4.3 Das Trägheitsmoment eines starren Körpers

4.3- 1
4.3 Das Trägheitsmoment eines
starren Körpers
4.3.1 Der Trägheitstensor
Man kann einen starren Körper als eine Gesamtheit von Teilchen ansehen,
deren Abstände unveränderlich sind. Dieses spezielle System bewahrt während
der Bewegung seine Gestalt. Wenn dieses System („starrer Körper“) sich um
eine starre Achse dreht, beschreiben alle seine „Teilchen“ Kreise mit gleichen
Winkelgeschwindigkeiten.
Der gesamte Drehimpuls des Körpers ist
Schon im letzten Abschnitt sprachen wir vom Drehimpuls eines Teilchensystems,
aber mit der Einschränkung, dass sich alle Teilchen um die z-Achse
drehen sollen. Im allgemeinen Fall, wenn die Drehung um eine beliebige Achse
stattfindet, haben wir die beiden Vektorprodukte in Gl. (1) auszuwerten. Mit
MuPAD erhalten wir
(1)
reset():
mat:=Dom::Matrix():export(linalg):
r:=mat([[x[i],y[i],z[i]]])://Vektor r
w:=mat([[wx,wy,wz]])://Vektor omega
lo:=crossProduct(r,crossProduct(w,r));//ohne die
Massen mi
lox:=lo[1,1]://Komponente-x von lo
loy:=lo[1,2]:
loz:=lo[1,3]:
factor(lox);
factor(loy);
factor(loz)
1

4.3- 2
Ergebnisse:
array(1..1, 1..3,
(1, 1) = - (wy x[i] - wx y[i]) y[i] - (wz x[i] - wx z[i])
z[i],
(1, 2) = (wy x[i] - wx y[i]) x[i] - (wz y[i] - wy z[i])
z[i],
(1, 3) = (wz x[i] - wx z[i]) x[i] + (wz y[i] - wy z[i])
y[i])
vereinfacht:
wx y[i] 2 + wx z[i] 2 - wy x[i] y[i] - wz x[i] z[i]
wy x[i] 2 + wy z[i] 2 - wx x[i] y[i] - wz y[i] z[i]
wz x[i] 2 + wz y[i] 2 - wx x[i] z[i] - wy y[i] z[i]
Diese Ausdrücke müssen wir mit den Massen multiplizieren und anschließend
addieren. Wenn wir die folgenden Terme einführen, vereinfacht sich das
Ergebnis beträchtlich:
I xx = ∑ m i (y i 2 + z i 2 ) I yy = ∑ m i (x i 2 + z i 2 ) I zz = ∑ m i (x i 2 + y i 2 )
I xy = I yx = - ∑ m i x i y i I yz = I zy = - ∑ m i y i z i I zx = I xz = - ∑ m i x i z i
Die drei Komponenten von L schreiben sich mit diesen Summen folgendermaßen:
(2)
L x = I xx ω x + I xy ω y + I xz ω z
L y = I yx ω x + I yy ω y + I yz ω z
L z = I zx ω x + I zy ω y + I zz ω z (3)
2

4.3- 3
Die neun Terme (2) können wir als Elemente der folgenden Matrix betrachten:
(4)
Die sechs Gleichungen (2) lassen sich durch eine Gleichung ausdrücken:
(5)
x 1 (k) , x 2 (k) , x 3 (k) sind die x-y-z-Koordinaten des k-ten Teilchens. Das Symbol ij
ist das Kronecker-Delta. Für i ≠ j ist sein Wert 0, sonst ist er 1.
Je nach Kontext nennt man eine Struktur wie (4) Matrix, Operator, Dyade oder
Tensor (zweiter Ordnung). Ein Tensor 2. Ordnung ist demnach eine Größe, zu
deren Darstellung neun Komponenten benötigt werden.
In unserem Fall handelt es sich um einen symmetrischen Tensor, wie man an
den Ausdrücken (2): I xy = I yx usw. sehen kann. Man kann einen Tensor auch
definieren als eine Verallgemeinerung eines Vektors, den man als Tensor 1.
Ordnung ansehen kann. Einen Vektor können wir geometrisch durch einen Pfeil
darstellen. Später werden wir sehen, dass ein Tensor durch ein Ellipsoid dargestellt
werden kann.
Die Größen I xx , I yy , I zz sind die Trägheitsmomente des Körpers in Bezug auf die
angegebenen Achsen. Die Ausdrücke I xy , I xz , I yz heißen Trägheitsprodukte in
Bezug auf die Koordinatenachsen. Eine Achse heißt Hauptträgheitsachse,
wenn das zugehörige Trägheitsprodukt Null ist. I xx , I yy und I zz werden dann
Hauptträgheitsmomente genannt.
Die drei Gleichungen (3) können wir nun folgendermaßen schreiben:
L A = I A·ω (6)
A ist ein beliebiger Refernzpunkt, der mit dem Körper in Verbindung steht, z.B.
das Massenzentrum (CM). Wir können diese Gleichung wie folgt interpretieren:
Der Operator I wird auf den Vektor ω angewandt und erzeugt einen neuen
Vektor L, dessen Richtung normalerweise nicht mit der von ω zusammenfällt,
d.h. i. Allg. haben L und ω verschiedene Richtungen.
Die Elemente I ij von (5) sind die Matrixelemente des Operators I.
3

4.3- 4
(Oft ist es sehr nützlich, die folgende Notation zu benutzen, die von Dirac in die
Quantenmechanik eingeführt wurde. Wir schreiben dann statt (6) folgende
Gleichung
|L A > = I A |ω> (7)
Die Symbole |L> und |ω> heißen Ket-Vektoren. Wir kommen auf diese
Schreibweise zurück.)
Für jeden Körper existieren wenigsten drei senkrechte Achsen, die Hauptachsen,
die die Eigenschaft haben, dass L und ω parallel sind, falls die
Drehung um eine dieser Hauptachsen erfolgt. Der Vektor ω der Winkelgeschwindigkeit
liegt immer in der Drehachse. Bei einem symmetrischen Körper
fallen die Hauptachsen mit einigen der Symmetrieachsen zusammen. Bei einer
Kugel ist jede Achse, die durch ihren Mittelpunkt geht, eine Hauptachse. Bei
einem zylindersymmetrischen Körper ist die Symmetrieachse eine Hauptachse.
Die technische Bedeutung der Hauptachsen liegt darin, dass kein äußeres
Drehmoment vorhanden sein muss, um den Körper in Rotation zu halten, falls
seine Drehachse mit einer der Hauptachsen zusammenfällt. Ein starrer Körper,
der sich um eine Hauptachse dreht, bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit,
wenn kein äußeres Drehmoment wirkt.
Wir können diesen Sachverhalt ansehen als Trägheitsgesetz der Drehbewegung.
L = I · ω ist bei Drehbewegungen das, was p = m v bei der Translation ist.
Der Tensor I stellt eine Art „Drehmasse“ dar. Aber I enthält nicht nur die träge
Masse des rotierenden Körpers, er enthält auch Information über die Verteilung
der Masse im Körper. Wenn der Körper nicht starr wäre, würde sich die Masseverteilung
ändern, und die Bedingung I ω = konst. verlangt, dass dann, wenn
I zu- oder abnimmt, ω ab- oder zunimmt. Dieser Tatbestand findet vielfache Anwendungen.
Z.B. kann eine Schlittschuhläuferin (trifft auch auf Läufer zu) ihre
Arme und Beine anlegen, um ihr Trägheitsmoment zu reduzieren und dadurch
ihre Winkelgeschwindigkeit zu erhöhen. Wenn sie ihre Arme ausstreckt, vergrößert
sich ihr Trägheitsmoment, und ihre Winkelgeschwindigkeit verringert sich.
In Abschnitt 4.2 sahen wir die Beziehung M = dL/dt für das Drehmoment der
äußeren Kräfte. Im Falle eines starren Körpers nimmt sie die folgende Form an
M = dL/dt = d(I·ω)/dt = dI/dt · ω + I · dω/dt (8)
Wenn die Komponenten des Trägheitstensors nicht von der Zeit abhängen,
erhalten wir die folgende Gestalt des zweiten Newton´schen Gesetzes für einen
starren Körper:
(9)
4

4.3- 5
Im folgenden Beispiel werden wir den Trägheitstensor für ein Wassermolekül
berechenen, das wir als starren Körper ansehen wollen.
Die Entfernung H-O beträgt 0,96·10 -10 m = 0,096 nm. Der Winkel zwischen den
beiden H-O-Bindungen beträgt 105 o .
Bestimme die Trägheitsmomente des Moleküls in Bezug auf sein Massenzentrum
CM.
Lösung:
Zunächst bestimmen wir die Ortsvektoren der Atome in Bezug auf CM, den wir
zugleich als Ursprung des Koordinatensystems ansehen wollen.
Fig.: 4.3-1
Wir benutzen die Definition des CM, nämlich r cm = ∑m i r i / ∑m i := 0, und ein
wenig Geometrie, z.B.: x/0,96 =sin 52,5 usw., und erhalten für die Ortsvektoren
r(O) = (0, 0.065)·10 -10 m
r(H links ) = (-0.76, -0.52)·10 -10 m
r(H rechts ) = (0.76, -0.52)·10 -10 m
Die y-Koordinate des Sauerstoffatoms beträgt –y/8, worin y die Koordinate des
H-Atoms ist. Die Komponenten des Trägheitstensors berechnen wir mit
MuPAD, indem wir die Beziehungen (2) benutzen.
Der Faktor u enthält die Masse des Protons, 1,67·10 -24 g, und die Potenz
(10 -8 cm) 2 = 10 -16 cm 2 .
5

4.3- 6
Die Trägheitsprodukte verschwinden, d.h. der Tensor hat Diagonalform, und
man sagt, dass seine Matrix diagonalisiert ist. Die x-y-z-Achsen, für die die
Trägheitsprodukte Null sind, sind die Hauptträgheitsachsen. Die Diagonalelemente
I xx , I yy und I zz heißen Hauptträgheitsmomente oder auch Eigenwerte
des Operators I.
In unserem Fall sehen wir, dass die Koordinatenachsen Hauptträgheitsachsen
sind. Ich wiederhole, dass es immer möglich ist, die Hauptträgheitsachsen für
einen beliebigen dreidimensionalen starren Körper zu finden.
reset()://H2O-Traegheitstensor
DIGITS:=5:
1.016e-40 cm 2 g
1.9292e-40 cm 2 g
2.9452e-40 cm 2 g
0
0
0
u:=1.67*10^(-40)*g*cm^2://Umwandlungsfaktor
m[1]:=16:m[2]:=1:m[3]:=1://Massen
r[1]:=matrix([[0,0.065,0]])://Lage des O-Atoms
r[2]:=matrix([[-0.76,-0.52,0]]):// H-Atom
r[3]:=matrix([[0.76,-0.52,0]]):// H-Atom
Ixx:=(sum(m[i]*(r[i][2]^2+r[i][3]^2), i=1..3)*u);
Iyy:=(sum(m[i]*(r[i][1]^2+r[i][3]^2), i=1..3)*u);
Izz:=(sum(m[i]*(r[i][1]^2+r[i][2]^2), i=1..3)*u);
Ixy:=-(sum(m[i]*(r[i][1]*r[i][2]), i=1..3)*u);
Iyz:=-(sum(m[i]*(r[i][2]*r[i][3]), i=1..3)*u);
Izx:=-(sum(m[i]*(r[i][3]*r[i][1]), i=1..3)*u);
6

4.3- 7
4.3.2 Der homogene symmetrische Körper
Wenn der Körper eine homogene Massenverteilung hat, z.B. eine Billardkugel,
haben wir die Summe durch ein Integral zu ersetzen (vgl. vorigen Abschnitt, Gl.
(22) ). Statt der Summe (5)
verwenden wir das Integral (10)
(5)
(10)
Gl. (10) bezieht sich auf das Massenzentrum des Körpers, was durch den Index
s bezeichnet wurde. So erhalten wir zum Beispiel
I 11 := I xx = ∫dm(r 2 s - x 2 s,1) (11)
Mit r 2 s := r 2 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 := x 2 + y 2 + z 2 e x 2 s,1 := x 2 1 := x 2 , ergibt sich
I xx = ∫(y 2 + z 2 ) dm (12)
Das Massenelement dm ersetzen wir durch dm = ρ dV, wo ρ die Dichte ist.
Wenn der Körper eine einfache Symmetrie hat, ist auch die Berechnung der
Integrale einfach, vgl. 3.4.11, wo wir das Dreifachintegral I zz = ∫(x 2 + y 2 )ρdV für
eine Kugel berechneten. Mit ρ = 1 erhielten wir das Resultat I zz = 8πR 5 /15.
Ich wiederhole kurz, was ich schon 3.4.11 sagte:
Das zu berechnende Integral war I zz = ∫(x 2 + y 2 )ρdxdydz, oder in Kugelkoordinaten:
R 2
4 3
I
zz
r sin ( )
dddr
0 0 0
(13)
Mit der Schreiweise von MuPAD haben wir
Izz:=rho*int(int(int(r^4*(sin(theta))^3,
phi=0..2*PI),theta=0..PI),r=0..R)
7

4.3- 8
Wir erhielten also dasselbe Resultat, obgleich die Reihenfolge der Integration
umgekehrt war.
Im Falle einer Kugel mit ihrer vollkommenen Symmetrie können wir ein
Dreifachintegral durch ein einfaches über r ersetzen. Um dies zu bewerkstelligen,
müssen wir die Kugel in dünne Schalen zerlegen (vgl. Zwiebel!), wobei dr
die Schalendicke ist. Das Volumenelement ist gleich dem Volumen einer
Schale, d.h. dV = 4πr 2·dr.
Wir schreiben I o := I xx = I yy = I zz und erhalten
3I o = ρ∫(y 2 + z 2 )dV + ρ∫(x 2 + z 2 )dV + ρ∫(x 2 + y 2 )dV, d.h.
I o = [2ρ∫(x2 + y2 + z 2 )dV]/3.
Wir integrieren und erhalten:
R
4 5
(14),
0
2 8
I0
4
r dr R
3 15
also dasselbe Ergebnis wie vorher. I o ist das Trägheitsmoment in Bezug auf
eine Achse, die durch CM geht. Alle Entfernungen müssen von dieser Achse
aus gemessen werden.
Wir berechnen jetzt das Trägheitsmoment eines homogenen Balkens in Bezug
auf eine Achse, die senkrecht auf dem Balken steht und durch CM geht.
Die Länge des Balkens sei L und überall vom gleichen Querschnitt S. Wenn M
seine Masse ist, haben wir ρ = dm/dV = M/V = M/(SL).
Wir schneiden den Balken in dünne Scheiben der Dicke dx mit dem Abstand x
von der Achse. Mit dV = S dx haben wir dm = Mdx/L. Das Integral reicht von -
L/2 bis +L/2:
L/2 L/2
2 M 2
I0
x dm 2
x dx
L
D.h.: I o = ML 2 /12.
L/2 0
Wenn die Achse durch den Endpunkt A geht, müssen wir von 0 bis L integrieren,
und das Ergebnis ist I A = ML 2 /3, d.h. viermal so groß wie vorhin.
Die Berechnung von Trägheitsmomenten in Bezug auf parallele Achsen ist sehr
einfach, wenn man den Satz von Steiner benutzt: I A = I o + M a 2 , mit a = Achsenabstand.
In unserem Fall mit a = L/2 erhalten wir ohne Integration
I A = ML 2 /12 + M L 2 /4 = ML 2 /3.
(Später werden wir den Steiner’schen Satz beweisen.)
8

4.3- 9
Die nächste Figur zeigt eine Ecke (Tetraeder = Körper mit vier Flächen),
beschränkt durch die Koordinatenebenen und von der Ebene z(x,y) = a(1-x/b -
y/c). Berechne die Komponenten des Trägheitstensors in Bezug auf den
Koordinatenursprung O.
a:=3:b:=3:c:=3:
plot(plot::Implicit3d(z+a*x/b+a*y/c-a,
x=0..4,y=0..4,z=0..4))
Fig.: 4.3-2
Die direkte Berechnung ist möglich, aber mühsam, vgl. Mit Bleistift und Papier.
Um uns zu orientieren, schauen wir uns nochmals die Gleichungen (2) an:
I xx = ∑ m i (y i 2 + z i 2 ) I yy = ∑ m i (x i 2 + z i 2 ) I zz = ∑ m i (x i 2 + y i 2 )
I xy = I yx = - ∑ m i x i y i I yz = I zy = - ∑ m i y i z i I zx = I xz = - ∑ m i x i z i
Um I xx zu berechnen, brauchen wir die Summe y 2 + z 2 , wir wählen ρ = 1.
9

4.3- 10
Die x-Werte laufen von x 1 = 0 bis x 2 = b, die y-Werte gehen von y 1 = 0 bis y 2 =
c(1-x/b).
reset():
int(int(int(y^2+z^2,z=0..a*(1-x/b-y/c)),
y=0..c*(1-x/b)),x=0..b):
simplify(%)
a b c (a 2 + c 2 )
---------------
60
Um dieses Ergebnis manuell zu erhalten, brauchen wir einige Seiten Papier und
dürfen uns nicht verrechnen!
4.3.3 Mit Bleistift und Papier.
Wir berechnen nun I yz von Hand.
Um die Rechnung zu vereinfachen, schreiben wir I yz = ρ∫ x dx ∫ y ydy ∫ z zdz.
Wir werten das letzte Integral aus und erhalten
I yz = ρ∫ x dx ∫ y ydy [a 2 (1-x/b-y/c) 2 /2]
Nun haben wir y(1-x/b-y/c) 2 = y(1-2x/b+x 2 /b 2 ) + y 2 (2x/(bc) - 2/c) + y 3 /c 2 , und die
Rechnung geht wie folgt weiter:
I yz = a 2 ρ/2· ∫ x (1-2x/b+x 2 /b 2 )dx ·∫ y ydy + a 2 ρ/2· ∫ x dx· ∫ y y 3 /c 2 dy +
+a 2 ρ/2· ∫ x (2x/(bc)-2/c)dx · ∫ y y 2 dy ,
= a 2 ρc 2 /4· ∫ x (1-x/b) 4 dx + a 2 ρc 2 /8 ∫ y (1-x/b) 4 dx +
10

4.3- 11
+ a 2 ρc 3 /6· ∫ x (2x/(bc) -2/c)(1-x/b) 3 dx,
= a 2 bc 2 ρ/20 + a 2 bc 2 ρ/40 - a 2 bc 2 ρ/15 = a 2 bc 2 ρ/120
Ich habe einige Schritte übersprungen, um auch Ihnen etwas Freude zu
lassen.
Mit MuPAD erhält man dasselbe Ergebnis, nur etwas billiger:
reset():
int(int(int(rho*y*z,z=0..a*(1-x/b-y/c)),
y=0..c*(1-x/b)),x=0..b):
simplify(%)
Fig.:4.3-3
Wie schon angekündigt, schauen wir uns jetzt den Beweis eines einfachen
Satzes an, der von großer praktischer Bedeutung ist, wenn es um die
Berechnung des Trägheitsmomentes geht, nämlich den Satz von Steiner (J.
Steiner, 1796 bis 1863), auch Satz der parallelen Achsen.
11

4.3- 12
Betrachten wir zwei parallele Rotationsachsen eines starren körpers, Fig. 4.3-3.
Wir wollen annehmen, dass die Achse AA durch den Schwerpunkt CM des
Körpers geht. Der senkrechte Abstand zwischen den beiden Achsen sei a.
In 4.3-3 lesen wir ab r i = r c + r ' i , worin r i der Ortsvektor der Masse m i in Bezug
auf den Ursprung O ist. a o ist ein zu den Achsen senkrechter Einheitsvektor, r c
ist der Ortsvektor von CM bezüglich O. r i´ ist der Ortsvektor vom m i in Bezug
auf CM. Der Abstand der Masse m i von der Achse BB ist gegeben durch die
Projektion des Vektors r i auf den Vektor a o . (Bei der Berechnung des Trägheitsmomentes
interessieren nur die senkrechten Koordinaten bezüglich der
betrachteten Achse.)
Das Trägheitsmoment aller Teilchen in Bezug auf BB ist gegeben durch
I BB = ∑m i (r i · a o ) 2 , (15)
r i · a o ist die Projektion des Vektors r i auf a o , ist also der Abstand des Teilchens
m i von der Achse BB. r i' · a o ist der Abstand von m i von der Achse AA, die
durch CM geht.
Das Trägheitsmoment der Teilchen in Bezug auf AA ist
I CM = ∑m i (r i' · a o ) 2 . (16)
Substituiert man in (15) r i durch r c + r ' i, so erhält man
I BB = ∑ m i [(r c + r ' i)·a o ] 2
= ∑ m i (r c·a o + r i '·a o ) 2
= ∑m i (r c · a o ) 2 +∑m i (r i' · a o ) 2 +2∑m i (r c · a o )·(r i' · a o )
=a 2 ∑m i + I c + 2a(∑m i r i ' )·a o = I c + M a 2
∑m i r i ' = 0, da r c = ∑m i (r i ' + r c )/M. Es gilt also M r c = r c ∑m i + ∑m i r i ' , woraus
folgt, dass ∑m i r i ' = 0.
Um das Trägheitsmoment in Bezug auf eine beliebige Achse zu berechnen,
ermitteln wir zunächst das Moment in Bezug auf eine parallele Achse, die durch
CM geht. Dann addieren wir hierzu das Trägeitsmoment in Bezug auf die gegebene
Achse, wobei wir so tun, als wäre die Gesamtmasse in CM konzentriert.
Wenn der Körper keinerlei Symmetrie haben sollte, müssen wir das Trägheitsmoment
auf experimentelle Art bestimmen.
12