es ergeben sich also bestimmte Folgerungen für den Grundzustand von N identischen
Teilchen. Bei Bosonen können sich alle Teilchen im 1-Teilchen-Grundzustand mit der
Energie E 0 befinden. Die Gesamtenergie entspricht also
E = NE 0
Bei Fermionen funktioniert dies nicht. Im Grundzustand befinden sie sich in Zuständen
mit Energie E i und
E 0 ≤ E 1 ≤ · · · ≤ E N−1
121

Die Grundzustandsenergie ist dann
E = E 0 + E 1 + · · · + E N−1
Dabei ist E N−1 die so genannte Fermi-Energie.
5.4 Anwendung
5.4.1 Elastischer Stoß
Im Anfangszustand fliegen zwei Teilchen in z-Richtung aufeinander zu. Wir nennen sie
Teilchen 1 und Teilchen 2. Dieser Zustand heißt |ψ i 〉. Im Endzustand fliegen die beiden
Teilchen in entgegengesetzte Richtung ⃗n voneinander weg. Dieser Zustand heißt |ψ t 〉. Es
ist
⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞
|ψ i 〉 = √ 1 0 0
0 0
⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟
⎝|ϕ 1 ⎝0⎠ , ϕ 2 ⎝ 0 ⎠〉 + ε |ϕ 2 ⎝0⎠ , ϕ 1 ⎝ 0 ⎠〉 ⎠
2
p
−p
|ψ t 〉 = 1 √
2
(|ϕ 1 (⃗n), ϕ 2 (−⃗n)〉 + ε |ϕ 2 (⃗n), ϕ 1 (−⃗n)〉)
p
−p
wobei ε gerade + für Bosonen und - für Fermionen ist. Wir wollen jetzt die Wahrscheinlichkeitsamplitude
berechnen, dass |ψ i 〉 in |ψ t 〉 übergeht. Es ist
〈ψ t | U(t 0 , t 1 ) |ψ t 〉 = 1 2 [(〈ϕ 1(⃗n)ϕ 2 (−⃗n)| + ε 〈ϕ 2 (⃗n)ϕ 1 (−⃗n)|) U(t 0 , t 1 ) (|ϕ 1 (⃗p)ϕ 2 (−⃗p)〉 + ε |ϕ 2 (⃗p)ϕ 1 (−⃗p)〉)]
Alle vier ausmultiplizierten Terme stehen für verschiedene Stoßvorgänge.
Insgesamt erhält man eine Wahrscheinlichkeitsamplitude, welche aus den beiden Termen
für die zwei verschiedenen Stoßmöglichkeiten besteht. Diese werden entweder addiert oder
subtrahiert (abhängig von der Teilchenart). Bei der Quadrierung der Wahrscheinlichkeitsamplitude
- um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten - enthält einen Interferenzterm,
welcher noch abhängig von ε ist. Das Ergebnis ist also abhängig vom Teilchencharakter.
122

5.4.2 Heliumatom
Ein Heliumatom kann wie ein Wasserstoffatom beschrieben werden, jedoch mit Z = 2.
Es ist dann der Hamiltonoperator:
H = − 2
2m ∆ 1 −
Ze2
4πε 0 r 1
− 2
2m ∆ 2 −
Wir haben also den Hamiltonoperator in der Form
Ze2
4πε 0 r 2
+
e 2
4πε 0 |⃗r 1 − ⃗r 2 |
H = H 1 + H 2 + V
dargestellt, wobei H 1 und H 2 nur auf das erste bzw. zweite Elektron wirken.
(a) Wir betrachten zuerst den Fall ohne Elektron-Elektron-Wechselwirkung, also V = 0.
Dann ist in nullter Ordnung Störungstheorie
und wir kennen auch schon die Lösung:
(H 1 + H 2 ) |ψ〉 (0) = E (0)
n 1 ,n 2
|ψ〉 (0)
|ψ〉 (0) = |n 1 , l 1 , m 2 〉 |n 2 , l 2 , m 2 〉
und mit
E (0)
n 1 ,n 2
= E (0)
n 1
+ E (0)
n 2
E (0)
n i
= −Z 2 mc2 α
2
1
n 2 i
Setzen wir einige Werte ein, so erhalten wir zum Beispiel folgende Energiewerte:
n 1 n 2 E (eV)
1 1 -108.6
1 2 -68.0
1 3 -60.4
1 ∞ -54.4
2 2 -27.2
Den Zustand mit n 2 = ∞ wollen wir hier nicht betrachten, da es sich um den
einfach ionisierten Zustand handelt. Der Zustand mit n 1 = n 2 = 2 liegt energetisch
schon oberhalb des einfach ionisierten Zustandes (steht darüber). Deshalb müssen in
Bindungszustände von Heliumatomen mindestens ein Elektron die Hauptquantenzahl
1 haben (also im Grundzustand sein).
123

(b) Wir wenden das Pauli-Prinzip an. Da es sich bei Elektronen um Fermionen handelt,
muss die Gesamtwellenfunktion (Produkt aus Ortswellenfunktion und Spinwellenfunktion)
antisymmetrisch sein. Bei den Spinwellenfunktionen ergeben sich entweder
die symmetrischen Triplettzustände oder die antisymmetrischen Singulettzustände
(siehe erstes Kapitel). Es ergeben sich also zwei mögliche Fälle
• Symmetrische Ortswellenfunktion und Singulett-Zustand:
ψ S n = 1 √
2
(|100〉 |nlm〉 + |nlm〉 |100〉) |S = 0, M S = 0〉
wobei dies nur für n ≥ 2 gilt. Für n = 1 erhält man eine andere Normierung
mit
Dies nennt sich auch Parahelium
ψ S 1 = |100〉 |100〉 |S = 0, M S = 0〉
• Antisymmetrische Ortswellenfunktion und Triplett-Zustand
ψ T n = 1 √
2
(|100〉 |nlm〉 − |nlm〉 |100〉) |S = 1, M S 〉
wobei wieder für n = 1 der Spezialfall
ψ T 1 = 0
gilt. Dies nennt sich Orthohelium. Der Fall für n = 1 kann also nicht auftreten.
(c) Nun betrachten wir das System mit dem Potential V in erster Ordnung Störungstheorie.
Dazu müssen wir zum Beispiel für den Grundzustand berechnen:
∆E = 〈100| 〈100| V |100〉 |100〉 =
∫
e2
4πε 0
d 3 r 1
∫
d 3 r 2 |ψ 100 (⃗r 1 )| 2 |ψ 100 (⃗r 2 )| 2 1
|⃗r 1 − ⃗r 2 |
Es ist
ψ 100 = 1 √ π
( Z
a
) 3/2
e −Zr/a
und damit
( Z
∆E =
a
) 6
1
π 2 e 2
∫ ∞
∫ ∞
∫
r 2
4πε
1e −2Zr1/a dr 1 r2e 2 −2Zr2/a dr 2
0
0
124
0
dΩ 1
∫
dΩ 2
1
|⃗r 1 − ⃗r 2 |

Die Winkelintegration ergibt gerade einen Term der Form
und damit insgesamt
(4π) 2 1
max{r 1 , r 2 }
∆E = 5 4 Z mc2 α 2
2
= 34 eV
Für den Grundzustand in erster Ordnung erhalten wir also
Experimentell erhält man z.B.
E (1)
11 = E (0)
11 + ∆E = −74.8 eV
E 11 = −78.975 eV
also eine sehr gute Übereinstimmung.
(d) Jetzt betrachten wir die angeregten Zustände in Störungstheorie. Man erhält
∆E S/T = 1 e 2 ∫
2 4πε 0
d 3 r 1 d 3 r 2 |ψ 100 (⃗r 1 )ψ nlm (⃗r 2 ) ± ψ nlm (⃗r 1 )ψ 100 (⃗r 2 )| 2 1
|⃗r 1 − ⃗r 2 |
Wenn man den Betrag ausmultipliziert, erhält man das Integral in der Form
∫
=
. . . |ψ 100(⃗r 1 )| 2 |ψ nlm (⃗r 2 )| 2
|⃗r 1 − ⃗r 2 |
∫
±
. . . ψ∗ 100(⃗r 1 )ψ nlm (⃗r 1 )ψ ∗ nlm (⃗r 2)ψ 100 (⃗r 2 )
|⃗r 1 − ⃗r 2 |
Der erste Term entspricht physikalisch der elektrostatischen Wechselwirkung der beiden
Elektronen (auf ihn würden wir auch ohne das Pauli-Prinzip kommen). Er ist
immer positiv. Das Vorzeichen vor dem zweiten Integral ist abhängig vom Spin-
Zustand. Der zweite Term nennt sich Austauschterm (oder Austauschintegral). Er
stammt erst aus dem Symmetriesierungspostulat. Auch dieser ist positiv (!).
Man erhält dann folgendes Bild für die Energiewerte:
125

126

Kapitel 6
Feldquantisierung
6.1 Euler-Lagrange-Gleichung für klassische Felder
6.1.1 Gekoppeltes System
Wir betrachten viele gleichartige Teilchen (die wir dann in der Näherung später als kontinuierlich
ansehen wollen). Wir betrachten das System in einer Dimension. Die Kopplung
der einzelnen Teilchen soll nur eine Nächste-Nachbarn-Wechselwirkung sein. Wir können
uns das System also als lange Kette mit Federn verbundener Massepunkte vorstellen. Die
Auslenkungen der einzelnen Massepunkte i aus der Ruhelage (Abstand a) nennt sich q i .
Das Potential ist also gegeben durch
V = k ∑
(q i − q i+1 ) 2
2
i
und damit die Lagrange-Funktion:
L = T − V = m ∑
( ˙q i ) 2 − V = a ∑ 2
i
i
[ m
2
˙q i
2 a − ka
]
(q i − q i+1 ) 2
2 a 2
Wir wenden den Euler-Lagrange-Formalismus an, um die Bewegungsgleichungen zu erhalten:
Also
∂L
− d ∂L
= 0
∂q i dt ∂ ˙q i
m
a ¨q i − ka q i+1 − q i
+ ka q i − q i−1
= 0
a 2
a 2
da sich ein q i zweimal in der Summe befindet.
127

6.1.2 Übergang zum kontinuierlichen System
Wir müssen also jetzt einfach a → 0 betrachten. Dabei müssen wir beachten:
• m a
entspricht der Massendichte µ. Diese soll bei allen Grenzwertbetrachtungen konstant
bleiben.
• Es gilt jeweils das Hooksche Gesetz: Die Ausdehnung des ”Stabs” pro Längeneinheit
ist proportional zur Kraft. Dabei ist die Kraft gegeben durch
F = k(q i+1 − q i ) =: ξY
mit
ξ = q i+1 − q i
a
Damit muss das so genannte Youngsche Modul Y = ka sein.
• Die Indizes i machen bei einer kontinuierlichen Verteilung nur noch wenig Sinn.
Deshalb wechseln wir von q i auf eine Funktion q(x).
• Dann entsprechen die Terme
q i+1 − q i
a
=
q(x + a) − q(x)
a
→ q ′ (x)
für a → 0. q ′ ist also die örtliche Ableitung.
• Auch die Summe verliert ihren Sinn und wir schreiben besser
a ∑ ∫
→ dx
i
Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir im Limes a → 0 dann:
∫
L =
( 1
dx
2 µ ˙q − Y )
2 (q′ ) 2
Man definiert die Lagrangedichte mit
L = 1 2 µ ˙q − Y 2 (q′ ) 2
Für die Bewegungsgleichungen erhält man dann
µ¨q(x) − Y q ′′ (x) = 0
128

wenn man wieder den Differentenquotienten betrachtet.
Bemerkungen
• x ist keine verallgemeinerte Koordinate im Sinne des Lagrange-Formalismus. Es ist
stattdessen ein kontinuierlicher Index.
• Die Formel lässt sich leicht in 3 Dimensionen verallgemeinern. Es ist dann
∫
L = d 3 x L
mit
L = L(q, ˙q, ∇q)
• Das q = q(t, ⃗x) ist eine Art Feld.
6.1.3 Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder
Die Wirkung des Systems ist definiert als
S =
∫ t2
t 1
∫
dt
d 3 x L
Nach dem Hamiltonprinzip muss bei einem stationären Zustand S minimal sein. Es muss
also δS = 0 für eine kleine Störung sein. Das führt uns auf:
0 = δS =
∫ t2
t 1
∫
dt
( )
∂L
d 3 ∂L ∂L
x δq + δ ˙q +
∂q ∂ ˙q ∂∇q δ∇q
Wir wissen, dass δ∇q = ∇δq und δ ˙q = d δq. Die Randterme der kleine Störung ver-
dt
schwinden, also
δq(t 1 ) = δq(t 2 ) = 0
Für |⃗x| → ∞ soll q(⃗x, t) ebenfalls verschwinden. Führen wir in δS also die partielle
Integration nach ⃗x und t aus, dann erhalten wir:
0 = δS =
∫ t2
t 1
∫
dt
( ∂L
d 3 x
∂q − d ∂L
dt ∂ ˙q − ∇ ∂L )
δq
∂∇q
Da die Störung δq beliebig ist, muss damit die Klammer verschwinden. Wir erhalten dann
eine Euler-Lagrange-Gleichung:
∂L
∂q − d ∂L
dt ∂ ˙q − ∇ ∂L
∂∇q = 0
129

Beispiel:
Für den berechneten Stab von oben gilt:
∂L
∂q = 0
∂L
∂ ˙q = µ ˙q
∂L
∂∇q = ∂L = −Y q ′
∂q ′
Wir erhalten also die Euler-Lagrange-Gleichung:
µ¨q − Y q ′′ = 0
also genau dieselbe Gleichung, die wir oben auch anders erhalten hatten.
Bemerkungen:
(1) Wir haben jetzt zwar nur noch eine Differentialgleichung, aber neben den zeitlichen
kommen jetzt auch räumliche Ableitungen vor.
(2) Wir können analog zur klassischen Mechanik die Hamilton-Dichte einführen:
H = π ˙q − L
mit dem kanonischen Impuls
π = ∂L
∂ ˙q
(3) Da wir hier Felder behandelen, bezeichnen wir diese nicht mit q, sondern mit φ(x)
oder ψ(x). x ist dabei ein 4-Vektor. Außerdem wollen wir die ganze Theorie kovariant
betrachten. Die Lagrangedichte hängt also jetzt ab von L(φ, ∂ µ φ, x). Die
Euler-Lagrange-Gleichung lautet dann:
∂L
∂φ − ∂ ∂L
µ
∂∂ µ φ = 0
und der kanonische Impuls ist
π =
∂L
∂∂ 0 φ
6.1.4 Beispiele
Wir benutzen im folgenden Lagrange-Dichten, die wir nicht genau beweisen werden.
Reelles skalares Feld Die Lagrange-Dichte ergibt sich über die kinetische Energie und
das Potential (nicht genauer beschrieben):
L = 1 2 (∂ µφ)(∂ µ φ) − m2
2 φ
130

Dann ist
∂L
∂φ = −m2 φ
∂L
∂∂ µ φ = ∂µ φ
und man erhält damit die schon bekannte Klein-Gordan-Gleichung:
m 2 φ + ∂ µ ∂ µ φ = 0 = (□ + m 2 )φ
Komplexes skalares Feld Für so ein Feld ist die Lagrangedichte
L = (∂ µ φ)(∂ µ φ ∗ ) − mφφ ∗
Wir spalten φ auf in einem Reell- und Imaginärteil:
φ = φ 1 + iφ 2
Wir können dann die Gleichungen für φ 1 und φ 2 herleiten oder wir benutzen gleich
φ und φ ∗ als zwei unabhängige Variablen. Man erhält dann
∂L
∂φ ∗ = −m2 φ
und für φ die Gleichung:
∂L
∂∂ µ φ ∗ = ∂µ φ (□ + m 2 )φ = 0
(□ + m 2 )φ ∗ = 0
Dirac-Theorie Wir betrachten ein geladenes Fermion mit Masse m. Es gibt dann zwei
unabhängige Felder ψ und ¯ψ = ψ † γ 0 . Die Lagrange-Dichte für dieses System lautet
dann
Dann ist
L = ¯ψ(i/∂ − m)ψ
∂L
∂ ¯ψ i
= ( (i/∂ − m)ψ ) i
und wir erhalten die schon bekannte Dirac-Gleichung:
∂L
∂∂ µ ¯ψi
= 0
(i/∂ − m)ψ = 0
Wir können die Theorie auch für ψ ausführen und erhalten:
∂L
= (−m
∂ψ ¯ψ) ∂L (
i ∂ µ = ∂ µ ¯ψ(i∂ µ ) )
i ∂∂ µ ψ = ¯ψi
↚
∂
i i
131

↚
∂ soll dabei andeuten, dass ∂ nach links wirkt. Wir erhalten dann die Gleichung:
↚
¯ψ(i ∂ + m) = 0
was genau die ladungskonjugierte Gleichung ist (wie erwartet).
Elektrodynamik Die Lagrange-Dichte für ein System aus elektrischem und magnetischen
Feld lautet
L = − 1 4 F µν F µν − j µ A µ
mit
F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ
Dann ist
∂L
∂A ν
= −j ν
∂L
= − 1 µν
4F
∂∂ µ A ν 4
wie man durch Nachrechnen zeigen kann und man erhält insgesamt die bekannte
Maxwell-Gleichung:
∂ µ F µν = j ν
6.1.5 Energie-Impuls-Tensor
Wir definieren den Energie-Impuls-Tensor als
T µν = ∑ i
∂L
∂∂ µ φ i
∂ ν φ i − g µν L
Der 4-Impuls ergibt sich aus diesem Tensor gerade durch
∫
P ν = d 3 x T 0ν
Wir wollen dies für ν = 0 nachrechnen. Man erhält:
T 00 = ∑ i
∂L
∂ ˙φ i
˙φi − L = ∑ i
π i ˙φi − L = H
und dann
was genau der Energie entspricht.
∫
P 0 =
d 3 x H = H
132

6.2 Feldquantisierung
6.2.1 Motivation
(1) Sowohl die KG-Gleichung als auch die Dirac-Gleichung ergeben Zustände mit negativer
Energie. Die Feldquantisierung löst dieses Problem.
(2) Sowohl Vielteilchensysteme, als auch die Erzeugung / Vernichtung von Teilchen konnten
bisher nicht richtig verstanden werden.
(3) In der Elektrodynamik erfüllen die klassischen Felder die Maxwell-Gleichungen - das
Photon hat diese Maxwell-Gleichung als Bewegungsgleichung.
(4) Auch das Pauli-Prinzip kann erklärt werden.
(5) Die Feldquantisierung bietet ein Werkzeug, um Streuprozesse auf systematische Art
zu berechnen.
6.2.2 Quantisierung des skalaren Felds
Das Ziel dieses Abschnitts ist, φ in der KG-Gleichung
(□ + m 2 )φ = 0
als Operator zu interpretieren und Eigenwerte und Eigenzustände zu bestimmen. Dann
wollen wir dies als Teilchen interpretieren.
(a) Kommutatoren, Erzeuger und Vernichter
Die Lagrange-Dichte des Systems ist
L = 1 2 (∂ µφ) 2 − m2
2 φ2
mit π = ∂L dem kanonischen Impuls. Wir wollen jetzt π und φ als zwei Operatoren
∂ ˙φ
interpretieren (wie ⃗p und ⃗x in der Quantenmechanik). Vor allem fordern wir folgende
Kommutatorrelationen:
[φ(x), π(y)] x0 =y 0
= iδ(⃗x − ⃗y) [φ(x), φ(y)] x0 =y 0
= [π(x), π(y)] x0 =y 0
= 0
Es muss Folgendes noch nachgerechnet werden:
• Heisenbergsche Bewegungsgleichungen
133

• Energie- und Impulsoperatoren
• Kausalität: Kann eine Messung an einem (Raum-Zeit-)Punkt eine Messung an
einem anderen Punkt beeinflussen, wenn der Abstand raumartig ist? Genauer:
[φ(x), φ(y)] = 0 für (x − y) 2 < 0
(b) Die klassische Lösung der KG-Gleichung
Wir benutzen die Fouriertransformierte von φ:
∫
φ(t, ⃗x) =
d 3 p
(2π) 3 ei⃗p⃗x ˜φ(t, ⃗p)
Setzen wir dies in in die KG-Gleichung ein, so erhalten wir:
( )
∂
2
∂t + 2 |p|2 + m 2 ˜φ = 0
stimmt
nicht(siehe
nächster
Punkt).
Was
meinst
du?
also einen Harmonischen Oszillator für jedes k. Analog dazu schreiben wir wieder
mit
H = 1 2 P 2 + 1 2 ω2 ˜φ2 = ω(aa † + 1 2 )
˜φ = 1 √
2ω
(a + a † )
P = −i√ ω
2 (a − a† )
(c) Erzeuger und Vernichter der quantisierten Klein-Gordon-Gleichung
In Analogie zu (b) führen wir Fourierkomponenten für die Operatoren φ und π ein.
∫
φ(x) =
d 3 k 1
(
e ikx a † (
(2π) 3 2ω
⃗ k) + e −ikx a( ⃗ )
k)
(i) φ(x) ist hermitesch nach Definition
(ii) a, a † wollen wir als Operatoren auffassen
(iii) d⃗ k
2ω
∫
ist deshalb so gewählt, da es Lorentz-Invariant ist, denn
∫
δ(k 2 − m 2 )Θ(k 0 )d 4 k =
=
1
2|k 0 |
∫ d ⃗ k
2ω
( (
) (
))
δ k 0 −
√⃗ k2 + m 2 + δ k 0 +
√⃗ k2 + m 2 Θ(k 0 )dk 0 d ⃗ k
134

Mit dieser Definition erhält man für π:
∫
π(x) = ˙φ(x) = i
1
(
e i⃗k·⃗x a † (
(2π) ⃗ k) + e −i⃗k·⃗x a( ⃗ )
k) d ⃗ k
3
Wenn wir nun den Kommutator von φ und π bilden, erhalten wir
∫
a( ⃗ k) = −i (iωφ(x) − π(x)) e i⃗k·⃗x d⃗x
∫
a † ( ⃗ k) = i (−iωφ(x) − π(x)) e −i⃗k·⃗x d⃗x
denn mit
erhält man
∫
1
(2π) 3 ei⃗ k·⃗x±i ⃗ k ′·⃗x d⃗x = δ( ⃗ k ± ⃗ k ′ )
∫
φ(x)e i⃗k·⃗x d⃗x = 1
2ω
∫
π(x)e i⃗k·⃗x d⃗x = i 2
(
e iωt a † ( ⃗ k) + e −iωt a(− ⃗ )
k)
(
e iωt a † ( ⃗ k) − e −iωt a(− ⃗ k)
)
und
bzw. für a analog.
a † ( ⃗ k) = e −iωt ∫
(ωφ(x) − iπ(x)) e i⃗ k·⃗x d⃗x
Für die Kommutatorrelationen zwischen a und a † erhalten wir
[a( ⃗ k), a( ⃗ k ′ )] = [a † ( ⃗ k), a † ( ⃗ k ′ )] = 0
Beweis:
[a( ⃗ k), a( ⃗ k ′ )] = (−i) 2 ∫
∫
= −
= 0
[a( ⃗ k), a † ( ⃗ k ′ )] = 2ω(2π) 3 δ( ⃗ k − ⃗ k ′ )
e ikx+ik′ x ′ [iωφ(x) − π(x), iωφ(x ′ ) − π(x ′ )] d⃗xd⃗x ′
e i(k+k′ )x (−iω + iω ′ ) d⃗x
wegen
e i(k+k′ )x ∼ δ( ⃗ k + ⃗ k ′ ) =⇒ ω = ω ′
Die Aussage [a † ( ⃗ k), a † ( ⃗ k ′ )] = 0 erhält man stark analog. Außerdem
135

∫
[a( ⃗ k), a † ( ⃗ k ′ )] = i(−i) e i(kx−k′ x ′) (−iω[φ(x), π(x ′ )] + iω ′ [π(x), φ(x ′ )]) d⃗xd⃗x ′
∫
= e i(k−k′ )x (ω + ω ′ ) d⃗x
= 2ω(2π) 3 δ( ⃗ k − ⃗ k ′ )
(d) Energie und Impulsoperator
Der Energie- und Impulstensor definiert dem 4-Impuls mit
∫
p µ =
∫ 1
=
2
T µ0 d⃗x =
∫ ((∂ µ φ)(∂ 0 φ) − g µ0 L ) d⃗x
∫
= · · · =
1
(
2ω(2π) 3 kµ
. . . d⃗xd ⃗ kd ⃗ k ′
a † ( ⃗ k)a( ⃗ k) + a( ⃗ k)a † ( ⃗ )
k)
d ⃗ k
(i) Für die räumliche Anteile des Impulses ist
∫
p i =
∫
1
2ω(2π) 3⃗ ka † a d ⃗ 1
k +
(2π) 3⃗ k d ⃗ kd⃗x
} {{ }
=0 (da ungerade)
(ii) Und für den zeitlichen Anteil des Impulses, also den Energie-Operator, ist
∫
H = p 0 =
∫
=
1 ω
2ω(2π) 3 2 (a† a + aa † ) d ⃗ k
∫
1
2ω(2π) 3 ωa† a d ⃗ 1 ω
k +
(2π) 3 2 d⃗ kd⃗x
} {{ }
=∞ (Vakuumenergie)
Wir setzen die konstante Vakuumenergie als Energienullpunkt fest und ”subtrahieren”
sie einfach. In der Praxis benutzen wir die Normalordnung (symbolisiert
durch zwei Doppelpunkte), die die a † nach links sortiert, also
∫
: aa † : = a † a : H : =
136
1
2ω(2π) 3 ωa† a d ⃗ k

(e) φ(x) und a( ⃗ k) erfüllen die Heisenbergsche Bewegungsgleichung
∂ µ φ(x) = [iP µ , φ(x)]
k µ a † ( ⃗ [
k) = P µ , a † ( ⃗ ]
k)
−k µ a( ⃗ k) = [P µ , a( ⃗ k)]
Den Beweis hierzu erhält man durch Einsetzen:
∫
[P µ , a † ( ⃗ d 3 k ′ [
k)] =
(2π) 3 2ω ′ (k′ ) µ a † ( ⃗ k ′ )a( ⃗ k ′ ), a † ( ⃗ ]
k)
[
P µ , a( ⃗ ]
k) =
= k µ a † ( ⃗ k)
∫
d 3 k ′ [
(2π) 3 2ω ′ (k′ ) µ a † ( ⃗ k ′ )a( ⃗ k ′ ), a( ⃗ k)
= −k µ a( ⃗ k)
⎛
⎞
∫
d 3 k ′
[iP µ , φ(x)] =
⎜
(2π) 3 2ω ′ ⎝
[iP eikx µ , a † ( ⃗ ] [
k) +e −ikx iP µ , a( ⃗ ]
k) ⎟
⎠
} {{ } } {{ }
ik µa † ik µa
= ∂ µ φ(x)
]
(f) Teilcheninterpretation
(i) Der Vakuumzustand lautet |0〉. Dies entspricht keinem Teilchen, also einer Energie
und Impuls von E = 0, ⃗p = 0 =⇒ P µ |0〉 = 0.
(ii) k µ a † ( ⃗ k) |0〉 = [P µ , a † ( ⃗ k)] |0〉 = P µ a † ( ⃗ k) = 0. Wir erhalten daraus, dass a † ( ⃗ k) |0〉
Eigenzustand von P µ mit Eigenwert k µ ist.
(iii)
−k µ a( ⃗ k) |0〉 = [P µ , a( ⃗ k)] |0〉
= P µ a( ⃗ k) |0〉
Also ist a( ⃗ k) |0〉 Eigenzustand zu P µ mit Eigenwert −k µ . Dies kann nicht gelten,
da Vakuumzustand der Zustand mit niedrigster Energie ist. Also folgt
a( ⃗ k) |0〉 = 0
(iv)
| ⃗ k〉 = a † ( ⃗ k) |0〉
137

ist ein 1-Teilchenzustand mit Impuls ⃗ k und Energie k 0 = ω =
√ ⃗k2 + m 2 . Es
ergibt sich z.B.
| ⃗ k 1 , ⃗ k 2 〉 = a † ( ⃗ k 1 )a † ( ⃗ k 2 ) |0〉
bzw
| ⃗ k 1 , . . . , ⃗ k n 〉 = a † ( ⃗ k 1 ) . . . a † ( ⃗ k n ) |0〉
Dies ist ein Zustand im FOCK-Raum.
(v) Teilchenzahloperator
∫
N =
d 3 k
(2π) 3 2ω a† ( ⃗ k)a( ⃗ k)
Anwenden auf einen Zustand im FOCK-Raum
N | ⃗ k n , . . . , ⃗ k n 〉 = n | ⃗ k 1 , . . . , ⃗ k n 〉
∫
N | ⃗ k n , . . . , ⃗ d 3 k
k n 〉 =
(2π) 3 2ω a† ( ⃗ k) a( ⃗ k)a † ( ⃗ k 1 )
} {{ }
= n · 1 | ⃗ k 1 , . . . , ⃗ k n 〉
( n∑
)
P µ | ⃗ k 1 , . . . , ⃗ k n 〉 = k µ i | ⃗ k 1 , . . . , ⃗ k n 〉
i=1
=a † ( ⃗ k 1 )a( ⃗ k)+(2π) 3 2ωδ (3) ( ⃗ k 1 − ⃗ k)
} {{ }
=1
a † ( ⃗ k 2 ) . . . a † ( ⃗ k n ) |0〉
(g) Zusammenhang zwischen Spin und Statistik:
Teilchen mit Spin 0 gehorchen BOSE-Symmetrie
| ⃗ k 1 , ⃗ k 2 〉 = a † ( ⃗ k 1 )a † ( ⃗ k 2 ) |0〉
= a † ( ⃗ k 2 )a † ( ⃗ k 1 ) |0〉
= + | ⃗ k 2 , ⃗ k 1 〉
6.3 CASIMIR-Effekt
Literatur: Quantum Field Theory von Izykson-Zuber.
• Beobachtung von Vakuumfluktuationen.
• Elektromagnetische Feld verschwindet nicht im Vakuum.
138

• Ursprung bei
∑
⃗ k
2 ω ⃗ k
Dieser ist unendlich groß und nicht beobachtbar, abberatische Variationen sind
jedoch messbar.
6.3.1 Versuchsaufbau
L
x
y
z
a
Abbildung 6.1: Versuchsaufbau des Casimir-Effektes
Man hat zwei große parallele, elektrisch leitende Platten mit sehr kleinem Abstand zueinander
(a > a und Randeffekte sind
zu vernachlässigen.
139

• Diskrete Werte für k z = nπ a , n ∈ N+ . Es gibt 2 Polarisationszustände ⃗ k · ⃗ε = 0
• k z = 0 =⇒ ⃗ε ∝ ⃗e z
=⇒ 1 Polarisationszustand.
Nullpunktsenergie:
E = ∑ ⃗ k
1
2 c|⃗ k|
= ∑ ⃗ k
1
2 c √
⃗k 2
‖
+ k 2 z
= c
2
= ∞
∫
(
d 2 k ‖
(2π) 2 L2 | ⃗ k ‖ | + 2
∞∑
n=1
√
(
⃗ k
2 nπ
‖
+
a
Wobei die 2 vor der Summe die 2 Polarisationszustände angibt.
Subtrahiere von E die Energie, die man für das Volumen L 2 a erhält, ohne Randbedingungen,
d.h. die leitenden Platten.
E 0 = c
2
k z = nπ a
E 0 = c
2
∫
d 2 k ‖
(2π) 2 L2
Die Energie pro Fläche ergibt sich dann als
∫∞
−∞
0
dk z
2π a 2 √
⃗k 2
‖
+ k 2 z
=⇒ dk z = π a dn
∫ d 2 ∫∞
√
k ‖
(2π) 2 L2 dn 2 ⃗ k
2
‖
+ n2 π 2
a 2
) 2
)
ε = E − E 0
= c
2
L 2
1
2π
∫ ∞
0
⎛
∞
√
∑ (
⃗ k d ⃗ k ⎝⃗ k + 2 ⃗ nπ
k2 +
a
n=1
) 2
∫∞
−
0
√
⎞
dn 2 ⃗ k2 + n2 π 2
⎠
a 2
ε ist noch nicht wohldefiniert wegen Divergenzen für k → ∞ , k = | ⃗ k ‖ |. Dies sind Ultraviolette
Divergenzen.
6.4 Ultraviolette Regularisierung
Große Frequenzen bzw. kleine Wellenlängen (unterhalb der atomaren Dimensionen) spüren
die Randbedingungen (Leitplatten) nicht. Wir führen eine Funktion ein, die große
140

Frequenzen abschneidet mit
f(k)
1
k
k max
Also
ε = c
2π
⎡
kdk ⎣ k ∞
√
(√ )
2 f(k) + ∑
∫
k 2 + π2 n 2
a f k 2 + π2 n 2
∞ √
− du
2 a 2 n=1
0
⎡
π 2 ∫
π
∞
du ⎣ 1 √ ( π √ ) ∞∑ √ ( π √
uf u + u + n2 f u + n 2)
−
2π 2a 2 a 2 a a
0
n=1
⎛
⎞
⎝ 1 ∞
2 F (0) + ∑
∫ ∞
F (n) − dnF (n) ⎠
∫ ∞
0
u= a2 k 2
π 2
= c
= cπ2
4a 3
n=1
0
(√
k 2 + π2 n 2
a f k 2 + π2 n 2
2 a 2
∫ ∞
0
) ⎤ ⎦
du √ ( π √ ) ⎤
u + n 2 f u + n
2 ⎦
a
Mit
Bemerkung
∫ ∞
F (n) = du √ ( π √
u + n 2 f u + n 2)
a
0
• ∑ und ∫ können vertauscht werden, da der Ausdruck wohldefiniert ist.
• für n → ∞ gilt F (n) → 0
• Benutze Euler-Maclaurin-Formel:
∞
1
2 F (0) + ∑
F (n) −
n=1
∫ ∞
0
dnF (n) = − 1 2! B 2F ′ (0) − 1 4! B 4F ′′′ (0) ± . . .
141

wobei B k die Bernoulli-Zahlen sind, welche definiert sind durch
∞
y
e y − 1 = ∑ y k
B k
k!
B 0 = 1
k=0
B 1 = − 1 2
B 2 = 1 6
B 3 = 0
B 4 = − 1 30
Die Berechnung von ε: Verschiebe u + n 2 → u und damit
F (n) =
∫ ∞
n 2
F ′ (n) = dn2
dn
du √ ( π √ )
uf u
a
dF
dn 2
( π
)
= 2n(−1)nf
a n ( π
)
= −2n 2 f
a n ( π
)
F ′′ (n) = −4nf
a n − 2n 2 π ( π
)
a f ′ a n ( π
)
F ′′′ (n) = −4f
a n − 4n π ( π
)
a f ′ a n − 4n π ( π
) ( π
) 2 (
a f ′ a n − 2n 2 f
′′ π
)
a a n
Annahme:
f(0) = 1 f ′ (0) = 0 f ′′ (0) = 0
Damit
F ′ (0) = 0 F ′′ (0) = 0 F ′′′ (0) = −4 F (4) = 0 F (k) (0) = 0 für k ≥ 4
Woraus sich für ε ergibt
ε = cπ2
4a 3
Die Kraft pro Fläche ist dann
( −1
4!
(
− 1 ) )
(−4) = − cπ2 1
30
a 3 720
f = − dε
da = 1
−cπ2 a 4 240
142

Dies ist die Vorhersage von H.B.G. Casimir 1948, Experimenteler Nachweis durch Derjaguin,
Abrikosova, Lifshitz 1956, Sparnaay 1958
143

144

Kapitel 7
Anhang
145

146

Todo list
Wichtig für die Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
hässlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
partielle Ableitungen sind ∂, nicht δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
stimmt nicht(siehe nächster Punkt). Was meinst du? . . . . . . . . . . . . . . . . 134
147

148

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